方法突破01 数学法：成就物理需要扎实的数学功底 讲义 -2025届高考物理二轮复习备考

2025届物理总复习·二轮·方法突破 方法10 数学法：成就物理需要扎实的数学功底 （一）基本不等式（均值不等式）分析法 基本不等式：若a、b∈R，则≥，即≤ 均值不等式：若a、b∈R⁎，则≥（a＝b时取“＝”号） 若a、b∈R⁎，则≤（a＝b时取“＝”号） 几个正数之积为定值，则它们相等时和最小（积定和最小） 几个正数之和为定值，则它们相等时积最大（和定积最大） 极值条件：一正二定三相等 常用结论： （1）若x＞0，则≥2（当且仅当x＝1时取“＝”） （2）若x＜0，则≤－2（当且仅当x＝－1时取“＝”） （3）若ab＞0，则≥2（当且仅当a＝b时取“＝”） （4）若a、b∈R，则≤≤（当且仅当a＝b时取“＝”） （5）若a、b∈R⁎，则≤≤≤（当且仅当a＝b时取“＝”） 1．积定和最小类型（几个正数之积为定值，则它们相等时和最小） ( h 53 ° v 0 P Q )【例1】如图，跳台高度为h，在跳台上，某跑酷运动员（视为质点）以不同的初速 度v0从斜坡最低点的正上方水平跳向对面的斜坡，斜坡的倾角为53°，不计空气阻力， 重力加速度为g，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，则该运动员落到斜坡上的最小速度为（ ） A． B． C． D． ( h 53 ° v 0 P Q x y h-y )【答案】B 【解析】设跳起后经时间t落到斜坡上，则 落到斜坡上的速度设为v，则 ，B正确。 【感悟】本题主要在于数学处理能力。 本极值问题，只好用函数分析法；而本题的函数分析法，关键在于选取好自变量（选参量）。 实际推导发现，本题选取初速度v0，或水平位移x，或竖直位移y为参量，推导过程都非常麻烦，得到的落点速度v的函数关系都非常复杂，不便于求极值。只有以运动时间t为参量比较简单，且注意只能保留一个可变的参量。 【例2】如图（a）所示电路，当变阻器的滑动片从一端滑到另一端的过程中两电压表的读数随电流表读数的变化情况如图（b）中的AC、BC两直线所示，不考虑电表对电路的影响。 （1）定值电阻R0的阻值为多大？ （2）电源的电动势和内阻分别为多少？ （3）变阻器滑动片从一端滑到另一端的过程中，变阻器消耗的最大电功率为多少？ 【答案】（1）3Ω；（2）8V，1Ω；（3）4W 【解析】 （1）当变阻器阻值为0时，两电压表读数相等，则有 （2）U−I图像中BC直线的斜率绝对值等于电源的内阻，则有 将B点坐标代入可得 解得电源电动势为 （3）方法1：函数极值法 变阻器的总电阻为 变阻器消耗的功率为 （积定和最小）可知当R＝R0+r＝4Ω时变阻器消耗的电功率最大，则有 或用配方法： ( E ′ r ′ )当R＝R0+r＝4Ω时P最大，最大值 方法2：等效电源法 将R0视为电源内阻（如图中虚线框所示），等效电源 电动势E′＝E＝8V，内电阻r′＝r +R0＝4Ω 由已知结论可得R＝r′＝4Ω时R消耗的功率最大，最大值 2．和定积最大类型（几个正数之和为定值，则它们相等时积最大） ( 甲 乙 )【例3】质量相同的甲、乙两光滑小球（均视为质点）用轻直杆连接，乙球处于光滑水平地面上， 甲、乙两球均与竖直墙壁接触而处于静止状态，如图所示。由于微小的扰动，乙球开始沿水平地面向 右滑动。以水平地面为参考平面，当甲球的机械能最小时，杆与竖直方向夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D ( 甲 乙 θ θ v 1 v 2 )【解析】当杆与竖直方向夹角为θ时，设甲的速度大小为v1，乙的速度大小为v2，则 对整体用动能定理，得 因甲、乙整体机械能守恒，则乙的动能最大时，甲的机械能最小 因为定值 则时最大，甲的机械能最小，D正确 【例4】如图所示，足够长光滑水平面AB与竖直面内的粗糙半圆形轨道在B点平滑相接，轨道半径为R。一个质量为m的物体将弹簧压缩缩至A点后由静止释放，在弾力作用下物体获得一定速度后脱离弹簧，它经经过B点的速度为v1，之后沿半圆形轨道运运动，到达C点的速度为v2。C点为半圆形轨道最高点，重力加速度为g。 （1）求弹簧压缩至A点时的弾性势能。 （2）求物体沿半圆形轨道运动过程中阻力所做的功。 ( A B O C R m )（3）如果半圆形导轨为光滑轨道，改变圆弧弧半径，使物体通过最高点C后做平抛运运动，落到AB所在的水平面上，求落点与B点的的最远距离。 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 （1）从A点释放后，弹性势能转化为物体的动动，则所求弹性势能 （2）从B到C设阻力所做的功为Wf，由动能定理得： （3）设半圆轨道光滑时物体从最高点平抛的速度为v2，则动能定理得 平抛下落时间 则平抛的水平位移 即落点与B点的最远距离为 （二）二次式分析法（二次函数、二次方程、二次不等式） 1．二次函数 （1）函数图象： ①a＞0时：开口向上的抛物线，有最小值 ②a＜0时：开口向下的抛物线，有最大值 （2）对称轴方程：x＝－ （3）顶点坐标：（－，） ①a＞0时：有最小值 ②a＜0时：有最大值 【例5】人们有时用“打夯”的方式把松散的地面夯实。设某次打夯符合以下模型：如图所示，两人同时通过绳子对重物各施加一个恒力，力的大小均为F＝500N，方向都与竖直方向成θ＝37°角，重物离开地面H后人停止施力，最后重物自由下落把地面夯实h深度。设重物的质量为m，打夯时重物对地面的平均冲击力为f＝1.05×104N，g取10m/s2。 （1）若H＝50cm，m＝50kg，求重物落到地面时的速度v； （2）若H＝（50kg≤m≤60kg，k＝25kg·m），求重物把地面夯实的最大深度hm。 【答案】（1）4m/s，方向竖直向下；（2）4cm 【解析】 （1）由动能定理得 （2）由动能定理得 将代入后推导得 （50kg≤m≤60kg） 分母y＝−m2+1050m函数图像为开口向下的抛物线，对称轴方程为m＝525（kg） 由此可知，当m＝50kg时y最小，h最大，h的最大值 2．二次方程 （1）求根公式：（熟练掌握和应用） （2）根的判别式： ①∆＞0：有两个不等的实数解（物理问题的多解状态，如往返运动经同一位置的状态） ②∆＝0：有一个实数解（重根状态，往往为物理问题的极值状态） ③∆＜0：无实数解（如物理运动学问题，无实数解，一般表示不相遇、不相碰） ▲重要技巧：用根的判别式求极值 （3）韦达定理：两根之积；两根之和 （4）物理问题中，注意两根的物理意义 特别要注意负根在表示矢量或标量方面的物理意义，两个正根也不一定都有意义 在刹车类问题中，如果时间有大小两个正根，往往大的无意义 【例6】某学生投实心球训练，以探究水平射程跟抛射角的关系，扔球速度为12m/s，出手高度为1.25m，重力加速度g＝10m/s2，则他扔球后球的落点到出手点的水平距离可能为（ ） ( x y O v 0 θ 重根情况 抛射最远 双根情况 )A．12m B．12.5m C．15m D．18m 【答案】ABC 【解析】 方法1：二次方程根的判别式法 如图建立坐标系对铅球的运动进行水平—竖直分解 初速度v0＝12m/s，竖直位移－h＝1.45m，设抛射角为θ，则 水平位移 （1） 竖直位移 （2） 由（1）得，代入（2）得 分析斜抛运动规律可知，关于tanθ的一元二次方程，重根时x最大，即方程根的判别式∆＝0时x最大，所以 水平距离最大值为15.6m，ABC正确。 ( v 0 v ∆ v v x θ θ )方法2：二级结论法。 ▲二级结论：若初、末速度大小确定，当它们的方向垂直时水平射程最大。 （说明：如右图，水平射程。而v0、v大小都确定， 则它们的夹角为90°三角形面积最大。） 抛出速度v0＝12m/s，下落高度h＝1.45m，设落地速度为v，由动能定理得 当初、末速度垂直时水平距离最大，最大值 ，ABC正确 ( v 0 v 1 37 ° 甲 x/m 10 8 0 1.0 t 0 t/s 乙 )【例7】如图甲所示，倾角为37°、足够长的传送带以恒定速率v1沿顺时针方向转动。一小煤块以初速度v0＝12m/s从传送带的底部冲上传送带，规定沿传送带斜向上为煤块运动的正方向，该煤块运动的位移x随时间t的变化关系如图乙所示。已知图线在前1.0s内和在1.0s～t0内为两段不同的 二次函数，t0时刻图线所对应的切线正好水平，重力加速 度g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则（ ） A．传送带转动速率v1为8m/s B．图乙中t0的数值为2.0 C．0～t0内煤块在传送带上的划痕长度为6m D．煤块与传送带之间的动摩擦因数为0.25 【答案】BD 【解析】分析可知，1.0s以前煤块速度大于传送带速度，煤块受传送带的摩擦力平行于传送带向下； 1.0s时刻达到共速； ( v 1 37 ° Gx f Gx f )此后煤块受传送带的摩擦力平行于斜面向上，但煤块加速度平行于传送带向下。 0～1.0s内：t1＝1s，x1＝8m，设加速大小为a1，则 设动摩擦因数为μ，则由牛顿第二定律得 ，D对； ( v/m · s -1 4 12 0 t 1 ＝ 1.0 t 0 ＝ 2.0 t/s x 相1 x 相1 )t1＝1s时煤块与传送带的速度 ，A错； 1.0s～t0煤块的加速度大小 t0时刻煤块速度减到0，则 ，B对； 如右所示v－t图，0～1.0s，煤块相对于传送带上滑，x相1＝4m； 1.0s～t0煤块相对于传送带下滑，x相2＝－2m，划痕与前一段过程重叠。 所以，划痕长度为4m，C错。 3．二次不等式 （三）三角函数分析法 ▲三角函数常用变换公式、三角函数变化规律及其他基本性质（略） 诱导公式：奇变偶不变，符号看象限 【例8】某同学在操场练习掷铅球，第一次以速度v0水平掷出铅球，第二次以与水平方向成α角斜向上掷出铅球，结果铅球都落到了P点。已知铅球两次出手时的高度和速度大小均相同，两次铅球的 水平射程均为x，重力加速度大小为g，则铅球出手时的高度为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】AB：平抛，水平方向得下落时间，则下落高度 （1） 所以A、B错； CD：斜抛，水平方向得运动时间，则下落高度 （2） 由（1）、（2）两式得： ，所以D对 1．与类三角函数（两角和与差的三角函数） 两角和与差的三角函数： 和差化积：（口诀从左往右看） （正弦加正弦，正弦在前面） （正弦减正弦，正弦在后面） （余弦加余弦，余弦肩并肩） （余弦减余弦，余弦全不见） 积化和差：（口诀从右往左看） （正弦加正弦，正弦在前面） （正弦减正弦，正弦在后面） （余弦加余弦，余弦肩并肩） （余弦减余弦，余弦全不见） 【例9】如图所示，大炮在山脚直接对着倾角为α＝30°的斜坡发射炮弹，重力加速度为g，炮弹初速度为v0，要使炮弹打到斜坡上尽可能远的地方，则炮弹初速度方向与斜坡的夹角为多少？打到斜坡上的最远距离为多少？ ( α O v 0 )【答案】30°， 【解析】 ( α O v 0 g x y s β α )方法1：平行−垂直分解法。如图所示 y方向类似于竖直上抛运动，飞行时间 x方向匀减速运动，位移（即抛射距离） 当时s最大，最大值 ( α O v 0 β x y x y )方法2：水平−竖直分解法。如图所示 α＝30°为定值，当α+2β＝90°即β＝30°时s最小，s的最小值 ( α O v 0 v 0 t β α +90 ° 90 ° - α - β s ) 方法3：斜交分解法。如右图，将斜抛运动视作以v0的匀速运动和自由落体运动。 对位移矢量三角形用正弦定理得： 当β＝30°时s最小， 2．倍角与半角类三角函数（典型：sinθcosθ类型） 倍角公式： ； 半角公式： ，；，； ， 降幂公式： ， 万能公式： ；； ( O 1 L 3 L /4 O 2 ) ( D C B t F O t F O t O F t F O A )【例10】做如图所示的单摆实验，将摆长为L的单摆上端固定在O1点处，下端连接一小球 （视为质点），在O1点正下方L的O2处有一固定细钉。将小球向左拉开，使细绳与竖直方 向成一小角度（约为5°）后由静止释放，当小球摆至最低位置时，细绳会受到铁钉的阻挡（无 机械能损失）。不计空气阻力，设小球在运动过程中受到的回复力为F，则下列图像中，能描述 小球在开始的一个周期内的F－t关系的是（ ） 【答案】B ( α β L L/4 )【解析】先分析在左右两边摆动的周期关系：左边摆长为，右边摆长为，， 则左右两边的周期之比为2∶1，D错； 再分析在左右两边的最大回复力F的大小关系： 由数学知识可知，当角度θ（弧度数）很小时，sinθ≈θ 设左右两边的最大摆角分别为α、β 因摆动中机械能守恒，则在左右两边的最高处时高度相同，则 左边的最大回复力，右边的最大回复力，则，A错C错。 3．类三角函数 辅助角公式：，其中辅助角φ满足。 ( θ β P F )当α＋φ＝90°时，有极大值。 【例11】如图，倾斜角θ＝30°的传送带沿逆时针方向匀速转动，一质量为m的物块P 用细线拉着在传送带上保持对地静止。物块与传送带间的动摩擦因数，调整细线 的方向，当细线拉力最小时，细线与水平方向的夹角β等于（ ） A．0° B．30° C．60° D．90° 【答案】C 【解析】设细线拉力为T，物块受到的滑动摩擦力为f 将物块受力按如图所示正交分解，有： ， 又因为 可得 利用辅助角公式，有 其中 当时，T有最小值，此时 即，C正确，ABD错误。 【例12】如图，倾角为37°的斜面足够长，从斜面上b点正上方2.5m处的a点， 以2m/s的速率抛出一个小球，方向不定，且小球的轨迹与abO在同一竖直平面内， 取g＝10m/s2，sin37°＝0.6，则小球落回斜面的最长时间为（ ） A．0.5s B．1s C．1.5s D．2s 【答案】B ( x y v 0 θ )【解析】 方法1：水平—竖直分解法（辅助角公式法） 设小球从B点抛出时的速度方向与水平方向成角 则有：， 两式联立得： 解得： 舍去负的时间，则时间为： ( x y v 0 g g y d )根据数学知识可知： 当时最大，即t最大，最大值为：，B对 方法2：平行—垂直分解法 将小球的运动如图分解 因g的垂直分量gy＝8m/s2恒定，垂直位移d＝2m恒定，抛出速度大小v0＝2m/s恒定 则v0垂直于斜面时时间t最长，有： ( v 0 t 37 ° h h ) 代入数据解得t＝1s 方法3：斜交分解法 将小球的运动看成以初速度v0的匀速直线运动，和自由落体运动 以a点为圆心，以位移v0t为半径作圆 为使时间最长，就应使自由落体位移最大 作斜面的平行线与圆上方相切，切点到斜面最远，自由落体位移最大 由几何关系得：，代入数据解得t＝1s 4．类三角函数 （1）均值不等式法 ( L m O )（2）求导法 【例13】如图所示，用一长为L细线连接一质量为m的小球悬挂于O点，将小球 拉至细线水平，由静止释放小球，求小球在摆至最低点过程中其重力做功的最大功率。 ( L m O mg θ θ v )【答案】 【解析】当细线摆过角度θ时小球速度大小设为v，由动能定理得 此时重力的功率 方法1：和定积最大 由不等式性质得：时P最大 最大值 ( C A B D P O )【例14】如图所示，正方形ABCD的对角线长为2a，在A、C两点分别放置电荷量为＋q的点电荷，P为正方形ABCD外接圆上任意一点，O为外接圆的圆心，静电力常量为k，下列说法正确的是（ ） A．B、D两点的电场强度相同 B．将负电荷沿直线由B移到D的过程中，电场力先做正功后做负功 C．对角线BD连线上电场强度E的最大值为 D．若两点电荷在P点的电场强度大小分别是E1、E2，则为定值 ( C A B D P O F F v )【答案】BCD 【解析】 A：B、D两点的电场强度方向相反，A错； B：负电荷在BD上受力方向如图所示，B对； C：如图所示，角度为θ时电场强度 ( C A B D P O E 0 θ ) 方法1：和定积最大。 因为定值 则时E最大，最大值 方法2：求导法。 ( C A B D P O r 1 r 2 ) 当其导数等于0时E最大，即： （后面略） D：勾股定理。 为定值，D对。 ( A B C a b c )5．正弦定理（拉密定理）的应用 （秒杀技法：“对角垂直力最大”！记住该结论，动态分析5s得解） ( 0 90 ° 60 ° 120 ° 1 θ 180 ° sin θ )（1）数学知识： ①正弦定理：如图所示的△ABC中， ② ③正弦函数在0°～180°范围内的图象及增减性如右图所示 ( F 1 F 2 F 3 θ 1 θ 2 θ 3 θ 2 θ 1 θ 3 F 1 F 2 F 3 ) （2）拉密定理：一物体受三个共点力作用而平衡，则各 力与对角的正弦之比相等，即： （3）重要结论：在存在“恒力对恒角”的情况下，对于两个变力，记住口诀“对角垂直力最大” ( 恒力 恒角 （ θ 1 ＝ 90 ° 时 F 1 最大）（ θ 1 偏离 90 ° 越远，则 F 1 越小） （ θ 2 ＝ 90 ° 时 F 2 最大）（ θ 2 偏离 90 ° 越远，则 F 2 越小） ) ①一个力的对角能够在变化过程中（不是起、止时刻）垂直，则这个力一定是先变大后变小 ②对角趋近垂直时力增大，远离垂直时力变小 规律来由：存在一对“恒力对恒角”时（如前面的表达式中，假设F3与θ3恒定），则每个力与对角的正弦之比为定值。由此可知，某个对角为90°时分母的正弦最大，所以分子中的力也最大。 ▲“恒力对恒角”，如果所对的“恒角”为直角，则直接用矢量作图法也比较简单 ( O A B ) 【例15】如图所示，将两块光滑平板OA、OB固定连接，构成顶角为60°的楔形槽， 楔形槽内放置一质量为m的光滑小球，整个装置保持静止，初始时OA板在水平地面上， 现使楔形槽绕O点顺时针缓慢转动至OA板竖直，则转动过程中（ ） A．初始时OA板对小球的作用力最大 B．转过30°时OA板对小球的作用力最大 C．转过60°时OB板对小球的作用力最大 D．转过90°时OB板对小球的作用力最大 ( O A B β α θ G F A F B 原状态 O A B G F B F A β θ α 转过30 ° O A B F A α β θ F B G 转过60 ° F A O A B G F B β α θ 转过90 ° )【答案】BD 【解析】 恒力G对恒角θ＝120°； FA所对的角α从60°变到150°，所以先变大后变小； FB所对的角β从180°变到90°，所以一直变大。 ( 1 2 )【例16】我国已在空间站中实施了多次“天宫课堂”面向全国公众直播， 大家对其中的水球光学实验印象深刻。如图所示，在完全失重环境下，从水袋 中挤出一个大水球漂浮在空中，然后用针管将气体注入水球中，最终形成一个 外半径为R内半径为r的均匀水球壳。用两条离中心轴线远近不同的平行光线 1和2在水球的轴截面内照射水球，若光线1刚好在水球内表面发生全反射， 且光线2投射到内表面上，则下列说法正确的有（ ） A．光线2在水球内表面一定发生全反射 B．光线1进入水球前到中心轴线的距离一定等于r C．光线1进入水球前到中心轴线的距离与R和r的具体大小有关 D．若换用同样形状和大小的玻璃球壳，只是折射率发生了变化，其他方面都不变，光线1仍然刚好发生全反射 ( r R α α β θ r )【答案】ABD ▲重要的二级结论： 光线从空心球壳之外沿内表面的切线方向射入，则刚好在内表面上 发生全反射，而与内外半径的大小及介质折射率无关。 证明：由正弦定理得 由此可见，光线折射进球壳后投射到内表面上的入射角θ正好等于临界角C，刚好发生全反射，而与R、r及n无关。离轴线距离小于r的光线能够进入空腔，大于r的光线不能进入空腔。 6．余弦定理的应用 （四）圆锥曲线方程与性质（圆、椭圆、抛物线、双曲线） 1．抛物线方程 【例17】（抛物线方程、积定和最小）如图所示，一个方向竖直向下的有界匀强电场，电场强度大小为E。匀强电场左右宽度和上下宽度均为L。一个带正电荷的粒子（不计重力）从电场的左上方O1点以某一速度水平向右进入电场，该粒子刚好从电场的右下方A点离开电场；另一个质量为m、带电荷量为―q（q＞0）的粒子（不计重力）从电场左下方O2点水平向右进入电场，进入电场时的初动能为Ek0。已知图中O1、O2、A在同一竖直面内，设O1点为坐标原点，水平向右为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，建立坐标系（图中未画出），不计粒子间的相互作用。 （1）求带正电荷的粒子的运动轨迹方程 （2）求带负电荷的粒子运动到“带正电荷粒子的运动轨迹”处的动能 （3）当带负电荷的粒子进入电场的初动能为多大时，它运动到“带正电荷粒子运动轨迹”处时的动能最小？动能的最小值为多少？ ( O 2 L E A O 1 L )【答案】（1）； （2）； （3）时， ( O 2 L E A O 1 L x y )【解析】 （1）待定系数法。 设正粒子运动轨迹方程为 粒子过A点，将x＝L、y＝L代入得 则所求的轨迹方程为 （2）设负粒子初速度为v0，则 经时间t： 将正、负粒子的轨迹方程联立成方程组并解得交点坐标为 ， 由动能定理，得负粒子到达轨迹交点时的动能 （3）变形： 因为定值 则时Ek最小，最小值 ( x F 1 F 2 c a b a y O )2．椭圆方程 焦点在x轴是的椭圆方程： a：半长轴；b：半短轴；c：半焦距。 椭圆上的任意点到两焦点的距离之和为定值，和为 ( x y A C B D F 1 F 2 E F H G O + q 0 + q 0 )【例18】如图所示，在一个椭圆的两个焦点F1和F2上分别固定一个带电量为q0的正点电荷，在图示坐标系中，椭圆方向为（a＞b＞0），E、F、G、H为椭圆上关于原点O中心对称的四个点。已知点电荷Q所激发的电场中某点的电势公式为，其中Q是点电荷的电量，r是电场中该点 到点电荷的距离，k为静电力常量。则下列说法正确的有（ ） A．E点和G点场强相同 B．一正的试探电荷沿ABC运动，电场力先做正功后做负功 C．从B沿直线运动到D，场强先减小后增大 ( x y A C B D F 1 F 2 E F H G O + q 0 + q 0 P r 1 r 2 )D．椭圆上各点电势的最大值为 【答案】BD 【解析】 A：E点和G点电场方向不同，A错； B：设椭圆上某点P到F1、F2的距离分别为r1、r2，则P点的电势 ( P F 1 F 2 B O D θ ) 由不等式性质知，r1+r2＝2a为定值，则r1＝r2＝a时r1r2积最大，电势φ最小 而A、C两点，r1与r2相差最大，r1r2积最小，电势φ最大 沿ABC运动，电势先减小后增大，正电荷的电势能先减小后增大 则电场力先做正功后做负功，B对； C：若椭圆接近于圆，则两焦点靠近中心O场强最大的点P在椭圆内部， 从B到O，场强先增大（到P点时最大）后减小（到O点时为0）， 从O到D，场强先增大后减小。所以C错； D：由B的推导可知，椭圆上A、C两点电势最大。按图中A点计算 ( x y A C B D F 1 F 2 E F H G O b a )， D对 【例19】（2023年湖南卷）如图，质量为M的匀质凹槽放在光滑水平地面上，凹槽内有一个半椭圆形的光滑轨道，椭圆的半长轴和半短轴分别为a和b，长轴水平，短轴竖直．质量为m的小球，初始时刻从椭圆轨道长轴的右端点由静止开始下滑。以初始时刻椭圆中心的位置为坐标原点，在竖直平面内建立固定于地面的直角坐标系xOy，椭圆长轴位于x轴上。整个过程凹槽不翻转，重力加速度为g。 （1）小球第一次运动到轨道最低点时，求凹槽的速度大小以及凹槽相对于初始时刻运动的距离； （2）在平面直角坐标系xOy中，求出小球运动的轨迹方程； （3）若，求小球下降高度时，小球相对于地面的速度大小（结果用a、b及g表示）。 【答案】（1），； （2）；（3） 【思维】 （1）人船模型→水平方向动量守恒→机械能守恒定律→凹槽速度大小→凹槽相对于初始时刻向右运动的距离 （2）椭圆标准方程→人船模型→小球运动的轨迹方程 （3）→小球运动的轨迹方程→小球轨迹为半径为b的圆→水平方向动量守恒→机械能守恒定律→小球相对于地面速度大小 【解析】 （1）小球第一次运动到轨道最低点的过程，水平方向由动量守恒定律，mv1＝Mv2， 由机械能守恒定律，mgb＝+ 联立解得：v2＝ 根据人船模型，mx1＝Mx2，x1+x2＝a 解得：凹槽相对于初始时刻向右运动的距离x2＝ （2）小球向左运动过程中凹槽向右运动，当小球的坐标为时，凹槽水平向右运动的位移为，根据上式有 则小球现在在凹槽所在的椭圆上，根据数学知识可知此时的椭圆方程为 整理得 （） （3）将代入小球的轨迹方程化简可得 即此时小球的轨迹为以（a−b，0）为圆心，b为半径的圆 则当小球下降的高度为时如图，此时可知速度和水平方向的的夹角为60° 小球下降的过程中，系统水平方向动量守恒 系统机械能守恒 联立得 ( 一对等量异性点电荷的电场线和等势面 波的干涉示意图 )3．双曲线方程 平面上两列相同的波形成稳定 的干涉图样，振动加强（振动减弱） 的点呈现双曲线分布规律。 一对等量异性点电荷的电场中， 一个平面上的等势线不为双曲线， 也不为椭圆和圆。 （五）数列分析法（递推法、累加法、通项法、过程或对象整体法） 等差数列前n项求和公式：Sn＝＝na1＋d（d为公差） 等比数列前n项求和公式：Sn＝（q为公比，q≠1） 无穷递缩等比数列所有项求和公式：S＝（q为公比，0＜|q|＜1） 1．递推法 技巧：从前往后依次推导，推导几项之后发现规律，依据规律得出最终结论。 经验：无论处理什么样的物理问题，尽量避免使用递推法。使用递推法主要有三大劣势： ①推导麻烦。用递推法，一般要推导三四项才能准确找到规律。 ②很多问题不易找到正确的规律。根据少数的三四项，而且很多问题中推导出的前几项表达式复杂，往往难以发现规律。 ③不能确保你所找到的规律是否正确。从理论上讲，用不完全归纳法找到的规律到底是否正确，应该用数学归纳法加以证明。但如果又增加一个数学归纳法的证明过程，问题的处理就更麻烦了。 【例20】如图所示，在足够大的光滑绝缘水平面上静止着两个质量均为m、相距为L的小球A和B，小球A带＋q的电荷量，小球B不带电。若沿水平向右的方向加一场强大小为E的匀强电场，A球将受力而运动，并与B球反复发生弹性碰撞（碰撞时间不计），碰后两球速度交换，若碰撞过程中无电荷转移，求： （1）A与B第一次碰后瞬间B球的速率； （2）从A开始运动到两球第二次相碰经历多长时间； （3）两球从第n次碰撞到第n＋1次碰撞时间内A球所通过的路程。 【答案】 ( E A B ＋ q )（1）；（2）；（3） ( O v t A A A A A B B B B )【解析】如图所示（略） 【例22】 ( F … )（递推法或累加法）（注意：本问题不能用过程整体法，为什么？）如图所示，有很多块质量都为的木块互相紧靠着沿一直线排列于光滑水平面上，每相邻两块木块间均用长为L的柔软轻线连接着。现用一恒力F沿排列方向拉第一块木块，以后各木块依次被拉动。求第n块木块刚被拉动时的速度大小。 【答案】 【解析】 方法1：递推法。 第1块木块与第2块木块碰前的速度设为v1′，由动能定理得 第1块木块与第2块木块碰后的共同速度设为v2，由动量守恒得 前2块木块与第3块木块碰前的速度设为v2′，由动能定理得 前2块木块与第3块木块碰后的共同速度设为v3，由动量守恒得 前3块木块与第4块木块碰前的速度设为v3′，由动能定理得 前3块木块与第4块木块碰后的共同速度设为v4，由动量守恒得 依此类推，前n−1块木块与第n块木块碰后的共同速度vn，即第n块木块刚被拉动时的速度为 方法2：累加法。 设前k−1块木块刚结合时的速度为，结合后拉过距离L时的速度为，由动能定理得 （1） 设前k−1块木块与第k块木块碰后的共同速度为，由动量守恒得 （2） （2）代入（1）得 （3） 为了累加时相消方便，（3）式两边各乘以k−1，且把右边的k−1放入中括号中，得 （4） （4）式中的k依次取2、3、4、…、n，依次列式进行累加 （其中v1＝0） … … 左右两边分别累加，得 2．累加法 技巧：通项由正、负两部分组成，且两部分与前、后项存在一定的规律性，或构成等差等比数列，等等，往往可用累加法相抵消，或用求和公式处理 【例22】（1）将一条足够长的直线轨道依次分为长度均为s＝3m的各段。一质点从一端由静止出发沿该轨道运动，第一段的加速度a1＝2m/s2，以后每次经过等分点时加速度均突然变为前一段的，则质点的终极速度为 m/s； （2）若以加速度a1＝2m/s2由静止出发做匀加速度直线运动，每经过t＝2s的时间后加速度变为前面过程的，则质点的终极速度为 m/s。 【答案】（1）6m/s；（2）12m/s 【解析】设各段的加速度依次为a1、a2、a3、… （1）累加法。设到达各段末的速度依次为v1、v2、v3、…，则 各式两边分别累加，得： 取n为无穷大，即所有项求和，得终极速度： （2）另类累加法。 终极速度 【例23】超市里用的购物车为顾客提供了购物方便，又便于收纳。收纳时一般采用完全非弹性碰撞的方式把购物车收到一起，如图甲所示。某兴趣小组在超市对同款购物车（以下简称“车”）的碰撞进行了研究，分析时将购物车简化为可视为质点的小物块，已知车的净质量m＝15kg，g＝10m/s2。 （1）首先测车与超市地面间的动摩擦因数：取一辆车停在水平地面上，现给它向前的水平初速度v0＝2m/s，测得该车能沿直线滑行x0＝2m，求车与超市地面间的动摩擦因数µ； （2）取编号为A、B的车，B车装上m0＝15kg的货物后停在超市水平地面上，空车A的前端装上轻弹簧，将A车停在B车的正后方且相距x＝5.5m处。现给A车施加向前的水平推力F0＝75N，作用时间t0＝1s后撤除。设A车与B车间的碰撞为弹性正碰（忽略相互作用时间），两车所在直线上没有其他车，求在A车运动的全过程中A车与地面间产生的摩擦热； （3）如图乙所示，某同学把n（n＞2）辆空车等间距摆在超市水平地面上的一条直线上，相邻两车间距d＝1m，用向前的水平恒力F＝300N一直作用在1车上，推着1车与正前方的车依次做完全非弹性正碰（碰撞时间极短），通过计算判断，他最多能推动多少辆车？ [数列求和公式：，] 【答案】（1）0.1；（2）90J；（3）30辆 【解析】 （1）由动能定理得 （2）A车质量mA＝15kg，在F0作用下的加速度 经t0＝1s获得的速度，t0＝1s内的位移 撤去F0后继续发生的位移 设A与B碰前A的速度为v2，又由动能定理得 B车总质量mB＝m+m0＝30kg，设A、B弹性碰撞后速度分别为v3、v4，由弹性碰撞规律得 代入数据并解得：， 碰后A车的动能在以后的过程中全部因摩擦而生热，则所求摩擦热 （3）先推导出一条规律： 设原来的k辆车整体速度为v，动能 再与一辆车发生完全非弹性碰撞结合成的整体（共k+1辆车）速度设为v'， 碰撞中动量守恒： 则碰后的总动能： 设每一次碰撞前，运动的车总动能依次为、、、、…、、 ( × 1 × 2 × 3 × 4 × n )每一辆车运动时所受摩擦力，对各段推动过程依次用动能定理，得： … … … … +) 将右边各式累加，得： 当≤0时，就不能推动后面的车了，即： ≤0 ≤≥ 结论：最多能推动30辆车 3．通项法 技巧：直接选定通项求解 【例24】如图所示，一排人站在沿x轴的水平轨道旁，原点O两侧的人序号都为n（n＝l、2、3、…）。每人只有一个沙袋。x＞0一侧的每个沙袋质量为m＝14kg；x＜0一侧的每个沙袋质量为m'＝10kg。一质量为M＝48kg的小车以某初速度从原点出发向正x方向滑行。不计轨道阻力。当车每经过一人身旁时，此人就把沙袋以水平速度u朝与车速相反的方向沿车面扔到车上，u的大小等于扔此袋之前的瞬间车速大小的2n倍（n是此人的序号数）。 （1）空车出发后，车上堆积了几个沙袋时车就反向滑行？ ( x )（2）车上最终有大小沙袋共多少个？ 【答案】（1）3个；（2）11个 【解析】 （1）在小车沿正x方向滑行过程中： 设第（n－1）个沙袋扔到车上后的车速为vn－1，第n个沙袋扔到车上后的车速为vn，由动量守恒定律有 小车反向运动的条件是vn－1＞0，vn＜0，即：M－nm＞0，且M－（n+1）m＜0 代入数据，得：＜，＞ n应为整数，故n＝3，即车上堆积3个沙袋后车就反向滑行； （2）车反向滑行直到x＜0一侧第1人所在位置，车速保持不变，而车的质量为M+3m 若车在朝负x方向滑行过程中，第（n－1）个沙袋扔到车上后车速为v′n-1，第n个沙袋扔到车上后车速为v′n 现取在图中向左的方向（负x方向）为速度v′n、v′n-1的正方向，则由动量守恒定律有 车不再向左滑行的条件是vn-1′＞0，vn′≤0，即：M+3m－nm′＞0，M+3m－(n+1)m′≤0 代入数据，得：＜，≥，8≤＜9 n＝8时，车停止滑行，即在x＜0一侧第8个沙袋扔到车上后车就停住。 故车上最终共有大小沙袋3+8＝11（个）。 4．过程整体法 技巧：取所有对象、对整个过程，根据物理原理及规律一起分析处理 【例25】如图所示，质量M＝10kg，上表面光滑的足够长木板在水平拉力F＝50N作用下，以v0＝5m/s的初速度沿水平地面向右匀速运动，现有足够多的小铁块，它们质量均为m＝1kg，将一铁块无初速度地放在木板最右端，当木板运动了L＝1m时，又无初速度地在木板最右端放上第二个铁块，只要木板运动了1m就在木板最右端无初速放一铁块。 ( m F M )（1）第一个铁块放上后，木板再运动1m时，木板的速度多大？ （2）最终有几个铁块留在木板上？ （3）最后一个铁块与木板右端距离多大？（g取10m/s2） 【答案】（1）m/s；（2）7个；（3）m 【解析】 （1）求动摩擦因数μ 长木板在拉力F作用下匀速运动，则 在以后的过程中，F总是与μMg平衡，不予考虑。 第一个铁块放上去且木板运动1m时设木板速度为v1，由动能定理得： （2）设最终放了n个铁块，则木板克服摩擦力做的总功 代入数据解得n＞6.5。n取整数，最终有7个。 （3）设第7个铁块放上后木板继续运动距离d而停下，则 代入数据解得 5．无穷递缩等比数列所有项求和 ( A B P v 0 )【例26】如图所示，物块A的质量mA＝3kg，足够长的平板小车B的质量mB＝1kg，B置于光滑的水平地面上，B的右端离右边的竖直墙壁P足够远，A与B之间的动摩擦因数μ＝0.2。A以v0＝4m/s的水平初速度向右滑上B的左端，B每一次都是在与A共速后再与墙壁发生碰撞，且每一次碰后B都是以原速率向左反弹。不计碰撞时间，求B与墙壁发生第一次碰撞后直至最终停止，小车B走过的总路程。 【答案】2m 【解析】B与墙发生第一次碰撞后，两物体的v−t图像如图所示（推算过程略） ( v/ms -1 0 v 1 =3 − v 1 = − 3 t/s x 1 x 2 x 3 B B B B A A A AB AB v 2 )第一次反弹后，B向左的位移设为x1，对B用动能定理 ，则（面积比等于相似比的平方） 即各次反弹后，B向左的位移依次构成等比数列，公比 且每次碰撞后，B先向左运动再反向向右运动， 向左向右运动的路程相等，则B走过的总路程 （六）微元积分法 【例27】水上飞行器表演如图所示，经软水管向上抽的水与飞行器踏板下表面接触后， 在极短时间内以等大速度反弹并从喷水孔竖直向下喷出。已知飞行器总质量m＝5kg，两个 喷水孔的喷口直径均为d＝6.0cm，表演者质量M＝75kg，水的密度ρ＝1.0×103kg/m3，取重 力加速度g＝10m/s2，不计浮力。当表演者和装备悬停在空中时，喷水速度约为（ ） A．2m/s B．8m/s C．15m/s D．21m/s 【答案】B 【例28】用高压水枪清洗汽车，水枪出水口直径为D，水流以速度v从枪口喷出近距离垂直喷射到车身，所有喷到车身的水流，约有75％向四周溅开，溅起时垂直车身向外的速度为，其余25％的水流撞击车身后无反弹顺车流下。由于水流与车身的作用时间较短，在分析水流对车身的作用力时可忽略水所受的重力。已知水的密度为ρ，则（ ） A．水枪喷水的功率为 B．水枪喷水的功率为 C．水流对车身的平均冲击力约为 D．水流对车身的平均冲击力约为 【答案】D 【例29】如图所示，平行且光滑的金属导轨水平固定，间距L＝2m，虚线与导轨垂直，其右侧存在磁感应强度大小B＝0.5T、方向竖直向下的匀强磁场。质量m＝1kg的金属棒垂直于导轨放置在虚线左侧，距虚线的距离d＝0.5m，导轨左端接一阻值R＝1Ω的电阻，其余电阻忽略不计。某时刻对金属棒施加一大小F＝4N的向右的恒力，金属棒始终与导轨垂直且接触良好，在磁场中运动s＝2m的距离后达到匀速。求金属棒从开始进入磁场经多长时间达到匀速。 ( R F d B )【答案】1s 【解析】金属棒进入磁场的初速度设为v0，由动能定理得 金属棒在磁场中匀速运动的速度设为v，由能量守恒得 金属棒在磁场运动时，取一段极短时间∆t，设这段时间内棒的速度为v且认为不变，则安培力的冲量 再对在磁场中运动的整个过程进行累积，得安培力的总冲量 对金属棒在磁场中运动的整个过程用动量定理，得 （七）求导法 函数的导数就是变化率，反映一个量随时间或随空间等因素的变化快慢。 高中物理中导数或导函数的应用常用的主要有以下几种： 1．位移对时间求导表示速度 2．速度对时间求导表示加速度 【例30】如图所示，光滑矩形金属轨道上端连接电容为C的电容器，轨道宽度为L、倾斜角为θ。轨道上有一质量为m与轨道垂直的金属杆MN可以在轨道上自由滑动。整个系统处于与轨道平面垂直的匀强磁场B中，忽略整个系统的电阻，求金属杆从静止释放后沿轨道滑动距离d所需的时间。 【答案】 ( θ B C L d M N ) 3．磁通量对时间求导表示感应电动势 【例31】如图所示，两根平行金属导轨固定在水平桌面上，每根导轨每米的电阻均为r0＝0.1Ω，导轨的端点P、Q用电阻可以忽略的导线相连，两导轨间的距离L＝0.2m。有随时间变化的匀强磁场（图中未画出）垂直于桌面，已知磁感应强度B与时间t的关系为B＝kt，比例系数k＝0.02T/s。一电阻不计的金属杆可在导轨上无摩擦滑动，在滑动过程中保持与导轨垂直。在t＝0时刻，金属杆紧靠在P、Q端，在外力作用下，杆以恒定的加速度从静止开始向导轨的另一端滑动，求在t＝6s时金属杆所受的安培力大小。 ( P Q )【答案】1.44×10−3N 【解析】t时刻通过电路的磁通量 感应电动势等于对t的变化率，即 导轨的电阻 则安培力 ( A D B C E O )【例32】如图所示，竖直面内有一个由柔软细导线制成的闭合导线框ACDEA挂在两固定点A、D上，水平线段AD为半圆的直径。一重物通过一光滑小滑轮挂在导线框的E处，使导线处于绷紧状态。半圆形区域内有磁感应强度大小为B、方向垂直于线框平面水平向里的匀强磁场。设导线框的电阻为r，圆的半径为R，用笔尖控制导线上的C点以恒定角速度ω（相对圆心O）缓慢从A点沿圆弧移向D点，若不考虑导线中电流间的相互 作用及安培力对导线形状的影响，则下列说法正确的是（ ） A．在C从A点移向D点的过程中，导线中的张力先变大后变小 B．当C移动到圆心O的正上方时，导线框中的感应电动势最大 C．在C从A点移动到∠ADC＝30°的过程中，通过导线的电荷量为 D．在C从A点移动到D点的过程中，导线框中产生的电热为 【答案】AD 【解析】经时间t，圆半径OC转过的角度θ＝ωt，此时DC与圆直径所成角度为θ/2 A：导线AC与DC的总长度 当θ＝90°时，AC+DC长度最大，则AE+DE长度最小，滑轮E位置最高，导线AE与DE夹角最大，张力最大 ( A D B C E O θ θ /2 )所以，导线内的张力先变大后变小，A对； B：电路在磁场中的三角形面积 则磁通量 对时间求导即为感应电动势，即感应电动势 电路中产生的是正弦交变电流，时，B错； C：∠ADC＝30°时θ＝60°，电路在磁场中的面积 则电荷量，C错； D：感应电动势最大值，电流时间 则产生的电热，D对 4．根据某量导函数求本量的极值及增减性 ( A B C D O )【例33】如图，空间中A、B、C、D四个点，任意两点之间的距离均为L，B、C、D三点分别固定电荷量均为Q的正点电荷。O为三角形BCD的中心，规定无限远处电势为0，下列说法正确的有（ ） A．O处场强为0，电势也为0 B．A处场强大小为 C．电子以一定的初动能从O点沿OA方向飞出，电子一定做往返运动 D．电子从A处由静止释放，在向O点运动的过程中电势能减小，加速度先增大后减小 【答案】BD 【作业】 班次 座次 姓名 ( Q α R 1 R 2 C O )1．如图所示，某容器的横截面为透光圆环形，外圆与内圆半径分别为R1、R2。 一细束单色光平行于横截面方向从外圆上的P点入射，当入射角α＝30°时，折射光 线到达内圆上的Q点恰好发生全反射，下列说法正确的有（ ） A．外圆与内圆半径之比 B．外圆与内圆半径之比 C．容器材料的折射率 D．无法确定容器材料的折射率 ( α R 1 R 2 O α )【答案】BD 【解析】二级结论法（例16） α＝30°的光线恰好在内圆上发生全反射，则光线的延长线与内圆相切，则 ，A错B对 在内圆上发生全反射与折射率无关，C错D对。 2．一汽车做极限加减速测试，可简化为下述情境：先从静止开始做匀加速直线运动，然后刹车做匀减速直线运动，直到停止。整个过程的v－t图像如图所示。下列速度v和位移x的关系图像中，能描述该过程的是（ ） ( O t v O x v O x v O x v O x v A． B ． C ． D ． ) 【答案】A ( O x a b y )3．如图所示，水平地面上有一条水渠，其竖直横截面为y＝kx2的抛物线（k＝1，单位为m−1），ab沿水平方向，a点的横坐标为-1.5s，从a点分别以初速度v0、2v0（v0未知）沿ab方向抛出两个小石子P、Q并击中渠壁，且P、Q做平抛运动的时间相等，设时间为t，击中渠壁瞬间的速度分别为v1和v2，下落高度为H（仅s和重力加速度g为已知量），则（选项中只考虑数值大小，不考虑量纲）（ ） A．可以求出t的大小为 B．可以求出t的大小为 C．可以求出v1的大小为 D．可以求出H的大小为2s 【答案】B ( L )4．（微元法）如图所示，一根质量分布均匀的长柔软链条悬挂在天花板上，其下端正好 接触地板。若松开悬点，让链条自由下落，链条着地不反弹。在下落过程中，链条对地板的作 用力大小等于已落在地板上的那段链条重力的（ ） A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．5倍 【答案】B 【解析】设链条单位长度的质量为m0。 当链条已有长度为l的部分落在地板上时： 已落在地板上的链条重力G＝m0lg，空中部分当时已下落的高度为l，当时下落的速度 从当时开始取一段极短的时间∆t，在这段时间内链条下端有一小段与地板作用速度变为0 设这一小段与地板碰撞受地板的作用力为F，对这一小段用动量定理，得： 因∆t极小，则，则链条对地板的作用力，B正确 ( E r S R R x 甲 乙 3 R 1 R 2 R x / Ω O P /W P 2 P 1 )5．（积定和最小，或直接利用二级结论）如图甲所示的电路中，电源电动势E＝6V、内阻r＝2Ω，定值电阻R＝4Ω，已知滑动变阻器消耗的功率P与其接入电路的有效阻值Rx的关系 如图乙所示。则下列说法中正确的是（ ） A．图乙中R1＝6Ω，R2＝12Ω B．图乙中滑动变阻器的最大功率P2＝2W C．滑动变阻器消耗功率最大时，定值电阻R消耗功率也最大 D．外电路的功率最大时，电源的效率最高 【答案】A ( P Q M N θ B v 0 )6．如图所示，倾角为θ的光滑ㄇ形足够长平行导轨固定，电阻可忽略。一长度略大于导轨 间距的金属杆垂直于导轨放置，与两导轨接触良好，接入回路的电阻为R，匀强磁场垂直于导 轨平面向上。现给金属杆平行于导轨向上的初速度v0，金属杆在沿导轨向上运动到最高点的过 程中，下列关于速度大小v及加速度大小a与时间t的关系图像，可能正确的是（ ） ( t O v A． t O v B ． t O a C ． t O a D ． ) 【答案】BD ( F A B )7．如图所示，A、B两物块静止在水平地面上，用不可伸长的细线连接。细线 刚好水平伸直，用光滑挂钩钩住细线的中点，用竖直向上的拉力F缓慢拉挂钩，两 物块与水平面间的动摩擦因数相等，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，A的质量大于 B的质量，不计挂钩的重力，则在F缓慢增大的过程中（ ） A．B先滑动，A后滑动 B．B先滑动，A始终不动 C．B滑动后，细线上的张力越来越大 D．B滑动后，拉力F越来越大 【答案】BD 【解析】 AB：因A受的最大静摩擦力大于B受的最大静摩擦力，所以，随着F缓慢增大，B先滑动 B滑动后，设某时刻细线与水平方向夹角为θ细线内的拉力大小为T ( F m B g m A g F NB F NA Tcos θ Tcos θ f Bmax f Amax T T T T θ θ )据B受力平衡，得 （1） 同理，A的最大静摩擦力 因mA＞mB，则＞，所以A始终不动，A错B对； C：由（1）得（其中） 当θ+φ＝90°时T最小，则θ由0缓慢增大到90°的过程中，T先减小后增大，C错； D：由挂钩受力平衡得，随着θ增大，F也增大，D对。 8．（2022年浙江卷）如图所示，学校门口水平地面上有一质量为m的石墩，石墩与 水平地面间的动摩擦因数为μ，工作人员用轻绳按图示方式匀速移动石墩时，两平行轻绳与 水平面间的夹角均为θ，则下列说法正确的是（ ） A．轻绳的合拉力大小为 B．轻绳的合拉力大小为 C．减小夹角θ，轻绳的合拉力一定减小 D．轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力也最小 【答案】B 【解析】AB：对石墩受力分析，由平衡条件可知，， 联立解得，故A错B对； C：拉力的大小为 其中，可知当θ＋φ＝90°时，拉力有最小值，即减小θ，T不一定减小，故C错； D：摩擦力大小为 可知增大θ，f一直减小；当θ趋近于90°时，f最小，并非T最小时f最小，故D错。 ( + Q + Q - q A B C )9．（类三角函数）如图所示，相距为2L的A、B两点各固定电荷量为Q的正点电荷，在A、B两点连线的中垂面上C点处，有质量为m、电荷量为-q的粒子刚好可以绕O点在垂直于连线AB的平面内做匀速圆周运动，轨道半径为L，粒子重力不计，静电力常量为k。则下列说法正确的有（ ） A．C处的电场强度为 B．粒子在C处绕做匀速圆周运动的速率为 C．若粒子做匀速圆周运动的轨道半径增大，则其加速度an增大 D．若粒子做匀速圆周运动的轨道半径增大，则其加速度an减小 【答案】D 10．如图所示，倾角θ＝30°，顶端固定光滑滑轮的斜面体放置在水平面上， 一跨过滑轮的轻质细绳，一端悬挂质量为m的重物A，另一端与斜面上质量 为2m的物块B相连，滑轮与物块B之间的细绳平行于斜面。现用外力F缓 慢拉动细绳上的结点O，使细绳OO′部分从竖直拉至水平，整个过程中始终 保持外力F的方向与细绳OO′的夹角α＝120°不变，且细绳OO′部分始终拉直， 物块B和斜面体始终处于静止状态，下列说法正确的是（ ） A．细绳OO′的拉力先增大后减小 B．斜面对物块B的摩擦力一直增大 C．外力F一直增大 D．地面对斜面体的摩擦力先增大后减小 【答案】ACD 【解析】 AC：结点O受到两段细绳的拉力和外力F，其中OA段拉力等于mg 根据拉密定理有 mg和α都不变，结点O转动至水平的过程中： β角从钝角一直减小到直角，可得F逐渐增大， γ角从60°一直增大到150°，绳子的拉力F1先增大后减小，故AC正确； B：物块B受重力2mg、绳子的拉力F1、支持力NB和摩擦力fB的作用， 物块B沿斜面方向受力平衡，则 由于绳子的拉力F1先增大后减小，所以斜面对B的摩擦力不可能一直增大，故B错误； D：对A、B及斜面整体受力分析，地面对斜面体的摩擦力大小等于外力F在水平方向的分力，为： 利用数学的积化和差公式可得 β角从180°一直减小到90°，F水平先增大后减小，所以摩擦力也是先增大后减小，故D正确。 11．如图所示，内壁光滑的四分之一圆弧轨道BC竖直固定放置，轨道半径为R0，圆心为A点，AB、AC分别是竖直半径和水平半径。现让光滑水平面上的小球获得一个水平向右的速度v0（未知量），小球从A点离开后运动到圆弧上的D点，重力加速度为g，小球可视为质点，下列说法正确的是（ ） A．若∠BAD＝θ，小球运动到D点时速度与水平方向的夹角为β，则有 B．若小球从A到D运动时间为，则 C．改变v0的大小，小球落到圆弧BC上的速度最大值为 D．改变v0的大小，小球落到圆弧BC上速度的最小值为 【答案】BD 【解析】 A：设，则平抛运动位移的偏转角为 当速度的偏转角为时，根据平抛运动的推论，可得 综合可得，故A错误； B：小球从A到，由平抛运动的规律可得， 由几何关系可得 综合解得，故B正确； CD：若让小球从A点以不同初速度水平向右抛出，则小球刚到达某点点时的速度为 结合，， 综合可得 由数学知识（积定和最小）可得 则的最小值为，故C错误，D正确。 ( y /m x/m O 挡板 )12．（积定和最小）如图所示，以O为原点在竖直面内建立平面直角坐标系。第IV 象限挡板形状满足方程，小球从第II象限内一个固定的光滑圆弧轨道上 某处由静止释放，通过O点后做平抛运动，击中挡板上的P点时动能最小（P点未画 出），重力加速度大小g＝10m/s2，不计一切阻力，下列说法正确的是（ ） A．P点的坐标为（m，－1m） B．小球释放处的纵坐标为y＝1m C．小球击中P点时的速度大小为5m/s D．小球击中P点时的速度垂直于挡板 【答案】A 【解析】设平抛初速度为v0，则平抛的轨迹方程为 与挡板的方程组成方程组，解得P点的纵坐标 则小球落到P点时的速度满足 由不等式性质知：时最小 ≥ 则的最小值，C错； A：P点的纵坐标： P点的横坐标x：，A正确； B：从释放到平抛由动能定理得：，B错误； D：求导法。 轨迹方程为，在P点处的切线斜率 挡板方程为，在P点处的切线斜率 ，则小球击中挡板时的速度不垂直于挡板，D错误。 13．如图所示，气缸A与抽气筒B导热良好并用细管（不计内部体积）连接，A的容积为B的3倍，A中装有压强为p0、质量为m0的理想气体，活塞C可沿气筒B滑动且保持良好的气密性。抽气筒B有两个阀门K1和K2，当向右拉活塞时，K1打开K2关闭，气缸A中的部分气体进入气筒B中；当向左推活塞时，K1关闭K2打开，气筒B中的气体全部排出到空中。开始时活塞位于气筒B的最左端，若环境温度保持不变，外界大气压为p0。求： （1）第一次将活塞缓慢拉到气筒B的最右端时，气缸A内气体的压强； （2）将活塞缓慢拉到气筒B的最右端，再缓慢推回到最左端。如此重复n次（包括第一次）后，气缸内气体的质量。 【答案】 ( A B C K 1 K 2 )（1）；（2） 14．（积定和最小）如图所示，一轻质弹簧的左端固定在小球B上，右端与小球C接触但未拴接，球B和球C静止在光滑水平台面上（此时弹簧处于原长）。小球A从左侧光滑斜面上距水平台面高度为h处由静止滑下（不计小球A在斜面与水平面衔接处的机械能损失），与球B发生正碰后粘在一起，碰撞时间极短，之后球C脱离弹簧，在水平台面上匀速运动并从其右端点O水平抛出，落入固定放置在水平地面上的竖直四分之一光滑圆弧轨道内，该段圆弧的圆心在O点，半径为R＝h。已知三个小球A、B、C均可看成质点，且质量分别为m、2m、m，重力加速度为g，不计空气阻力和一切摩擦。 （1）求弹簧具有的最大弹性势能； （2）若改变圆弧轨道的半径，使R'＝2h，A球质量变为多大，C球落到圆弧面上时动能最小？ ( h A B C O x y R P )【答案】（1）；（2）3m ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届物理总复习·二轮·方法突破 方法01 数学法：成就物理需要扎实的数学功底 目 录 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 （一）基本不等式（均值不等式）分析法 1．积定和最小类型 2．和定积最大类型 （二）二次式分析法 1．二次函数 2．二次方程 ▲重要技巧：用根的判别式求极值 3．二次不等式 （三）三角函数分析法 1．与类三角函数 2．倍角与半角类三角函数 （典型：sinθcosθ类型） 3．类三角函数 4．类三角函数 5．正弦定理（拉密定理）的应用 （1）数学知识 （2）拉密定理 （3）重要结论 ▲力的动态分析秒杀技法 ▲光的全反射重要的二级结论 6．余弦定理的应用 （四）圆锥曲线方程与性质 1．抛物线方程 2．椭圆方程 3．双曲线方程 （五）数列分析法 1．递推法 2．累加法 3．通项法 4．过程整体法 5．无穷递缩等比数列所有项求和 （六）微元积分法 （七）求导法 1．位移对时间求导表示速度 2．速度对时间求导表示加速度 3．磁通量对时间求导表示感应电动势 4．根据某量导函数求本量的极值及增减性 【作业】 $$ 2025届物理总复习·二轮·方法突破 方法01 数学法：成就物理需要扎实的数学功底 （一）基本不等式（均值不等式）分析法 基本不等式：若a、b∈R，则≥，即≤ 均值不等式：若a、b∈R⁎，则≥（a＝b时取“＝”号） 若a、b∈R⁎，则≤（a＝b时取“＝”号） 几个正数之积为定值，则它们相等时和最小（积定和最小） 几个正数之和为定值，则它们相等时积最大（和定积最大） 极值条件：一正二定三相等 常用结论： （1）若x＞0，则≥2（当且仅当x＝1时取“＝”） （2）若x＜0，则≤－2（当且仅当x＝－1时取“＝”） （3）若ab＞0，则≥2（当且仅当a＝b时取“＝”） （4）若a、b∈R，则≤≤（当且仅当a＝b时取“＝”） （5）若a、b∈R⁎，则≤≤≤（当且仅当a＝b时取“＝”） 1．积定和最小类型（几个正数之积为定值，则它们相等时和最小） ( h 53 ° v 0 P Q )【例1】如图，跳台高度为h，在跳台上，某跑酷运动员（视为质点）以不同的初速 度v0从斜坡最低点的正上方水平跳向对面的斜坡，斜坡的倾角为53°，不计空气阻力， 重力加速度为g，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，则该运动员落到斜坡上的最小速度为（ ） A． B． C． D． 【例2】如图（a）所示电路，当变阻器的滑动片从一端滑到另一端的过程中两电压表的读数随电流表读数的变化情况如图（b）中的AC、BC两直线所示，不考虑电表对电路的影响。 （1）定值电阻R0的阻值为多大？ （2）电源的电动势和内阻分别为多少？ （3）变阻器滑动片从一端滑到另一端的过程中，变阻器消耗的最大电功率为多少？ 2．和定积最大类型（几个正数之和为定值，则它们相等时积最大） ( 甲 乙 )【例3】质量相同的甲、乙两光滑小球（均视为质点）用轻直杆连接，乙球处于光滑水平地面上， 甲、乙两球均与竖直墙壁接触而处于静止状态，如图所示。由于微小的扰动，乙球开始沿水平地面向 右滑动。以水平地面为参考平面，当甲球的机械能最小时，杆与竖直方向夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【例4】如图所示，足够长光滑水平面AB与竖直面内的粗糙半圆形轨道在B点平滑相接，轨道半径为R。一个质量为m的物体将弹簧压缩缩至A点后由静止释放，在弾力作用下物体获得一定速度后脱离弹簧，它经经过B点的速度为v1，之后沿半圆形轨道运运动，到达C点的速度为v2。C点为半圆形轨道最高点，重力加速度为g。 （1）求弹簧压缩至A点时的弾性势能。 （2）求物体沿半圆形轨道运动过程中阻力所做的功。 ( A B O C R m )（3）如果半圆形导轨为光滑轨道，改变圆弧弧半径，使物体通过最高点C后做平抛运运动，落到AB所在的水平面上，求落点与B点的的最远距离。 （二）二次式分析法（二次函数、二次方程、二次不等式） 1．二次函数 （1）函数图象： ①a＞0时：开口向上的抛物线，有最小值 ②a＜0时：开口向下的抛物线，有最大值 （2）对称轴方程：x＝－ （3）顶点坐标：（－，） ①a＞0时：有最小值 ②a＜0时：有最大值 【例5】人们有时用“打夯”的方式把松散的地面夯实。设某次打夯符合以下模型：如图所示，两人同时通过绳子对重物各施加一个恒力，力的大小均为F＝500N，方向都与竖直方向成θ＝37°角，重物离开地面H后人停止施力，最后重物自由下落把地面夯实h深度。设重物的质量为m，打夯时重物对地面的平均冲击力为f＝1.05×104N，g取10m/s2。 （1）若H＝50cm，m＝50kg，求重物落到地面时的速度v； （2）若H＝（50kg≤m≤60kg，k＝25kg·m），求重物把地面夯实的最大深度hm。 2．二次方程 （1）求根公式：（熟练掌握和应用） （2）根的判别式： ①∆＞0：有两个不等的实数解（物理问题的多解状态，如往返运动经同一位置的状态） ②∆＝0：有一个实数解（重根状态，往往为物理问题的极值状态） ③∆＜0：无实数解（如物理运动学问题，无实数解，一般表示不相遇、不相碰） ▲重要技巧：用根的判别式求极值 （3）韦达定理：两根之积；两根之和 （4）物理问题中，注意两根的物理意义 特别要注意负根在表示矢量或标量方面的物理意义，两个正根也不一定都有意义 在刹车类问题中，如果时间有大小两个正根，往往大的无意义 【例6】某学生投实心球训练，以探究水平射程跟抛射角的关系，扔球速度为12m/s，出手高度为1.25m，重力加速度g＝10m/s2，则他扔球后球的落点到出手点的水平距离可能为（ ） A．12m B．12.5m C．15m D．18m ( v 0 v 1 37 ° 甲 x/m 10 8 0 1.0 t 0 t/s 乙 )【例7】如图甲所示，倾角为37°、足够长的传送带以恒定速率v1沿顺时针方向转动。一小煤块以初速度v0＝12m/s从传送带的底部冲上传送带，规定沿传送带斜向上为煤块运动的正方向，该煤块运动的位移x随时间t的变化关系如图乙所示。已知图线在前1.0s内和在1.0s～t0内为两段不同的 二次函数，t0时刻图线所对应的切线正好水平，重力加速 度g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则（ ） A．传送带转动速率v1为8m/s B．图乙中t0的数值为2.0 C．0～t0内煤块在传送带上的划痕长度为6m D．煤块与传送带之间的动摩擦因数为0.25 3．二次不等式 （三）三角函数分析法 ▲三角函数常用变换公式、三角函数变化规律及其他基本性质（略） 诱导公式：奇变偶不变，符号看象限 【例8】某同学在操场练习掷铅球，第一次以速度v0水平掷出铅球，第二次以与水平方向成α角斜向上掷出铅球，结果铅球都落到了P点。已知铅球两次出手时的高度和速度大小均相同，两次铅球的 水平射程均为x，重力加速度大小为g，则铅球出手时的高度为（ ） A． B． C． D． 1．与类三角函数（两角和与差的三角函数） 两角和与差的三角函数： 和差化积：（口诀从左往右看） （正弦加正弦，正弦在前面） （正弦减正弦，正弦在后面） （余弦加余弦，余弦肩并肩） （余弦减余弦，余弦全不见） 积化和差：（口诀从右往左看） （正弦加正弦，正弦在前面） （正弦减正弦，正弦在后面） （余弦加余弦，余弦肩并肩） （余弦减余弦，余弦全不见） 【例9】如图所示，大炮在山脚直接对着倾角为α＝30°的斜坡发射炮弹，重力加速度为g，炮弹初速度为v0，要使炮弹打到斜坡上尽可能远的地方，则炮弹初速度方向与斜坡的夹角为多少？打到斜坡上的最远距离为多少？ ( α O v 0 ) 2．倍角与半角类三角函数（典型：sinθcosθ类型） 倍角公式： ； 半角公式： ，；，； ， 降幂公式： ， 万能公式： ；； ( O 1 L 3 L /4 O 2 ) ( D C B t F O t F O t O F t F O A )【例10】做如图所示的单摆实验，将摆长为L的单摆上端固定在O1点处，下端连接一小球 （视为质点），在O1点正下方3L/4的O2处有一固定细钉。将小球向左拉开，使细绳与竖直方 向成一小角度（约为5°）后由静止释放，当小球摆至最低位置时，细绳会受到铁钉的阻挡（无 机械能损失）。不计空气阻力，设小球在运动过程中受到的回复力为F，则下列图像中，能描述 小球在开始的一个周期内的F－t关系的是（ ） 3．类三角函数 辅助角公式：，其中辅助角φ满足。 ( θ β P F )当α＋φ＝90°时，有极大值。 【例11】如图，倾斜角θ＝30°的传送带沿逆时针方向匀速转动，一质量为m的物块P 用细线拉着在传送带上保持对地静止。物块与传送带间的动摩擦因数，调整细线 的方向，当细线拉力最小时，细线与水平方向的夹角β等于（ ） A．0° B．30° C．60° D．90° 【例12】如图，倾角为37°的斜面足够长，从斜面上b点正上方2.5m处的a点， 以2m/s的速率抛出一个小球，方向不定，且小球的轨迹与abO在同一竖直平面内， 取g＝10m/s2，sin37°＝0.6，则小球落回斜面的最长时间为（ ） A．0.5s B．1s C．1.5s D．2s 4．类三角函数 （1）均值不等式法 ( L m O )（2）求导法 【例13】如图所示，用一长为L细线连接一质量为m的小球悬挂于O点，将小球 拉至细线水平，由静止释放小球，求小球在摆至最低点过程中其重力做功的最大功率。 ( C A B D P O )【例14】如图所示，正方形ABCD的对角线长为2a，在A、C两点分别放置电荷量为＋q的点电荷，P为正方形ABCD外接圆上任意一点，O为外接圆的圆心，静电力常量为k，下列说法正确的是（ ） A．B、D两点的电场强度相同 B．将负电荷沿直线由B移到D的过程中，电场力先做正功后做负功 C．对角线BD连线上电场强度E的最大值为 D．若两点电荷在P点的电场强度大小分别是E1、E2，则为定值 ( A B C a b c ) 5．正弦定理（拉密定理）的应用 （秒杀技法：“对角垂直力最大”！记住该结论，动态分析5s得解） ( 0 90 ° 60 ° 120 ° 1 θ 180 ° sin θ )（1）数学知识： ①正弦定理：如图所示的△ABC中， ② ③正弦函数在0°～180°范围内的图象及增减性如右图所示 ( F 1 F 2 F 3 θ 1 θ 2 θ 3 θ 2 θ 1 θ 3 F 1 F 2 F 3 ) （2）拉密定理：一物体受三个共点力作用而平衡，则各 力与对角的正弦之比相等，即： （3）重要结论：在存在“恒力对恒角”的情况下，对于两个变力，记住口诀“对角垂直力最大” ( 恒力 恒角 （ θ 1 ＝ 90 ° 时 F 1 最大）（ θ 1 偏离 90 ° 越远，则 F 1 越小） （ θ 2 ＝ 90 ° 时 F 2 最大）（ θ 2 偏离 90 ° 越远，则 F 2 越小） ) ①一个力的对角能够在变化过程中（不是起、止时刻）垂直，则这个力一定是先变大后变小 ②对角趋近垂直时力增大，远离垂直时力变小 规律来由：存在一对“恒力对恒角”时（如前面的表达式中，假设F3与θ3恒定），则每个力与对角的正弦之比为定值。由此可知，某个对角为90°时分母的正弦最大，所以分子中的力也最大。 ▲“恒力对恒角”，如果所对的“恒角”为直角，则直接用矢量作图法也比较简单 ( O A B )【例15】如图所示，将两块光滑平板OA、OB固定连接，构成顶角为60°的楔形槽， 楔形槽内放置一质量为m的光滑小球，整个装置保持静止，初始时OA板在水平地面上， 现使楔形槽绕O点顺时针缓慢转动至OA板竖直，则转动过程中（ ） A．初始时OA板对小球的作用力最大 B．转过30°时OA板对小球的作用力最大 C．转过60°时OB板对小球的作用力最大 D．转过90°时OB板对小球的作用力最大 ( 1 2 )【例16】我国已在空间站中实施了多次“天宫课堂”面向全国公众直播， 大家对其中的水球光学实验印象深刻。如图所示，在完全失重环境下，从水袋 中挤出一个大水球漂浮在空中，然后用针管将气体注入水球中，最终形成一个 外半径为R内半径为r的均匀水球壳。用两条离中心轴线远近不同的平行光线 1和2在水球的轴截面内照射水球，若光线1刚好在水球内表面发生全反射， 且光线2投射到内表面上，则下列说法正确的有（ ） A．光线2在水球内表面一定发生全反射 B．光线1进入水球前到中心轴线的距离一定等于r C．光线1进入水球前到中心轴线的距离与R和r的具体大小有关 D．若换用同样形状和大小的玻璃球壳，只是折射率发生了变化，其他方面都不变，光线1仍然刚好发生全反射 ( r R α α β θ r ) ▲重要的二级结论： 光线从空心球壳之外沿内表面的切线方向射入，则刚好在内表面上 发生全反射，而与内外半径的大小及介质折射率无关。 证明：由正弦定理得 由此可见，光线折射进球壳后投射到内表面上的入射角θ正好等于临界角C，刚好发生全反射，而与R、r及n无关。离轴线距离小于r的光线能够进入空腔，大于r的光线不能进入空腔。 6．余弦定理的应用 （四）圆锥曲线方程与性质（圆、椭圆、抛物线、双曲线） 1．抛物线方程 【例17】（抛物线方程、积定和最小）如图所示，一个方向竖直向下的有界匀强电场，电场强度大小为E。匀强电场左右宽度和上下宽度均为L。一个带正电荷的粒子（不计重力）从电场的左上方O1点以某一速度水平向右进入电场，该粒子刚好从电场的右下方A点离开电场；另一个质量为m、带电荷量为―q（q＞0）的粒子（不计重力）从电场左下方O2点水平向右进入电场，进入电场时的初动能为Ek0。已知图中O1、O2、A在同一竖直面内，设O1点为坐标原点，水平向右为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，建立坐标系（图中未画出），不计粒子间的相互作用。 （1）求带正电荷的粒子的运动轨迹方程 （2）求带负电荷的粒子运动到“带正电荷粒子的运动轨迹”处的动能 （3）当带负电荷的粒子进入电场的初动能为多大时，它运动到“带正电荷粒子运动轨迹”处时的动能最小？动能的最小值为多少？ ( O 2 L E A O 1 L ) ( x F 1 F 2 c a b a y O )2．椭圆方程 焦点在x轴是的椭圆方程： a：半长轴；b：半短轴；c：半焦距。 椭圆上的任意点到两焦点的距离之和为定值，和为 ( x y A C B D F 1 F 2 E F H G O + q 0 + q 0 )【例18】如图所示，在一个椭圆的两个焦点F1和F2上分别固定一个带电量为q0的正点电荷，在图示坐标系中，椭圆方向为（a＞b＞0），E、F、G、H为椭圆上关于原点O中心对称的四个点。已知点电荷Q所激发的电场中某点的电势公式为，其中Q是点电荷的电量，r是电场中该点 到点电荷的距离，k为静电力常量。则下列说法正确的有（ ） A．E点和G点场强相同 B．一正的试探电荷沿ABC运动，电场力先做正功后做负功 C．从B沿直线运动到D，场强先减小后增大 D．椭圆上各点电势的最大值为 【例19】（2023年湖南卷）如图，质量为M的匀质凹槽放在光滑水平地面上，凹槽内有一个半椭圆形的光滑轨道，椭圆的半长轴和半短轴分别为a和b，长轴水平，短轴竖直．质量为m的小球，初始时刻从椭圆轨道长轴的右端点由静止开始下滑。以初始时刻椭圆中心的位置为坐标原点，在竖直平面内建立固定于地面的直角坐标系xOy，椭圆长轴位于x轴上。整个过程凹槽不翻转，重力加速度为g。 （1）小球第一次运动到轨道最低点时，求凹槽的速度大小以及凹槽相对于初始时刻运动的距离； （2）在平面直角坐标系xOy中，求出小球运动的轨迹方程； （3）若，求小球下降高度时，小球相对于地面的速度大小（结果用a、b及g表示）。 ( 一对等量异性点电荷的电场线和等势面 波的干涉示意图 )3．双曲线方程 平面上两列相同的波形成稳定 的干涉图样，振动加强（振动减弱） 的点呈现双曲线分布规律。 一对等量异性点电荷的电场中， 一个平面上的等势线不为双曲线， 也不为椭圆和圆。 （五）数列分析法（递推法、累加法、通项法、过程或对象整体法） 等差数列前n项求和公式：Sn＝＝na1＋d（d为公差） 等比数列前n项求和公式：Sn＝（q为公比，q≠1） 无穷递缩等比数列所有项求和公式：S＝（q为公比，0＜|q|＜1） 1．递推法 技巧：从前往后依次推导，推导几项之后发现规律，依据规律得出最终结论。 经验：无论处理什么样的物理问题，尽量避免使用递推法。使用递推法主要有三大劣势： ①推导麻烦。用递推法，一般要推导三四项才能准确找到规律。 ②很多问题不易找到正确的规律。根据少数的三四项，而且很多问题中推导出的前几项表达式复杂，往往难以发现规律。 ③不能确保你所找到的规律是否正确。从理论上讲，用不完全归纳法找到的规律到底是否正确，应该用数学归纳法加以证明。但如果又增加一个数学归纳法的证明过程，问题的处理就更麻烦了。 【例20】如图所示，在足够大的光滑绝缘水平面上静止着两个质量均为m、相距为L的小球A和B，小球A带＋q的电荷量，小球B不带电。若沿水平向右的方向加一场强大小为E的匀强电场，A球将受力而运动，并与B球反复发生弹性碰撞（碰撞时间不计），碰后两球速度交换，若碰撞过程中无电荷转移，求： ( E A B ＋ q )（1）A与B第一次碰后瞬间B球的速率； （2）从A开始运动到两球第二次相碰经历多长时间； （3）两球从第n次碰撞到第n＋1次碰撞时间内A球所通过的路程。 【例22】 ( F … )（递推法或累加法）（注意：本问题不能用过程整体法，为什么？）如图所示，有很多块质量都为的木块互相紧靠着沿一直线排列于光滑水平面上，每相邻两块木块间均用长为L的柔软轻线连接着。现用一恒力F沿排列方向拉第一块木块，以后各木块依次被拉动。求第n块木块刚被拉动时的速度大小。 2．累加法 技巧：通项由正、负两部分组成，且两部分与前、后项存在一定的规律性，或构成等差等比数列，等等，往往可用累加法相抵消，或用求和公式处理 【例22】（1）将一条足够长的直线轨道依次分为长度均为s＝3m的各段。一质点从一端由静止出发沿该轨道运动，第一段的加速度a1＝2m/s2，以后每次经过等分点时加速度均突然变为前一段的，则质点的终极速度为 m/s； （2）若以加速度a1＝2m/s2由静止出发做匀加速度直线运动，每经过t＝2s的时间后加速度变为前面过程的，则质点的终极速度为 m/s。 【例23】超市里用的购物车为顾客提供了购物方便，又便于收纳。收纳时一般采用完全非弹性碰撞的方式把购物车收到一起，如图甲所示。某兴趣小组在超市对同款购物车（以下简称“车”）的碰撞进行了研究，分析时将购物车简化为可视为质点的小物块，已知车的净质量m＝15kg，g＝10m/s2。 （1）首先测车与超市地面间的动摩擦因数：取一辆车停在水平地面上，现给它向前的水平初速度v0＝2m/s，测得该车能沿直线滑行x0＝2m，求车与超市地面间的动摩擦因数µ； （2）取编号为A、B的车，B车装上m0＝15kg的货物后停在超市水平地面上，空车A的前端装上轻弹簧，将A车停在B车的正后方且相距x＝5.5m处。现给A车施加向前的水平推力F0＝75N，作用时间t0＝1s后撤除。设A车与B车间的碰撞为弹性正碰（忽略相互作用时间），两车所在直线上没有其他车，求在A车运动的全过程中A车与地面间产生的摩擦热； （3）如图乙所示，某同学把n（n＞2）辆空车等间距摆在超市水平地面上的一条直线上，相邻两车间距d＝1m，用向前的水平恒力F＝300N一直作用在1车上，推着1车与正前方的车依次做完全非弹性正碰（碰撞时间极短），通过计算判断，他最多能推动多少辆车？ [数列求和公式：，] 3．通项法 技巧：直接选定通项求解 【例24】如图所示，一排人站在沿x轴的水平轨道旁，原点O两侧的人序号都为n（n＝l、2、3、…）。每人只有一个沙袋。x＞0一侧的每个沙袋质量为m＝14kg；x＜0一侧的每个沙袋质量为m'＝10kg。一质量为M＝48kg的小车以某初速度从原点出发向正x方向滑行。不计轨道阻力。当车每经过一人身旁时，此人就把沙袋以水平速度u朝与车速相反的方向沿车面扔到车上，u的大小等于扔此袋之前的瞬间车速大小的2n倍（n是此人的序号数）。 ( x )（1）空车出发后，车上堆积了几个沙袋时车就反向滑行？ （2）车上最终有大小沙袋共多少个？ 4．过程整体法 技巧：取所有对象、对整个过程，根据物理原理及规律一起分析处理 【例25】如图所示，质量M＝10kg，上表面光滑的足够长木板在水平拉力F＝50N作用下，以v0＝5m/s的初速度沿水平地面向右匀速运动，现有足够多的小铁块，它们质量均为m＝1kg，将一铁块无初速度地放在木板最右端，当木板运动了L＝1m时，又无初速度地在木板最右端放上第二个铁块，只要木板运动了1m就在木板最右端无初速放一铁块。 ( m F M )（1）第一个铁块放上后，木板再运动1m时，木板的速度多大？ （2）最终有几个铁块留在木板上？ （3）最后一个铁块与木板右端距离多大？（g取10m/s2） 5．无穷递缩等比数列所有项求和 ( A B P v 0 )【例26】如图所示，物块A的质量mA＝3kg，足够长的平板小车B的质量mB＝1kg，B置于光滑的水平地面上，B的右端离右边的竖直墙壁P足够远，A与B之间的动摩擦因数μ＝0.2。A以v0＝4m/s的水平初速度向右滑上B的左端，B每一次都是在与A共速后再与墙壁发生碰撞，且每一次碰后B都是以原速率向左反弹。不计碰撞时间，求B与墙壁发生第一次碰撞后直至最终停止，小车B走过的总路程。 （六）微元积分法 【例27】水上飞行器表演如图所示，经软水管向上抽的水与飞行器踏板下表面接触后， 在极短时间内以等大速度反弹并从喷水孔竖直向下喷出。已知飞行器总质量m＝5kg，两个 喷水孔的喷口直径均为d＝6.0cm，表演者质量M＝75kg，水的密度ρ＝1.0×103kg/m3，取重 力加速度g＝10m/s2，不计浮力。当表演者和装备悬停在空中时，喷水速度约为（ ） A．2m/s B．8m/s C．15m/s D．21m/s 【例28】用高压水枪清洗汽车，水枪出水口直径为D，水流以速度v从枪口喷出近距离垂直喷射到车身，所有喷到车身的水流，约有75％向四周溅开，溅起时垂直车身向外的速度为，其余25％的水流撞击车身后无反弹顺车流下。由于水流与车身的作用时间较短，在分析水流对车身的作用力时可忽略水所受的重力。已知水的密度为ρ，则（ ） A．水枪喷水的功率为 B．水枪喷水的功率为 C．水流对车身的平均冲击力约为 D．水流对车身的平均冲击力约为 【例29】如图所示，平行且光滑的金属导轨水平固定，间距L＝2m，虚线与导轨垂直，其右侧存在磁感应强度大小B＝0.5T、方向竖直向下的匀强磁场。质量m＝1kg的金属棒垂直于导轨放置在虚线左侧，距虚线的距离d＝0.5m，导轨左端接一阻值R＝1Ω的电阻，其余电阻忽略不计。某时刻对金属棒施加一大小F＝4N的向右的恒力，金属棒始终与导轨垂直且接触良好，在磁场中运动s＝2m的距离后达到匀速。求金属棒从开始进入磁场经多长时间达到匀速。 ( R F d B ) （七）求导法 函数的导数就是变化率，反映一个量随时间或随空间等因素的变化快慢。 高中物理中导数或导函数的应用常用的主要有以下几种： 1．位移对时间求导表示速度 2．速度对时间求导表示加速度 【例30】如图所示，光滑矩形金属轨道上端连接电容为C的电容器，轨道宽度为L、倾斜角为θ。轨道上有一质量为m与轨道垂直的金属杆MN可以在轨道上自由滑动。整个系统处于与轨道平面垂直的匀强磁场B中，忽略整个系统的电阻，求金属杆从静止释放后沿轨道滑动距离d所需的时间。 ( θ B C L d M N ) 3．磁通量对时间求导表示感应电动势 ( P Q )【例31】如图所示，两根平行金属导轨固定在水平桌面上，每根导轨每米的电阻均为r0＝0.1Ω，导轨的端点P、Q用电阻可以忽略的导线相连，两导轨间的距离L＝0.2m。有随时间变化的匀强磁场（图中未画出）垂直于桌面，已知磁感应强度B与时间t的关系为B＝kt，比例系数k＝0.02T/s。一电阻不计的金属杆可在导轨上无摩擦滑动，在滑动过程中保持与导轨垂直。在t＝0时刻，金属杆紧靠在P、Q端，在外力作用下，杆以恒定的加速度从静止开始向导轨的另一端滑动，求在t＝6s时金属杆所受的安培力大小。 ( A D B C E O )【例32】如图所示，竖直面内有一个由柔软细导线制成的闭合导线框ACDEA挂在两固定点A、D上，水平线段AD为半圆的直径。一重物通过一光滑小滑轮挂在导线框的E处，使导线处于绷紧状态。半圆形区域内有磁感应强度大小为B、方向垂直于线框平面水平向里的匀强磁场。设导线框的电阻为r，圆的半径为R，用笔尖控制导线上的C点以恒定角速度ω（相对圆心O）缓慢从A点沿圆弧移向D点，若不考虑导线中电流间的相互 作用及安培力对导线形状的影响，则下列说法正确的是（ ） A．在C从A点移向D点的过程中，导线中的张力先变大后变小 B．当C移动到圆心O的正上方时，导线框中的感应电动势最大 C．在C从A点移动到∠ADC＝30°的过程中，通过导线的电荷量为 D．在C从A点移动到D点的过程中，导线框中产生的电热为 4．根据某量导函数求本量的极值及增减性 ( A B C D O )【例33】如图，空间中A、B、C、D四个点，任意两点之间的距离均为L，B、C、D三点分别固定电荷量均为Q的正点电荷。O为三角形BCD的中心，规定无限远处电势为0，下列说法正确的有（ ） A．O处场强为0，电势也为0 B．A处场强大小为 C．电子以一定的初动能从O点沿OA方向飞出，电子一定做往返运动 D．电子从A处由静止释放，在向O点运动的过程中电势能减小，加速度先增大后减小 【作业】 班次 座次 姓名 ( Q α R 1 R 2 C O )1．如图所示，某容器的横截面为透光圆环形，外圆与内圆半径分别为R1、R2。 一细束单色光平行于横截面方向从外圆上的P点入射，当入射角α＝30°时，折射光 线到达内圆上的Q点恰好发生全反射，下列说法正确的有（ ） A．外圆与内圆半径之比 B．外圆与内圆半径之比 C．容器材料的折射率 D．无法确定容器材料的折射率 2．一汽车做极限加减速测试，可简化为下述情境：先从静止开始做匀加速直线运动，然后刹车做匀减速直线运动，直到停止。整个过程的v－t图像如图所示。下列速度v和位移x的关系图像中，能描述该过程的是（ ） ( O t v O x v O x v O x v O x v A． B ． C ． D ． ) ( O x a b y )3．如图所示，水平地面上有一条水渠，其竖直横截面为y＝kx2的抛物线（k＝1，单位为m−1），ab沿水平方向，a点的横坐标为-1.5s，从a点分别以初速度v0、2v0（v0未知）沿ab方向抛出两个小石子P、Q并击中渠壁，且P、Q做平抛运动的时间相等，设时间为t，击中渠壁瞬间的速度分别为v1和v2，下落高度为H（仅s和重力加速度g为已知量），则（选项中只考虑数值大小，不考虑量纲）（ ） A．可以求出t的大小为 B．可以求出t的大小为 C．可以求出v1的大小为 D．可以求出H的大小为2s ( L )4．（微元法）如图所示，一根质量分布均匀的长柔软链条悬挂在天花板上，其下端正好 接触地板。若松开悬点，让链条自由下落，链条着地不反弹。在下落过程中，链条对地板的作 用力大小等于已落在地板上的那段链条重力的（ ） A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．5倍 ( E r S R R x 甲 乙 3 R 1 R 2 R x / Ω O P /W P 2 P 1 )5．（积定和最小，或直接利用二级结论）如图甲所示的电路中，电源电动势E＝6V、内阻r＝2Ω，定值电阻R＝4Ω，已知滑动变阻器消耗的功率P与其接入电路的有效阻值Rx的关系 如图乙所示。则下列说法中正确的是（ ） A．图乙中R1＝6Ω，R2＝12Ω B．图乙中滑动变阻器的最大功率P2＝2W C．滑动变阻器消耗功率最大时，定值电阻R消耗功率也最大 D．外电路的功率最大时，电源的效率最高 ( P Q M N θ B v 0 )6．如图所示，倾角为θ的光滑ㄇ形足够长平行导轨固定，电阻可忽略。一长度略大于导轨 间距的金属杆垂直于导轨放置，与两导轨接触良好，接入回路的电阻为R，匀强磁场垂直于导 轨平面向上。现给金属杆平行于导轨向上的初速度v0，金属杆在沿导轨向上运动到最高点的过 程中，下列关于速度大小v及加速度大小a与时间t的关系图像，可能正确的是（ ） ( t O v A． t O v B ． t O a C ． t O a D ． ) ( F A B )7．如图所示，A、B两物块静止在水平地面上，用不可伸长的细线连接。细线 刚好水平伸直，用光滑挂钩钩住细线的中点，用竖直向上的拉力F缓慢拉挂钩，两 物块与水平面间的动摩擦因数相等，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，A的质量大于 B的质量，不计挂钩的重力，则在F缓慢增大的过程中（ ） A．B先滑动，A后滑动 B．B先滑动，A始终不动 C．B滑动后，细线上的张力越来越大 D．B滑动后，拉力F越来越大 8．（2022年浙江卷）如图所示，学校门口水平地面上有一质量为m的石墩，石墩与 水平地面间的动摩擦因数为μ，工作人员用轻绳按图示方式匀速移动石墩时，两平行轻绳与 水平面间的夹角均为θ，则下列说法正确的是（ ） A．轻绳的合拉力大小为 B．轻绳的合拉力大小为 C．减小夹角θ，轻绳的合拉力一定减小 D．轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力也最小 ( + Q + Q - q A B C )9．（类三角函数）如图所示，相距为2L的A、B两点各固定电荷量为Q的正点电荷，在A、B两点连线的中垂面上C点处，有质量为m、电荷量为-q的粒子刚好可以绕O点在垂直于连线AB的平面内做匀速圆周运动，轨道半径为L，粒子重力不计，静电力常量为k。则下列说法正确的有（ ） A．C处的电场强度为 B．粒子在C处绕做匀速圆周运动的速率为 C．若粒子做匀速圆周运动的轨道半径增大，则其加速度an增大 D．若粒子做匀速圆周运动的轨道半径增大，则其加速度an减小 10．如图所示，倾角θ＝30°，顶端固定光滑滑轮的斜面体放置在水平面上， 一跨过滑轮的轻质细绳，一端悬挂质量为m的重物A，另一端与斜面上质量 为2m的物块B相连，滑轮与物块B之间的细绳平行于斜面。现用外力F缓 慢拉动细绳上的结点O，使细绳OO′部分从竖直拉至水平，整个过程中始终 保持外力F的方向与细绳OO′的夹角α＝120°不变，且细绳OO′部分始终拉直， 物块B和斜面体始终处于静止状态，下列说法正确的是（ ） A．细绳OO′的拉力先增大后减小 B．斜面对物块B的摩擦力一直增大 C．外力F一直增大 D．地面对斜面体的摩擦力先增大后减小 11．如图所示，内壁光滑的四分之一圆弧轨道BC竖直固定放置，轨道半径为R0，圆心为A点，AB、AC分别是竖直半径和水平半径。现让光滑水平面上的小球获得一个水平向右的速度v0（未知量），小球从A点离开后运动到圆弧上的D点，重力加速度为g，小球可视为质点，下列说法正确的是（ ） A．若∠BAD＝θ，小球运动到D点时速度与水平方向的夹角为β，则有 B．若小球从A到D运动时间为，则 C．改变v0的大小，小球落到圆弧BC上的速度最大值为 D．改变v0的大小，小球落到圆弧BC上速度的最小值为 ( y /m x/m O 挡板 )12．（积定和最小）如图所示，以O为原点在竖直面内建立平面直角坐标系。第IV 象限挡板形状满足方程，小球从第II象限内一个固定的光滑圆弧轨道上 某处由静止释放，通过O点后做平抛运动，击中挡板上的P点时动能最小（P点未画 出），重力加速度大小g＝10m/s2，不计一切阻力，下列说法正确的是（ ） A．P点的坐标为（m，－1m） B．小球释放处的纵坐标为y＝1m C．小球击中P点时的速度大小为5m/s D．小球击中P点时的速度垂直于挡板 13．如图所示，气缸A与抽气筒B导热良好并用细管（不计内部体积）连接，A的容积为B的3倍，A中装有压强为p0、质量为m0的理想气体，活塞C可沿气筒B滑动且保持良好的气密性。抽气筒B有两个阀门K1和K2，当向右拉活塞时，K1打开K2关闭，气缸A中的部分气体进入气筒B中；当向左推活塞时，K1关闭K2打开，气筒B中的气体全部排出到空中。开始时活塞位于气筒B的最左端，若环境温度保持不变，外界大气压为p0。求： （1）第一次将活塞缓慢拉到气筒B的最右端时，气缸A内气体的压强； （2）将活塞缓慢拉到气筒B的最右端，再缓慢推回到最左端。如此重复n次（包括第一次）后，气缸内气体的质量。 ( A B C K 1 K 2 ) 14．（积定和最小）如图所示，一轻质弹簧的左端固定在小球B上，右端与小球C接触但未拴接，球B和球C静止在光滑水平台面上（此时弹簧处于原长）。小球A从左侧光滑斜面上距水平台面高度为h处由静止滑下（不计小球A在斜面与水平面衔接处的机械能损失），与球B发生正碰后粘在一起，碰撞时间极短，之后球C脱离弹簧，在水平台面上匀速运动并从其右端点O水平抛出，落入固定放置在水平地面上的竖直四分之一光滑圆弧轨道内，该段圆弧的圆心在O点，半径为R＝h。已知三个小球A、B、C均可看成质点，且质量分别为m、2m、m，重力加速度为g，不计空气阻力和一切摩擦。 （1）求弹簧具有的最大弹性势能； （2）若改变圆弧轨道的半径，使R'＝2h，A球质量变为多大，C球落到圆弧面上时动能最小？ ( h A B C O x y R P ) ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$