微专题5.18 利用导数证明不等式12种常考题型总结-2024-2025学年《考点通关》高二数学微专题精准突破（人教A版2019选择性必修第二册）

2024-2025学年《考点通关》高二数学微专题精准突破（人教A版2019选择性必修第二册） 微专题5-18 利用导数证明不等式12种常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 直接法证明简单不等式 题型2 选择关键部位构造函数 题型3 挖出同构关系后构造函数 题型4 放缩法证明不等式——参数放缩 题型5 放缩法证明不等式——利用结论放缩 题型6 放缩法证明不等式——切线放缩 题型7 拆分法证明不等式 题型8 利用“隐零点”证明不等式 题型9 双变量不等式的证明 题型10 等价转化后构造函数 题型11 数列不等式的证明 题型12 三角函数类型不等式的证明 导数中的不等式证明是高考的常考题型，是高考的热点问题，常与函数的性质、函数的零点与极值、数列等相结合，虽然题目难度较大，但是解题方法多种多样，如构造函数法、放缩法等，针对不同的题目，灵活采用不同的解题方法，可以达到事半功倍的效果. (1)一般地，要证f(x)>g(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式．若F(a)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递减即可. (2)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，可考虑转化为两个函数的最值问题． 一、构造法证明不等式 1、移项作差构造函数 移项作差法是证明不等式的最常用的方法，将含的项或所有项均挪至不等号的一侧，将一侧的解析式构造为函数，通过分析函数的单调性得到最值，从而进行证明，其优点在于目的明确，构造方法简单，但对于移项后较复杂的解析式则很难分析出单调性． （注：待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”或“右减左”的函数，利用导教研究其单调性等相关函数性质证明不等式.） 2、及时换元后构造函数 由于是证明两个变量的大小关系问题，通过换元，将两元变换成一元，这样降低了问题的难度，使之变成我们熟悉的、容易解决的问题了． 3、等价转化后构造函数 在充分挖掘题目内涵的基础上，将待证的不等式进行转化、变形，使之等价变形为另一个大小关系证明的问题，然后再通过建立新函数轻松地解决了问题． 如等价转化为进而构造函数； 4、挖出同构关系后构造函数 由于待证的不等式比较复杂，在分析、化简、变形的基础上，再经过换元处理，成功的找到了同构关系，然后通过设新函数，这样，成功地解决问题就是很容易了． 5、选择关键部位构造函数 在解题过程中，根据大小比较的需要，对表达式中的一部分采用构造函数处理，也是一个重要的解题思路，这种求解方法的关键是精确替换，以起作用、易解决为替换原则． 二、放缩法证明不等式 放缩式是放缩法的重要组成部分，是放缩法的"骨肉". 用好放缩法的关键在于灵活运用放缩式，我们既然想去放缩一个式子来证明不等式，那最基本、最重要的就是掌握一些重要的放缩式. 这里将放缩式分为基本放缩式和变形放缩式.基本放缩式也就是常说的“不等式串”，大部分放缩式都由它变形而来，是必须掌握的放缩式. 放缩小技巧： （一）不等号的方向 在放缩中，我们应注意想放缩的那一项的位置是否在分母上或是否带有负号，有时需要变更它的符号.比如，当时，由放缩式可得到,又可得到 （二）整体代换 整体代换使用的是数学中的整体思想，比如，这个式子中便运用了此方法，学会将已知的放缩式变更为解题需要的放缩式很重要． （三）调整次数 一般来说，调整次数有以下几个功能：便于配方，便于约分，便于合并同类项.比如，已知，为了证明，则必须证明，通过先求导再讨论单调性来证明比较麻烦，而我们知道完全平方非负，且，所以有. 放缩法主要解决问题的类型： 1、函数解析式中含有已知范围的参数，可以考虑借助于常识或已知的范围减少变量，对参数适当放缩达到证明的目的.放缩法的合理运用，往往能起到事半功倍的效果，有时能令人拍案叫绝.但其缺点也是显而易见，如果使用放缩法证题时没有注意放和缩的"度"，容易造成不能同向传递. 2、切线放缩：若第一小题是求曲线的切线方程，就要注意是否运用切线放缩法进行放缩解决问题. 拓展：（1）若在区间D上二阶可导，且，则对任意，有 （2）若在区间D上二阶可导，且，则对任意，有 （1）（2）的几何意义是凸（凹）函数的图像在其切线的上（下）方. 三、拆分法证明不等式 利用不等式性质对所证不等式进行拆分，转化成为的形式，若能证明，即可得：，本方法的优点在于对的项进行分割变形，可将较复杂的解析式拆成两个简单的解析式.但缺点是局限性较强，如果与不满足，则无法证明.所以用此类方法解题的情况不多。 四、指对同构证明不等式 在解决指对混合不等式时，如恒成立求参数取值范围或证明不等式，有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型(即不等式两边对应的同一函数)，无疑大大加快解决问题的速度.找到这个函数模型的方法，我们称为同构法. (1)五个常见变形： . 题型1 直接法证明简单不等式 【例1】求证：． 【详解】证明：令，则 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增 则在时求得最小值， 即在上恒成立，即在上恒成立 【变式1】证明以下不等式： (1)； (2)； (3). 【详解】（1）解：令，则有. 令，即，解得； 令，即，解得， 所以在单调递减，上单调递增， 所以，即. 所以. （2）解：令，则. 令，即，解得； 令，即，解得， 所以在单调递增，上单调递减， 所以，即， 所以. （3）解：由（1）得，所以（当且仅当时取等号）①. 由（2）得，所以（当且仅当时取等号）② 因为①式与②式取等号的条件不同，所以. 【变式2】求证： (1)（）； (2)； (3)（）． 【详解】（1）要证，只需证， 令（），， 故在上单调递减，由于，因， 故，则有（）. （2）令，， 当时，；当时，， 可知在上单调递增；在上单调递减，所以， 故，从而成立. （3）令（），，由解得：，， 令，得，令，得或 故在区间和上单调递减，在区间上单调递增， 由于， 则有对恒成立，故得：（）． 【变式3】已知函数. (1)求该函数在点处的切线方程； (2)证明：当时，. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）令，其中，利用导数分析函数在区间上的单调性可证得结论成立. 【详解】（1）解：因为，该函数的定义域为，则， 所以，，， 因此，曲线在点处的切线方程为，即. （2）解：令，则， 当时，，则函数在上为减函数， 故当时，，则. 【变式4】已知为正实数，构造函数．若曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)求证：． 【答案】(1)2 (2)证明见解析 【分析】（1）根据切线方程列出关于的方程组，解方程组即可. （2）对要证明的式子进行化简，构造函数，利用单调性求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 又因为， 所以曲线在点处的切线方程为. 由题意可知曲线在点处的切线方程为， 所以，解得(负值舍去)，所以. （2）由第1问可知，. 要证，即要证， 只需证. 构造函数，则， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 所以，所以，所以. 【变式5】已知函数 (1)讨论函数的单调性； (2)证明：当时， 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，求导可得，然后分与讨论，即可得到结果； （2）根据题意，由（1）可得的最小值为，构造函数，转化为的最小值大于等于零，即可证明. 【详解】（1）依题意，， 当时，， 当时，由得，由得， 即当时函数在是减函数； 当时在是减函数，在是增函数； （2）由（1）知当时，的最小值为， ， 设， 则， ∴函数在是减函数，在是增函数， 即的最小值为，即， ∴，即的最小值， ∴． 题型2 选择关键部位构造函数 【例2】已知函数. (1)若是的极小值点，求的取值范围； (2)若只有唯一的极值点，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数分，和讨论函数单调性即可求解； （2）由（1）可知当时，此时有唯一的极大值点，题意转化成，令，利用导数求其最值即可 【详解】（1）由可得， 当时，， 则当时，，单调递增；当时，，单调递减， 故是的极大值点，不符合题意，舍去； 当时，令，则或； 由可得当时，，单调递增；当或时，，单调递减， 故是的极大值点，不符合题意，舍去； 当时，， ①若，即，，故在上单调递增，不符合题意，舍去； ②若，即时， 当或时，，单调递增；当时，，单调递减， 故是的极大值点，不符合题意，舍去； ③若，即时， 当时，，单调递减；当或时，，单调递增， 故是的极小值点，符合题意. 综上所述，的取值范围. （2）由（1）可知，当时，此时有唯一的极大值点，要证：， 设，， 设，，， 当，当， 于是在单调递增，在单调递减， 于是， 则由可得， 当，当， 且在单调递减，在单调递增， 那么，即证 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 【变式1】已知函数. (1)若曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求实数的值； (2)证明：若，则. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据导数的几何意义，结合三角形面积公式进行求解即可； （2）根据函数的零点存在性原理，结合函数导数的性质、通过构造新函数进行求解即可， 【详解】（1），切点为，则切线方程为，当时， 在中，分别令得该切线分别与两坐标轴交于两点，故三角形面积为， 因此，解得， 当时，，显然该直线与两坐标轴围不成三角形， 综上所述：； （2）①当，所以； ②当，要证，即证，令，，令， ，所以在上单调递增.取， 使得，即，则， 又，所以由零点存在定理知存在唯一零点， 即有唯一的极值点且为极小值点.又， 即，故，令，，所以在上单调递减， 所以，所以. 综上所述，当，则. 【点睛】关键点睛：根据函数的极值定义、函数零点存在性原理是解题的关键. 【变式2】已知函数 (1)讨论的单调性； (2)证明：. 【答案】(1)答案见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）求导可得，分和两种情况，结合导函数的符号判断原函数单调性； （2）构建，，根据单调性以及零点存在性定理分析的零点和符号，进而可得的单调性和最值，结合零点代换分析证明. 【详解】（1）由题意可得：的定义域为，， 当时，则在上恒成立， 可知在上单调递减； 当时，令，解得；令，解得； 可知在上单调递减，在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）构建， 则， 由可知， 构建， 因为在上单调递增，则在上单调递增， 且， 可知在上存在唯一零点， 当，则，即； 当，则，即； 可知在上单调递减，在上单调递增， 则， 又因为，则，， 可得， 即，所以. 题型3 挖出同构关系后构造函数 【例3】已知函数. (1)判断极值点的个数； (2)当时，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先对求导，再构造函数，利用导数研究的图像，从而分类讨论与，得到的正负情况，由此得解； （2）利用同构法得到，再构造函数，从而将问题转化为证明，再构造函数，由此得证. 【详解】（1）因为，所以， 令，则， 当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 当时，，若，则，若，则， 所以只有一个极值点； 当时，存在，，使， 当时，；当时，； 所以若，则；若，则；若，则；若，则； 所以有三个极值点； 综上，当时，只有一个极值点；当时，有三个极值点. （2）， 令，则， 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以， 令，则等价于， 因为，所以等价于， 令，，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以， 因为，所以，故. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 【变式1】已知函数． (1)讨论函数的单调性及极值，并判断方程的实根个数； (2)证明：． 【答案】(1)单调性及极值见解析，原方程有唯一实根 (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数分类讨论函数的单调性，求解极值，结合单调性的结论判断方程的实根个数； （2）不等式变形为，换元后即证，构造函数利用导数求解函数最值即可得证. 【详解】（1），函数定义域为，， 当时，，在上单调递增，无极值； 当时，时，， 时，， 在上单调递减，在上单调递增，有极小值． 方程可变形为，即， 当时，，有，在上单调递增，则有， 函数和的图像只有一个交点，且交点位于第一象限，所以在上有唯一实根，故原方程有唯一实根． （2）证明：由知，所要证的不等式等价于， 等价于．（*） 令，则不等式（*）等价于（**）． 构造函数，求导，得． 当时，，函数是减函数； 当时，，函数是增函数． 所以．即（**）成立．故原不等式成立． 【点睛】1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 3..证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 【变式2】已知函数． (1)讨论在区间上的单调性； (2)当时，证明：． 【答案】(1)答案见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用函数的导数判断函数的单调性，按照和的大小关系分类讨论； （2）先转化需证明的结论，构造函数，利用导数研究函数的符号，推得，进而证明结论. 【详解】（1）因为函数，，所以，， 由，得， 当，即时，，在区间上单调递减； 当，即时，由，得，由，得， 所以在上单调递增，在，上单调递减； 综上可得，当时，在区间上单调递减； 当时，在上单调递增，在，上单调递减； （2）当时，，要证， 即证，即证， 令，，则， 令，可得，令，可得， 所以在单调递减，在单调递增，所以， 所以，所以， 所以，得证． 【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面： (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域； (2)不能随意将函数的两个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式； (3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 【变式3】已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：． 【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可； （2）要证明，只要证即可，设，利用导数求得最值即可证明． 【解析】（1）函数的定义域为，且． 当时，恒成立， 所以在区间上单调递增； 当时，令，解得， 当时，在区间上单调递增， 当时，在区间上单调递减． 综上所述，当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减． （2）当时，因为，所以要证，只要证明即可， 即要证，等价于（*）． 令，则， 在区间上，单调递减； 在区间上，单调递增， 所以，所以（当且仅当时等号成立）， 所以（*）成立，当且仅当时，等号成立． 又在上单调递增，， 所以存在，使得成立． 综上所述，原不等式成立． 题型4 放缩法证明不等式——参数放缩 【例4】已知函数，若恒成立， (1)求实数的取值范围； (2)当时，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）问题转化为在上恒成立，不等式右边构造函数，利用导数研究单调性，并求出其最大值，即可得参数范围； （2）由（1）知，应用分析法，将问题化为证恒成立，讨论、，利用导数研究单调性并确定区间符号，即可证结论. 【详解】（1）由题设在上恒成立， 所以在上恒成立， 令，则， 令，则在上恒成立， 所以在上递增，显然，， 故使，则上，上， 所以上，递增；上，递减； 又，即，则， 综上，. （2）由（1）知：， 所以且，要使恒成立， 只需证恒成立，只需证恒成立， 当时，若，则，即递增，又也递增， 所以在上递增，故恒成立， 当时，令且，则，即递增，故， 所以在上恒成立，故， 令，则， 所以在上递减，故，即， 综上，在上恒成立， 所以，时得证. 【点睛】关键点点睛：第一问转化为在上恒成立，第二问化为证明恒成立，再构造函数并利用导数研究单调性即可. 【变式1】已知函数. (1)若恒成立，求的取值范围； (2)当时，证明恒成立. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求导得，分、、三种情况讨论，利用导数分析函数的单调性，根据恒成立可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围； （2）先证明出，由（1）可得出，构造函数，利用导数分析函数在上的单调性，证明出，可证得，进而可证得原不等式成立. 【详解】（1）解：，且该函数的定义域为，. ①当时，恒成立，在上单调递增， 因为，所以时不符合题意； ②当时，，显然成立； ③当时，由解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以，，即， 所以，，解得. 综上所述，. （2）证明：由题意可知，函数的定义域为， 先证明，令， 则， 由（1）可知，所以，， 设，其中，则且不恒为零， 所以，在上为增函数，故当时，， 所以，， 因为，故，故原不等式得证. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 【变式2】已知函数. （1）求函数的极值； （2）若，求证：. 【答案】（1）极大值为1，无极小值；（2）见证明 【分析】(1)本题首先可以根据函数解析式得出函数的定义域和导函数，即可求出函数的单调区间，最后根据函数单调性即可得出函数的极值； (2)本题首先可根据不等式的性质将转化为，然后利用导数以及(1)中结论求出的最小值以及的最大值，即可证明结论． 【详解】(1)函数定义域为，， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 即当时，有极大值， 所以的极大值为1，无极小值； (2)由于，所以， 故要证原不等式成立，只需证即可，即， 令，则， 所以函数在区间上为增函数，故，即， 由(1)得，所以，所以. 【点睛】本题主要考查利用导数求函数极值以及通过构造函数证明不等式，能否构造出函数并求出其最小值是解决本题的关键，考查利用导数证明不等式及转化能力，是难题． 题型5 放缩法证明不等式——利用结论放缩 【例5】已知函数（）． (1)若函数的极大值为0，求实数a的值； (2)证明：当时，． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出函数的导数，判断函数单调性，结合函数的极值，求得答案； （2）利用（1）的结论，将不等式转化为，即证当时， ，从而构造函数，利用导数求得该函数的最值，进而证明不等式. 【详解】（1）∵函数的定义域为， 且． ∴当时，恒成立，在上单调递增，无极大值． 当时，由解得；由解得， 故在上单调递增，在上单调递减, ∴, 即，而函数在上单调递增， 所以． （2）证明：由（1）知，即． 要证当时，， 即证， 当时，,即证, 令函数，则， 令， 则，所以函数在定义域上单调递增． 因为，， 所以函数在区间上存在零点，使得，即, 当时，；当时，； 故为函数在区间上的唯一极小值点， 所以 ， 所以当时，． 【点睛】关键点点睛：要证当时，，利用（1）的结论，即证，关键就是再转化为证明，从而构造函数，利用导数求得函数最值，解决问题. 【变式1】已知函数． (1)若在上恒成立，求实数a的值； (2)证明：当时，． 【答案】(1) (2)证明过程见详解 【分析】(1)分，和三种情况讨论，当时，求导利用函数的单调性和最值进行求解即可； (2)结合（1）的结论，将不等式进行等价转化证明，构造函数，对函数求导，利用函数的单调性即可证明. 【详解】（1）当时，，当时，，不符合题意； 当时，，又时，，不符合题意； 当时，，令，解得：，令，解得：，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，令， 则，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，又因为，所以. （2）由(1)知：时，在上恒成立，即， 所以当时，，即，又当时，， 所以，所以要证，只需证，即证，令，则有，又，所以，所以在上恒成立，即在上单调递减，， 所以当时，. 【点睛】思路点睛：某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，有时可以构造一个函数，借助单调性进行求解. 【变式2】已知函数，其中. (1)求曲线在点处切线的倾斜角； (2)若函数的极小值小于0，求实数的取值范围； (3)证明：. 【分析】（1）利用函数乘法求导法则来求函数的导函数并因式分解得，即可求出，从而可求得切线的倾斜角为0； （2）对参数分四种情形，，，进行讨论单调性，从而得到极小值小于0，来求出实数的取值范围； （3）要证明不等式，利用放缩思想对和进行代换，结合分析法证明，把原不等式最后转化为新的不等式，再构造函数进行求最值证明. 【解析】（1）由， 所以， 设曲线在点处切线的倾斜角为，则， 又因为，所以， 所以曲线在点处切线的倾斜角为0. （2）由（1）知，且，解得：或， 当时，，，，，，， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得， 所以； 当时，，，，，，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 即此时极小值不可能小于0，所以当时不符合题意； 当时，恒成立， 所以在上单调递增，即函数无极值，不满足题意， 所以当时不符合题意； 当时，，，，，，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得， 所以； 综上可知实数的取值范围为或. （3）由（2）知，当时，在上单调递增，在上单调递减， ，即，即，两边取自然对数得：，则. 要证成立，只需证，. 两边同除得：，即. 只需证：，即证， 令，，，解得：， 当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增， 所以，即， 经检验，当时，成立. 综上可知不等式得证. 【变式3】已知函数，（，）. (1)讨论函数的单调性； (2)若，证明：. 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再分和两种情况讨论，分别求出函数的单调性区间； （2）首先结合（1）说明以，则，从而将所证不等式转化为证明，，设，利用导数说明函数的单调性，即可证明. 【解析】（1）函数的定义域为， 则， 若，则恒成立，所以在上单调递增； 若，由，解得；由，解得． 在上单调递增，在上单调递减． 综上可得：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）当时，， 由（1）可知在上单调递增，在上单调递减， ， 所以，所以，即， 要证 ， 即， 即证， 又， 即证，， 设，则． 设，则， 当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增， ，即， 在上单调递增， ，即． ，即． 题型6 放缩法证明不等式——切线放缩 【例6】已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)证明：当时，都有. 【答案】(1)单调递增区间是，单调递减区间是. (2)证明见解析. 【分析】（1）函数求导，找到导函数零点，判断零点分定义域所得区间导数的符号得到函数的单调区间. （2）化简结论，构造函数，求导研究函数的单调性，证明，结合，利用不等式的性质证明结论. 【详解】（1），令，则， 当时，，所以， 当时，，所以， 所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是. （2）要证明，即证， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， ，所以， 要证， 因为时，，，此时不等式成立， 当时，，， 只需再证时，即可. 令， ，所以，当且仅当时取等号， 所以时，； 综上所述，当时，都有. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 【变式1】已知函数为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行. (1)求的值； (2)求的单调区间； (3)设，其中为的导函数.证明：对任意，. 【答案】(1) (2)的递增区间为，递减区间为 (3)证明见解析 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义分析运算； （2）求导，利用导数求原函数的单调区间； （3）根据题意分析可得对，，构建新函数、，分别利用导数求最值，即可证明. 【详解】（1）由题意可得：，， ∵在,处的切线与轴平行，即， . （2）由（1）得：，， 令，， 当时，则，故； 当时，则，； ∵， 则时，；时，； 故的单调递增为，单调递减为. （3）由，即，， 对，，等价于对，， 由（2）对于，，则，， 当时，；当时，； 可得在上单调递增，在上单调递减， 故，即， 设，则对恒成立， 故在上单调递增，则，即； 综上：，故，，得证. 题型7 拆分法证明不等式 【例7】已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)当时，证明：． 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为； (2)证明见解析. 【分析】（1）求出函数的导数，再求出导数为正、为负的x取值区间作答. （2）等价变形给定不等式，构造函数，利用导数求出最值推理作答. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得，又， 则当时，，当时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）因为，则不等式， 当时，由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，则， 令，则，当时，，当时，， 因此在上单调递减，在上单调递增，， 于是得，即， 所以. 【变式1】已知函数． (1)证明函数有唯一极小值点； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）首先求函数的导数，利用求根公式，判断函数的单调区间，再证明函数存在极小值点； （2）首先不等式整理为，再构造函数，，利用导数求函数的最值，即和，即可证明不等式. 【详解】（1）函数的定义域为，． 对于方程，． 解方程， 可得，， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增． 所以函数有唯一极小值点． （2）要证明， 即证， 即证，即证． 令，其中，则， 当时，，此时函数单调递减； 当时，，此时函数单调递增． 所以． 构造函数，其中，， 则． 当时，，此时函数单调递增； 当时，，此时函数单调递减． 所以，则， 所以． 故原不等式得证． 【变式2】已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：. 【分析】（1）求导，分为，两种情况讨论的正负，得出的单调性； （2）对要证的不等式进行等价变形得，构造函数，，通过导数研究两个函数的最值，证得结论. 【解析】（1）由题意可得. 则时，由，得，由，得， 则在上单调递减，在上单调递增； 当时，由，得，由，得， 则在上单调递增，在上单调递减. （2）因为，所以. 因为，所以. 要证，即证，即证. 设，则. 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增. 故. 设，则. 当时，，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减. 故. 因为，且两个最值的取等条件不同， 所以， 即当时，. 【变式3】已知函数. （1）讨论的单调区间； （2）当且，求证：. 【答案】（1）见解析（2）证明见解析 【分析】（1）函数定义域为，求出导函数，通过，，判断导函数符号，求解函数的单调区间；（2）运用分析法转化证明，要证，只需证，法一中要证，只需证：，令，求导判断导数值符号即可；法二中只需证，设，，在上恒成立，求出，的最值进行比较即可；法三中只需证：.设，判断，函数单调递增，，证明即可. 【详解】（1）函数定义域为， . ①若时，则，在上单调递减； ②若时，，令或. 又， 在上单调递减，在上单调递增；    ③若时，， 令或. 又， 在上单调递减，在上单调递增； （2）法一：，， 要证，只需证， 只需证：， 只需证：，设， 即， 在上单调递减，所以，即原不等式成立. 法二：要证，只需证， ，只需证， 设，， 在上恒成立， 所以在上单调递增. 所以， ， 所以在上单调递增， 所以， 所以当时，， 即原不等式成立. 法三：，. 要证：成立， 只需证：. 设， ， 所以在上单调递增， 所以. 即原不等式成立. 【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及构造法的应用，考查分类讨论以及转化思想的应用，是难题. 题型8 利用“隐零点”证明不等式 【例8】已知函数． (1)已知点在函数的图象上，求函数在点P处的切线方程． (2)当时，求证． 【答案】(1)； (2)证明见解析 【分析】（1）求出，由求得，然后计算出，用点斜式得切线方程并化简； （2）求出导函数，再利用导数确定的单调性，从而确定的零点存在，得出其为极小值点，由得间的关系，代入变形，然后由基本不等式结合已知条件得证结论． 【详解】（1）由解得， 所以，， 所以，，切线方程为， 即所求切线方程为； （2）证明得定义域为，， 设，则，故是增函数， 当时，，时，， 所以存在，使得①，且时，，单调递减，时，，单调递增， 故②，由①式得③， 将①③两式代入②式，结合 得：， 当且仅当时取等号，结合②式可知，此时， 故恒成立． 【点睛】方法点睛：用导数证明不等式的方法：利用导数求得的最小值，证明最小值大于0即得，问题常常遇到最小值点不能直接求出，只有利用零点存在定理确定为，为此可利用的性质：确定与参数的关系，从而化为一个变量的函数（一元函数），然后由不等式的知识或函数知识得出其大于0. 【变式1】函数，其中为自然对数的底数． (1)当时，判断函数的单调性； (2)若直线是函数的切线，求实数的值； (3)当时，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】(1)先求函数的定义域及其导函数，设，利用导数判断的单调性，由此确定不等式和的解集，由此确定函数的单调性； (2)设切点为，由导数的几何意义可得，，设，利用导数研究函数的性质，由此求，； (3)设，利用导数研究函数的单调性，由此确定函数的单调性，并求其最小值，集合基本不等式证明结论. 【详解】（1）函数的定义域为， 因为，所以， 设，则， 所以函数在区间上单调递增，即函数在区间上单调递增， 又因为，所以，，在上为减函数， ，，在上为增函数. （2）由（1）得 设切点为，则， 因为，所以，得， 所以 设，则， 所以当时，，单调递增 当时，，单调递减 所以 因为方程仅有一解，所以； （3）因为， 设，则有 所以在单调递增． 因为， 所以存在，使得， 当时，，，单调递减， 当时，，，单调递增， 所以， 因为，所以， 所以． 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 【变式2】已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)当时，证明：． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）构造，利用导数的性质判断的单调性进行求解即可； （2）构造，利用导数的性质判断的单调性，结合函数零点存在原理进行求解即可. 【详解】（1）记． 则恒成立，即． 当，当， 在上单调递增，在上单调递减． ．解得． 实数的取值范围是； （2）记． 在上单调递增． 令， 则，所以即在上单调递增． 由，知． ．即， 当单调递减；当单调递增． ， 由（*）式，可得． 代入式，得． 由（1）知，当时有， 故．． 由． 故，即，原不等式得证． 【变式3】已知函数 (1)讨论的单调性; (2)证明:当时， 【分析】（1）求导，按照的正负，讨论正负得解； （2）令，分和两种情况讨论，利用导数判断单调性，求出最小值证明. 【解析】（1），， 当时，易知，所以函数在R上单调递减， 当时，令，解得， 令，解得，即在上单调递增， 令，得，即在上单调递减， 综上，当时，函数在R上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）令，， ，令，， 则，所以在上单调递增， 当时，，又， 有，，即单调递减， ，，即单调递增， 所以，而此时， 所以当时，成立； 当时，可得，， 所以 又， 所以存在，使得，即， ，，，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， ，由可得， ， 下面证明，， 令， ， 所以在上单调递增， ， 即得证，即成立， 综上，当时，成立. 题型9 双变量不等式的证明 【例9】已知函数. (1)求出的极值点； (2)证明：对任意两个正实数，且，若，则. 【答案】(1)是的极小值点，无极大值点 (2)证明见解析 【分析】（1）对求导，判断导函数的正负号，得函数的单调性，得函数的极值点； （2）换元令，根据用分别表示，，将证明转化为证明，构造，求导数，证明其大于零即可. 【详解】（1）函数的定义域为，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以是的极小值点，无极大值点. （2）证明：由（1），在上单调递减，在上单调递增， 因为，不妨设， 令，则，， 由，得，即，即， 即，解得，，所以， 故要证，即证，即证，即证， 因为，所以，所以即证， 令，， 因为，所以在上是增函数， 所以，所以在上是增函数， 所以，所以， 所以. 【点睛】关键点点睛：根据得等式，设，用分别表示，，用分析法将证明转化为证明. 【变式1】已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若，为函数的两个零点，求证：． 【分析】（1）首先求函数的导数，再分和两种情况求解不等式，根据导数与单调性的关系，即可求解； （2）代入函数的零点，并变形为，，并利用分析法，将所证明不等式转化为证明，再通过构造函数，，利用导数判断函数的单调性，即可证明. 【解析】（1），． 当时，，则在上单调递增． 当时，令，得，解得． 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （2）设，则，， 所以， 所以，， 记，要证，只需证， 只需证，只需证． 记，，则， 记，， 由（1）可知，取，则， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以 ， 所以，即，所以在上单调递增， 又，所以，所以成立． 【变式2】已知函数有两个零点，，且， (1)求的取值范围； (2)证明： 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）易得，分和讨论，对时，根据存在两零点得，求出的范围，再结合，放缩得，确定，则，再构造函数，，求出其单调性即可得到的范围； （2）利用基本不等式得，放缩证明，利用比值换元法设，构造函数，，求导证明其单调性，得到其范围即可. 【详解】（1）因为的定义域为，所以 当时，恒成立，所以在上单调递增， 故不可能有两个零点，故舍去； 当时，令，解得 令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，要使有两个零点， 则，解得， 又，， 所以当时，在和上各有一个零点，， 且，所以， 由单调性知，当时，， 当时，， 因为，所以，即 所以，而， 即，所以，而， 令， 则，，，所以， 所以在上单调递增， 所以，所以 （2） ，当且仅当取等号，而， 故 要证，即证，即证 即证， 即证， .设，，， ，， 令，， 令，，易知在上单调递增， 故， ∴在单调递增， ∴，∴在上单调递增， ∴得证. 【点睛】关键点睛：本题第2问首先采用了基本不等式进行放缩得，从而将题目的证明转化为证明，然后得到，利用经典的比值换元法，设，，则，从而设，，通过多次求导研究其单调性和值域即可. 【变式3】已知函数（）． (1)讨论的单调性； (2)若，（）是的两个极值点，证明：． 【答案】(1)当时，在区间上单调递增； 当时，在区间和上单调递增，在区间上单调递减； 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减. (2)证明见解析. 【分析】（1）对求导，根据的取值范围，对的符号进行讨论，即可得出的单调性； （2）由第一问中有两个极值点时，和化简不等式，然后构造函数，利用导数研究所构造函数的单调性，根据单调性进行证明. 【详解】（1）∵，（）∴定义域为， ∴，（）， 令，（）， ①当时，，，，， 此时，在区间上单调递增； ②当时，， 令，解得，， ∴当时，，， 当时，，， ∴此时，在区间上单调递增，在区间上单调递减； ③当时，， （i）当时，，，，， ∴此时，在区间上单调递增； （ii）当时，， 令，解得，，且， ∴当时，，， 当时，，， ∴此时，在区间和上单调递增， 在区间上单调递减. 综上所述，当时，在区间上单调递增； 当时，在区间和上单调递增， 在区间上单调递减； 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减. （2）由第（1）问知，若，（）是的两个极值点， 则，且的两根即为，， 且，，∴， ， ∴， 又∵， ∴不等式等价于， ∵，∴，，又∵，∴， ∴不等式又等价于，即， ∴只需证， 令，，则，在区间上单调递减， 又∵，∴，， ∴， ∴若，（）是的两个极值点，. 【点睛】利用导数证明不等式的常用方法有构造函数法和放缩法， （1）构造函数法 ①直接构造函数：若需要证明（或），可通过构造函数，转化为证明（或）； ②化简构造函数：若原不等式较为复杂，或者构造函数后，通过导数判断函数的单调性较为困难，可以将原不等式适当化简变形后再构造函数. 本题第（2）问的证明，就是综合了以上两种方法. （2）放缩法：通常会利用常见结论放缩或结合已知条件进行放缩. 题型10 等价转化后构造函数 【例10】已知函数设函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若函数存在两个极值点，证明： 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再对分类讨论，讨论的符号，的单调性，即可得出答案． （2）求导得，，又存在，为的极值点，则，即的存在两个根为，，且，，由韦达定理可得，，要证明存在，，使得，即证明存在，，，即可得出答案． 【详解】（1）解：因为定义域为， 则， 令，解得或， 若，则当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增； 若，则当或时，当时， 所以在上单调递减，在和上单调递增； 若，则在上恒成立，所以在上单调递增； 若，则当或时，当时， 所以在上单调递减，在和上单调递增； 综上可得：当时在上单调递减，在上单调递增， 当时在上单调递减，在和上单调递增， 当时在上单调递增， 当时在上单调递减，在和上单调递增. （2）证明：因为，， 所以，， 则， 又存在，为的极值点，则， 所以的两个根为，，且，， 即的存在两个根为，，且，， 所以，， 因为，， 所以，即， 要证明存在，，使得， 即证， 即证明存在，，使得， 又， 即证明存在，，， 即证明存在，，， 即证明存在，，， 即证明存在，，， 令，则当时，， 所以需要证明在上存在区间单调递增， 因为， 所以当时，，即在上单调递增，得证． 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 【变式1】已知函数. (1)若曲线在点处的切线斜率为0，求的值； (2)判断函数单调性并说明理由； (3)证明：对，都有成立. 【答案】(1)1 (2)函数在区间上单调递增，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义即可； （2）判断导函数的正负，可得单调性； （3）利用（2）确定的单调性，作差比较即可. 【详解】（1）， 所以， 由，得， 所以. （2）函数在单调递增. 因为，所以函数定义域为. ， 因为 所以. 因此函数在区间上单调递增. （3）证明：当时，显然有，不等式成立； 当时，不妨设， 由于函数在区间上单调递增， 所以， 则 . 因为，所以， 所以， 所以. 综上，对任意的，成立. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 题型11 数列不等式的证明 【例11】已知函数 (1)证明：； (2)证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数求出的最小值为，即可得证； （2）由（1）知，时，，即，令，得，再根据对数知识可证不等式成立. 【详解】（1）， 令，得；令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所的最小值为，所以. （2）由（1）知，当时，，即， 即，即， 令，得， 所以 ， 故． 【变式1】已知. (1)当，证明； (2)讨论的单调性； (3)利用（1）中的结论，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求导得到，确定函数的单调区间，根据单调区间计算最值得到证明. （2）求导得到，讨论，，三种情况，根据导函数的正负确定函数的单调性. （3）根据得到，依次带入数据相加得到证明. 【详解】（1）当时，，令，解得， 当在之间变化时，及的变化情况如下表： 1 0 单调递增 0 单调递减 因此当时，取得最大值，故； （2），所以，令，解得， ①当时，方程的解为，且， 在之间变化时，及的变化情况如下表： 0 单调递增 单调递减 在单调递增，在单调递增， ②当时，方程无解，此时恒成立，故在单调递增， ③当时，方程的解为，但，当时，恒成立，故在单调递增， 综上所述： 当时，在单调递增，在单调递减， 当时，在单调递减； （3）由（1）知，，其中“=”当且仅当时成立， 当时，且，故， 即， 于是当时，依次有，，，， ， 相加得， 即 【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数证明不等式，讨论函数的单调性，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用构造是解题的关键，需要熟练掌握这种技巧. 【变式2】已知函数. (1)当时，，求的取值范围； (2)函数有两个不同的极值点（其中），证明：； (3)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由，利用导数研究函数单调性，转化为当，恒成立问题； （2）函数极值点，是的两个零点，要证，等价于证，通过换元，构造函数，利用导数研究单调性可证. （3）由（1）可知，则有，类似于数列求和的裂项相消法可证. 【详解】（1）函数，，且， ①当时，因为，故恒成立，此时单调递增，所以成立； ②当时，令，得， 当时，此时单调递减，故，不满足题意； 综上可知：. 即的取值范围为. （2）由，故， 因为函数有两个不同的极值点（其中），故. 要证：，只要证：. 因为，于是只要证明即可. 因为，故， 因此只要证，等价于证， 即证，令，等价于证明， 令， 因为，所以， 故在上单调递增，所以，得证. （3）由（1）可知当时，，故， 令，所以，所以， ， 所以. 【点睛】方法点睛：1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 【变式3】已知函数． (1)求的单调区间； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)求证：．（且） 【答案】(1)递增区间为，递减区间为． (2) (3)证明见解析 【分析】（1）对函数求导,再根据的正负分类讨论单调性即可; （2）若恒成立，即，根据（1）中的单调性求出其最大值即可列式求解. （3）由（2）知当时,有在恒成立，令,即可推出，再对不等式两边累加求和,即可推出结论. 【详解】（1）函数的定义域为． ． ①时，，的递增区间为，无递减区间； ③时，令得；令得， 所以的递增区间为，递减区间为． （2）由（1）知，时，在上递增，，不合题意， 故只考虑的情况，由（1）知 即 综上，的取值范围为． （3）由（2）知：当时，恒成立，所以， 所以当恒成立，令， 进而， 即，． 所以．（且） 即．（且） 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 题型12 三角函数类型不等式的证明 【例12】已知函数， (1)求的最小值； (2)证明：. 【答案】(1)1 (2)证明见详解 【分析】（1）换元令，构建，利用导数判断的单调性和最值，进而可得的最小值； （2）由（1）结合正弦函数性质可得，构建，，利用导数可证，进而结合指数函数性质分析证明即可. 【详解】（1）令，由可知， 构建， 则在内恒成立， 可知在内单调递减，则， 所以的最小值为1. （2）由（1）可知：，即， 又因为，则， 可得，则， 构建，，则在内恒成立， 可知在内单调递增，则， 即，可得， 注意到，则， 所以. 【变式1】已知函数 (1)若函数在内点处的切线斜率为，求点的坐标； (2)①当时，求在上的最小值； ②证明：． 【答案】(1) (2)①最小值是0；②证明见解析. 【分析】（1）利用导数求切线斜率，结合已知可得切点横坐标，根据解析式求纵坐标可得； （2）①利用二次导数判断导函数单调性，结合零点存在性定理判断导函数零点，根据单调性求导函数最小值，然后可判断的单调性，进而可得最小值；②构造函数，利用导数证明，结合①中结论可得，令，利用裂项相消法可证. 【详解】（1）设点. 由于，则，得， 则，且，所以点的坐标为. （2）①， 则，记， 则 易知在上单调递减，且, ，即， 所以，当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减. 因为， 所以时，，在单调递增， 所以，当时，取得最小值. ②由①可知，时恒成立，即恒成立. 设，则， 当时，，在上单调递增， 所以，所以， 又，所以， 取，则， ，得证. 【点睛】关键点睛：第二问中第2小问，关键在于构造函数，利用导数证明，结合第1小问中结论得，然后利用裂项相消法可证. $$2024-2025学年《考点通关》高二数学微专题精准突破（人教A版2019选择性必修第二册） 微专题5-18 利用导数证明不等式12种常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 直接法证明简单不等式 题型2 选择关键部位构造函数 题型3 挖出同构关系后构造函数 题型4 放缩法证明不等式——参数放缩 题型5 放缩法证明不等式——利用结论放缩 题型6 放缩法证明不等式——切线放缩 题型7 拆分法证明不等式 题型8 利用“隐零点”证明不等式 题型9 双变量不等式的证明 题型10 等价转化后构造函数 题型11 数列不等式的证明 题型12 三角函数类型不等式的证明 导数中的不等式证明是高考的常考题型，是高考的热点问题，常与函数的性质、函数的零点与极值、数列等相结合，虽然题目难度较大，但是解题方法多种多样，如构造函数法、放缩法等，针对不同的题目，灵活采用不同的解题方法，可以达到事半功倍的效果. (1)一般地，要证f(x)>g(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式．若F(a)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递减即可. (2)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，可考虑转化为两个函数的最值问题． 一、构造法证明不等式 1、移项作差构造函数 移项作差法是证明不等式的最常用的方法，将含的项或所有项均挪至不等号的一侧，将一侧的解析式构造为函数，通过分析函数的单调性得到最值，从而进行证明，其优点在于目的明确，构造方法简单，但对于移项后较复杂的解析式则很难分析出单调性． （注：待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”或“右减左”的函数，利用导教研究其单调性等相关函数性质证明不等式.） 2、及时换元后构造函数 由于是证明两个变量的大小关系问题，通过换元，将两元变换成一元，这样降低了问题的难度，使之变成我们熟悉的、容易解决的问题了． 3、等价转化后构造函数 在充分挖掘题目内涵的基础上，将待证的不等式进行转化、变形，使之等价变形为另一个大小关系证明的问题，然后再通过建立新函数轻松地解决了问题． 如等价转化为进而构造函数； 4、挖出同构关系后构造函数 由于待证的不等式比较复杂，在分析、化简、变形的基础上，再经过换元处理，成功的找到了同构关系，然后通过设新函数，这样，成功地解决问题就是很容易了． 5、选择关键部位构造函数 在解题过程中，根据大小比较的需要，对表达式中的一部分采用构造函数处理，也是一个重要的解题思路，这种求解方法的关键是精确替换，以起作用、易解决为替换原则． 二、放缩法证明不等式 放缩式是放缩法的重要组成部分，是放缩法的"骨肉". 用好放缩法的关键在于灵活运用放缩式，我们既然想去放缩一个式子来证明不等式，那最基本、最重要的就是掌握一些重要的放缩式. 这里将放缩式分为基本放缩式和变形放缩式.基本放缩式也就是常说的“不等式串”，大部分放缩式都由它变形而来，是必须掌握的放缩式. 放缩小技巧： （一）不等号的方向 在放缩中，我们应注意想放缩的那一项的位置是否在分母上或是否带有负号，有时需要变更它的符号.比如，当时，由放缩式可得到,又可得到 （二）整体代换 整体代换使用的是数学中的整体思想，比如，这个式子中便运用了此方法，学会将已知的放缩式变更为解题需要的放缩式很重要． （三）调整次数 一般来说，调整次数有以下几个功能：便于配方，便于约分，便于合并同类项.比如，已知，为了证明，则必须证明，通过先求导再讨论单调性来证明比较麻烦，而我们知道完全平方非负，且，所以有. 放缩法主要解决问题的类型： 1、函数解析式中含有已知范围的参数，可以考虑借助于常识或已知的范围减少变量，对参数适当放缩达到证明的目的.放缩法的合理运用，往往能起到事半功倍的效果，有时能令人拍案叫绝.但其缺点也是显而易见，如果使用放缩法证题时没有注意放和缩的"度"，容易造成不能同向传递. 2、切线放缩：若第一小题是求曲线的切线方程，就要注意是否运用切线放缩法进行放缩解决问题. 拓展：（1）若在区间D上二阶可导，且，则对任意，有 （2）若在区间D上二阶可导，且，则对任意，有 （1）（2）的几何意义是凸（凹）函数的图像在其切线的上（下）方. 三、拆分法证明不等式 利用不等式性质对所证不等式进行拆分，转化成为的形式，若能证明，即可得：，本方法的优点在于对的项进行分割变形，可将较复杂的解析式拆成两个简单的解析式.但缺点是局限性较强，如果与不满足，则无法证明.所以用此类方法解题的情况不多。 四、指对同构证明不等式 在解决指对混合不等式时，如恒成立求参数取值范围或证明不等式，有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型(即不等式两边对应的同一函数)，无疑大大加快解决问题的速度.找到这个函数模型的方法，我们称为同构法. (1)五个常见变形： . 题型1 直接法证明简单不等式 【例1】求证：． 【变式1】证明以下不等式： (1)； (2)； (3). 【变式2】求证： (1)（）； (2)； (3)（）． 【变式3】已知函数. (1)求该函数在点处的切线方程； (2)证明：当时，. 【变式4】已知为正实数，构造函数．若曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)求证：． 【变式5】已知函数 (1)讨论函数的单调性； (2)证明：当时， 题型2 选择关键部位构造函数 【例2】已知函数. (1)若是的极小值点，求的取值范围； (2)若只有唯一的极值点，求证：. 【变式1】已知函数. (1)若曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求实数的值； (2)证明：若，则. 【变式2】已知函数 (1)讨论的单调性； (2)证明：. 题型3 挖出同构关系后构造函数 【例3】已知函数. (1)判断极值点的个数； (2)当时，证明：. 【变式1】已知函数． (1)讨论函数的单调性及极值，并判断方程的实根个数； (2)证明：． 【变式2】已知函数． (1)讨论在区间上的单调性； (2)当时，证明：． 【变式3】已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：． 题型4 放缩法证明不等式——参数放缩 【例4】已知函数，若恒成立， (1)求实数的取值范围； (2)当时，证明：. 【变式1】已知函数. (1)若恒成立，求的取值范围； (2)当时，证明恒成立. 【变式2】已知函数. （1）求函数的极值； （2）若，求证：. 题型5 放缩法证明不等式——利用结论放缩 【例5】已知函数（）． (1)若函数的极大值为0，求实数a的值； (2)证明：当时，． 【变式1】已知函数． (1)若在上恒成立，求实数a的值； (2)证明：当时，． 【变式2】已知函数，其中. (1)求曲线在点处切线的倾斜角； (2)若函数的极小值小于0，求实数的取值范围； (3)证明：. 【变式3】已知函数，（，）. (1)讨论函数的单调性； (2)若，证明：. 题型6 放缩法证明不等式——切线放缩 【例6】已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)证明：当时，都有. 【变式1】已知函数为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行. (1)求的值； (2)求的单调区间； (3)设，其中为的导函数.证明：对任意，. 题型7 拆分法证明不等式 【例7】已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)当时，证明：． 【变式1】已知函数． (1)证明函数有唯一极小值点； (2)若，求证：． 【变式2】已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：. 【变式3】已知函数. （1）讨论的单调区间； （2）当且，求证：. 题型8 利用“隐零点”证明不等式 【例8】已知函数． (1)已知点在函数的图象上，求函数在点P处的切线方程． (2)当时，求证． 【变式1】函数，其中为自然对数的底数． (1)当时，判断函数的单调性； (2)若直线是函数的切线，求实数的值； (3)当时，证明：． 【变式2】已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)当时，证明：． 【变式3】已知函数 (1)讨论的单调性; (2)证明:当时， 题型9 双变量不等式的证明 【例9】已知函数. (1)求出的极值点； (2)证明：对任意两个正实数，且，若，则. 【变式1】已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若，为函数的两个零点，求证：． 【变式2】已知函数有两个零点，，且， (1)求的取值范围； (2)证明： 【变式3】已知函数（）． (1)讨论的单调性； (2)若，（）是的两个极值点，证明：． 题型10 等价转化后构造函数 【例10】已知函数设函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若函数存在两个极值点，证明： 【变式1】已知函数. (1)若曲线在点处的切线斜率为0，求的值； (2)判断函数单调性并说明理由； (3)证明：对，都有成立. 题型11 数列不等式的证明 【例11】已知函数 (1)证明：； (2)证明：． 【变式1】已知. (1)当，证明； (2)讨论的单调性； (3)利用（1）中的结论，证明：. 【变式2】已知函数. (1)当时，，求的取值范围； (2)函数有两个不同的极值点（其中），证明：； (3)求证：. 【变式3】已知函数． (1)求的单调区间； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)求证：．（且） 题型12 三角函数类型不等式的证明 【例12】已知函数， (1)求的最小值； (2)证明：. 【变式1】已知函数 (1)若函数在内点处的切线斜率为，求点的坐标； (2)①当时，求在上的最小值； ②证明：． $$