专题03：因数与倍数（讲义）-2025年小升初数学复习讲练测（通用版）（教师版+学生版）

【复习讲义】2025年小升初数学复习讲练测（通用版） 第一章、数的认识 专题03：因数与倍数 （5大考点典例讲解+知识总结+易错点拨+变式练习+真题训练） 【考点一】因数和倍数的认识 【考点二】2、3、5的倍数特征 【考点三】奇数和偶数 【考点四】质数、合数与分解质因数 【考点五】最大公因数和最小公倍数 知识点01：因数和倍数的认识 1、在整数除法中，如果商是整数而没有余数（或者说余数为0），我们就说除数是被除数的因数，被除数是除数的倍数。 例如：12÷2＝6 → 2是12的因数，12是2的倍数。 2×6＝12 → 2和6是12的因数，12是2和6的倍数。 2、因数和倍数是相互依存的，不能单独存在，不能说谁是因数，也不能说谁是倍数，应该说谁是谁的因数或谁是谁的倍数。 倍数和因数都是自然数（一般不包括0），不能是小数或分数。 3、找一个数的因数的方法 （1）列乘法算式找：根据因数的意义，有序地写出两个整数相乘得此数的所有乘法算式，算式中的两个因数都是此数的因数。 （2）列除法算式找：用此数除以大于等于1而小于等于它本身的整数，所得的商是整数而无余数，这些除数和商都是此数的因数。 4、一个数的因数的特征 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 5、表示一个数的因数的方法 （1）列举法；（2）集合表示法。 6、找一个数的倍数的方法 （1）列乘法算式找：用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 （2）列除法算式找：看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 7、一个数的倍数的特征 一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 8、表示一个数的倍数的方法 （1）列举法；（2）集合表示法。 知识点02：2、3、5的倍数特征因数和倍数的应用 1、自然数中个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。 2、个位上是0或5的数都是5的倍数。 3、一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 4、同时是2和3的倍数的特征：个位上是0，2，4，6，8，且各个数位上的数字之和是3的倍数； 5、同时是3和5的倍数的特征：个位上是0或5的数，各个数位上的数字之和是3的倍数； 6、同时是2和5的倍数的特征：个位上是0的数； 7、同时是2、3、5的倍数的特征：个位上是0，且各个数位上的数字之和是3的倍数。 知识点03：奇数和偶数 1、自然数按是否是2的倍数，可以分为奇数和偶数两大类。 （1）偶数：是2的倍数的数叫偶数。 （2）奇数：不是2的倍数的数叫奇数。 （3）0是最小的偶数。 （4）1是最小的奇数 2、奇偶性 奇数＋奇数＝偶数；奇数＋偶数＝奇数；偶数＋偶数＝偶数； 奇数×奇数＝奇数；奇数×偶数＝偶数；偶数×偶数＝偶数。 知识点04：质数、合数与分解质因数 1、一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。 最小的质数是2。 2、一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 （1）最小的合数是4。 （2）1既不是质数，也不是合数。 3、质因数：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。 4、分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 例如：30＝2×3×5，这个过程就叫分解质因数，其中2、3、5就是30的质因数。 知识点05：最大公因数和最小公倍数 1、最大公因数 几个数公有的因数，叫作这几个数的公因数。其中最大的那个叫作这几个数的最大公因数。 2、用“短除法”求几个数的最大公因数 先用这几个数共有的质因数同时去除这几个数，直到所得的商互质为止，再将所有的除数相乘。 3、最小公倍数 几个数公有的倍数，叫作这几个数的公倍数。其中最小的那个叫作这几个数的最小公倍数。 4、用“短除法”求几个数的最小公倍数 方法与求“两个数的最大公因数”的短除过程相同，只是求最小公倍数，只需要把所有的除数和商都相乘即可。 易错点01：忽略因数和倍数是相互依存的关系。 【举例】因为6÷2=3，所以6是倍数，2和3是因数，这种说法是错误的。 【点拨】正确说法是6是2和3的倍数，2和3是6的因数。因数和倍数是相对而言，不能孤立存在，不能单独说某个数是因数或倍数。 易错点02：对于3的倍数特征，只看个位数字，而不是各个数位上数字之和。 【举例】判断136是否为3的倍数，只看个位6是3的倍数，就认为136是3的倍数，这是错误的。实际上1+3+6=10，10不是3的倍数，所以136不是3的倍数。 【点拨】3的倍数特征是各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数才是3的倍数。 易错点03：在分解质因数时，分解不彻底或写成乘法算式时因数不是质数。 【举例】把12分解质因数写成12=2×6，这是错误的，6不是质数，正确的是12=2×2×3。 【点拨】分解质因数是把一个合数写成几个质数相乘的形式，要从最小的质数开始试除，直到不能再分解为止。 易错点04：对质数、合数的概念混淆。 【举例】认为1是质数。实际上1既不是质数也不是合数。 【点拨】质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。2是最小的质数；4是最小的合数。 考点1：因数和倍数的认识 【典型例题1】如果（a和b是不为0的自然数），那么下面正确的是（    ）。 A．a和b的最小公倍数是ab B．b是a的因数 C．a和b的最大公因数是3 D．b是3的倍数 【答案】B 【分析】如果a÷b＝3，a和b成倍数关系；则a是b的倍数，b是a的因数，它们的最大公因数是其中的较小数，最小公倍数是其中的较大数；据此逐项分析，进行解答。 【详解】A．a和b的最小公倍数是a，原题干说法错误； B．a是b的倍数，b是a的因数，原题干说法正确； C．a和b的最大公因数是b，原题干说法错误； D．a是b和3的倍数，原题干说法错误。 故答案为：B 【典型例题2】一个数如果除了它本身以外所有因数相加的和，恰好又等于它本身，这样的数称作“完美数”。比如6的因数有1、2、3、6，除去本身后，1、2、3三个因数的和正好等于它本身，所以6是一个完美数。下面各数中（    ）是完美数。 A．12 B．28 C．36 D．40 【答案】B 【分析】先找出各个选项数字的所有因数，看除了它本身以外所有因数相加的和，是否等于它本身，据此解答。 【详解】A．12的因数有：1、2、3、4、6、12。除去12，剩下的因数和为：1＋2＋3＋4＋6＝16，16≠12，所以12不是完美数； B．28的因数有：1、2、4、7、14、28。除去28，剩下的因数和为：1＋2＋4＋7＋14＝28，28＝28，所以28是完美数； C．36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36。除去36，剩下的因数和为：1＋2＋3＋4＋6＋9＋12＋18＝55，55≠36，所以36不是完美数； D．40的因数有：1、2、4、5、8、10、20、40。除去40，剩下的因数和为：1＋2＋4＋5＋8＋10＋20＝50，50≠40，所以40不是完美数。 各数中28是完美数。 故答案为：B 【典型例题3】图书馆许老师要为每位同学制作一张借书证，借书证的规格如图所示。下面各种规格的纸中，选用（    ）最合适。（在制作借书证时，纸张没有剩余） A．长40厘米，宽35厘米 B．长36厘米，宽24厘米 C．长30厘米，宽18厘米 D．长20厘米，宽12厘米 【答案】B 【分析】由题意，要想剪时没有剩余，则纸的长、宽必须是8、6的倍数，据此逐项分析即可得解。 【详解】A．长40厘米，宽35厘米，35不是6的倍数，不合适； B．长36厘米，宽24厘米，36是6的倍数，24是8的倍数，合适； C．长30厘米，宽18厘米，30不是8的倍数、36是6的倍数，不合适； D．长20厘米，宽12厘米，20不是8的倍数，不合适。 故答案为：B 【变式训练1】如果a÷b＝，（a、b都是非0自然数）那么（    ）。 A．a＝1，b＝4 B．b是a的4倍 C．a是b的4倍 【答案】B 【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。因数与倍数是相互依存的。必须说，谁是谁因数，谁是谁的倍数，据此解答。 【详解】由分析可得：如果a÷b＝，（a、b都是非0自然数）那么b是a的4倍。 故答案为：B 【变式训练2】下面能表示因数和倍数关系的等式是（    ）。 A．8×1.25＝10 B．2×0＝0 C．7×2＝14 D．3÷0.5＝6 【答案】C 【分析】根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（为了方便，我们在研究因数和倍数时，所说的数一般指不是零的自然数）；由此进行选择即可。 【详解】根据因数和倍数的意义可知： A．8×1.25＝10，1.25是小数，不属于因数和倍数关系； B．2×0＝0，0÷2＝0，不属于因数和倍数关系； C．7×2＝14，即14÷2＝7，是整除算式，属于因数和倍数关系； D．3÷0.5＝6，0.5是小数，不属于因数和倍数关系。 故答案为：C 【变式训练3】已知m＝22×3×5，那么m的因数有（    ）个。 A．12 B．4 C．10 【答案】A 【分析】先计算出m的值，再列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。据此解答。 【详解】22×3×5 ＝4×3×5 ＝60 m＝60 60＝1×60＝2×30＝3×20＝4×15＝5×12＝6×10 60的因数有1、60、2、30、3、20、4、15、5、12、6、10，共12个。 故答案为：A 【变式训练4】智能车间可以通过给机械臂输入设定值，让机械臂自动将相同个数的零件装箱打包。一批零件有40个，如果不能每次单个打包，也不能一次全部打包，且最后正好打包完，那么共有（ ）种设定值。 【答案】6 【分析】要找出能正好打包完40个零件的设定值，就是找出40的因数，但要去掉1和40这两个不符合条件的因数，据此解答。 【详解】40的因数有：1、2、4、5、8、10、20、40，共8个。 除去1和40，还有2、4、5、8、10、20，共6个。 即共有6种设定值。 考点2：2、3、5的倍数特征 【典型例题1】4月23日是“世界读书日”，学校开展了读书活动。笑笑看了一本80页的画册，翻开后看到两个页码，其中一个页码既是2的倍数，又是5的倍数。请你想一想翻开的页码可能是（    ）。 A．34、35 B．60、61 C．75、76 D．89、90 【答案】B 【分析】一个数既是2的倍数，又是5的倍数，说明这个数的个位一定是0，据此解答。 【详解】A．34、35的个位都不是0，因此翻开的页码不可能是34、35； B．60的个位是0，因此翻开的页码可能是60、61； C．75、76的个位都不是0，因此翻开的页码不可能是75、76； D．画册的总页数是80页，因此翻开的页码不可能是89、90。 故答案为：B 【典型例题2】学校为考生准备了128支2B铅笔，平均分给3个班至少要减去（ ）支，平均分给5个班至少要加上（ ）支。 【答案】 2 2 【分析】要想平均分给3个班，总支数必须是3的倍数，要想平均分给5个班，总支数必须是5的倍数，根据3和5的倍数的特征进行分析。 3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数。 【详解】1＋2＋8＝11、11－9＝2（支） 130－128＝2（支） 学校为考生准备了128支2B铅笔，平均分给3个班至少要减去2支，平均分给5个班至少要加上2支。 【典型例题3】一个三位数是3的倍数，去掉它的末位数后，所得的两位数是17的倍数，在这样的三位数中，最大是几？ 【答案】858 【分析】两位数是17的倍数有：17、34、51、68、85；这五个数中最大的是85。于是所求数的前两位数字为8，5。这个三位数是3的倍数，即各个数位上数的和能被3整除，因为8＋5＝13，所以所求数的个位数字为2、5、8时，该数是3的倍数，即这个三位数可能是852、855、858，选出最大的即可；据此解答。 【详解】两位数是17的倍数有：17、34、51、68、85；这五个数中最大的是85。 因为三位数是3的倍数，8＋5＝13 因此13＋2＝15，这个三位数可能是852； 13＋5＝18，这个三位数可能是855； 13＋8＝21，这个三位数可能是858； 852＜855＜858，因此在这样的三位数中，最大是858。 答：最大是858。 【典型例题4】“7■24★”是一个五位数，它同时是2、3、5的倍数，那么★所代表的数字是（ ），■所代表的数字最小是（ ）。 【答案】 0 2 【分析】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。 5的倍数特征：个位上是0或5的数。 2、5的倍数特征：个位上是0的数。 3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【详解】“7■24★”是2、5的倍数，那么★一定是0； 7＋■＋2＋4＋0＝13＋■ 要使这个五位数是3的倍数，各个数位上的和应是： 13＋2＝15，13＋5＝18，13＋8＝21； ■可以是2、5、8，其中2最小。 “7■24★”是一个五位数，它同时是2、3、5的倍数，那么★所代表的数字是0，■所代表的数字最小是2。 【变式训练1】一个数既是35的因数，又是5的倍数，这个数可能是（ ）或（ ）。 【答案】 5 35 【分析】根据题意，先找出35的所有因数，再从中找出5的倍数即可。 列乘法算式找35的因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是35的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是35的因数。 5的倍数的特征：个位上的数字是0或5。 【详解】通过分析可得： 35＝1×35＝5×7，则35的因数有1、5、7、35； 5的倍数有：5、10、15、20、25、30、35…。 则这个数可能是5或35。 【变式训练2】一个四位数，百位是2，十位是7，能同时被2和3整除。这个四位数最大是（ ），最小是（ ）。 【答案】 9276 1272 【分析】求最大那么最高位上的数是9，能被2整除个位上是0、2、4、6、8，能被3整除各个数位上的数相加的和是3的倍数。9＋7＋2＝18，那么个位数是6。因此这个数最大是9276；求最小同理最高位是1，1＋7＋2＝10，10＋2＝12，个位数是2。 【详解】9＋7＋2 ＝16＋2 ＝18 那么个位数是6。 所以这个四位数最大是9276。 1＋7＋2 ＝8＋2 ＝10 10＋2＝12，个位数是2。 所以这个四位数最小是1272。 【变式训练3】从0、3、4、7、8中选3个数字，组成一个能同时被2、3、5整除的三位数，最大是（ ）。 【答案】870 【分析】能被2和5同时整除的数的末尾是0或5，各个数位上数的和能被3整除这个数就能被3整除，还要用到数的大小组成。组成大数时除了0之外把最大的数从大到小依次写出，据此解答。 【详解】由分析可得：从0、3、4、7、8中选3个数字，组成一个能同时被2、3、5整除的三位数，最大是870。 考点3：奇数和偶数 【典型例题1】有三个连续偶数，中间一个数是a，最小的是（ ），最大的是（ ）。如果最小的数是18，那么这三个数的平均数是（ ）。 【答案】 a－2 a＋2 20 【分析】根据“相邻的两个偶数相差2”，分别得出这三个偶数；如果最小的那个是18，则另两个就是18＋2、18＋4，用这三个数的和除以3即可求得它们的平均数；据此解答． 【详解】三个连续偶数，中间一个数是a，最小的是a－2，最大是a＋2； 最小数是18，则另外两个数为：18＋2＝20；18＋4＝22； （18＋20＋22）÷3 ＝（38＋22）÷3 ＝60÷3 ＝20 有三个连续偶数，中间一个数是a，最小的是a－2，最大的是a＋2。如果最小的数是18，那么这三个数的平均数是20。 【典型例题2】M是一个奇数，N是一个偶数，下面各数中一定是奇数的是（    ）。 A．4M＋3N B．3M＋2N C．2（M＋N） 【答案】B 【分析】奇数和偶数的运算性质：①偶数±偶数＝偶数；②奇数±奇数＝偶数；③偶数±奇数＝奇数；④任意个偶数相加得偶数；⑤偶数个奇数相加得偶数；⑥奇数个奇数相加得奇数；⑦偶数×奇数＝偶数；⑧奇数×奇数＝奇数；⑨偶数×偶数＝偶数；据此分析解答。 【详解】A．4M＋3N；4是偶数，M是奇数，4M是偶数；3是奇数，N是偶数，3N是偶数，偶数＋偶数＝偶数，即4M＋3N是偶数； B．3M＋2N；3是奇数，M是奇数，3M是奇数；2是偶数，N是偶数，2N是偶数；奇数＋偶数＝奇数，即3M＋2N是奇数； C．2是偶数，所以2（M＋N）是偶数。 M是一个奇数，N是一个偶数，一定是奇数的是3M＋2N。 故答案为：B 【变式训练1】把10张卡片依次从“1”到“10”进行编号，任意从中抽取1张卡片，抽到卡片是（    ）的可能性最小。 A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 【答案】C 【分析】1－10的数中： 1、3、5、7、9是奇数； 2、4、6、8、10是偶数； 2、3、5、7是质数； 4、6、8、9、10是合数； 根据数字出现的数量解答。 【详解】由分析可知： 1－10的数中，其中奇数有5个，偶数有5个，质数有4个，合数有5个，因此抽到质数的可能性最小。 故答案为：C 【变式训练2】下列说法正确的是（ ）。 A．偶数一定是合数 B．连续的三个质数之和一定是奇数 C．如果一个合数可以写成两个不同质数相乘的形式，那么这个合数最少有4个因数 D．60个连续自然数的乘积是奇数 【答案】C 【分析】能被2整除的数叫做偶数；不能被2整除的数叫做奇数；一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，除以1和它本身，还有其它因数，这样的数叫做合数；自然数：在数物体的个数时，用来表示物体个数的1，2，3，4，…叫做自然数，一个物体也没有，用“0”表示；再根据运算性质：偶数×奇数=偶数；奇数×奇数=奇数；偶数×偶数=偶数；据此逐项分析，进行解答。 【详解】A.2是偶数，2不是合数，所以偶数不一定是合数，原题干说法错误。 B.如：2，3，5；2+3+5=10；10是偶数，所以连续的三个质数之和不一定是奇数，原题干说法错误。 C.合数的因数最少有1和它本身以及相乘的两个质数，所以如果一个合数可以写成两个不同质数相乘的形式，那么这个合数最少有4个因数，原题干说法正确 。D.如果连续自然数含有0，则积等于0，0数偶数，所以60个连续自然数的乘积不一定是奇数，原题干说法错误。说法正确的是如果一个合数可以写成两个不同质数相乘的形式，那么这个合数最少有4个因数。 故答案为：C 【变式训练3】用三张卡片，任意摆成一个三位数，下面正确的是（ ）。 A．这个三位数是偶数的可能性更大 B．这个三位数是奇数的可能性更大 C．这个三位数是3的倍数的可能性更大 D．这个三位数是5的倍数的可能性更大 【答案】C 【分析】先写出用三张卡片组成的三位数；再根据偶数的意义：能被2整除的数叫做偶数；奇数的意义：不能被2整除的数叫做奇数；3的倍数特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数。据此逐项分析，进行解答。 【详解】三张卡片组成的三位数是：150，105，510，501。 A.150，105，510，501这四个数中，150和510是偶数，一共2个，105和501是奇数，一共2个；2=2，这个三位数是偶数和是奇数可能性相等，原题干说法错误。 B.150，105，510，501这四个数中，150和510是偶数，一共2个，105和501是奇数，一共2个；2=2，这个三位数是偶数和是奇数可能性相等，原题干说法错误。 C.150，105，510，501这四个数中，1+5+0=6，6能被3整除，这四个数都是3的倍数，即这个三位数是3的倍数的可能性更大，原题干说法正确。 D.150，105，510，501这四个数中，150、105、510是5的倍数，501不是5的倍数，原题干说法错误。 用150三张卡片，任意摆成一个三位数，说法正确的是这个三位数是3的倍数的可能性更大。 故答案为：C 考点4：质数、合数与分解质因数 【典型例题1】杭州亚运会开幕式的日期很特别：表示月份的数是一位数中最大的合数；表示日子的数是一个两位数，十位上是最小的质数，个位上是 3 的最小倍数。开幕式的日期是（    ）。 A．8月23日 B．8月26日 C．9月13日 D．9月23日 【答案】D 【分析】因数只有1和它本身两个的数是质数；因数除了1和它本身还有其他因数是合数。 一位数的合数：4、6、8、9，则最大的是9；最小的质数是2；3的倍数有3、6、9……，最小的就是3，据此解答即可。 【详解】月份：一位数中最大的合数：9 日子：十位上的最小的质数：2 个位上是3的最小倍数：3 开幕式的日期：9月23日 故答案为：D 【典型例题2】小静打开数学书时，发现两页页码之积是420，这两页分别是（ ）页和（ ）页。 【答案】 20 21 【分析】根据题意，两页页码之积是420，先把420分解质因数，再把这些质因数重新组合，变成连续两个自然数相乘的形式，即可得解。 【详解】420＝2×2×3×5×7＝（2×2×5）×（3×7）＝20×21 这两页分别是20页和21页。 【变式训练1】如果两个数的和为64，两个数的积是4875的因数，那么这两个数的差是多少？ 【答案】14 【分析】两个数的积是4875的因数，所以应先分解4875，在其因数中寻找和为64的两个因数。 【详解】 所以，小于64的因数有1，3，5，13，15，25，39，在这七个数中，和为64的两个数只有25与39，而，是4875的因数。所以这两个数为39和25。 答：这两个数的差为14。 【变式训练2】最小的质数、最小的合数与最大的一位数，这三个数的积是（ ），把这三个数的积分解质因数是（ ）。 【答案】 72 【分析】如果一个数的因数只有1和它本身，则这个数是质数，如果一个数的因数除了1和它本身外，还有其他的因数，则这个数是合数；最小的质数是2，最小的合数是4，最大的一位数是9，用乘法计算出它们的乘积即可；再把结果写成几个质数相乘的形式即可解答。 【详解】 最小的质数、最小的合数与最大的一位数，这三个数的积是72，把这三个数的积分解质因数是72＝2×2×2×3×3。 【变式训练3】三个小朋友的年龄一个比一个大1岁，他们三个人的年龄相乘的积是1320，其中最小的一个是（ ）岁。 【答案】10 【分析】已知三个小朋友的年龄相乘的积是1320，先把1320分解质因数，再改写成3个连续自然数相乘的形式，即可得出三个小朋友的年龄，据此得出最小的年龄。 【详解】1320＝2×2×2×3×5×11 2×2×2×3×5×11＝10×11×12 所以三个小朋友的年龄分别是10岁、11岁、12岁。 其中最小的一个是10岁。 考点5：最大公因数和最小公倍数 【典型例题1】《水浒传》是我国四大名著之一，书中描写了108位梁山好汉，“108”的最大因数是（ ），最小倍数是（ ），把108分解质因数是（ ），108的所有因数中质数有（ ）个。 【答案】 108 108 108＝2×2×3×3×3 2 【分析】一个数它的最大因数是它本身，最小倍数是它本数；分解质因数的定义：把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式，即求质因数的过程叫做分解质因数。把108分解质因数，即可求出所有质因数有几个，据此解答。 【详解】108的最大因数是108； 108的最小倍数是108； 108＝2×2×3×3×3 108的所有因数中，质因数有2和3，一共2个。 《水浒传》是我国四大名著之一，书中描写了108位梁山好汉，“108”的最大因数是108，最小倍数是108，把108分解质因数是180＝2×2×3×3×3，108的所有因数中质数有2个。 【典型例题2】欢欢负责照顾家中的花草，妈妈说：“吊兰每4天浇一次水，杜鹃花每6天浇一次水。”5月24日欢欢给吊兰和杜鹃花同时浇水，那么下一次欢欢同时给这两种花浇水的时间是在（ ）。 【答案】6月5日 【分析】根据题意，吊兰每4天浇一次水，杜鹃花每6天浇一次水，那么同时给这两种花浇水的间隔天数就是4和6的公倍数；先求出4和6的最小公倍数，再加上第一次同时给这两种花浇水的日期，得出下一次再给它们同时浇水的日期。 【详解】4＝2×2 6＝2×3 4和6的最小公倍数是：2×2×3＝12 即每12天同时给这两种浇水。 5月24日＋12天＝6月5日 那么下一次欢欢同时给这两种花浇水的时间是在6月5日。 【典型例题3】把一张长1.71米，宽0.9米的长方形纸剪成同样大小的正方形纸，并使正方形纸的面积尽可能大且剪完后没有剩余，一共可以裁出（ ）张。 【答案】190 【分析】把长方形的纸剪成正方形且没有剩余，则正方形的边长为长方形长与宽的公因数，要使正方形的面积尽可能大，正方形的边长应是长方形的长与宽的最大公因数。计算时先将米化成厘米，再求出最大正方形的边长，最后分别求出长方形的长边有几个正方形的边长，宽有几个正方形的边长，再相乘即可得解。 【详解】1.71米＝171厘米 0.9米＝90厘米 171和90的最大公因数是： （张） 把一张长1.71米，宽0.9米的长方形纸剪成同样大小的正方形纸，并使正方形纸的面积尽可能大且剪完后没有剩余，一共可以裁出190张。 【变式训练1】如果甲数是12，乙数是18，那么甲和乙的最大公因数是（    ），最小公倍数是（    ）。 A．6，36 B．12，36 C．24，12 D．36，6 【答案】A 【分析】分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。 两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是最大公因数；把公有的质因数与每个数独有质因数乘起来，就是最小公倍数。 【详解】12＝2×2×3 18＝2×3×3 12和18的最大公因数是：2×3＝6 12和18的最小公倍数是：2×2×3×3＝36 那么甲和乙的最大公因数是6，最小公倍数是36。 故答案为：A 【变式训练2】已知一个两位数“6☐”是2和3的公倍数，☐里最小填（ ），把这个两位数分解质因数（ ），这个两位数与45的最大公因数是（ ）。 【答案】 0 60＝2×2×3×5 15 【分析】根据2、3的倍数的特征：个位数是0、2、4、6、8的都是2的倍数；一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数一定是3的倍数。既是2的倍数又是3的倍数的特征：个位上的数字是0、2、4、6、8，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。分解质因数：把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式，即求质因数的过程叫做分解质因数。分解质因数只针对合数。再根据求两个数最大公因数的方法：两个数的公有质因数的连乘积，就是这两个数的最大公因数，据此解答。 【详解】60是2的倍数；6＋0＝6，6能被3整除，60是3的倍数，□内最小填0； 60＝2×2×3×5 45＝3×3×5 60和45的最大公因数是：3×5＝15。 已知一个两位数“6☐”是2和3的公倍数，☐里最小填0，把这个两位数分解质因数60＝2×2×3×5，这个两位数与45的最大公因数是15。 【变式训练3】同学们玩“拥抱好朋友”的游戏，无论是6人拥抱或者9人拥抱，结果都多出1人。参加游戏的同学至少（ ）人。 【答案】19 【分析】无论是6人拥抱或者9人拥抱，结果都多出1人，说明参加游戏的同学至少是6和9的最小公倍数再加上1；先求出6和9的最小公倍数，用最小公倍数加上1，据此解答。 【详解】6＝2×3 9＝3×3 6和9的最小公倍数为：2×3×3＝18。 18＋1＝19（人） 因此参加游戏的同学至少19人。 一、选择题 1．（2024·四川绵阳·小升初真题）把18分解质因数是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分解质因数：把一个合数写成几个质数相乘的形式。 20以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19。 据此判断即可。 【详解】A．6不是质数。该选项不符合题意； B．2、3、3都是质数。该选项符合题意； C．9不是质数。该选项不符合题意； D．9不是质数，1既不是质数也不是合数。该选项不符合题意。 故答案为：B 2．（2024·四川乐山·小升初真题）一个三位数，同时是2、3、5的倍数，这个数最大是（    ）。 A．999 B．995 C．998 D．990 【答案】D 【分析】先根据2、5的倍数特征，由个数是否是0，判断这个三位数是否是2、5的倍数； 如果是2、5的倍数，再根据3的倍数特征判断这个三位数是否是3的倍数； 最后确定这个三位数同时是2、3、5的倍数，且最大，即可得解。 2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。 5的倍数特征：个位上是0或5的数。 2、5的倍数特征：个位上是0的数。 3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【详解】A．999的个位不是0，不是2、5的倍数，不符合题意； B．995的个位不是0，不是2、5的倍数，不符合题意； C．998的个位不是0，不是2、5的倍数，不符合题意； D．990的个位是0，990是2、5的倍数； 9＋9＋0＝18，18是3的倍数； 所以，990同时是2、3、5的倍数，且最大，符合题意。 故答案为：D 3．（2024·四川成都·小升初真题）用0、2、5、8四张数字卡片可以摆出多个不同的四位数，这些四位数一定是（    ）。 A．2的倍数 B．3的倍数 C．4的倍数 D．5的倍数 【答案】B 【分析】从题意可知：2和4的倍数，一定是偶数，若这个四位数的个位上是5，这个四位数就一定不是2和4的倍数。5的倍数个位上一定是0或5，若这个四位数的个位上是2或8，这个四位数就一定不是5的倍数。一个数各位上的数字和是3的倍数，这个数就是3的倍数，因为0＋2＋5＋8＝15，15是3的倍数，所以无论0、2、5、8四张数字卡片怎样摆放，摆放出来的四位数都是3的倍数。据此解答。 【详解】因为0＋2＋5＋8＝15 15÷3＝5 所以无论0、2、5、8四张数字卡片怎样摆放，摆放出来的四位数都是3的倍数。 故答案为：B 4．（2024·四川成都·小升初真题）下面每组概念都是我们学过的重要知识，其中有（    ）组概念可以用下面的图形来准确表示它们间的关系。 ①奇数和偶数                ②平行四边形和长方形 ③平行和相交                ④等式和方程 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】①是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数； ②在四边形中，两组对边都平行的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是长方形，长方形是特殊的平行四边形； ③同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线； ④表示等号左右两边相等的式子是等式，含有未知数的等式叫做方程；据此解答。 【详解】①奇数不包含偶数，偶数也不包含奇数，不符合题意； ②长方形是特殊的平行四边形，符合题意； ③在同一平面内，只有两种位置关系，不是相交就是平行，不符合题意； ④等式不一定是方程，方程一定是等式，符合题意； 所以其中有2组概念可以用下面的图形来准确表示它们间的关系。 故答案为：B 5．（2024·福建莆田·小升初真题）如果〇表示一个质数，△表示一个合数，那么（    ）的结果一定是合数。 A．〇×△ B．〇－△ C．〇＋△ D．〇÷△ 【答案】A 【分析】质数是指在一个大于0的自然数中，除了1和此整数本身外，再没有其他的因数；合数是指一个数除了1和它本身以外还有别的因数的数；而自然数1，只有一个因数1，所以1既不是质数也不是合数。根据由此判断即可。 【详解】A．质数乘合数等于合数； B．质数减合数可能是质数，也可能是1，结果不是合数； C．根据质数加合数可能是质数，也可能是合数，即结果不一定是合数； D．质数÷合数不是整数，不可能是合数。 故答案为：A 6．（2024·四川绵阳·小升初真题）能整除12的整数有（    ）。 A．无数个 B．3个 C．6个 D．8个 【答案】C 【分析】能整除12的整数即是12的因数。按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是12的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是12的因数。据此解答。 【详解】12＝1×12＝2×6＝3×4，则12的因数有1、2、3、4、6、12，它们都能整除12，所以能整除12的整数有6个。 故答案为：C 7．（2024·四川绵阳·小升初真题）把18分解质因数是（    ）。 A．18＝3×6 B．18＝2×3×3 C．18＝2×9 D．18＝2×9×1 【答案】B 【分析】分解质因数：把一个合数写成几个质数相乘的形式。 20以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19。 【详解】A．6不是质数； B．2、3、3都是质数； C．9不是质数； D．9不是质数，1既不是质数也不是合数。 故答案为：B 8．（2024·四川绵阳·小升初真题）甲、乙两人完成某项工程的天数之比是5∶4，乙、丙两人完成该项工程的天数之比为3∶2，那么甲做15天的工程丙要做（    ）天。 A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】C 【分析】由题意可知，找出4和3的最小公倍数，根据比的基本性质，可得到甲、乙、丙完成该项工程的天数之比是：15∶12∶8，据此解答。 【详解】因此甲∶乙＝5∶4 乙∶丙＝3∶2 所以甲∶乙∶丙＝15∶12∶8 甲做15天的工程丙要做8天。 故答案为：C 9．（2024·四川绵阳·小升初真题）下列说法正确的有（    ）个。 （1）一个数的因数一定比这个数的倍数小 （2）最小的自然数与最小的质数以及最小的合数之和是7 （3）除以一个数等于乘这个数的倒数 （4）把一个整数平均分为若干份，其中的一份或是几份，可以用分数表示 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】（1）根据一个数因数和倍数的关系进行解答； （2）最小的自然数是0，最小的质数是2，最小的合数是4，据此求出它们的和，再进行比较； （3）根据分数除法法则进行解答； （4）根据分数的意义进行解答。 【详解】（1）一个数最大因数是它本数，最小倍数是它本身；原题干说法错误； （2）最小的自然数是0，最小的质数是2，最小的合数是4，0＋2＋4＝6；原题干说法是错误的； （3）除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数，原题干说法是错误的。 （4）根据分数的意义：把一个单位“1”平均分为若干份，其中的一份或是几份，可以用分数表示，原题干说法正确。 说法正确的有1个。 故答案为：A 10．（2024·四川宜宾·小升初真题）在0、1、5、6这四个数字中，选取三个数字组成一个三位数，使它是2、3、5的倍数，这个数最小是（    ）。 A．60 B．150 C．105 【答案】B 【分析】能被同时被2、5整除的数个位为0；能被3整除的数各个数位上的数字之和是3的倍数。据此判断解答。 【详解】A．60不是三位数，该选项不符合题意； B．150个位数字是0，1＋5＋0＝6，6是3的倍数，150是2、3、5的最小倍数，该选项符合题意； C．105个位数字是5，不是2的倍数，该选项不符合题意。 故答案为：B 11．（2024·四川绵阳·小升初真题）一个数既是2的倍数，又是3的倍数。还有因数5，这个数的个位上一定是（    ）。 A．5 B．2 C．0 【答案】C 【分析】个位上是0，2，4，6，8的数是2的倍数；个位上是0或5的数是5的倍数；如果一个数的各个数位上的数的和是3的倍数，那么这个数就是3的倍数。同时是2、3、5的倍数的数：个位是0，各个数位上的数字之和是3的倍数，据此解答。 【详解】一个数既是2的倍数，又是3的倍数。还有因数5，这个数的个位上一定是0； 所以这个数个位上是0。 故答案为：C 12．（2024·四川乐山·小升初真题）三个连续的非零自然数的积一定（    ）。 A．既是奇数又是合数。 B．既是偶数又是质数。 C．既是奇数又是质数。 D．既是偶数又是合数。 【答案】D 【分析】除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。 自然数成奇偶排列，三个连续的非零自然数，要么是奇数、偶数、奇数，要么是偶数、奇数、偶数，奇数×偶数＝偶数，据此进行分析。 【详解】奇数×偶数×奇数＝偶数 偶数×奇数×偶数＝偶数 偶数中除了能被1和本身整除外，还能被其他的数整除，这个偶数是合数。因此三个连续的非零自然数的积一定既是偶数又是合数。 故答案为：D 13．（2024·陕西西安·小升初真题）如果a÷b＝c（a、b、c均为整数，且b≠0），那么a和b的最小公倍数是（    ）。 A．a B．b C．c D．无法确定 【答案】A 【分析】根据最小公倍数的定义，如果一个数是另一个数的倍数，那么它们的最小公倍数就是较大的数。已知a÷b＝c（a、b、c均为整数，且b≠0），这意味着a是b的倍数。 【详解】因为a÷b＝c（a、b、c均为整数，且b≠0），所以a是b的倍数，同时a也是它自身的倍数，所以a和b的最小公倍数是a。 故答案为：A 二、填空题 14．（2024·广西柳州·小升初真题）一个数既是36的因数，又是36的倍数，这个数是（ ）。 【答案】36 【详解】36÷36=1，36×1=36 【分析】因为36的因数的个数是有限的，所以先把36的因数全部写出来：1、2、3、4、6、9、12、18、36，其中，又要满足是36的倍数，那么只有36自己了． 15．（2024·四川绵阳·小升初真题）从0、3、5、7这四个数字中任意选出三个，组成能同时被2、3、5整除的三位数，这样的三位数有（ ）和（ ）。 【答案】 570 750 【分析】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。 5的倍数特征：个位上是0或5的数。 2、5的倍数特征：个位上是0的数。 3的倍数特征：各个数位上的数字相加，和要能被3整除。 【详解】组成能同时被2、5整除的三位数，则个位一定是0； 3＋5＋0＝8，8不是3的倍数； 3＋7＋0＝10，10不是3的倍数； 5＋7＋0＝12，12是3的倍数； 所以这样的三位数有570和750。 16．（2024·福建莆田·小升初真题）一个运算程序、运算规则如图，如果输入7，那么结果是（ ）；如果输入9，那么结果是（ ）。 【答案】 51 20 【分析】根据题意，如果输入7，7是质数，那么结果是，代入数据计算即可；如果输入9，9是合数，那么结果是，代入数据计算即可。 【详解】7×7＋2 ＝49＋2 ＝51 9×2＋2 ＝18＋2 ＝20 因此，如果输入7，那么结果是51；如果输入9，那么结果是20。 17．（2024·四川宜宾·小升初真题）在乘积1×2×3×…×98×99×100中，末尾有（ ）个0。 【答案】24 【分析】因为2×5＝10，产生一个末尾的零，末尾的零也只能由以上乘式中的一个质因数2与一个质因数5相乘得到，所以只需考虑把以上乘式分解成质因数连乘以后，有多少个质因数2，有多少个质因数5，其中哪个质因数的个数少，以上乘式的末尾0的个数就和那个质因数的个数相等。 【详解】从1开始前100个自然数中有20个5的倍数，它们是5，10，15，20，25，…，95，100；在这20个数中，有4个能被25整除，它们是25，50，75，100，所以以上乘式中含有质因数5的个数：20＋4＝24（个），含有2的个数有50个。 因此在乘积1×2×3×…×98×99×100中，末尾有24个0。 18．（2024·四川绵阳·小升初真题）从0，3，5，7这四个数字中任选3个数，排成能同时被2、3、5整除的三位数，这个三位数可以是（ ）。 【答案】570/750 【分析】根据2的倍数特征：末尾是0、2、4、6、8的数是2的倍数；3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数，则这个数就是3的倍数；5的倍数特征：末尾是0、5的数是5的倍数；由于要同时被2、3、5整除，这个三位数的末尾必须是0，同时另外两位数字之和是3的倍数才行，据此即可填空。 【详解】由分析可知： 3＋5＝8，8不是3的倍数； 3＋7＝10，10不是3的倍数； 5＋7＝12，12是3的倍数； 即这个三位数可以是570或者是750。 19．（2024·四川乐山·小升初真题）如果a÷b＝c（a、b、c都是非零的自然数），那么a和b的最大公因数是（ ），a和b的最小公倍数是（ ）。 【答案】 b a 【分析】如果a÷b＝c（a、b，c均为非零自然数），那么a和b是倍数关系；当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数就是两数之中较小的数，它们的最小公倍数就是两数之中较大的数。据此解答。 【详解】如果a÷b＝c（a、b、c都是非零的自然数），a和b的最大公因数是b，a和b的最小公倍数是a。 20．（2024·陕西西安·小升初真题）在一个比例中，两个外项的积是3和7的最小公倍数，其中一个内项是2.1，则另一个内项是（ ）。 【答案】10 【分析】在比例里，两个外项的积等于两个两个内向的积。首先明确3和7的最小公倍数是21，再用两个外项的积除以已知的内项即可求出另一个内项。 【详解】3×7＝21 3和7的最小公倍数21，21÷2.1＝10，则另一个内项是10。 21．（2024·陕西西安·小升初真题）A＝2×2×5，B＝2×3×5，A和B的最大公因数是（ ）。 【答案】10 【分析】求最大公因数的方法：全部公有质因数相乘的积就是这几个数的最大公因数。据此解答。 【详解】A＝2×2×5 B＝2×3×5 最大公因数：2×5＝10 A＝2×2×5，B＝2×3×5，A和B的最大公因数是10。 22．（2024·陕西西安·小升初真题）A＝2×2×5，B＝2×3×5，A和B两数的最大公因数是（ ）。 【答案】10 【分析】两个数全部共有的质因数相乘的积就是这两个数的最大公因数。题中A和B共有的质因数有2、5，把这两个数相乘即可解答。 【详解】通过分析可得：2×5＝10，则A和B两数的最大公因数是10。 23．（2024·广西柳州·小升初真题）有一个三位数，它的十位上的数字是最小的质数，如果这个三位数能同时被2、3、5整除，这个三位数最大是（ ）。 【答案】720 【详解】根据2、3、5的倍数的特征，个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数；一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数一定是3的倍数；个位上是0或5的数都是5的倍数；同时是2、3和5的倍数的数个位上必须是0且各位上的数字之和是3的倍数；最小的质数是2，十位上的数字是2，个位上的数0，要使这个三位数最大，由3的倍数的特征可知，百位上的数字最大是7。据此解答。 24．（2024·四川成都·小升初真题）算式的乘积末尾有（ ）个连续的0。 【答案】72 【分析】2×5＝10，这些数据中只要是2和5这两个因数相乘，则末尾就有0。因为这一串数据中有2的因数比较多，有5的因数比较少。只需要找出这组数据中有5的因数的数，就有多少个0。根据5的倍数的特征，末尾是0或者5的数能被5整除。注意：有的数不仅仅只有1个5，比如50，50＝5×5×2，则有2个5。 【详解】1、8、15、22、29、36、43、50、57、…、2010这组数据中， 其中15、50、75、110、…、2010，公差为 35 （2010－15）÷35＋1 ＝1995÷35＋1 ＝57＋1 ＝58（个） 则这一串数据中有58个数是5的倍数。 将上面的数据中的每个数除以5得到数据：3、10、17、…、395、402，其中10、45、…、395含有因数5，公差为7 （395－10）÷35＋1 ＝385÷35＋1 ＝11＋1 ＝12（个） 则这一串数据中有12个数是5的倍数。 继续将上面的数据除以5得到数据：2、9、16、23、30、…、79中只有30、65这2个数是5的倍数。 58＋12＋2＝72（个） 则算式的末尾有72个连续的0。 三、判断题 25．（2022·广东梅州·小升初真题）质数都是奇数，合数都是偶数。（ ） 【答案】× 【分析】根据质数、合数、奇数、偶数的意义解答，找出反例证明。 【详解】2是质数但是2不是奇数，9是合数但是9不是偶数，所以质数都是奇数，合数都是偶数的说法是错误的。 故答案为：× 26．（2022·广东茂名·小升初真题）n是一个自然数，2n＋1一定是奇数。（ ） 【答案】√ 【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 奇数和偶数的运算性质：偶数＋偶数＝偶数，奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数。 【详解】无论n为奇数，还是偶数，2n一定是偶数，1为奇数，2n＋1相当于：偶数＋奇数＝奇数。 所以，n是一个自然数，2n＋1一定是奇数。 原题说法正确。 故答案为：√ 27．（2023·陕西西安·小升初真题）100以内的最大质数是99。（ ） 【答案】× 【详解】99的因数除了1和99，还有3、9、11、33，所以99是合数。100以内最大的质数是97。 28．（2024·四川巴中·小升初真题）5个连续偶数的和是m，这些偶数中最大的数是m÷5＋4。（ ） 【答案】√ 【分析】由于5个连续的偶数和是m，由于相邻的两个偶数的和相差2，可知5个连续偶数的和其实相当于5个中间数的和，即用和除以5即可求出中间的数，由于最大的数比中间的数大4，用据此即可列式。 【详解】由分析可知： 5个连续偶数的和是m，这些偶数中最大的数是m÷5＋4。原题说法正确。 故答案为：√ 四、解答题 29．（2022·广东梅州·小升初真题）甲，乙、丙三个小朋友在操场绕环形跑道走路，绕一周甲要3分，乙要6分，丙要9分。三人同时，同地、同向出发，至少要行走 分，3人才能在出发地点相会。 【答案】18 【分析】根据题意，求三人第一次在原出发地点相会是在出发后多少分钟，就是求3分钟、6分钟、9分钟的最小公倍数。 【详解】6＝2×3 9＝3×3 所以3、6、9的最小公倍数是：2×3×3＝18 30．（2022·河北石家庄·小升初真题）一个长方形的硬纸板长是48厘米，宽是36厘米。如果将这个长方形硬纸板分割成最大的正方形而且没有剩余。能分割多少个相同的正方形？ 【答案】12个 【分析】由题意可知，要分割成最大的正方形而且没有剩余，也就是正方形的边长是长方形的长和宽的最大公因数，纸没有剩余，首先求出48和36的最大公因数，长和宽分别除以它们的最大公因数，再求这两个的积就是可以裁的个数。 【详解】48＝2×2×2×2×3 36＝2×2×3×3 48和36的最大公因数是：2×2×3＝12 （48÷12）×（36÷12） ＝4×3 ＝12（个） 答：能分割12个相同的正方形。 31．（2022·广东茂名·小升初真题）三个同学商议暑期去图书馆借书。小明说：“我每4天就去一次”，小华说：“我每6天去一次”，小红说：“我每8天才能去一次。”如果三人7月5日上午9点同时去图书馆借书，那么下一次他们三人会在几月几日上午9点同时在图书馆相遇？ 【答案】7月29日 【分析】由题意可知：小明每4天就去一次图书馆，小华每6天去一次图书馆，小红每8天去一次图书馆，要求下一次他们三人会在几月几日上午9点同时在图书馆相遇，只需求出4、6、8的最小公倍数，即为经过的天数；用7月5日加上经过的天数即为下次相遇的时间。 【详解】4＝2×2 6＝2×3 8＝2×2×2 4、6、8的最小公倍数是2×2×2×3＝24。 7月5日＋24日＝7月29日 答：那么下一次他们三人会在7月29日上午9点同时在图书馆相遇。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【复习讲义】2025年小升初数学复习讲练测（通用版） 第一章、数的认识 专题03：因数与倍数 （5大考点典例讲解+知识总结+易错点拨+变式练习+真题训练） 【考点一】因数和倍数的认识 【考点二】2、3、5的倍数特征 【考点三】奇数和偶数 【考点四】质数、合数与分解质因数 【考点五】最大公因数和最小公倍数 知识点01：因数和倍数的认识 1、在整数除法中，如果商是整数而没有余数（或者说余数为0），我们就说除数是被除数的因数，被除数是除数的倍数。 例如：12÷2＝6 → 2是12的因数，12是2的倍数。 2×6＝12 → 2和6是12的因数，12是2和6的倍数。 2、因数和倍数是相互依存的，不能单独存在，不能说谁是因数，也不能说谁是倍数，应该说谁是谁的因数或谁是谁的倍数。 倍数和因数都是自然数（一般不包括0），不能是小数或分数。 3、找一个数的因数的方法 （1）列乘法算式找：根据因数的意义，有序地写出两个整数相乘得此数的所有乘法算式，算式中的两个因数都是此数的因数。 （2）列除法算式找：用此数除以大于等于1而小于等于它本身的整数，所得的商是整数而无余数，这些除数和商都是此数的因数。 4、一个数的因数的特征 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 5、表示一个数的因数的方法 （1）列举法；（2）集合表示法。 6、找一个数的倍数的方法 （1）列乘法算式找：用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 （2）列除法算式找：看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 7、一个数的倍数的特征 一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 8、表示一个数的倍数的方法 （1）列举法；（2）集合表示法。 知识点02：2、3、5的倍数特征因数和倍数的应用 1、自然数中个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。 2、个位上是0或5的数都是5的倍数。 3、一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 4、同时是2和3的倍数的特征：个位上是0，2，4，6，8，且各个数位上的数字之和是3的倍数； 5、同时是3和5的倍数的特征：个位上是0或5的数，各个数位上的数字之和是3的倍数； 6、同时是2和5的倍数的特征：个位上是0的数； 7、同时是2、3、5的倍数的特征：个位上是0，且各个数位上的数字之和是3的倍数。 知识点03：奇数和偶数 1、自然数按是否是2的倍数，可以分为奇数和偶数两大类。 （1）偶数：是2的倍数的数叫偶数。 （2）奇数：不是2的倍数的数叫奇数。 （3）0是最小的偶数。 （4）1是最小的奇数 2、奇偶性 奇数＋奇数＝偶数；奇数＋偶数＝奇数；偶数＋偶数＝偶数； 奇数×奇数＝奇数；奇数×偶数＝偶数；偶数×偶数＝偶数。 知识点04：质数、合数与分解质因数 1、一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。 最小的质数是2。 2、一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 （1）最小的合数是4。 （2）1既不是质数，也不是合数。 3、质因数：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。 4、分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 例如：30＝2×3×5，这个过程就叫分解质因数，其中2、3、5就是30的质因数。 知识点05：最大公因数和最小公倍数 1、最大公因数 几个数公有的因数，叫作这几个数的公因数。其中最大的那个叫作这几个数的最大公因数。 2、用“短除法”求几个数的最大公因数 先用这几个数共有的质因数同时去除这几个数，直到所得的商互质为止，再将所有的除数相乘。 3、最小公倍数 几个数公有的倍数，叫作这几个数的公倍数。其中最小的那个叫作这几个数的最小公倍数。 4、用“短除法”求几个数的最小公倍数 方法与求“两个数的最大公因数”的短除过程相同，只是求最小公倍数，只需要把所有的除数和商都相乘即可。 易错点01：忽略因数和倍数是相互依存的关系。 【举例】因为6÷2=3，所以6是倍数，2和3是因数，这种说法是错误的。 【点拨】正确说法是6是2和3的倍数，2和3是6的因数。因数和倍数是相对而言，不能孤立存在，不能单独说某个数是因数或倍数。 易错点02：对于3的倍数特征，只看个位数字，而不是各个数位上数字之和。 【举例】判断136是否为3的倍数，只看个位6是3的倍数，就认为136是3的倍数，这是错误的。实际上1+3+6=10，10不是3的倍数，所以136不是3的倍数。 【点拨】3的倍数特征是各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数才是3的倍数。 易错点03：在分解质因数时，分解不彻底或写成乘法算式时因数不是质数。 【举例】把12分解质因数写成12=2×6，这是错误的，6不是质数，正确的是12=2×2×3。 【点拨】分解质因数是把一个合数写成几个质数相乘的形式，要从最小的质数开始试除，直到不能再分解为止。 易错点04：对质数、合数的概念混淆。 【举例】认为1是质数。实际上1既不是质数也不是合数。 【点拨】质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。2是最小的质数；4是最小的合数。 考点1：因数和倍数的认识 【典型例题1】如果（a和b是不为0的自然数），那么下面正确的是（    ）。 A．a和b的最小公倍数是ab B．b是a的因数 C．a和b的最大公因数是3 D．b是3的倍数 【典型例题2】一个数如果除了它本身以外所有因数相加的和，恰好又等于它本身，这样的数称作“完美数”。比如6的因数有1、2、3、6，除去本身后，1、2、3三个因数的和正好等于它本身，所以6是一个完美数。下面各数中（    ）是完美数。 A．12 B．28 C．36 D．40 【典型例题3】图书馆许老师要为每位同学制作一张借书证，借书证的规格如图所示。下面各种规格的纸中，选用（    ）最合适。（在制作借书证时，纸张没有剩余） A．长40厘米，宽35厘米 B．长36厘米，宽24厘米 C．长30厘米，宽18厘米 D．长20厘米，宽12厘米 【变式训练1】如果a÷b＝，（a、b都是非0自然数）那么（    ）。 A．a＝1，b＝4 B．b是a的4倍 C．a是b的4倍 【变式训练2】下面能表示因数和倍数关系的等式是（    ）。 A．8×1.25＝10 B．2×0＝0 C．7×2＝14 D．3÷0.5＝6 【变式训练3】已知m＝22×3×5，那么m的因数有（    ）个。 A．12 B．4 C．10 【变式训练4】智能车间可以通过给机械臂输入设定值，让机械臂自动将相同个数的零件装箱打包。一批零件有40个，如果不能每次单个打包，也不能一次全部打包，且最后正好打包完，那么共有（ ）种设定值。 考点2：2、3、5的倍数特征 【典型例题1】4月23日是“世界读书日”，学校开展了读书活动。笑笑看了一本80页的画册，翻开后看到两个页码，其中一个页码既是2的倍数，又是5的倍数。请你想一想翻开的页码可能是（    ）。 A．34、35 B．60、61 C．75、76 D．89、90 【典型例题2】学校为考生准备了128支2B铅笔，平均分给3个班至少要减去（ ）支，平均分给5个班至少要加上（ ）支。 【典型例题3】一个三位数是3的倍数，去掉它的末位数后，所得的两位数是17的倍数，在这样的三位数中，最大是几？ 【典型例题4】“7■24★”是一个五位数，它同时是2、3、5的倍数，那么★所代表的数字是（ ），■所代表的数字最小是（ ）。 【变式训练1】一个数既是35的因数，又是5的倍数，这个数可能是（ ）或（ ）。 【变式训练2】一个四位数，百位是2，十位是7，能同时被2和3整除。这个四位数最大是（ ），最小是（ ）。 【变式训练3】从0、3、4、7、8中选3个数字，组成一个能同时被2、3、5整除的三位数，最大是（ ）。 考点3：奇数和偶数 【典型例题1】有三个连续偶数，中间一个数是a，最小的是（ ），最大的是（ ）。如果最小的数是18，那么这三个数的平均数是（ ）。 【典型例题2】M是一个奇数，N是一个偶数，下面各数中一定是奇数的是（    ）。 A．4M＋3N B．3M＋2N C．2（M＋N） 【变式训练1】把10张卡片依次从“1”到“10”进行编号，任意从中抽取1张卡片，抽到卡片是（    ）的可能性最小。 A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 【变式训练2】下列说法正确的是（ ）。 A．偶数一定是合数 B．连续的三个质数之和一定是奇数 C．如果一个合数可以写成两个不同质数相乘的形式，那么这个合数最少有4个因数 D．60个连续自然数的乘积是奇数 【变式训练3】用三张卡片，任意摆成一个三位数，下面正确的是（ ）。 A．这个三位数是偶数的可能性更大 B．这个三位数是奇数的可能性更大 C．这个三位数是3的倍数的可能性更大 D．这个三位数是5的倍数的可能性更大 考点4：质数、合数与分解质因数 【典型例题1】杭州亚运会开幕式的日期很特别：表示月份的数是一位数中最大的合数；表示日子的数是一个两位数，十位上是最小的质数，个位上是 3 的最小倍数。开幕式的日期是（    ）。 A．8月23日 B．8月26日 C．9月13日 D．9月23日 【典型例题2】小静打开数学书时，发现两页页码之积是420，这两页分别是（ ）页和（ ）页。 【变式训练1】如果两个数的和为64，两个数的积是4875的因数，那么这两个数的差是多少？ 【变式训练2】最小的质数、最小的合数与最大的一位数，这三个数的积是（ ），把这三个数的积分解质因数是（ ）。 【变式训练3】三个小朋友的年龄一个比一个大1岁，他们三个人的年龄相乘的积是1320，其中最小的一个是（ ）岁。 考点5：最大公因数和最小公倍数 【典型例题1】《水浒传》是我国四大名著之一，书中描写了108位梁山好汉，“108”的最大因数是（ ），最小倍数是（ ），把108分解质因数是（ ），108的所有因数中质数有（ ）个。 【典型例题2】欢欢负责照顾家中的花草，妈妈说：“吊兰每4天浇一次水，杜鹃花每6天浇一次水。”5月24日欢欢给吊兰和杜鹃花同时浇水，那么下一次欢欢同时给这两种花浇水的时间是在（ ）。 【典型例题3】把一张长1.71米，宽0.9米的长方形纸剪成同样大小的正方形纸，并使正方形纸的面积尽可能大且剪完后没有剩余，一共可以裁出（ ）张。 【变式训练1】如果甲数是12，乙数是18，那么甲和乙的最大公因数是（    ），最小公倍数是（    ）。 A．6，36 B．12，36 C．24，12 D．36，6 【变式训练2】已知一个两位数“6☐”是2和3的公倍数，☐里最小填（ ），把这个两位数分解质因数（ ），这个两位数与45的最大公因数是（ ）。 【变式训练3】同学们玩“拥抱好朋友”的游戏，无论是6人拥抱或者9人拥抱，结果都多出1人。参加游戏的同学至少（ ）人。 一、选择题 1．（2024·四川绵阳·小升初真题）把18分解质因数是（    ）。 A． B． C． D． 2．（2024·四川乐山·小升初真题）一个三位数，同时是2、3、5的倍数，这个数最大是（    ）。 A．999 B．995 C．998 D．990 3．（2024·四川成都·小升初真题）用0、2、5、8四张数字卡片可以摆出多个不同的四位数，这些四位数一定是（    ）。 A．2的倍数 B．3的倍数 C．4的倍数 D．5的倍数 4．（2024·四川成都·小升初真题）下面每组概念都是我们学过的重要知识，其中有（    ）组概念可以用下面的图形来准确表示它们间的关系。 ①奇数和偶数                ②平行四边形和长方形 ③平行和相交                ④等式和方程 A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2024·福建莆田·小升初真题）如果〇表示一个质数，△表示一个合数，那么（    ）的结果一定是合数。 A．〇×△ B．〇－△ C．〇＋△ D．〇÷△ 6．（2024·四川绵阳·小升初真题）能整除12的整数有（    ）。 A．无数个 B．3个 C．6个 D．8个 7．（2024·四川绵阳·小升初真题）把18分解质因数是（    ）。 A．18＝3×6 B．18＝2×3×3 C．18＝2×9 D．18＝2×9×1 8．（2024·四川绵阳·小升初真题）甲、乙两人完成某项工程的天数之比是5∶4，乙、丙两人完成该项工程的天数之比为3∶2，那么甲做15天的工程丙要做（    ）天。 A．6 B．7 C．8 D．10 9．（2024·四川绵阳·小升初真题）下列说法正确的有（    ）个。 （1）一个数的因数一定比这个数的倍数小 （2）最小的自然数与最小的质数以及最小的合数之和是7 （3）除以一个数等于乘这个数的倒数 （4）把一个整数平均分为若干份，其中的一份或是几份，可以用分数表示 A．1 B．2 C．3 D．4 10．（2024·四川宜宾·小升初真题）在0、1、5、6这四个数字中，选取三个数字组成一个三位数，使它是2、3、5的倍数，这个数最小是（    ）。 A．60 B．150 C．105 11．（2024·四川绵阳·小升初真题）一个数既是2的倍数，又是3的倍数。还有因数5，这个数的个位上一定是（    ）。 A．5 B．2 C．0 12．（2024·四川乐山·小升初真题）三个连续的非零自然数的积一定（    ）。 A．既是奇数又是合数。 B．既是偶数又是质数。 C．既是奇数又是质数。 D．既是偶数又是合数。 13．（2024·陕西西安·小升初真题）如果a÷b＝c（a、b、c均为整数，且b≠0），那么a和b的最小公倍数是（    ）。 A．a B．b C．c D．无法确定 二、填空题 14．（2024·广西柳州·小升初真题）一个数既是36的因数，又是36的倍数，这个数是（ ）。 15．（2024·四川绵阳·小升初真题）从0、3、5、7这四个数字中任意选出三个，组成能同时被2、3、5整除的三位数，这样的三位数有（ ）和（ ）。 16．（2024·福建莆田·小升初真题）一个运算程序、运算规则如图，如果输入7，那么结果是（ ）；如果输入9，那么结果是（ ）。 17．（2024·四川宜宾·小升初真题）在乘积1×2×3×…×98×99×100中，末尾有（ ）个0。 18．（2024·四川绵阳·小升初真题）从0，3，5，7这四个数字中任选3个数，排成能同时被2、3、5整除的三位数，这个三位数可以是（ ）。 19．（2024·四川乐山·小升初真题）如果a÷b＝c（a、b、c都是非零的自然数），那么a和b的最大公因数是（ ），a和b的最小公倍数是（ ）。 20．（2024·陕西西安·小升初真题）在一个比例中，两个外项的积是3和7的最小公倍数，其中一个内项是2.1，则另一个内项是（ ）。 21．（2024·陕西西安·小升初真题）A＝2×2×5，B＝2×3×5，A和B的最大公因数是（ ）。 22．（2024·陕西西安·小升初真题）A＝2×2×5，B＝2×3×5，A和B两数的最大公因数是（ ）。 23．（2024·广西柳州·小升初真题）有一个三位数，它的十位上的数字是最小的质数，如果这个三位数能同时被2、3、5整除，这个三位数最大是（ ）。 24．（2024·四川成都·小升初真题）算式的乘积末尾有（ ）个连续的0。 三、判断题 25．（2022·广东梅州·小升初真题）质数都是奇数，合数都是偶数。（ ） 26．（2022·广东茂名·小升初真题）n是一个自然数，2n＋1一定是奇数。（ ） 27．（2023·陕西西安·小升初真题）100以内的最大质数是99。（ ） 28．（2024·四川巴中·小升初真题）5个连续偶数的和是m，这些偶数中最大的数是m÷5＋4。（ ） 四、解答题 29．（2022·广东梅州·小升初真题）甲，乙、丙三个小朋友在操场绕环形跑道走路，绕一周甲要3分，乙要6分，丙要9分。三人同时，同地、同向出发，至少要行走 分，3人才能在出发地点相会。 30．（2022·河北石家庄·小升初真题）一个长方形的硬纸板长是48厘米，宽是36厘米。如果将这个长方形硬纸板分割成最大的正方形而且没有剩余。能分割多少个相同的正方形？ 31．（2022·广东茂名·小升初真题）三个同学商议暑期去图书馆借书。小明说：“我每4天就去一次”，小华说：“我每6天去一次”，小红说：“我每8天才能去一次。”如果三人7月5日上午9点同时去图书馆借书，那么下一次他们三人会在几月几日上午9点同时在图书馆相遇？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$