精品解析：黑龙江省大庆铁人中学2024-2025学年高一下学期开学考试数学试卷

铁人中学2024级高一下学期开学考试 数学试题 试题说明：1、本试题满分 150 分，答题时间 120 分钟. 2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡. 第Ⅰ卷 选择题部分 一、单项选择题（本大题包括8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分别求出集合，再根据交集的定义即可得解. 【详解】， ， 所以. 故选：D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】必要性：若，则可得，所以可得，必要性成立； 若，则，而，故充分性不成立， “”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3. 已知幂函数过点， 则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件结合幂函数定义求，再由函数的解析式求其定义域. 【详解】因为函数为幂函数，故可设， 因为函数的图象过点， 所以，所以， 所以， 由有意义可得， 所以， 所以函数的定义域为. 故选：D. 4. 年月日时分，宋令东等航天员乘坐的神舟十九号载人飞船由长征二号运载火箭成功发射至预定轨道.据科学家们测算：火箭的最大速度至少达到千米/秒时，可将载人飞船顺利送入外太空.若火箭的最大速度（单位：米/秒）、燃料的质量（单位：吨）和载人飞船的质量（单位：吨）近似满足函数关系式 要使载人飞船顺利进入外太空，则燃料质量与载人飞船质量的比值至少为（ ） A. 9 B. 99 C. 999 D. 9999 【答案】B 【解析】 【分析】由条件，结合函数关系式列不等式可求燃料质量与载人飞船质量的比值的范围，由此确定结论. 【详解】千米秒米秒， 令， 则， 所以， 所以， 所以燃料质量与载人飞船质量的比值至少为. 故选：B. 5. 已知角的终边经过点，则角的值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数符号确定点角的终边所在象限，再利用三角函数定义，结合诱导公式求出角的值可能. 【详解】由，则，点在第三象限， ，，可以是，A是； 对于B，，B不是； 对于C，，C不是； 对于D，，D不是. 故选：A 6. 已知函数是增函数，且满足，，则的值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】由函数关系式利用赋值法求，，，再结合单调性及函数值为正整数求结论. 【详解】因为，， 所以，故， 所以，故， 所以，故， 因为函数是增函数， 所以, 所以，. 故选：A. 7. 已知函数，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断出函数的奇偶性与单调性，再根据函数的单调性和奇偶性解不等式，求出的范围，再根据二倍角的余弦公式即可得解. 【详解】因为，定义域满足，解得， 因为 ， 所以，所以为奇函数， 因为函数在上单调递增， ，且设， 则 ， 又，因为，所以， 所以， 由于函数在上单调递增， 所以， 故函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 由， 得， 所以， 即，解得， 则. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：判断出函数的奇偶性与单调性是解决本题的关键. 8. 已知函数其中．若在区间上单调递增，则ω的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由求出的范围，由函数在区间上单调递增，列出不等式，从而求得ω的范围，取的值得到结果. 【详解】当时，， 则， 即，解得， 当时，，又∵，则， 当时，， 当时，∵，此时无解， ∴. 故选：D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（   ） A. “集合”中只有一个元素是“”的必要不充分条件 B. 命题“”的否定为“” C. 函数的零点所在的一个区间是 D. 已知，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据二次项是否为0分类讨论即可判断选项A；由含有一个量词命题的否定即可判断选项B；结合函数的单调性与零点存在性定理即可判断选项C；有基本不等式即可判断选项D. 【详解】对于A，若集合中只有一个元素， 当时，，符合题意；当时，可得，解得， 所以“集合”中只有一个元素是“”的必要不充分条件，选项A正确； 对于B，由含有一个量词命题的否定易知选项B正确； 对于C，函数在上单调递增， 且，， 故函数在区间上无零点，选项C错误； 对于D，当时，，， 当且仅当，即时取等号，选项D正确. 故选：ABD. 10. 给出下列四个命题，其中所有正确命题的选项是（ ） A. 函数的图象过定点 B. 已知函数（且）在上是减函数，则实数a的取值范围是 C. 化简的结果为25 D. 已知.则 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A，由可得所过定点； 对于B，由对数函数，复合函数单调性可得a的取值范围； 对于C，由对数运算性质可判断选项正误； 对于D，由对数函数，指数函数单调性可判断选项正误； 【详解】对于A，因，令，此时， 则所过定点为，故A错误； 对于B，注意到为R上减函数，则要使在上是减函数， 需使在为增函数，且在上恒成立， 则，故B错误； 对于C， ，故C正确； 对于D，注意到在上单调递增， 则 故，则D正确. 故选：CD 11. 已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则一定成立的有（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 函数的图象关于原点对称 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性，运用赋值法可得出该函数的对称性与周期性，结合对应性质，运用赋值法可求出特定点的值. 【详解】由定义域为，且为偶函数， ∴①， ∴关于直线对称，故A正确； 又为奇函数，∴， 即， 用替换上式中，得②， ∴关于点对称， 又关于直线对称， 故关于轴对称，即为偶函数，无法确定的图象是否关于原点对称， 故B错误； 由①②得③， ∴④， ∴，∴，所以函数周期为4， 在②式中，令得，解得， ①式中令得， ②式中令得， ∴，故C正确， 无法判断结果，故D错误. 故选：AC. 三、填空题（本题包括3小题，每小题5分，共15分，把正确答案填在答题卡中横线上） 12. 已知扇形的周长是其半径的4倍，若该扇形的面积为2，则该扇形的周长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由扇形的周长公式求得圆心角，再代入扇形的面积公式求得扇形的半径，将求得结果代入扇形的周长公式即可. 【详解】设扇形的半径为，圆心角为， 则扇形的周长，∴， ∴扇形的面积，∴， ∴扇形的周长. 故答案为：. 13. 函数在区间上的一个对称中心是，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，结合正弦型函数的对称中心可得结果. 【详解】由题意得，， 令，得， 当时，，，故的值为. 故答案为：. 14. 已知函数，若关于的方程有三个不相等的实数解，则实数的取值范围为_________. 【答案】 【解析】 【分析】因为,即,画出函数图象,设有三个不同实数解,故方程有两个根,结合已知,即可求得答案. 【详解】 画出函数图象: 设 有三个不同实数解, 方程有两个根 其中一个在区间上,一个根为或在区间上, 若方程一个根为, ,另一根为,不满足条件. 故方程有两个根,其中一个在区间上,一个在区间 令 ①当时 则 解得: ②当时 即,故, 将代入 可得:, 解得: 满足方程两个根中,一个在区间上,一个在区间 综上所述,实数的取值范围为:. 故答案为:. 【点睛】本题主要考查了根据零点个数求参数范围,解题关键是掌握函数零点的定义,数形结合,考查了分析能力和计算能力,属于难题. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知关于的不等式的解集为，其中． （1）若，求的值； （2）求不等式的解集. 【答案】（1） （2） 当时，；当时，； 当时，；当时，；当时，. 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式和一元二次方程的关系，结合韦达定理可得结果. （2）讨论的范围，解一元二次不等式可得结果. 【小问1详解】 当时，关于的方程的两根为， 由韦达定理可得，解得. 【小问2详解】 原不等式可化为. 当时，原不等式为，解得，； 当时，方程的根为，， 当时，不等式可化为，解得或， ； 当，即时，原不等式为，； 当，即时，不等式可化为，解得，； 当，即时，不等式可化为，解得，. 综上所述，当时，；当时，； 当时，；当时，；当时，. 16. 已知. （1）若，求的值； （2）若且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式整理可得，结合题意可得，根据齐次式问题分析求解； （2）结合（1）可得，利用两角和差公式结合角的范围分析求解. 【小问1详解】 由题意可得： ， 由已知，得， 所以 . 【小问2详解】 由，可知， 则. 因为，则， 且，可得， 则，所以. 17. 已知函数 （1）若，当时，求函数的值域； （2）若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用换元法，把问题转化成二次函数在给定区间上的值域问题求解. （2）换元，转化成二次函数零点分布问题求解. 【小问1详解】 当时，. 设，因为，所以. 则，. 因为该函数在上单调递减，在上单调递增. 且， ， 所以，所求函数的值域为： 【小问2详解】 设，因为，所以. 问题转化为：方程在上有两个不等实根. 所以. 所以，实数的取值范围是： 18. 已知函数，若函数在区间上的最大值为. （1）求实数的值； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到图象.若对任意，，当时，都有成立，求实数的最大值. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（1）化简函数解析式可得，结合正弦函数性质求在上的最大值，列方程求； （2）由条件可得函数在单调递增，根据函数变换求，结合辅助角公式化简，求其单调递增区间，列不等式求的最大值. 【小问1详解】 当时， ， 所以当，即时，有最大值为， 所以，所以. 【小问2详解】 因为对任意，， 当时，都有， 即， 记，则， 所以在上是增函数. 又. 所以 所以 令，求得. 故的单调增区间为， ， 所以， 当且仅当取时满足条件， 所以 所以实数的最大值为. 19. 已知函数 （1）若函数为奇函数，求实数的值； （2）对于给定的常数，是否存在实数，使得函数的图象关于直线对称，如果存在，求出的值，如果不存在，说明理由； （3）当时， 比较与 的大小，并给出证明. 【答案】（1） （2）存在， （3）相等，证明如下： . 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义列方程求； （2）假设存在满足条件，由次可得函数为偶函数，结合偶函数性质列方程求； （3），展开结合指数幂运算及性质证明结论. 【小问1详解】 因为为奇函数， 所以， 故， 所以， 因此， 【小问2详解】 存在. 假设函数的图象关于直线对称， 则函数为偶函数， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以，， 因此当时，使得函数的图象关于直线对称； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 铁人中学2024级高一下学期开学考试 数学试题 试题说明：1、本试题满分 150 分，答题时间 120 分钟. 2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡. 第Ⅰ卷 选择题部分 一、单项选择题（本大题包括8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知幂函数过点， 则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 年月日时分，宋令东等航天员乘坐的神舟十九号载人飞船由长征二号运载火箭成功发射至预定轨道.据科学家们测算：火箭的最大速度至少达到千米/秒时，可将载人飞船顺利送入外太空.若火箭的最大速度（单位：米/秒）、燃料的质量（单位：吨）和载人飞船的质量（单位：吨）近似满足函数关系式 要使载人飞船顺利进入外太空，则燃料质量与载人飞船质量的比值至少为（ ） A. 9 B. 99 C. 999 D. 9999 5. 已知角的终边经过点，则角的值可能为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数是增函数，且满足，，则的值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 12 7. 已知函数，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数其中．若在区间上单调递增，则ω的取值范围是（    ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（   ） A. “集合”中只有一个元素是“”的必要不充分条件 B. 命题“”的否定为“” C. 函数的零点所在的一个区间是 D. 已知，则的最小值为 10. 给出下列四个命题，其中所有正确命题的选项是（ ） A. 函数的图象过定点 B. 已知函数（且）在上是减函数，则实数a的取值范围是 C. 化简的结果为25 D. 已知.则 11. 已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则一定成立的有（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 函数的图象关于原点对称 C. D. 三、填空题（本题包括3小题，每小题5分，共15分，把正确答案填在答题卡中横线上） 12. 已知扇形的周长是其半径的4倍，若该扇形的面积为2，则该扇形的周长为_______． 13. 函数在区间上的一个对称中心是，则的值为______. 14. 已知函数，若关于的方程有三个不相等的实数解，则实数的取值范围为_________. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知关于的不等式的解集为，其中． （1）若，求的值； （2）求不等式的解集. 16. 已知. （1）若，求的值； （2）若且，求的值. 17. 已知函数 （1）若，当时，求函数的值域； （2）若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数的取值范围． 18. 已知函数，若函数在区间上的最大值为. （1）求实数的值； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到图象.若对任意，，当时，都有成立，求实数的最大值. 19. 已知函数 （1）若函数为奇函数，求实数的值； （2）对于给定的常数，是否存在实数，使得函数的图象关于直线对称，如果存在，求出的值，如果不存在，说明理由； （3）当时， 比较与 的大小，并给出证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $