方法突破04 三角函数零点问题（知识盘点+9题型+好题必刷）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教B版2019必修第三册）

方法突破04 三角函数零点问题 整体法求零点问题 Step1:分离参数转化为两个函数图像交点; Step2:换元法求的范围; Step3:画、、的图像，并截取所需部分; Step4:根据题目要求具体下一步处理. 零点比大小 作差比较法，确定函数大小，或画图直接比较零点大小关系. 零点和差 利用三角函数对称性、周期性解答. 交点问题 1．，是曲线与曲线的两个不同的交点，则的最小值为　　 A． B． C． D． 2．函数与的图像相交于、两点，则中点坐标为　　 A． B． C． D． 3．已知函数，和函数的图象交于，，三点，则的面积为　　． 零点个数 角度1：解析式含参 1．已知在，上有两个不同的零点，则的取值范围是　　． 2．已知函数为偶函数，且函数图象的两相邻对称轴间的距离为． （1）求的值； （2）求函数的对称轴方程； （3）当时，方程有两个不同的实根，求的取值范围． 3．已知函数． （1）若函数的图象关于直线对称，且，，求函数的单调递增区间； （2）在（1）的条件下，当，时，函数有且只有一个零点，求实数的取值范围． 4．已知函数． （1）若不等式对任意恒成立，求整数的最大值； （2）若函数，将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图像，若关于的方程在上有解，求实数的取值范围． （参考公式：， 角度2：区间含参 1．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若函数在区间上恰有两个零点，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 2．函数，对于任意的，，方程仅有一个实数根，则的取值可以为　　 A． B． C． D． 3．已知函数，其中． （1）若函数的周期为，求函数在，上的值域； （2）若在区间，上为增函数，求的最大值，并探究此时函数的零点个数． 4．已知函数，其中． （1）若函数的周期为，求函数在，上的值域； （2）若在区间，上为增函数，求的最大值，并探究此时函数的零点个数． 角度3：区间长度 1．已知，，函数的图像如图所示，，，是的图像与相邻的三个交点，与轴交于相邻的两个交点，，若在区间，上，有2024个零点，则的最小值为　　 A． B． C． D． 2．已知函数，其中常数． （1）令，将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，求函数的解析式； （2）若在上单调递增，求的取值范围； （3）在（1）的条件下的函数在区间，，且上至少含有30个零点，求的最小值． 角度4：复合函数零点 1．已知函数，，． （1）求的最小值（a）； （2）若在，上有零点，求的取值范围，并求所有零点之和． 2．已知函数． （1）当时，求方程的解集； （2）若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围． 3．设函数． （1）当时，用表示的最大值（a）； （2）问取何值时，方程在上有解？ 4．已知满足，当，，，若函数在，上恰有八个不同的零点，则实数的取值范围为 　　． 5．已知函数，将函数向右平移个单位得到的图像关于轴对称且当时，取得最大值． （1）求函数的解析式： （2）将函数图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，且，求的值． （3）方程在上有4个不相等的实数根，求实数的取值范围． 6．已知函数，，其图像一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差，将函数向左平移个单位得到的图像关于轴对称且． （1）求函数的解析式； （2）若，方程存在4个不相等的实数根，求实数的取值范围． 7．定义在上的函数满足，且，若函数有5个零点，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 零点比大小 1．定义在上的三个函数，其零点分别为，，，则它们的大小关系是　　 A． B． C． D． 零点和差 角度1：零点和 1．已知函数，若，，互不相等，且（a）（b）（c），则的取值范围是　　 A． B． C． D．， 2．已知函数，若存在实数，，，，当时，满足，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 3．函数在上单调递减，且的图象向左平移个单位后与原来的图象重合．若方程在上的解为，，则　　． 4．已知函数． （1）若，，求的对称轴； （2）已知，函数图像向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图像，是的一个零点，当时，方程恰有三个不相等的实数根，，，求实数的取值范围以及的值． 角度2：所有零点和 1．已知函数，某相邻两支图像与坐标轴分别交于点，，则方程，，所有解的和为 　　． 2．设函数为定义域为的奇函数，且，当，时，，则函数在区间，上的所有零点的和为　　． 3．已知函数，，则关于的方程在区间，上的所有实根之和为　　 A． B． C． D． 4．将函数和直线的所有交点从左到右依次记为，，，，若点坐标为，则　　 A．0 B．2 C．6 D．10 角度3：零点差 1．已知函数，若方程在上的解为，，则　　． 2．已知函数（其中，的最小正周期为，它的一个对称中心为，． （1）求函数的解析式； （2）当，时，方程有两个不等的实根，求实数的取值范围； （3）若方程在上的解为，，求． 3．已知函数，，有两个零点，，则下列结论正确的是　　 A．当时， B． C．若，则 D． 1．已知函数的图象与函数的图象交于，两点，则为坐标原点）的面积为　　 A． B． C． D． 2．已知函数，的图象与函数的图象交于，两点，则的面积为　　 A． B． C． D． 3．已知函数，，的部分图象如图所示． （1）求的解析式以及单调递增区间； （2）将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若关于的方程在上有两个不等实根，求实数的取值范围． 4．将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象．若在上恰有三个不同的零点，则实数的取值范围为　　 A． B． C． D． 5．已知函数． （1）若，求的对称中心； （2）已知，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在，，且上恰好有10个零点，求的最小值. 6．已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）当，关于的方程恰有三个不同的实数根，求实数的取值范围． 7．设，函数，若函数在区间内恰有6个零点，则的取值范围是 　　． 8．已知函数，若实数、、互不相等，且满足（a）（b）（c），则的取值范围是　　． 9．已知函数． （1）求函数的周期和递增区间； （2）若函数在，上有两个不同的零点、，求实数的取值范围． 并计算的值． 10. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式及其单调递增区间； （2）将函数的图象上所有的点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．若方程在上有三个不相等的实数根，，，求的值． 11．定义在上的函数满足，且（2），当时，，则函数在区间，上所有的零点之和为 　36　． 12. 已知函数，关于的方程有以下结论： ①当时，方程恒有根； ②当时，方程在，内有两个不等实根； ③当时，方程在，内最多有9个不等实根； ④若方程在，内根的个数为偶数，则所有根之和为． 其中正确的结论是　　（填写所有正确结论的番号）． 13．已知函数的部分图像如图所示． （1）求函数的解析式； （2）将图像上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），然后将图像向右平移个单位，得到的图像．若方程在上的解为，，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 方法突破04 三角函数零点问题 整体法求零点问题 Step1:分离参数转化为两个函数图像交点; Step2:换元法求的范围; Step3:画、、的图像，并截取所需部分; Step4:根据题目要求具体下一步处理. 零点比大小 作差比较法，确定函数大小，或画图直接比较零点大小关系. 零点和差 利用三角函数对称性、周期性解答. 交点问题 1．，是曲线与曲线的两个不同的交点，则的最小值为　　 A． B． C． D． 【解答】解：要求的最小值在，只要在一个周期内解即可 解得或 得到两个点为和 得到 故选：． 2．函数与的图像相交于、两点，则中点坐标为　　 A． B． C． D． 【解答】解：由于，， 所以和都是关于点，对称的， 所以，也是关于点，对称的， 所以，的中点就是，． 故选：． 3．已知函数，和函数的图象交于，，三点，则的面积为　　． 【解答】解：函数，和函数的图象，可得，，令，解得，，所以． 故答案为：． 零点个数 角度1：解析式含参 1．已知在，上有两个不同的零点，则的取值范围是　　． 【解答】解：令，由，可得，故，， 由题意可得 在，上有两个不同的零点， 故 和在，上有两个不同的交点， 如图所示：故，即． 故答案为：，． 2．已知函数为偶函数，且函数图象的两相邻对称轴间的距离为． （1）求的值； （2）求函数的对称轴方程； （3）当时，方程有两个不同的实根，求的取值范围． 【解答】解：（1）是偶函数，则， 解得， 又因为，所以，分 所以； 由题意得，所以；分 故， 因此；分 （2）由， 得，分 所以，， 即， 所以函数的对称轴方程为；分 （3）函数， 在上单调递减，在上单调递增，分 且，，， 若有两个不同的实根，则函数与有两个不同的交点， 所以； 即的取值范围是．分． 3．已知函数． （1）若函数的图象关于直线对称，且，，求函数的单调递增区间； （2）在（1）的条件下，当，时，函数有且只有一个零点，求实数的取值范围． 【解答】解：（1）函数，且函数的图象关于直线对称，，且，，．由，解得，函数的单调递增区间为． （2）由（1）知． ，，当，即时，函数单调递增；当时，即时，函数单调递减． 又，当或时，函数有且只有一个零点， 即或，实数的取值范围． 4．已知函数． （1）若不等式对任意恒成立，求整数的最大值； （2）若函数，将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图像，若关于的方程在上有解，求实数的取值范围． （参考公式：， 【解答】解：（1）因为， 整理得，所以， 即当时，的最小值为1；当时，的最大值为2， 所以． 由题意得，， 所以对一切恒成立， 所以， 解得， 所以整数的最大值为4． （2）由题意知，， 根据函数的图像的变换，得到函数，再向右平移个单位得后，得到， 因为关于的方程在区间上有解， 故，（1）在区间上有解， 令， 所以关系式可转化为：在内有解， 所以，且， 在为单调递增函数， 所以当时，取得最小值；当时，取得最大值， 所以， 所以实数的取值范围为． 角度2：区间含参 1．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若函数在区间上恰有两个零点，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【解答】解：由题意得，， 当时，，， 因为在上恰有两个零点， 所以， 解得，． 故选：． 2．函数，对于任意的，，方程仅有一个实数根，则的取值可以为　　 A． B． C． D． 【解答】解：由可得：， 因为，，所以， 因为，，所以， 因为对于任意的，，方程仅有一个实数根， 所以，解得：， 对照四个选项，只有、在． 故选：． 3．已知函数，其中． （1）若函数的周期为，求函数在，上的值域； （2）若在区间，上为增函数，求的最大值，并探究此时函数的零点个数． 【解答】解：（1）， 若函数的周期为，则，可得， 所以， 由，，可得，， 所以，， 所以，， 即函数在，上的值域为，． （2）因为，， 所以， 因为在区间，上为增函数， 所以， 所以， 又，所以取，可得， 所以的最大值为， 此时， 则函数的零点个数即为函数与图象交点的个数， 作出两函数图象如图所示： 由图象可知函数与图象有6个交点， 所以函数的零点个数为6． 4．已知函数，其中． （1）若函数的周期为，求函数在，上的值域； （2）若在区间，上为增函数，求的最大值，并探究此时函数的零点个数． 【解答】解：（1）， 若函数的周期为，则，可得， 所以， 由，，可得，， 所以，， 所以，， 即函数在，上的值域为，． （2）因为，， 所以， 因为在区间，上为增函数， 所以， 所以， 又，所以取，可得， 所以的最大值为， 此时， 则函数的零点个数即为函数与图象交点的个数， 作出两函数图象如图所示： 由图象可知函数与图象有6个交点， 所以函数的零点个数为6． 角度3：区间长度 1．已知，，函数的图像如图所示，，，是的图像与相邻的三个交点，与轴交于相邻的两个交点，，若在区间，上，有2024个零点，则的最小值为　　 A． B． C． D． 【解答】解：由题意可得为，则有， 所以， 又因为， 所以，又因为，所以， 又， 所以或， 因为，所以，则， 所以， 令， 则有， 所以或，， 解得或，， 即函数在一个周期内刚好2个零点， 当2024个零点刚好在1011个周期和第1012个周期内，且长度为时，区间，的长度最小， 且最小值为． 故选：． 2．已知函数，其中常数． （1）令，将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，求函数的解析式； （2）若在上单调递增，求的取值范围； （3）在（1）的条件下的函数在区间，，且上至少含有30个零点，求的最小值． 【解答】解：（1）由题设，将函数的图象向左平移个单位得， 再向上平移1个单位，则； （2）由题设， 所以， 当时，， 则，， 解得，， 综上，的取值范围为； （3）在（1）的条件下，则， 令，得 ， 令，设在区间，上的30个零点分别为， ，， 则，，， ，上有30个零点， 要使最小，则，， 因为在每个周期内各有两个函数值为， 所以15个周期里面有30个零点， 则最小时，若，， 则， 所以，即的最小值为． 角度4：复合函数零点 1．已知函数，，． （1）求的最小值（a）； （2）若在，上有零点，求的取值范围，并求所有零点之和． 【解答】解：（1），，． 令，，． 所以，， 所以，，，开口向上，对称轴， 当，即，此时，，的最小值为； 当，即，则，，的最小值为； 当，即，则，，的最小值为（1）； 综上所述：的最小值（a）； （2）若在，上有零点，由，可得， 当时，此等式不成立， 所以，则，令，，． 所以，， 则，令，， 则，，， 由对勾函数的单调性可得，，函数单调递减， 所以，即时，，这时，可得或， 这时零点之和为， 当趋近0时，即趋近于1，趋近于正无穷大， 所以时，所有零点之和为． 2．已知函数． （1）当时，求方程的解集； （2）若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围． 【解答】解：（1）当时，， 令，即， 解得舍去）， 所以，， 所以方程的解集为． （2）由得， 即， 因为，所以，， 所以， 令，， 所以， 令，因为函数和在上都是增函数， 所以在上是增函数， 又，， 所以在上的值域为． 所以实数的取值范围是． 3．设函数． （1）当时，用表示的最大值（a）； （2）问取何值时，方程在上有解？ 【解答】解：（1） ， 令，则，， 可知函数是开口向下，对称轴为的抛物线，根据二次函数的性质， 当时，最大值为； 当时，可得最大值； 当时，可得最大值， 故的最大值． （2）方程即， 即，， 令，，，值域为， 于是，解得， 故的范围为，． 4．已知满足，当，，，若函数在，上恰有八个不同的零点，则实数的取值范围为 　　． 【解答】解：因为，所以为周期是8的周期函数， 作出函数在，上的图象，如图所示： 因为， 所以由可得，或． 根据图象可知方程，有六个实根， 所以时，应该有两个实根， 根据图象可得，，得， 即实数的取值范围为． 故答案为：． 5．已知函数，将函数向右平移个单位得到的图像关于轴对称且当时，取得最大值． （1）求函数的解析式： （2）将函数图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，且，求的值． （3）方程在上有4个不相等的实数根，求实数的取值范围． 【解答】解：（1）因为， 依题意的图像关于轴对称， 则有， 即， 而，即有或． 当时，，符合要求； 当时，，不符合要求， 故函数的解析式是； （2）由图象平移可得， 若，则， 而在区间上递减，在区间上递增，显然两侧关于直线对称， 若且， 则， 可得， 故； （3）由（1），令， 由， 可得，则，， 由题意，关于的方程有两个不等的实根，， 且与在上均有两个不等的实根， 当时，，的图象如图所示， 故，，， 此时关于的方程在，上有两个不等的实根， 令， 则，即， 解得． 故实数的取值范围． 6．已知函数，，其图像一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差，将函数向左平移个单位得到的图像关于轴对称且． （1）求函数的解析式； （2）若，方程存在4个不相等的实数根，求实数的取值范围． 【解答】解：（1）因函数图像一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差， 则的周期，解得， 有，依题意的图像关于轴对称， 则有，即， 而，即有或， 当时，，不符合要求， 当时，， 所以函数的解析式是； （2）由（1）知，，当时，， 由得：，即或， 由，即，而，解得或，即在上有两个根， 方程在上存在4个不相等的实数根， 当且仅当且在上有两个不等实根， 在同一坐标系内作出函数在上的图象和直线，如图， 方程在上有两个不等实根， 当且仅当函数在上的图象和直线有两个公共点， 观察图象知：或，解得或， 所以实数的取值范围是或， 即，． 7．定义在上的函数满足，且，若函数有5个零点，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【解答】解：由得，所以是周期为的周期函数， 作出函数的图象如图所示， 直线经过点，，由图知，当直线夹在直线与直线之间时，与函数的图象有5个交点，易知，，， 则； 实数的取值范围是． 故选：． 零点比大小 1．定义在上的三个函数，其零点分别为，，，则它们的大小关系是　　 A． B． C． D． 【解答】解：因为，所以由二分法知． 同理， 又因为当时，， 故的图象在的图象的上方，即， 综上可得． 故选：． 零点和差 角度1：零点和 1．已知函数，若，，互不相等，且（a）（b）（c），则的取值范围是　　 A． B． C． D．， 【解答】解：函数的图象如图： 设，由图数形结合可知：， ， ． 故选：． 2．已知函数，若存在实数，，，，当时，满足，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【解答】解：画出函数的图象如图所示， 令，作出直线， 当时，（3），当时，（9）， 由图象可知，当时，直线与的图象有4个交点， 且， 则，可得， ，由的图象关于直线对称，可得， 可得， 设，由对勾函数性质可得其在区间上单调递增， 当时，， 当时，， 故可得的取值范围是． 故选：． 3．函数在上单调递减，且的图象向左平移个单位后与原来的图象重合．若方程在上的解为，，则　　． 【解答】解：设的最小正周期为，则，故， 又的图象向左平移个单位后与原来的图象重合， 故为函数的一个周期，故最小正周期，即， 解得， 若，则，时，， 此时满足在上单调递增，不符合条件； 若，则，时， ，令，， 由于在上单调递减，故在上单调递减，符合条件， 由题意可得，， 所以，， 可得， 可得， 所以． 故答案为：． 4．已知函数． （1）若，，求的对称轴； （2）已知，函数图像向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图像，是的一个零点，当时，方程恰有三个不相等的实数根，，，求实数的取值范围以及的值． 【解答】解：（1），， 则， 由最小正周期公式可知，，解得， 当时，则， 令，解得， 所以的对称轴为； 当时，则， 令，解得， 所以的对称轴为； 综上所述：当时，则的对称轴为； 当时，则的对称轴为． （2）函数图像向右平移个单位，再向上平移1个单位， 得到， 因为，即， 又因为，则， 可得，解得， 所以， 令，则， 原题意等价于与有三个交点， 因为，则， 结合正弦函数可得：， 所以，可得， 故实数的取值范围，，的值为． 角度2：所有零点和 1．已知函数，某相邻两支图像与坐标轴分别交于点，，则方程，，所有解的和为 　　． 【解答】解：由题意知函数的周期为，解得，所以， 把点的坐标代入得，即，，解得，， 又因为，所以， 所以，则方程，即为， 所以，，， 因为，，所以， 所以当或时满足题意， 所以或，解得，， 所以． 故答案为：． 2．设函数为定义域为的奇函数，且，当，时，，则函数在区间，上的所有零点的和为　　． 【解答】解：因为为定义域为的奇函数， 所以， 又因为， 所以， 所以， 所以， 所以函数的周期， 由还可得，关于直线对称， 设，其周期为，其图象关于对称， 函数在区间，上的所有零点，即 函数与在区间，上的交点横坐标， 在内有两个函数图象有六个交点， 所以，上的所有零点的和为． 故答案为：6． 3．已知函数，，则关于的方程在区间，上的所有实根之和为　　 A． B． C． D． 【解答】解：由题意，因为的图象是由向下平移一个单位得到的， 而的图象是由向下平移一个单位得到的，在区间，上的交点， 即与的交点向下平移一个单位， 所有实根之和，即是与的交点横坐标之和． 作出函数与的图象， 根据图象可得，交点的横坐标关于对称，在区间，上有8个交点； 即； 故选：． 4．将函数和直线的所有交点从左到右依次记为，，，，若点坐标为，则　　 A．0 B．2 C．6 D．10 【解答】解： 由题意作出图象如图，共得5个交点， 根据余弦函数的中心对称性可知， 和，和关于对称， ， ， 故选：． 角度3：零点差 1．已知函数，若方程在上的解为，，则　　． 【解答】解：令，故， 所以， 因为，所以， 画出在上的图象与的图象，如下： 其中，，且， 则，故，即， 解得，故， 故， 因为，，所以， 故． 故答案为：． 2．已知函数（其中，的最小正周期为，它的一个对称中心为，． （1）求函数的解析式； （2）当，时，方程有两个不等的实根，求实数的取值范围； （3）若方程在上的解为，，求． 【解答】解：（1），， 又的一个对称中心为，， ，，，， 又，，． （2）作，，与的图象，如图， 可知， ，即实数的取值范围为，． （3）方程在上的解为，，如图所示， 易知，且， ． 3．已知函数，，有两个零点，，则下列结论正确的是　　 A．当时， B． C．若，则 D． 【解答】解：对于选项，设，作单位圆，与轴交于， 则，过点作垂直于轴，交射线于点，连接， 由三角函数的定义可知，，，设扇形的面积为， 则，即，故， 当时，有不等式，故正确； 对于选项，画出且且与的函数图象， 如图可以看出，故，故不正确； 对于选项，的最小正周期为，由图象可知，所以，故正确； 对于选项，由，，推出， 因为， 所以，，，， 而， 但，且在为增函数， 故， 故，故正确． 故选：． 1．已知函数的图象与函数的图象交于，两点，则为坐标原点）的面积为　　 A． B． C． D． 【解答】解：由题意有，有， 有，解得，或（舍去）， 由可得或， 则点的坐标为，点的坐标为， 线段中点的坐标为，则的面积为， 故选：． 2．已知函数，的图象与函数的图象交于，两点，则的面积为　　 A． B． C． D． 【解答】解：由题意可知，、两点关于，对称． 函数与相交于两点 ，可得，，，，解得，所以和 两交点为，，， 设与轴相较于点 ， 故选：． 3．已知函数，，的部分图象如图所示． （1）求的解析式以及单调递增区间； （2）将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若关于的方程在上有两个不等实根，求实数的取值范围． 【解答】解：（1）设的最小正周期为． 由题图得，， 因为，所以，解得． 所以， 将，即代入解析式得：， 结合图象可，，，，又， ． ． 令，，解得，， 的单调递增区间为，． （2）将的图象向右平移单位长度得到的图象， 再将图象上的所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变）， 得到函数的图象． 方程在上有两个不等实根，与的图象在上有两个不同的交点． 函数在上单调递减，在上单调递增， 且，， ， 即的取值范围是． 4．将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象．若在上恰有三个不同的零点，则实数的取值范围为　　 A． B． C． D． 【解答】解：因为将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象， 所以， 因为在上恰有三个不同的零点， 所以， 解得． 所以实数的取值范围为，． 故选：． 5．已知函数． （1）若，求的对称中心； （2）已知，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在，，且上恰好有10个零点，求的最小值. 【解答】解：（1）因为， 所以的最小正周期是，即，解得， 当时，， 令，，则，，即的对称中心为； 当时，， 令，，则，，即的对称中心为， 综上所述，的对称中心为或． （2）由题意知，， 因为是的一个零点， 所以，即或，， 解得或，， 又，所以， 所以，最小正周期， 令， 有或，，即或，， 若函数在，，且上恰好有10个零点，则的图象至少包含了4个周期，再加第5个周期的第一个零点， 所以． 6．已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）当，关于的方程恰有三个不同的实数根，求实数的取值范围． 【解答】解：（1）令，， 解得，， 故的单调递增区间为，，． （2）因为等价于， 解得或， 因为，所以，，，， 如图，绘出函数的图像， 方程有三个不同的实数根等价于有一个实数解且有两个不同的实数解或有两个不同的实数解且有一个实数解， ①当或时，无解，不符合题意； ②当时，则，有一个实数解，有两个不同的实数解，符合题意； ③当时，则，有两个不同的实数解，有一个实数解，符合题意； ④当时，则，有一个实数解，至多有一个实数解，不符合题意， 综上，的取值范围为，． 7．设，函数，若函数在区间内恰有6个零点，则的取值范围是 　　． 【解答】解：最多有2个根，所以至少有4个根由， 可得， 由可得． 时，当时，有4个零点，即； 当，有5个零点，即； 当，有6个零点，即； 当时，， △， 当时，△，无零点； 当时，△，有1个零点； 当时，令（a），则， 此时有2个零点； 所以若时，有1个零点． 综上，要使在区间内恰有6个零点， 则应满足或或， 则可解得的取值范围是：． 故答案为：． 8．已知函数，若实数、、互不相等，且满足（a）（b）（c），则的取值范围是　　． 【解答】解：作出的函数图象，如图： 令，解得． 令，解得． 设，则，． ． 故答案为． 9．已知函数． （1）求函数的周期和递增区间； （2）若函数在，上有两个不同的零点、，求实数的取值范围． 并计算的值． 【解答】解：（1）． 由， 函数的周期为，递增区间为，；（6分） （2）方程同解于； 在直角坐标系中画出函数在，上的图象， 由图象可知，当且仅当，时，方程在，上的区间，和，有两个不同的解、， 且与关于直线对称，即， ； 故． （12分） 10. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式及其单调递增区间； （2）将函数的图象上所有的点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．若方程在上有三个不相等的实数根，，，求的值． 【解答】解：（1）由图可得，， 又， 所以，， 所以， 又因为过点， 所以， 又，所以， 所以． 因为， 所以递增区间为； （2）将函数的图象上所有的点向右平移个单位得到， 再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象， 则， 当时，， 令， 则， 令，则函数的函数图象如下， 且， 由图象可知有三个不同的实数根，，， 则， 所以， 即， 所以， 所以． 11．定义在上的函数满足，且（2），当时，，则函数在区间，上所有的零点之和为 　36　． 【解答】解：因上的函数，则是周期函数，周期是4，（2），当时，， 于是得是偶函数，，是的对称轴，函数是周期函数，周期是8，由，得其对称轴为，， 显然，函数与有公共的对称轴，， 由得，即函数的零点是函数与的交点的横坐标， 在同一坐标系内作出函数与在，上的图象，它们有9个公共点， 其横坐歀标依次为，，，．如图所示， 观察图象可得：给你，， 从而可得． 故答案为：36． 12. 已知函数，关于的方程有以下结论： ①当时，方程恒有根； ②当时，方程在，内有两个不等实根； ③当时，方程在，内最多有9个不等实根； ④若方程在，内根的个数为偶数，则所有根之和为． 其中正确的结论是　　（填写所有正确结论的番号）． 【解答】解：，． 的周期为， 作出在，上的函数图象如图所示： ，或． ，显然无解， 若，则，故而无解，故①错误； 当时，，显然在，上有3个实数根，故②错误； 当时，，故在，上最多有3个实数根， 方程在，内最多有9个不等实根，故③正确； 若方程在，内根的个数为偶数，则方程在一个周期内有两个根， 由图象的对称性可知方程在，内的两根之和为， 同理可得方程在，内的两根之和为， 方程在，内的两根之和为， 方程在，内所有根之和为．故④正确． 故答案为：③④． 13．已知函数的部分图像如图所示． （1）求函数的解析式； （2）将图像上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），然后将图像向右平移个单位，得到的图像．若方程在上的解为，，求的值． 【解答】解：（1）由函数图像，可得，，， ，可得，， 又图像过点，可得， ，，解得，， 又由，， 的解析式为． （2）将图像上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）变为， 然后将图像向右平移个单位变为， ，， 令，， 由题意，，， ，， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$