第18章 平行四边形（十三题型压轴专练）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（华东师大版）

第18章 平行四边形 压轴专练 题型一、平行四边形中的最值问题 1．在平面直角坐标系中，已知平行四边形的点，点，点，则对角线的最小值是（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，坐标与图形．设点D的坐标为，利用平行四边形对角线中点坐标相同求出，则由勾股定理可得，由此利用偶次方的非负性求解即可． 【详解】解：设点D的坐标为， ∵四边形是平行四边形， ∴与的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴对角线的最小值为， 故选：B． 2．如图，中，，，，为边上的一动点，以，为边作，则线段长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，所对直角边是斜边的一半，设与交于点，过作于点，由四边形作是平行四边形，得，，根据垂线段最短可得当时，即与重合时，最小，求出，最后通过所对直角边是斜边的一半即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，设与交于点，过作于点， ∴， ∵四边形作是平行四边形， ∴，， 当线段长最小，则线段的长最小， 由垂线段最短可得：当时，即与重合时，最小， ∵， ∴， ∴， ∴线段长的最小值是， 故答案为：． 3．如图所示，是线段上一动点，以为边在同侧作等边三角形和．    (1)若连接，请说明的关系． (2)若连接，设的中点为，连接，若线段的长为6，请求出的最小值． (3)若连接，设的中点为，线段的中点为，若线段的长为2，请直接写出的最小值． 【答案】(1)，且夹角为 (2) (3) 【分析】（1）如图1，连接，记的交点为，证明，则，，； （2）由题意知，，如图2，延长交于点，则是等边三角形，四边形是平行四边形，如图2，连接，的交点为，当在上运动时，点在过的中点，且平行于的线段上运动，即在的中位线上运动，如图2，作关于的对称，连接，当三点共线时，最小，作于，，，，根据，计算求解即可； （3）如图3，延长交于点，则是等边三角形，同理（2）可知，点在过的中点，且平行于的线段上运动，即在的中位线上运动，为线段的中点，则，且，当点与点重合时，最小值为，，，进而可求的最小值． 【详解】（1）解：，且夹角为，理由如下： 如图1，连接，记的交点为，    ∵等边三角形和， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，且夹角为； （2）解：由题意知，∵， ∴， 如图2，延长交于点，    ∴是等边三角形，四边形是平行四边形， 如图2，连接， ∴的交点为，即为的中点． ∴为的中点， ∴当在上运动时，点在过的中点，且平行于的线段上运动，即在的中位线上运动， 如图2，作关于的对称，连接， ∴当三点共线时，最小， ∴， 如图2，作于， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴最小值为． （3）解：如图3，延长交于点，则是等边三角形，    同理（2）可知，点在过的中点，且平行于的线段上运动，即在的中位线上运动， ∵为线段的中点， ∴，且， ∴， ∴当点与点重合时，最小值为， ∵， ∴，， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，中位线，全等三角形的判定与性质，勾股定理，含的直角三角形，轴对称的性质．确定点的运动轨迹是解题的关键． 题型二、平行四边形中的图象问题 1．如图，在▱ABCD中，点P沿A→B→C方向从点A移动到点C，设点P移动路程为x，线段AP的长为y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（　　） A．4 B．4.8 C．5 D．10 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质，再结合P运动时y随x变化的关系图象，通过勾股定理及可求解； 【详解】如下图， 根据图2可知， 当P到达B点时AP=AB=3， 当AP⊥BC时，AB+BP=4.8， ∴BP=BE=1.8， ∴， 当到达点C时，AP=AC=4， ∴， ∴BC=BE+EC=1.8+=5． 故选：C． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、勾股定理，掌握平行四边形的性质，根据点P运动的规律，结合关系图解题是关键． 2．在平行四边形ABCD中，动点P从点B出发，沿B⇒C⇒D⇒A运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图所示，则四边形ABCD的面积是 ． 【答案】8． 【分析】根据y关于x的函数图象，得△ABC的面积为4，进而可得答案． 【详解】根据y关于x的函数图象，得△ABP的面积的最大值为4，即△ABC的面积是4， ∴S▱ABCD=2S△ABC=8． 故答案是：8． 【点睛】本题主要考查函数图象与几何图形的综合，掌握平行四边形的性质与函数图象的意义，是解题的关键． 3．如图，在平行四边形中，，点从出发，沿射线方向运动，过点作交折线于点，当点与点重合时，点停止运动．运动过程中，设，．    (1)请直接写出与的函数表达式以及对应的的取值范围； (2)在直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质； (3)已知函数的图象如图所示，当时，请直接写出自变量的取值范围； 【答案】(1) (2)作图见详解 (3)自变量的取值范围为： 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，作图的方法，根据一次函数图象求不等式解集，掌握以上方法是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质，含角的直角三角形的性质即可求解； （2）运用描点，连线的方法即可求解； （3）根据图示即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴是直角三角形，且， 设，， ①当点在线段上时，即， ∵， ∴， ∴； ②当点与点重合时，即，如图所示，    ∴，即； ③当点在线段上时，即，如图所示， ∵，， ∴，且， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； 综上所述，与的函数表达式以及对应的的取值范围为：； （2）解：根据（1）的函数关系式描点如下， 0 1 2 3 4 5 …… 4 2 0 - - - - - 0 1 2 3 作图如下，    （3）解：如图所示，    根据图示，交点坐标为，， ∴当时，， ∴自变量的取值范围为：． 题型三、平行四边形中的平移 1．如图，的顶点坐标分别为，，，将沿轴向右平移，当点落在直线上时，线段扫过的面积为(　　) A．36 B．48 C． D．16 【答案】B 【分析】根据题意画出相应的图形，由平移的性质得到向右平移到位置时，四边形为平行四边形，点与点重合，此时在直线上，根据坐标得出的长，即为的长，平行四边形的面积由底，高，利用面积公式求出即可． 【详解】解：如图所示， A(1,0),B(7,0),C(1,8) 当向右平移到位置时，四边形为平行四边形，点与点重合，此时在直线上， ， ， 将代入中得：，即， ，，即， ， 则线段扫过的面积． 故选：B． 【点睛】此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，平移的性质，以及平行四边形面积求法，作出相应的图形是解本题的关键． 2．如图，平面直角坐标系中，点A(4，3)，点B(3，0)，点C(5，3)，∠OAB沿AC方向平移AC长度的到∠ECF，四边形ABFC的面积为 ． 【答案】3 【分析】根据平移的性质可判断出四边形ABFC是平行四边形，根据点坐标的性质易得四边形ABFC的底和高，继而即可求解． 【详解】解：∵点A(4，3)，点C(5，3)， ∴AC＝5－4＝1，AC∥x轴， ∵∠OAB沿AC方向平移AC长度的到∠ECF， ∴AB∥CF，AC＝BF ∴四边形ABFC是平行四边形， ∴平行四边形ABFC的高为C到x轴的距离，h＝3 ∴S四边形ABFC＝AC×h＝1×3＝3 故答案为：3． 【点睛】本题考查平移的性质，点坐标的性质，平行四边形的判定及其面积公式．解题的关键证得四边形ABFC是平行四边形，并根据点的坐标性质求得平行四边形ABFC的高． 3．问题探究： 一条线段沿某个方向平移一段距离后与原线段构成一个平行四边形．我们可以利用这一性质，将有些条件通过平移集中在一起来解决一些几何问题． （1）如图1，两条长度相等的线段和相交于G点，，试说明线段． 分析：考虑通过平移，将、和集中到同一个三角形中，运用三角形的三边关系来证明． 如图1，作且，则四边形是______（填四边形的形状）， ∴；∵，， ∴是______（填的形状），∴． 当与不平行时，M，N，C三点不在同一直线上，由三角形三边关系可知，______（填>或=或<）； 当与平行时，M，N，C三点在同一直线上，此时，，∴． 问题解决： （2）如图2，在中，，，点M，点N分别在，上，交于点G，，． ①求证：； ②求的值； 拓展应用： （3）如图3，在中，，点M，点N分别在，上，交于点G，若，，，，直接写出长（用含a、b的代数式表示）． 【答案】（1）平行四边形，等边三角形，；（2）①见解析；②；（3） 【分析】（1）根据证明过程即可求解； （2）①作且，连接，可得四边形是平行四边形，进而得，，， 证即可；②作，可推出；设，则；结合，可得，进一步可得，根据即可求解； （3）作且，连接，作，则四边形是平行四边形，，，可证是等边三角形；根据可得，结合可得，即可求解 【详解】解：（1）作且，则四边形是平行四边形； ∵，， ∴是等边三角形； 由三角形三边关系可知，， 当与平行时，M，N，C三点在同一直线上，此时，， ∴； 故答案为：平行四边形，等边三角形，； （2）①作且，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵且， ∴四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴； ②作，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． （3）作且，连接，作，如图所示： 则四边形是平行四边形，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了平移、平行四边形判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，根据平移作出辅助线，转移角度和线段是解题关键． 题型四、平行四边形中的折叠 1．如图，在中，是对角线，将沿折叠后，点的对应点E恰好落在的延长线上．若，，则的周长为（    ） A．20 B．28 C． D． 【答案】D 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、轴对称的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识．由平行四边形的性质得，，由折叠得得，，，因为点恰好落在的延长线上的点处，所以，，所以，在中，根据勾股定理列式计算，于是可得答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 由翻折的性质，得，，， 点E在的延长线上， ， ． ． ， 在中，根据勾股定理，得， ． 的周长为． 故选：D． 2．如图，在中，E为边上一点，将沿折叠至处，若，则的大小为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质是解题关键．由平行四边形的性质得，根据三角形内角和定理求出，由折叠的性质得：，再根据，求出，由，即可求得的大小． 【详解】解：在中，， ， ， ， 由折叠的性质得：， ， ， ， 故答案为：． 3．综合与实践 综合与实践课上，王老师以“发现—探究—应用”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维．以下是王老师的课堂主题展示： 【问题情境】在平行四边形中，，，，E是的中点，连接，将沿折叠得到（点F不与点A重合），作直线交于点P． 【观察发现】 （1）如图1，若，则线段与的数量关系是______，位置关系是______． 【类比探究】 （2）在的值发生变化的过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由． 【拓展应用】 （3）当时，请直接写出线段的长． 【答案】（1），；（2）成立，证明见解析；（3）或 【分析】（1）根据折叠的性质得到，．由E为的中点，推出，根据三角形内角和定理及平角的定义得到，推出，由四边形是平行四边形，得到，继而证明四边形为平行四边形，即可得出结论． （2）同理（1）证明即可； （3）过点A作交CB的延长线于点M，分点F在平行四边形内和点F在平行四边形外；两种情况讨论即可． 【详解】解：（1），，理由如下： 证明：由折叠，可得，． ∵E为的中点， ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． 又∵四边形是平行四边形， ∴． ∴四边形为平行四边形． ∴． （2）在的值发生变化的过程中，（1）中的结论仍然成立． 同理（1）证明即可； （3）①当点F在平行四边形内时，过点A作交CB的延长线于点M，如解图1所示． 由（2）可知， ∵， ∴为等腰直角三角形． ∴． ∵，， ∴． ∴为等腰直角三角形． ∴． 设，则，． 由（2）可得， ∴． 在中， ，即， 解得（负值已舍去）． 由（2），可知， ∴． ②当点F在平行四边形外时，过点A作于点M，如解图2所示． 同理可得．设，则，， 可得， ∴． 在中， ，即， 解得（负值已舍去）． 由（2），可知， ∴． 综上所述，线段的长为或． 【点睛】本题考查了折叠性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握以上性质是解题的关键． 题型五、平行四边形中的旋转 1．如图，平行四边形中，，，，连接，将绕点B旋转，当（即）与交于一点E，（即）同时与交于一点F时，下列结论正确的有（　　） ①； ②； ③； ④周长的最小值是． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，平行四边形的性质，最短路径问题，根据题意可证，可判断①②③，由的周长，则当最小时，的周长最小，根据垂线段最短，可得时，长度最小，即长度最小，即可求此时周长最小值． 【详解】解：∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵将绕点B旋转到位置， ∴， ∴， ∴， ∴， 故①正确，③错误； ∵， ∴， 故②正确， ∵的周长， ∴当最小时，的周长最小． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴当时，长度最小，即长度最小， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴的周长最小值为， 故④错误， 故选：B． 2．如图，B、O、D三点共线，且，，和都为等腰直角三角形，将绕点O逆时针方向旋转一周，当时，线段的长度为 ． 【答案】2或/ 或2 【分析】本题考查等腰三角形性质及判定，勾股定理，旋转性质，平行四边形判定及性质．根据题意分情况讨论，①当在外部时，利用等腰直角三角形性质可知，，，继而证出是等腰直角三角形，再用勾股定理即可得到本种情况答案；②当在的内部时，证明出四边形是平行四边形，再用勾股定理即可得到本题答案． 【详解】解：①如图，当在外部时， ， 延长交于N，过点A作于H， ∵和都为等腰直角三角形， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； ②如图，当在的内部时， ， ∵和都为等腰直角三角形， ∴，，，， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2或． 3． [回顾课本]苏教版八年级下册数学教材“9.5三角形的中位线"一课中给出了“三角形的中位线定理”的证明思路，请根据分析完成证明过程． 已知：如图1，是的中位线，求证：，． 分析：因为E是的中点，可以考虑以点E为中心，把按顺时针方向旋转，得到，这样就需要证明四边形是平行四边形…… [探究发现] 如图2，等边的边长为2，点D，E分别为，边中点，点F为边上任意一点（不与B，C重合），沿，剪开分成①，②，③三块后，将②，③分别绕点D，E旋转恰好能与①拼成平行四边形，求平行四边形周长的最小值． [拓展作图] 如图3，已知四边形，现要将其剪成四块，使得剪成的四块能通过适当的摆放拼成一个平行四边形，请在图3中画出剪痕，并对剪痕作适当的说明． 【答案】[探究发现] ；[拓展作图] 作图见解析，说明见解析 【分析】本题考查旋转的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质等知识，理解题意是解决问题的关键． [探究发现] 由旋转及平行四边形的性质可知，，，要使得平行四边形周长最小，则只需要最小，即：最小即可，亦即当时，取得最小值，当时，，利用含的直角三角形即可求解； [拓展作图]取，，，边中点，，，，再根据旋转和平移即可求解． 【详解】解：[探究发现] ∵是等边三角形，点为的中点， ∴，，， 由旋转可知，，，， 则在平行四边形中，，， 要使得平行四边形周长最小，则只需要最小， 即：最小即可，亦即当时，取得最小值， 当时，，则， ∴， ∴的最小值为， 此时平行四边形周长的最小，最小为； [拓展作图] 方法一：如图，点，，，分别为，，，边中点，沿，剪开分成①，②，③，⑦四块后，将①，③分别绕点，旋转至④，⑥，再将②平移至⑤，恰好能与⑦拼成平行四边形； 方法二：点，，，分别为，，，边中点，沿，剪开分成①，②，③，⑦四块后，将①，②分别绕点，旋转至④，⑤，再将②平移至⑥，恰好能与⑦拼成平行四边形． 题型六、一次函数中的平行四边形 1．如图，平行四边形ABCD的边AB在一次函数的图象上，轴，若点C的坐标是，则过顶点D的正比例函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数和平行四边形的性质，推导得、；再根据直角坐标系和平行四边形的性质，得，设过顶点D的正比例函数解析式为，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案． 【详解】解：∵平行四边形的边在一次函数的图象上， ∴当时，， ∴， ∴点的纵坐标是1， ∵平行四边形，C的坐标是， ∴点的纵坐标是-2， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 设过顶点D的正比例函数解析式为， ∴， ∴， ∴过顶点D的正比例函数解析式为， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数、平行四边形、直角坐标系的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数、平行四边形的性质，从而完成求解． 2．一次函数与轴交于点，与轴交于点，将线段绕点逆时针旋转，使点落在点处．平面内存在一点，若以点为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了一次函数，旋转的性质，平行四边形的性质等知识，先求出A、B的坐标，然后利用旋转的性质，全等三角形的判定与性质求出M的坐标，再分以、为对角线；以、为对角线；以、为对角线，三种情况讨论，利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】解∶当时，， 当时，，∴， ∴，， ∴， 过M作轴于C， ∵线段绕点逆时针旋转，使点落在点处． ∴，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设， ①以、为对角线， 则， 解得， ∴； ②以、为对角线， 则， 解得， ∴； ③以、为对角线， 则， 解得， ∴； 综上，当点N的坐标为或或时，以点为顶点的四边形是平行四边形． 故答案为：或或． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与分别经过轴上的点、点，交于点，点为直线上的一点． (1)求出和的表达式及点的坐标； (2)若点的横坐标小于点的横坐标，连接、，当和的面积相等时，求点的坐标； (3)在上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是以为边的平行四边形？若存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)一次函数的解析式为：，一次函数的解析式为：， (2)点的坐标为 (3)在上是存在点，使得以、、、为顶点的四边形是以为边的平行四边形，的坐标为或 【分析】本题考查了一次函数的综合应用，涉及一次函数的图像与性质，平行四边形的性质，三角形的面积，解题的关键是掌握相关知识． （1）先利用待定系数法求出和的表达式，再联立和的表达式可求出点的坐标； （2）求出，，由，且，可得点在轴的右侧，进而得到，最后根据得到，即可求解； （3）设，，分两种情况：当，为对角线时，，的中点重合，当，为对角线时，，的中点重合，分别列方程组即可求解． 【详解】（1）解：将点代入中， 可得：， 解得：， 一次函数的解析式为：； 将点代入可得：， 解得：， 一次函数的解析式为：； 联立， 解得：， ； （2）,点， ， 由（1）知，， ， 在中，令，得， ， ， ， ，且， 点在轴的右侧， ， ， ， 解得:, 点的坐标为； （3）在上是存在点，使得以、、、为顶点的四边形是以为边的平行四边形，理由如下： 设，， 又，， 当，为对角线时，，的中点重合， 即， 解得：， ； 当，为对角线时，，的中点重合， 即， 解得：， ； 综上所述，的坐标为或． 题型七、反比例函数中的平行四边形 1．如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点在轴上，若点，则实数的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质，延长交y轴于点，根据平行四边形面积可求出，继而可得点A坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出k值即可． 【详解】解：如图，延长交y轴于点， ∵， ∴， ∵是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵点A在反比例函数图象上， ∴． 故选：B． 2．如图，四边形是平行四边形，点的坐标为，点和点在第一象限，反比例函数的图象经过点和点，若点的横坐标为4，则的值为 ．． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，平行四边形的性质，根据反比例函数的性质可得，结合平行四边形与平移的性质可得，再进一步解答即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点和点，点的横坐标为4， ∴， ∵四边形是平行四边形，点的坐标为， ∴，， ∴， ∵反比例函数的图象经过点和点， ∴， 解得：， 故答案为：12． 3．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)设直线 与轴相交于为线段延长线上一点，作与反比例函数交于点 ，连接，当四边形为平行四边形时，求点的坐标． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的综合运用、平行四边形的性质，掌握待定系数法求函数解析式、灵活运用数形结合思想是一般步骤是解题的关键． 根据反比例函数图象上点的坐标特征求出，进而求出，利用待定系数法求出一次函数的解析式； 先求出的长，根据平行四边形的性质得到设点的坐标为 ，进而表示出点的坐标，代入反比例函数解析式，计算即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴反比例函数解析式为： 在反比例函数的图象上， ∴点的坐标为， 则 ， 解得：， ∴一次函数的解析式为：． （2）解：对于当时， ∵四边形为平行四边形， 设点的坐标为 ∴点D的坐标为 解得：(舍去) , ∴点的坐标为． 题型八、平行四边形与等腰三角形 1．【综合与实践】 ◆问题情境：活动课上，小强同学以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动．如图1，已知中，，．将从图1的位置开始绕点逆时针旋转，得到（点，分别是点，的对应点），旋转角为（），设线段交于点，线段分别交，于点，，如图2． ◆特例分析：当旋转到时，则旋转角的度数为______________； ◆探究规律：在绕点逆时针旋转的过程中，小强同学发现线段始终等于线段，请你帮小强同学证明这一结论． ●拓展延伸： （1）在绕点逆时针旋转的过程中，直接写出当是等腰三角形时旋转角的度数． （2）在图3中，作射线，交于点，问是否存在四边形是平行四边形？若存在，请直接写出此时旋转角的度数，及此时四边形的面积与的面积之间的数量关系；若不存在，请说明理由． 【答案】特例分析：55°；探究规律：见解析；拓展延伸：（1）或，（2） ， 【分析】特例分析，已知等腰中，根据等腰三角形两底角相等得出，进而算出．当 时，根据等腰三角形三线合一，平分，此时，这个角度即旋转角 α． 探究规律，由旋转可知与全等，从而得出，又因为，根据角边角全等判定定理，可证与全等，进而得出． 拓展延伸，分三种情况（1）讨论旋转角的度数：当 时，利用三角形内角和以及等角关系解得；当 时，同样利用相关角度关系解得；当时，不合题意，舍去．所以旋转角 的度数为 或； （2）当时，四边形是平行四边形，此时算出旋转角，所以存在四边形 是平行四边形的情况，且． 【详解】解：特例分析： ， ，． 时， ，即旋转角， 故答案为：． 探究规律： 由旋转可知， ， 又， ​， ， ． 拓展延伸： （1）， ， 为等腰三角形，分情况讨论： 当时，，即，解得； 当时，，即，解得； 当时，，即，解得， ， 不合题意，舍去． 旋转角α的度数为或． （2）存在四边形是平行四边形，理由如下： ，， 当，即，时，， ， ， 四边形是平行四边形 ，， 令间的距离是， ， 存在四边形是平行四边形的情况，且． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，图形的旋转，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质 ，解题的关键在于熟练掌握等腰三角形和旋转的性质，及分类讨论的思想，． 2．为等腰三角形，，，为等边三角形，连接，点M为的中点，将绕点A逆时针旋转． (1)如图1，当点E在上且时，连接，求线段的长； (2)如图2，连接，，在绕点A旋转的过程中，猜想与的数量关系，并证明你的结论； (3)连接，，在绕点A逆时针旋转过程中，当线段的长度最小时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)；理由见解析 (3) 【分析】（1）连接，过点A作于点F，根据直角三角形的性质得出，根据为等边三角形，得出，，证明，为等边三角形，根据等边三角形的性质得出，证明四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质即可得出结论； （2）延长，取，连接，证明，得出，根据中位线性质得出，即可得出结论； （3）根据等边三角形性质得出，，根据，利用三角形三边关系得出，且当、B、E三点共线时，等号成立，画出图形，先根据等边三角形性质求出，根据勾股定理得出，求出，根据三角形面积公式求出结果即可． 【详解】（1）解：连接，过点A作于点F，如图所示： 则， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∵点M为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴； （2）解：；理由如下： 延长，取，连接，如图所示： 根据解析（1）可知：，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，点M为的中点， ∴， ∴； （3）解：∵为等边三角形， ∴，， ∵，绕点A逆时针旋转， ∴，且当、B、E三点共线时，等号成立， ∴当点E在线段上时，最小，如图所示： 过点D作于点N， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 此时， ∵点M为的中点， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，中位线的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形三边关系的应用，三角形外角的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 3．在平行四边形中，，将沿对角线翻折，点B的对应点为点E，线段与边交于点F． (1)，求的度数； (2)若是以为腰的等腰三角形，求线段的长； (3)如图2，连接的延长线交于点N，的延长线交于点M，当点M到的距离最小值时，求出此时的面积． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）由折叠的性质结合平行四边形的性质，即可求解； （2）先证明，然后分两种情况：当时；当时，即可求解； （3）过点M作于点Q，可得是等腰直角三角形，从而得到当最小时，最小，即当最小时，点M到的距离最小，此时，过点A作于点S，与T，此时是等腰直角三角，再由勾股定理求出，是等腰直角三角形，，即可求解． 【详解】（1）解：由折叠的性质得：， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，此时， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 当时，此时， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 综上所述，线段的长为或； （3）解：如图，过点M作于点Q， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即， ∴当最小时，最小，即当最小时，点M到的距离最小，此时， 过点A作于点S，与T，此时是等腰直角三角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴． 【点睛】本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，翻折的性质等知识是解题的关键． 题型九、平行四边形与等边三角形 1．如图，是等边三角形，是边上的高．点E在的延长线上，连接，，过A作与的延长线交于点F，连接，，． (1)求证：为等边三角形； (2)求证：四边形为平行四边形； (3)若，请直接写出四边形的周长． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3) 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，由三角形外角的定义及性质可得，由三角形内角和定理求出，即可得证； （2）由（1）可得，为等边三角形，，从而得出，，进而可得，利用平行四边形的判定即可得证； （3）结合勾股定理求出、的长即可得解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形，是边上的高， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形； （2）证明：由（1）可得：，为等边三角形，， ∴，， ∴，又， ∴四边形为平行四边形； （3）解：∵， ∴,， ∵为等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形的周长为． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、三角形外角性质、等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 2．是等边三角形，点是射线上的一点（不与点，重合），连接，在的左侧作等边三角形，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，交于点． (1)如图1，当点为中点时，线段与的数量关系是______； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； (3)当，时，请求出的长． 【答案】(1) (2)成立，证明见解析 (3)的长为或 【分析】（1）证明，进一步可得答案； （2）连接，可证明，从而，，进而得出，从而得出，从而，结合得出四边形是平行四边形，从而得出； （3）分为两种情形：当点在的延长线上时，作于，可得出和，从而，进而得出，进一步得出结果；当点在上时，作于，可得出，即可求解． 【详解】（1）解：是等边三角形，点是的中点， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， ； 故答案为：； （2）解：结论成立，证明如下： 连接，，如图， 和是等边三角形， ，，， ，即， ， ，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ； （3）解：当点在的延长线上时，作于，连接，如图， ， ∴ ， ， ， 由（2）知：， 和是等边三角形， ∴ 当点在上时，作于，如图， 同上知：和是等边三角形， ∴, ， ， ， ∵ ∴ ， 综上所述：的长为或． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型． 3．【问题初探】 （1）在数学活动课上，王老师给出下面问题：如图1，和是等边三角形，点、、不在同一条直线上，请找出图中的全等三角形并直接写出结论____________．（写出一对即可）上面几何模型被称为“手拉手”模型，面对题目时我们也会“寻模而入，破模而出”． 【类比分析】 （2）如图2，已知四边形中，，，是的平分线，且．将线段绕点顺时针旋转得到线段．当时，连接，试判断线段和线段的数量关系，并说明理由． ①小明同学从结论出发给出如下解题思路：可以先猜测线段和线段的数量关系，然后通过逆用“手拉手”模型，合理添加辅助线，借助“全等”来解决问题； ②小玲同学从条件入手给出另一种解题思路：可以根据条件，则，再通过“手拉手”模型，合理添加辅助线，构造与全等的三角形来解决问题． 请你选择一名同学的解题思路（也可另辟蹊径）来解决问题，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析 【分析】（1）利用证明即可； （2）过点作平分交于，先证明四边形是平行四边形，可得，再证明是等边三角形，推出，再证得即可． 【详解】解：（1）．理由如下： 和是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ； （2），理由如下： 如图，过点作平分交于， 四边形中，，， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平分， ， ， 是等边三角形， ，， ，， 即， 由旋转得：，， ， ， ； 【点睛】本题是几何综合题，考查了等边三角形的性质，平行四边形的性质，旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，正确添加辅助线是解题关键． 题型十、平行四边形与直角三角形 1．发现结论： （1）在中，，若设，则________；（用含有a的代数式表示） （2）如图1，在中，是对角线，将沿翻折至与边相交于点E，连接，则的形状是________，线段和的数量关系是________． 结论应用： 在中，，是对角线，将沿翻折至，连接． （3）如图②，已知，与边相交于点E，求的面积； （4）已知，当是以为斜边的直角三角形时，求的长． 【答案】（1）；（2）等腰三角形，相等；（3）；（4）的长为4或12 【分析】（1）由题意可得，从而得出； （2）先证明，可得，得出，从而得出是等腰三角形，再由，，可得； （3）延长交于点G，通过解直角三角形求得，，再由，可得，设，则，根据勾股定理即可求得值，即的值，然后根据三角形的面积公式即可求得的面积； （4）分两种情形，分别求解即可． 【详解】发现结论： （1）如图， 在中，，， ， ， 故答案为：； （2）四边形是平行四边形， ，，， 将沿翻折至， ，，， ，，， 在和中， ， ， ， ， 是等腰三角形， ，， ， 故答案为：等腰三角形，相等； 结论应用： （3）如图，作于， ， ， ，， ， ， 设，则， ， ，解得， ， 的面积； （4）由（2）得，， ， ， ， ， 四边形是等腰梯形， ， ， 是以为斜边的直角三角形， 当，时， 设， ， ， ，解得， ， ， ， ， 当，时，如图，延长交于点G， ，， ， ，， ， ，， ， ， 是的中点， 在中，， ． 综上所述，当的长为4或12时，是以为斜边的直角三角形． 【点睛】本题考查几何变换综合题、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、翻折变换、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 2．【问题背景】 某数学兴趣小组在学习了平行四边形后，对其进行了轴对称变换的操作，进一步研究平行四边形的性质．在中，，，，点是边上任意一点，连接，将四边形沿翻折得到四边形，射线与相交于点． 【操作发现】 （1）如图1，无论点在什么位置，图中都会有一条线段与相等，请猜想与相等的线段，并说明理由． 【问题延伸】 （2）当点的位置发生变化时，线段存在最小值，请求出线段的最小值． 【问题拓展】 （3）如图2，连接，当是以为一条直角边的直角三角形时，求线段的长． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）线段的长为或或． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，图形的翻折，勾股定理，等腰三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质，翻折的特征是解题的关键． （1）根据点在边上的不同位置，画出图形，进行分类讨论，情况①，当射线与相交于点，点在线段上，根据平行四边形的性质，翻折的特征，可得，利用等角对等边，即可证明；当点在边上其他位置时，同理可证得； （2）根据，利用垂线段最短，可得当时，最短，故此时取得最小值，利用勾股定理即可求解； （3）根据点在边上的不同位置，当时，，以及当点与点重合时，分情况讨论，利用勾股定理即可求解； 【详解】解：（1），理由如下， 情况①，当射线与相交于点，点在线段上，如图， 四边形是平行四边形， ， ， 将四边形沿翻折得到四边形， 根据翻折特征，得， ， ． 情况② 当射线与相交于点，点在线段延长线上，如图， 同理可得，， ． 情况③ 当点在如图位置，延长线与相交于点， 四边形是平行四边形， ， 将四边形沿翻折得到四边形， 根据翻折特征，得，， ， ， ． 综上，无论点在什么位置，都有． （2），根据垂线段最短， 当时，最短，故此时取得最小值，如图所示， ，，， 根据勾股定理得， ， 线段的最小值为． （3）情况① 当时，，是以为一条直角边的直角三角形，如图所示， 四边形是平行四边形， ，， 将四边形沿翻折得到四边形， 根据翻折特征，得， ， ，即， 是以为一条直角边的直角三角形， 根据第（2）结果，， ． 情况②，，是以为一条直角边的直角三角形，如图所示， 四边形是平行四边形， ，，，， 将四边形沿翻折得到四边形， 根据翻折特征，得，，，，， ，， ， 是等腰直角三角形， 根据勾股定理得，， ， ， 在中，， ． 情况③ 当点与点重合时，即将四边形沿翻折得到四边形， ，根据翻折特征，可得， ， 是以为一条直角边的直角三角形， 此时，． 综上，当是以为一条直角边的直角三角形，线段的长为或或． 3．如图，在中，，，，动点P从点A开始以的速度向点C运动，动点F从点B开始以的速度向点A运动，两点同时运动，同时停止，运动时间为． (1)过点P作交于点D，连接，求证：四边形是平行四边形． (2)当t为何值时，是等边三角形？ (3)当t为何值时，是直角三角形？请直接写出答案． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，等边三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质： （1）先求出，进而求出，再求出得到，由此即可证明四边形是平行四边形； （2）先求出 ，则当时，是等边三角形，据此建立方程求解即； （3）分当时，当时，两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）证明：∵在中，，，， ∴， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，， ∴ ∴当时，是等边三角形， ∴， ∴， ∴当时，是等边三角形； （3）解：当时，则， ∴， ∴ ∴； 当时，则， ∴， ∴ ∴； 当或时，是直角三角形． 题型十一、平行四边形的动点求t 1．如图，在直角梯形中，，，，，点从点出发，沿以每秒个单位的速度向终点运动，点从点出发，沿折线运动，在线段上以每秒个单位长度的速度运动，在线段上以为每秒个单位的速度运动，设运动时间为（）．    (1)_________． (2)当四边形是平行四边形时，求的值 (3)连接、、，当是直角三角形时，求的值． (4)作点、关于直线的对称点，，连接，，直接写出与平行或垂直时的值． 【答案】(1) (2) (3)或或 (4)或时与平行，时与垂直 【分析】（1）过点作于，根据矩形的性质得出，进而根据正切的定义，即可求解； （2）在中，勾股定理求得，，得出，根据题意建立方程，解方程即可求解； （3）当点在上，且时，过点作交延长线于，过点作于，解，根据得出，即可求解．当点在上，且时，过点和点分别作、交延长线于、，则四边形、都是矩形，同理可得，即，解方程，即可求解．当点在上，且时，则此时四边形是矩形，根据得出，解方程，即可求解； （4）当点在线段上且时，得出，即，解方程即可求解；当时，设交、分别为、，则，得出，根据，即可求解，当在上方时，设交于点，延长、交于点，证明四边形是菱形，根据菱形的性质得出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解；如图所示，过点作于， ，， 四边形是矩形， ，， ， 在中，； 故答案为：．    （2）解：四边形是平行四边形， ，即此时点在上， 如图所示，在中，， ， ， 在线段上以每秒个单位长度的速度运动，在线段上以为每秒个单位的速度运动， ， ， 解得；    （3）解：如图所示，当点在上，且时，过点作交延长线于，过点作于， ， ， ， ，， 在中，，， 在中，，， ， ， ， ， ，即， ， 解得（舍去）或；    如图所示，当点在上，且时，过点和点分别作、交延长线于、，则四边形、都是矩形， ，，， ， 同理可得，即， 解得或（舍去）；    如图所示，当点在上，且时，则此时四边形是矩形， ， ， 解得； 综上所述，当是直角三角形时，或或；    （4）解：如图所示，当点在线段上且时， ， 由轴对称的性质可得， ， ， ， 解得；    当时如图所示，设交、分别为、，则，    ，，， ， 设，，则， ， ， ，则， ， ， ， 又，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 解得：； 如图所示，当在上方时，设交于点，    ， 设，则， ，， ， ， ， ， ， 如图所示，延长、交于点    ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形， ，， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形， ， ， 即， 解得：， 综上所述，或时与平行，时与垂直 【点睛】本题考查了四边形综合问题，求正切，平行四边形的性质，勾股定理，轴对称的性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 2．如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)当时，请判定四边形的形状，并证明． (2)当时，求t的值． (3)连接，是否存在为等腰三角形？若存在请求t的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)四边形是平行四边形．理由见解析 (2)或时， (3)存在，当为4或者或者时，为等腰三角形 【分析】（1）根据题意有：，，进而有，，当时，可得，结合，即可作答； （2）分四边形是平行四边形和四边形是等腰梯形两种情况，结合题意计算，得到答案； （3）分三种情况讨论：当为等腰三角形，且时，过D点于H；当为等腰三角形，且时；当为等腰三角形，且时，根据等腰三角形的性质结合勾股定理列出关于t的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：结论：四边形是平行四边形．理由：根据题意有：，， ∵，， ∴，， 当时，，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）当，四边形PQCD是平行四边形时， 即有：，则，解得，； 当时，四边形PQCD是等腰梯形时， 过P点作于M，过D点于N，如图， 根据，，，可得四边形是矩形， 则，， 即，， ∵梯形为等腰梯形，于M， ∴，， 根据（1）有，，，， ∴， ∴，解得， 综上所述：或时，． （3）存在，理由如下： 根据（1）有，，，， 根据（2）有， 当为等腰三角形，且时，过D点于H，如图， 根据（2）可知：时， ∵为等腰三角形，∴， ∴，解得，即此时； 当为等腰三角形，且时，如图， ∴，解得，即此时； 当为等腰三角形，且时， 过D点于P，过Q点于G，如图， 根据（2）同理可知四边形是矩形， ∴， ∵，，， ∴， ∵，，∴， 在中，， ∴，解得：， 综上所述：当为4或者或者时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰梯形，勾股定理，等腰三角形的性质以及利用开平方解方程的知识，掌握平行四边形的性质、梯形的性质以及等腰三角形的性质是解答本题的关键． 3．如图，在平行四边形中，，，． 动点从点出发沿以2cm/s速度向终点运动，同时点从点出发，以8cm/s速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点的运动时间为秒（）    (1)的长为 ． (2)用含的代数式表示线段的长． (3)连结．是否存在的值，使得与互相平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (4)若点关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)或 (3)存在， (4)或 【分析】（1）根据平行四边形的性质得，再根据勾股定理即可求解； （2）根据题意可得，先求出当点Q与点B重合时，所花费的时间，再根据题意分两种情况讨论即可：当点Q在线段上时和当点Q在线段的延长线上时； （3）连接，假设与互相平分，则可得四边形是平行四边形，进而可得，解得即可到答案； （4）根据题意分两种情况讨论即可：当点P关于直线对称的点落在点A下方时和当点P关于直线对称的点落在点A上方时． 【详解】（1）∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， （2）在中，，， 由题意得，， 当点Q与点B重合时，， ∴， 当点Q在线段上时，， 当点Q在线段的延长线上时，， 综上所述，或； （3）存在，理由如下： 如图，连接，    若与互相平分，则四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴当时，与 （4）当点P关于直线对称的点落在点A下方时，如图，    由对称得，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 解得； 当点P关于直线对称的点落在点A上方时，如图，    由对称得，， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 综上所述，t的值为或2． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、勾股定理的应用和动点问题，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 题型十二、平行四边形的新定义 1．定义：对于给定的一次函数（，k、b为常数），把形如（，k、b为常数）的函数称为一次函数（，k、b为常数）的“实验”函数．已知平行四边形的顶点坐标分别为． (1)点在一次函数的“实验”函数图象上，则 ， ． (2)点在函数的“实验”函数图象上，求的值． (3)一次函数（，k、b为常数），其中k、b满足． ①请问一次函数的图象是否经过某个定点，若经过，请求出定点坐标；若不经过，请说明理由； ②一次函数（，k、b为常数）的“实验”函数图象与平行四边形恰好有两个交点，求b的取值范围． 【答案】(1)3，3 (2)2或 (3)①过定点，定点坐标为；②或且 【分析】（1）根据“实验”函数的定义求解即可； （2）分与两种情况，将点G的坐标代入函数关系式求解即可； （3）①由已知条件可将函数关系式变形为，可得结论； ②“实验”函数图象经过点A时，与平行四边形有三个交点，当“实验”函数图象经过点时，与平行四边形有三个交点；分别求得相应的b的值，即可求解； 【详解】（1）∵点在一次函数的“实验”函数图象上，且， ∴，； 故答案为：3，3； （2）∵点在函数的“实验”函数图象上， ∴当时，，解得：； 当时，，解得：； 综上，a的值2或 （3）①经过定点； ∵， 代入得， 当时，； ∴一次函数的图象过定点，定点坐标为； ②由①可知：一次函数的“实验”函数图象经过定点和 且点在平行四边形内，设一次函数的“实验”函数图象与y轴的交点为G，点G沿y轴向上移动过程中，当“实验”函数图象经过点A时，如图，与平行四边形有三个交点，将代入，解得：， ∴时，“实验”函数图象恰好与平行四边形有两个交点，符合题意； 点G沿y轴继续向上移动，当“实验”函数图象经过点时，如图，与平行四边形有三个交点； 此时， ∴且时，“实验”函数图象恰好与平行四边形有两个交点，符合题意； ∴当或且时，“实验”函数图象恰好与平行四边形有两个交点． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标特点等知识，正确理解题意、灵活应用数形结合思想是解题的关键． 2．在平面直角坐标系中，对于没有公共点的两个图形M、N给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，若P、Q两点间距离的最大值和最小值分别为和，则称比值为图形M和图形N的“距离关联值”，记为．已知顶点坐标为，，，． (1)若E为边上任意一点，则的最大值为______，最小值为______，因此k（点O，）＝______； (2)若为对角线上一点，为对角线上一点，其中． ①若，则k（线段，）______； ②若（线段，），求m的取值范围； (3)若的对角线交点为O，且顶点在直线上，顶点在直线上，其中，请直接用含n的代数式表示． 【答案】(1)2，1，2 (2)①6；②或或或 (3)当且时， 【分析】（1）如图1，过作于，过作于，与轴交于，则四边形是正方形，由题意知，当与或重合时，最大，当与重合时，最小，求，，根据(点，) ，计算求解即可； （2）①如图2，设直线的解析式为，则，解得，即，，由题意知，线段上的点与上的点的最大距离为，最小距离为，根据(线段，)定义求解即可；②将代入，解得，即，分当时；当时；当时；当时；表示出最大与最小距离，然后解一元一次不等式组求解满足要求的解即可； （3）如图3，将代入，解得，即，由，可得，由（2）可知，将的边等同于线段时求的求解方法求解即可． 【详解】（1）解：如图1，过作于，过作于，与轴交于，则四边形是正方形， 由题意知，当与或重合时，最大，当与重合时，最小， ∴，， ∴最大为2，最小为1， (点，) ， 故答案为：2，1，2； （2）解：如图2， 设直线的解析式为，则，解得， ∴， 当，， ∴， 由题意知，线段上的点与上的点的最大距离为，最小距离为， ∴(线段，)， 故答案为：6； ②解：将代入，解得，即， 当时，由题意知，线段上的点与上的点的最大距离为，最小距离为， ∴(线段，)， 令， 解得， ∴； 当时，线段上的点与上的点的最大距离为，最小距离为， ∴(线段，)， 令， 解得， ∴； 当时，由题意知，线段上的点与上的点的最大距离为，最小距离为， ∴(线段，)， 令， 解得， ∴； 当时，线段上的点与上的点的最大距离为，最小距离为， ∴(线段，)， 令， 解得， ∴； 综上所述，或或或； （3）解：如图3， 将代入，解得，即， ∵， ∴， 由（2）可知，当且时，上的点到上的点的最大距离为，最小距离为， ∴． 【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，平行四边形的性质，一次函数与平行四边形综合，勾股定理，解一元一次不等式组等知识．解题的关键在于理解题意． 3．定义1：只有一组对边平行的四边形是梯形．平行的两边叫做梯形的底边，较长的一条底边叫下底，较短的一条底边叫上底，另外两边叫腰． 定义2：如果梯形的一条对角线等于上、下底之和，那么这个梯形叫和等梯形，这条对角线叫和等线． 【概念理解】 (1)如图1，在梯形中，，四边形_______（填“是”或“不是”）和等梯形； (2)如图2，在矩形中，，点E在AB上，，若在上存在点P使得四边形是和等梯形，求的长； 【探索发现】 (3)如图3，四边形是以为和等线的和等梯形，，、交于点O，请判别的形状，并说明理由： 【灵活运用】 (4)如图4，点E在平行四边形的边上，在边上找一点P，使得四边形是以为和等线的和等梯形． 要求：借助直尺和圆规用两种方法作出点P，不写作法，保留作图痕迹． 【答案】(1)是 (2)当或时，四边形是和等梯形； (3)是等腰三角形，理由见解析 (4)理由见解析 【分析】（1）连接，，由勾股定理求得，，根据定义即可判断； （2）连接，，设，可得，，分两种情况：当时，当时，分别求解即可； （3）延长使得，，可知四边形是平行四边形，可得，，可知，由题意得，进而可得，可知，可得，即，即可判断是等腰三角形； （4）方法一：由（3）得证明过程可知，当延长使得，再在上找点使得为等腰三角形，则，即可求得点；方法二：由（3）的结论可知，在上取点使得时，即，由得，，则，则，则，即可求得点； 【详解】（1）解：连接，， ∵， ∴，， ， ∴， ∴四边形是和等梯形， 故答案为：是； （2）连接，， ∵四边形是矩形，，，设， ∴， 当时，四边形是和等梯形， 即，解得：，即：； 当时，四边形是和等梯形， 即，解得：，即：； 综上，当或时，四边形是和等梯形； （3）是等腰三角形，理由如下： 延长使得，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 又∵四边形是以为和等线的和等梯形， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （4）方法一：由（3）得证明过程可知，当延长使得，再在上找点使得为等腰三角形，则，即可求得点； 即：在延长线上截取，再以点，点为圆心，适当长为半径画弧，交于两点，连接两点，交于于一点，如图所示，该点即为所求点； 方法二：由（3）的结论可知，在上取点使得时，即，由得，，则，则，则，即可求得点； 即：连接，在上截取，连接并延长交于点，如图所示，该点即为所求点． 【点睛】本题考查勾股定理，平行四边形的判定及性质，等腰三角形的判定，掌握相关性质定理是解决问题的关键，还考查了尺规作图——作垂直平分线． 题型十三、平行四边形中的无刻度尺作图 1．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示. (1)如图1，是与网格线的交点，先画线段交于点，连接，画的中点； (2)如图2，先过点画的垂线，再画点关于的对称点． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 【分析】（1）根据格点格点，平行四边形的性质在格点上取点，连接与网格交点，连接即可得点，根据矩形的性质，利用网格作矩形，可得对角线中点，取线段中点，根据中位线的性质即可求解； （2）根据格点的特点取直角，运用勾股定理即可作线段的垂线；以为边作平行四边形可得，，延长交格点于点，由此即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， 在格点上取点，连接交格点于点，连接，交于点，连接即为所求线段； 以为对角线作矩形，连接，交于点，则点为线段中点， ∵， ∴取线段中点，连接交于点， ∴点即为所求线段中点； （2）解：如图所示， 根据格点的特点，分别在格点上取点，有，且， ∴，则 ∵， ∴， ∴是直角三角形，，即， ∴即为所求线段的垂直； 如图所示， 已知，连接，以为边作平行四边形， ∴， ∴，延长，交格点于点， ∴点即为所求点的位置． 【点睛】本题主要考查格点与几何图形的变换，掌握平行四边形的性质，勾股定理，格点的特点，轴对称的特点等知识的综合是解题的关键． 2．仅利用已有的格点与无刻度直尺作图．(保留作图痕迹) (1)在图中，作出面积最大的平行四边形． (2)在图中，是中点，在边上找到点，连接，使． (3)在图中，在边上找到点，连接，使平分． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）按照平行四边形的性质作图即可． （2）按照平行四边形的性质和中位线的性质作图即可． （3）构造等腰三角形，取的中点Q，连接，延长交一点E，线段即为所求． 【详解】（1）以为底，平移到，令且，从而连接和，当平行线与之间的距离最大时，平行四边形的高最大，即面积最大，作图如下所示： （2）取点和点，连接，，，， 可得四边形为平行四边形， ∴和为对角线， ∴点是边上中点， 又∵是中点， ∴且， 作图如下所示： （3）作图如下所示： 【点睛】本题考查格点作图，平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，中位线的性质，能够将平行四边形的性质与作图相结合是解决本题的关键． 3．已知，点E是的中点，请仅用无刻度直尺完成以下作图．    (1)如图1，求作的中点F； (2)如图2，求作的中点M． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查作图基本作图，平行四边形的性质，三角形的中线交于一点等知识， （1）连接、交于点，作直线交于点，点即为所求； （2）在（1）的基础上，连接交于点，连接，并延长交于点，点即为所求． 【详解】（1）解：如图1， 点即为所求； （2）如图2，    点即为所求． 理由：的三条中线交于一点即可得点M为的中点． 2 / 85 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第18章 平行四边形 压轴专练 题型一、平行四边形中的最值问题 1．在平面直角坐标系中，已知平行四边形的点，点，点，则对角线的最小值是（    ） A． B． C．5 D．6 2．如图，中，，，，为边上的一动点，以，为边作，则线段长的最小值是 ． 3．如图所示，是线段上一动点，以为边在同侧作等边三角形和．    (1)若连接，请说明的关系． (2)若连接，设的中点为，连接，若线段的长为6，请求出的最小值． (3)若连接，设的中点为，线段的中点为，若线段的长为2，请直接写出的最小值． 题型二、平行四边形中的图象问题 1．如图，在▱ABCD中，点P沿A→B→C方向从点A移动到点C，设点P移动路程为x，线段AP的长为y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（　　） A．4 B．4.8 C．5 D．10 2．在平行四边形ABCD中，动点P从点B出发，沿B⇒C⇒D⇒A运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图所示，则四边形ABCD的面积是 ． 3．如图，在平行四边形中，，点从出发，沿射线方向运动，过点作交折线于点，当点与点重合时，点停止运动．运动过程中，设，．    (1)请直接写出与的函数表达式以及对应的的取值范围； (2)在直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质； (3)已知函数的图象如图所示，当时，请直接写出自变量的取值范围； 题型三、平行四边形中的平移 1．如图，的顶点坐标分别为，，，将沿轴向右平移，当点落在直线上时，线段扫过的面积为(　　) A．36 B．48 C． D．16 2．如图，平面直角坐标系中，点A(4，3)，点B(3，0)，点C(5，3)，∠OAB沿AC方向平移AC长度的到∠ECF，四边形ABFC的面积为 ． 3．问题探究： 一条线段沿某个方向平移一段距离后与原线段构成一个平行四边形．我们可以利用这一性质，将有些条件通过平移集中在一起来解决一些几何问题． （1）如图1，两条长度相等的线段和相交于G点，，试说明线段． 分析：考虑通过平移，将、和集中到同一个三角形中，运用三角形的三边关系来证明． 如图1，作且，则四边形是______（填四边形的形状）， ∴；∵，， ∴是______（填的形状），∴． 当与不平行时，M，N，C三点不在同一直线上，由三角形三边关系可知，______（填>或=或<）； 当与平行时，M，N，C三点在同一直线上，此时，，∴． 问题解决： （2）如图2，在中，，，点M，点N分别在，上，交于点G，，． ①求证：； ②求的值； 拓展应用： （3）如图3，在中，，点M，点N分别在，上，交于点G，若，，，，直接写出长（用含a、b的代数式表示）． 题型四、平行四边形中的折叠 1．如图，在中，是对角线，将沿折叠后，点的对应点E恰好落在的延长线上．若，，则的周长为（    ） A．20 B．28 C． D． 2．如图，在中，E为边上一点，将沿折叠至处，若，则的大小为 ． 3．综合与实践 综合与实践课上，王老师以“发现—探究—应用”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维．以下是王老师的课堂主题展示： 【问题情境】在平行四边形中，，，，E是的中点，连接，将沿折叠得到（点F不与点A重合），作直线交于点P． 【观察发现】 （1）如图1，若，则线段与的数量关系是______，位置关系是______． 【类比探究】 （2）在的值发生变化的过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由． 【拓展应用】 （3）当时，请直接写出线段的长． 题型五、平行四边形中的旋转 1．如图，平行四边形中，，，，连接，将绕点B旋转，当（即）与交于一点E，（即）同时与交于一点F时，下列结论正确的有（　　） ①； ②； ③； ④周长的最小值是． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，B、O、D三点共线，且，，和都为等腰直角三角形，将绕点O逆时针方向旋转一周，当时，线段的长度为 ． 3． [回顾课本]苏教版八年级下册数学教材“9.5三角形的中位线"一课中给出了“三角形的中位线定理”的证明思路，请根据分析完成证明过程． 已知：如图1，是的中位线，求证：，． 分析：因为E是的中点，可以考虑以点E为中心，把按顺时针方向旋转，得到，这样就需要证明四边形是平行四边形…… [探究发现] 如图2，等边的边长为2，点D，E分别为，边中点，点F为边上任意一点（不与B，C重合），沿，剪开分成①，②，③三块后，将②，③分别绕点D，E旋转恰好能与①拼成平行四边形，求平行四边形周长的最小值． [拓展作图] 如图3，已知四边形，现要将其剪成四块，使得剪成的四块能通过适当的摆放拼成一个平行四边形，请在图3中画出剪痕，并对剪痕作适当的说明． 题型六、一次函数中的平行四边形 1．如图，平行四边形ABCD的边AB在一次函数的图象上，轴，若点C的坐标是，则过顶点D的正比例函数解析式为（    ） A． B． C． D． 2．一次函数与轴交于点，与轴交于点，将线段绕点逆时针旋转，使点落在点处．平面内存在一点，若以点为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与分别经过轴上的点、点，交于点，点为直线上的一点． (1)求出和的表达式及点的坐标； (2)若点的横坐标小于点的横坐标，连接、，当和的面积相等时，求点的坐标； (3)在上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是以为边的平行四边形？若存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 题型七、反比例函数中的平行四边形 1．如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点在轴上，若点，则实数的值为（　　） A． B． C． D． 2．如图，四边形是平行四边形，点的坐标为，点和点在第一象限，反比例函数的图象经过点和点，若点的横坐标为4，则的值为 ．． 3．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)设直线 与轴相交于为线段延长线上一点，作与反比例函数交于点 ，连接，当四边形为平行四边形时，求点的坐标． 题型八、平行四边形与等腰三角形 1．【综合与实践】 ◆问题情境：活动课上，小强同学以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动．如图1，已知中，，．将从图1的位置开始绕点逆时针旋转，得到（点，分别是点，的对应点），旋转角为（），设线段交于点，线段分别交，于点，，如图2． ◆特例分析：当旋转到时，则旋转角的度数为______________； ◆探究规律：在绕点逆时针旋转的过程中，小强同学发现线段始终等于线段，请你帮小强同学证明这一结论． ●拓展延伸： （1）在绕点逆时针旋转的过程中，直接写出当是等腰三角形时旋转角的度数． （2）在图3中，作射线，交于点，问是否存在四边形是平行四边形？若存在，请直接写出此时旋转角的度数，及此时四边形的面积与的面积之间的数量关系；若不存在，请说明理由． 2．为等腰三角形，，，为等边三角形，连接，点M为的中点，将绕点A逆时针旋转． (1)如图1，当点E在上且时，连接，求线段的长； (2)如图2，连接，，在绕点A旋转的过程中，猜想与的数量关系，并证明你的结论； (3)连接，，在绕点A逆时针旋转过程中，当线段的长度最小时，请直接写出的面积． 3．在平行四边形中，，将沿对角线翻折，点B的对应点为点E，线段与边交于点F． (1)，求的度数； (2)若是以为腰的等腰三角形，求线段的长； (3)如图2，连接的延长线交于点N，的延长线交于点M，当点M到的距离最小值时，求出此时的面积． 题型九、平行四边形与等边三角形 1．如图，是等边三角形，是边上的高．点E在的延长线上，连接，，过A作与的延长线交于点F，连接，，． (1)求证：为等边三角形； (2)求证：四边形为平行四边形； (3)若，请直接写出四边形的周长． 2．是等边三角形，点是射线上的一点（不与点，重合），连接，在的左侧作等边三角形，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，交于点． (1)如图1，当点为中点时，线段与的数量关系是______； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； (3)当，时，请求出的长． 3．【问题初探】 （1）在数学活动课上，王老师给出下面问题：如图1，和是等边三角形，点、、不在同一条直线上，请找出图中的全等三角形并直接写出结论____________．（写出一对即可）上面几何模型被称为“手拉手”模型，面对题目时我们也会“寻模而入，破模而出”． 【类比分析】 （2）如图2，已知四边形中，，，是的平分线，且．将线段绕点顺时针旋转得到线段．当时，连接，试判断线段和线段的数量关系，并说明理由． ①小明同学从结论出发给出如下解题思路：可以先猜测线段和线段的数量关系，然后通过逆用“手拉手”模型，合理添加辅助线，借助“全等”来解决问题； ②小玲同学从条件入手给出另一种解题思路：可以根据条件，则，再通过“手拉手”模型，合理添加辅助线，构造与全等的三角形来解决问题． 请你选择一名同学的解题思路（也可另辟蹊径）来解决问题，并说明理由． 题型十、平行四边形与直角三角形 1．发现结论： （1）在中，，若设，则________；（用含有a的代数式表示） （2）如图1，在中，是对角线，将沿翻折至与边相交于点E，连接，则的形状是________，线段和的数量关系是________． 结论应用： 在中，，是对角线，将沿翻折至，连接． （3）如图②，已知，与边相交于点E，求的面积； （4）已知，当是以为斜边的直角三角形时，求的长． 2．【问题背景】 某数学兴趣小组在学习了平行四边形后，对其进行了轴对称变换的操作，进一步研究平行四边形的性质．在中，，，，点是边上任意一点，连接，将四边形沿翻折得到四边形，射线与相交于点． 【操作发现】 （1）如图1，无论点在什么位置，图中都会有一条线段与相等，请猜想与相等的线段，并说明理由． 【问题延伸】 （2）当点的位置发生变化时，线段存在最小值，请求出线段的最小值． 【问题拓展】 （3）如图2，连接，当是以为一条直角边的直角三角形时，求线段的长． 3．如图，在中，，，，动点P从点A开始以的速度向点C运动，动点F从点B开始以的速度向点A运动，两点同时运动，同时停止，运动时间为． (1)过点P作交于点D，连接，求证：四边形是平行四边形． (2)当t为何值时，是等边三角形？ (3)当t为何值时，是直角三角形？请直接写出答案． 题型十一、平行四边形的动点求t 1．如图，在直角梯形中，，，，，点从点出发，沿以每秒个单位的速度向终点运动，点从点出发，沿折线运动，在线段上以每秒个单位长度的速度运动，在线段上以为每秒个单位的速度运动，设运动时间为（）．    (1)_________． (2)当四边形是平行四边形时，求的值 (3)连接、、，当是直角三角形时，求的值． (4)作点、关于直线的对称点，，连接，，直接写出与平行或垂直时的值． 2．如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)当时，请判定四边形的形状，并证明． (2)当时，求t的值． (3)连接，是否存在为等腰三角形？若存在请求t的值，若不存在，说明理由． 3．如图，在平行四边形中，，，． 动点从点出发沿以2cm/s速度向终点运动，同时点从点出发，以8cm/s速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点的运动时间为秒（）    (1)的长为 ． (2)用含的代数式表示线段的长． (3)连结．是否存在的值，使得与互相平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (4)若点关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出的值． 题型十二、平行四边形的新定义 1．定义：对于给定的一次函数（，k、b为常数），把形如（，k、b为常数）的函数称为一次函数（，k、b为常数）的“实验”函数．已知平行四边形的顶点坐标分别为． (1)点在一次函数的“实验”函数图象上，则 ， ． (2)点在函数的“实验”函数图象上，求的值． (3)一次函数（，k、b为常数），其中k、b满足． ①请问一次函数的图象是否经过某个定点，若经过，请求出定点坐标；若不经过，请说明理由； ②一次函数（，k、b为常数）的“实验”函数图象与平行四边形恰好有两个交点，求b的取值范围． 2．在平面直角坐标系中，对于没有公共点的两个图形M、N给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，若P、Q两点间距离的最大值和最小值分别为和，则称比值为图形M和图形N的“距离关联值”，记为．已知顶点坐标为，，，． (1)若E为边上任意一点，则的最大值为______，最小值为______，因此k（点O，）＝______； (2)若为对角线上一点，为对角线上一点，其中． ①若，则k（线段，）______； ②若（线段，），求m的取值范围； (3)若的对角线交点为O，且顶点在直线上，顶点在直线上，其中，请直接用含n的代数式表示． 3．定义1：只有一组对边平行的四边形是梯形．平行的两边叫做梯形的底边，较长的一条底边叫下底，较短的一条底边叫上底，另外两边叫腰． 定义2：如果梯形的一条对角线等于上、下底之和，那么这个梯形叫和等梯形，这条对角线叫和等线． 【概念理解】 (1)如图1，在梯形中，，四边形_______（填“是”或“不是”）和等梯形； (2)如图2，在矩形中，，点E在AB上，，若在上存在点P使得四边形是和等梯形，求的长； 【探索发现】 (3)如图3，四边形是以为和等线的和等梯形，，、交于点O，请判别的形状，并说明理由： 【灵活运用】 (4)如图4，点E在平行四边形的边上，在边上找一点P，使得四边形是以为和等线的和等梯形． 要求：借助直尺和圆规用两种方法作出点P，不写作法，保留作图痕迹． 题型十三、平行四边形中的无刻度尺作图 1．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示. (1)如图1，是与网格线的交点，先画线段交于点，连接，画的中点； (2)如图2，先过点画的垂线，再画点关于的对称点． 2．仅利用已有的格点与无刻度直尺作图．(保留作图痕迹) (1)在图中，作出面积最大的平行四边形． (2)在图中，是中点，在边上找到点，连接，使． (3)在图中，在边上找到点，连接，使平分． 3．已知，点E是的中点，请仅用无刻度直尺完成以下作图．    (1)如图1，求作的中点F； (2)如图2，求作的中点M． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$