精品解析：山东省泰安市肥城市2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试题

2024－2025学年度上学期期末考试 七年级数学试题 注意事项： 1．答题前请将答题卡密封线内的项目填写清楚，然后将试题答案认真书写（填涂）在答题卡的规定位置，否则作废． 2．本试卷共6页，考试时间120分钟． 3．考试结束只交答题卡． 一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确答案序号填在答题纸相应的位置） 1. 下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最少的是（ ） A. B. C. D. 2. 画中边上的高，下列画法正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列四组数据中，能作为直角三角形三边长是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上，则在边上的高的大小为（ ） A B. C. D. 5. 在0.3，，，，，0.5757757775…（相邻两个5之间7个数逐次加1）中，无理数的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 如图，这是一个数值转换器，当输入的值为时，则输出的值是（ ） A. 2 B. C. D. 7. 一次函数与，它们在同一坐标系内的图象可能为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点所表示的数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，边交x轴于D点，则D点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，等腰，，，于点．点是延长线上一点，点是线段上一点，下面的结论：①；②；③是等边三角形；④；其中正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 11. 如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点P的坐标是（ ） A. B. C. D. 12. 中，，，，是的角平分线，点，分别是线段、线段上的动点，则的最小值是（ ） A B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，只要求填写结果） 13. 若点，则点到轴的距离为_________． 14. 若a，b，c是三角形的三边长，化简：_________． 15. 如图，的三条中线，，交于点．若，，则图中阴影部分的面积和为___________． 16. 如图，将矩形纸片沿折叠，使点与边上的点重合．若，，则的长为_________． 17. “尺”“寸”“丈”都是我国传统的长度单位，其中1丈尺，1尺寸．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何．”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？设门高x尺，根据题意，可列方程为______． 18. 货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行．轿车出发后休息，直至与货车相遇后，以原速度继续行驶，设两车出发时间为x（单位：），货车、轿车与甲地的距离为（单位：），（单位：），图中的线段OA、折线BCDE分别表示，与x之间的函数关系．则以下结论中，所有正确结论的序号为_________．①轿车行驶的速度为；②货车行驶的速度为；③线段所在直线的函数表达式为；④两车出发2.25小时或4小时后相距． 三、解答题（本大题共7个小题，要写出必要的计算、推理、解答过程） 19. 计算： （1） （2） （3） （4） 20. 王华用的练习本可在甲、乙两个商店买到，已知两个商店的标价都是每本2元，但甲商店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的八折卖；乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的八五折卖．设小明买本练习本，甲商店的费用为，乙商店的费用为． （1）分别求出，与x之间的关系式； （2）王华买了25本练习本，选择哪家商店更优惠？请说明理由． 21. 如图，在中，，，点、分别在边、上，且，与相交于点，于点． （1）求证：； （2）①求的值； ②若，求的长． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上（网格中小正方形的顶点即为格点，每个小正方形的边长为1）． （1）在图中作出关于x轴的对称图形； （2）求的面积； （3）在y轴上画出点P，使最小，并求出P点坐标． 23. 如图，在中，，，若是的中点，动点在上移动，动点在上移动，且． （1）证明：； （2）四边形面积是否发生变化，若发生变化说明理由；若不变，请你求出四边形的面积． 24. 如图，一次函数的图像与的图像交于点C，且点C的横坐标为，与x轴、y轴分别交于点A、点B． （1）求m的值与的长； （2）若点Q为线段上一点，且，求点Q的坐标． 25 “一线三等角”学习探究． “一线三等角”是一个常见的数学几何模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的全等图形（以及以后要学习的相似图形），这个角可以是直角（此时也称“一线三垂直”模型），也可以是锐角或者钝角．对于“一线三等角”，有的叫“K型图”，也有的叫“M型图”． （1）如图1，已知：在中，，，直线l经过点C，直线l，直线l，垂足分别为点D，E．求证：； （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、C、E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角，则与是否全等？若仍全等，请你给出证明；若不全等，请说明理由． （3）拓展与应用：如图3，D、E是D、C、E三点所在直线l上的两动点（D、C、E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，，若，试猜想与的关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025学年度上学期期末考试 七年级数学试题 注意事项： 1．答题前请将答题卡密封线内的项目填写清楚，然后将试题答案认真书写（填涂）在答题卡的规定位置，否则作废． 2．本试卷共6页，考试时间120分钟． 3．考试结束只交答题卡． 一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确答案序号填在答题纸相应的位置） 1. 下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最少的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的知识点是轴对称图形的识别、求对称轴条数，解题关键是熟练掌握轴对称图形的识别． 根据轴对称图形的识别、求对称轴条数的方法对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：选项，该图形是轴对称图形，对称轴有条， 选项，该图形是轴对称图形，对称轴有条， 选项，该图形不是轴对称图形， 选项，该图形是轴对称图形，对称轴有条， 综上，是轴对称图形且对称轴条数最少的是选项中的图形． 故选：． 2. 画中边上的高，下列画法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题是一道作图题，主要考查了三角形的高，掌握三角形的高的定义成为解题的关键． 根据作哪一条边上的高，即从所对的顶点向这条边或者条边的延长线作垂线段． 【详解】解：过点C作边的垂线段，正确的是B． 故选B． 3. 下列四组数据中，能作为直角三角形三边长的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是勾股定理的逆定理，解题关键是熟练掌握勾股定理的逆定理． 根据勾股定理的逆定理对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：、，不能作为直角三角形三边长，不符合题意，选项错误； 、，不能作为直角三角形三边长，不符合题意，选项错误； 、，可以作为直角三角形三边长，符合题意，选项正确； 、，不能作为直角三角形三边长，不符合题意，选项错误． 故选：． 4. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上，则在边上的高的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是勾股定理、利用网格求三角形面积，解题关键是熟练掌握勾股定理． 根据勾股定理求出后，根据三角形面积即可求出边上的高． 【详解】解：依图得：， 由勾股定理得， 在边上的高为． 故选：． 5. 在0.3，，，，，0.5757757775…（相邻两个5之间7的个数逐次加1）中，无理数的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如2π，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）． 【详解】解：0.3，， 是有理数； ，，0.5757757775…（相邻两个5之间7的个数逐次加1）是无理数． 故选C． 6. 如图，这是一个数值转换器，当输入的值为时，则输出的值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了数的算术平方根及立方根的计算方法和无理数、程序图，读懂程序框图的走向是解题关键．依据转换器流程，先求出的算术平方根是8，是有理数；取立方根为2，是有理数；再取算术平方根为，最后输出，即可求出y的值． 【详解】解：的算术平方根是8，是有理数， 取的立方根为，是有理数， 取的算术平方根为，是无理数，即可输出， 输出的值是． 故选：B． 7. 一次函数与，它们在同一坐标系内的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象与性质，根据题中选项，由一次函数图象与性质得到符号，再判断另一条直线是否满足即可得到答案，熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：A、由的图象得， ∴， ∴的图象过二、四象限，与选项中的图象相符合，故A符合题意; B、由的图象得， ∴， ∴的图象过二、四象限，与选项中的图象相矛盾，故B不符合题意; C、由的图象得， ∴， ∴的图象过二、四象限，与选项中的图象相矛盾，故C不符合题意; D、由的图象得， ∴， ∴的图象过一、三象限，与选项中的图象相矛盾，故D不符合题意; 故选：A． 8. 如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点所表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查知识点是实数与数轴及两点间距离，解题关键是根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数． 根据正方形的边长是面积的算术平方根得到，结合点所表示的数及间距离即可得解． 【详解】解：正方形的面积为， 即， （负值舍去）， 点表示的数是，， 点表示的数是． 故选：． 9. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，边交x轴于D点，则D点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，坐标与图形性质，根据题意得出直线的解析式是解题的关键． 利用待定系数法求出直线的解析式，求出D点坐标即可． 【详解】解：设直线的解析式为， ∵，， ， 解得， 直线的解析式为， 当时， ∴， ． 故选C． 10. 如图，等腰，，，于点．点是延长线上一点，点是线段上一点，下面的结论：①；②；③是等边三角形；④；其中正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键. 连接，根据题意得到垂直平分，得出，可得到，不一定等于；根据三角形内角和定理可得到是等边三角形，在上截取，得到为等边三角形，证明，可得到，即可得到答案. 【详解】解：①如图，连接， ，，， ，垂直平分， ， ， ， ，， ， 故结论①正确； ②由①知，， 点是线段上一点， 不一定相等，则不一定相等， 不一定等于 故结论②错误； ③由①知，， ， ， 是等边三角形， 故结论③正确； ④如图，在上截取， ， 为等边三角形， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故结论④正确， 综上，正确的结论有个， 故选：C. 11. 如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点P的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标规律探求，属于常考题型，由已知点的坐标变化找出规律是解题的关键． 观察点的坐标变化发现每个点的横坐标与运动的次数相等，纵坐标是1，0，2，0，每4个数一个循环，按照此规律解答即可． 【详解】解：观察点的坐标变化可知： 第1次从原点运动到点， 第2次接着运动到点， 第3次接着运动到点， 第4次接着运动到点， 第5次接着运动到点， … 按这样的运动规律，发现每个点的横坐标与运动的次数相等，纵坐标是1，0，2，0，每4个数一个循环， 由于， 所以经过第2025次运动后，动点P的坐标是． 故选D． 12. 中，，，，是的角平分线，点，分别是线段、线段上的动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在上取一点，使，连接、，证明后由全等三角形性质得到，推得最小值即为，最后根据含的直角三角形特征得到长即可得解． 【详解】解：上取一点，使，连接、， 是的角平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ，，， ， 的最小值是． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质、含的直角三角形的特征、垂线段最短，解题关键是根据全等三角形性质推得的最小值为． 二、填空题（本大题共6小题，只要求填写结果） 13. 若点，则点到轴的距离为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是点到坐标轴的距离，解题关键是掌握点到轴的距离即为横坐标的绝对值． 根据点到轴的距离为横坐标的绝对值即可得解． 【详解】解：点，则点到轴距离为． 故答案为：． 14. 若a，b，c是三角形的三边长，化简：_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据三角形三边的关系得到，据此化简绝对值即可得到答案． 【详解】解：∵a，b，c是三角形的三边长， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形三边的关系，化简绝对值和整式的加减计算，熟知三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 15. 如图，的三条中线，，交于点．若，，则图中阴影部分的面积和为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是三角形的中线定义及性质，解题关键是熟练掌握三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形． 根据三角形中线的性质推得，再根据高相等的两个三角形面积比等于底边比得到、，最后根据三角形中线性质即可推得两阴影部分的面积和． 【详解】解：是的中线，， ， ， ，， 、是的中线， 、是、的中点， ，， ． 故答案为：． 16. 如图，将矩形纸片沿折叠，使点与边上的点重合．若，，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是折叠性质、矩形性质、勾股定理、解一元一次方程，解题关键是由折叠性质得到． 由折叠性质得到，设，则，再由矩形性质和勾股定理得到方程后求解即可． 【详解】解：由折叠性质可得， 设，则， 矩形纸片中，， ， 即， 解得． 故答案为：． 17. “尺”“寸”“丈”都是我国传统的长度单位，其中1丈尺，1尺寸．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何．”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？设门高x尺，根据题意，可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，理解勾股定理的计算方法是解题的关键． 根据题意，设长方形门高x尺，则宽是尺，由勾股定理的计算方法即可求解． 【详解】解：设长方形门高x尺，则宽是尺，对角线长1丈尺， 根据题意得，， 答案为：． 18. 货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行．轿车出发后休息，直至与货车相遇后，以原速度继续行驶，设两车出发时间为x（单位：），货车、轿车与甲地的距离为（单位：），（单位：），图中的线段OA、折线BCDE分别表示，与x之间的函数关系．则以下结论中，所有正确结论的序号为_________．①轿车行驶的速度为；②货车行驶的速度为；③线段所在直线的函数表达式为；④两车出发2.25小时或4小时后相距． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，从函数图像获取信息是解题的关键． 根据图形可得轿车行驶（千米），用路程除以时间可得轿车的速度计可以判断①，根据图形可得小时的路程为600千米，根据路程除以时间求得货车的速度，可以判断②；设直线的解析式为：，待定系数法求解析式，继而得到点的坐标为，根据题意得出点坐标为：，然后待定系数法求解析式即可判断③；待定系数法求得解析式，根据当轿车休息前与货车相距时，当轿车休息后与货车相距时，分别列出一元一次方程，解方程即可求解判断④． 【详解】解：由图象可得，轿车行驶（千米），轿车的速度为：，故①正确； 由图象可得，货车行驶的速度为：，故②正确； 由题意可得所在直线为关于x的正比例函数， 设直线的解析式为：， 将代入得：， 解得， ∴； 则时，， ∴点的坐标为， ∵轿车在休息前行驶，休息后按原速度行驶， ∴轿车行驶后需． ∴点坐标为：． 设线段所在直线的函数表达式为， 将点代入得： ， 解得， ∴线段所在直线的函数表达式为，故③正确； 设段的函数解析式为， 将代入得： ， 解得， ∴． 当轿车休息前与货车相距时，有， ， 解得； 当轿车休息后与货车相距时，有， ， 解得． 即两车出发小时或小时后相距，故④错误； 综上分析可知：正确说法有①②③， 故答案为：①②③． 三、解答题（本大题共7个小题，要写出必要的计算、推理、解答过程） 19. 计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据求一个数的绝对值、二次根式的性质、零指数幂、求一个数的立方根进行计算求解即可； （2）根据实数的混合运算法则求解即可； （3）根据实数的混合运算法则求解即可； （4）根据实数的混合运算法则，结合平方差公式、完全平方公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：原式， ， ； 【小问2详解】 解：原式， ， ； 【小问3详解】 解：原式， ， ； 【小问4详解】 解：， ， ， ． 【点睛】本题考查知识点是求一个数的绝对值、二次根式的性质、零指数幂、求一个数的立方根、实数的混合运算、平方差公式、完全平方公式，解题关键是熟练掌握相关运算法则． 20. 王华用的练习本可在甲、乙两个商店买到，已知两个商店的标价都是每本2元，但甲商店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的八折卖；乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的八五折卖．设小明买本练习本，甲商店的费用为，乙商店的费用为． （1）分别求出，与x之间关系式； （2）王华买了25本练习本，选择哪家商店更优惠？请说明理由． 【答案】（1）， （2）买25个练习本到乙商店购买更优惠，见解析 【解析】 【分析】本题考查了用关系式表示变量之间的关系，求函数值； （1）根据甲、乙两个商店的优惠方案写出关系式即可； （2）把分别代入两个关系式求出费用，再比较大小即可． 【小问1详解】 解：由题意，得： ， ； 【小问2详解】 解：买25本练习本， 甲商店的费用为（元） 乙商店的费用为（元） 因为44＞42.5， 所以买25个练习本到乙商店购买更优惠． 21. 如图，在中，，，点、分别在边、上，且，与相交于点，于点． （1）求证：； （2）①求的值； ②若，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）①，②． 【解析】 【分析】（1）先由题目条件判定是等边三角形，再根据等边三角形性质得到，即可证明全等； （2）①由全等三角形性质得，则； ②由含角的直角三角形特征得出，再结合勾股定理即可得解． 【小问1详解】 证明：，， 是等边三角形， ，， 在和中， ， ； 【小问2详解】 解：①， ， ； ②， ， ， ， 设，则， 在中，， ， （只取正值）， ． 【点睛】本题考查的知识点是等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形特征、勾股定理、解一元二次方程，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上（网格中小正方形的顶点即为格点，每个小正方形的边长为1）． （1）在图中作出关于x轴的对称图形； （2）求的面积； （3）在y轴上画出点P，使最小，并求出P点坐标． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据轴对称图形的性质作图即可； （2）运用网格的性质求三角形的面积即可求解； （3）根据轴对称的性质，作点关于的对称点，根据两点之间线段最短，连接交轴于点，用待定系数法求出的直线解析式，进而可求出P点坐标． 【小问1详解】 解；如图，即为所求； 【小问2详解】 解；； 【小问3详解】 解：如图，点P即为所求， 因为C点坐标为，点坐标为， 设过的直线解析式为， 则，解得， 所以过的线解析式为，令，得， 所以P点坐标为． 【点睛】本题考查轴对称图形，求一次函数解析式，格点中计算三角形面积，轴对称最短路径的计算，掌握轴对称图形的性质，格点的特点是解题的关键． 23. 如图，在中，，，若是的中点，动点在上移动，动点在上移动，且． （1）证明：； （2）四边形面积是否发生变化，若发生变化说明理由；若不变，请你求出四边形的面积． 【答案】（1）见解析； （2）不变，． 【解析】 【分析】（1）连接，先证是等腰直角三角形，由是的中点，根据等腰三角形中的“三线合一”可推得，，最后由“边角边”证明后，根据全等三角形的性质即可证明； （2）由全等三角形的性质得出，结合中线平分三角形面积推得即可得解． 【小问1详解】 证明：连接（如图）， 在中，， 是等腰直角三角形， ，即， 是的中点，且是等腰直角三角形， ，，平分， ， 即， 在和中， ， ， ，即． 【小问2详解】 解：在动点运动过程中，四边形面积不变， 由（1）可知：， ， ， ， 是的中点，且 是等腰直角三角形， ， ， ， ． 答：四边形的面积为． 【点睛】本题考查的知识点是等腰三角形的判定与性质、三线合一、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、全等三角形的判定与性质、三角形中线平分三角形面积，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 24. 如图，一次函数的图像与的图像交于点C，且点C的横坐标为，与x轴、y轴分别交于点A、点B． （1）求m的值与的长； （2）若点Q为线段上一点，且，求点Q的坐标． 【答案】（1）；； （2）点坐标为； 【解析】 【分析】（1）把点的横坐标代入正比例函数解析式，求得点的纵坐标，然后把点的坐标代入一次函数解析式即可求得的值，从而得到一次函数的解析式，则易求点的坐标，然后根据勾股定理即可求得； （2）由得到的长，即可求得点的坐标． 【小问1详解】 解：∵点在直线上，点的横坐标为， ∴点坐标为， ∵点在直线上， ∴， ∴， ∴直线的函数表达式为， 令，则 令，则，解得， ， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴ ， ∴点坐标为． 【点睛】考查两条直线相交问题，一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，三角形的面积公式等，比较基础，难度不大． 25. “一线三等角”学习探究． “一线三等角”是一个常见的数学几何模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的全等图形（以及以后要学习的相似图形），这个角可以是直角（此时也称“一线三垂直”模型），也可以是锐角或者钝角．对于“一线三等角”，有的叫“K型图”，也有的叫“M型图”． （1）如图1，已知：在中，，，直线l经过点C，直线l，直线l，垂足分别为点D，E．求证：； （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、C、E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角，则与是否全等？若仍全等，请你给出证明；若不全等，请说明理由． （3）拓展与应用：如图3，D、E是D、C、E三点所在直线l上的两动点（D、C、E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，，若，试猜想与的关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）全等，见解析 （3），与的夹角为，见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键； （1）利用已知求得，进而证明； （2）根据题意证明，进而即可证明； （3）根据题意证明，证明，进而证明，从而得到，进而求解； 【小问1详解】 解：（1），， ，， 又， ， ， 在和中，， 【小问2详解】 和全等，理由如下： ， ，且， ， 在和中，， 【小问3详解】 ，与所成夹角为，理由如下： ， ，且， ， 和均为等边三角形， ， 在和中，， ， ，， 又在等边和等边中， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 综上所述：，与的夹角为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$