2.1两条直线的位置关系（第2课时垂线）（教学课件）-2024-2025学年七年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版2024）

北师大版（2024）七年级数学下册 第二章 相交线与平行线 第2课时 垂线 2.1 两条直线的位置关系 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1.了解垂线的有关概念、性质及画法，了解点到直线的距离的概念. 2.能够运用垂线的有关性质进行运算，并解决实际问题. 情景导入 问题 在我们的身边随处可见“直线”的形象，其中有一些直线之间还具有特殊的位置关系，观察下面三幅图片，你能找出其中相交的直线吗?它们有什么特殊的位置关系? 新知探究 两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线. 它们的交点叫作垂足. 垂直是两直线相交的一种特例. 注意：两条线段互相垂直是指这两条线段所在的直线互相垂直 垂足 两条直线互相垂直要如何用符号表示呢？ 通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直． A B D C O m O 记作AB⊥CD，垂足为点O. l 记作l⊥m，垂足为点O. 6 思考交流 如图，O为直线AB上一点。 (1)如果∠AOC=∠BOC，那么OC与AB垂直吗？为什么？ A B C O 由∠AOC=∠ BOC，且∠AOC+∠ BOC=180°， 可得∠AOC =∠ BOC = 90°，所以 OC⊥AB。 (2)以下是小颖的思考过程，她的想法正确吗？你知道她每一步的依据吗？与同伴进行交流。 (3)如果OC⊥AB，那么∠AOC=∠BOC吗？为什么？与同伴进行交流。 所以 OC⊥ AB 可得∠AOC =∠BOC=90° 且∠AOC+∠BOC=180° 由∠AOC =∠BOC， (已知条件) (补角的性质) (角的数量关系) (垂直的定义) (3)因为 OC⊥AB (已知) 所以 ∠AOC=∠BOC=90° 垂直的性质： 因为 AB⊥OC(已知) ， 所以∠AOC = 90°(垂直的定义) 垂直的判定： 因为∠AOC ＝ 90°(已知)， 所以 AB⊥OC (垂直的定义) A B C O 8 尝试思考 试一试 你能用折叠的方法折出互相垂直的直线吗？ 先将纸对折，然后展开，再沿着折痕的方向对折，使得折痕重合，此时两次对折的折痕是互相垂直的. 试一试 如果只用直尺，你能画出图中方格纸上已知直线的垂线吗?你还能再画出两条互相垂直的直线吗? 10 尝试交流 (1)如图，点A在直线l上，你能用三角尺过点A画直线l的垂线吗？你能画出多少条？ A A O l1 一条 l (2)如图，如果点A在直线 l 外呢？你是怎样做的？与同伴进行交流 (1)如图，点A在直线l上，你能用三角尺过点A画直线l的垂线吗？你能画出多少条？ A A O l1 一条 一条 l (2)如图，如果点A在直线 l 外呢？你是怎样做的？与同伴进行交流 (3)如图，点P是直线l外一点，PO⊥l，点O是垂足。点A，B，C在直线l上，比较线段PO，PA，PB，PC的长短，你发现了什么？ P A B C O l 线段PO 的长度最短 13 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。 P A B O l C 线段 PO 的长度叫作点P到直线l的距离。 补充例题 例 如图2.1-9，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，且∠COE＝40°，求∠BOD的度数. 解题秘方：利用垂直的定义及对顶角的性质将要求的角向已知角转化. 解：因为OE⊥AB，所以∠AOE＝90°. 又因为∠AOE＝∠AOC＋∠COE，∠COE＝40°， 所以∠AOC＝90°－40°＝50°. 又因为∠AOC＝∠BOD，所以∠BOD＝∠AOC＝50°. 概念归纳 1. 定义 两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足. 特别解读：垂直的定义具有双重作用，已知直角得线垂直，已知线垂直得直角. 特别解读 垂直和垂线是两个不同的概念，垂直是两条直线的位置关系，是相交的一种特殊情况，特殊在夹角为直角，而垂线是一条直线. 2. 表示符号 通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直. 直线AB与直线CD垂直，记作“AB⊥CD”，读作“AB 垂直于CD”. 3. 垂线的画法 经过一点(已知直线上或直线外)，画已知直线的垂线的步骤如下表： 步骤 内容 示图 一落 让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合 过点P作直线l的垂线 二移 沿已知直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点 三画 沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线 特别提醒 画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线，垂足不一定在这条线段或射线上，可能在线段的延长线上或射线的反向延长线上. 4. 垂线的性质 (1)性质1：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. (2)性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短. 5. 点到直线的距离 如图2.1 -12，过点A作直 线l的垂线，垂足为B，线段AB的长度叫作 点A到直线l的距离. 垂线段与点到直线的距离的区别：垂线段是一条线段，而点到直线的距离是一个数量，是垂线段的长度. 特别解读 1. 性质1中隐含两个关键条件：一是“同一平面内”；二是过一点，这一点可以在直线上也可以在直线外. 2. 垂线是一条直线，长度不可度量，而垂线段是一条线段，长度可度量. 随堂练习 1.画一条直线 l，在直线 l 上取一点 A，在直线 l 外取一点 B，用三角尺或量角器分别经过点 A，B 画直线 l 的垂线。 l l1 A 【教材 P38 随堂练习 第1题】 l B l O 1.画一条直线 l，在直线l上取一点 A，在直线 l 外取一点B，用三角尺或量角器分别经过点 A，B 画直线 l 的垂线。 【教材 P38 随堂练习 第1题】 2.下面是画在方格纸上的两个图形，请你分别找出图中互相垂直的线段。 OA⊥OC， OD⊥OB DC⊥BC， DC⊥CE 【教材 P39 随堂练习 第2题】 A B C D O （1） A B C D E （2） 3.请你说说体育课上老师是怎样测量跳远成绩的，并解释其中的道理。 P O 两点之间垂线段最短，所以线段PO的长度即为所求。 【教材 P39 随堂练习 第3题】 分层练习 基础题 （第1题） 1.[2024北京] 如图，直线和相交于点 ， ，若 ，则 的大小为 ( ) B A. B. C. D. （第2题） 2.如图，直线，相交于点 ，下列条件： ； ； 。其中能说明 的有( ) B A.②③ B.①② C.①③ D.①②③ 3.如图，于点，若 ，则 的度数为_____。 26 4.如图所示，若,,则直线与 ______,其 理由是______________________________________________ _______. 重合 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 （第4题） 27 5.如图，直线和相交于点，， 是射线， 且，，若 ，求 的度数。 解：因为， ， 所以 。 因为 ，所以 ， 所以 ， 所以。 28 6.（新视角动手操作题）作图并回答： （第6题） （1）如图，点在的边 上. 29 ①过点作的垂线交于点 . 【解】如图所示， 即为所求. 30 ②作点到的垂线段 . 【解】如图所示， 即为所求. 31 （第6题） （2）上述作图中，线段____的长度表 示点到 的距离； （3）线段，与 的大小关系是 _______________（用“ ”连接），判 断依据是__________________________ _________________________. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短 32 综合应用题 7. [2024天津期中] 如图，点表示一个村庄， 表示一条河道.某测绘 队沿河道上的点进行测量，测量角度 与线段 的长度如下 表所示： 的度数 的长度/ 693 587 549 550 570 620 则下面说法正确的是( ) A. 村庄到河道的距离等于 B. 村庄到河道的距离小于 C. 村庄到河道的距离大于 D. 村庄到河道的距离等于 B 【点拨】当时，的长为村庄到河道 的距离. 因为 ，所以村庄到河道的距离小于 . 故选B. 34 8. 如图， ， ，垂 足为，则下列说法：与 互相 垂直;与互相垂直;③点到 的垂线段是线段;④点到 的距离 B A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 是线段的长度;⑤线段的长度是点到 的距离;⑥线段 是点到 的距离. 其中正确的有( ) 35 【点拨】因为 ,所以 .所以①正确； 因为 ,所以与 不互相 垂直，所以②错误； 因为点到的垂线段应是线段 ,所以③错误； 因为点到的距离是线段 的长度，所以④正确； 根据“从直线外一点到这条直线的垂线段 的长度叫作点到直线的距离”可知⑤正确； 因为线段的长度是点到 的距离， 所以⑥错误. 故选B. 36 9.[2024武汉期末] 如图，，，相交于点，平分 ， ， 。 （1）线段_____的长度表示点到 的距离； （2）比较与 的大小:___________ （用“ ”连接），并说明理由：____________； 垂线段最短 （3）求 的度数。 解：因为 ， ， 所以 ， 因为平分，所以 ，所以 。 37 10.如图，直线，相交于点， 。 （1）若，试说明： ； 解：因为，所以 ， 即 。 因为 ， 所以 ，即 ， 所以 。 38 （2）在（1）的条件下，若，求 的度数。 解：因为，所以 。 因为，所以 。 因为 ，所以 ， 所以 。 由（1）知，所以 ， 所以 。 39 创新拓展题 11.[2024清远期中] 直线，，相交于点 ，且， 平分 . （1）如图①， ① 的余角有_____________;（填写所有符合情况的角） , 41 ②若，求 的度数; 【解】因为，所以 . 所以 . 因为， , 所以 . 因为平分 ， 所以 . 设,， 则 ， 所以 . 所以 . 所以 . 42 （2）如图②，探究与 是否存在数量关系，如果 存在，请直接写出与 的数量关系，若不存在，请 说明理由. . 43 【点拨】因为，所以 . 所以 .又因为 , 所以 . 因为平分 ， 所以 . 因为 ，即 所以 .所以 . ， 44 习题 1.如图，直线a，b相交，∠1=38°，求∠2，∠3，∠4的度数。 a b 1 2 4 3 解： 因为 ∠1=38°， 所以 ∠3=∠1=38°， 所以 ∠2=180°-∠1=142°， 所以 ∠4= ∠2 =142°。 知识技能 2.请举出一些日常生活中线段互相垂直的实例。 3.如图，如果把街道近似地看成直线，那么哪些街道互相平行？哪些街道互相垂直？ 工人体育场北路 朝阳北路 建国路 东二环 东三环北路 东四环中路 解： 互相平行的街道 工人体育场北路，朝阳北路与建国路； 东二环，东三环北路与东四环中路； 互相垂直的街道 东二环与工人体育场北路、朝阳北路、建国路分别垂直； 东三环北路与工人体育场北路、朝阳北路、建国路分别垂直； 东四环中路与工人体育场北路、朝阳北路、建国路分别垂直。 数学理解 4.互为补角的两个角可以都是锐角吗？为什么？可以都是直角吗？可以都是钝角吗？ 根据补角的定义知，互补的两个角度数和为180°，所以互为补角的两个角不可以都是锐角；可以都是直角；不可以都是钝角。 问题解决 5.如图，在长方形的台球桌面上，∠1+∠3=90°，∠2=∠3。 (1)如果∠2=58°，那么∠1等于多少度？ (2)请你以台球桌面为背景，自编一道题并解答。 2 3 1 5.如图，在长方形的台球桌面上，∠1+∠3=90°，∠2=∠3。 (1)如果∠2=58°，那么∠1等于多少度？ 2 3 1 解： 因为 ∠1+∠3=90°，∠2=∠3， 所以 ∠1+∠2=90°。 又因为 ∠2=58°， 所以 ∠1=90°- 58°=32°。 5.如图，在长方形的台球桌面上，∠1+∠3=90°，∠2=∠3。 (2) 请你以台球桌面为背景，自编一道题并解答。 2 3 1 4 解：如图，构建∠4，如果∠4=40°那么∠1等于多少度？ 因为 ∠2+∠4=90°，∠4=40°， 所以 ∠2=90°- 40°=50°。 又因为 ∠2=∠3，∠1+∠3=90°， 所以 ∠1=90°- 50°=40°。 6.如图，一棵树生长在30°的山坡上，树干与山坡所成的锐角是多少度？ 30° 1 解：设树干与山坡所成角为∠1。 因为 ∠1+30°=90°， 所以 ∠1=90°- 30°=60°。 答：树干与山坡所成的锐角为60°。 7.如图，要把水渠中的水引到 C 点，在渠岸 AB 的什么地方开沟，才能使沟最短？画出图形，并说明理由。 A B C D 解：如图，过点 C 作 CD ⊥ AB ，垂足为 D，沿线段 CD 开渠最短，依据是“垂线段最短”。 8.请举出一些日常生活中应用“垂线段最短”的实例。 线路铺设 道路及桥梁的建造 9.如图所示，当光线从空气斜射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象。图中∠1和∠2是对顶角吗？ 1 2 解：入射光线和折射光线并不在同一条直线上，不满足对顶角的定义所以∠1和∠2不是对顶角。 联系拓广 课堂小结 点到直线的距离 一放、二靠、三移、四画，用工具(直尺、三角板) (1)同一平面内，过一点有且只有一条直线与己知直线垂直. (2)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短. 两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足. 垂线 定义 画法 性质 垂线段的长度 $$