第二章第02讲 垂线与点到直线的距离（2个知识点+6类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（北师大版2024）

第02讲 垂线与点到直线的距离 课程标准 学习目标 ①垂线的定义及性质 ②点到直线的距离 1．理解垂线、垂线段的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线；掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离； 2．掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理． 知识点01 垂线概念和性质 1.垂直的概念及表示.两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直.如下图，直线AB与直线CD垂直，记作AB⊥CD，垂足为O.垂直的概念包含两个方面的含义：一方面由直角（90°的角）可以得到两条直线垂直；另一方面由两条直线垂直可以得到直角（或90°的角） 2.垂直的性质：（1）平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. （2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短. 【即学即练1】（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，所有小正方形的边长都为1，点、、均在格点上． (1)过点画线段的平行线； (2)过点画线段的垂线，垂足为； (3)线段的长度是点到直线 的距离； (4)比较线段、的大小关系（用“<”连接）． 知识点02 点到直线的距离 3.点到线的距离：如下图所示，过点A作直线的垂线，垂足为点B，则线段AB的长度叫做点A到直线的距离，此时线段AB叫垂线段. 【即学即练1】（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）如图，在直角三角形中，，，．请解答下列问题：    (1)点B到的距离是 ，点A到的距离是 ； (2)请在图中作出点C到的垂线段； (3) （填“”、“”、“”），理由是 ． 题型01 垂线的定义的理解 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）为直线上的一点，为外一点，下列说法不正确的是（   ） A．过可画直线垂直于 B．过可画直线的垂线 C．连结使 D．过只能画1条直线与垂直 【变式训练】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知，，所以与在同一条直线上的理由是（   ） A．两点确定一条直线 B．经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 C．过一点只能作一条垂线 D．垂线段最短 2．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，，垂足为D，则下面说法中不正确的是（    ） A．点B到的垂线段是线段 B．与互相垂直 C．与互相垂直 D．线段的长度是点A到的距离 题型02 垂线段最短 例题：（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，在中，过点C作于点D，M是边上的一个动点，连接．若，则线段的长的最小值是 ． 【变式训练】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，运动会上，两名同学测得黎明的跳远成绩分别为米，米，米，则黎明的跳远成绩应该为 米． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）为直线外一点，为直线上一点，点到直线的距离为，则 （选填“≥”“＝”或“≤”），根据是 ． 题型03 画垂线 例题：（23-24七年级下·北京丰台·期末）用三角板过点作所在直线的垂线，如图三角板的位置摆放正确的是（     ） A．  B．  C．  D．   【变式训练】 1．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）如图所示的正方形网格，所有小正方形的边长都为，、、都在格点上． (1)利用网格作图：过点画直线的垂线，垂足为点； (2)线段的长度是点______到直线_______的距离； (3)比较大小：______（填＞、＜或＝），理由：______． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）利用网格画图： (1)过点C画的垂线，垂足为E； (2)线段的长度是点C到直线_______的距离； (3)连接，在线段中，线段_______最短． 题型04 点到直线的距离 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）如图，在三角形中，，，垂足为．若，，，则点A到直线的距离为 ，点到直线的距离为 ，点到直线的距离为 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·辽宁鞍山·期末）如图，三角形 中，，已知，，，则点B到直线的距离是 ． 2．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，点、、、均在格点上，只用直尺在给定的网格中，按下列要求作图． (1)作线段，作射线； (2)点到直线的距离为线段________的长度； (3)在线段上找一点，使它到、、、四个点的距离之和最小，作图的理由为________． 题型05 利用垂线的定义求角的度数 例题：（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，直线与相交于点O，平分．    (1)当时，求的度数； (2)若，，求的度数． 【变式训练】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线，相交于点，． (1)若，判断与的位置关系； (2)若，求的度数． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线、相交于点，，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 题型06 利用垂线的定义求旋转问题 例题：（23-24七年级上·福建泉州·期末）如图，是直线上的一点，，平分，，． (1)如图，若，则的度数为____________； (2)探究在绕点旋转过程中，求的度数；（用含有的代数式表示） (3)在内部有一条射线是的角平分线，求的度数．（用含有的代数式表示） 【变式训练】 1．（23-24七年级上·山东青岛·期末）如图，，射线从开始绕点O逆时针旋转，速度为每分钟旋转；同时，射线从开始绕点O逆时针旋转，速度为每分钟旋转；设运动时间为，解答下列问题： (1)当t为何值时，为平角？ (2)当t为何值时，平分？ (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使将分成的两个角的度数之比为？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (4)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 一、单选题 1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，三条直线相交于点，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·吉林长春·期末）小峰同学家在点处，他在行走速度相同的情况下，想尽快到达公路边，他选择沿线段去公路边，这一选择用到的数学知识是（    ） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．两点之间，线段最短 D．过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 3．（23-24七年级下·山东潍坊·期中）过点B画线段所在直线的垂线段，正确的是（    ） A．B．C．D． 4．（24-25七年级上·全国·单元测试）如图是光的反射定律示意图，分别是入射光线、反射光线和法线（提示：反射角和入射角分别是反射光线和入射光线与法线的夹角，且反射角等于入射角）．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）如图，已知点是射线上一点，过作交射线于点，交射线于点，下列结论正确的是（　　） A．的余角只有 B．图中互余的角共有对 C．的补角只有 D．图中与互补的角共有个 二、填空题 6．（23-24七年级下·北京·期末）如图，若，，为垂足，那么，，三点在同一直线上，其理由是 ． 7．（23-24七年级下·浙江台州·期末）如图，要把河中的水引到农田处，若河岸，垂足为点，则沿着线段铺设管道能使水管最短，其中蕴含的数学道理是 ．    8．（24-25七年级上·全国·期末）如图，点O是直线上一点，射线在同侧，且，若，则的度数为 ． 9．（23-24七年级下·四川南充·期中）如图，，于D，有以下结论：①：②与互相垂直；③点C到的垂线段是线段；④点A到的距离是线段的长度；⑤线段的长度是点C到的距离：⑥线段的长度是点D到的距离，其中正确的有 （填序号）    10．（2024七年级上·全国·专题练习）已知直线，相交于点，平分，射线于点，且，则 ． 三、解答题 11．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，A，B是两个村庄，中间有一条河，现准备在河上造一座桥，使得通过桥到两村的距离和最短．（假定河的两岸是平行线，桥要与河岸垂直） 12．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线相交于点D，． (1)若，求证：； (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 13．（23-24七年级下·陕西宝鸡·期中）如图，正方形网格的格点在的边上，点，，也是格点，请利用网格完成下面画图： (1)过点画的垂线，交于点，经过的一个格点记为； (2)过点画的垂线，垂足记为； (3)试判断线段，，的大小关系并说明判断的依据． 14．（23-24七年级下·重庆秀山·阶段练习）如图，直线、相交于点，平分，平分． (1)、有什么位置关系，请说明理由； (2)若，求的度数． 15．（23-24七年级上·江苏镇江·期末）如图，点都在格点上（小正方形的顶点叫做格点），      (1)请仅用无刻度的直尺完成画图（不要求写画法）． ①过点画直线的平行线，并标出直线所经过的格点； ②过点画直线的垂线，并标出直线所经过的格点及垂足； (2)线段______的长就是点到直线的距离； (3)比较大小：______（填“”“”或“”） 16．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图1，点O为直线上一点，过点O作射线，使，点M在射线上，射线在直线的下方，且． (1)将图1中的绕点O逆时针旋转至图2，使射线在的内部并恰好平分，求的度数． (2)在（1）的条件下，反向延长射线得到射线，如图3所示，判断射线是否平分，请说明理由． (3)将图1中的绕点O按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，边所在的直线恰好平分锐角，则t的值为__________秒．（直接写出答案） 17．（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）已知，点O在直线上，，平分． 【问题初探】 （1）如图1，若，求的度数； 【类比分析】 （2）如图1，试探究与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图2，若平分，平分，试探究的值是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 18．（23-24七年级上·江苏镇江·期末）【问题情境】 如图，点在直线上，．如果绕点按逆时针方向旋转到，那么点的位置可以用表示．      【操作发现】 （1）如图，将绕点按逆时针方向旋转后停止，旋转后的对应线段为，在旋转过程中当时，点的位置可以用______表示； 【实践探究】 规定：若一个角是另一个角的4倍时，则称这两个角互为“偶分角”． 将绕点按逆时针方向以每秒的速度旋转到，当与重合时，停止运动． （2）是否存在某一时刻，使得与互为“偶分角”．若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． （3）当旋转10秒后，射线从出发，绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转，当旋转______秒后，与互为“偶分角”． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 垂线与点到直线的距离 课程标准 学习目标 ①垂线的定义及性质 ②点到直线的距离 1．理解垂线、垂线段的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线；掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离； 2．掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理． 知识点01 垂线概念和性质 1.垂直的概念及表示.两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直.如下图，直线AB与直线CD垂直，记作AB⊥CD，垂足为O.垂直的概念包含两个方面的含义：一方面由直角（90°的角）可以得到两条直线垂直；另一方面由两条直线垂直可以得到直角（或90°的角） 2.垂直的性质：（1）平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. （2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短. 【即学即练1】（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，所有小正方形的边长都为1，点、、均在格点上． (1)过点画线段的平行线； (2)过点画线段的垂线，垂足为； (3)线段的长度是点到直线 的距离； (4)比较线段、的大小关系（用“<”连接）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4) 【知识点】格点作图题、画垂线、垂线段最短、点到直线的距离 【分析】本题考查利用格点作平行线、垂线，垂线段的性质，点到直线距离的定义： （1）根据网格的特点直接作平行线即可； （2）根据网格的特点直接作垂线即可； （3）根据点到直线距离的定义求解； （4）根据垂线段最短即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：线段的长度是点到直线的距离， 故答案为：； （4）解：由垂线段最短可知：． 知识点02 点到直线的距离 3.点到线的距离：如下图所示，过点A作直线的垂线，垂足为点B，则线段AB的长度叫做点A到直线的距离，此时线段AB叫垂线段. 【即学即练1】（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）如图，在直角三角形中，，，．请解答下列问题：    (1)点B到的距离是 ，点A到的距离是 ； (2)请在图中作出点C到的垂线段； (3) （填“”、“”、“”），理由是 ． 【答案】(1)8，6 (2)见解析 (3) 【知识点】点到直线的距离、画垂线、垂线段最短 【分析】（1）根据点到直线的距离的定义求解； （2）过点作的垂线，垂足为； （3）根据垂线段最短进行判断． 【详解】（1）解：点B到的距离是，点A到的距离是； 故答案为：8，6； （2）如图，为所作；    （3），理由是垂线段最短． 故答案为：；垂线段最短． 【点睛】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，熟练掌握点到直线距离的概念是解答本题的关键．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离． 题型01 垂线的定义的理解 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）为直线上的一点，为外一点，下列说法不正确的是（   ） A．过可画直线垂直于 B．过可画直线的垂线 C．连结使 D．过只能画1条直线与垂直 【答案】C 【知识点】垂线的定义理解 【分析】此题主要考查了垂线的作法以及垂线的定义，正确把握垂线的作法是解题关键． 直接利用垂线的定义结合垂线作法得出答案． 【详解】解：A、为直线上的一点，Q为外一点，过P可画直线垂直于，正确，不合题意； B、为直线上的一点，Q为外一点，过Q可画直线的垂线，正确，不合题意； C、连接不能保证，故错误，符合题意； D、为外一点，可以过Q可画直线与垂直，正确，不合题意； 故选∶C． 【变式训练】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知，，所以与在同一条直线上的理由是（   ） A．两点确定一条直线 B．经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 C．过一点只能作一条垂线 D．垂线段最短 【答案】B 【知识点】垂线的定义理解 【分析】本题考查了垂线的基本事实，根据垂线的基本事实结合图形得出结论是解题关键．利用同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直进而得出答案即可． 【详解】解：因为，， 所以直线与重合， 其理由是：同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故选：B． 2．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，，垂足为D，则下面说法中不正确的是（    ） A．点B到的垂线段是线段 B．与互相垂直 C．与互相垂直 D．线段的长度是点A到的距离 【答案】A 【知识点】点到直线的距离、垂线的定义理解 【分析】题考查的是点到直线的距离，熟知直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离是解答此题的关键． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴点B到的垂线段是线段，故本选项错误，符合题意； B、∵， ∴和互相垂直，故本选项正确，不符合题意； C、∵， ∴， ∴与互相垂直，故本选项正确，不符合题意； D、∵， ∴线段的长度是点A到的距离，故本选项正确，不符合题意． 故选A． 题型02 垂线段最短 例题：（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，在中，过点C作于点D，M是边上的一个动点，连接．若，则线段的长的最小值是 ． 【答案】6 【知识点】垂线段最短 【分析】本题主要考查点到直线的距离，根据垂线段最短可得结论． 【详解】解：∵，且， 根据“垂线段最短”可知，当点M与点D重合时，最短， 所以，的最小值为的长， 所以，的最小值为6， 故答案为：6． 【变式训练】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，运动会上，两名同学测得黎明的跳远成绩分别为米，米，米，则黎明的跳远成绩应该为 米． 【答案】 【知识点】垂线段最短 【分析】此题主要考查了点到直线的距离的含义，解答此题的关键是要明确：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，特别注意是“垂线段的长度”．根据点P到踏板所在的直线的垂线段的长度，据此判断出跳远成绩应该为多少米即可． 【详解】解：依据从直线外一点到这条直线所作的线段中，垂线段最短可知，黎明的跳远成绩应该是图中线段的长度，即为米． 故答案为： 2．（2024七年级上·全国·专题练习）为直线外一点，为直线上一点，点到直线的距离为，则 （选填“≥”“＝”或“≤”），根据是 ． 【答案】 垂线段最短 【知识点】垂线段最短、点到直线的距离 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，垂线段最短，根据点到直线距离的定义和垂线段最短进行解答即可． 【详解】解：∵A为直线l外一点，B是直线l上一点，点A到l的距离为5， ∴当时，， ∵垂线段最短， ∴当不与直线l垂直时，， ∴． 故答案为：；垂线段最短． 题型03 画垂线 例题：（23-24七年级下·北京丰台·期末）用三角板过点作所在直线的垂线，如图三角板的位置摆放正确的是（     ） A．  B．  C．  D．   【答案】B 【知识点】画垂线 【分析】本题考查作垂线，根据过点作已知直线的垂线方法进行判断即可． 【详解】解：选项A中三角板过点，但不垂直，故不符合题意； 选项B中三角板过点且垂直，故符合题意； 选项C中三角板不过点，故不符合题意； 选项D中三角板过点但不垂直，故不符合题意， 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）如图所示的正方形网格，所有小正方形的边长都为，、、都在格点上． (1)利用网格作图：过点画直线的垂线，垂足为点； (2)线段的长度是点______到直线_______的距离； (3)比较大小：______（填＞、＜或＝），理由：______． 【答案】(1)见解析 (2)   (3)   垂线段最短 【知识点】垂线段最短、点到直线的距离、画垂线 【分析】本题主要考查垂线段、点到直线的距离： （1）取格点，作直线，交直线于点； （2）根据点到直线的距离的定义即可解答； （3）根据垂线段最短即可解答． 【详解】（1） （2）线段的长度是点到直线的距离． 故答案为：   （3），理由：垂线段最短． 故答案为：   垂线段最短 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）利用网格画图： (1)过点C画的垂线，垂足为E； (2)线段的长度是点C到直线_______的距离； (3)连接，在线段中，线段_______最短． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【知识点】垂线段最短、点到直线的距离、画垂线 【分析】本题主要垂线及其做图，点到直线的距离概念，垂线段最短，注意作图的准确性． （1）根据网格结构的特点，利用直线与网格的夹角的关系找出与垂直的格点； （2）根据点到直线的距离概念回答； （3）根据垂线段最短直接回答即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：线段的长度是点C到直线的距离， 故答案为：； （3）解：连接，在线段中，线段最短， 理由：垂线段最短． 故答案为：． 题型04 点到直线的距离 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）如图，在三角形中，，，垂足为．若，，，则点A到直线的距离为 ，点到直线的距离为 ，点到直线的距离为 ． 【答案】 4 3 【知识点】点到直线的距离 【分析】本题考查了点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握点到直线的距离的定义；根据三角形等面积法求出，再根据点到直线的距离的定义即可得解． 【详解】解：， ， ， 点A到直线的距离为，点到直线的距离为，点到直线的距离为， 故答案为：4，3，． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·辽宁鞍山·期末）如图，三角形 中，，已知，，，则点B到直线的距离是 ． 【答案】4 【知识点】点到直线的距离 【分析】本题考查点到直线的距离，能够灵活运用三角形的面积公式是解答本题的关键． 根据点到直线的距离可判断出表示点 B到直线的距离是线段长解题． 【详解】解：点B到直线的距离是， 故答案为：． 2．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，点、、、均在格点上，只用直尺在给定的网格中，按下列要求作图． (1)作线段，作射线； (2)点到直线的距离为线段________的长度； (3)在线段上找一点，使它到、、、四个点的距离之和最小，作图的理由为________． 【答案】(1)见解析 (2) (3)两点之间线段最短 【知识点】点到直线的距离、画出直线、射线、线段、两点之间线段最短 【分析】本题主要考查了网络作图．熟练掌握画线段，画射线，点到直线的距离，两点之间线段最短，是解题的关键． （1）连接画出线段，连接并延长画出射线即可； （2）根据可得点到直线的距离为线段的长度； （3）根据两点之间线段最短，可得的最小值为的长，得点到、、、四个点的距离之和最小值为． 【详解】（1）连接，连接并延长，即得． （2）点到直线的距离为线段的长度 故答案为： （3）连接，交于点， 则， 当点O运动到上时，，最小， 则，最小． 故答案为：两点之间线段最短． 题型05 利用垂线的定义求角的度数 例题：（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，直线与相交于点O，平分．    (1)当时，求的度数； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、垂线的定义理解、对顶角相等 【分析】本题考查了角的和差计算，对顶角，平角，补角，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据角平分线定义以及对顶角即可求解； （2）由垂线得到，结合角平分线得到，则，化简得，由，得到方程，继而可求解． 【详解】（1）解：∵直线与相交于点O， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵若， ∴ ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴， 解得. ∴． 【变式训练】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线，相交于点，． (1)若，判断与的位置关系； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【知识点】垂线的定义理解、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查垂直定义、角度的运算，能从图中找到角之间的关系是解答的关键． （1）根据垂直定义，得到即可求解； （2）根据垂直定义结合已知，得到，再根据平角定义求解即可； 【详解】（1）解：． 理由如下：因为，所以， 所以． 又因为，所以， 即，所以； （2）解：由（1）知， 因为，所以， 所以， 所以， 所以． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线、相交于点，，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】几何图形中角度计算问题、垂线的定义理解、对顶角相等 【分析】本题考查垂直定义和对顶角相等的知识，属于基础题，掌握相关概念正确推理计算是解题关键． （1）根据对顶角相等可得，然后利用角的和差计算求解； （2）根据垂直定义及角的和差关系列式计算即可求解． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴， ∴． 题型06 利用垂线的定义求旋转问题 例题：（23-24七年级上·福建泉州·期末）如图，是直线上的一点，，平分，，． (1)如图，若，则的度数为____________； (2)探究在绕点旋转过程中，求的度数；（用含有的代数式表示） (3)在内部有一条射线是的角平分线，求的度数．（用含有的代数式表示） 【答案】(1) (2)的度数为或 (3)的度数为或 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算、垂线的定义理解 【分析】本题考查了几何图中角度的计算、垂线的定义、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）先利用邻补角求出，由角平分线的定义得出，由垂线的定义得出，再由，进行计算即可； （2）分两种情况：当在内部时；当在外部时，分别求解即可得出答案； （3）分两种情况：当在内部时；当在外部时，分别求解即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ， ， ， 的度数为， 故答案为：； （2）解：如图，当在内部时， ， ， ， ， 平分， ， ； 如图，当在外部时， ， ， ， ， 平分， ， ； 综上所述，的度数为或； （3）解：如图，当在内部时，由（2）可得，， ， 是的角平分线， ； 如图，当在外部时，由（2）可得，， ， 是的角平分线， ， 综上所述，的度数为或． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·山东青岛·期末）如图，，射线从开始绕点O逆时针旋转，速度为每分钟旋转；同时，射线从开始绕点O逆时针旋转，速度为每分钟旋转；设运动时间为，解答下列问题： (1)当t为何值时，为平角？ (2)当t为何值时，平分？ (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使将分成的两个角的度数之比为？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (4)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，或； (4)存在，或． 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、垂线的定义理解 【分析】对于（1），根据列出方程，求出解即可； 对于（2），根据列出方程，求出解； 对于（3），分别表示出和，再分情况列出方程，求出解； 对于（4），分别表示出和，再分两种情况列出方程，并求出解． 【详解】（1）根据题意可知，. 当为平角时，， 即， 解得． 答：时为平角； （2）根据题意可知，. 当OC平分时，， 即， 解得． 答：时OC平分； （3）根据题意可知，. 第一种：，， 第二种：，． 答：存在，或时，OB将分成的两个角的度数之比为； （4）根据题意可知，，. 当时，， 解得； 当时，， 解得． 答：存在，或时，． 【点睛】本题主要考查了平角，角平分线，垂直，角的和差等，弄清各角之间的数量关系列出方程是解题的关键，注意分情况讨论，不能丢解． 一、单选题 1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，三条直线相交于点，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】相交线、垂线的定义理解 【分析】本题考查了相交线，垂直的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意得出，，进而得出，即可得到答案． 【详解】解：由题意得， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选： B． 2．（24-25七年级上·吉林长春·期末）小峰同学家在点处，他在行走速度相同的情况下，想尽快到达公路边，他选择沿线段去公路边，这一选择用到的数学知识是（    ） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．两点之间，线段最短 D．过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 【答案】B 【知识点】垂线段最短 【分析】此题主要考查了垂线段的性质：点到直线的所有连线中，垂线段最短．根据垂线段的性质解答即可． 【详解】解：小峰同学的家在点处，他在行走速度相同的情况下，想尽快地到达公路边，他选择沿线段去公路边，是因为垂线段最短； 故选：B． 3．（23-24七年级下·山东潍坊·期中）过点B画线段所在直线的垂线段，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】画垂线 【分析】本题主要考查过直线外一点作已知直线的垂线段，根据垂线段的定义依次判断每个选项． 【详解】解：A．图上为过A点画线段所在直线的垂线段，故该选项不符合题意； B．图上为过点B画线段所在直线的垂线段，故该选项符合题意； C．图上为过上一点D画线段所在直线的垂线段，故该选项不符合题意； D．图上为过点B画线段的垂线段，故该选项不符合题意； 故选：B． 4．（24-25七年级上·全国·单元测试）如图是光的反射定律示意图，分别是入射光线、反射光线和法线（提示：反射角和入射角分别是反射光线和入射光线与法线的夹角，且反射角等于入射角）．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】几何图形中角度计算问题、垂线的定义理解 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，垂线的定义，根据题意可得，则，再根据已知条件得到，则． 【详解】解：由光的反射定律可知法线与反射面垂直，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）如图，已知点是射线上一点，过作交射线于点，交射线于点，下列结论正确的是（　　） A．的余角只有 B．图中互余的角共有对 C．的补角只有 D．图中与互补的角共有个 【答案】B 【知识点】与余角、补角有关的计算、垂线的定义理解 【分析】此题考查了余角和补角，根据垂直定义可得，然后再根据余角定义和补角定义进行分析即可求解，掌握互余和互补的定义是解题的关键． 【详解】解：、∵，， ∴， ∴，， ∴是的余角，也是的余角，故错误，不合题意； 、∵，， ∵， ∴，，，， ∴图中互余的角共有对，故正确，符合题意； 、∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴的补角有和，故错误，不合题意； 、∵， ∴图中与互补的角共有个，故错误，不合题意； 故选：． 二、填空题 6．（23-24七年级下·北京·期末）如图，若，，为垂足，那么，，三点在同一直线上，其理由是 ． 【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【知识点】垂线的定义理解、画垂线 【分析】本题考查的是垂线的性质，利用在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直可得答案． 【详解】解：∵，，为垂足， ∴，，三点在同一直线上， 理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 故答案为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 7．（23-24七年级下·浙江台州·期末）如图，要把河中的水引到农田处，若河岸，垂足为点，则沿着线段铺设管道能使水管最短，其中蕴含的数学道理是 ．    【答案】垂线段最短 【知识点】垂线段最短 【分析】本题主要考查了垂线段最短，利用垂线段的性质是解题的关键． 根据垂线段的性质（直线外的点与直线上所有点的连线，垂线段最短），可得答案． 【详解】解：根据垂线段的性质（直线外的点与直线上所有点的连线，垂线段最短），可知其中蕴含的数学道理是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． 8．（24-25七年级上·全国·期末）如图，点O是直线上一点，射线在同侧，且，若，则的度数为 ． 【答案】/52度 【知识点】几何图形中角度计算问题、垂线的定义理解 【分析】本题考查了角的计算，准确识图是解题的关键．由可知，再根据平角等于列式计算即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 9．（23-24七年级下·四川南充·期中）如图，，于D，有以下结论：①：②与互相垂直；③点C到的垂线段是线段；④点A到的距离是线段的长度；⑤线段的长度是点C到的距离：⑥线段的长度是点D到的距离，其中正确的有 （填序号）    【答案】①④⑤ 【知识点】点到直线的距离、垂线的定义理解 【分析】本题考查了垂直的定义，点到线段的距离．根据垂直的定义可判断①；根据垂线的性质可判断②不正确；根据点到直线的距离可判断③④⑤⑥． 【详解】解：①∵， ∴；故①说法正确； ②，由垂线的性质知与不垂直；故②说法错误； ③点C到的垂线段是线段的长度；故③说法错误； ④点A到的距离是线段的长度；故④说法正确； ⑤线段的长度是点C到的距离；故⑤说法正确； ⑥线段的长度是点C到的距离；故⑥说法错误； 综上：正确的是：； 故答案为：①④⑤． 10．（2024七年级上·全国·专题练习）已知直线，相交于点，平分，射线于点，且，则 ． 【答案】或 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算、垂线的定义理解 【分析】本题主要考查了相交线和角平分线有关计算．熟练掌握垂线定义，角平分线定义，佘角补角定义，分类讨论，是解本题的关键． 当点F和点C在同侧时，根据垂直定义得，结合，得，根据角平分线定义，得；当点F和点C在异侧时， 可得，得，得． 【详解】解：当点F和点C在同侧时， ∵于点O， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴； 当点F和点C在异侧时， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：或． 三、解答题 11．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，A，B是两个村庄，中间有一条河，现准备在河上造一座桥，使得通过桥到两村的距离和最短．（假定河的两岸是平行线，桥要与河岸垂直） 【答案】见解析 【知识点】垂线段最短 【分析】本题主要考查了应用设计与作图，过B作河的垂线，要使最短，直线a，，连接即可得出N，作出即可． 【详解】解：根据垂线段最短，得出是河的宽时，最短，即直线a（或直线b）， 只要最短就行， 即过B作河岸b的垂线，垂足为H，在直线上取点，使等于河宽．连接交河的a边岸于M，作垂直于河岸交b边的岸于N点，所以，即为所求的桥． 12．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线相交于点D，． (1)若，求证：； (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】几何图形中角度计算问题、垂线的定义理解 【分析】本题考查垂直的定义，几何中角度的计算． （1）根据垂直的定义得到，结合，等量代换可得，即可证明； （2）由，根据，可得，即可求出，由（1）知，由即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由（1）知， ， ∴． 13．（23-24七年级下·陕西宝鸡·期中）如图，正方形网格的格点在的边上，点，，也是格点，请利用网格完成下面画图： (1)过点画的垂线，交于点，经过的一个格点记为； (2)过点画的垂线，垂足记为； (3)试判断线段，，的大小关系并说明判断的依据． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，依据见解析 【知识点】垂线段最短、画垂线 【分析】本题考查了格点作图，垂线段最短，点到直线的距离，解题的关键是数形结合． （1）利用网格的特点作图即可； （2）利用网格的特点作图即可； （3）根据垂线段最短即可求解． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）如图，即为所求； （3）， 判断的依据：直线外一点和直线上所有点的连线中，垂线段最短． 14．（23-24七年级下·重庆秀山·阶段练习）如图，直线、相交于点，平分，平分． (1)、有什么位置关系，请说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、垂线的定义理解 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，垂线的定义，角平分线的定义： （1）由角平分线的定义得到，再由平角的定义可得，据此可得结论； （2）先证明，再由（1）得到，据此求出，再利用平角的定义求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 15．（23-24七年级上·江苏镇江·期末）如图，点都在格点上（小正方形的顶点叫做格点），      (1)请仅用无刻度的直尺完成画图（不要求写画法）． ①过点画直线的平行线，并标出直线所经过的格点； ②过点画直线的垂线，并标出直线所经过的格点及垂足； (2)线段______的长就是点到直线的距离； (3)比较大小：______（填“”“”或“”） 【答案】(1)①见解析；②见解析； (2)； (3)． 【知识点】垂线段最短、点到直线的距离、画垂线 【分析】本题主要考查了基本作图，利用网格结构作垂线，平行线，点到直线的距离的定义，都是基础知识，需熟练掌握． （1）①根据网格结构特点，过点C作长3宽1的长方形的对角线即可；②根据点到直线的距离的定义解答； （2）根据点到直线的距离的定义即可得； （3）根据垂线段最短即可得出答案． 【详解】（1）解：①如图所示，直线即为所求； ②如图所示，直线即为所求；    （2）解：线段的长度是点到直线的距离， 故答案为：； （3）解：， 故答案为：． 16．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图1，点O为直线上一点，过点O作射线，使，点M在射线上，射线在直线的下方，且． (1)将图1中的绕点O逆时针旋转至图2，使射线在的内部并恰好平分，求的度数． (2)在（1）的条件下，反向延长射线得到射线，如图3所示，判断射线是否平分，请说明理由． (3)将图1中的绕点O按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，边所在的直线恰好平分锐角，则t的值为__________秒．（直接写出答案） 【答案】(1) (2)射线平分，理由见解析 (3)6或15 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、垂线的定义理解 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，垂线的定义： （1）先由平角的定义得到，再由角平分线的定义得到，由垂线的定义得到，据此根据角的和差关系可得答案； （2）由平角的定义得到，则可得，据此可得射线平分； （3）当旋转到图3中和时都满足题意，求出对应的旋转角度即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：射线平分，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴射线平分； （3）解：由（1）（2）可知当开始旋转使得到第一次到达图3中的位置时，此时直线恰好平分， ∴旋转角度为， ∴； 当继续旋转到到图3中的位置时，此时直线恰好平分， ∴此时旋转的角度为， ∴； 综上所述，t的值为6或15． 17．（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）已知，点O在直线上，，平分． 【问题初探】 （1）如图1，若，求的度数； 【类比分析】 （2）如图1，试探究与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图2，若平分，平分，试探究的值是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算、垂线的定义理解 【分析】本题考查了角平分线的定义、求一个角的余角和补角，解答关键是根据图形各角度之间的数量关系． （1）根据，求得，再由角平分线定义，求得，利用余角定义求即可； （2）先求出，由角平分线定义，求得，利用余角定义表示出即可； （3）根据角平分线的定义，得到．由（2）得，即，由，根据即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴． （2）解：． 理由：∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴． （3）解：． 理由：∵平分， ∴． 由（2）得， ∴． ∵平分． ∴． ∵， ∴， ∴ ． ∵， ∴，即， ． 18．（23-24七年级上·江苏镇江·期末）【问题情境】 如图，点在直线上，．如果绕点按逆时针方向旋转到，那么点的位置可以用表示．      【操作发现】 （1）如图，将绕点按逆时针方向旋转后停止，旋转后的对应线段为，在旋转过程中当时，点的位置可以用______表示； 【实践探究】 规定：若一个角是另一个角的4倍时，则称这两个角互为“偶分角”． 将绕点按逆时针方向以每秒的速度旋转到，当与重合时，停止运动． （2）是否存在某一时刻，使得与互为“偶分角”．若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． （3）当旋转10秒后，射线从出发，绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转，当旋转______秒后，与互为“偶分角”． 【答案】（1）；（2）或或；（3） 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、几何图形中角度计算问题、垂线的定义理解 【分析】（1）根据，，求出，即可得出答案； （2）分三种情况进行讨论：当在内部，时，当在内部，时，当在外部时，分别求出结果即可； （3）设旋转时间为t秒，则，，分两种情况：当时，当时，分别列出方程，进行求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴此时点C的位置可以用； 故答案为：； （2）当在内部，时， ∵， ∴， 此时点P的位置可以表示为； 当在内部，时， ∵， ∴， 此时点P的位置可以表示为； 当在外部，， ∵， ∴， ∴， ∴， 此时点P的位置可以表示为； 综上分析可知，点P的位置可以表示为或或； （3）设旋转时间为t秒，则，， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：（不符合题意舍去）； 综上分析可知，当旋转秒后，与互为“偶分角”． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了新定义运算，一元一次方程的应用，几何图形中角度的计算，垂线定义，旋转的特点，解题的关键是理解题意，注意进行分类讨论． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$