（专项突破篇）第三单元·专项3 圆锥的体积、组合、切拼及等积变形-2024-2025学年度六年级数学下册同步高效学习讲练手册(人教版)

2024-2025学年度六年级数学下册专项突破篇 专项3 圆锥的体积、组合、切拼及等积变形 一、仔细想，认真填。 1．一个圆锥体，底面周长是12.56厘米，高2.4厘米，它的体积是( )立方厘米。与它等底等高的圆柱体积是( )。 2．一个圆柱与圆锥等底等高，圆柱的体积比圆锥多18立方米，圆锥的体积是( )立方米。 3．等底等高的圆柱和圆锥，圆锥的体积是圆柱体积的( )，圆柱体积是圆锥体积的( )，圆锥体积的公式是( )或( )。 4．用一个底面直径是4cm，高为9cm的圆柱木块，削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是( )cm3，削成最大圆锥的体积是削去木块体积的( )。 5．一个圆锥体与和它等底等高的圆柱体体积相差20立方厘米，这个圆锥体的体积是( )立方厘米。一个圆锥的体积是18立方分米，高是6分米，底面积是( )。 6．把一个底面直径为12厘米的圆柱形容器装满水，再将水倒入一个与它高度相等的圆锥形容器中，如果圆锥形容器里的水也刚好装满，那么圆锥形容器的底面积是( )平方厘米。 7．一个圆锥的底面积是6，高是3，它的体积是( )。与它等底等高的圆柱体的体积是( )。 二、我是小法官。（对的打“√”，错的打“×”。） 8．一个圆锥，底面积不变，高扩大到原来的3倍，体积扩大到原来的9倍。( ) 9．圆锥的底面半径扩大到原来的3倍，高缩小到原来的，它的体积不变。( ) 10．一个圆锥的半径是2厘米，高是9厘米，和它等底等体积的圆柱的高是3厘米。( ) 11．等底等高的圆柱和圆锥的体积之差是48cm3，圆柱的体积是 96cm3。( ) 12．圆柱体的体积一定比圆锥体的体积大。( ) 13．长方体、正方体、圆柱和圆锥的体积都可以用表示。( ) 三、对号入坐。（将正确答案的序号填在括号里） 14．开心幼儿园开展制作蛋糕亲子活动，装奶油的容器是一个圆锥体，这个圆锥体容器的体积是45立方厘米，与它等底等高的圆柱体的体积是（    ）。 A．45立方厘米 B．90立方厘米 C．135立方厘米 D．180立方厘米 15．下面（    ）图形绕直线旋转一周会得到一个圆锥。 A． B． C． 16．把一段重9千克的圆柱形钢材削成一个最大的圆锥形零件，这个圆锥重（    ）千克。 A．6 B．3 C．4.5 17．一个圆柱和圆锥的体积相等，它们的底面积的比是3∶2，圆柱的高是10cm，圆锥的高是（    ）cm。 A．30 B．45 C．60 18．把一个高为24cm的圆锥形容器装满水，将这些水全部倒入等底的圆柱形容器里，水的高度是（    ）。 A．72cm B．24cm C．16cm D．8cm 四、计算小能手。 19．第一个图（单位：cm）求表面积，第二个图求体积。 20．计算左图阴影部分的面积（单位：厘米）；计算右图立体图形的体积（单位：分米 ）        五、我会操作。 21．画一画，算一算。 （1）如果图中点A的位置用数对（5，9）表示，那么点B的位置可以用数对（    ）表示。 （2）画出△ABC绕点B顺时针旋转后的图形。 （3）以AB为轴，将△ABC旋转一周，旋转形成图形的体积是（    ）立方厘米。 六、解决问题。 22．沙漏又称沙钟，是我国古代一种计量时间的仪器，它是根据流沙从一个容器漏到另一个容器的数量来计量时间的，如图就是一个沙漏记录时间的情况。如果再过一分钟沙漏上部的沙子就可以全部漏到下面，那么现在沙漏已经计量了多少分钟？ 23．在“五一”小长假里，小平和小天到厦门鼓浪屿游玩。他们用一样的钱给自己的妈妈买了一个圆锥形贝壳工艺品（如下图）。 （1）这个贝壳工艺品的体积是多少立方厘米？ （2）小平和小天都带了一些钱，他们带的钱的比是5∶3，买了贝壳工艺品后，小平的钱还剩360元，小天还剩120元。小天带了多少钱？ 24．一个底面半径是6厘米的铁圆锥完全浸没在底面直径是1.8分米圆柱形容器水中。拿出铁圆锥，水面下降了2厘米。这个铁圆锥的高是多少？ 25．学校科技社团小组的同学们在研究陀螺的稳定性，他们用圆柱形的木头和圆锥形的金属制作了一个陀螺（如图），你能帮助他们计算出这个陀螺的体积吗？ 26．一堆近似圆锥体的小麦，底面周长是12.56米，高是0.9米。如果每立方米重500千克，那么这堆小麦有多少千克？ 27．一个圆锥形铅锤，底面直径是4厘米，高3厘米，每立方厘米约重7.8克。这个铅锤重多少克？（得数保留整数） 28．一个底面半径是3厘米，高是10厘米的圆锥形铝块浸没在一个圆柱形杯子中（如下图所示），如果把铝块从水中取出，那么容器中的水面高度将下降多少厘米？ 29．蒙古包也称“毡包”，是蒙古族传统民居。如图中的蒙古包是由一个圆柱和一个圆锥组成的。这个蒙古包所占的空间是多少立方米？ 30．一个内底面直径为20厘米的圆柱形玻璃杯中装有水，水中浸没着一个底面直径为12厘米，高10厘米的圆锥形铅锤，当铅锤取出后，杯里的水面下降多少厘米？ 参考答案 1． 10.048 30.144立方厘米/30.144cm3 分析：已知底面周长是12.56厘米，根据圆的周长公式：C＝2πr，代入数据求出底面半径；然后根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，代入数据即可求出圆锥的体积；已知圆柱的体积是等底等高的圆锥体积的3倍，所以用圆锥的体积乘3即可求出与它等底等高的圆柱体积。 详解：12.56÷3.14÷2＝2（厘米） 3.14×22×2.4× ＝3.14×4×2.4× ＝10.048（立方厘米） 10.048×3＝30.144（立方厘米） 一个圆锥体，底面周长是12.56厘米，高2.4厘米，它的体积是10.048立方厘米。与它等底等高的圆柱体积是30.144立方厘米。 2．9 分析：根据根据V柱＝Sh，V锥＝Sh可知，当圆柱和圆锥等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，把圆锥的体积看作1份，则圆柱的体积是3份，相差（3－1）份； 已知圆柱的体积比圆锥多18立方米，用两者的体积差除以份数差，求出一份数，也就是圆锥的体积。 详解：18÷（3－1） ＝18÷2 ＝9（立方米） 圆锥的体积是9立方米。 3． /三分之一 3倍 分析：由圆柱与圆锥体积的关系可知，当圆锥和圆柱等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，圆锥的体积是圆柱体积的，圆柱的体积公式为或，则，据此解答。 详解： 分析可知，等底等高的圆柱和圆锥，圆锥的体积是圆柱体积的，圆柱体积是圆锥体积的3倍，圆锥体积的公式是或。 4． 37.68 分析：分析题目，削成的最大的圆锥和圆柱是等底等高的，即圆锥的底面直径就等于圆柱的底面直径，圆锥的高就等于圆柱的高，据此结合圆锥的体积＝π（d÷2）2h代入数据求出圆锥的体积即可；圆锥的体积是和它等底等高的圆柱体积的，把圆柱的体积看作单位“1”，则削去的木块的体积是圆柱体积的（1－），据此用除法求出削成最大圆锥的体积是削去木块体积几分之几即可。 详解：3.14×（4÷2）2×9× ＝3.14×22×9× ＝3.14×4×9× ＝12.56×9× ＝113.04× ＝37.68（cm3） ÷（1－） ＝÷ ＝× ＝ 用一个底面直径是4cm，高为9cm的圆柱木块，削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是37.68cm3，削成最大圆锥的体积是削去木块体积的。 5． 10 9平方分米 分析：因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，把圆锥的体积看作1倍，则圆柱的体积就是3倍，所以等底等高的圆柱与圆锥的体积差是圆锥体积的（3－1）倍，由此可以求出圆锥的体积；根据圆锥的体积公式可知：圆锥的底面积＝体积×3÷高，据此代入数据求出圆锥的底面积。 详解：20÷（3－1） ＝20÷2 ＝10（立方厘米） 18×3÷6 ＝54÷6 ＝9（平方分米） 一个圆锥体与和它等底等高的圆柱体体积相差20立方厘米，这个圆锥体的体积是10立方厘米。一个圆锥的体积是18立方分米，高是6分米，底面积是9平方分米。 6．339.12 分析：将圆柱形容器装满水倒入圆锥形容器中，水刚好装满，说明圆柱的体积等于圆锥的体积。由于圆锥和圆柱的高度相等，根据体积公式可知，圆柱的底面积是圆锥底面积的，根据圆柱的底面积公式S＝πr2，求出圆柱的底面积，进而求出圆锥的底面积。 详解：3.14×（12÷2）2 ＝3.14×62 ＝3.14×36 ＝113.04（平方厘米） 113.04×3＝339.12（平方厘米） 那么圆锥形容器的底面积是339.12平方厘米。 7． 6 18 分析：根据圆锥的体积＝底面积×高÷3，代入数据计算即可求出圆锥的体积；根据等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，用圆锥的体积乘3即可解答。 详解：6×3÷3 ＝18÷3 ＝6（） 6×3＝18（） 所以圆锥的体积是6，与它等底等高的圆柱体的体积是18。 8．× 分析：假设圆锥原来的底面积是3，高是1，高扩大到原来的3倍，即，根据，分别求出原来的圆锥的体积和扩大后的圆锥的体积，再用扩大后的圆锥体积除以原来的圆锥体积得到扩大到原来的几倍，再判断。 详解：假设圆锥原来的底面积是3，高是1。 原来体积： 扩大后的体积： 一个圆锥，底面积不变，高扩大到原来的3倍，体积扩大到原来的3倍。原题说法错误。 故答案为：× 9．× 分析：根据圆锥的体积公式V＝πr2h，以及积的变化规律可知，圆锥的底面半径扩大到原来的3倍，则体积就扩大到原来的32倍；高缩小到原来的，则体积就缩小到原来的；最终体积乘32，再除以3，据此判断。 积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘（或除以）几。 详解：32÷3 ＝9÷3 ＝3 圆锥的底面半径扩大到原来的3倍，高缩小到原来的，它的体积扩大到原来的3倍。 原题说法错误。 故答案为：× 10．√ 分析：根据圆锥的体积公式V＝，计算出圆锥的体积，也就是等底圆柱的体积，再利用圆柱的高h＝V÷S，即可求得圆柱的高。 详解： ＝ ＝3（厘米） 原题说法正确。 故答案为：√ 11．× 分析：因为等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，所以等底等高的圆柱和圆锥的体积之差相当于圆柱的体积的（），根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算。据此解答。 详解： ＝ ＝ ＝72（立方厘米） 原题说法错误。 故答案为：× 12．× 分析：根据圆柱的体积公式V柱＝Sh，圆锥的体积公式V锥＝Sh，可知圆柱、圆锥的体积是由底面积与高决定的，当底面积和高不确定时，它们的体积大小无法比较。 详解：不知道圆柱体、圆锥体的底面积和高，所以不能比较圆柱体、圆锥体的体积大小。 原题说法错误。 故答案为：× 13．× 分析：长方体、正方体、圆柱的体积公式可以用表示，而圆锥的体积公式用表示，据此判断。 详解：由分析可知，圆锥的体积公式用表示，所以原题说法错误； 故答案为：× 14．C 分析：根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，圆锥的体积公式：V＝πr2h，可知圆柱和圆锥的体积关系：圆柱的体积等于和它等底等高的圆锥体积的3倍，据此解答。 详解：45×3＝135（立方厘米） 这个圆锥体容器的体积是45立方厘米，与它等底等高的圆柱体的体积是135立方厘米。 故答案为：C 15．C 分析：以一个直角三角形的一条直角边所在的直线为轴旋转一周，形成圆锥体。 以长方形或正方形的一边所在的直线为轴旋转一周，形成圆柱体。 详解： A．绕直线旋转一周不能得到一个圆锥，不符合题意； B．绕直线旋转一周会得到一个圆柱，不符合题意； C．绕直线旋转一周会得到一个圆锥，符合题意。 故答案为：C 16．B 分析：根据V柱＝Sh，V锥＝Sh可知，当圆柱和圆锥等底等高时，圆锥的体积是圆柱体积的；由此可知，把一段重9千克的圆柱形钢材削成一个最大的圆锥形零件，这个圆锥的重量是圆柱重量的，根据求一个数的几分之几是多少，用圆柱的重量乘，即可求出圆锥的重量。 详解：9×＝3（千克） 这个圆锥重3千克。 故答案为：B 17．B 分析：已知圆柱和圆锥的底面积的比是3∶2，可以把圆柱的底面积看作3份，则圆锥的底面积看作2份； 根据“圆柱和圆锥的体积相等”以及圆柱、圆锥的体积公式可得出等量关系：S锥h锥＝S柱h柱，据此列出方程，并求解。 详解：解：设圆锥的高为hcm。 ×2×h＝3×10 h＝30 h＝30÷ h＝30× h＝45 圆锥的高是45cm。 故答案为：B 18．D 分析：圆锥的体积＝×底面积×高，圆柱的体积＝底面积×高，再据这些水的体积不变，即可求出倒入圆柱中的水的高度。 详解：解：设圆锥的底面积为S，圆柱的高为h， 则圆锥的体积为：（立方厘米） 因为圆柱与圆锥等底， 所以圆柱中水的高为：（厘米） 则水的高度是8厘米。 故答案为：D 19．（1）785cm2；（2）15.7cm3 分析：（1）根据圆柱的表面积S表＝S侧＋2S底，其中S侧＝πdh，S底＝πr2，代入数据计算，即可求出圆柱的表面积。 （2）组合体的体积＝圆柱的体积＋圆锥的体积，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算求解。 详解：（1）3.14×10×20＋3.14×（10÷2）2×2 ＝3.14×10×20＋3.14×52×2 ＝628＋3.14×25×2 ＝628＋157 ＝785（cm2） 圆柱的表面积是785cm2。 （2）3.14×（2÷2）2×4＋×3.14×（2÷2）2×3 ＝3.14×12×4＋×3.14×12×3 ＝3.14×1×4＋×3.14×1×3 ＝12.56＋3.14 ＝15.7（cm3） 组合体的体积是15.7cm3。 20．9.44平方厘米；62.8立方分米 分析：观察图形可知，左图阴影部分的面积＝梯形的面积－圆的面积，根据梯形的面积公式S＝（a＋b）h÷2，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。 右图立体图形的体积＝圆柱的体积＋圆锥的体积，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算求解。 详解：左图阴影部分的面积： （4＋7）×4÷2－×3.14×42 ＝11×4÷2－×3.14×16 ＝22－12.56 ＝9.44（平方厘米） 右图立体图形的体积： 3.14×22×4＋×3.14×22×3 ＝3.14×4×4＋×3.14×4×3 ＝50.24＋12.56 ＝62.8（立方分米） 左图阴影部分的面积是9.44平方厘米，右图立体图形的体积是62.8立方分米。 21．（1）（5，5） （2）见详解 （3）37.68 分析：（1）用数对表示位置时，通常把竖排叫列，横排叫行。一般情况下，确定第几列时从左往右数，确定第几行时从前往后数。表示列的数在前，表示行的数在后，中间用逗号“，”隔开，数对加上小括号。 （2）作旋转一定角度后的图形步骤：根据题目要求，确定旋转中心、旋转方向和旋转角；分析所作图形，找出构成图形的关键点；找出关键点的对应点：按一定的方向和角度分别作出各关键点的对应点；作出新图形，顺次连接作出的各点即可。 （3）以AB为轴，将△ABC旋转一周，旋转形成的图形是圆锥，圆柱的高是AB，圆锥的底面半径是BC，根据圆锥体积＝底面积×高÷3，列式计算即可。 详解：（1）如果图中点A的位置用数对（5，9）表示，点B与点A同列，点A的行数减去4是点B的行数，因此点B的位置可以用数对（5，5）表示。 （2）作图如下： （3）3.14×32×4÷3 ＝3.14×9×4÷3 ＝37.68（立方厘米） 旋转形成图形的体积是37.68立方厘米。 22．12分钟 分析：已知再过一分钟沙漏上部的沙子就可以全部漏到下面，根据圆锥的体积公式V＝πr2h，分别求出上面、下面沙子的体积；再用下面沙子的体积除以上面沙子的体积，求出下面沙子的体积里面有几个上面沙子的体积，就有几个一分钟，也就是现在沙漏已经计量的时间。 详解：上面沙子的体积： ×3.14×（2÷2）2×3 ＝×3.14×12×3 ＝×3.14×1×3 ＝3.14 下面沙子的体积： ×3.14×（6÷2）2×4 ＝×3.14×32×4 ＝×3.14×9×4 ＝37.68 37.68÷3.14＝12（分钟） 答：现在沙漏已经计量了12分钟。 23．（1）157立方厘米 （2）360元 分析：（1）从图中可知，这个圆锥形贝壳工艺品的底面直径是10厘米，高是6厘米；根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出这个贝壳工艺品的体积。 （2）已知小平和小天带的钱的比是5∶3，他们买的贝壳工艺品的价钱一样，所以两人剩下的钱的比仍是5∶3，即小平剩下的钱占5份，小天剩下的钱占3份，相差（5－3）份；已知小平的钱还剩360元，小天还剩120元，两个剩下的钱相差（360－120）元，用相差的钱数除以份数差，求出一份数，再乘小天的份数，即可求出小天带的钱数。 详解：（1）10÷2＝5（厘米） ×3.14×52×6 ＝×3.14×25×6 ＝157（平方厘米） 答：这个贝壳工艺品的体积是157立方厘米。 （2）（360－120）÷（5－3） ＝240÷2 ＝120（元） 120×3＝360（元） 答：小天带了360元。 24．13.5厘米 分析：水面下降的体积就是这个铁圆锥的体积，圆柱形容器底面半径×水面下降的高度＝圆锥的体积，再根据圆锥的高＝体积×3÷底面积，列式解答即可。注意统一单位。 详解：1.8分米＝18厘米 3.14×（18÷2）2×2 ＝3.14×92×2 ＝3.14×81×2 ＝508.68（立方厘米） 508.68×3÷（3.14×62） ＝1526.04÷（3.14×36） ＝1526.04÷113.04 ＝13.5（厘米） 答：这个铁圆锥的高是13.5厘米。 25．471立方厘米 分析：分析题目，陀螺是由一个圆柱体和一个圆锥体组成的，圆柱的体积＝π（d÷2）2h，圆锥的体积＝π（d÷2）2h，据此代入数据分别求出圆柱和圆锥的体积，再相加即可得到陀螺的体积。 详解：3.14×（10÷2）2×4 ＝3.14×52×4 ＝3.14×25×4 ＝78.5×4 ＝314（立方厘米） 3.14×（10÷2）2×6× ＝3.14×52×6× ＝3.14×25×6× ＝78.5×6× ＝471× ＝157（立方厘米） 314＋157＝471（立方厘米） 答：这个陀螺的体积是471立方厘米。 26．1884千克 分析：已知一堆近似圆锥体的小麦的底面周长是12.56米，根据圆的周长公式C＝2πr，可知r＝C÷π÷2，由此求出圆柱的底面半径；再根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出这堆小麦的体积；最后用每立方米小麦的重量乘这堆小麦的体积，即是这堆小麦的总重量。 详解：底面半径： 12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（米） 圆锥的体积： ×3.14×22×0.9 ＝×3.14×4×0.9 ＝3.768（立方米） 这堆小麦重：500×3.768＝1884（千克） 答：这堆小麦有1884千克。 27．98克 分析：已知圆锥形铅锤的底面直径和高，根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出铅锤的体积，再乘每立方厘米的重量，即是这个铅锤的重量，得数根据“四舍五入”法保留整数。 详解：×3.14×（4÷2）2×3 ＝×3.14×22×3 ＝×3.14×4×3 ＝12.56（立方厘米） 7.8×12.56≈98（克） 答：这个铅锤重98克。 28．1.2厘米 分析：圆锥形铝块的放入使得杯子中水面上升，那么把铝块从水中取出，相当于与铝块同等体积的水排除，所以水面下降。先根据求出圆锥的体积，它等于下降那部分水的体积，变化圆柱体积，得到下降水面的高度，据此解答。 详解： （立方厘米） （厘米） 答：容器中的水面高度将下降1.2厘米。 29．67.824立方米 分析：这个蒙古包上部分是一个圆锥，下部分是一个圆柱。已知圆柱的底面半径是（6÷2）米，高是2米，圆锥的底面半径也是（6÷2）米，高是1.2米，根据圆柱的体积公式和圆锥的体积公式，分别求出这个蒙古包上下两部分的体积，再相加求出它的总体积。 详解：6÷2＝3（米） 3.14×32×2＋×3.14×32×1.2 ＝3.14×9×2＋×9×3.14×1.2 ＝28.26×2＋3×3.14×1.2 ＝56.52＋11.304 ＝67.824（立方米） 答：这个蒙古包所占的空间是67.824立方米。 30．1.2厘米 分析：杯里的水面下降部分的体积等于圆锥形铅锤的体积，根据圆锥体积＝底面积×高，求出杯里的水面下降部分的体积，再用杯里的水面下降部分的体积除以圆柱的底面积，求出杯里的水面下降多少厘米即可。 详解：下降水的体积：×3.14×（12÷2）2×10 ＝×3.14×36×10 ＝×36×3.14×10 ＝12×3.14×10 ＝12×31.4 ＝376.8（立方厘米） 下降高度：376.8÷（3.14×102） ＝376.8÷（3.14×100） ＝376.8÷314 ＝1.2（厘米） 答：杯里的水面下降1.2厘米。 学科网（北京）股份有限公司 $$