易错点2专项突破：圆柱与圆锥的体积关系-2025-2026学年六年级下册数学人教版

第三单元 圆柱与圆锥 易错点2专项突破：圆柱与圆锥的体积关系 一、选择题 1．一个圆柱和圆锥的底面积相等，圆柱的高是圆锥的高的2倍，则圆锥的体积是圆柱体积的（    ）。 A． B． C． D．2倍 2．如图，下面关于四个图形的体积说法错误的是（    ）。 A．①和④的体积相等 B．②的体积是①的3倍 C．②的体积是④的3倍 D．①和③的体积相等 3．如图，圆锥形杯子与圆柱形容器的底面积相等。将圆柱形容器里装满的果汁全部倒入圆锥形杯子中，可以倒满（    ）杯。 A．3 B．6 C．9 D．12 4．把一个圆柱体木块削成一个最大的圆锥，所得圆锥的体积是72立方厘米，被削去的木块有（    ）立方厘米。 A．24 B．72 C．144 D．216 5．如图，在密封的容器里装一些水，如果将这个容器倒过来，水面的高度是（    ）。 A．8cm B．14cm C．3cm 二、填空题 6．一个圆柱和一个圆锥等底等高，圆柱的体积是圆锥体积的( )倍，圆锥的体积是圆柱体积的( )。圆锥体积的计算公式是( )。 7．等底等高的圆柱和圆锥，它们的体积之和是。圆柱的体积是( )，圆锥的体积是( )。 8．把一个圆柱形钢坯削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是。原圆柱形钢坯的体积是( )。 9．一个圆柱和一个圆锥的高相等，圆锥的底面半径是圆柱的3倍，那么圆柱与圆锥的体积比是( )。 10．图中，h1＝h2，d1＝d2，把下面左边瓶里的饮料倒入圆锥形的杯子里，最多能倒满( )杯。 11．一个圆柱形木料底面半径是2分米，高是90厘米，把它削成两个相对的，且高相等的圆锥（如图），底面积和原来的圆柱底面积相等，削去部分的体积是( )立方分米。 12．如图，在容器中放入1个圆柱形铁块和3个与圆柱等底等高的圆锥形铁块，溢出了900mL水，则每个圆锥形铁块的体积是_______cm3。 13．如图，先将甲容器注满水，再将水倒入乙容器，这时乙容器中的水高( )cm。 14．甲、乙是两个完全相等的直角三角形，按如图所示方向旋转一周后，甲与乙分别所形成的立体图形的体积比是________。 15．一个圆柱削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是27cm3，削去部分的体积是( )cm3；如果一个圆柱和一个圆锥的体积和底面积分别相等。已知圆锥的高是12dm，圆柱的高是( )dm。 三、解答题 16．科学组的同学们在做实验，先将两个大小相同的烧杯中，都盛有480毫升的水，再将等底等高的圆柱与圆锥实心零件（材质相同）分别放入两个烧杯中，则甲烧杯水面刻度如图所示。乙烧杯水面刻度显示应是多少毫升？ 17．小刚在手工课上拿到一根高30厘米的圆柱形木棒，如图所示，将它截成相同的两段后，表面积比原来增加了50.24平方厘米。小刚想把其中一段木棒削成一个最大的圆锥体摆件，削去的体积是多少立方厘米？ 18．某甜品店准备推出一款新口味的冰沙，店家设计了两种不同的包装（销售时要刚好盛满），两种包装的冰沙及其定价如下图所示。这样定价合理吗？请用数据说明理由。（注：忽略商场搞促销的策略） 19．如图，这是一个由等底等高的圆柱和圆锥组合而成的计时工具，圆锥内灌满了有颜色的水。其中圆锥的高为6厘米，底面半径为3厘米。已知水的流速是1.57立方厘米/分。圆锥内的水漏完需要多长时间？此时圆柱里水的高度是多少？ 20．一个密闭玻璃容器是由一个圆柱和一个圆锥组成的，里面装有一些水（如图1，单位：厘米，玻璃的厚度忽略不计）。如果将这个容器倒过来（如图2），从水面到圆锥顶点的高度是多少厘米？ 第2页，共4页 第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】根据题意，可设圆柱、圆锥的底面积都为s，圆锥的高为1，则圆柱的高为2，根据圆柱的体积公式V＝sh和圆锥的体积公式V＝sh求出各自的体积，然后再用圆锥的体积除以圆柱的体积即可。 【详解】设圆柱、圆锥的底面积都为s，圆锥的高为1，则圆柱的高为2。 （s×1）÷（2s） ＝s÷2s ＝÷2 ＝× ＝ 所以圆锥的体积是圆柱体积的。 故答案为：C 2．D 【分析】圆柱的体积公式V＝πr2h，圆锥的体积公式V＝πr2h，据此求出4个图形的体积，并逐项分析即可。 【详解】图①：π×（4÷2）2×9 ＝π×22×9 ＝π×4×9 ＝12π 图②：π×（4÷2）2×9 ＝π×22×9 ＝π×4×9 ＝36π 图③：π×（2÷2）2×9 ＝π×12×9 ＝π×1×9 ＝9π 图④：π×（4÷2）2×3 ＝π×22×3 ＝π×4×3 ＝12π A．①和④的体积均为12π，则①和④的体积相等，正确； B．②的体积为36π，①的体积为12π，36π÷12π＝3，则②的体积是①的3倍，正确； C．36π÷12π＝3，则②的体积是④的3倍，正确； D．③的体积为9π，①的体积为12π，则①和③的体积不相等，错误； 故答案为：D 3．C 【分析】一个等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，由题意可知，圆柱和圆锥的底面积相等，但圆柱的高是圆锥的3倍，相当于求3个等底等高的圆柱的体积是一个等底等高圆锥的几倍。 【详解】3×3＝9（杯） 因此将圆柱形容器里装满的果汁全部倒入圆锥形杯子中，可以倒满9杯。 故答案为：C 4．C 【分析】圆柱的体积＝底面积×高，圆锥的体积＝×底面积×高，所以，等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍。把一个圆柱体木块削成一个最大的圆锥，此时圆柱与圆锥等底等高，圆锥的体积占圆柱体积的 ，被削去部分占圆柱体积的，则被削去的木块体积是圆锥体积的2倍，据此解答。 【详解】72×2＝144（立方厘米） 被削去的木块有144立方厘米。 故答案为：C 5．A 【分析】圆柱的体积公式为：V＝Sh（S为底面积，h为圆柱的高），圆锥的体积公式为：V＝Sh（S为底面积，h为圆锥的高），所以在圆柱和圆锥等底等体积时，圆柱高＝×圆锥高，即圆锥的高是圆柱的高的3倍。容器中圆锥部分的高是9厘米，将圆锥部分的水倒入等底的圆柱中，所以水的高度为9÷3＝3厘米。原来圆柱部分水的高度是5厘米，圆锥部分的水倒入圆柱后高度为3厘米，所以倒过来后水面的高度就是用5加3计算即可。 【详解】在圆柱和圆锥等底等体积时，圆锥的高是圆柱的高的3倍。 9÷3＝3（厘米） 5＋3＝8（厘米） 水面的高度是8厘米。 故答案为：A 6． 3 【分析】根据圆柱的体积公式（是底面圆的面积，是圆柱的高），圆锥的体积公式（是底面圆的面积，是圆锥的高），等底等高的情况下圆柱的体积是圆锥体积的3倍，圆锥的体积等于圆柱体积的，由此解答。 【详解】根据分析得： 一个圆柱和一个圆锥等底等高，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，圆锥的体积是圆柱体积的。圆锥体积的计算公式是。 7． 60 20 【分析】已知圆柱和圆锥等底等高，即圆柱体积是圆锥体积的3倍，它们的体积之和是80dm³，那么把圆锥体积看作1份，圆柱体积看作3份，圆柱和圆锥体积的总份数为份，用圆柱和圆锥的体积之和除以它们的总份数，求出1份的体积，即是圆锥的体积；再用圆锥体积乘3，可得到圆柱的体积，据此解答。 【详解】圆锥体积：（立方分米） 圆柱体积：（立方分米） 因此，等底等高的圆柱和圆锥，它们的体积之和是80dm³。圆柱的体积是60dm³，圆锥的体积是20dm³ 8．2.7 【分析】根据题意，把一个圆柱形钢坯削成一个最大的圆锥，则圆锥和圆柱等底等高，圆锥的体积是圆柱体积的，把圆柱的体积看作单位“1”，削去部分的体积是圆柱体积的，单位“1”未知，用削去部分的体积除以，即可求出圆柱的体积，据此解答。 【详解】由分析可得： （cm3） 因此，把一个圆柱形钢坯削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是1.8cm3。原圆柱形钢坯的体积是2.7cm3。 9．1∶3 【分析】根据圆锥的体积＝底面积×高÷3，圆柱的体积＝底面积×高，解答此题即可。 【详解】假设圆锥和圆柱的高都是1，圆柱的底面半径是1，则圆锥的底面半径为3。 圆柱的体积：π××1＝π 圆锥的体积：π××1÷3＝3π π∶3π＝1∶3 因此，一个圆柱和一个圆锥的高相等，圆锥的底面半径是圆柱的3倍，那么圆柱与圆锥的体积比是1∶3。 10．6 【分析】从图中可知，左边瓶中的饮料是圆柱形，杯子是圆锥形，由d1＝d2可知，它们的底面半径相等，根据底面积公式S＝πr2，可知圆柱形饮料与圆锥形杯子的底面积相等，设它们的底面积是S，高度h1＝h2＝h。 根据圆柱的体积公式V＝Sh，圆锥的体积（容积）公式V＝Sh，分别求出饮料的体积和杯子的容积，再用饮料的体积除以杯子的容积，即可求出最多能倒满的杯数。 【详解】设h1＝h2＝h，圆柱形饮料与圆锥形杯子的底面积都是S。 饮料的体积：S×（h1＋h2）＝ S×2h＝2Sh 杯子的容积：×S×h1＝Sh 2Sh÷Sh ＝2÷ ＝2×3 ＝6（杯） 最多能倒满6杯。 11．75.36 【分析】等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，把一个底面半径是2分米，高是90厘米的圆柱形木料，削成两个相对的，且高相等的圆锥形物体，底面积和原来的圆柱底面积相等，则1个圆锥的体积是圆柱体积的，两个相对圆锥的体积是圆柱体积的，所以削去部分的体积是圆柱形木料体积的（1－），根据圆柱的体积公式：V＝Sh，把数据代入公式解答。 【详解】90厘米＝9分米 3.14×22×9×（1－） ＝113.04× ＝75.36（立方分米） 所以削去部分的体积是75.36立方分米。 12．150 【分析】先清楚等底等高的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的3倍。再结合本题中的溢水情况解题。在容器中放入1个圆柱形铁块和3个与圆柱等底等高的圆锥形铁块，那么溢出水的体积等于这4个铁块体积的和，就等于（3＋3）个圆锥形铁块的体积。用溢出水的重量除以（3＋3），求出每个圆锥形铁块的体积。 【详解】900÷（3＋3） ＝900÷6 ＝150（cm3） 所以每个圆锥形铁块的体积是150cm3。 13．4 【分析】甲容器注满水，水的体积就是圆锥的体积，将这些水倒入乙容器（圆柱）中，因为体积相等、底面积相等，所以圆锥的高是圆柱内水高的3倍。据此解答。 【详解】12÷3＝4（cm） 这时乙容器中的水高4cm。 14．1∶2 【分析】把甲、乙两个三角形看作一个整体，是一个长方形，旋转后形成一个圆柱，即甲、乙两个三角形旋转后所形成的立体图形的体积之和等于这个圆柱的体积。三角形甲按图示要求旋转后形成一个圆锥，这个圆锥与形成的圆柱等底等高，体积是圆柱的，故三角形乙按图示要求旋转后形成的立体图形的体积是圆柱的，则甲、乙两个三角形旋转后形成的两个立体图形的体积比是1∶2。 【详解】根据分析： V甲＝底面积×高× V乙＝圆柱的体积－底面积×高×＝×底面积×高 V甲∶V乙＝（底面积×高×）∶（×底面积×高）＝1∶2 甲与乙分别所形成的立体图形的体积比是1∶2。 15． 54 4 【分析】一个圆柱削成一个最大的圆锥，说明这个圆锥和圆柱等底等高。等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，那么削去部分是圆柱体积的（1－）。将圆锥的体积乘3，先求出圆柱的体积，再将圆柱的体积乘（1－），求出削去部分的体积。 如果一个圆柱和一个圆锥的体积和底面积分别相等，那么圆锥的高是圆柱高的3倍。将圆锥的高除以3，即可求出圆柱的高。 【详解】27×3×（1－） ＝81× ＝54（cm3） 12÷3＝4（dm） 一个圆柱削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是27cm3，削去部分的体积是54cm3；如果一个圆柱和一个圆锥的体积和底面积分别相等。已知圆锥的高是12dm，圆柱的高是4dm。 16．520毫升 【分析】甲烧杯的圆柱形零件排掉水的体积是600毫升与480毫升的差。因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以用圆柱零件的体积除以3就是圆锥形零件排掉水的体积，据此就能求出乙烧杯中水面的刻度。 【详解】 （毫升） （毫升） 答：乙烧杯水面刻度显示应是520毫升。 【点睛】此题考查排水法求体积以及等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系，解题需要灵活运用等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍。 17．251.2立方厘米 【分析】把高30厘米的圆柱形木棒截成两段后，表面积增加的50.24平方厘米是2个圆柱底面的面积，据此求出一个底面的面积；用这根木棒的高度除以2，求出每一段木棒的高度；用底面积乘高，即可求出其中一段的体积。因为等底等高的圆锥体积是圆柱体积的，所以削去部分的体积是这段圆柱体积的。据此解答。 【详解】50.24÷2＝25.12（平方厘米） 30÷2＝15（厘米） 25.12×15×（1－） ＝376.8× ＝251.2（立方厘米） 答：削去的体积是251.2立方厘米。 【点睛】本题关键是先由截圆柱增加的表面积求出底面积，再算一段圆柱体积，最后利用等底等高圆锥与圆柱的体积关系，求出削去部分的体积。 18．不合理；理由见详解 【分析】等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，这里两种冰沙等底等高，那么圆柱冰沙的体积是圆锥沙冰体积的3倍。已知圆柱冰沙价格为15元，因为圆柱冰沙体积是圆锥冰沙体积的3倍，所以将圆柱冰沙价格除以3，可得到等体积时，圆锥冰沙的合理价格。再比较求出的合理定价和实际定价，从而判断是否合理。 【详解】等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍。 （元） 答：这样定价不合理，建议圆锥形沙冰定价为5元。 19．36分；2厘米 【分析】根据圆锥体积公式V＝πr2h，求出水的体积，水的体积÷水的流速＝水漏完需要的时间； 已知圆柱与圆锥等体积等底面积，那么圆锥的高是圆柱高的3倍，用圆锥的高除以3，即可求出圆柱里水的高度。 【详解】×3.14×32×6 ＝×3.14×9×6 ＝56.52（立方厘米） 56.52÷1.57＝36（分） 6÷3＝2（厘米） 答：圆锥内的水漏完需要36分，此时圆柱里水的高度是2厘米。 20．10厘米 【分析】由图可知圆柱和圆锥等底，圆锥的高是6厘米。根据圆柱体积公式V＝πr2h（r为半径，h为圆柱的高），圆锥体积公式V＝πr2h（r为半径，h为圆锥的高），因为圆柱和圆锥等底，所以体积相等时，圆柱高＝×圆锥高，即当圆锥中装满水时，这些水在圆柱中的高度为×6＝2厘米。原来圆柱中水的高度是6厘米，将容器倒过来后，圆锥部分装了相当于圆柱中2厘米高的水，那么圆柱中剩下的水的高度为6－2＝4厘米。所以从水面到圆锥顶点的高度为圆锥的高加上圆柱中剩下水的高度，即6＋4＝10厘米。 【详解】因为圆柱和圆锥等底，所以体积相等时，圆柱高＝×圆锥高。 ×6＝2（厘米） 6－2＝4（厘米） 6＋4＝10（厘米） 答：图2从水面到圆锥顶点的高度是10厘米。 答案第2页，共10页 答案第1页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $