精品解析：安徽省蚌埠市固镇县毛钽厂实验中学2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题

固镇县毛钽厂实验中学2024~2025学年高三3月月考 数学 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效． 3．本卷命题范围：高考范围． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指、对函数性质运算求解； 【详解】根据对数函数的性质，当时，故， 根据指数函数的性质，当时，，故， 所以， 故选：B 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的运算法则计算即可. 【详解】由，得，所以， 所以. 故选：A. 3. 已知向量，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】由已知，可得，再由，利用坐标运算，即可求得. 【详解】因为， 所以， 若，则，所以. 故选：D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先应用二倍角余弦及正弦公式化简，再应用弦化切计算求解. 【详解】， 故选:A． 5. 已知一个圆柱的轴截面是正方形，一个圆锥与该圆柱的底面半径及侧面积均相等，则圆柱与圆锥的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆柱的底面半径为，圆锥的母线长为，依题意得到求得，继而求出圆锥的高，最后求即得. 【详解】设圆柱的底面半径为，因为圆柱轴截面是正方形，所以圆柱的高为， 依题意圆锥的底面半径为，设圆锥的母线长为， 因为圆锥与该圆柱的侧面积相等，所以，解得， 则圆锥的高为， 圆柱的体积，圆锥的体积， 所以. 故选：B. 6. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由分段函数在两个区间上的单调性分别求出的范围，再考虑由时左右函数值的大小关系得到的的范围，求其交集即得 【详解】当时， ,依题须使恒成立，则； 当时，由在上递增，须使，即； 又由解得 . 综上可得，的取值范围是. 故选：C. 7. 已知函数与，则下列说法错误的是（ ） A. 与存在相同的对称轴 B. 与存在相同的对称中心 C. 与的值域相同 D. 与在上有相同的单调性 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦型函数的对称轴方程和对称中心坐标，结合正弦型函数的值域性质、单调性逐一判断即可. 【详解】对于，令，得的对称轴为， 令，得的对称轴为，显然与有相同的对称轴，A正确； 对于，令，得的对称中心为， 令，得的对称中心为， 由得， 显然不存在整数使成立，故与没有相同的对称中心，B错误； 对于C，与的值域显然均为，C正确； 对于D，当时 由在上递增， 由在上递减， 由在上递增， 由在上递减， 与均在上单调递增，在上单调递减，D正确. 故选：B 8. 已知定义在上的函数满足为奇函数，且的图象关于直线对称，若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数性质、对称性求得、、，进而有，再确定的周期，利用周期性求函数值的和. 【详解】由为奇函数，知的图象关于点对称，则， 由，得． 由的图象关于直线对称，则的图象关于直线对称， 所以，， 综上，， 由上，，得， 所以，则4为的一个周期， 所以. 故选：C 【点睛】关键点点睛：根据函数的奇偶性、对称性求函数值，并确定周期为关键. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某校组织消防知识主题演讲比赛，10位评委给甲､乙两位同学演讲的评分如图所示（满分10分）．根据图中数据，下列结论正确的是（ ） A. 甲的评分的极差小于乙的评分的极差 B. 甲的评分的60%分位数等于乙的评分的60%分位数 C. 甲的评分的平均数等于乙的评分的平均数 D. 甲的评分的方差小于乙的评分的方差 【答案】BC 【解析】 【分析】结合已知数据应用极差定义判断A，应用分位数定义计算判断B，应用平均数计算求解判断C，根据波动性判断方差判断D. 【详解】甲，乙的评分从小到大排列为 甲 6.5 7.0 7.5 8.0 8.0 8.0 8.5 9.0 9.0 9.5 乙 7.5 7.5 7.5 8.0 8.0 8.0 8.5 8.5 8.5 9.0 甲的评分的极差为，乙的评分的极差为，甲的评分的极差大于乙的评分的极差，A错误； 因为，所以评分的分位数为第6个数与第7个数的平均数， 所以甲的评分的分位数为，乙的评分的分位数为，B正确； 所以甲的评分的平均数等于乙的评分的平均数，C正确； 由图可知，甲的评分的波动性较大，乙的评分的波动性较小， 甲，乙评分的平均数相等，所以甲的评分的方差大于乙的评分的方差，D错误， 故选：BC． 10. 记为等差数列的前项和，已知，的公差为，且，则（ ） A. B. C. D. 满足的的最大值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题设及等差数列前n项和公式有，即有，结合已知得到，，，依此为前提判断各项正误即可. 【详解】由，得， 即①，则， 又，所以，又， 若，则，，不合题意， 所以，则，，A正确； 结合①知，，所以，则， 又，所以，B正确； 由，得，所以， 由，所以， 由，所以， 所以，C正确； 由，得，所以， 由C知，，所以的最大值为，D错误. 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：根据等差数列前项和公式及已知得到，，为关键. 11. 到两个定点的距离之积为大于零的常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.设和且，动点满足，动点的轨迹显然是卡西尼卵形线，记该卡西尼卵形线为曲线，则下列描述正确的是（ ） A. 曲线的方程是 B. 曲线关于坐标轴对称 C. 曲线与轴没有交点 D. 的面积不大于 【答案】ABD 【解析】 【分析】由已知，利用两点间距离公式，可得动点的轨迹方程，即可判断A；由对称性代入即可判断B；在的轨迹方程中令，可解出，即可判断C；由三角形的面积公式，即可判断D. 【详解】设，由， 得， 化简得，故A正确； 该方程中把改为或把改为方程均不变，故B正确； 在方程中，令得， 当时，或，当时，，当时，，故C不正确； ，故D正确. 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若､是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的定义算出中，，，由是等边三角形得，利用余弦定理算出，结合双曲线离心率公式即可算出双曲线的离心率. 【详解】根据双曲线的定义，可得， 因为是等边三角形，即， 所以，即， 又，所以， 因为中，，，， 所以， 即，解之得， 由此可得双曲线的离心率． 故答案为： 13. 已知函数，若对，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求导函数再根据导函数正负得出函数单调性即可得出函数的最小值，再把恒成立问题转化为最值计算求解. 【详解】由题可得， 当时，，在上递减；当时，，所以在上递增； 则， 所以，又，即，则． 故答案为：. 14. 表示实数中的较大者，已知均为正数，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】按和分类，分别应用函数新定义结合基本不等式计算求解. 【详解】按和分类． 记． 当时，， 当且仅当时，取得等号； 当时，， 当且仅当时，取得等号． 综上可知，的最小值为． 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字悦明､证明过程及演算步骤． 15. 记的内角的对边分别为. （1）求角； （2）若外接圆的面积是，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用正弦定理实现边角转化，结合余弦定理进行求解即可； （2）根据正弦定理，结合外接圆的面积可以求出，根据三角形面积公式、基本不等式进行求解即可. 【小问1详解】 由， 得， 化简得， 因为，所以. 【小问2详解】 设外接圆的半径为，则，所以， 又，所以， 所以， 又，所以，当且仅当时“”成立， 即面积的最大值为. 16. 设为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，点关于原点的对称点为，四边形的面积为. （1）求椭圆的方程； （2）若过的直线交椭圆于两点，求证：为定值. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的对称性，结合平行四边形的判定定理、三角形面积公式进行求解即可； （2）根据直线的斜率是否为零，结合一元二次方程根与系数关系分类讨论进行求解即可. 【小问1详解】 设椭圆的焦距为，因为， 所以四边形为平行四边形，其面积设为，则 ，所以， 所以， 又， 解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 ，当直线与轴重合时，的方程为， 此时不妨令，则； 当直线与轴不重合时，的方程可设为， 由，得， 设，则， 综上，为定值4. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据直线所过点的特征进行恰当选择直线方程. 17. 如图，在三棱柱中，平面平面，平面平面. （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）在内任取点，作，交于点，作，交于点，利用面面垂直推得平面，即得，同理，再由线线垂直证得线面垂直即得； （2）根据题设条件建系，写出相关点坐标，求出相关向量坐标，利用空间向量的夹角公式即可求得. 【小问1详解】 如图1，取为内一点， 作，交于点，作，交于点， 因为平面平面且平面平面平面， 所以平面，因为平面，所以， 同理，因为，且平面，所以平面. 【小问2详解】 因为两两垂直，以为原点，建立空间直角坐标系，如图2所示. 依题意. 则. 设平面的法向量为，则， 令，则，所以. 设直线与平面所成的角为，则. 因，故，故直线与平面所成角的余弦值为. 18. 已知函数，为的导函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若的两个极值点分别， （i）求实数的取值范围； （ii）证明：． 【答案】（1）； （2）（i）； （ii）由（i）不妨设， 由图象知，当时，直线恒在曲线的下方． 下面证明：令，求导得， 设，求导得， 当时，，当时，， 函数在上递减，在上递增， 当时，，且，因此在上恒成立， 则函数在上单调递减，，于是， 设在切线上，则，， 又，则，即， 要证，需证，即证， 由（i）知，则，又，因此， 所以． 【解析】 【分析】（1）把代入，求出，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）（i）由是方程的两根，构造函数，利用直线与的图象有两个交点，利用导数求出范围；（i）确定的范围，利用导数证明当时，恒成立，再结合（1）中切线方程推理得证. 【小问1详解】 当时，，则，， 求导得，则， 所以曲线在处的切线方程为. 【小问2详解】 （i），依题意，是方程的两根， 即，， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，则， 而当时，，且，方程有两根，即直线与函数的图象有两个交点， 则，所以实数的取值范围为. （ii）略 【点睛】关键点点睛：第2问，证明不等式的关键是证明当时，直线恒在曲线的下方. 19. 马尔科夫链因俄国数学家安德烈・马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第次状态无关.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.现有两个盒子，各装有2个黑球和1个红球，现从两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记盒子中红球的个数为，恰有1个红球的概率为. （1）求的值； （2）求的值（用表示）； （3）求证：的数学期望为定值. 【答案】（1）， （2） （3）因为，① ② 所以①一②，得. 又因为，所以，所以. 的可能取值是， 所以的概率分布列为 0 1 2 所以. 所以的数学期望为定值1. 【解析】 【分析】（1）根据古典概型运算公式，结合组合的定义进行求解即可； （2）根据古典概型运算公式，可以得到含的代数式表示，运用构造法，结合等比数列的定义进行求解即可； （3）根据古典概型运算公式，结合题意得到、、、之间的关系，结合数学期望的运算公式进行求解即可. 【小问1详解】 设第次操作后盒子中恰有2个红球的概率为，则没有红球的概率为. 由题意知， 【小问2详解】 因为. 所以. 又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列. 所以， 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题的关键是寻求、 之间的关系，利用等比数列的定义进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 固镇县毛钽厂实验中学2024~2025学年高三3月月考 数学 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效． 3．本卷命题范围：高考范围． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知一个圆柱的轴截面是正方形，一个圆锥与该圆柱的底面半径及侧面积均相等，则圆柱与圆锥的体积之比为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数与，则下列说法错误的是（ ） A. 与存在相同的对称轴 B. 与存在相同的对称中心 C. 与的值域相同 D. 与在上有相同的单调性 8. 已知定义在上的函数满足为奇函数，且的图象关于直线对称，若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某校组织消防知识主题演讲比赛，10位评委给甲､乙两位同学演讲的评分如图所示（满分10分）．根据图中数据，下列结论正确的是（ ） A. 甲的评分的极差小于乙的评分的极差 B. 甲的评分的60%分位数等于乙的评分的60%分位数 C. 甲的评分的平均数等于乙的评分的平均数 D. 甲的评分的方差小于乙的评分的方差 10. 记为等差数列的前项和，已知，的公差为，且，则（ ） A. B. C. D. 满足的的最大值为 11. 到两个定点的距离之积为大于零的常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.设和且，动点满足，动点的轨迹显然是卡西尼卵形线，记该卡西尼卵形线为曲线，则下列描述正确的是（ ） A. 曲线的方程是 B. 曲线关于坐标轴对称 C. 曲线与轴没有交点 D. 的面积不大于 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若､是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为______. 13. 已知函数，若对，则实数的取值范围为__________． 14. 表示实数中的较大者，已知均为正数，则的最小值为__________． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字悦明､证明过程及演算步骤． 15. 记的内角的对边分别为. （1）求角； （2）若外接圆的面积是，求面积的最大值. 16. 设为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，点关于原点的对称点为，四边形的面积为. （1）求椭圆的方程； （2）若过的直线交椭圆于两点，求证：为定值. 17. 如图，在三棱柱中，平面平面，平面平面. （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的余弦值. 18. 已知函数，为的导函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若的两个极值点分别， （i）求实数的取值范围； （ii）证明：． 19. 马尔科夫链因俄国数学家安德烈・马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第次状态无关.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.现有两个盒子，各装有2个黑球和1个红球，现从两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记盒子中红球的个数为，恰有1个红球的概率为. （1）求的值； （2）求的值（用表示）； （3）求证：的数学期望为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $