精品解析：辽宁省葫芦岛市兴城市七校协作体2024-2025学年高一下学期3月联考数学试题

2024-2025学年度（下）七校协作体3月高一联考 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设命题，，则的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知，是不共线的向量，，，那么，，三点共线的充要条件为（ ）． A B. C. D. 4. 某科研团队对某产品的一项新功能进行了8次测试，将不合格、合格、良、优的结果分别用0，1，2，3标记，若8次测试结果中有3次不合格、3次合格、1次良、1次优，则对于标记后的数据，下列结论正确的是（ ） A. 75%分位数为1 B. 平均数为1.2 C. 方差为1 D. 极差为4 5. 若函数且在上为减函数，则函数的图象可以是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数（且）在上单调递增，且，则（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 27 7. 已知函数是定义在上是偶函数，当时，，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（ ） A. 39 B. 52 C. 49 D. 36 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增是（ ） A B. C. D. 10. 下列命题正确的有（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，，则 11. 已知函数，函数满足，则（ ） A B. 函数的图象关于点中心对称 C. 若实数、满足，则 D. 若函数与图象的交点为，，…，，则. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的单调递减区间是______________. 13. 已知向量，，若与平行，则______________. 14. 记表示，二者中较大的一个，函数，，若，，使得成立，则的取值范围是______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15 已知集合，. （1）当时，求，； （2）若“”是“”的必要不充分条件，若实数的取值范围. 16. 如图，在△ABC中，点E是CD的中点，AE与BC相交于F，设，. （1）用，表示，； （2）若在平面直角坐标系xOy中，已知点，，，求. 17. 已知函数为幂函数，且满足. （1）求实数的值； （2）若函数，其定义域为. ①根据定义证明在上为减函数； ②求使不等式成立的实数的取值范围. 18. 为了加强对数学文化的学习，某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷（满分100分），并对整个高三年级的学生进行了测试.现从这些学生的成绩中随机抽取了50名学生的成绩（单位：分），按照，，…，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图.（假设每名学生的成绩均不低于50分）. （1）求频率分布直方图中的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）用样本估计总体，若高三年级共有2000名学生，试估计高三年级这次测试成绩不低于75分的人数； （3）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中任意抽取3人参加这次考试的质量分析会，试求成绩在的学生至多有2人被抽到的概率. 19. 已知函数， . （1）证明：为偶函数； （2）若函数的图象与直线没有公共点，求 a的取值范围； （3）若函数，是否存在 m，使最小值为0.若存在，求出m的值；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度（下）七校协作体3月高一联考 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的定义即可求解. 【详解】因为，， 所以． 故选:B． 2. 设命题，，则的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题求解即可. 【详解】因为命题，为存在量词命题， 所以其否定是：，. 故选：B 3. 已知，是不共线的向量，，，那么，，三点共线的充要条件为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】若、、三点共线，则向量与平行，根据题中等式结合向量平行的充要条件列式，即可找出使、、三点共线的充要条件． 【详解】解：若、、三点共线，则向量 即存在实数，使得， ， ，可得，消去得 即、、三点共线的充要条件为 故选：B． 4. 某科研团队对某产品的一项新功能进行了8次测试，将不合格、合格、良、优的结果分别用0，1，2，3标记，若8次测试结果中有3次不合格、3次合格、1次良、1次优，则对于标记后的数据，下列结论正确的是（ ） A. 75%分位数为1 B. 平均数为1.2 C. 方差为1 D. 极差为4 【答案】C 【解析】 【分析】写出测试结果标记后得到数据，再利用极差，平均数，方差，百分位数的定义以及计算公式即可求解. 【详解】将8次测试结果标记后得到数据0，0，0，1，1，1，2，3， 对于A：因为，所以数据的75%分位数为：，故A错误； 对于B：平均数为，故B错误； 对于C：方差为，故C正确； 对于D：极差为，故D错误． 故选：C 5. 若函数且在上为减函数，则函数的图象可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由指数函数的单调性可得，求出函数的定义域，结合函数的性质和图象的平移变换即可求解. 【详解】因为函数且在上为减函数， 所以， 函数的定义域为，故排除，； 且函数为偶函数， 当时，， 的图象由的图象向右平移一个单位得到， 且在定义域范围内是减函数， 故正确. 故选：. 6. 已知函数（且）在上单调递增，且，则（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 27 【答案】C 【解析】 【分析】根据在上单调递增得，由代入解析式通过解方程即可得解. 【详解】因为函数在上单调递增，所以， 因为，所以，即， 解得或（舍），所以. 故选：C 7. 已知函数是定义在上是偶函数，当时，，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据偶函数的性质，结合函数的单调性解不等式. 【详解】因为函数为偶函数，所以函数图象关于轴对称； 又时，，所以函数在上单调递增，且， 所以函数在上单调递减，且. 作函数草图如下： 对不等式， 当时，； 当时，. 综上可知：不等式的解集为： 故选：B 8. 权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（ ） A. 39 B. 52 C. 49 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】根据权方和不等式的定义，将函数变形为：，再根据权方和不等式求出最小值即可. 【详解】因为， 因为，所以，， 根据权方和不等式有：， 当且仅当时，即时等号成立. 所以函数的最小值为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据权方和不等式定义将函数解析式变形，从而利用权方和不等式求最值. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性定义，及函数的单调性逐个选项判断即可. 【详解】对于A选项，的定义域为， 定义域不关于原点对称，所以函数不具有奇偶性，A错误； 对于B选项，的定义域为，且， 所以函数为偶函数， 当时，，根据指数函数的性质， 为增函数，所以B正确； 对于C选项，的定义域为，且， 所以函数为偶函数， 当时，根据二次函数的性质有为增函数， 所以C正确； 对于D选项，的定义域为， 定义域不关于原点对称，所以函数不具有奇偶性，D错误. 故选：BC 10. 下列命题正确的有（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】举例说明A选项错误；利用不等式的基本性质判断BC的真假；结合对数的运算，利用基本不等式判断D的真假. 【详解】对A：如，，但不成立，故A错误； 对B：由，又，所以，即，故B正确； 对C：因为：，所以，故C正确； 对D：由，所以，又，所以且. 所以，因为，所以“”不成立.故D正确. 故选：BCD 11. 已知函数，函数满足，则（ ） A. B. 函数的图象关于点中心对称 C. 若实数、满足，则 D. 若函数与图象交点为，，…，，则. 【答案】BD 【解析】 【分析】考虑的值，判断A的真假；设，研究的值，判断B的真假；举反例说明C是错误的；根据函数图象的对称性，判断D的真假. 【详解】对A：因为， 且， 所以，故A错误； 对B：设，由A可知：， 所以函数的图象关于点中心对称，故B正确； 对C：因为，，但，故C错误； 对D：由以上可知，函数与的图象都关于点对称. 若函数在处无定义，则函数与的图象的交点个数为偶数， 若，则与，与，都关于点对称， 所以，， 所以. 若数在处有意义，则，则函数与的图象的交点个数为奇数， 若，则与，与，都关于点对称，且，， 所以，，， 所以，故D正确. 故选：BD 【点睛】结论点睛：判断函数的对称性，可利用以下结论来转化： ①函数图象关于点对称，则或； ②函数的图象关于直线对称，则或. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的单调递减区间是______________. 【答案】## 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，令，则，再根据复合函数的单调性，求出单调区间，即得结果. 【详解】由，得，则函数的定义域为， 令，，则， 函数的对称轴为， 在区间上单调递增，在区间上单调递减， 因为为增函数，根据复合函数同增异减， 要使函数单调递减，则需函数单调递减， 所以原函数的单调递减区间为. 故答案为： 13. 已知向量，，若与平行，则______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算结合向量平行的条件求参数的值. 【详解】因为，，且， 所以. 故答案为： 14. 记表示，二者中较大的一个，函数，，若，，使得成立，则的取值范围是______________. 【答案】 【解析】 【分析】先并根据题意确定函数，的值域与函数，的值域的包含关系，再求这两个函数的值域，根据集合的包含关系求参数的取值范围. 【详解】由题意：函数，的值域是函数，的值域的子集. 且因为，所以当时，. 因为函数，的值域是的子集， 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据题意，得到函数，的值域是函数，的值域的子集. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）当时，求，； （2）若“”是“”的必要不充分条件，若实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合交并补的运算法则进行计算即可. （2）先明确集合的包含关系，根据集合的包含关系求参数的取值范围. 【小问1详解】 由题得，， 当时，， 或，. 【小问2详解】 因为“”是“”的必要不充分条件，所以B是A的真子集， 当时，，满足题意. 当时，由题得或，所以. 综上所述，.即的取值范围是： 16. 如图，在△ABC中，点E是CD的中点，AE与BC相交于F，设，. （1）用，表示，； （2）若在平面直角坐标系xOy中，已知点，，，求. 【答案】（1）； （2）5 【解析】 【分析】（1）利用向量加法减法的几何意义即可用，表示，； （2）利用向量共线充要条件求得的坐标，进而即可求得的值. 【小问1详解】 在△ABC中，点E是CD的中点，AE与BC相交于F， 【小问2详解】 在平面直角坐标系xOy中，已知点，，， 则，， 则 设，则 由，可得，解之得 则，则 17. 已知函数为幂函数，且满足. （1）求实数的值； （2）若函数，其定义域为. ①根据定义证明在上为减函数； ②求使不等式成立的实数的取值范围. 【答案】（1） （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义和偶函数的性质求解即可； （2）①利用单调性的定义按照步骤证明即可； ②利用的单调性解不等式即可. 【小问1详解】 因为为幂函数， 所以，解得或， 又因为，所以为奇函数，故. 【小问2详解】 ①证明：由（1）知，则， 设， 则， 因为，所以，所以， 故. 所以在上为减函数. ②因为在上为减函数.，其定义域为， 所以等价于，解得， 所以实数的取值范围为. 18. 为了加强对数学文化的学习，某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷（满分100分），并对整个高三年级的学生进行了测试.现从这些学生的成绩中随机抽取了50名学生的成绩（单位：分），按照，，…，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图.（假设每名学生的成绩均不低于50分）. （1）求频率分布直方图中的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）用样本估计总体，若高三年级共有2000名学生，试估计高三年级这次测试成绩不低于75分的人数； （3）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中任意抽取3人参加这次考试的质量分析会，试求成绩在的学生至多有2人被抽到的概率. 【答案】（1），平均数为；中位数为 （2）900 （3） 【解析】 【分析】（1）根据小矩形的面积之和等于1可求出的值，由小矩形底边中点横坐标乘以小矩形的面积之和可得平均数，根据中位数左右两边小矩形面积相等可得中位数； （2）由频率分布直方图求出不低于75分的频率再乘以2000即可求解； （3）分别求出成绩为，，应抽出的人数，求出基本事件的总数以及成绩在的学生至多有2人被抽包含的基本事件的个数，由古典概率公式即可求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得，第4组的频率为， 所以． 由频率分布直方图可估计所抽取的名学生成绩的平均数为： ． 由于前两组的频率之和为， 前三组的频率之和为，故中位数在第3组中． 设中位数为，则有，解得，即所求的中位数为． 【小问2详解】 由（1）可知，名学生中成绩不低于分的频率为 ，用样本估计总体， 可以估计高三年级名学生中成绩不低于75分的人数为． 【小问3详解】 由（1）可知，位于，，的人数分别为： ，，， 这三组中所抽取人数分别为，，， 设事件 “成绩在的学生至多有2人被抽到”， 则=“成绩在的学生全都被抽到” 记成绩为的名学生分别为，，，成绩为的2名学生分别为，，成绩为的名学生为， 则从中随机抽取人的所有基本事件为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共个， 成绩在的学生全都被抽到包含的基本事件为，有1个． 故． 19. 已知函数， . （1）证明：为偶函数； （2）若函数的图象与直线没有公共点，求 a的取值范围； （3）若函数，是否存在 m，使最小值为0.若存在，求出m的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存，. 【解析】 【分析】（1）证明函数的奇偶性，用定义证明； （2）根据函数的图象与直线没有公共点，用分离参数法； （3）复合函数问题，用换元法，令，讨论即可. 【详解】解：（1）证明：因为，又 ， 即， 所以偶函数. （2）原题意等价于方程无解， 即方程无解. 令， 因为， 显然， 于是，即函数的值域是. 因此当时满足题意. 所以a的取值范围是. （3）由题意，. 令，则. 则，. ①当时，， ，解得； ②当时， ，解得（舍去）； ③当时， ，解得（舍去）. 综上，存在，使得最小值为0. 【点睛】方法点睛： （1）对函数奇偶性的证明用定义：或； （2）分离参数法是求参数范围的一种非常常用的方法. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $