精品解析：2025年湖南省长沙市长郡教育集团联考九年级中考一模数学试题

九年级第一次学情分析数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项） 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了倒数，理解倒数的概念是解题的关键．倒数的定义是乘积为1的两个数互为倒数，根据倒数的定义回答即可． 【详解】解：∵ 一个数 的倒数为 ， ∴ 的倒数为 ＝ ， 故选 ：B 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，完全平方公式的应用，掌握同底数幂的除法法则，合并同类项法则，幂的乘方的法则，完全平方公式是解决问题的关键．利用同底数幂的除法法则，完全平方公式，幂的乘方的法则，合并同类项法则，对每个选项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A.，则A不符合题意； B. ，则B不符合题意； C.，则C符合题意； D.，不是同类项，无法合并，则D不符合题意； 故选：C． 3. 为弘扬优秀传统文化，继承和发扬民间剪纸艺术，某中学开展了“剪纸进校园非遗文化共传承”的项目式学习，下列剪纸作品的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 4. 世界上最早记载潜望镜原理的古书，是公元前二世纪中国的《淮南万毕术》．书中记载了这样的一段话：“取大镜高悬，置水盘于其下，则见四邻矣”．现代潜艇潜望镜是在20世纪初发明的．如图是潜望镜工作原理的示意图，那么它所应用的数学原理是（　　） A. 内错角相等，两直线平行 B. 同旁内角互补，两直线平行 C. 对顶角相等 D. 两点确定一条直线 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定．熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键．根据内错角相等，两直线平行，进行判断即可． 【详解】解：由题意知，所应用的数学原理是内错角相等，两直线平行； 故选：A． 5. 为贯彻落实教育部《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》精神，把劳动教育纳入人才培养全过程，某校组织学生周末赴劳动教育实践基地开展锄地、除草、浇水、剪枝、捉鱼、采摘六项实践活动，已知六个项目参与人数（单位：人）分别是：35，38，40，42，42，43．则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 38，39 B. 42，40 C. 42，41 D. 42，42 【答案】C 【解析】 【分析】根据众数和中位数的定义即可求解. 【详解】解：已知六个项目参与人数分别是：35，38，40，42，42，43， 42出现了2次，出现的次数最多， 众数为42． 已知六个项目参与人数分别是：35，38，40，42，42，43， 处在最中间的两位数为40，42， 中位数为：． 故选：C． 【点睛】本题考查了众数和中位数的定义．解题的关键在于熟练掌握众数和中位数定义．一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 6. 如图，小颖按下面方法用尺规作角平分线：在已知的 的两边上，分别截取 ，使 ．再分别以点C，D为圆心、大于 的长为半径作弧，两弧在 内交于点P，作射线，则射线就是 的平分线．其作图原理是：，这样就有，那么判定这两个三角形全等的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据SSS证明三角形全等即可； 【详解】解：由作图可知，， 在和中， ， ∴， ∴， 即射线就是 的平分线， 故选：D． 【点睛】本题考查作图−复杂作图，全等三角形的判定，角平分线的判定等知识，解题的关键是读懂图形信息，灵活运用所学知识解决问题． 7. 一定质量的氧气，它的密度是它的体积的反比例函数，当时，．若某一时刻氧气的密度，则此时的体积V是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，先利用待定系数法求出对应的反比例函数解析式，再求出当时，V的值即可得到答案， 【详解】解：设， 由题意得， ∴， ∴， 当时，，解得， 故选：B． 8. 《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试向6210文能买多少株椽？（椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆）设这批椽有x株，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设这批椽有x株，根据“少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”，列出方程，即可求解． 【详解】解：设这批椽有x株，根据题意得： 故选：B． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 9. 要测一个残损轮子的半径，小丽的方案如下：如图，在轮子圆弧上任取两点A，B，再作弦的垂直平分线交于点C，交圆弧于点D，测出和的长度，即可计算出轮子的半径．若测得，则轮子的半径为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．由垂径定理，可得出的长；连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的直径长． 【详解】解：设圆心为O，连接． 在中，， 根据勾股定理得：，即：， 解得：； 故轮子的半径为， 故选：B． 10. 如图，三角形纸片中，， ，．沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处：再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查直角三角形中的翻折变换，解直角三角形，解题的关键是掌握翻折的性质，熟练利用勾股定理列方程．根据折叠的性质得，，， ，即可得 ，则，设，可得，即可解得．再求解即可． 【详解】解：沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处， ，， 折叠纸片，使点与点重合， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 解得， ， 故选：B. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解． 【详解】解：根据题意且， 解得：， 故答案为：． 12. 若a是一元二次方程 的一个根，则的值是___________． 【答案】6 【解析】 【分析】将a代入 ，即可得出，再把整体代入，即可得出答案． 【详解】∵a是一元二次方程 的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，整体思想是本题的关键． 13. 截至月日，电影《哪吒》全球总票房突破 亿元，长沙万象城影院某天《哪吒》的票房累计约元，数字用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 如图，在 中，， ，．若以所在直线为轴，把 旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于_______． 【答案】 【解析】 【分析】运用公式（其中勾股定理求解得到的母线长 为5）求解． 【详解】由已知得，母线长 ==5，半径为3， ∴圆锥的侧面积是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，要学会灵活的运用公式求解． 15. 如图，中，，点在 的延长线上，，若平分，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题关键．由平行四边形的性质可知，， ，进而得出，再由等角对等边的性质，得到，即可求出的长． 【详解】解：在中，， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：5． 16. 四人分别姓张、李、高和陈，他们每人各任一个职务，四个职位是班长、学习委员、体育委员和劳动委员，已知： （1）体育委员下围棋很厉害，班长和姓李的同学都不是他的对手； （2）班长主持班会的时候，学习委员和姓张的同学都举手提了些建议； （3）学习委员分别给班长和姓李的同学辅导过功课； （4）体育委员参加篮球赛时，班长和姓高的同学一起为他助威． 根据以上信息，可以推断劳动委员姓______． 【答案】李 【解析】 【分析】本题考查了推断能力，根据题意进行逐一推断即可，正确理解题意进行推断是解题的关键． 【详解】解：由（）推出体育委员和班长不姓“李”， 由（）推出班长和学习委员不姓“张”， 由（）（）推出班长不姓“李”和“张”， 由（）（）推出学习委员不姓“张”和“李”， 由（）推出体育委员和班长不姓“高”， 到此可以依次推出班长姓“陈”，体育委员姓“张”，学习委员姓“高”，劳动委员姓“李”， 故答案为：李． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】首先计算负整数指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值和零指数幂，然后计算加减． 此题考查了负整数指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值和零指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先将的分子、分母分解因式，再约分化简，再计算减法，最后代入计算即可得出答案 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 19. 为深入贯彻“生命至上、健康第一”的理念，科学合理组织好2023年长沙市初中毕业升学体育考试，2023年长沙市体育中考方案有以下调整，（一）素质类项目：引体向上（男）或一分钟仰卧起坐（女）、实心球、立定跳远、一分钟跳绳（学生自选一项，报考前确定），分值10分．（二）技巧类项目：篮球运动、足球运动、排球向上垫球、200米游泳（学生自选一项，报考前确定），分值15分．（三）耐力跑项目：2023年取消男1000米、女800米耐力跑项目，该项目以15分满分计入总分，此项调整仅限2023年执行．某校根据学生实际情况男生可以从A（引体向上）、B（投掷实心球）、C（排球向上垫球）、D（一分钟跳绳）、E（篮球运动）、F（足球运动）、G（200米游泳）等七个项目中选考两项．据统计，某校初三男生都在“A”、“B”、“C”、“D”四个项目中选择了两项作为自己的体育中考项目．根据学生选择情况，进行了数据整理，并绘制成如下统计图，结合图中信息，解答下列问题： （1）扇形统计图中C所对应的圆心角的度数是________； （2）请补全条形统计图； （3）为了学生能考出好成绩，该校安排每位体育老师负责指导A、B、C、D项目中的两项，若张老师随机选两项作为自己的指导项目，请用列表法或画树状图的方法求所选的项目恰好是A和C的概率． 【答案】（1） （2） 补全统计图如下所示： （3） 【解析】 【分析】（1）用360度乘以C项目的人数占比即可得到答案； （2）用C项目的人数除以其人数占比求出参与调查的总人数，进而求出A项目的人数，由此补全统计图即可； （3）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意得结果，最后利用概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解： ， 故答案为：； 【小问2详解】 解： 人， ∴参与调查的学生人数为600人， ∴A项目的人数为 人； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中所选的项目恰好是和的结果数有2种； ∴（所选的项目恰好是和）． 【点睛】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率，正确读懂统计图是解题的关键． 20. 如图，在矩形中，，相交于点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若， ，则四边形的面积为 ． 【答案】（1） 证明：，， 四边形是平行四边形， 在矩形中，，相交于点， ，， ， ， 平行四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据，，可得四边形是平行四边形，根据矩形的性质可推出，即可得证； （2）连接，交于点，根据四边形是菱形，可得，，，再根据勾股定理求出，进而得到，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，连接，交于点， 四边形是菱形， ，，， ， ， ， 菱形的面积为：， 故答案为：． 21. 近年来教育部要求学校积极开展素质教育，落实“双减”政策，泸县某中学把足球和篮球列为该校的特色项目．学校准备从体育用品商店一次性购买若干个篮球和足球．若购买3个篮球和2个足球共490元，购买2个篮球和3个足球共460元． （1）篮球、足球的单价各是多少元？ （2）根据学校实际需要，需一次性购买篮球和足球共100个，要求购买篮球和足球的总费用不超过9200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，请求出最省钱的一种购买方案． 【答案】（1）篮球的单价是110元，足球的单价是80元． （2）该校购买34个篮球，则购买66个足球最省钱． 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用等知识点，根据题意正确列出方程组和不等式成为解题的关键． （1）设篮球的单价是x元，足球的单价是y元，根据等量关系“购买3个篮球和2个足球共490元，购买2个篮球和3个足球共460元”列出方程组求解即可； （2）设该校购买m个篮球，则购买个足球，根据购买的总费用不超过9200元列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设篮球的单价是x元，足球的单价是y元， 依题意得：，解得：． 答：篮球的单价是110元，足球的单价是80元． 【小问2详解】 解：设该校购买m个篮球，则购买个足球， 购买篮球和足球的总费用 依题意得：， 解不等式①得：． 解不等式②得：． ∴m的取值范围为：， ∵购买篮球和足球的总费用，， ∴y随m的增大而增大， ∴当时，最省钱， ∴该校购买34个篮球，则购买66个足球最省钱． 答：该校购买34个篮球，则购买66个足球最省钱． 22. 如图，为圆O的直径，已知，点P在延长线上，平分． （1）求证：是圆O的切线； （2）若，圆的半径为5，求，的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ， ， ， ， ∴ ， ∵为半径， 是圆的切线． （2）， 【解析】 【分析】（1）连接，由平分线得，再根据，得到 ，再由垂直定理得到 ，即可得到结论 （2）先证明，设，再根据，得到，解方程即可的解 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，为直径， ， ， ， ， 设，， 在中，， 即， 解得（舍），， 故，． 【点睛】本题考查了切线的判定定理、相似三角形的判定和性质．解直角三角形，掌握相似三角形的性质是关键． 23. 法国数学家韦达在探究二次项系数为1的一元二次方程根的特征时发现，此时“韦达定理”可表述为：，．借此结论，小麓对“倍根方程”的根的特征的进行了探究． 定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．若函数的图象与函数的图象相交于A，B两点，其中一个点的横坐标等于另一点的横坐标的2倍，则称函数与函数互为“倍根函数”． （1）若是“倍根方程”，求k的值； （2）一次函数与反比例函数互为“倍根函数”，求k和b满足的数量关系； （3）已知是“倍根方程”，点是函数图象上一点，且，当时，的最大值和最小值的差是3，求a的值． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求方程的根，再根据“倍根方程”的定义求解即可； （2）联立方程组，得到，设两个函数的交点为，，根据一元二次方程的根与系数关系得到，，消去，即得答案； （3）对于方程，由“倍根方程”的定义可得， ，化简得，进一步推得，所以，再根据二次函数的性质可求得的最大值和最小值，由此列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：， ，， 当时，即， 解得， 当时，即， 解得， 或； 【小问2详解】 解：由得，， 设两个函数的交点为，，由“倍根函数”可知，， ①， ②， 得，， ； 【小问3详解】 解：方程的两根为，，其中， 由“倍根方程”可知或， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，最小， 当时，最大， 的最大值和最小值的差是3， ， 解得． 【点睛】本题考查了新定义问题，解一元二次方程，一元二次方程的根与系数关系，一次函数与反比例函数的交点问题，二次函数的图象与性质，正确理解题意是解题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图1，点E为线段上一点，过点E作轴，交x轴于点M，连接，交轴于点，当平分时，求直线的解析式； （3）如图2，点F是该抛物线上位于第四象限的一个动点，直线 分别与y轴、直线交于点D，E．若 ，， 的面积分别为，，，且满足，求点F的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，设出直线的解析式，求出点坐标，联立两个解析式求出点的横坐标，根据角平分线结合平行线的性质，推出，列出方程进行求解，即可； （3）根据同高三角形的面积比等于底边比，推出，进而推出过点作轴，过点 作轴，作，证明，推出同法（2）设出直线 解析式，联立解析式求出两点的横坐标，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设所求抛物线解析式为，当时， ，即： ∴， 解得， 故所求抛物线解析式为． 【小问2详解】 ∵， 当时，有， 解得， ， 由（1）可知：， ∴ ， ∴， 设直线 的解析式为， 将代入，得，解得 直线 的解析式为 ， 设直线的解析式为，把代入，得： ， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， 联立得，， 平分， ， 又轴， ， ∴， 过点作轴，则：， ∵， ， ， 解得， 直线的解析式为． 【小问3详解】 ， ，， 为同高三角形， ， ∴， 过点作轴，过点 作轴，作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同（2）设直线 的解析式， 由得，， 由得，， ，即， ，解得或 （舍）， ， 当时，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级第一次学情分析数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项） 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 为弘扬优秀传统文化，继承和发扬民间剪纸艺术，某中学开展了“剪纸进校园非遗文化共传承”的项目式学习，下列剪纸作品的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 世界上最早记载潜望镜原理的古书，是公元前二世纪中国的《淮南万毕术》．书中记载了这样的一段话：“取大镜高悬，置水盘于其下，则见四邻矣”．现代潜艇潜望镜是在20世纪初发明的．如图是潜望镜工作原理的示意图，那么它所应用的数学原理是（　　） A. 内错角相等，两直线平行 B. 同旁内角互补，两直线平行 C. 对顶角相等 D. 两点确定一条直线 5. 为贯彻落实教育部《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》精神，把劳动教育纳入人才培养全过程，某校组织学生周末赴劳动教育实践基地开展锄地、除草、浇水、剪枝、捉鱼、采摘六项实践活动，已知六个项目参与人数（单位：人）分别是：35，38，40，42，42，43．则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 38，39 B. 42，40 C. 42，41 D. 42，42 6. 如图，小颖按下面方法用尺规作角平分线：在已知的 的两边上，分别截取 ，使 ．再分别以点C，D为圆心、大于 的长为半径作弧，两弧在 内交于点P，作射线 ，则射线 就是 的平分线．其作图原理是：，这样就有，那么判定这两个三角形全等的依据是（ ） A. B. C. D. 7. 一定质量的氧气，它的密度是它的体积的反比例函数，当时，．若某一时刻氧气的密度，则此时的体积V是（ ） A. B. C. D. 8. 《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试向6210文能买多少株椽？（椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆）设这批椽有x株，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 9. 要测一个残损轮子的半径，小丽的方案如下：如图，在轮子圆弧上任取两点A，B，再作弦的垂直平分线交于点C，交圆弧于点D，测出和的长度，即可计算出轮子的半径．若测得，则轮子的半径为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，三角形纸片中，， ，．沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处：再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 12. 若a是一元二次方程 的一个根，则的值是___________． 13. 截至月日，电影《哪吒》全球总票房突破 亿元，长沙万象城影院某天《哪吒》的票房累计约元，数字用科学记数法表示为______． 14. 如图，在 中，， ，．若以所在直线为轴，把 旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于_______． 15. 如图，中，，点在的延长线上，，若平分，则______． 16. 四人分别姓张、李、高和陈，他们每人各任一个职务，四个职位是班长、学习委员、体育委员和劳动委员，已知： （1）体育委员下围棋很厉害，班长和姓李的同学都不是他的对手； （2）班长主持班会的时候，学习委员和姓张的同学都举手提了些建议； （3）学习委员分别给班长和姓李的同学辅导过功课； （4）体育委员参加篮球赛时，班长和姓高的同学一起为他助威． 根据以上信息，可以推断劳动委员姓______． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 为深入贯彻“生命至上、健康第一”的理念，科学合理组织好2023年长沙市初中毕业升学体育考试，2023年长沙市体育中考方案有以下调整，（一）素质类项目：引体向上（男）或一分钟仰卧起坐（女）、实心球、立定跳远、一分钟跳绳（学生自选一项，报考前确定），分值10分．（二）技巧类项目：篮球运动、足球运动、排球向上垫球、200米游泳（学生自选一项，报考前确定），分值15分．（三）耐力跑项目：2023年取消男1000米、女800米耐力跑项目，该项目以15分满分计入总分，此项调整仅限2023年执行．某校根据学生实际情况男生可以从A（引体向上）、B（投掷实心球）、C（排球向上垫球）、D（一分钟跳绳）、E（篮球运动）、F（足球运动）、G（200米游泳）等七个项目中选考两项．据统计，某校初三男生都在“A”、“B”、“C”、“D”四个项目中选择了两项作为自己的体育中考项目．根据学生选择情况，进行了数据整理，并绘制成如下统计图，结合图中信息，解答下列问题： （1）扇形统计图中C所对应的圆心角的度数是________； （2）请补全条形统计图； （3）为了学生能考出好成绩，该校安排每位体育老师负责指导A、B、C、D项目中的两项，若张老师随机选两项作为自己的指导项目，请用列表法或画树状图的方法求所选的项目恰好是A和C的概率． 20. 如图，在矩形中，，相交于点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若， ，则四边形的面积为 ． 21. 近年来教育部要求学校积极开展素质教育，落实“双减”政策，泸县某中学把足球和篮球列为该校的特色项目．学校准备从体育用品商店一次性购买若干个篮球和足球．若购买3个篮球和2个足球共490元，购买2个篮球和3个足球共460元． （1）篮球、足球的单价各是多少元？ （2）根据学校实际需要，需一次性购买篮球和足球共100个，要求购买篮球和足球的总费用不超过9200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，请求出最省钱的一种购买方案． 22. 如图，为圆O的直径，已知，点P在延长线上，平分． （1）求证：是圆O的切线； （2）若，圆的半径为5，求，的长． 23. 法国数学家韦达在探究二次项系数为1的一元二次方程根的特征时发现，此时“韦达定理”可表述为：，．借此结论，小麓对“倍根方程”的根的特征的进行了探究． 定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．若函数的图象与函数的图象相交于A，B两点，其中一个点的横坐标等于另一点的横坐标的2倍，则称函数与函数互为“倍根函数”． （1）若是“倍根方程”，求k的值； （2）一次函数与反比例函数互为“倍根函数”，求k和b满足的数量关系； （3）已知是“倍根方程”，点是函数图象上一点，且，当时，的最大值和最小值的差是3，求a的值． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图1，点E为线段上一点，过点E作轴，交x轴于点M，连接，交轴于点，当平分时，求直线的解析式； （3）如图2，点F是该抛物线上位于第四象限的一个动点，直线分别与y轴、直线交于点D，E．若 ，， 的面积分别为，，，且满足，求点F的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $