精品解析：江苏省盐城市盐都区2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

2025年春学期3月份调研九年级数学试卷 分值：150分 时间：120分钟 一、单选题（每小题3分，计24分） 1. 关于二次函数的最值，下列说法正确的是（ ） A. 有最大值3 B. 有最小值3 C. 有最大值2 D. 有最小值2 2. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得的抛物线是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，△A′B′C′是△ABC在以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△ABC的面积与△A′B′C′的面积比是16：9，则OA：OA′为（） A. 4：3 B. 3：4 C. 9：16 D. 16：9 4. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（） A. B. C. D. 5. 如图，已知四边形为矩形，点E在延长线上，．连接，于点G．若交于点F，，则的长度是（ ） A. B. C. 6 D. 6. 如图，二次函数（，，为常数，）的图象与x轴交于点，对称轴是直线．下列说法正确的是（ ） A. B. 若抛物线经过三点，则 C. （为任意实数） D. 7. 如图，在中，，点在的延长线上，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点在第一象限，且，点在轴上，当为直角三角形时，点的坐标为（ ） A. ，或 B. ，或 C. ，或 D. ，或 二、填空题（每小题3分，计30分） 9. 如图，△AOB与△COD是位似图形，且OA＝AC，则与的相似比为_____． 10. 如果抛物线开口向下，那么a的取值范围是______． 11. 某人装修房屋，打算在客厅铺地板砖，已知客厅长为8米，宽为6米．地板砖的规格为边长50厘米的正方形．在运输和铺地板砖的过程中预计会有1％的损坏．那么他最好应买该种地板砖__________块． 12. 若将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后抛物线所对应的函数解析式为___________． 13. 函数y＝（x+1）2﹣9与x轴交点坐标为_____． 14. 如图，利用成直角的墙角（墙足够长），用长的栅栏围成一个矩形的小花园，花园的面积与它一边长的函数关系式是__________，面积S的最大值是__________． 15. 如图，坡角为的斜坡上有一棵大树（垂直于水平地面），当太阳光线与水平线成角沿斜坡照下时，在斜坡上树影的长为30米，则大树的高为______． 16. 如图，根据所给信息，可知的值为_________. 17. 若，，，当________时，． 18. 在平面直角坐标系中，一个图形上的点都在一边平行于轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形．若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形，则________． 三、解答题（共9题，计96分） 19. 计算： 20. 计算：． 21. 已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，Q是CD上的点，且AQ⊥PQ，△ADQ与△QCP是否相似？并证明你的结论． 22. （1）解方程： （2）计算：求值： 23 （1）解方程：； （2）已知反比例函数图像经过抛物线上的点，求m和k的值． 24. 如图，四边形内接于，是的直径，的延长线交经过点B的切线于点E，延长交于点F． （1）求证：； （2）已知的半径为9，，，求的长． 25. 某校学生开展综合实践活动，测量操场上旗杆的高度，同学们设计了如下两个测量方案： 活动目的 测量操场上旗杆的高度 活动方案 方案一：利用阳光下的影子 方案二：利用镜子的反射 示意图 实施过程 ①同学站在操场上E点处，测量同学的身高； ②测量同学在操场上的影长； ③在同一时刻，测量旗杆的影长． ①在与旗杆底部位于同一水平面的C点处，放置一面镜子； ②测量镜子到旗杆的距离； ③观测者调整位置，直至通过镜子刚好看到旗杆顶部A； ④测量观测者到镜子的距离； ⑤测量观测者眼睛距离地面的高度． 测量数据 ，， ，， 请你从以上两种方案中任选一种，计算操场上旗杆的高度． 26. 教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第77页部分内容． 定理证明：请根据教材内容，结合如图23.4.2，写出证明过程． 定理应用：（1）如图①，是的中位线，M、N分别是的中点，，则______． （2）如图②，在矩形中，为矩形的对角线，点E在边上，且，点F在边上，，连接，若，M、N分别为的中点，的长度为______，的长度为______． 27. 已知二次函数． （1）求此函数图象的对称轴和顶点坐标； （2）画出此函数的图象． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年春学期3月份调研九年级数学试卷 分值：150分 时间：120分钟 一、单选题（每小题3分，计24分） 1. 关于二次函数的最值，下列说法正确的是（ ） A. 有最大值3 B. 有最小值3 C. 有最大值2 D. 有最小值2 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以写出该函数最值． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数图象开口向下，对称轴为直线，当时，取得最大值2． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 2. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得的抛物线是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】抛物线图象的平移规律：左加右减，上加下减，直接利用规律解题即可． 【详解】解：抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得的抛物线是 ， 故选C 【点睛】本题考查的是抛物线的平移，掌握“抛物线的平移规则”是解本题的关键． 3. 如图，△A′B′C′是△ABC在以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△ABC的面积与△A′B′C′的面积比是16：9，则OA：OA′为（） A. 4：3 B. 3：4 C. 9：16 D. 16：9 【答案】A 【解析】 【分析】由相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出位似比，根据位似比等于相似比，即可求解． 【详解】由位似变换的性质可知,△A′B′C′∽△ABC. ∵△ABC与△A′B′C′的面积的比16：9， ∴△ABC与△A′B′C′的相似比为4：3， ∵A′B′∥AB OA：OA′=A′B′：AB=4：3， 故选A. 【点睛】考查位似图形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键. 4. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求出对称轴解析式，然后利用二次函数的增减性求解更简便．先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性和开口方向判断即可． 【详解】解：对称轴为直线， 时，随的增大而减小，时，随的增大而增大， ，且， 故选：D． 5. 如图，已知四边形为矩形，点E在的延长线上，．连接，于点G．若交于点F，，则的长度是（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定得出，再由其性质确定，利用矩形的性质及相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， 设， ∴， 解得：，负值舍去， 故选：A． 【点睛】题目主要考查全等三角形及相似三角形的判定和性质，矩形的性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 6. 如图，二次函数（，，为常数，）的图象与x轴交于点，对称轴是直线．下列说法正确的是（ ） A. B. 若抛物线经过三点，则 C. （为任意实数） D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 根据二次函数的图象和性质逐项判断即可求解． 【详解】解：A、抛物线开口向下，则， 对称轴在轴的左侧，则， 抛物线交轴的正半轴，则， ，故此选项不符合题意； B、抛物线开口向下，对称轴是直线， 点中，距离对称轴最近，距离对称轴最远，故，故此选项不符合题意； C、抛物线开口向下，对称轴是直线，时，函数有最大值，故，即，故此选项不符合题意； D、对称轴是直线， ， ， 二次函数，，为常数，的图象与轴交于点， ， ，故此选项符合题意； 故选：D． 7. 如图，在中，，点在的延长线上，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数．过点作，根据勾股定理可以求出，是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可知，利用勾股定理可以求出，再根据余弦的定义可以求出的余弦值． 【详解】解：如下图所示，过点作， 在中，， ， ，， ， 在中，， ．   故选： B． 8. 已知点在第一象限，且，点在轴上，当为直角三角形时，点的坐标为（ ） A. ，或 B. ，或 C. ，或 D. ，或 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可分当时和当时，然后根据题意进行分类求解即可． 【详解】解：由题意得： 当时，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，过点M作MB⊥x轴于点B，如图所示： ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：， ∴当时，则；当时，则， ∴或； 故选C． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定及平面直角坐标系点的坐标，熟练掌握相似三角形的性质与判定及平面直角坐标系点的坐标是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，计30分） 9. 如图，△AOB与△COD是位似图形，且OA＝AC，则与的相似比为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据位似图形的性质，即可求解． 【详解】解：∵OA＝AC， ∴， ∵△AOB与△COD是位似图形， ∴△AOB∽△COD， ∴与的相似比为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． 10. 如果抛物线开口向下，那么a的取值范围是______． 【答案】a＞2 【解析】 【分析】】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向下时，二次项系数2-a＜0． 【详解】∵抛物线y=（2-a）x2+2开口向下， ∴2-a＜0，即a＞2， 故答案为：a＞2． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质．用到的知识点：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）来说，当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）开口向上；当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）开口向下． 11. 某人装修房屋，打算在客厅铺地板砖，已知客厅长为8米，宽为6米．地板砖规格为边长50厘米的正方形．在运输和铺地板砖的过程中预计会有1％的损坏．那么他最好应买该种地板砖__________块． 【答案】194 【解析】 12. 若将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后的抛物线所对应的函数解析式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出抛物线的顶点坐标，然后根据平移方式求出平移后的抛物线的顶点坐标，即可求出结论． 【详解】解：， ∴抛物线的顶点坐标为（） 将（）先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后的坐标为（） 即平移后的顶点坐标为（） ∴平移后的抛物线解析式为 故答案为： 【点睛】此题考查的是二次函数图象的平移，掌握将图象的平移转化为顶点的平移是解决此题的关键． 13. 函数y＝（x+1）2﹣9与x轴交点坐标为_____． 【答案】（﹣4，0），（2，0）． 【解析】 【分析】令y=0，再解一元二次方程（x+1）2﹣9＝0即可求图象与x轴的交点坐标． 【详解】当y＝0时，（x+1）2﹣9＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝2． 所以函数y＝（x+1）2﹣9与x轴交点坐标是（﹣4，0），（2，0）． 故答案为（﹣4，0），（2，0）． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点．解题的关键是令y=0，再解一元二次方程． 14. 如图，利用成直角的墙角（墙足够长），用长的栅栏围成一个矩形的小花园，花园的面积与它一边长的函数关系式是__________，面积S的最大值是__________． 【答案】 ①. ②. 25 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，设围成的矩形一边长为，则另一边长为，根据矩形的面积公式即可列出关系式，再利用二次函数的性质即可作答． 【详解】解：设围成的矩形一边长为，则另一边长为， 则； ∵，且， ∴当时，有最大值， 故答案为：，． 15. 如图，坡角为的斜坡上有一棵大树（垂直于水平地面），当太阳光线与水平线成角沿斜坡照下时，在斜坡上树影的长为30米，则大树的高为______． 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，正确作出辅助线、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键，过点作，交的延长线于，根据余弦的定义求出，根据直角三角形的性质求出，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于， 则， 米， 米，米， 在中，， 米， 米， 故答案为：米． 16. 如图，根据所给信息，可知的值为_________. 【答案】 【解析】 【详解】由题意可得：△ABC∽△A′B′C′，且′=， 故值为. 故答案为. 17. 若，，，当________时，． 【答案】 【解析】 【分析】根据两角对应相等，两三角形相似以及三角形内角和定理求解即可. 【详解】 解：要使△ABC∽△A′B′C′，则∠A＝∠A′，∠C＝∠C′，根据三角形内角和定理，∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－(58°＋60°)＝62°，∠C′＝∠C＝62°.故答案为62°. 【点睛】此题主要考查三角形相似的判定以及三角形内角和定理，属基础题，熟记有关知识是解题的关键. 18. 在平面直角坐标系中，一个图形上的点都在一边平行于轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形．若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形，则________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意求得点，，，根据题意分两种情况，待定系数法求解析式即可求解． 【详解】由，当时，， ∴， ∵，四边形是矩形， ∴， ①当抛物线经过时，将点，代入， ∴ 解得： ②当抛物线经过点时，将点,代入， ∴ 解得： 综上所述，或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，理解新定义，最小矩形的限制条件是解题的关键． 三、解答题（共9题，计96分） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】根据实数的运算法则和解三角函数即可得到结果. 【详解】解：原式＝4×+1﹣2+2﹣， ＝2+1﹣2+2﹣， ＝3﹣． 【点睛】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算． 20 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值及实数运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 21. 已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，Q是CD上的点，且AQ⊥PQ，△ADQ与△QCP是否相似？并证明你的结论． 【答案】相似，见解析 【解析】 【分析】在所要求证的两个三角形中，已知的等量条件为：∠D＝∠C＝90°，若证明两三角形相似，再得出∠DAQ＝∠PQC即可． 【详解】解：相似，证明如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠D＝∠C＝90°， ∴∠DAQ+∠AQD＝90° ∵AQ⊥PQ， ∴∠AQP＝90°， ∴∠AQD+∠PQC＝90°， ∴∠DAQ＝∠PQC， ∴△ADQ∽△QCP． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定，垂直的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的判定条件． 22. （1）解方程： （2）计算：求值： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则以及方程的解法，本题属于基础题型． （1）根据一元二次方程的解法-配方法即可求出答案． （2）根据特殊角的锐角三角函数的值即可求出答案． 【详解】（1）∵， （2）原式 23. （1）解方程：； （2）已知反比例函数的图像经过抛物线上的点，求m和k的值． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】（1）先整理．利用因式分解法解答，即可求解； （2）将代入，可得P点的坐标为，再代入，即可求解． 详解】（1）解： 去括号得： 移项，得：， 即 所以或 所以． （2）解：将代入得：， 所以P点的坐标为， 将代入得：． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，二次函数的图像上点的特征，求反比例函数的解析式，熟练掌握一元二次方程的解法，二次函数的图像上点的特征，反比例函数的解析式是解题的关键． 24. 如图，四边形内接于，是的直径，的延长线交经过点B的切线于点E，延长交于点F． （1）求证：； （2）已知的半径为9，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． （1）利用切线的性质得到，利用圆内接四边形的性质求得，再根据等角的补角相等得到，据此即可得解； （2）连接，证明，利用相似三角形的性质求得，据此即可求解． 【小问1详解】 证明：∵是的切线， ∴，则． ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接． ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． 25. 某校学生开展综合实践活动，测量操场上旗杆的高度，同学们设计了如下两个测量方案： 活动目的 测量操场上旗杆的高度 活动方案 方案一：利用阳光下的影子 方案二：利用镜子的反射 示意图 实施过程 ①同学站在操场上E点处，测量同学的身高； ②测量同学在操场上的影长； ③在同一时刻，测量旗杆的影长． ①在与旗杆底部位于同一水平面的C点处，放置一面镜子； ②测量镜子到旗杆的距离； ③观测者调整位置，直至通过镜子刚好看到旗杆顶部A； ④测量观测者到镜子的距离； ⑤测量观测者眼睛距离地面的高度． 测量数据 ，， ，， 请你从以上两种方案中任选一种，计算操场上旗杆的高度． 【答案】操场上旗杆的高度约为 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的应用是解题的关键． 方案一：由题意知，，即，计算求解即可；方案二：证明，则，即，计算求解即可． 【详解】解：方案一： 由题意知，，即， 解得，， ∴的高度为； 方案二： ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴高度为． 26. 教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容． 定理证明：请根据教材内容，结合如图23.4.2，写出证明过程． 定理应用：（1）如图①，是的中位线，M、N分别是的中点，，则______． （2）如图②，在矩形中，为矩形的对角线，点E在边上，且，点F在边上，，连接，若，M、N分别为的中点，的长度为______，的长度为______． 【答案】定理证明见解析；（1）9；（2）8，4 【解析】 【分析】定理证明：延长至F，使，则，连接，先证明，则，得到，，则可证得四边形为平行四边形，得到，即可得证； （1）由是的中位线得到，进一步得到，则，又，证得，则，即可得到答案； （2）先证明，得到，由得到，由M、N分别为的中点得到是的中位线，则． 【详解】定理证明：延长至F，使，则，连接， ∵点D、E分别是、的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， （1）解：∵是的中位线， ∴， ∵M、N分别是的中点， ∴， 即 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为： （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵M、N分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：8，4 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 27. 已知二次函数． （1）求此函数图象的对称轴和顶点坐标； （2）画出此函数的图象． 【答案】（1）对称轴为直线，顶点； （2）见解析 【解析】 【分析】（1）将解析式化为顶点式即可； （2）令，即，求出两个根即可得出与轴的交点坐标，再结合顶点坐标，画出函数图象． 【小问1详解】 解：， 对称轴为直线，顶点； 【小问2详解】 解：令， 即， 解得：， 即与轴的交点坐标为， 结合顶点，画图如图： 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质、画二次函数图象、求解一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$