6.3三角形的中位线定理 分层作业2024-2025学年北师大版数学八年级下册

北师大版八年级下册 姓名： 班级： 分层 类别 第6章平行四边形 6.3三角形的中位线定理分层作业 基础 巩固 （ABC） 1．如图，小义同学想测量池塘A，B两处之间的距离．他先在A，B外选一点C，然后步测AC，BC的中点为D，E，测得DE＝20m，则A，B之间的距离为（　　） A．10m B．20m C．30m D．40m 2．如图，△ABC的边AB，BC，AC的中点分别是D，E，F，且各边的长分别为AB＝5cm，BC＝4cm，AC＝6cm，则四边形ADEF的周长为（　　） A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm 3．如图，DE是△ABC的中位线，若BC＝10，则DE的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 4．如图，在△ABC中，点D，E分别是边BC，AB的中点，若△ABC的面积等于8，则△BDE的面积等于（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 5．如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，若∠A＝45°，∠CED＝70°，则∠C的度数为（　　） A．45° B．50° C．60° D．65° 6．如图，在面积为2的△ABC中，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，△DEF的面积为（　　） A． B． C． D． 7．已知三角形的三条中位线的长分别为5cm、7cm、10cm，则这个三角形的周长是（　　） A．22cm B．27cm C．39cm D．44cm 8．为美化环境，毕节市政府计划在池塘上搭建小桥，如图，地面上A，B两处被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到AC和BC的中点D，E．测得DE＝26m，则A，B两处的距离为（　　） A．26m B．36m C．48m D．52m 9．如图，△ABC中，AB＝8cm，AC＝6cm，点E是BC的中点，若AD平分∠BAC，CD⊥AD，线段DE的长为（　　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 10．如图，CD是△ABC的中线，E，F分别是AC，DC的中点，EF＝3，则BD的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 综合 应用 AB组 11．如图，在△ABC中，AB＝8，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F是线段DE上的一点且EF＝2，连接AF、BF，若∠AFB＝90°，则线段BC的长为　 　． 12．如图，点D、E分别为AB，AC的中点，BF平分∠ABC交DE于点F，若AB＝4，BC＝6，则EF＝　 　． 13．如图是跷跷板示意图，支柱OM经过AB的中点O，OM与地面CD垂直于点M，OM＝30cm，当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为　 　cm． 14．若D为△ABC边BC的中点，E为AD的中点，BE交AC于点F，则AF：FC＝　 　． 15．如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离．可以在AB外选一点C连接AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，连接DE．现测得DE＝24m，则AB＝　 　． 16．如图，已知△ABC的面积是24，D、E分别是BC、AB边上的中点，连接AD、DE，若F是线段AD上的三等分点，则△DFE的面积是 　 　． 17．孔明同学用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，点A、B对应的刻度分别为0，9，点D、E分别为边AC，BC的中点，则DE的长为 　 　cm． 18．在一个三角形中，如果有两条中线互相垂直，我们把这样的三角形称为“中垂三角形”．如果△ABC是“中垂三角形”，AD、BE、CF是中线，∠DAB＝30°，AB＝4，那么BC的长为　 　． 19．如图，DE是△ABC的中位线，∠ACB的平分线交DE于点F，连接AF并延长交BC于G，若AC＝12，DE＝10，求BG的长． 20．如图，在△ABC中，ED，EF是中位线，连接EC和DF，交于点O． （1）求证：OEEC； （2）若OD＝2，求AB的长． 21．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E，F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使，连结DE，DF，DE交AF于点M． （1）求证：AP＝FP； （2）若BC＝10，求DF的长． 拓展 提高 （A组） 22．（1）如图1，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF，分别交DC，AB于点M，N，判断△OMN的形状，并说明理由； （2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是AD，BC的中点，连接FE并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N．求证：∠BME＝∠CNE． 23．如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE． （1）求证：△ADE是等边三角形； （2）在线段DE的延长线上取点F，G，使FG＝DE，连接CG，连接AF并延长交CG于点H，∠AFD＝∠CGE．求证：△ADF≌△CEG． 参考答案与试题解析 1．如图，小义同学想测量池塘A，B两处之间的距离．他先在A，B外选一点C，然后步测AC，BC的中点为D，E，测得DE＝20m，则A，B之间的距离为（　　） A．10m B．20m C．30m D．40m 【答案】D 【解答】解：∵AC，BC的中点为D，E，测得DE＝20m， ∴DE是三角形ABC的中位线， ∴， ∵DE＝20m， ∴AB＝2DE＝2×20＝40（m）． 故选：D． 2．如图，△ABC的边AB，BC，AC的中点分别是D，E，F，且各边的长分别为AB＝5cm，BC＝4cm，AC＝6cm，则四边形ADEF的周长为（　　） A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm 【答案】C 【解答】解：∵D，E，F分别是△ABC边AB，BC，AC上的中点， ∴EF＝ADAB5（cm），DE＝AFAC6＝3（cm）， ∴四边形ADEF的周长＝EF+AD+DE+AF＝5+6＝11（cm）， 故选：C． 3．如图，DE是△ABC的中位线，若BC＝10，则DE的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解答】解：∵DE是△ABC的中位线， ∴DEBC， ∵BC＝10， ∴DE＝5． 故选：B． 4．如图，在△ABC中，点D，E分别是边BC，AB的中点，若△ABC的面积等于8，则△BDE的面积等于（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解答】解：由题意可得：S△ABDS△ABC＝4， ∵E是AB的中点， ∴S△BDES△ABD4＝2， 故选：A． 5．如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，若∠A＝45°，∠CED＝70°，则∠C的度数为（　　） A．45° B．50° C．60° D．65° 【答案】D 【解答】解：∵点D，E分别是AC，BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥AB， ∴∠B＝∠CED＝70°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣45°﹣70°＝65°， 故选：D． 6．如图，在面积为2的△ABC中，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，△DEF的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵D，E，F分别是AB，BC，CA的中点， 则EF，DF，DE是△ABC的三条中位线， ∴， ∴△DEF∽△CAB， ∴， ∵△ABC的面积＝2， ∴△DEF的面积， 故选：C． 7．已知三角形的三条中位线的长分别为5cm、7cm、10cm，则这个三角形的周长是（　　） A．22cm B．27cm C．39cm D．44cm 【答案】D 【解答】解：∵三角形的三条中位线的长分别是5cm、7cm、10cm， ∴三角形的三条边分别是10cm、14cm、20cm， ∴这个三角形的周长＝10+14+20＝44（cm）， 故选：D． 8．为美化环境，毕节市政府计划在池塘上搭建小桥，如图，地面上A，B两处被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到AC和BC的中点D，E．测得DE＝26m，则A，B两处的距离为（　　） A．26m B．36m C．48m D．52m 【答案】D 【解答】解：∵D，E分别是AC、BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DEAB， ∵DE＝26m， ∴AB＝52m． 故选：D． 9．如图，△ABC中，AB＝8cm，AC＝6cm，点E是BC的中点，若AD平分∠BAC，CD⊥AD，线段DE的长为（　　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【答案】A 【解答】解：如图，延长CD交AB于F， ∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD＝∠FAD， ∵CD⊥AD， ∴∠ADC＝∠ADF＝90°， 在△ADF和△ADC中， ， ∴△ADF≌△ADC（ASA）， ∴AF＝AC，CD＝FD， ∴BF＝AB﹣AF＝8﹣6＝2cm， 又∵点E为BC的中点， ∴DE是△BCF的中位线， ∴． 故选：A． 10．如图，CD是△ABC的中线，E，F分别是AC，DC的中点，EF＝3，则BD的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解答】解：∵E，F分别是AC，DC的中点， ∴EF是△ACD的中位线， ∴AD＝2EF＝2×3＝6， ∵CD是△ABC的中线， ∴BD＝AD＝6， 故选：D． 11．如图，在△ABC中，AB＝8，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F是线段DE上的一点且EF＝2，连接AF、BF，若∠AFB＝90°，则线段BC的长为　12　． 【答案】12． 【解答】解：∵点D、E分别是边AB、AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DEBC， ∵∠AFB＝90°，D是AB的中点，AB＝8， ∴DFAB8＝4， ∵EF＝2． ∴DE＝EF+DF＝6． ∴BC＝12， 故答案为：12． 12．如图，点D、E分别为AB，AC的中点，BF平分∠ABC交DE于点F，若AB＝4，BC＝6，则EF＝　1　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵点D、E分别为AB，AC的中点，AB＝4， ∴DE是△ABC的中位线，BDAB＝2， ∴DEBC＝3，DE∥BC， ∴∠DFB＝∠FBC， ∵BF平分∠ABC， ∴∠DFB＝∠FBC， ∴∠DBF＝∠DFB， ∴DF＝BD＝2， ∴EF＝DE﹣DF＝3﹣2＝1， 故答案为：1． 13．如图是跷跷板示意图，支柱OM经过AB的中点O，OM与地面CD垂直于点M，OM＝30cm，当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为　60　cm． 【答案】60． 【解答】解：∵O是AB的中点，OM垂直于地面，BE垂直于地面， ∴OM∥BE， ∴OM是△ABE的中位线， ∴BE＝2OM＝2×30＝60（cm）， 另一端B离地面的高度为60cm， 故答案为：60． 14．若D为△ABC边BC的中点，E为AD的中点，BE交AC于点F，则AF：FC＝　　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：过D点作DG平行于AC交BF与G点， ∵E为AD中点， ∴AE＝DE ∵DG平行于AC， ∴∠GDE＝∠FAE． 在△GDE与△FAE中， ∵， ∴△GDE≌△FAE（ASA）， ∴DG＝AF． ∵DG为△BCF的中位线， ∴DGCF， ∴． 故答案为：． 15．如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离．可以在AB外选一点C连接AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，连接DE．现测得DE＝24m，则AB＝　48m　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵D是AC的中点，E是BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DEAB， ∵DE＝24m， ∴AB＝2DE＝48m， 故答案为：48m． 16．如图，已知△ABC的面积是24，D、E分别是BC、AB边上的中点，连接AD、DE，若F是线段AD上的三等分点，则△DFE的面积是 　4或2　． 【答案】4或2． 【解答】解：∵△ABC的面积是24，D、E分别是BC、AB边上的中点， ∴， ∴， ∵F是线段AD上的三等分点，如图， 当时，， 当时，， 故答案为：4或2． 17．孔明同学用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，点A、B对应的刻度分别为0，9，点D、E分别为边AC，BC的中点，则DE的长为 　4.5　cm． 【答案】4.5． 【解答】解：∵点A、B对应的刻度分别为0，9， ∴AB＝9cm， ∵点D、E分别为边AC，BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DEAB＝4.5cm， 故答案为：4.5． 18．在一个三角形中，如果有两条中线互相垂直，我们把这样的三角形称为“中垂三角形”．如果△ABC是“中垂三角形”，AD、BE、CF是中线，∠DAB＝30°，AB＝4，那么BC的长为　或　． 【答案】或． 【解答】解：∵△ABC为“中垂三角形”，即AD⊥BE于点P， 又∵AB＝4，∠DAB＝30°， ∴， ∴， ∵AD、BE分别是中线，连接DE， ∴DE是△ABC的中位线， ∴EF∥AB， ∵∠BAP＝∠EDP，∠ABP＝∠DEP， ∴△ABP∽△DEP， ∴， ∴， ∵DP2+BP2＝DB2， ∴， ∴； 如图，当CF⊥AD时， 同理可得，，，PF＝1， ∵DP2+CP2＝DC2， ∴ ∴； 如果△ABC是“中垂三角形”，设三条中线相交于P，当BE⊥CF时，取BF中点G，连接PG，过G作GH⊥AD于H， ∵E为AB中点， ∴， ∵G为EB中点， ∴， 又BE⊥CF， ∴， ∵GH⊥AD，∠DAB＝30°，AG＝AE+EG＝3， ∴， ∴GH＞PG，这与垂线段最短相矛盾， ∴不存在CF⊥BE； 综上，BC的长为或． 故答案为：或． 19．如图，DE是△ABC的中位线，∠ACB的平分线交DE于点F，连接AF并延长交BC于G，若AC＝12，DE＝10，求BG的长． 【答案】BG的长为8． 【解答】解：∵DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，EC， ∵CF是∠ACB的平分线， ∴∠GCF＝∠ACF， ∵DE∥BC， ∴∠GCF＝∠EFC， ∴∠ACF＝∠EFC， ∴EF＝ECAC＝6， ∴DF＝DE﹣EF＝10﹣6＝4， ∴BG＝2DF＝8， 故BG的长为8． 20．如图，在△ABC中，ED，EF是中位线，连接EC和DF，交于点O． （1）求证：OEEC； （2）若OD＝2，求AB的长． 【答案】（1）见解析； （2）8． 【解答】（1）证明：∵ED，EF是中位线， ∴ED∥FC，EF∥DC， ∴四边形EFCD是平行四边形， ∵对角线CE和DF相交于点O， ∴OE； （2）解：∵EC，DF是平行四边形EFCD的对角线，OD＝2， ∴DF＝2OD＝4， ∵ED，EF是△ABC的中位线， ∴点D，F分别是AC，BC的中点， ∴DF是△ABC的中位线， ∴DF， ∴AB＝2DF＝8． 21．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E，F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使，连结DE，DF，DE交AF于点M． （1）求证：AP＝FP； （2）若BC＝10，求DF的长． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）5． 【解答】（1）证明：连接EF，AE． ∵点E，F分别为BC，AC的中点， ∴EF∥AB，EFAB． 又∵ADAB， ∴EF＝AD． 又∵EF∥AD， ∴四边形AEFD是平行四边形． ∴AF与DE互相平分， ∴AP＝FP； （2）解：在Rt△ABC中， ∵E为BC的中点，BC＝10， ∴AEBC＝5． 又∵四边形AEFD是平行四边形， ∴DF＝AE＝5． 22．（1）如图1，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF，分别交DC，AB于点M，N，判断△OMN的形状，并说明理由； （2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是AD，BC的中点，连接FE并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N．求证：∠BME＝∠CNE． 【答案】（1）△OMN是等腰三角形，理由见解答；（2）见解答． 【解答】解：（1）△OMN是等腰三角形，理由如下： 如图，取BD的中点H，连接HE，HF， ∵E，F分别是BC，AD的中点， ∴HF∥AB，HE∥CD，，， ∵AB＝CD， ∴HF＝HE， ∴∠HFE＝∠HEF， ∵HF∥AB，HE∥CD， ∴∠HFE＝∠ONM，∠HEF＝∠OMN， ∴∠ONM＝∠OMN， ∴OM＝ON， ∴△OMN是等腰三角形． （2）如图，连接BD，取BD的中点H，连接HE，HF， ∴HF∥CN，HE∥BM，，， ∵AB＝CD， ∴HF＝HE， ∴∠HEF＝∠HFE， ∵HF∥CN，HE∥BM， ∴∠HEF＝∠BME，∠HFE＝∠CNE， ∴∠BME＝∠CNE． 23．如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE． （1）求证：△ADE是等边三角形； （2）在线段DE的延长线上取点F，G，使FG＝DE，连接CG，连接AF并延长交CG于点H，∠AFD＝∠CGE．求证：△ADF≌△CEG． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解答】（1）证明：由条件可知AB＝AC，∠BAC＝60°， ∵D，E分别是AB，AC的中点， ∴，， ∴AD＝AE， ∵∠BAC＝60°， ∴△ADE是等边三角形； （2）证明：由条件可知DE+EF＝EF+FG， ∴DF＝EG， ∵△ADE是等边三角形， ∴∠ADE＝∠AED＝60°， ∴∠CEG＝∠ADE＝60°， 在△ADF和△CEG中，， ∴△ADF≌△CEG（ASA）． 学科网（北京）股份有限公司 $$