5.2.1复数的加法与减法课件-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

5.2.1复数的加法与减法 北师大版（2019）必修第二册 第五章 复数 学习目标 了解复数的加法运算的交换律、结合律； 02 学会复数代数形式的加减运算法则，能够运用法则求两个复数的和与差； 01 了解复数加法运算、减法运算的几何意义． 03 复习引入 我们为了解决类似 在实数范围无解的问题，引入了虚数单位 i，从而把数集范围从实数集扩大到复数集.因此学习到一类新的数——复数. 还记得复数的概念吗？ i 叫做虚数单位 虚部 实部 一般地，研究完一类新数的概念后，就要开始研究数的运算问题.我们知道实数有加减法，那么复数是否也有加减法呢？ 知识探究 问题1 对任意两个复数 a＋bi 和 c＋di(a，b，c，d∈R) ，我们希望它们的和仍然是一个复数，并且保持实数的运算律. 想一想复数如何进行加法运算？ 分析：a＋bi＋c＋di 期望加法结合律成立，故 由于期望乘法对加法满足分配律，故 复数的加法法则 设，是任意两个复数， 则 知识探究 追问1：两个复数的和是复数吗，它的值唯一确定吗？ 两个复数的和仍然是个复数，且是一个确定的复数，它可以推广到多个复数相加. 追问2：当b=0，d =0时，与实数加法法则一致吗？ 当b=0，d =0时，复数的加法与实数加法法则一致. 追问3：它的实质是什么？类似于实数的哪种运算方法？ 两个复数的和的实部是它们的实部的和，两个复数的和的虚部是它们的虚部的和，类似于实数运算中的合并同类项. 知识探究 问题2 复数的加法已得到，那么复数是否有减法呢？实数的减法是通过引入实数的相反数得到的，类似地，能否通过引入复数的相反数来定义复数的减法呢？ 类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算， 我们通过引入相反数来定义复数的减法． 设 的相反数是 ， 则，解得，，即. 如何表示一个复数的相反数？ 复数的相反数 给定复数，若存在复数，使得则称是的相反数，记作. 复数的减法法则 对任意的复数 和非零复数 ，规定复数的减法：，即减去一个复数，等于加上这个复数的相反数， 也就是：. 追问1：两个复数的差是复数吗，它的值唯一确定吗？ 两个复数的和仍然是个复数，且是一个确定的复数，它可以推广到多个复数相加. 追问2：它的实质是什么？类似于实数的哪种运算方法？ 两个复数的差的实部是它们的实部的差，两个复数的差的虚部是它们的虚部的差，类似于实数运算中的合并同类项. 例1 计算：． 解：原式 ． 或：原式 ． 实部与实部相加；虚部与虚部相加. 例2 设，求，． 解：因为 ， ． 互为共轭复数，它们的实部相等，虚部互为相反数. 问题3 实数的加法有交换律、结合律，复数的加法满足这些运算律吗？ 知识探究 1.对任意的，，有 证明：设， 则. . 因为，， 所以 . 复数的加法满足交换律 问题3 实数的加法有交换律、结合律，复数的加法满足这些运算律吗？ 知识探究 2.对任意的，有 证明：设， =， = 所以. 复数的加法满足结合律 问题4 我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量有一一对应的关系．而我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？ 知识探究 解：如图分别与向量，对应． 由平面向量的坐标运算法则，得 . 而. 这说明两个向量与的和就是与复数 对应的向量. O x y 因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行，这是复数加法的几何意义. 具体如下：①若向量与在同一条直线上，如左图，平移向量，使表示向量的有向线段的起点与点 重合，终点到达点 Z 的位置，则向量对应的复数即为复数与 的和. 知识探究 O x y ②若向量与在不同一条直线上，如右图，以表示这两个向量的有向线段为邻边作平行四边形，则这个平行四边形的对角线 所表示的向量 对应的复数即为复数与 的和 O x y 类比复数加法的几何意义，你能得出复数减法的几何意义吗？ 知识探究 O x y 解：如图分别与向量，对应． 由平面向量的坐标运算法则，得 ， 而. 这说明两个向量与的差就是与复数 对应的向量. 因此，复数的减法可以按照向量的减法来进行，这是复数减法的几何意义. 具体如下：①若向量与在同一条直线上，如左图，则向量 对应的复数即为复数与 的差. 知识探究 O x y ②若向量与在不同一条直线上，如右图，连接 ，作，则对应的复数即为复数与 的差 O x y (1)复数的减法满足向量减法的三角形法则. 知识剖析 (2)复数减法的几何意义可简单叙述为：连接两个复数对应的向量 (起点相同的有向线段)的终点，方向指向表示被减向量的有向线段的终点，得到的向量，就是两个复数的差对应的向量. (3)若用 d 表示平面内点 和 之间的距离，则，其中， 分别是复平面内的两点，对应的复数.这就是复平面内两点间的距离公式. 例4 已知向量 ，请计算 的结果，并给出几何解释． x O 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 y 1 解：因为 ． 如图，这两个复数的和与相应的两个向量的和相对应． 当堂检测 C D C B D 感谢您的聆听与指导 General template of fresh teaching $$