第5章 2.1 复数的加法与减法-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦复数的加法与减法，涵盖运算法则、运算律及几何意义。通过类比实数加法交换律与结合律的问题导入，衔接旧知，搭建从实数到复数的认知支架，引导学生自然过渡。 其亮点在于以“数学运算”和“直观想象”为核心，结合向量几何意义（如平行四边形法则解释复数加法），通过多解法例题（如模长计算的代数法与向量法）培养思维。分层作业设计帮助学生逐步提升，教师可直接用于课堂，提升教学效率。

2.1　复数的加法与减法 1 1.熟练掌握复数的代数形式的加、减运算法则（数学运算）. 2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题（直观想象）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 目录 课时作业 03 3 01 PART 基础落实 目 录 　　我们知道，任意两个实数都可以相加，而且实数中的加法运算还满足 交换律与结合律. 【问题】　那么复数中的加法满足交换律与结合律吗？ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 知识点　复数的加法与减法 1. 运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）， 则z1＋z2＝ ⁠， z1－z2＝ ⁠. 2. 运算律 （1）交换律：z1＋z2＝ ⁠； （2）结合律：（z1＋z2）＋z3＝ ⁠. （a＋c）＋（b＋d）i　 （a－c）＋（b－d）i　 z2＋z1　 z1＋（z2＋z3）　 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 几何意义 如图，设在复平面内复数z1，z2对应的向量分别为 ， ，以OZ1，OZ2为邻边作平行四边形，则z1＋z2对应的向量是 ⁠， z1－z2对应的向量是 ⁠. 　 　 　　提醒：（1）把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，则复数的 加、减法类似于多项式的加、减法，只需“合并同类项”即可；（2）复 数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义 就是向量减法的三角形法则. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【想一想】 1. 两个复数的和（差）还是一个复数吗？ 提示：由复数加、减运算法则知两个复数的和或差仍然是一个复数. 2. 在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为 坐标原点.若｜z1＋z2｜＝｜z1－z2｜，则四边形OACB是什么四边形？ 提示：四边形OACB是矩形. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）两个虚数的和或差可能是实数. （　√　） （2）在进行复数的加法运算时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相 加得虚部. （　√　） （3）复数z与共轭复数 的差z－ 的结果只能是实数. （　×　） （4）关于复数的减法的结论（z1－z2）－z3＝z1－（z2＋z3）可能不成立. （　×　） √ √ × × 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 在复平面内，向量 对应的复数是5－4i，向量 对应的复数是－5 ＋4i，则 ＋ 对应的复数是（　　） A. －10＋8i B. 10－8i C. 0 D. 10＋8i 解析：　 ＋ ＝（5，－4）＋（－5，4）＝（0，0），故 ＋ 对应的复数为0. √ 3. （2＋i）－（6－2i）＋（5＋6i）＝ ⁠. 解析：（2＋i）－（6－2i）＋（5＋6i）＝（2－6＋5）＋（1＋2＋6）i＝1 ＋9i. 1＋9i 数学·必修第二册（BSD） 目 录 02 PART 典例研析 目 录 题型一｜复数加、减法的运算 【例1】　计算： （1）（－7i＋5）－（9－8i）＋（3－2i）； 解：（－7i＋5）－（9－8i）＋（3－2i）＝（5－9＋3）＋（－7＋8－2）i ＝－1－i. （2） ＋（2－i）－ ； 解： ＋（2－i）－ ＝（ ＋2－ ）＋ i＝1＋i. （3）已知z1＝2＋3i，z2＝－1＋2i，求z1＋z2，z1－z2. 解：z1＋z2＝2＋3i＋（－1＋2i）＝1＋5i，z1－z2＝2＋3i－（－1＋2i）＝3 ＋i. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 复数代数形式的加、减法运算的技巧 （1）复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部 与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的 实部与虚部； （2）算式中若出现字母，首先确定其是否为实数，再确定复数的实部与 虚部，最后把实部与实部、虚部与虚部分别相加减； （3）复数的运算可以类比多项式的运算：若有括号，括号优先；若无括 号，可以从左到右依次进行计算. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 计算：（1－2i）－（2－3i）＋（3－4i）－（4－5i）＋…＋（2 023－2 024i）－（2 024－2 025i）. 解：法一　原式＝（1－2＋3－4＋…＋2 023－2 024）＋（－2＋3－4＋5 ＋…－2 024＋2 025）i＝－1 012＋1 012i. 法二　（1－2i）－（2－3i）＝－1＋i，（3－4i）－（4－5i）＝－1＋ i，…，（2 023－2 024i）－（2 024－2 025i）＝－1＋i. 将上列1 012个式子累加可得，原式＝1 012（－1＋i）＝－1 012＋1 012i. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型二｜复数加、减法的几何意义 【例2】　如图所示，在平行四边形OABC中，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i.求： （1） 所表示的复数， 所表示的复数； 解：因为 ＝（0，0）－（3，2）＝（－3，－2）， 所以 所表示的复数为－3－2i. 因为 ＝ ，所以 所表示的复数为－3－2i. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）对角线 所表示的复数； 解：因为 ＝ － ， 所以 所表示的复数为（3＋2i）－（－2＋4i）＝5－2i. （3）对角线 所表示的复数及 的长度. 解：因为对角线 ＝ ＋ ＝ ＋ ， 所以 所表示的复数为（3＋2i）＋（－2＋4i）＝1＋6i，所以 ＝ ＝ . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 　　复数z与复平面内的向量 是一一对应的关系，复数的加法可以按照 向量的加法来进行，即复数的加法符合向量加法的三角形法则、平行四边 形法则. 　　类比实数减法的意义，复数的减法也是加法的逆运算：减去一个复数 等于加上这个复数的相反数. 　　若用d表示平面内点Z1和Z2之间的距离，则d＝ ＝｜z2－z1｜， 其中z1，z2是复平面内的两点Z1，Z2对应的复数.这就是复平面内两点间的 距离公式. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 已知平行四边形ABCD中， 与 对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两 对角线AC与BD相交于点O. （1）求 对应的复数； 解：由于四边形ABCD是平行四边形，所以 ＝ ＋ ，于是 ＝ － ，而（1＋4i）－（3＋2i）＝－2＋2i，即 对应的复数是－2＋ 2i. （2）求 对应的复数. 解：由于 ＝ － ，而（3＋2i）－（－2＋2i）＝5，所以 对应 的复数是5. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型三｜与复数的和（差）的模有关的计算问题 【例3】　若z∈C且｜z＋3＋4i｜≤2，｜z－1－i｜的最大值和最小值分 别为M，m，则M－m＝（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 9 √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　因为｜z＋3＋4i｜≤2，所以复数z在复平面上 对应的点P到z1＝－3－4i对应的点A的距离小于或等于2， 所以点P在以A（－3，－4）为圆心，半径为2的圆内或圆 上，如图. 又｜z－1－i｜表示点P到复数z2＝1＋i对应的点B的距离，所以该距离的最大值为｜AB｜＋2＝ ＋2＝ ＋2，最小值为｜AB｜－2＝ －2，故M－m＝4. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 1. 将｜z＋z0｜（z，z0∈C）可看作｜z－（－z0）｜，即理解为复数z在 复平面上对应的点到复数（－z0）在复平面上对应的点的距离，进而复数 的和与差形式可互相转化. 2. ｜z－z0｜（z，z0∈C）几何意义的应用 （1）判断点的轨迹； （2）利用几何知识解决代数中的最值（范围）问题. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 　设复数z1，z2满足｜z1｜＝｜z2｜＝2，z1＋z2＝ ＋i，则｜z1－z2｜ ＝ ⁠. 2 解析：法一　设z1＝x1＋y1i（x1，y1∈R），z2＝x2＋y2i（x2，y2∈R）， 则由｜z1｜＝｜z2｜＝2，得 ＋ ＝ ＋ ＝4.因为z1＋z2＝x1＋x2＋ （y1＋y2）i＝ ＋i，所以｜z1＋z2｜2＝（x1＋x2）2＋（y1＋y2）2＝ ＋ ＋ ＋ ＋2x1x2＋2y1y2＝8＋2x1x2＋2y1y2＝（ ）2＋12＝4，所 以2x1x2＋2y1y2＝－4，所以｜z1－z2｜＝｜x1－x2＋（y1－y2）i｜＝ ＝ ＝ ＝2 . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 法二　设z1＝a＋bi（a，b∈R）， 则z2＝ －a＋（1－b）i， 则 即 所以｜z1－z2｜2＝（2a－ ）2＋（2b－1）2＝4（a2＋b2）－4（ a＋ b）＋4＝4×4－4×2＋4＝12， 所以｜z1－z2｜＝2 . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 法三　题设可等价转化为向量a，b满足｜a｜＝｜b｜＝2，a＋b＝ （ ，1），求｜a－b｜. 因为（a＋b）2＋（a－b）2＝2｜a｜2＋2｜b｜2， 所以4＋（a－b）2＝16，所以｜a－b｜＝2 ， 即｜z1－z2｜＝2 . 法四　设z1＋z2＝z＝ ＋i，则z在复平面上对应的点为P（ ，1）， 所以｜z1＋z2｜＝｜z｜＝2，由平行四边形法则知OAPB是边长为2，一条 对角线也为2的菱形，则另一条对角线的长为｜z1－z2｜＝2× ×2＝2 . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 1. 若复数z满足z＋i－3＝3－i，则z＝（　　） A. 0 B. 2i C. 6 D. 6－2i √ 解析：　∵z＋i－3＝3－i，∴z＝3－i－i＋3＝6－2i. 2. 已知z1＝2＋i，z2＝1－2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析：　z＝z2－z1＝（1－2i）－（2＋i）＝－1－3i.故z对应的点为 （－1，－3），位于第三象限. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 在复平面内，O是原点， ， ， 表示的复数分别为－2＋i，3＋ 2i，1＋5i，则 表示的复数为（　　） A. 2＋8i B. －6－6i C. 4－4i D. －4＋2i 解析：　 ＝ － ＝ －（ ＋ ），3＋2i－（1＋5i－2＋ i）＝4－4i，所以 表示的复数为4－4i. √ 4. 若复数z满足｜z－i｜＝3，则复数z对应的点Z的轨迹所围成的图形的 面积为 ⁠. 解析：由条件知｜z－i｜＝3，所以点Z的轨迹是以点（0，1）为圆心，以 3为半径的圆，故其面积为S＝9π. 9π 数学·必修第二册（BSD） 目 录 5. 已知i为虚数单位，复数z1＝a＋i，z2＝2－i，且｜z1｜＝｜z2｜，求｜ z1－z2｜. 解：依题意得 ＝ ，由此解得a＝±2. （1）当a＝2时，z1＝2＋i，z1－z2＝（2＋i）－（2－i）＝2i，故｜z1－ z2｜＝2. （2）当a＝－2时，z1＝－2＋i，z1－z2＝－2＋i－（2－i）＝－4＋2i， 故｜z1－z2｜＝2 . 由（1）（2）得，｜z1－z2｜＝2或｜z1－z2｜＝2 . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 课时作业 03 PART 目 录 1. 已知z＋5－6i＝3＋4i，则复数z＝（　　） A. －4＋20i B. －2＋10i C. －8＋20i D. －2＋20i 解析：z＝3＋4i－（5－6i）＝（3－5）＋（4＋6）i＝－2＋10i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 设复数z满足z＋1－2i＝－3＋i，则｜z｜＝（　　） A. 6 B. 6 C. 5 D. 5 解析：因为z＝－4＋3i，所以｜z｜＝ ＝5.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 已知z＝1－2i，且z＋a ＋b＝0，其中a，b为实数，则（　　 ） A. a＝1，b＝－2 B. a＝－1，b＝2 C. a＝1，b＝2 D. a＝－1，b＝－2 解析：　由题意知 ＝1＋2i，所以z＋a ＋b＝1－2i＋a（1＋2i）＋b ＝a＋b＋1＋（2a－2）i，又z＋a ＋b＝0，所以a＋b＋1＋（2a－2） i＝0，所以 解得 故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 4. 在平行四边形ABCD中，若A，C对应的复数分别为－1＋i和－4－3i， 则该平行四边形的对角线AC的长度为（　　） A. B. 5 C. 2 D. 10 解析：依题意， 对应的复数为（－4－3i）－（－1＋i）＝－3－4i，因此AC的长度为｜－3－4i｜＝5. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 5. 〔多选〕对任意复数z＝a＋bi（a，b∈R），i为虚数单位，则下列结 论中正确的是（　　） A. z－ ＝2a B. ｜z｜＝｜ ｜ C. z＋ ＝2a D. z＋ ＝2bi 解析：　由已知 ＝a－bi，因此z－ ＝2bi，z＋ ＝2a，｜z｜＝ ＝｜ ｜.故选B、C. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 6. 〔多选〕在复平面内有一个平行四边形OABC，点O为坐标原点，点A 对应的复数为z1＝1＋i，点B对应的复数为z2＝1＋2i，点C对应的复数为 z3，则下列结论正确的是（　　） A. 点C位于第二象限 B. z1＋z3＝z2 C. ｜z1－z3｜＝｜ ｜ D. ｜z2＋z3｜＝ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　如图，由题意，O（0，0），A（1， 1），B（1，2）， ＝（0，1），∵OABC为平 行四边形，∴ ＝（0，1），则C（0，1），∴z3 ＝i，点C位于虚轴上，故A错误；z1＋z3＝（1＋i） ＋i＝1＋2i＝z2，故B正确；｜z1－z3｜＝｜1＋i－ i｜＝1＝｜ ｜，故C正确；｜z2＋z3｜＝｜（1＋2i）＋i｜＝｜1＋3i｜＝ ，故D错误.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 7. 在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量 ， 对应的复数分别是3＋i，－1＋3i，则 对应的复数是 ⁠. 解析：∵ ＝ － ，∴ 表示的复数为（3＋i）－（－1＋3i）＝4 －2i.∵ ＝ ，∴ 表示的复数为4－2i. 4－2i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 8. 已知z1＝（3x＋y）＋（y－4x）i（x，y∈R），z2＝（4y－2x）－ （5x＋3y）i（x，y∈R）.设z＝z1－z2，且z＝13－2i，则z1＝ ⁠ ，z2＝ ⁠. 解析：z＝z1－z2＝（3x＋y－4y＋2x）＋（y－4x＋5x＋3y）i＝（5x －3y）＋（x＋4y）i＝13－2i. ∴ 解得 ∴z1＝5－9i，z2＝－8－7i. 5－ 9i －8－7i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 9. 已知复数z满足｜z｜＝1，则｜z－2i｜的取值范围为 ⁠. 解析：｜z｜＝1表示z在复平面内的对应点是以原点为圆心的单位圆上的 点.｜z－2i｜的几何意义表示单位圆上的点和点（0，2）之间的距离，所 以最小距离为2－1＝1，最大距离为2＋1＝3.所以｜z－2i｜的取值范围为 [1，3]. [1，3] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 10. （1）计算：（2－3i）＋（－4＋2i）； 解：（2－3i）＋（－4＋2i）＝（2－4）＋（－3＋2）i＝－2－i. （2）已知z1＝（3x－4y）＋（y－2x）i，z2＝（－2x＋y）＋（x－ 3y）i，x，y为实数，若z1－z2＝5－3i，求｜z1＋z2｜. 解：z1－z2＝[（3x－4y）＋（y－2x）i]－[（－2x＋y）＋（x－3y）i]＝[（3x－4y）－（－2x＋y）]＋[（y－2x）－（x－3y）]i＝（5x－5y）＋（－3x＋4y）i＝5－3i，所以 解得x＝1，y＝0，所以z1＝3－2i，z2＝－2＋i，则z1＋z2＝1－i，所以｜z1＋z2｜＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 11. 复数z1＝1＋i cos θ，z2＝ sin θ－i，则｜z1－z2｜的最大值为（　　） A. 3－2 B. －1 C. 3＋2 D. ＋1 解析：　｜z1－z2｜＝｜（1－ sin θ）＋（ cos θ＋1）i｜＝ ＝ ＝ .∵ cos ＝1，∴｜z1－z2｜max＝ ＝ ＋1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 12. 〔多选〕已知i为虚数单位，下列说法正确的是（　　） A. 若复数z满足｜z－i｜＝ ，则复数z在复平面内的对应点在以（1， 0）为圆心， 为半径的圆上 B. 若复数z满足z＋｜z｜＝2＋8i，则复数z＝15＋8i C. 复数的模实质上是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对 应的向量的模 D. 非零复数z1对应的向量为 ，非零复数z2对应的向量为 ，若｜z1 ＋z2｜＝｜z1－z2｜，则 ⊥ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：A中复数z在复平面内的对应点在以（0，1）为圆心， 为半径的圆上，A错误；设z＝a＋bi（a，b∈R），则｜z｜＝ .由z＋｜z｜＝2＋8i，得a＋bi＋ ＝2＋8i，即 解得 所以z＝－15＋8i，B错误，C正确； 由｜z1＋z2｜＝｜z1－ z2｜的几何意义知，以 ， 为邻边的平行四边形为矩形，从而两邻 边垂直，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 13. A，B分别是复数z1，z2在复平面上对应的两点，O为原点，若｜z1＋ z2｜＝｜z1－z2｜，则△AOB为 ⁠. 解析：由复数的加、减法的几何意义可知，当｜z1＋z2｜＝｜z1－z2｜时， ∠AOB＝90°. 直角三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 14. 已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2＋i，向量 对 应的复数为1＋2i，向量 对应的复数为3－i. （1）求点C，D对应的复数； 解：∵向量 对应的复数为1＋2i，向量 对应的复数为3－i， ＝ － ， ∴向量 对应的复数为（3－i）－（1＋2i）＝2－3i. 又 ＝ ＋ ， ∴点C对应的复数为（2＋i）＋（2－3i）＝4－2i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 ∵ ＝ ，∴向量 对应的复数为3－i， 即 ＝（3，－1）. 设D（x，y），则 ＝（x－2，y－1）＝（3，－1）， ∴ 解得 ∴点D对应的复数为5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）求平行四边形ABCD的面积. 解：∵ · ＝｜ ｜｜ ｜ cos B， ∴ cos B＝ ＝ ＝ ＝ . ∴ sin B＝ . ∴S▱ABCD＝｜ ｜｜ ｜ sin B＝ × × ＝7， 故平行四边形ABCD的面积为7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 15. 已知f（z）＝｜2＋z｜－z，且f（－z）＝3＋5i，则复数z＝ ⁠ ⁠. 解析：设复数z＝a＋bi（a，b∈R）. ∵f（z）＝｜2＋z｜－z，∴f（－z）＝｜2－z｜＋z. 又∵f（－z）＝3＋5i，∴｜2－z｜＋z＝3＋5i， ∴｜2－（a＋bi）｜＋a＋bi＝3＋5i，即 ＋a＋ bi＝3＋5i. －10 ＋5i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 根据复数相等的充分必要条件，得 解 得 ∴复数z＝－10＋5i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 16. 求证：（1） ＝ ＋ ； 证明：设z1＝a＋bi（a，b∈R），z2＝c＋di（c，d∈R），则z1 ＋z2＝（a＋c）＋（b＋d）i， 所以 ＝（a＋c）－（b＋d）i， ＝a－bi， ＝c－di， 所以 ＋ ＝（a＋c）－（b＋d）i， 所以 ＝ ＋ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2） ＝ － . 证明：设z1＝a＋bi（a，b∈R），z2＝c＋di（c，d∈R）， 则z1－z2＝（a－c）＋（b－d）i， 所以 ＝（a－c）－（b－d）i， ＝a－bi， ＝c－di， 所以 － ＝（a－c）－（b－d）i， 所以 ＝ － . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 $