第5章 2.1 复数的加法与减法(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦高中数学复数的加法与减法，系统梳理运算法则（实部与实部、虚部与虚部分别相加减）、运算律（交换律、结合律）及几何意义（向量平行四边形与三角形法则），为后续复数乘除运算搭建基础学习支架。 该资料以问题驱动探究，通过“想一想”“题型分类”“通性通法”设计，培养数学运算、直观想象素养。如几何意义结合向量图形助学生直观理解，多种练习与跟踪训练，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺。

2.1　复数的加法与减法 课标要求 1.熟练掌握复数的代数形式的加、减运算法则（数学运算）. 2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题（直观想象）. 　　我们知道，任意两个实数都可以相加，而且实数中的加法运算还满足交换律与结合律. 【问题】　那么复数中的加法满足交换律与结合律吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　复数的加法与减法 1.运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）， 则z1＋z2＝　（a＋c）＋（b＋d）i　， z1－z2＝　（a－c）＋（b－d）i　. 2.运算律 （1）交换律：z1＋z2＝　z2＋z1　； （2）结合律：（z1＋z2）＋z3＝　z1＋（z2＋z3）　. 3.几何意义 如图，设在复平面内复数z1，z2对应的向量分别为，，以OZ1，OZ2为邻边作平行四边形，则z1＋z2对应的向量是　　， z1－z2对应的向量是　　. 　　提醒：（1）把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，则复数的加、减法类似于多项式的加、减法，只需“合并同类项”即可；（2）复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则. 【想一想】 1.两个复数的和（差）还是一个复数吗？ 提示：由复数加、减运算法则知两个复数的和或差仍然是一个复数. 2.在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点.若｜z1＋z2｜＝｜z1－z2｜，则四边形OACB是什么四边形？ 提示：四边形OACB是矩形. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）两个虚数的和或差可能是实数.（　√　） （2）在进行复数的加法运算时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部.（　√　） （3）复数z与共轭复数的差z－的结果只能是实数.（　×　） （4）关于复数的减法的结论（z1－z2）－z3＝z1－（z2＋z3）可能不成立.（　×　） 2.在复平面内，向量对应的复数是5－4i，向量对应的复数是－5＋4i，则＋对应的复数是（　　） A.－10＋8i B.10－8i C.0 D.10＋8i 解析：C　＋＝（5，－4）＋（－5，4）＝（0，0），故＋对应的复数为0. 3.（2＋i）－（6－2i）＋（5＋6i）＝1＋9i. 解析：（2＋i）－（6－2i）＋（5＋6i）＝（2－6＋5）＋（1＋2＋6）i＝1＋9i. 题型一｜复数加、减法的运算 【例1】　计算： （1）（－7i＋5）－（9－8i）＋（3－2i）； 解：（－7i＋5）－（9－8i）＋（3－2i）＝（5－9＋3）＋（－7＋8－2）i＝－1－i. （2）＋（2－i）－； 解：＋（2－i）－＝（＋2－）＋i＝1＋i. （3）已知z1＝2＋3i，z2＝－1＋2i，求z1＋z2，z1－z2. 解：z1＋z2＝2＋3i＋（－1＋2i）＝1＋5i，z1－z2＝2＋3i－（－1＋2i）＝3＋i. 通性通法 复数代数形式的加、减法运算的技巧 （1）复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部； （2）算式中若出现字母，首先确定其是否为实数，再确定复数的实部与虚部，最后把实部与实部、虚部与虚部分别相加减； （3）复数的运算可以类比多项式的运算：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算. 【跟踪训练】 计算：（1－2i）－（2－3i）＋（3－4i）－（4－5i）＋…＋（2 023－2 024i）－（2 024－2 025i）. 解：法一　原式＝（1－2＋3－4＋…＋2 023－2 024）＋（－2＋3－4＋5＋…－2 024＋2 025）i＝－1 012＋1 012i. 法二　（1－2i）－（2－3i）＝－1＋i，（3－4i）－（4－5i）＝－1＋i，…，（2 023－2 024i）－（2 024－2 025i）＝－1＋i. 将上列1 012个式子累加可得，原式＝1 012（－1＋i）＝－1 012＋1 012i. 题型二｜复数加、减法的几何意义 【例2】　如图所示，在平行四边形OABC中，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i.求： （1）所表示的复数，所表示的复数； 解：因为＝（0，0）－（3，2）＝（－3，－2）， 所以所表示的复数为－3－2i. 因为＝，所以所表示的复数为－3－2i. （2）对角线所表示的复数； 解：因为＝－， 所以所表示的复数为（3＋2i）－（－2＋4i）＝5－2i. （3）对角线所表示的复数及的长度. 解：因为对角线＝＋＝＋， 所以所表示的复数为（3＋2i）＋（－2＋4i）＝1＋6i，所以＝＝. 通性通法 　　复数z与复平面内的向量是一一对应的关系，复数的加法可以按照向量的加法来进行，即复数的加法符合向量加法的三角形法则、平行四边形法则. 　　类比实数减法的意义，复数的减法也是加法的逆运算：减去一个复数等于加上这个复数的相反数. 　　若用d表示平面内点Z1和Z2之间的距离，则d＝＝｜z2－z1｜，其中z1，z2是复平面内的两点Z1，Z2对应的复数.这就是复平面内两点间的距离公式. 【跟踪训练】 已知平行四边形ABCD中，与对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于点O. （1）求对应的复数； 解：由于四边形ABCD是平行四边形，所以＝＋，于是＝－，而（1＋4i）－（3＋2i）＝－2＋2i，即对应的复数是－2＋2i. （2）求对应的复数. 解：由于＝－，而（3＋2i）－（－2＋2i）＝5，所以对应的复数是5. 题型三｜与复数的和（差）的模有关的计算问题 【例3】　若z∈C且｜z＋3＋4i｜≤2，｜z－1－i｜的最大值和最小值分别为M，m，则M－m＝（　　） A.3 B.4 C.5 D.9 解析：B　因为｜z＋3＋4i｜≤2，所以复数z在复平面上对应的点P到z1＝－3－4i对应的点A的距离小于或等于2，所以点P在以A（－3，－4）为圆心，半径为2的圆内或圆上，如图. 又｜z－1－i｜表示点P到复数z2＝1＋i对应的点B的距离，所以该距离的最大值为｜AB｜＋2＝＋2＝＋2，最小值为｜AB｜－2＝－2，故M－m＝4. 通性通法 1.将｜z＋z0｜（z，z0∈C）可看作｜z－（－z0）｜，即理解为复数z在复平面上对应的点到复数（－z0）在复平面上对应的点的距离，进而复数的和与差形式可互相转化. 2.｜z－z0｜（z，z0∈C）几何意义的应用 （1）判断点的轨迹； （2）利用几何知识解决代数中的最值（范围）问题. 【跟踪训练】 　设复数z1，z2满足｜z1｜＝｜z2｜＝2，z1＋z2＝＋i，则｜z1－z2｜＝2. 解析：法一　设z1＝x1＋y1i（x1，y1∈R），z2＝x2＋y2i（x2，y2∈R），则由｜z1｜＝｜z2｜＝2，得＋＝＋＝4.因为z1＋z2＝x1＋x2＋（y1＋y2）i＝＋i，所以｜z1＋z2｜2＝（x1＋x2）2＋（y1＋y2）2＝＋＋＋＋2x1x2＋2y1y2＝8＋2x1x2＋2y1y2＝（）2＋12＝4，所以2x1x2＋2y1y2＝－4，所以｜z1－z2｜＝｜x1－x2＋（y1－y2）i｜＝ ＝ ＝＝2. 法二　设z1＝a＋bi（a，b∈R）， 则z2＝－a＋（1－b）i， 则 即 所以｜z1－z2｜2＝（2a－）2＋（2b－1）2＝4（a2＋b2）－4（a＋b）＋4＝4×4－4×2＋4＝12， 所以｜z1－z2｜＝2. 法三　题设可等价转化为向量a，b满足｜a｜＝｜b｜＝2，a＋b＝（，1），求｜a－b｜. 因为（a＋b）2＋（a－b）2＝2｜a｜2＋2｜b｜2， 所以4＋（a－b）2＝16，所以｜a－b｜＝2， 即｜z1－z2｜＝2. 法四　设z1＋z2＝z＝＋i，则z在复平面上对应的点为P（，1），所以｜z1＋z2｜＝｜z｜＝2，由平行四边形法则知OAPB是边长为2，一条对角线也为2的菱形，则另一条对角线的长为｜z1－z2｜＝2××2＝2. 1.若复数z满足z＋i－3＝3－i，则z＝（　　） A.0 B.2i C.6 D.6－2i 解析：D　∵z＋i－3＝3－i，∴z＝3－i－i＋3＝6－2i. 2.已知z1＝2＋i，z2＝1－2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：C　z＝z2－z1＝（1－2i）－（2＋i）＝－1－3i.故z对应的点为（－1，－3），位于第三象限. 3.在复平面内，O是原点，，，表示的复数分别为－2＋i，3＋2i，1＋5i，则表示的复数为（　　） A.2＋8i B.－6－6i C.4－4i D.－4＋2i 解析：C　＝－＝－（＋），3＋2i－（1＋5i－2＋i）＝4－4i，所以表示的复数为4－4i. 4.若复数z满足｜z－i｜＝3，则复数z对应的点Z的轨迹所围成的图形的面积为9π. 解析：由条件知｜z－i｜＝3，所以点Z的轨迹是以点（0，1）为圆心，以3为半径的圆，故其面积为S＝9π. 5.已知i为虚数单位，复数z1＝a＋i，z2＝2－i，且｜z1｜＝｜z2｜，求｜z1－z2｜. 解：依题意得 ＝，由此解得a＝±2. （1）当a＝2时，z1＝2＋i，z1－z2＝（2＋i）－（2－i）＝2i，故｜z1－z2｜＝2. （2）当a＝－2时，z1＝－2＋i，z1－z2＝－2＋i－（2－i）＝－4＋2i， 故｜z1－z2｜＝2. 由（1）（2）得，｜z1－z2｜＝2或｜z1－z2｜＝2. 1.已知z＋5－6i＝3＋4i，则复数z＝（　　） A.－4＋20i B.－2＋10i C.－8＋20i D.－2＋20i 解析：B　z＝3＋4i－（5－6i）＝（3－5）＋（4＋6）i＝－2＋10i. 2.设复数z满足z＋1－2i＝－3＋i，则｜z｜＝（　　） A.6 B.6 C.5 D.5 解析：D　因为z＝－4＋3i，所以｜z｜＝＝5.故选D. 3.已知z＝1－2i，且z＋a＋b＝0，其中a，b为实数，则（　　 ） A.a＝1，b＝－2 B.a＝－1，b＝2 C.a＝1，b＝2 D.a＝－1，b＝－2 解析：A　由题意知＝1＋2i，所以z＋a＋b＝1－2i＋a（1＋2i）＋b＝a＋b＋1＋（2a－2）i，又z＋a＋b＝0，所以a＋b＋1＋（2a－2）i＝0，所以解得故选A. 4.在平行四边形ABCD中，若A，C对应的复数分别为－1＋i和－4－3i，则该平行四边形的对角线AC的长度为（　　） A. B.5 C.2 D.10 解析：B　依题意，对应的复数为（－4－3i）－（－1＋i）＝－3－4i，因此AC的长度为｜－3－4i｜＝5. 5.〔多选〕对任意复数z＝a＋bi（a，b∈R），i为虚数单位，则下列结论中正确的是（　　） A.z－＝2a B.｜z｜＝｜｜ C.z＋＝2a D.z＋＝2bi 解析：BC　由已知＝a－bi，因此z－＝2bi，z＋＝2a，｜z｜＝＝｜｜.故选B、C. 6.〔多选〕在复平面内有一个平行四边形OABC，点O为坐标原点，点A对应的复数为z1＝1＋i，点B对应的复数为z2＝1＋2i，点C对应的复数为z3，则下列结论正确的是（　　） A.点C位于第二象限 B.z1＋z3＝z2 C.｜z1－z3｜＝｜｜ D.｜z2＋z3｜＝ 解析：BC　如图，由题意，O（0，0），A（1，1），B（1，2），＝（0，1），∵OABC为平行四边形，∴＝（0，1），则C（0，1），∴z3＝i，点C位于虚轴上，故A错误；z1＋z3＝（1＋i）＋i＝1＋2i＝z2，故B正确；｜z1－z3｜＝｜1＋i－i｜＝1＝｜｜，故C正确；｜z2＋z3｜＝｜（1＋2i）＋i｜＝｜1＋3i｜＝，故D错误.故选B、C. 7.在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量，对应的复数分别是3＋i，－1＋3i，则对应的复数是4－2i. 解析：∵＝－，∴表示的复数为（3＋i）－（－1＋3i）＝4－2i.∵＝，∴表示的复数为4－2i. 8.已知z1＝（3x＋y）＋（y－4x）i（x，y∈R），z2＝（4y－2x）－（5x＋3y）i（x，y∈R）.设z＝z1－z2，且z＝13－2i，则z1＝5－9i，z2＝－8－7i. 解析：z＝z1－z2＝（3x＋y－4y＋2x）＋（y－4x＋5x＋3y）i＝（5x－3y）＋（x＋4y）i＝13－2i. ∴解得∴z1＝5－9i，z2＝－8－7i. 9.已知复数z满足｜z｜＝1，则｜z－2i｜的取值范围为[1，3]. 解析：｜z｜＝1表示z在复平面内的对应点是以原点为圆心的单位圆上的点.｜z－2i｜的几何意义表示单位圆上的点和点（0，2）之间的距离，所以最小距离为2－1＝1，最大距离为2＋1＝3.所以｜z－2i｜的取值范围为[1，3]. 10.（1）计算：（2－3i）＋（－4＋2i）； （2）已知z1＝（3x－4y）＋（y－2x）i，z2＝（－2x＋y）＋（x－3y）i，x，y为实数，若z1－z2＝5－3i，求｜z1＋z2｜. 解：（1）（2－3i）＋（－4＋2i）＝（2－4）＋（－3＋2）i＝－2－i. （2）z1－z2＝[（3x－4y）＋（y－2x）i]－[（－2x＋y）＋（x－3y）i]＝[（3x－4y）－（－2x＋y）]＋[（y－2x）－（x－3y）]i＝（5x－5y）＋（－3x＋4y）i＝5－3i，所以解得x＝1，y＝0，所以z1＝3－2i，z2＝－2＋i，则z1＋z2＝1－i，所以｜z1＋z2｜＝. 11.复数z1＝1＋icos θ，z2＝sin θ－i，则｜z1－z2｜的最大值为（　　） A.3－2 B.－1 C.3＋2 D.＋1 解析：D　｜z1－z2｜＝｜（1－sin θ）＋（cos θ＋1）i｜＝＝＝.∵cos＝1，∴｜z1－z2｜max＝＝＋1. 12.〔多选〕已知i为虚数单位，下列说法正确的是（　　） A.若复数z满足｜z－i｜＝，则复数z在复平面内的对应点在以（1，0）为圆心，为半径的圆上 B.若复数z满足z＋｜z｜＝2＋8i，则复数z＝15＋8i C.复数的模实质上是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模 D.非零复数z1对应的向量为，非零复数z2对应的向量为，若｜z1＋z2｜＝｜z1－z2｜，则⊥ 解析：CD　A中复数z在复平面内的对应点在以（0，1）为圆心，为半径的圆上，A错误；设z＝a＋bi（a，b∈R），则｜z｜＝.由z＋｜z｜＝2＋8i，得a＋bi＋＝2＋8i，即解得所以z＝－15＋8i，B错误，C正确； 由｜z1＋z2｜＝｜z1－z2｜的几何意义知，以，为邻边的平行四边形为矩形，从而两邻边垂直，D正确. 13.A，B分别是复数z1，z2在复平面上对应的两点，O为原点，若｜z1＋z2｜＝｜z1－z2｜，则△AOB为直角三角形. 解析：由复数的加、减法的几何意义可知，当｜z1＋z2｜＝｜z1－z2｜时，∠AOB＝90°. 14.已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i. （1）求点C，D对应的复数； （2）求平行四边形ABCD的面积. 解：（1）∵向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，＝－， ∴向量对应的复数为（3－i）－（1＋2i）＝2－3i. 又＝＋， ∴点C对应的复数为（2＋i）＋（2－3i）＝4－2i. ∵＝，∴向量对应的复数为3－i， 即＝（3，－1）. 设D（x，y），则＝（x－2，y－1）＝（3，－1）， ∴解得 ∴点D对应的复数为5. （2）∵·＝｜｜｜｜cos B， ∴cos B＝＝＝＝. ∴sin B＝. ∴S▱ABCD＝｜｜｜｜sin B＝××＝7， 故平行四边形ABCD的面积为7. 15.已知f（z）＝｜2＋z｜－z，且f（－z）＝3＋5i，则复数z＝－10＋5i. 解析：设复数z＝a＋bi（a，b∈R）. ∵f（z）＝｜2＋z｜－z，∴f（－z）＝｜2－z｜＋z. 又∵f（－z）＝3＋5i，∴｜2－z｜＋z＝3＋5i， ∴｜2－（a＋bi）｜＋a＋bi＝3＋5i，即＋a＋bi＝3＋5i. 根据复数相等的充分必要条件，得解得 ∴复数z＝－10＋5i. 16.求证：（1）＝＋； （2）＝－. 证明：（1）设z1＝a＋bi（a，b∈R），z2＝c＋di（c，d∈R），则z1＋z2＝（a＋c）＋（b＋d）i， 所以＝（a＋c）－（b＋d）i， ＝a－bi，＝c－di， 所以＋＝（a＋c）－（b＋d）i， 所以＝＋. （2）设z1＝a＋bi（a，b∈R），z2＝c＋di（c，d∈R）， 则z1－z2＝（a－c）＋（b－d）i， 所以＝（a－c）－（b－d）i， ＝a－bi，＝c－di， 所以－＝（a－c）－（b－d）i， 所以＝－. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $