精品解析：江苏省徐州市树恩中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

徐州树恩高级中学2024-2025第二学期高二3月月考数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40.0分，在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 若（m为常数），则等于（ ） A. B. 1 C. m D. 2. 已知曲线y＝x3在点P处的切线的斜率k＝3，则点P的坐标是（ ） A. (1，1) B. (－1，1) C. (1，1)或(－1，－1) D. (2，8)或(－2，－8) 3. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，是的导函数，若，则 A. B. C. D. 5. 函数的导函数为（ ） A B. C. D. 6. 已知函数，那么（ ） A. B. 2 C. D. 7. 函数的导函数的图象如图，函数的一个单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 8. 函数的图像大致为 (　　) A B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，共18分，在每小题有多项符合题目要求） 9. （多选题）下列求导运算错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是（ ） A. B. 函数在上递增，在上递减 C. 函数的极值点为， D. 函数的极大值为 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 只有一个极值点 B. 设，则与的单调性相同 C. 在上单调递增 D. 有且只有两个零点 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 如图，函数的图象在点处的切线方程是，则_____． 13. 函数的单调递减区间为___________． 14. 设函数在内可导，其导函数为，且，则______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 求下列函数在给定点处的导数： （1）在处导数； （2）在处的导数． 16. 已知函数. （1）求这个函数的导数； （2）求这个函数的图象在点处的切线方程. 17. 证明不等式：， 18. 已知函数. （1）若在区间上为增函数，求a取值范围. （2）若的单调递减区间为，求a的值. 19. 设函数，其中在，曲线在点处切线垂直于轴 （Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）求函数极值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 徐州树恩高级中学2024-2025第二学期高二3月月考数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40.0分，在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 若（m为常数），则等于（ ） A B. 1 C. m D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据导数的概念，直接计算，即可得出结果. 【详解】由题意，根据导数的概念可得， ， 所以. 故选：D. 2. 已知曲线y＝x3在点P处的切线的斜率k＝3，则点P的坐标是（ ） A. (1，1) B. (－1，1) C. (1，1)或(－1，－1) D. (2，8)或(－2，－8) 【答案】C 【解析】 【分析】先利用求导公式求出的导数，再利用已知条件求出的值，即可得出结果. 【详解】因为y＝x3， 所以y′＝＝[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2． 由题意，知切线斜率k＝3， 令3x2＝3， 得x＝1或x＝－1． 当x＝1时，y＝1； 当x＝－1时，y＝－1． 故点P的坐标是(1，1)或(－1，－1)． 故选：C. 3. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用基本初等函数的导数公式可求得. 【详解】，因此，. 故选：D. 4. 已知函数，是的导函数，若，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求得函数的导数，然后根据列方程，解方程求得的值. 【详解】依题意，故，解得.故选C. 【点睛】本小题主要考查基本初等函数导数的计算，考查方程的思想，属于基础题. 5. 函数的导函数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的运算法则即可得出. 【详解】 ， 故选：. 【点睛】本题考查了导数的运算法则，属于基础题. 6. 已知函数，那么（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 求出函数的导数后，代入运算即可得解. 【详解】由题意，， 所以. 故选：A. 7. 函数的导函数的图象如图，函数的一个单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用的图象得出的正负情况，由和的关系，进而得到函数的单调性情况，由此判断选项得出答案． 【详解】解：由图象可知，当，，时，， 当时，， 函数在上单调递减，在，，上单调递增， 函数的一个单调递减区间是. 故选：B． 【点睛】本题考查导函数与原函数的关系，考查数形结合思想，属于基础题． 8. 函数的图像大致为 (　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像. 详解：为奇函数，舍去A, 舍去D; ， 所以舍去C；因此选B. 点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． 二、多选题（本大题共3小题，共18分，在每小题有多项符合题目要求） 9. （多选题）下列求导运算错误的是（ ） A B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】运用基本初等函数的导数公式进行判断即可. 【详解】因为，所以A不正确； 因为，所以B不正确； 因为，所以C正确； 因为，所以D不正确． 故选：ABD 10. 已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是（ ） A. B. 函数在上递增，在上递减 C. 函数的极值点为， D. 函数的极大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】 对A，B由导数与函数单调性的关系，即可判断，， 的大小以及的单调性，对C，D由极值的定义即可判断. 【详解】解：由题图知可，当时，， 当时，，当时，， 所以在上递增， 在上递减，在上递增， 对A，，故A错误； 对B，函数)在上递增，在上递增，在上递减，故B错误； 对C，函数的极值点为，，故C正确； 对D，函数的极大值为，故D错误. 故选：ABD. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 只有一个极值点 B. 设，则与的单调性相同 C. 在上单调递增 D. 有且只有两个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用的二次求导，得到， ，从而存在，使得，结合函数极值点的定义即可判断选项，求出的解析式，然后利用导数研究其单调性即可判断选项，利用函数单调性的结论即可判断选项．利用函数的极值点即可判断选项. 【详解】解：由题知，，，所以在上单调递增，当时，；当时，，所以存在，使得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以有且只有一个极值点，故A正确； 因为，所以，所以，所以，故的一个极值点为0，所以与的单调性不相同，故B错误； 因为与在上都是单调递增，所以在上单调递增，故C正确； 因为有且只有一个极值点，，且，所以在和上各有一个零点，所以有且只有两个零点，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 如图，函数的图象在点处的切线方程是，则_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据导数几何意义以及图象得,即得结果. 【详解】由图像的信息可知． 【点睛】本题考查导数几何意义,考查基本求解能力,属基础题. 13. 函数的单调递减区间为___________． 【答案】 【解析】 【分析】 首先求出导函数，令，解不等式即可. 【详解】 令，解得， 所以函数的单调递减区间为． 故答案为： 14. 设函数在内可导，其导函数为，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先由，根据换元法求出，对函数求导，将代入导函数，即可得出结果. 【详解】因为， 令，则，所以， 即，所以， 因此. 故答案为： 【点睛】本题主要考查求导函数值，熟记导数的计算公式，以及求解析式的方法即可，属于常考题型. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 求下列函数在给定点处的导数： （1）在处的导数； （2）在处的导数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据复合函数的求导法则求解出的导函数，然后将代入导函数计算出结果即可； （2）先根据复合函数的求导法则求解出的导函数，然后将代入导函数计算出结果即可. 小问1详解】 因为函数可以看作函数和的复合函数， 所以， 所以当时，. 【小问2详解】 因为函数可以看作函数和的复合函数， 所以， 所以当时，. 16. 已知函数. （1）求这个函数的导数； （2）求这个函数的图象在点处的切线方程. 【答案】（1）；（2）切线方程：. 【解析】 【分析】 （1）根据导数的运算法则和常见函数的导数算出结果即可； （2）求出和在处的值即可. 【详解】（1）因，所以 （2）因为在处的值为1，在处的值为2 所以切线方程为，即 17. 证明不等式：， 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】构造，利用导数研究在上单调性并确定最小值，即可证明结论. 【详解】由题设，要证只需证即可， 令，则，而， ∴当时，，单调递减；当时，，单调递增； 故，即在上恒成立， ∴，得证. 18 已知函数. （1）若在区间上为增函数，求a的取值范围. （2）若的单调递减区间为，求a的值. 【答案】（1）；（2）3. 【解析】 【分析】（1）由题意可得在上恒成立，即在上恒成立，转化为不等式右边的最小值成立，可得答案； （2）显然，否则函数在上递增.利用导数求出函数的递减区间为，再根据已知递减区间，可得答案 【详解】（1）因为，且在区间上为增函数， 所以在上恒成立，即在(1，+∞)上恒成立， 所以在上恒成立，所以，即a的取值范围是 （2）由题意知.因为，所以. 由，得， 所以的单调递减区间为， 又已知的单调递减区间为， 所以， 所以，即. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，特别要注意：函数在某个区间上递增或递减与函数的递增或递减区间是的区别，属于基础题. 19. 设函数，其中在，曲线在点处的切线垂直于轴 （Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）求函数极值． 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）极小值 【解析】 【分析】（Ⅰ）因 ，故 由于曲线 在点 处的切线垂直于轴，故该切线斜率为0，即 ，从而 ，解得 （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 令，解得（因 不在定义域内，舍去）当 时， 故 在上为减函数；当 时， 故 在上为增函数，故在 处取得极小值 本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的最值及其几何意义、两条直线平行的判定等基础知识，考查运算求解能力 【详解】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$