1.3.1等比数列的概念及通项公式 课件-2024-2025学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

等比数列的概念及其通项公式 崇仁二中高二数学 1 1.数列的定义 按一定次序排列的一列数 2.等差数列的定义： 对于一个数列，如果从第2项起，每一项与它的前一项的差都是同一个常数，那么称这样的数列为等差数列，这个常数为等差数列的公差，通常用字母表示. 3.等差数列的通项公式： (知三求一) 复习巩固 崇仁二中高二数学 （1）拉面馆的师傅将一根很粗的面条拉抻、捏合、再拉抻、再捏合，如此反复几次，就拉成了许多根细面条.这样拉抻、捏合8次后可拉出多少根细面条？ 第1次是1根，后面每次捏合都将1根变为2根， 第2次捏合成2×1 ＝ 2（根）； 第3次捏合成2×2 ＝ 22＝4（根）； … 第8次捏合成2×26＝27 ＝ 128（根）. 前8次捏合成的面条根数构成一个数列 1，2，4，8，16，32，64，128. 情境引入 这个数列具有什么特点？ 从第 2 项起，每一项与它的前一项的比值都是 2. 崇仁二中高二数学 3 （2）星火化工厂今年产值为 a 万元，计划在以后 5 年中每年比上一年产值增长 10%，试列出从今年起 6 年的产值（单位：万元）. 第1年产值：a； 第 2 年产值：a＋a×10%＝a(1＋10%)； 第 3 年产值：a(1＋10%)＋a(1＋10%)×10%＝a(1＋10%)2； … 第 6 年产值：a（1 ＋ 10%）4＋a（1 ＋ 10%）4×10%＝a（1 ＋ 10%）5. 故这6年的产值构成一个数列 a，a(1 ＋ 10%)，a(1＋10%)2，a(1＋10%)3，a(1＋10%)4，a(1＋10%)5. 从第2项起，每一项与它的前一项的比值都是1＋10%＝1.1. 这个数列具有什么特点？ 崇仁二中高二数学 4 ①1，2，4，8，16，32，64，128. ②a，a(1 + 10%)，a(1+10%)2，a(1+10%)3，a(1+10%)4，a(1+10%)5. 经比较，可以看出数列①，②有如下的共同特征：从第 2 项起，每一项与它的前一项的比值都是一个与项数 n 无关的常数. 思考：两个数列有什么共同特征？ 等差数列的定义： 对于一个数列，如果从第2项起，每一项与它的前一项的差都是同一个常数，那么称这样的数列为等差数列，这个常数为等差数列的公差，通常用字母表示. 类比等差数列的定义，如何称呼和定义此类数列？ 崇仁二中高二数学 5 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数, 那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示(显然)． 等比数列的概念： 符号表示： 抽象概括 崇仁二中高二数学 判断以下数列是否是等比数列？若是，指出公比；若不是，说明理由． （1） （2）； （3） （4） （5）a,a,a,a,… 讨论a的值是否为零 概念辨析 崇仁二中高二数学 （1）任意一项 (3)时，为非零常数列. （4）非零常数列既是等差数列，又是等比数列， 公差为0，公比为1. （2）公比可为正数、负数，不能为0. 归纳总结 对等比数列 崇仁二中高二数学 8 (1) 1, (2) 1,1,1,…,1; (3) 1,2,4,8,12,16,20; (4). 是等比数列，公比. 是公比等比数列. 因为，所以该数列不是等比数列. (4).当，它是公比等比数列； 当，它不是等比数列. 例1：判断下列数列哪些是等比数列？若是，请写出公比. 典例精析 能求出以上等比数列的通项公式吗？ 崇仁二中高二数学 探究：已知首项为 ，公比为 的等比数列 ，求其通项公式. 提示：类比等差数列通项公式的推导方法 设一个等比数列 的公比为 q， ∴＝q， 归纳可得an＝a1qn－1（n≥2）， 又a1＝a1q0＝a1q1－1，这就是说，当n＝1时，上式也成立． ∴首项为a1，公比为 q 的等比数列 的通项公式为 an＝a1qn－1． 根据等比数列的定义，可得＝， ＝＝（）q＝q2， a4＝a3q＝（a1q2）q＝a1q3， …… 新课探究 等差数列有叠加法， 等比数列有类似的方法吗？ 归纳法 崇仁二中高二数学 10 设一个等比数列 的公比为 q，根据等比数列的定义，可得 将上述（n－1）个式子相乘得 ∴an＝a1qn－1（n≥2）， 又a1＝a1q0＝a1q1－1，这就是说，当 n＝1时，上式也成立． ∴首项为a1，公比为 q 的等比数列 的通项公式为 an＝a1qn－1． 探究：已知首项为 ，公比为 的等比数列 ，求其通项公式. 新课探究 累乘法 …… 崇仁二中高二数学 11 等比数列的通项公式 已知等比数列{}的首项和公比,则等比数列通项公式为 (1)在已知首项和公比的前提下，利用通项公式可求出等比数列中的任意一项. (2)在公式，有四个量，如果已知任意三个量，那么可求出第四个量. (3)在记忆公式时，要注意的指数比项数小1这一特点. 抽象概括 崇仁二中高二数学 (1) 1, (2) 1,1,1,…,1; (4). 例1：判断下列数列哪些是等比数列？若是，求出通项公式. an＝1 当 典例精析 崇仁二中高二数学 (2)a4＝a1q3， 8＝q3，∴q＝2， an＝a1qn－1＝2n－1. (3) 故a1＝5. 例2：在等比数列{an}中： (1)若a1＝－2，q＝－ ，求通项公式an； (2)a1＝1，a4＝8，求an； (3)an＝625，n＝4，q＝5，求a1； 崇仁二中高二数学 例3：在等比数列中，已知，，，求. 解： （方法一）由已知可得 由得，将的值代入①得. 又∵， ∴， 即， ∴. 崇仁二中高二数学 解：（方法二）∵， ∴. 由，得. 又∵，∴， 即，∴. 反思：可根据两个条件列出关于，的方程组，求出，； 也可直接利用各项之间的关系，直接求出，再求． 例3：在等比数列中，已知，，，求. 崇仁二中高二数学 例4：已知等比数列{an}中，，，则_____． 解：∵ ，， ∴，∴， ∴或， 即或. 或 变式：已知等比数列{an}中，，，则_____． 反思：已知等比数列 中的 和 两项，可以使用 求公比， 其中 m 可大于 n，也可小于 n 崇仁二中高二数学 等差数列 等比数列 抽象概念 归纳法 累加法 通项公式 本课小结 累乘法 归纳法 类比思想 崇仁二中高二数学 $$