湖南省潭市一中2024-2025学年八年级上学期开学考试数学试题

湖南省湘潭市一中2024-2025学年八年级上学期开学考试数学试题 注意事项： 1.本卷为试题卷，考生应在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效. 2.答题前，考生须将自己的姓名、准考证分别在试题卷和答题卡上填写清楚. 3.答题完成后，请将试题卷、答题卡、草稿纸放在桌子上，由监考老师统一收回. 4.本试卷共三道答题，25道小题，满分120分，时量共120分钟. 阅卷人 一、单选题（本大题10个小题，每小题3分，共30分，请将每个小题所给四个选项中唯一正确选项的代号填涂在答题卡相应的位置上） 得分 1．下列手机中的图标是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．要使分式有意义，则x应满足的条件为（　　） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 5．在中，的对边分别记为a，b，c，其中不能判定为直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 6．若，且a､b为整数，则的值不可能是（　　） A．14 B．2 C．16 D． 7．下列计算结果正确的是（　　） A． B． C． D． 8．衡阳市某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产量30万千克，为了满足市场需求，现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为x万千克，根据题意，列方程为（　　） A． B． C． D． 9．已知，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 10．若点在边长为2等边三角形的边上移动，则的最小值是（　　） A．2 B． C． D． 阅卷人 二、填空题（本答题共6个小题，每小题3分，共18分，请将正确答案写在答题卡相应的横线上） 得分 11．在平面直角坐标系中，点A（2，6）关于y轴对称的点B的坐标是　 　. 12．已知某种病毒的直径是0.000000091米，这个数可用科学记数法表示为　 　米． 13．分解因式：　 　. 14．已知，则　 　． 15．如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞　 　m． 16．分式方程的解是　 　． 阅卷人 三、解答题（本大题共9小题．17、18、19每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24，25每题10分，共72分每个题目都要求在答题卡的相应位置写出计算、解答或证明的主要步骤） 得分 17．计算： 18．先化简，再求值，其中． 19．解方程： （1） （2） 20．随着社会的发展，私家车变得越来越普及，使用节能低油耗汽车，对环保有着非常积极的意义．某市有关部门对该市的某一型号的若干辆汽车进行了一项油耗抽样试验：在同一条件下，被抽样的该型号汽车，在耗油1L的情况下所行驶的路程(单位：km)。对得到的数据进行统计分析，结果如图所示。 (注：记A为12~12.5，B为12.5~13，C为13~13.5，D为13.5~14，E为14~14.5) 请依据统计结果回答以下问题： （1）试求进行该试验的车辆数； （2）请补全频数直方图； （3）求扇形D的圆心角的度数。 21．如图，∠C＝∠D＝90°，∠CBA＝∠DAB． （1）求证：△ABC≌△BAD； （2）若∠DAB＝70°，则∠CAB＝　 　°． 22．2024年3月14日是第五个“国际数学日”，某校数学组在今年“国际数学日”举行了数学游园活动，购买了一批钢笔和自动铅笔作为奖品．在前期询价时，通过电话询问文具店了解到，钢笔的价格比自动铅笔贵60%，且花300元购买的自动铅笔比花400元购买的钢笔多10支． （1）求前期电话询问时钢笔和自动铅笔的单价分别为多少？ （2）前往文具店购买时，恰逢商家对价格进行了调整：自动铅笔比之前询问时涨价20%，而钢笔则按之前询问价格的8.5折出售．若学校最终购买了钢笔和自动铅笔共200支，且购买奖品的费用没有超过1250元，则学校最多购买了多少支钢笔作为奖品？ 23．在△ABC中，∠B＝∠C，点D在边AB上，过点D作DE⊥BC于点E． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点F在AC边上，连接EF，使∠FED＝∠B，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，过点D作，交边AC于G，点G是AF中点，求证：△ADG是等边三角形． 24．若三个非零实数x、y、z满足：若其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x、y、z构成“和谐三数组”。例如：因为、、的倒数能够满足，所以数组－、、构成“和谐三数组” （1）下列三组数构成“和谐三数组”的有　 　；（填序号） ①1、2、3；②1、、；③、、． （2）若、、构成“和谐三数组”，求实数的值； （3）若非零实数、、构成“和谐三数组”，且满足以下三个条件：①；②点到原点的距离记为；③不等式恒成立。求实数的取值范围． 25．如图，在△ABC中，，AB＝5，BC＝3，若动点P从点A出发，以1个单位每秒的速度沿折线运动，设运动时间为t秒． （1）若点P在AC上，且满足PA＝PB，求出此时的值； （2）若点P恰好在∠BAC的平分线上，求的值； （3）在运动过程中，直接写出当为何值时，△BCP为等腰三角形． 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意； B．不是轴对称图形，故此选项不合题意； C．是轴对称图形，故此选项符合题意； D．不是轴对称图形，故此选项不合题意． 故答案为：C 【分析】轴对称图形的定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分完全重合，称这个图形为轴对称图形，这条直线叫做对称轴. 2．【答案】D 【解析】【解答】解：由题意得：， 解得：， 故选：D． 【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零列出不等式，解不等式即可求出 x应满足的条件 ． 3．【答案】B 4．【答案】C 5．【答案】C 6．【答案】C 7．【答案】C 8．【答案】A 9．【答案】D 10．【答案】D 【解析】【解答】解：过点作，交于点， ∵等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵，点边上移动， ∴， 当点与点重合时，取得最小值， 故答案为：D． 【分析】过点作，交于点，根据等边三角形的性质得出，然后在中，勾股定理求得，根据垂线段最短，即可求解． 11．【答案】(－2，6) 【解析】【解答】解：点A（2，6）关于y轴对称的点B的坐标是（-2，6）， 故答案为：（-2，6）. 【分析】根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等求解即可。 12．【答案】 13．【答案】 【解析】【解答】解： 故答案为：. 【分析】先利用提公因式法进行因式分解，再利用平方差公式进行因式分解即可. 14．【答案】 【解析】【解答】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴． 故答案为：． 【分析】先利用非负数之和为0的性质求出x、y的值，再将x、y的值代入xy计算即可. 15．【答案】10 16．【答案】 【解析】【解答】解： 去分母，得2（x-2）-x=0， 解得x=4， 经检验，x=4为原方程的解， 故答案为： 【分析】根据题意直接解分式方程即可求解。 17．【答案】解： ​​​​​​​ 【解析】【分析】先计算零指数幂、化简绝对值、特殊角三角函数值计算、化简二次根式、计算负整数指数幂，再进行加减运算即可． 18．【答案】解：原式 ， 当时，原式． 【解析】【分析】主要考查整式的化简求值。化简时先要利用完全平方公式和平方差公式计算出，计算时还要注意运算顺序，即先乘方，再乘除，最后加减。并且解答此题的技巧为不解方程，整体代入求值。 19．【答案】（1） （2） 20．【答案】（1）解：进行该试验的车辆数为 9÷30%=30(辆) （2）B：20%×30=6(辆)， D：30-2-6-9-4= 9(辆)， 补全频数分布直方图如下： （3）扇形D的圆心角的度数为360°× =108° 【解析】【分析】（1）利用C试验的车辆数÷C试验的车辆数所占的百分比，列式计算可求解. （2）先求出B，D组的车辆数，再补全频数分布直方图. （3）扇形D的圆心角的度数=360°×D组的车辆数所占的百分比，列式计算即可. 21．【答案】（1）证明：在△ABC和△BAD中， ， ∴△ABC≌△BAD（AAS）； （2）20 【解析】【解答】解：（2）∵∠DAB＝70°，∠D＝90°， ∴∠DBA＝90°-70°＝20°， 由（1）知△ABC≌△BAD， ∴∠CAB＝∠DBA＝20°， 故答案为：20． 【分析】（1）利用全等三角形的判定定理“AAS”证明△ABC≌△BAD； （2）根据直角三角形两锐角互余求出∠DAB=20°，由（1）得△ABC≌△BAD，根据全等三角形对应角相等得∠CAB＝∠DBA＝20°. 22．【答案】（1）前期电话询问时钢笔的单价是8元，自动铅笔的单价是5元 （2）学校最多购买了62支钢笔作为奖品 23．【答案】（1）证明：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，，， ∴． ， ， ， ． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴； （3）证明： ∠EDG=∠EFG=90且DE=EF∴∠GDF=∠GFD ∴DG=GF=AG ∴是等边三角形， 【解析】【分析】（1）先根据题意得到，进而根据垂直进行角的运算即可求解； （2）先根据题意得到，进而结合题意运用等腰三角形的性质得到，再根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，，从而结合题意即可求解； （3）先根据题意得到∠GDF=∠GFD，DG=GF=AG，进而根据等边三角形的判定即可求解。 24．【答案】（1）②③ （2）解：倒数为，的倒数为，的倒数为， 、、构成“和谐三数组” ①当时，解得：； ②当时，解得：；（t+1不等于0） ③当时，解得：； 综上可知，实数的值为或； （3）解：，∴c=-a-b 点到原点的距离记为， =1+2x+2x2=2（x+）2+ ∴n2= 解不等式得-1＜m＜2 【解析】【解答】解：（1）①，，， 1、2、3不能构成“和谐三数组”； ②， 1、、能构成“和谐三数组”； ③的倒数为，的倒数为，的倒数为， ， 、、能构成“和谐三数组”； 三组数中构成“和谐三数组”的有②③， 故答案为：②③； 【分析】（1）根据“和谐三数组”结合倒数、二次根式的化简即可求解； （2）先根据倒数得到倒数为，的倒数为，的倒数为，进而分类讨论即可求解； （3）先根据题意得到c=-a-b，再根据坐标系两点间的距离公式即可得到，进而化简解不等式即可求解。 25．【答案】（1）解：∵△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3， 由勾股定理得AC=， 连接BP，如图所示： 当PA=PB时，PA=PB=t，PC=4t， 在Rt△PCB中，PC2+CB2=PB2， 即（4t）2+32=t2， 解得：t=， ∴当t=时，PA=PB； （2）解：如图1，过P作PE⊥AB， 又∵点P恰好在∠BAC的角平分线上，且∠C=90°，AB=5，BC=3， ∴CP=EP， 在Rt△ACP和Rt△AEP中， ， ∴Rt△ACP≌Rt△AEP（HL）， ∴AC=AE=4， ∴BE=1， 设CP=EP=x，则BP=3-x， 在Rt△BEP中，BE2+PE2=BP2， 即12+x2=（3-x）2， 解得x=， ∴CP=， ∴CA+CP=4+=， ∴t=； 当点P沿折线A-C-B-A运动到点A时，点P也在∠BAC的角平分线上， 此时，t=5+4+3=12； 综上，若点P恰好在∠BAC的角平分线上，t的值为或12； （3）解：t为1或10或10.6或9.5时，△BCP为等腰三角形． 【解析】【解答】解：（3）①如图2，点P在CA上，当CP=CB=3时，△BCP为等腰三角形， 则t=4-3=1； ②如图3，当BP=BC=3时，△BCP为等腰三角形， ∴AC+CB+BP=4+3+3=10， ∴t=10； ③如图4，若点P在AB上，当CP=CB=3时，△BCP为等腰三角形； 作CD⊥AB于D，则根据面积法求得：CD=， 在Rt△BCD中，由勾股定理得，BD=， ∴PB=2BD=3.6， ∴CA+CB+BP=4+3+3.6=10.6， 此时t=10.6； ④如图5，当PC=PB时，△BCP为等腰三角形， 作PD⊥BC于D，则D为BC的中点， ∴PD为△ABC的中位线， ∴AP=BP=AB=2.5， ∴AC+CB+BP=4+3+2.5=9.5， ∴t=9.5； 综上所述，t为1或10或10.6或9.5时，△BCP为等腰三角形． 【分析】（1）先勾股定理求出AC，进而连接BP，再结合勾股定理即可求出t； （2）过P作PE⊥AB，设CP=x，先根据角平分线的性质得到CP=EP，再运用三角形全等的判定与性质得到AC=AE=4，设CP=EP=x，则BP=3-x，根据勾股定理即可求出t。 （3）分类讨论：当CP=CB时，△BCP为等腰三角形，若点P在AC上，根据AP的长即可得到t的值，若点P在AB上，根据P移动的路程易得t的值；当PC=PB时，△BCP为等腰三角形，作PD⊥BC于D，根据等腰三角形的性质得BD=CD，则可判断PD为△ABC的中位线，则AP=AB=2.5，易得t的值；当BP=BC=3时，△BCP为等腰三角形，易得t的值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$