专题08 探索规律--2025年小升初数学备考真题分类汇编（北京地区专版）

专题08 探索规律-2024-2025学年 小升初数学备考真题分类汇编（北京地区专版） 一、填空题 1．（2024·北京通州·小升初真题）一串彩灯按照“红、黄、蓝、绿”的规律排列着，第8个彩灯是( )颜色，第25个彩灯是( )色。 2．（2024·北京大兴·小升初真题）用围棋子按下面的规律摆图形，摆第5个图形需要( )枚围棋子，摆第n个图形需要( )枚用棋子。 3．（2023·北京昌平·小升初真题）下图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个“十”字圈出5个数（如3，9，10，11，17）。照此方法，若圈出的5个数中，最大数与最小数的和为46，则这5个数的和为( )。 4．（2023·北京房山·小升初真题）找规律填空。 1＋3＝( )＝( )2 1＋3＋5＝( )＝( )2 1＋3＋5＋7＝( )＝( )2 1＋3＋5＋7＋…＋97＋99＝( )＝( )2 5．（2023·北京·小升初真题）平面上 5 条直线最多能把圆的内部分成 部分． 6．（2023·北京·小升初真题）按规律填数：2，5，9，14，20， ，35，…。 7．（2024·北京海淀·小升初真题）一次大型运动会上，工作人员按照3个红气球，2个黄气球，1个绿气球的顺序把气球穿起来装饰运动场，那么第2008个气球是 颜色的（填“红”、“黄”或“绿”） 8．（2023·北京海淀·小升初真题）把一根长2米的木材锯成5段要用24分钟，如果要锯成8段，要用( )分钟。 9．（2023·北京海淀·小升初真题）如图，从图1到图3都是由小正方体搭建成的正方体，在图1中共有一个看得见的小正方体，图2中共用7个可以看得见的小正方体，图3中共有19个可以看得见小正方体，依照这种搭建的规律，在第4图中共有 个看得见的小正方体，在图n（n为正整数）中共有 个看得见的小正方体。 10．（2024·北京海淀·小升初真题）如图，将一些宽9厘米、长18厘米的长方形按如图规律摆放，共摆10层，则一共有 个长方形，这10层构成的整个图形的周长为 厘米。 二、选择题 11．（2023·北京西城·小升初真题）古希腊毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，…这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16，…这样的数称为“正方形数”。从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看成两个相邻“三角形数”之和。下面的等式中，符合这一规律的是（    ）。 A．13＝3＋10 B．25＝19＋6 C．36＝15＋21 D．49＝18＋31 12．（2024·北京大兴·小升初真题）四个小动物排座位，一开始，小狗、小猴、小兔、小猫分别坐在1、2、3、4号位置上。如图所示，它们现在要交换座位，第1次上下交换，第2次左右交换，第3次上下交换，第4次左右交换……照这样的规律，第6次交换座位后，小狗坐在（    ）号位置上。 A．1 B．2 C．3 D．4 13．（2023·北京房山·小升初真题）某餐厅里，一张桌子可坐6人，如下图，按照上面的规律，张桌子能坐（    ）人。 …… A． B． C． D． 14．（2024·北京东城·小升初真题）红红按照一定的规律用小棒摆出了下面的4幅图。 如果按照这个规律继续摆，第五幅图要用（    ）根小棒。 A．23 B．31 C．35 D．45 15．（2024·北京顺义·小升初真题）下面分数是有规律排列的，、、、……根据这个规律，第20个分数是（    ）。 A． B． C． D． 三、判断题 16．（2023·北京东城·小升初真题）……，第103个图形是。( ) 17．（2024·北京房山·小升初真题）〇☆☆☆△△〇☆☆☆△△〇☆☆☆△△……第111个图形是☆。( ) 18．（2023·北京房山·小升初真题）■◇◇●●●■◇◇●●●■◇◇●●●……照这样的规律，第70个图形是◇。( ) 19．（2023·北京房山·小升初真题）一根木料锯成4段用12分钟，另一根锯成8段要24分钟．( ) 20．（2023·北京东城·小升初真题），小数点后第100位上的数是5。( ) 四、解答题 21．（2024·北京房山·小升初真题）A、B、C三个小朋友互相传球，先从A开始发球（作为第一个传球）这样经过5次传球后，球恰巧又回到A手中，那么不同的传球方式共有多少种？ 22．（2024·北京东城·小升初真题）某快递公司在甲地和乙地之间共设有21个服务驿站（包括甲站、乙站）。一辆快递货车由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要先卸下前面每站发往该站的货包各1个，再装上该站发往后面每站的货包各1个。在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是几个？ 23．（2023·北京海淀·小升初真题）观察下列图案： 第10个图含多少个黑点？ 24．（2024·北京顺义·小升初真题）将一些小圆点按一定的规律摆放,所得到的图形依次为第1个图形、第2个图形、第3个图形、第4个图形.如下图所示,各个图形的小圆点个数依次是6个、10个、16个、24个…… 第1个图形    第2个图形    第3个图形      第4个图形 (1)第8个图形一共有多少个小圆点? (2)已知连续两个图形的小圆点的个数差是100个．这两个图形分别是第个______图形和第个______图形. 25．（2024·北京大兴·小升初真题）找规律，并计算。 观察下列两组等式： 第一组：；；。 第二组：；；；。 回答下列问题： （1）我发现的规律：两个分数的（    ）相同，并且等于分母之（    ），则这两个分数的和就等于它们的积。 （2）根据这个规律计算： ①；     ②若，则正整数m等于（    ）。 26．（2024·北京大兴·小升初真题）下面图形都是由边长0.5厘米的正方形拼成的。请画出图形⑤，并把下表补充完整。 图形 ① ② ③ ④ ⑤ 面积/平方厘米 0.25 0.75 1.5 周长/厘米 2 4 6 2 1 学科网（北京）股份有限公司 《专题07 探索规律》参考答案 1． 绿 红 【分析】根据题意，每4盏是一个循环，分别用除法求出是第几个循环周期，通过余数找到相应位置，余数为1、2、3分别是红、黄、蓝灯，没有余数则表示绿灯，即可解答。 【详解】8÷4＝2，第8个彩灯是第二个循环周期的第四个，是绿色； 25÷4＝6……1，第25个彩灯是第七个循环周期的第一个，是红色。 第8个彩灯是绿颜色，第25个彩灯是红色。 【点睛】本题考查的是除法和余数的意义及应用。 2． 17 3n＋2 【分析】（1）可采用“串联法”解题，即每一斜排从左上到右下3个一串联，可发现串联的排数与序号相等，另外加2，由此可求摆第5个图形需要围棋子的枚数； （2）由（1）发现的规律，得出摆第n个图形需要围棋子的枚数。 【详解】（1）如图所示， 利用“串联法”可得，摆第5个图形需要围棋子的枚数＝5×3＋2＝17； （2）由（1）的规律可知，摆第n个图形需要围棋子的枚数是（3n＋2）。 【点睛】本题考查的是找规律的题目，首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化是解题关键。 3．115 【分析】由图可知，这5个数上下两个数的平均数是中间数，左右两个数的平均数也是中间数，最大数与最小数就是上下两个数，求出其平均数，乘5即可。 【详解】46÷2×5 ＝23×5 ＝115 这5个数的和为115。 【点睛】此题考查了数字排列规律，找出其中的规律是解题关键。 4． 4 2 9 3 16 4 2500 50 【分析】计算前3个算式，可以发现结果是平方数，加数的个数是几就是几的平方，最后一个算式用（最大数－最小数）÷2＋1，求出个数，共50个数，所以是50的平方。 【详解】1＋3＝4＝22 1＋3＋5＝9＝32 1＋3＋5＋7＝16＝42 1＋3＋5＋7＋…＋97＋99＝2500＝502 【点睛】本题考查了算式的规律，最后一题关键是求出加数的个数。 5．16 【解析】略 6．27 【分析】由题意可得，排列规律：每次递增3、4、5、6、…，是递增的相邻的自然数列；据此解答。 【详解】20＋7＝27 则按规律填数：2，5，9，14，20，27 35，…。 7．黄 【详解】略 8．42 【分析】首先分析这根圆木锯成5段用24分钟是锯了一次，那么锯成8段要锯（8－1）次，要求用多长时间，据此解答即可。 【详解】锯一次需要：24÷（5－1）＝6（分钟） 锯成8段需要锯7次，需要：6×（8－1）＝42（分钟） 【点睛】对于这类题目，不要受题中一些数字的影响（像题中的4米根本用不着），要结合实际来考虑，锯的段数总比锯的次数多1。 9． 37 3n2－3n＋1 【详解】由图可知，可以看得见的小正方体可以从正面、上面、右面三个方向观察得到。 先看正面：图1可以看到1个小正方体；图2可以看到2×2＝4个小正方体；图3可以看到3×3＝9个小正方体……此面可以看到的小正方体个数规律是：n×n个； 接着看上面：上面原本可以看到的小正方体个数与正面看到的相同，但要考虑去掉正面已经计算过的小正方体个数，此面可以看到的小正方体个数规律是：n×n－n×1＝n（n－1）个； 最后看右面：考虑去掉正面及上面已经计算过的小正方体个数，此面还可看到的小正方体个数规律是：n×n－n×1×2＋1＝n2－2n＋1个； 综上，所有可以看到的小正方体规律是：n×n＋ n（n－1）＋（n2－2n＋1）＝3n2－3n＋1个。 10． 55 540 【分析】分析列表如下： 叠的层数 1 2 3 4 …… 10 长方形个数（个） 1 2 3 4 …… 10 周长（厘米） （9＋18）×2＝54 （9×2＋18×2）×2＝54×2 54×3 54×4 …… 54×10 【详解】（1）1＋2＋3＋……＋10＝（1＋10）×10÷2＝55（个） （2）54×10＝540（厘米） 11．C 【分析】根据“三角形数”的规律是：1，3，6，10，15，21，28，36，45……，而“正方形数”是两个相邻“三角形数”之和，据此逐项判断即可。 【详解】A．13＝3＋10，3和10不是相邻的“三角形数”； B．25＝19＋6，19不是“三角形数”； C．36＝15＋21，符合规律； D．49＝18＋31，18和31均不是三角形数。 故答案为：C 【点睛】解答本题的关键是找清楚“三角形数”和“正方形数”的关系，从而进行求解。 12．D 【分析】根据题意分析可得：对于每一种动物而言每交换四次是一个循环，然后又回到原来的位置，交换6次，1个循环余2次，据此即可解答问题。 【详解】因为6÷4＝1……2 所以第6次交换座位后，小狗坐在4号位置。 故答案为：D 【点睛】找到动物座位变化规律为解本题的关键，也可以利用画图的方法解决问题。 13．C 【分析】根据桌子数×4＋2＝能坐的人数，进行分析。 【详解】n×4＋2＝4n＋2 故答案为：C 【点睛】本题考查了数与形，数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。 14．B 【分析】通过树状图观察排列规律可得：第n幅图需要：根小棒，根据规律做题即可。 【详解】第一幅图：（根） 第二幅图：（根） 第三幅图：（根） 第四幅图：（根） 第五幅图：（根） 故答案为：B 【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，关键从所给的图形中发现规律，并运用规律做题。 15．D 【分析】分子的排列9、16、25、36……，从3²开始，依次是4²、5²、6²……，第20个分数数的分子是（20＋3－1）的平方；分母的排列5、12、21、32……，是按＋7、＋9、＋11，后边的数和前边相邻的数的差每次多2，到第20个数是5＋7＋9＋…＋（19×2＋5），据此分别求出分子和分母，写出第20个分数即可。 【详解】根据分析： （20＋3－1）²＝22²＝22×22＝484 5＋7＋9＋…＋（19×2＋5）＝5＋7＋9＋…＋43＝（5＋43）×20÷2＝48×10＝480 第20个分数是。 故答案为：D 【点睛】本题考查了数字的排列规律，关键是观察前后相邻数之间的变化，发现规律，寻找数字排列中的规律，平时要注重多积累，培养数感。。 16．× 【分析】每4个图形一循环，计算第103个图形是第几组循环零几个图形，即可得出其形状，进而判断即可。 【详解】103÷4＝25（组）……3（个） 第103个图形是。所以原题说法错误。 故答案为：×。 【点睛】解答此题的关键是先找到规律，再根据规律求解。 17．√ 【分析】根据图示可知，每6个图形一循环，计算第111个图形是第几组循环零几个图形，即可知道其形状，判断即可。 【详解】111÷6＝18（组）……3（个） 所有第111个图形是☆。原题说法正确。 故答案为：√。 【点睛】本题主要考查的是找图形规律，解题的关键是观察图形找到规律，再根据规律求解。 18．× 【分析】该图形是以“■◇◇●●●”为一组重复出现，这一组里一共有6个图形，用70÷6所得的商表示有几组这样的“■◇◇●●●”，产生的余数是就是这样的一组的第几个图形，如果没有余数，就是这样的一组的最后一个图形。 【详解】70÷6＝11（组）……4（个），第4个图形是●，则第70个图形是●。所以原题说法错误。 故答案为：×。 【点睛】根据题干得出这组图形的排列周期特点是解决此类问题的关键。 19．× 【详解】12÷（4﹣1）×（8﹣1） ＝4×7 ＝28（分钟）． 答：另一根锯成8段要28分钟． 故答案为×． 20．× 【分析】把一个循环节看作一个周期，一个循环节里面有6个数字，用除法求出100里面有多少个完整的循环节，余数是几，就从完整循环节的第一个数字往后数出第几位上面的数字，据此解答。 【详解】分析可知，循环节里面有6个数字。 100÷6＝16……4 从左往右循环节的第4位上面的数字是8。 所以，小数点后第100位上的数是8。 故答案为：× 【点睛】求出循环节的数字个数，再根据有余数除法的应用是解答题目的关键。 21．10种 【分析】画出树形图如下： （ 如果第四次A拿到球他不能传给自己，所以就无法做到5次传球回到A手中，因此第四次只能是B或C拿球。 【详解】由分析可知，经过5次传球后，球恰巧回到A手中的传球方式有10种。 【点睛】本题考查传球法，分析清楚球能怎样传，明确第四次不能在A的手中是解题关键。 22．110个 【分析】由题意可得，21个服务驿站，每站的货包各1个，起点即甲站不装货包，所以快递货车由甲站出发时装有20个货包，到第2站时先卸下1个，还剩下19个货包，再装上发往后面每站的货包共19个，所以第2站车上装有（19×2）个货包；据此得出每个站点的货包数量： 第1站：20×1 第2站：19×2 第3站：18×3 …… 第10站：11×10 第11站：10×11 第12站：9×12 …… 第19站：2×19 第20站：1×20 照此规律，从第12站开始货包数量逐渐减少，据此得出货包数量最多的个数。 【详解】11×10＝110（个） 答：在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是110个。 【点睛】找出每个站点装载货包数量的规律是解题的关键。 23．120个 【详解】略 24．(1)76个 (2)49，50 【详解】(1)观察图形可得 第1个图形中有个4+1×2=6小圆点 第2个图形中有4+2×3=10个小圆点 第3个图形中有4+3×4=16个小圆点 第4个图形中有4+4×5=24个小圆点 通过总结可得,第8个图形有4+8×9=76个小圆点: (2)第n个图形中,小圆点的个数为:4+n(n+1)=(n²+n+4)个． 第n-1个图形中,小圆点的个数为:4+(n-1)n=(n²-n+4)个． 它们的差是:2n=100,所以n=50 所以这两个图形分别是第50个和第49个图形． 25．（1）分子，和 （2）① ②19 【分析】（1）观察算式可知，若两个分数的分子相同，且分母之和等于分子，所以这两个分数的和等于它们的积； （2）①根据（1）中发现的规律进行计算即可； ②根据规律可知＝，然后根据发现的规律求出m的值即可。 【详解】（1）我发现的规律：两个分数的分子相同，并且等于分母之和，则这两个分数的和就等于它们的积。 （2）① ② ＝ ＝ 所以6＋m＝25 m＝19 【点睛】本题考查算式的变化规律，发现规律，利用规律是解题的关键。 26．见详解 【分析】（1）根据分析可知，是图形几，这个图形最高的一列就有几个小正方形，所以图形⑤最右边一列有5个小正方形，向左依次递减，据此画出图形即可。 （2）求出图形④和图形⑤分别有几个小正方形，再用数量乘一个小正方形的体积即可；图形④的周长相当于是边长是（0.5×4）厘米的正方形的周长；图形⑤的周长相当于是边长是（0.5×5）厘米的正方形的周长；根据正方形周长的公式求出周长即可。 【详解】 （1）如图： （2）个数的规律：图①的个数：1，面积：1×0.25＝0.25（平方厘米）； 图②的个数：1＋2＝3，面积：3×0.25＝0.75（平方厘米）； 图③的个数： 1＋2＋3 ＝3＋3 ＝6 面积：6×0.25＝1.5（平方厘米）； 图 n 的个数：1＋2＋3＋…＋n＝n（n＋1）÷2，面积：n（n＋1）÷2×0.25（平方厘米）； 图④的个数： 4×（4＋1）÷2 ＝4×5÷2 ＝20÷2 ＝10 面积：10×0.25＝2.5（平方厘米）； 图⑤的个数： 5×（5＋1）÷2 ＝5×6÷2 ＝30÷2 ＝15 面积：15×0.25＝3.75（平方厘米）； 周长的规律：图①的周长：4×0.5＝2厘米； 图②的周长：4×1＝4厘米； 图③的周长：4×1.5＝6厘米； 图 n 的周长：4×n×0.5＝2n厘米 图④的周长：4×2＝8厘米； 图⑤的周长：5×2＝10厘米； 如表： 图形 ① ② ③ ④ ⑤ 面积/平方厘米 0.25 0.75 1.5 2.5 3.75 长/厘米 2 4 6 8 10 【点睛】此题是考查数形结合探索规律的问题，根据前几个图形的分析，归纳出规律，是解决此题的关键。 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$