专题07 平行线中的三种模型全攻略-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都七年级数学下册题型全攻略（北师大版）

专题07 平行线中的三种模型全攻略 【知识点梳理】 模型1：猪蹄模型（M型）与锯齿模型 【模型解读】 图1 图2 图3 如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN. 如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2. 如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n. 模型2：铅笔头模型 图1 图2 图3 如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN. 如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540° 如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°. 模型3：牛角模型 图1 图2 如图1，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3 如图2，已知AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180° 【考法一、猪蹄模型】 例1．（基本模型）如图，，，则，与之间的关系是（   ） A． B． C． D． 例2．（培优）如图，，，，，分别平分和，则，满足的数量关系为： ． 变式1．如图，，，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 变式2．已知：． (1)如图1，点在，之间，请说明； (2)如图2，请用等式表示，，之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，请直接用等式表示，，，，之间的数量关系 变式3．（1）如图①，，试问与的关系是什么？并说明理由； （2）如图②，，试问与的关系是什么？请直接写出结论； （3）如图③，，试问与的关系是什么？请直接写出结论． 【考法二、铅笔头模型】 例1．（基本模型）如图，，则 ． 例2．（培优）（1）如图①，，则______； 如图②，，则______； 如图③，，则______． 利用图②，说明你所填写的结论的正确性； （2）如图④，，则______； （3）利用上述结论解决问题：如图⑤，已知，和的平分线相交于点，用含的代数式表示的度数． 变式1．（推理能力）如图， ，则的度数为 （为正整数）． 变式2．（1）如图1，，求的度数． 解：过点E作． （已作）， （   ）． 又（已知）， ______________（平行关系的传递性）， （两直线平行，同旁内角互补）， （等式性质）， 即_______； （2）根据上述解题及作辅助线的方法，在图2中，，则_______； （3）根据（1）和（2）的规律，图3中，猜想：_______； （4）如图4，，在B，D两点的同一侧有共n个折点，则的度数为_______（用含n的代数式表示）． 【考法三、牛角模型】 例1．（基本模型）小华在学习“平行线的性质”后，对图中，和的关系进行了探究： (1)如图1，，点在，CD之间，试探究，和之间有什么关系？并说明理由；小华添加了过点的辅助线，并且请帮助他写出解答过程； (2)如图2，若点在的上侧，试探究，和之间有什么关系？并说明理由； (3)如图3，若点在的下侧，试探究，和之间有什么关系？请直接写出它们的关系式． 例2．（培优）已知：，E、G是上的点，F、H是上的点, (1)如图1，求证：； (2)如图2，过F点作交延长线于点M，作的角平分线交于点N，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，作的角平分线交于点Q，若，则 ． 变式1．如图，已知，点B在上，点C在上，点A在上方，，点E在的反向延长线上，且，设，则为度数用含的式子一定可以表示为（    ） A． B． C． D． 变式2．如图，，点，，，不在同一条直线上． (1)如图1，求证：； (2)如图2，直线，交于点，且，， ①试探究与的数量关系； ②如图3，延长交射线于点，若，，求的度数（用含的式子表示）． 【课后练习】 1．如图，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，， ，，则 ． 3（1）【问题解决】如图1，已知，求的度数； （2）【问题迁移】如图2，若，点P在的上方，则之间有何数量关系?并说明理由； （3）【联想拓展】如图3，在（2）的条件下，已知的平分线和的平分线交于点G，求的度数（结果用含α的式子表示）．    4．已知，点E在上，点F在上，点Q为射线上一点． (1)如图1，若，则______． (2)如图2，当点Q在线段的延长线上时，关于和的三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由． (3)如图3，平分，交于点H． ①若平分，求和的数量关系； ②若，直接写出的度数为______． 5．[课题学习]： 平行线的“等角转化”功能． （1）[阅读理解]： 如图1，已知点是外一点，连接，，求的度数． 阅读并补充下面推理过程． 解：过点作，所以 ， 又因为 所以 （2）[方法运用]： 如图2，已知，求的度数． （3）[深化拓展]： 已知，点在的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点，点在与两条平行线之间． ①如图3，若，则 ° ②如图4，点在点的右侧，若，则 °（用含的代数式表示） 6．已知直线，点A在直线上，点B、C为平面内两点，于点C．    (1)如图1，当点B在直线上，点C在直线上方时，延长交直线于点D，则和之间的数量关系是____． (2)如图2，当点C在直线上且在点A左侧，点B在直线与之间时，过点B作交直线于点D．为探究与之间的数量关系，小明过点B作．请根据他的思路，写出与的关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，作的平分线交直线于点E，当时，直接写出的度数． (4)如图4，当点C在直线上且在点A左侧，点B在直线下方时，过点B作交直线于点D．作的平分线交直线于点E，当时，请补充图形并直接写出的度数． 7．学习情境·类比探究 问题情境：如图，，，，求的度数． (1)小机灵同学看过图形后立即口答出：，请你补全他的推理依据． 如图2，过点作， ， ， （_____） ，． （_____） ，， ，． ．（_____） 问题迁移： (2)如图，，当点在线段上运动时，，，求与、之间有何数量关系？请说明理由； (3)在（2）的条件下，如果点在射线上，且在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请直接写出与、之间的数量关系． 8．问题情境：如图1，，，，求度数． 小明的思路是：过P作，通过平行线性质来求． (1)按小明的思路，易求得的度数为 度； (2)问题迁移：如图2，，点在射线上运动，记，，当点在、两点之间运动时，问与，之间有何数量关系？请说明理由； (3)在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请直接写出与，之间的数量关系； (4)问题解决：图3为北斗七星的位置图，将其抽象成图4，其中北斗七星分别标为、、、、、、，将、、、、、、顺次连接，天文小组发现若恰好经过点，且，，，则可以求出的度数． 9．下列各图中的与平行． (1)图①中的____________；图②中的_____________；图③中的_____________；图④中的_____________． (2)图中的_____________． 10．如图，直线是之间（不在直线上）的一个动点． (1)如图①，若与都是锐角，则与之间的数量关系为______________； (2)把直角三角形按如图②所示的方式摆放，与交于点与交于点与交于点F，点G在线段上，连接．求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 平行线中的三种模型全攻略 【知识点梳理】 模型1：猪蹄模型（M型）与锯齿模型 【模型解读】 图1 图2 图3 如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN. 如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2. 如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n. 模型2：铅笔头模型 图1 图2 图3 如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN. 如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540° 如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°. 模型3：牛角模型 图1 图2 如图1，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3 如图2，已知AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180° 【考法一、猪蹄模型】 例1．（基本模型）如图，，，则，与之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，添加平行线是解题的关键．过点E作，过点F作，根据平行线的性质可求得，，，所以，再证明，即可代入得到答案． 【详解】过点E作，过点F作， ， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 例2．（培优）如图，，，，，分别平分和，则，满足的数量关系为： ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，涉及到的是知识点有内错角和角平分线的定义，解题过程中是否能熟练掌握两直线平行，内错角相等是解题重点，能否画对辅助线是解题的关键． 根据拐角和的特性，作，，根据两直线平行内错角相等分别推出四个角对应的相等角，再根据平角的定义和角平分线的定义推出，两者的数量关系． 【详解】解：过点作，过点作 ， ，分别平分和 故答案为： 变式1．如图，，，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，正确作出辅助线是解题关键．过作，过作，得到，推出，，，求出，得到，即可求出． 【详解】解：过作，过作，如下图， ∵，∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，∴， ∴． 故选：C． 变式2．已知：． (1)如图1，点在，之间，请说明； (2)如图2，请用等式表示，，之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，请直接用等式表示，，，，之间的数量关系 【答案】(1)见解析 (2)．理由见解析 (3) 【分析】题目主要考查平行线的判定及性质，通过判定及性质推出各角之间的关系，解题关键在于作出相应的辅助线． （1）过点作，根据平行线的判定及性质：两直线平行，内错角相等，即可得出答案； （2）过点作，根据平行线的判定及性质：两直线平行，内错角相等，即可得出角的关系； （3）依据（1）的证明方法，可推出角之间的关系． 【详解】（1）解：如图所示：过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： 如图所示：过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴； （3）解：，理由见解析， 如图：过点作，过点作，过点作， ∵，，， ∴， ∴，，， ∴， ∴； 变式3．（1）如图①，，试问与的关系是什么？并说明理由； （2）如图②，，试问与的关系是什么？请直接写出结论； （3）如图③，，试问与的关系是什么？请直接写出结论． 【答案】（1），见解析；（2）；（3） 【分析】此题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． （1）过点作，从而推出，根据两直线平行，内错角相等，可知，，从而推出与的关系； （2）分别过点，，，作，，，从而推出，根据两直线平行，内错角相等，可推出与的关系； （3）分别过点，，，，，作，，，，，从而知道，根据两直线平行，内错角相等，可推出与的关系． 【详解】解：（1），理由如下： 如图，过点作， ，， ，，，； （2）同理（1）得：，理由如下： 分别过点，，，作，，， ，，， （3）同理（1）得：． 理由如下：分别过点，，，，，作，，，，， ， ， ，，，，，， ． 【考法二、铅笔头模型】 例1．（基本模型）如图，，则 ． 【答案】/540度 【分析】本题考查了平行线的性质，注意此类题要常作的辅助线，充分运用平行线的性质探求角之间的关系． 分别过作或的平行线，运用平行线的性质求解． 【详解】解：作， ， ， ， ， 故答案为：． 例2．（培优）（1）如图①，，则______； 如图②，，则______； 如图③，，则______． 利用图②，说明你所填写的结论的正确性； （2）如图④，，则______； （3）利用上述结论解决问题：如图⑤，已知，和的平分线相交于点，用含的代数式表示的度数． 【答案】（1），，；（2）；（3） 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，解题时注意：平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；还要注意规律性问题的探究过程． （1）根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，可得结论．根据平行于同一条直线的两条直线平行，把此问题转化为上题形式，可得结论．在上题的基础上，多加一个，思路不变，可得结论． （2）通过观察图形，寻找规律：两个A点时，结论是，三个A点时，结论是，四个A点时，结论是，可以得出n个A点时的结论． （3）运用上述结论和角平分线定义可得结论． 【详解】解：（1）如图∵， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． 如图②，过点作， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）． ∴（两直线平行，同旁内角互补）． ∴， 即； 如图③，分别过点作、， 同上题可得， 即， 故答案为：；；． （2）∵， ， ， ∴． 故答案为：． （3）根据上述结论得： ， ， 又∵和的平分线相交于F， ∴， 即， ∴， ∴， 即 变式1．（推理能力）如图， ，则的度数为 （为正整数）． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过每个角的顶点作的平行线， 由“两直线平行，同旁内角互补”可得第两条平行线间的两个同旁内角的和为，一共有个角，则有个， ∴， 故答案为：． 变式2．（1）如图1，，求的度数． 解：过点E作． （已作）， （   ）． 又（已知）， ______________（平行关系的传递性）， （两直线平行，同旁内角互补）， （等式性质）， 即_______； （2）根据上述解题及作辅助线的方法，在图2中，，则_______； （3）根据（1）和（2）的规律，图3中，猜想：_______； （4）如图4，，在B，D两点的同一侧有共n个折点，则的度数为_______（用含n的代数式表示）． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理的推论，图形类规律探索，熟练掌握“两直线平行，同旁内角互补”和“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”是解题关键． （1）根据平行公理的推论可得，再根据根据平行线的性质可得、，即可求得； （2）过点C作，过点D作，根据平行公理的推论可得，再根据根据平行线的性质可得，，，即可求得； （3）由（1）和（2）总结规律即可求解； （4）根据所得规律可直接求解． 【详解】（1）解：过点E作． （已作）， （两直线平行，同旁内角互补）． 又（已知）， （平行关系的传递性）， （两直线平行，同旁内角互补）， （等式性质）， 即； （2）如图，过点C作，过点D作， ∴， ∴，，， ∴， ∴； （3）解：由（1）可知在A，C两点的同一侧有1个折点，其； 由（2）可知在B，E两点的同一侧有2个折点，其； 因为B，F两点的同一侧有3个折点， 所以； （4）由（3）可知． 【考法三、牛角模型】 例1．（基本模型）小华在学习“平行线的性质”后，对图中，和的关系进行了探究： (1)如图1，，点在，CD之间，试探究，和之间有什么关系？并说明理由；小华添加了过点的辅助线，并且请帮助他写出解答过程； (2)如图2，若点在的上侧，试探究，和之间有什么关系？并说明理由； (3)如图3，若点在的下侧，试探究，和之间有什么关系？请直接写出它们的关系式． 【答案】(1)，见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． （1）求出，根据平行线的性质得出，，再得出答案即可； （2）求出，根据平行线的性质得出，，再得出答案即可； （3）求出，根据平行线的性质得出，，再得出答案即可． 【详解】（1）， 理由是：，， ， ，， ； （2）， 理由是：如图：过作， ， ， ，， ； （3）， 理由是：如图：过作， ，OM∥CD， ， ，， ． 例2．（培优）已知：，E、G是上的点，F、H是上的点, (1)如图1，求证：； (2)如图2，过F点作交延长线于点M，作的角平分线交于点N，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，作的角平分线交于点Q，若，则 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、垂直的定义、角平分线定义等知识． （1）由平行线的性质得，再由内错角相等得出； （2）过点N作，设角度，由平行线的性质和角平分线的性质即可得出结论； （3）由结合前面（2）的结论，求出角度可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：如图2，过点N作， ∴， ∴， 设， ∵分别平分， ∴， 又∵， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， （3）解：， ∵，即 ∴ ∴， ∴， 又∵和是角平分线， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 变式1．如图，已知，点B在上，点C在上，点A在上方，，点E在的反向延长线上，且，设，则为度数用含的式子一定可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，正确添加辅助线是解决本题的关键．过点A作，过点E作，则，由题意可设，，则，，，，因此，，，则． 【详解】解：过点A作，过点E作， ∵， ∴， ∵， ∴设，， ∵， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴. 故选：B． 变式2．如图，，点，，，不在同一条直线上． (1)如图1，求证：； (2)如图2，直线，交于点，且，， ①试探究与的数量关系； ②如图3，延长交射线于点，若，，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【分析】本题考查平行线的性质，平行公理的推论，角的计算， （1）如图1，过作，根据平行线的性质即可得到结论； （2）①设，，，，由（1）知：，如图2，过作，根据平行线的性质即可得到结论； ②如图3，过作，根据平行线的性质即可得到结论； 熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图1，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴ ∴， 即； （2）解：①∵，， ∴设，，，， 由（1）可知：， ∴， 如图2，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴与的数量关系为； ②如图3， ∵，， ∴， ∵， ∴， 由①知：， 过作， ∴，， ∴， ∴的度数为． 【课后练习】 1．如图，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，反向延长交于M，由，可得，进而得出，再根据即可求解． 【详解】解：如图，反向延长交于M， ∵， ∴， ∴； 又∵， ∴． 故选D． 2．如图，， ，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质，角的和差，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．过点作，过点作， 由平行线的性质可知，，由，和等量代换可得到和的数量关系，继而即可求解． 【详解】解：过点作，过点作， ∵， ∴，， ∴，， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴  ， 即． 故答案为：． 3（1）【问题解决】如图1，已知，求的度数； （2）【问题迁移】如图2，若，点P在的上方，则之间有何数量关系?并说明理由； （3）【联想拓展】如图3，在（2）的条件下，已知的平分线和的平分线交于点G，求的度数（结果用含α的式子表示）．    【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）过点P作，由平行线定理可得，根据平行线的性质可得，，即，即可求解； （2）如图，与相交于点N，根据平行线的性质可得，再根据三角形内角和定理和平角的定义，利用等量代换可得，即可得证； （3）如图，与相交于点O，由对顶角相等和三角形内角和定理可得，，再由角平分线的定义可得由（2）可得，，进行等量代换即可求解． 【详解】解：（1）如图，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴；    （2），理由如下： 如图，与相交于点N， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴；    （3）如图，与相交于点O， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 由（2）可得，， ∴， ∴．    【点睛】本题考查平行线的性质、三角形内角和定理、对顶角相等、平行线性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质和三角形内角和定理是解题的关键． 4．已知，点E在上，点F在上，点Q为射线上一点． (1)如图1，若，则______． (2)如图2，当点Q在线段的延长线上时，关于和的三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由． (3)如图3，平分，交于点H． ①若平分，求和的数量关系； ②若，直接写出的度数为______． 【答案】(1)； (2)，理由见解析； (3)，理由见解析；． 【分析】（1）过点Q作进而利用两直线平行，内错角相等解答即可； （2）过点Q作进而利用两直线平行，内错角相等解答即可； （3）过点H作根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可； ②根据①的结论，利用角的关系解答即可． 此题考查了几何变换综合题，平行线的判定和性质，关键是根据两直线平行，内错角相等解答． 【详解】（1）解： 过点Q作如图： ， 故答案为：； （2）解：理由如下： 过点Q作如图： ， 即 （3）解：过点H作如图： ， 又∵平分平分 由（2）可得 ； 理由如下： 故答案为：． 5．[课题学习]： 平行线的“等角转化”功能． （1）[阅读理解]： 如图1，已知点是外一点，连接，，求的度数． 阅读并补充下面推理过程． 解：过点作，所以 ， 又因为 所以 （2）[方法运用]： 如图2，已知，求的度数． （3）[深化拓展]： 已知，点在的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点，点在与两条平行线之间． ①如图3，若，则 ° ②如图4，点在点的右侧，若，则 °（用含的代数式表示） 【答案】（1）；；（2）的度数为；（3）①65；② 【分析】本题考查了平行线的性质，列代数式，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）根据两直线平行，内错角相等，即可解答； （2）过点作，从而利用平行线的性质可得，再根据平行于同一条直线的两条直线平行可得，然后利用平行线的性质可得，再根据周角定义可得，最后利用等量代换可得，即可解答； （3）①过点作，先根据猪脚模型可得，然后根据角平分线的定义可得，，从而进行计算即可解答； ②过点作，先根据角平分线的定义可得，，再利用平行线的性质可得然后根据平行于同一条直线的两条直线平行可得，从而可得，最后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）解：过点作，如图所示： ，， 又， ， 故答案为：；； （2）过点作，如图所示： ， ， ， ， ， ， 的度数为； （3）①过点作，如图所示： ， ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， 故答案为：65； ②过点作，如图所示： 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 6．已知直线，点A在直线上，点B、C为平面内两点，于点C．    (1)如图1，当点B在直线上，点C在直线上方时，延长交直线于点D，则和之间的数量关系是____． (2)如图2，当点C在直线上且在点A左侧，点B在直线与之间时，过点B作交直线于点D．为探究与之间的数量关系，小明过点B作．请根据他的思路，写出与的关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，作的平分线交直线于点E，当时，直接写出的度数． (4)如图4，当点C在直线上且在点A左侧，点B在直线下方时，过点B作交直线于点D．作的平分线交直线于点E，当时，请补充图形并直接写出的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) (4)图形补充见解析， 【分析】（1）由平行线的性质得，再由即可得和之间的数量关系是互余； （2）由平行线的性质可得，，而，根据等量代换即可得； （3）设，则；由平分得，则有，由直角三角形两锐角互余即可求得，从而求得结果； （4）设交于点H；设，则，得；由平行线的性质、角平分线的性质及三角形外角的性质得：，求得；再由，求得，进而求得结果． 【详解】（1）解：∵， ∵； ∵， ∴， ∴， 即和之间的数量关系是； 故答案为：； （2）解：； 理由如下： ∵，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； （3）解：∵ 设， ∴； ∵平分，， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴， 即； （4）解：补充图形如下：      设交于点H； ∵，设， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵平分，， ∴； ∵， ∴， 解得：， 即； ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，互余关系，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 7．学习情境·类比探究 问题情境：如图，，，，求的度数． (1)小机灵同学看过图形后立即口答出：，请你补全他的推理依据． 如图2，过点作， ， ， （_____） ，． （_____） ，， ，． ．（_____） 问题迁移： (2)如图，，当点在线段上运动时，，，求与、之间有何数量关系？请说明理由； (3)在（2）的条件下，如果点在射线上，且在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请直接写出与、之间的数量关系． 【答案】(1)平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换 (2)，理由见解析 (3)或，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定并且作出平行的辅助线是解答本题的关键． （1）根据平行线的判定与性质填写即可； （2）过作交于，推出，根据平行线的性质得出，，代入，即可得出答案； （3）画出图形（分两种情况：点在的延长线上，点在的延长线上），根据平行线的性质得出，，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图2，过点作， ， ， （平行于同一条直线的两条直线互相平行） ，． （两直线平行，同旁内角互补） ，， ，． ．（等量代换） 故答案为：平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换； （2）解：，理由：过点作交于点， ， ， ，， ； （3）解：或， 当点在延长线上时，过点作交延长线于点， ， ， ，， ； 当点在延长线上时，过点作交于点， ， ， ，， ， 综上，或． 8．问题情境：如图1，，，，求度数． 小明的思路是：过P作，通过平行线性质来求． (1)按小明的思路，易求得的度数为 度； (2)问题迁移：如图2，，点在射线上运动，记，，当点在、两点之间运动时，问与，之间有何数量关系？请说明理由； (3)在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请直接写出与，之间的数量关系； (4)问题解决：图3为北斗七星的位置图，将其抽象成图4，其中北斗七星分别标为、、、、、、，将、、、、、、顺次连接，天文小组发现若恰好经过点，且，，，则可以求出的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)当点在的延长线上时，；当点在线段上时， (4) 【分析】本题考查平行线的性质和判定及平行公理推论的应用， （1）过点作，通过平行线性质求即可； （2）过点作交于，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； （3）分两种情况：当在的延长线上时；当点在线段上时，分别画出图形，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； （4）根据（2）的结论得，即可得出结论； 通过作辅助线构造平行线是解题的关键． 【详解】（1）解：过点作， ∵，，， ∴， ∴， ， ∴， 故答案为：； （2）． 理由：如图，过点作交于， ∵，，， ∴， ∴，， ∴； （3）如图，当点在的延长线上时，， 过点作交于， ∵，，， ∴， ∴，， ∴； 如图，当点在线段上时，， 过点作交于， ∵，，， ∴， ∴，， ∴． （4）∵，， 由（2）得：， ∵ ∴， ∴， 即的度数为． 9．下列各图中的与平行． (1)图①中的____________；图②中的_____________；图③中的_____________；图④中的_____________． (2)图中的_____________． 【答案】(1)，，，；(2) 【分析】本题考查了平行线的性质． （1）过中间的拐点作平行线，再根据图形结合平行线的性质即可得出结论； （2）根据图①、②、③、④中角的和的变化，即可找出变化规律“”，此题得解． 【详解】（1）解：如图①，∵， ∴； 如图②，过作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图③，过作，过作， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴； 如图④，过作，过作，过作， ∵， ∴， ∴； 故答案为：，，，； （2）解：根据（1）中规律即可得出：第n个图中的． 故答案为：． 10．如图，直线是之间（不在直线上）的一个动点． (1)如图①，若与都是锐角，则与之间的数量关系为______________； (2)把直角三角形按如图②所示的方式摆放，与交于点与交于点与交于点F，点G在线段上，连接．求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查平行线的判定和性质，对顶角相等知识．利用数形结合的思想是解题关键． （1）过点C作，即得出．由平行线的性质可得出，，从而易得出； （2）由对顶角相等结合题意可证．再根据，即可得出，结合（1）的结论可求得，进而得出． 【详解】（1）． 证明：如图，过点C作． ∴， ∴，． ∵， ∴； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 由（1）可得，， ∴， ∴ ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$