专题06 相交线与平行线压轴题的四种考法全攻略-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都七年级数学下册题型全攻略（北师大版）

专题06 相交线与平行线压轴题的四种考法全攻略 【考法一、求角度】 例．已知． (1)如图，求的大小，并说明理由． (2)如图，与的角平分线相交于点． 若，，则_______． 试探究与的数量关系，并说明你的理由． (3)如图，与的角平分线相交于点，过点作交于点，若，求的度数． 变式1．已知，四边形中，，连接，平分 交于点E， ． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若的平分线与的延长线交于 F，且，求 ； (3)如图3，若H是上一动点，F是延长线上一点，交于M，平分 交于 N，交于G．当H在上运动时（不与 B 点重合）．，95°，求的度数． 变式2．【问题情境】在数学课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动． 已知直线，点E、G分别为直线、上的点，点F是与之间任意一点，连按、．直线，直线l分别交、于M、N两点． 【探索发现】（1）如图1，求证：； 【深入探究】（2）如图2，求证：； 【拓广探索】（3）如图3，平分，平分，过点F作的垂线交于点H，连接，，，求的度数． 变式3．如图，直线，，的角平分线交于点P． (1)与相等吗？请说明理由． (2)若，求的度数． (3)点Q为射线上一点，连接，．若，且，求的度数． 【考法二、点的运动时间】 例．在直角三角板中，，，直尺的边与相交于点． (1)如图，直角三角板的边在直线上，则的度数为_______，的度数为_______； (2)如图，现将直角三角板绕点逆时针旋转，当，且点恰好落在边上时， 的度数为_______，的度数为_______；（结果用含的代数式表示） 若恰好是的，求的值． (3)如图，现将绕点以每秒的转速逆时针旋转，同时绕点以每秒的转速顺时针旋转，当第一次旋转回到起点时，，均停止转动，设旋转时间为．请求出当为何值时，． 变式1．如图1，把一块含的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上． (1)填空： ， ； (2)如图2，现把三角板绕B点逆时针旋转，当，且点C恰好落在边上时，若恰好是的倍，求n的值； (3)如图1三角板的放置，现将射线绕点B以每秒的转速逆时针旋转得到射线，同时射线绕点Q以每秒的转速顺时针旋转得到射线，当射线旋转至第一次与重合时，则射线均停止转动，设旋转时间为．在旋转过程中，是否存在；若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 变式2．已知分别在上． (1)如图（1），求证：； (2)如图（2），若F在之间，平分，若，求与的数量关系； (3)如图（3），射线从开始，绕M点以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕N点以每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于P，若直线与直线相交所夹的锐角为，直接写出运动时间t秒的值． 变式3．如图所示，，的顶点E，F分别在直线、直线上，点在直线与直线之间，平分． (1)如图1，平分，，则的度数． (2)如图2，已知点为延长线上一点，且，请用含的式子表示的度数，并说明理由． (3)如图3，在（2）的条件下，，将绕点顺时针以每秒的速度旋转得到，将绕点顺时针以每秒的速度旋转得到，当首次旋转到直线上时，立刻绕点逆时针以原速旋转，当旋转到直线上时，两个三角形同时停止旋转，请直接写出当时的旋转时间的值． 【考法三、角度之间数量关系】 例．已知直线，点A、C在直线上，点B、D在直线上． (1)如图1，若，，且，求的度数； (2)如图2，若，平分，，过D点作交于F，求证：； (3)如图3，若，直线和直线相交于K，点H在直线上，探究、和之间的数量关系，请直接写出结论． 变式1．如图1，，点为直线间一点，点E，F分别是直线上的点，连接.      (1)【证明推断】求证：，请完善下面的证明过程，并在（    ）内填写依据. 证明：过点P作直线， （已作）， （______）， 又，（已知） ______，（______） ， ______. (2)如图2，若的平分线与的平分线交于点. ①【类比探究】试猜想与之间的关系，并说明理由； ②【结论运用】若，求的度数. (3)【拓展认知】如图3，直线，点P，H为直线间的点，请直接写出，，，的数量关系：______. 变式2．如图，已知，E、F分别在、上，点G在、之间，连接、． (1)当，平分，平分时： ①如图1，若，则的度数为 ； ②如图2，在的下方有一点Q，平分，平分，求的度数； (2)如图3，在的上方有一点O，若平分．线段的延长线平分，则当时，请直接写出与的数量关系． 变式3．如图，点，，，四点共线，点，，，四点共线．，相交于点，点是直线与之间的一个动点，． (1)求证：； (2)若平分，平分，请探索并证明和之间的数量关系； (3)若，，（2）中的结论还成立吗？若成立请证明；若不成立，请写出你认为正确的结论，并证明． 【考法四、角度定值问题】 例．已知：点在直线上，点都在直线上（点在点的左侧），连接，，平分，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为线段上一动点，连接，且始终满足． ①当时，在直线上取点，连接，使得，求此时的度数； ②在点的运动过程中，与的度数之比是否为定值，若是，求出这个值；若不是，说明理由． 变式1．已知直线，点E、F分别在直线、上，连接，平分． (1)如图1，连接，若平分．求的度数； (2)如图2，连接，若，猜想和的数量关系，并说明理由； (3)如图3，点H为线段（端点除外）上的一个动点，过点H作的垂线交于M，连接，若平分，问的度数是否为定值？若是，求出的度数；若不是，请说明理由． 变式2．如图1，直线，点A，B在直线上，点、在上，线段交线段于点，且． (1)求证：； (2)如图2，当F，G分别在线段、上，且，，标记为，为． ①若，求的度数； ②当k为何值时，为定值，并求此定值． 变式3．我国古代观星，并对星图进行艺术加工可以追溯到公元前，敦煌星图是世界现存古代星图中星数较多，年代最早的星图，绘制于唐代．元朝数学家郭守敬重新观测了二十八星宿（东南西北各七宿，图1是其中的南方七宿之翼），编制了当时最先进的历法《授时历》． 小明学习了平行线知识，画出了“南方七宿之翼”的上半部分（如图2），；    (1)当，时，根据所学知识，可求得______； (2)当时，如图2，猜想和的数量关系______； (3)小明又发现，当a和b不平行时，则相交于点P，得到，如图3，如果为定值，求的值． （备注：请运用平行线知识解决本题，用“外角定理”或“内角和定理”不得分） 【课后练习】 1．如图1，大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的图形之美，洋洋和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做的更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为方便研究，定义两手手心位置分别为A、B两点，两脚脚跟位置分别为C、D两点，定义A、B、C、D平面内O为定点，将手脚运动看作绕点O进行旋转．    (1)如图2，A、O、B三点共线，点C、D重合，，则________； (2)如图3，A、O、B三点共线，且，平分，求大小； (3)第三节腿部运动中，如图4，洋洋发现，虽然A、O、B三点共线，却不在水平方向上，且，他经过计算发现，的值为定值，请写出这个定值为________； (4)第四节体侧运动中，如图5，乐乐发现，两腿左右等距张开，使竖直方向的射线平分，且，开始运动前A、O、B三点在同一水平线上，绕点O顺时针旋转，旋转速度为每秒，旋转速度为每秒，当旋转到与重合时运动停止（是竖直方向的一条射线）．请帮助乐乐求出运动过程中与的数量关系． 2．已知直线，现将一个含的三角板按照如图1放置，使点，分别在直线，上，，，平分交直线于点，且． (1)求的度数； (2)将一个含有的三角板按照如图2所示放置，直角顶点与点重合，直角边与重合．若将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒． ①若三角板保持不动，作的角平分线，当时，求的值； ②若三角板同时绕点以每秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，当边与三角板的一条直角边平行时，直接写出所有满足条件的的值． 3．已知，如图，平行，直线交于点，交于点，点是线段上一点，，分别在射线，上，连接，，平分，平分． (1)如图1，当时，直接写出的度数； (2)如图2，求与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（1）问的条件下，若，，过点作交的延长线于点，将绕点顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时将绕点逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为△，当首次与重合时，整个运动停止．在此运动过程中，经过秒后，恰好平行于的其中一条边，请直接写出所有满足条件的的值______． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 相交线与平行线压轴题的四种考法全攻略 【考法一、求角度】 例．已知． (1)如图，求的大小，并说明理由． (2)如图，与的角平分线相交于点． 若，，则_______． 试探究与的数量关系，并说明你的理由． (3)如图，与的角平分线相交于点，过点作交于点，若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析； (2)；，理由见解析； (3)． 【分析】（）过作，判定，根据平行线的性质即可求解； （）由（）的结论可求解，利用角平分线的定义可求，，再结合平行线段的性质即可求解；可采用的解题方法解答即可求解； （）设，则，根据列方程，解方程即可求解； 本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，角平分线的定义，三角形的内角和定理，一元一次方程的应用，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：（）过作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）由（）知， ∵，， ∴， ∵与的角平分线相交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为； 由（）知， ∴， ∵与的角平分线相交于点， ∴，， ∵，∴， ∴，， ，，即； （3）解：设，则， 由题意得，解得， 答：的度数为． 变式1．已知，四边形中，，连接，平分 交于点E， ． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若的平分线与的延长线交于 F，且，求 ； (3)如图3，若H是上一动点，F是延长线上一点，交于M，平分 交于 N，交于G．当H在上运动时（不与 B 点重合）．，95°，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由，平分 ，得，，得出； （2）先求出，由平分，平分，可求出，利用平行线性质得出，等量代换即可求解； （3）在中，根据角之间的关系，得，再根据角之间的关系得，则可得出，然后代入数值即可求解． 【详解】（1）证明∶∵， ∴， ∵平分 ， ∴ 又， ∴， ∴， 即； （2）解∶∵，， ∴， ∵平分，平分， ，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即； （3）解：∵在中，， 又∵， ∴ ， ∴ ， ∴， 又，， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质以及平行线的性质，解决问题的关键在于熟悉掌握知识要点，并且善于运用角与角之间的联系进行传递． 变式2．【问题情境】在数学课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动． 已知直线，点E、G分别为直线、上的点，点F是与之间任意一点，连按、．直线，直线l分别交、于M、N两点． 【探索发现】（1）如图1，求证：； 【深入探究】（2）如图2，求证：； 【拓广探索】（3）如图3，平分，平分，过点F作的垂线交于点H，连接，，，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，角平分线定义，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线的性质． （1）根据平行线的性质得出，，然后证明结论即可； （2）延长交于点 P，过点P作交于点 Q，根据平行线的性质得出，，证明，根据平行线的性质得出，即可证明结论； （3）设，得出， 根据角平分线定义得出，过点作  ， 根据平行线的性质得出 ，过点作，根据平行线的性质得出，，求出，根据，求出结果即可． 【详解】（1）证明：直线， ， ∵， ， ∴； （2）证明：延长交于点 P，过点P作交于点 Q， ，， ， 直线， ∴， ； （3）解：设， ， 平分， ， ， ， ， ， 过点作， ， ， 平分， ， 过点作， ， ∵，， ∴， ∴， ， ， ∴． 变式3．如图，直线，，的角平分线交于点P． (1)与相等吗？请说明理由． (2)若，求的度数． (3)点Q为射线上一点，连接，．若，且，求的度数． 【答案】(1)与相等，理由见解析；(2)；(3)或 【分析】（1）根据角平分线得，再根据得，由此可得出结论； （2）设，则，由（1）可知，根据得，然后根据得，由此解出即可得出的度数； （3）设，则，分两种情况讨论如下：①当点Q在线段上时，证明， ，根据得，则，再根据平行线的性质得，由此解出即可得出的度数；②当点Q在线段的延长线上时，过点Q作交的延长线于R，证明，，则，进而得，由此解出即可得出的度数；综上所述即可得出答案． 【详解】（1）解：与相等，理由如下： ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴； （3）解：设， ∵， ∴， ∵点Q为射线上一点， ∴有以下两种情况： ①当点Q在线段上时，如图1所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， 即； ②当点Q在线段的延长线上时， 过点Q作交的延长线于R，如图2所示： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， 综上所述：的度数为或． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质，角的计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 【考法二、点的运动时间】 例．在直角三角板中，，，直尺的边与相交于点． (1)如图，直角三角板的边在直线上，则的度数为_______，的度数为_______； (2)如图，现将直角三角板绕点逆时针旋转，当，且点恰好落在边上时， 的度数为_______，的度数为_______；（结果用含的代数式表示） 若恰好是的，求的值． (3)如图，现将绕点以每秒的转速逆时针旋转，同时绕点以每秒的转速顺时针旋转，当第一次旋转回到起点时，，均停止转动，设旋转时间为．请求出当为何值时，． 【答案】(1)；； (2)，；的值为； (3)当的值为或或时，． 【分析】（）根据邻补角的定义和平行线的性质解答即可； （）根据邻补角的定义求出，再根据两直线平行，同位角相等可得，根据两直线平行，同旁内角互补求出，然后根据周角等于计算即可得到； 由的结论和本题的条件列方程，解出即可； （）由题意, 知，因此可画出旋转过程中使的三种情况下的图形，结合图形列出相关角的代数式，利用平行线性质列出方程，求解即可； 本题考查了平行线的性质及应用，垂线的定义，邻补角的定义，直角三角形的性质，一元一次方程的解法，掌握平行线的性质并利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 【详解】（1）解：由图可知:，，， ∴，， ∵，， ∴，， 故答案为: ，； （2）解：如图可知，，，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ ， 故答案为: ，； 当时， 解得：， ∴的值是； （3）解：分类如下： ，如图： 由题意，得，， ∵， ∴，即， 解得：； ，如图： 由题意，得，， ∵， ∴，即， 解得； ， 如图： 由题意，得，， ∵， ∴，即， 解得：， 综上所述，当的值为或或时，． 变式1．如图1，把一块含的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上． (1)填空： ， ； (2)如图2，现把三角板绕B点逆时针旋转，当，且点C恰好落在边上时，若恰好是的倍，求n的值； (3)如图1三角板的放置，现将射线绕点B以每秒的转速逆时针旋转得到射线，同时射线绕点Q以每秒的转速顺时针旋转得到射线，当射线旋转至第一次与重合时，则射线均停止转动，设旋转时间为．在旋转过程中，是否存在；若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)120，90 (2)36 (3)存在，t的值为12或48 【分析】本题考查平行线的性质及应用，解题的关键是掌握平行线的性质定理并能熟练应用． （1）根据邻补角的定义和平行线的性质解答； （2）根据恰好是的倍列方程，计算可求解； （3）分两种情况，根据画出图形，列方程可解得答案． 【详解】（1）解：由题意，得：，， ∵，∴，， ∴； 故答案为：120，90； （2）解：∵恰好是的倍， ∴，解得，∴n的值是36； （3）解：存在，理由如下： 如图：由题意，得：，， ∵，∴， ∴，解得； 如图： ∵，∴， ∴，解得， 综上所述，t的值为12或48． 变式2．已知分别在上． (1)如图（1），求证：； (2)如图（2），若F在之间，平分，若，求与的数量关系； (3)如图（3），射线从开始，绕M点以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕N点以每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于P，若直线与直线相交所夹的锐角为，直接写出运动时间t秒的值． 【答案】(1)详见解析 (2) (3)或10或14 【分析】（1）过E作，由平行线的性质可得出，，可得，即． （2）设，则，设，则，由(1)可知，，可列出，将和，代入化简可得； （3）将直线的点M平移与直线的N点重合，根据运动的角度差为，结合题意将角度转化为角度差，结合题意分别列出对应的角度和差关系求解即可； 【详解】（1）解：如图，过E作， ∴，① 又， ∴， ∴．② ①②得，， ∴． （2）解：如图， 设，则，设，则， 由(1)可知 同理可得 又， ∴， 则， 由，得， 由，得, 将，代入，得． （3）解：将直线的点M平移与直线的N点重合，如图， 根据题意得，，，则， ∵直线与直线相交所夹的锐角为， ∴， ∴，解得， 根据题意得，， ∵直线与直线相交所夹的锐角为， ∴， ∴，即，解得， 根据题意得，， ∵直线与直线相交所夹的锐角为， ∴， ∴，即，解得， 故满足题意得或10或14． 【点睛】本题主要考查平行线的性质、角平分的性质、角度和差倍积的关系以及运动的思想，解题的关键是利用已知的结论和使用动态的思想求解． 变式3．如图所示，，的顶点E，F分别在直线、直线上，点在直线与直线之间，平分． (1)如图1，平分，，则的度数． (2)如图2，已知点为延长线上一点，且，请用含的式子表示的度数，并说明理由． (3)如图3，在（2）的条件下，，将绕点顺时针以每秒的速度旋转得到，将绕点顺时针以每秒的速度旋转得到，当首次旋转到直线上时，立刻绕点逆时针以原速旋转，当旋转到直线上时，两个三角形同时停止旋转，请直接写出当时的旋转时间的值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或或或或或 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，平行线的性质，角平分线的定义，正确根据题意画出对应的图形并利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）如图所示，过点作，则，由平行线的性质得到，，，即可推出，利用平角的定义求出，再利用角平分线的定义推出即可得到答案； （2）如图所示，过点作，则，由平行线的性质得到，，由平角的定义得到，再利用角平分线的定义和角度之间的关系求出，即可． （3）由题意得，首次到的时间为，首次到的时间为；当时，如图所示，可以把线段，，，的端点放在同一个位置，当两线段平行的时候，即这两条线段共线，当时，建立方程求解即可；当时，如图所示，可以把线段，，，的端点放在同一个位置，当两线段平行的时候，即这两条线段共线，当时建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图1所示，过点作， ，， ， ，，， ， ， ， ， 平分， ， ， 平分， ， ． （2）解：，理由如下： 如图2所示，过点作， ，， ， ，， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ． （3）解：由题意得，首次到的时间为，首次到的时间为； 当时，如图所示，可以把线段，，，的端点放在同一个位置，当两线段平行的时候，即这两条线段共线， 当时，则， 解得； 当时，如图所示，可以把线段，，，的端点放在同一个位置，当两线段平行的时候，即这两条线段共线， 由（2）的结论可知， ； ④当时，则或， 解得或（舍去）； 综上所述，或． 【考法三、角度之间数量关系】 例．已知直线，点A、C在直线上，点B、D在直线上． (1)如图1，若，，且，求的度数； (2)如图2，若，平分，，过D点作交于F，求证：； (3)如图3，若，直线和直线相交于K，点H在直线上，探究、和之间的数量关系，请直接写出结论． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)当点H在点K上方时，；当点H在之间时，；当点H在点D下方时， 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂直的定义，角平分线的定义： （1）由垂直的定义先求出，再根据平行线的性质即可得到； （2）设，则，由角平分线的定义得到，则，同理可得，再由垂直的定义得到，则； （3）分当点H在点K上方时，当点H在之间时，当点H在点D下方时， 三种情况画出图形，根据角之间的关系求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）证明：设， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图所示，当点H在点K上方时，过点H作，则， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点H在之间时，过点H作，则， ∴，， ∴， ∴， ∴，即； 如图所示，当点H在之间时，过点H作，则， ∴，， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点H在点D下方时，过点H作，则， ∴，， ∴， ∴； 综上所述，当点H在点K上方时，；当点H在之间时，；当点H在点D下方时，． 变式1．如图1，，点为直线间一点，点E，F分别是直线上的点，连接.      (1)【证明推断】求证：，请完善下面的证明过程，并在（    ）内填写依据. 证明：过点P作直线， （已作）， （______）， 又，（已知） ______，（______） ， ______. (2)如图2，若的平分线与的平分线交于点. ①【类比探究】试猜想与之间的关系，并说明理由； ②【结论运用】若，求的度数. (3)【拓展认知】如图3，直线，点P，H为直线间的点，请直接写出，，，的数量关系：______. 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；；平行于同一直线的两直线平行； (2)①，理由见解析；② (3) 【分析】（1）过点P作直线，根据平行线的性质即可得到答案； （2）①分别过点P，Q作，，由平行线的性质和角平分线的定义得，进而即可求解；②结合平角的定义和即可得到答案； （3）过点P、H作，可得，进而即可得到结论． 【详解】（1）证明：过点作直线， （已作）， （两直线平行，内错角相等） 又，（已知）， ，（平行于同一直线的两直线平行）， ， ； （2）解：①. 理由：如图1，分别过点P，Q作，. 的平分线与的平分线交于点， ，. . 同（1）可证得， ②，， . 又，    （3）过点P、H作， ∵， ∴， ∴， ∴，即 故答案为：    【点睛】本题考查平行的性质，角平分线的定义，添加合适的辅助线是解题关键． 变式2．如图，已知，E、F分别在、上，点G在、之间，连接、． (1)当，平分，平分时： ①如图1，若，则的度数为 ； ②如图2，在的下方有一点Q，平分，平分，求的度数； (2)如图3，在的上方有一点O，若平分．线段的延长线平分，则当时，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）①如图，分别过点G、P作，根据平行线的性质、角平分线的定义求解即可；②如图，过点Q作，根据平行线的性质、角平分线的定义求解即可； （2）如图，过点O作，则，设，可得，进而说明，根据平行线的性质求得，进而根据，得到． 【详解】（1）解：①如图，分别过点G、P作， ， ， ∴ ， ， 同理可得: ， ∵， ∴， ∵平分平分； ， ∴． 故答案为：． ②如图，过点Q作， ∵平分平分， ，， 设， ∵，， ， ∵， ， ， ， ， 由（1）可知， ∴． （2）解：如图，在的上方有一点O，若平分，线段的延长线平分， 设H为线段的延长线上一点，则，， 设，,， 如图，过点O作，则， ，， ， ， 由（1）可知：， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴． 变式3．如图，点，，，四点共线，点，，，四点共线．，相交于点，点是直线与之间的一个动点，． (1)求证：； (2)若平分，平分，请探索并证明和之间的数量关系； (3)若，，（2）中的结论还成立吗？若成立请证明；若不成立，请写出你认为正确的结论，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 (3)不成立；，证明见解析 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质即可得结论； （2）过点作，过点作，根据平行线的判定和性质以及角平分线的定义可得，，，，则，即可得到和之间的数量关系； （3）过点作，过点作，根据平行线的判定和性质和已知条件，得出，，，，则，从而得到和之间的数量关系． 【详解】（1）证明：如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：，证明如下： 过点作，过点作， 由（1）知：， ∴， ∴，， ∴，即， ∵，∴， 又∵，∴，∴， ∴，即， ∵平分，平分，∴，， ∴， ∴． （3）如图，（2）中的结论不成立，正确的结论是，证明如下： 过点作，过点作， 由（2）得：，， ∵，，∴，，∴，∴ 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，平行公理的推论，角平分线的定义等知识．正确添加辅助线、熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【考法四、角度定值问题】 例．已知：点在直线上，点都在直线上（点在点的左侧），连接，，平分，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为线段上一动点，连接，且始终满足． ①当时，在直线上取点，连接，使得，求此时的度数； ②在点的运动过程中，与的度数之比是否为定值，若是，求出这个值；若不是，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①或；②是定值， 【分析】（1）由角平分线的定义可得，再根据“内错角相等，两直线平行”可得结论； （2）①由垂直的定义可知，即可得，设，则可表示和的度数，然后利用三角形的内角和解题即可解题；②设，则可求出的值，然后表示的度数解题即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：①如下图，当点可以在点的右侧， ∵， ∴， 又∵， ∴， 设， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴； 当点可以在点的左侧， 同理，可得， 综上，的度数为或； ②，理由如下： 如图，设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线、平行线的判定与性质、三角形外角的定义和性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 变式1．已知直线，点E、F分别在直线、上，连接，平分． (1)如图1，连接，若平分．求的度数； (2)如图2，连接，若，猜想和的数量关系，并说明理由； (3)如图3，点H为线段（端点除外）上的一个动点，过点H作的垂线交于M，连接，若平分，问的度数是否为定值？若是，求出的度数；若不是，请说明理由． 【答案】(1)∠EGF＝90° (2)∠EGF＋∠EHF＝180°；理由见解析 (3)∠MGF​的度数是为定值，且∠MGF＝45°​ 【分析】（1）根据EG、FG分别平分∠BEF和∠EFD，得到∠BEF＝2∠FEG，∠EFD＝2∠GFE，由干 到∠BEF＋∠EFD＝180°，于是得到2∠FEG＋2∠GFD＝180°，即可得到结论： （2）过点G作，因为，所以．设∠EGN＝∠BEG＝α，∠NGF＝∠GFD＝β．由已知可得∠EGF＝∠BEG＋∠GFD＝α＋β，∠EHF＝180°−∠EFG−∠FEH＝180°−α−β，即可解答； （3）过点 G作，因为，所以．所以设∠MGN＝∠BMG＝α，∠NGF＝∠GFD＝β．即∠MGF＝∠BMG＋∠GFD＝α＋β．根据∠EMH、∠EFD的平分线相交于G，得到∠MEF＝∠EFD＝2β．所以∠HME＝90°−∠MEF＝90°−2β．再因为MH⊥EF，所以∠HME＝90°−∠MEF＝90°−2β．再根据MG平分∠BMH，利用等量代换即可得到结论MH⊥EF，所以∠HME＝90°−∠MEF＝90°−2β．再根据条件MG平分∠BMH，得到∠EMG＝45°−β，即可得解． 【详解】（1）解：∵EG、FG分别平分∠BEF和∠EFD， ∴∠BEF＝2∠FEG，∠EFD＝2∠EFG， ∵， ∴∠BEF＋∠EFD＝180°， ∴2∠FEG＋2∠GFE＝180°， ∴∠FEG＋∠GFE＝90°， ∵∠EGF＋∠FEG＋∠GFE＝180°， ∴∠EGF＝90°． （2）解：猜想：∠EGF＋∠EHF＝180°， 过点G作， ∵， ∴， ∴设∠EGN＝∠BEG＝α，∠NGF＝∠GFD＝β， ∴∠EGF＝∠BEG＋∠GFD＝α＋β， ∵FG平分∠EFD， ∴∠EFG＝∠GFD＝β， ∵∠EHF＝180°−∠EFG−∠FEH＝180°−α−β， ∴∠EHF＝180°−α−β＝180°−∠EGF， ∴∠EGF＋∠EHF＝180°． （3）解：结论：∠MGF＝45°，理由如下： 过点 G作， ∵， ∴， ∴设∠MGN＝∠BMG＝α，∠NGF＝∠GFD＝β， ∴∠MGF＝∠BMG＋∠GFD＝α＋β， ∵FG平分∠EFD， ∴∠EFG＝∠GFD＝β， ∵， ∴∠MEF＝∠EFD＝2β， ∵MH⊥EF， ∴∠HME＝90°−∠MEF＝90°−2β， ∵MG平分∠BMH， ∴∠EMG＝∠GMH＝α＝∠HME， ∴∠EMG＝α＝∠HME＝(90°−2β)＝45°−β， ∴∠MGF＝α＋β＝45°−β＋β＝45°， ∴∠MGF＝45°， ∴∠MGF的度数是为定值． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键． 变式2．如图1，直线，点A，B在直线上，点、在上，线段交线段于点，且． (1)求证：； (2)如图2，当F，G分别在线段、上，且，，标记为，为． ①若，求的度数； ②当k为何值时，为定值，并求此定值． 【答案】(1)证明见解析；(2)①；②当时，为定值，此时定值为． 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键． （1）利用平行线的性质解答即可； （2）①设，，则，，结合平行线的性质，利用方程的思想方法，依据已知条件列出方程组即可求解； ②利用①中的方法，设，，则，，通过计算，令计算结果中的的系数为即可求得结论． 【详解】（1）证明：如图，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ （2）设，， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， 由（1）可得： ，，， ∴， ∴，， ①∵， ∴， ∴，， ∴； ②，定值为，理由如下： 当时，， ∴当时，为定值，此时定值为． 变式3．我国古代观星，并对星图进行艺术加工可以追溯到公元前，敦煌星图是世界现存古代星图中星数较多，年代最早的星图，绘制于唐代．元朝数学家郭守敬重新观测了二十八星宿（东南西北各七宿，图1是其中的南方七宿之翼），编制了当时最先进的历法《授时历》． 小明学习了平行线知识，画出了“南方七宿之翼”的上半部分（如图2），；    (1)当，时，根据所学知识，可求得______； (2)当时，如图2，猜想和的数量关系______； (3)小明又发现，当a和b不平行时，则相交于点P，得到，如图3，如果为定值，求的值． （备注：请运用平行线知识解决本题，用“外角定理”或“内角和定理”不得分） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查平行线的性质，灵活运用平行线的性质是解题的关键． （1）分别过A，B两点作，则，根据平行线的性质可得，再代入计算即可求解； （2）分别过A，B两点作，则，根据平行线的性质可得，再代入计算即可求解； （3）分别过A，B，E作，则，根据平行线的性质可得，结合为定值可得m，n互为相反数，进而完成解答． 【详解】（1）解：如图2：分别过A，B两点作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为；    （2）解：如图2，分别过A，B两点作AC∥a，BD∥a， ∵a∥b，∴a∥AC∥BD∥b， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为； （3）解：如图3，分别过A，B，E作，    ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵为定值，即为定值， ∴m，n互为相反数， ∴， 故答案为． 【课后练习】 1．如图1，大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的图形之美，洋洋和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做的更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为方便研究，定义两手手心位置分别为A、B两点，两脚脚跟位置分别为C、D两点，定义A、B、C、D平面内O为定点，将手脚运动看作绕点O进行旋转．    (1)如图2，A、O、B三点共线，点C、D重合，，则________； (2)如图3，A、O、B三点共线，且，平分，求大小； (3)第三节腿部运动中，如图4，洋洋发现，虽然A、O、B三点共线，却不在水平方向上，且，他经过计算发现，的值为定值，请写出这个定值为________； (4)第四节体侧运动中，如图5，乐乐发现，两腿左右等距张开，使竖直方向的射线平分，且，开始运动前A、O、B三点在同一水平线上，绕点O顺时针旋转，旋转速度为每秒，旋转速度为每秒，当旋转到与重合时运动停止（是竖直方向的一条射线）．请帮助乐乐求出运动过程中与的数量关系． 【答案】(1)90 (2) (3) (4)当时，；当时， 【分析】本题考查了角的和差运算，一元一次方程的应用； （1）由A，O，B三点共线，可得出，再由，即可求出； （2）由，设，根据A、O、B三点共线，则，得出，再根据，即可求解； （3）由，设，则，分别求出，，再代入即可求解； （4）算出运动停止时间，点，，A三点共线的时间，需要分类讨论，在点C，O，A三点共线前和点C，O，A三点共线后，分别求解即可； 【详解】（1）解：∵A，O，B三点共线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：90； （2）解：∵， 设，， ∵平分， ∴， ∵A，O，B三点共线， ∴， ∴， 解得：， ∴ （3）解：这个定值是，理由： ∵， 设，则， ∴，， ∴， ∴小田的发现是正确的，这个定值是； 故答案为： ； （4）解：∵，平分， ∴，， 设运动时间为， 则， ∴， 当点，，A三点共线时，； ∴当时，，， ∴； 当时，，， ∴， 综上，当时，；当时，． 2．已知直线，现将一个含的三角板按照如图1放置，使点，分别在直线，上，，，平分交直线于点，且． (1)求的度数； (2)将一个含有的三角板按照如图2所示放置，直角顶点与点重合，直角边与重合．若将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒． ①若三角板保持不动，作的角平分线，当时，求的值； ②若三角板同时绕点以每秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，当边与三角板的一条直角边平行时，直接写出所有满足条件的的值． 【答案】(1) (2)①或；②，，， 【分析】（1）根据题意可得，由平行线的性质可得，再结合角平分线的定义，角的和差关系，可得的度数． （2）①根据题意分成在内部时，在外部时两种情况分别讨论，结合角平分线的定义，一元一次方程即可求解． ②当时，分成两种情况和当时，分成两种情况，共四种情况分别讨论，结合平行线的性质，邻补角，一元一次方程的应用，三角形内角和即可求解． 【详解】（1）解：∵，，三角板中含， ∴， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ． （2）解：①若在内部时，则， 又∵，是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ； 若在外部时，则， 又∵，是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ， 综上，或． ②当时，第一种情况：延长交于点， ∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 解得：； 第二种情况：延长交于点， ∵，，，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴当时，或； 当时，第一种情况：延长交于点， ∵，，，， ∴，， ∵， ∴， 解得：； 第二种情况：延长交于点， ∵，，，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴当时，或； ∴当边与三角板的一条直角边平行时，的值为，，，． 【点睛】本题考查了平行线的性质，邻补角，角平分线的定义，一元一次方程的应用，三角形内角和的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 3．已知，如图，平行，直线交于点，交于点，点是线段上一点，，分别在射线，上，连接，，平分，平分． (1)如图1，当时，直接写出的度数； (2)如图2，求与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（1）问的条件下，若，，过点作交的延长线于点，将绕点顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时将绕点逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为△，当首次与重合时，整个运动停止．在此运动过程中，经过秒后，恰好平行于的其中一条边，请直接写出所有满足条件的的值______． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或3或6或12或15 【分析】本题主要考查了平行线的综合题，正确理解旋转的性质、平行线的性质是本题解题的关键． （1）延长交于，根据平行线的性质可得，再根据三角形内角和定理即可求解； （2）参考（1）的解答，根据角平分线性质、平行线的性质以及三角形内角和定理求解即可； （3）先计算出的取值范围，用表示出的大小，再根据三角形内角和定理和角平分线的定义，用表示出三边与的夹角，当夹角相等时，两直线平行，据此解答． 【详解】（1）解：如图，延长交于，设，交于点， 设，则， ， ， ， ， ， 在和中， ，，， ， 即：， ； （2）解：， 理由如下：如图，延长交于，设，交于点， 设，则， ， ， ， ， ， 在 和 中， ，，， ， 即：， ； （3）解：， ， ， ，是的平分线， ， ， 转动过程中，， 由（1）知，， ， ， ， ， ， 在转动过程中，， 设所在直线与射线的夹角为， ， 在转动过程中，， ①当时， 当时，此时，在下方， ， 即，， 解得：， 当时，此时，在上方， ， 即，， 解得：， ②当时， 当时，此时，在上方， ， 即，， 解得：，舍去， 当时，此时，在下方， ， 即，， 解得：， ③当时， 当时，， 即，， 解得：， 当时，， 即，， 解得：， 综上所述，或3或6或12或15． 学科网（北京）股份有限公司 $$