重难点10 几何证明压轴题（2大题型+高分技巧+限时提升练）-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练（重庆专用）

重难点10 几何证明压轴题 几何探究综合题从2020年开始作为解答题的最后一题进行考查,常涉及旋转、动点问题,难度较大。一般三个设问,常考查线段间关系、线段最值等问题,常与中点、角平分线、四点共圆等知识结合,灵活度高，着重考查学生的综合能力.平时练习时熟练掌握角平分线模型、中点模型、线段最值模型、隐圆模型等,加强此题型的练习。 题型一：求最值 此类题考查了勾股定理，等腰三角形的性质与判定，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，垂径定理，一点到圆上的距离的最值问题，还需掌握旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形、圆的有关性质、翻折性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键． 1．（24-25九年级上·重庆北碚·期末）如图，在等边三角形中，点在线段上移动，连接，将线段绕点顺时旋转得到线段，连接交线段于点． (1)如图1，若，求的长度； (2)如图2，当三点共线时，连接，点为中点，过点作于点，请猜想与的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，若点在直线上移动，等边三角形的边长为，作点关于直线的对称点，连接，取的中点，连接，将绕点逆时针旋转，使得点的对应点为点，连接，请直接写出的最小值． 2．（第一中学校2023-2024学年九年级下学期二模）如图，在中，，点F在线段上，连接，延长至点D，连接，满足，点H是线段上一动点（与点B，C不重合），连接交于点E，交于点G．    (1)如图1，若，求的长； (2)如图2，若，猜想与的数量关系，并证明你猜想的结论； (3)如图3，在（1）的条件下，点P是内一点，连接，满足，是否存在点P，H，使得最小，若存在，请直接写出的最小值． 3．（2023年重庆市育才中学教育集团中考二模）如图，为等边三角形，点D为边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转角得线段，连接、，其中与交于点F．    (1)如图1，若D为中点，，，求的长； (2)如图2，若，猜想线段，的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿翻折得，为的中点，连接，当最小时，在内找一点P，使的值最小，若，直接写出的最小值． 4．（育才中学2023-2024学年九年级下学期数学开学）已知，中，交于点D，． (1)如图1，将绕点B逆时针旋转得线段，且点E在的延长线上，求的长． (2)如图2，在（1）的条件下，连接，F为上一点，且满足：，作于点G，求证：． (3)如图3，在（1）的条件下，P、Q分别为线段上的两个动点，且满足，当最小时，M为平面内一动点，将沿翻折得，请直接写出的最大值． 5．（第八中学2023-2024学年九年级上学期第三学月）在三角形中，，F为中点，D为平面内一点． (1)如图1，D点在边上，连接，，若，，，求的值； (2)如图2，连接，将绕点A逆时针旋转到，使得，连接，恰好过点F，若，猜想并证明与的数量关系； (3)D点在边上，E为线段上一点，且，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，若，，求的最大值． 题型二：利用最值求值 此类题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质、折叠的性质、勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．熟练掌握各种最值模型例如费马点、胡不归等，知道达到最值具备的条件，逆向思维解决此类问题。 6．（2023年重庆市育才中学教育集团中考三模）在中，，，点为线段上一点，将射线绕点顺时针旋转得到射线，交线段于点，过点作交射线于点，连接．    (1)如图1，若点为线段的中点，且．，求的面积； (2)如图2．若，过点作的垂线，在的垂线上取一点，使得，连接，，在的延长线上取一点．连接，使得，当时，证明：； (3)如图3，若，，，点为线段上一点，取线段的中点，连接，，将沿翻折得到，连接，，取线段的中点，连接．当线段取得最大值时，直接写出的面积． 7．（第八中学2024-2025学年九年级上学期期末）在中，，以为边向右作等边． (1)如图1，若，，求四边形的面积； (2)如图2，连接，取的中点，连接、，求证：； (3)如图3，点为中点，连接，将沿翻折，得，连接，当取得最大值时，请直接写出的值． 8．（四川外国语大学附属外国语学校2024-2025学年九年级上学期期末）如图三角形中，点D在线段上，点E在线段上，连接、交于点F． (1)如图1，，，平分．若．求的长． (2)如图2，是等边三角形．延长至点，连接，连接交于点．若，．猜想、、之间的数量关系并证明． (3)如图3，，，且，，．点、是平面内直线上方的动点且总有，．若，直接写出当线段取得最小值时的面积． 9．（重庆第八中学九年级上学期12月）在等边中，，点为边上一点，连接． (1)如图1，若点为靠近的三等分点，将线段绕点顺时针旋转至位置，使得，求点到的距离； (2)如图2，将线段绕点顺时针旋转至位置，连接，交于点，过点作于点，猜想并证明与的数量关系； (3)在（2）的条件下，若点为直线上一点，当取得最小值时，请直接写出的面积． 10．（第八中学校2023-2024学年九年级上学期10月）已知，在中，，，E是边上一点． ​ (1)如图1，点是边上一点，连接，将绕点逆时针旋转至，连接．若，，求的面积； (2)如图2，连接，将绕点顺时针旋转至，连接，取的中点，连接．试探究线段，，之间的数量关系； (3)如图3，连接，为上一点，在的上方以为边作等边，刚好点是点关于直线的对称点，连接，当取最小值的条件下，点是直线上一点，连接，将沿所在直线翻折得到（与在同一平面内），连接，当取最小值时，请直接写出的值． （建议用时： 50 分钟） 1．点P是三角形内一点，连接、，．      (1)如图1，若、分别平分、，，，求的长； (2)如图2，连接，若：且，D是的中点，求证：； (3)在（1）的条件下，若点M是直线上一动点，连接，将绕点A顺时针旋转至，连接，取的中点Q，直接写出当取得最小值时，的面积．     2．如图，已知四边形，，且，过点作交于，点在上且，点在延长线上且，连接． (1)如图1，若，，，，求的长度． (2)如图2，取中点，连接，求证：． (3)如图3，在（2）条件下，连接，若，，将绕着点旋转，所在直线与直线交于，是内部一点，当最大时，直接写出的最小值． 15 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点10 几何证明压轴题 几何探究综合题从2020年开始作为解答题的最后一题进行考查,常涉及旋转、动点问题,难度较大。一般三个设问,常考查线段间关系、线段最值等问题,常与中点、角平分线、四点共圆等知识结合,灵活度高，着重考查学生的综合能力.平时练习时熟练掌握角平分线模型、中点模型、线段最值模型、隐圆模型等,加强此题型的练习。 题型一：求最值 此类题考查了勾股定理，等腰三角形的性质与判定，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，垂径定理，一点到圆上的距离的最值问题，还需掌握旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形、圆的有关性质、翻折性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键． 1．（24-25九年级上·重庆北碚·期末）如图，在等边三角形中，点在线段上移动，连接，将线段绕点顺时旋转得到线段，连接交线段于点． (1)如图1，若，求的长度； (2)如图2，当三点共线时，连接，点为中点，过点作于点，请猜想与的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，若点在直线上移动，等边三角形的边长为，作点关于直线的对称点，连接，取的中点，连接，将绕点逆时针旋转，使得点的对应点为点，连接，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， ∵将线段绕点顺时旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵，， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，延长至，使得，连接 ∵点为中点， ∴， 在中， ∴， ∴， ∵将线段绕点顺时旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∵，即垂直平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，即 又∵， ∴，则， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图所示，以为边在左侧作等边，连接，， ∵点在直线上移动，等边三角形的边长为，作点关于直线的对称点， ∴， ∵是的中点， ∴，即点在为圆心为半径的圆上运动， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转，使得点的对应点为点， ∴，， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴，即点在以为圆心，为半径的圆上运动， ∴ 当运动到线段上时，取得最小值，最小值为． 2．（第一中学校2023-2024学年九年级下学期二模）如图，在中，，点F在线段上，连接，延长至点D，连接，满足，点H是线段上一动点（与点B，C不重合），连接交于点E，交于点G．    (1)如图1，若，求的长； (2)如图2，若，猜想与的数量关系，并证明你猜想的结论； (3)如图3，在（1）的条件下，点P是内一点，连接，满足，是否存在点P，H，使得最小，若存在，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)存在， 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图1，作于，    ∴，，， ∴，， ∴的长为； （2）解：，证明如下； 由题意知，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， 如图2，作交于，作于，    ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（1）可知，， 如图3，以为边作等边三角形，以为圆心，长为半径作，在优弧上取点，连接， ∴，， ∵， ∴四点共圆，即在上在内部的弧上运动， 如图3，作，作于， ∴， ∵， ∴当四点共线，且时，最小， 如图3，作于，交于，作于，则即为的最小值， ∵， ∴， ∴，即在上，则四边形是矩形， ∴， ∴，， 如图3，作的垂直平分线交于，连接，则， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 由勾股定理得，，即， 解得，或（舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为，即的最小值为， ∴存在点，的最小值为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，正弦，正切，余弦，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，圆周角定理，四点共圆，勾股定理，矩形的判定与性质，垂直平分线的性质等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，正弦，正切，余弦，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，圆周角定理，四点共圆，勾股定理，矩形的判定与性质，垂直平分线的性质是解题的关键． 3．（2023年重庆市育才中学教育集团中考二模）如图，为等边三角形，点D为边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转角得线段，连接、，其中与交于点F．    (1)如图1，若D为中点，，，求的长； (2)如图2，若，猜想线段，的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿翻折得，为的中点，连接，当最小时，在内找一点P，使的值最小，若，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【详解】（1）∵为等边三角形，为中点，， ∴，，，，， ∴， ∴， ∵，    ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． （2）．理由如下： 延长到点，使，连接， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ， ∵，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴． （3）如图所示，设交于点，    由（2）可得， ∴， ∵ ∴ ∵翻折， ∴， 将绕点顺时针旋转得到 ∴，，是等边三角形， ∵ ∴ ∴当时，最小， 过点作于点，    ∵，， ∴ 在和中 ∴ ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图所示，过点作，，垂足分别为，且，，    ∴ ∴， 在中，，则， ∴ ∴， ∴ 当四点共线时，取得最小值， 如图所示，过点作交的延长线于点， ∵ ∴ ∵， ∴，, ∴，    ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定性质，三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质，三角形全等的判定性质，三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理，勾股定理是解题的关键． 4．（育才中学2023-2024学年九年级下学期数学开学）已知，中，交于点D，． (1)如图1，将绕点B逆时针旋转得线段，且点E在的延长线上，求的长． (2)如图2，在（1）的条件下，连接，F为上一点，且满足：，作于点G，求证：． (3)如图3，在（1）的条件下，P、Q分别为线段上的两个动点，且满足，当最小时，M为平面内一动点，将沿翻折得，请直接写出的最大值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：∵中，， ， 交于点， ， ∵将绕点逆时针旋转得线段，且点在的延长线上， ， ∴是等边三角形， ； （2）解：延长至，使得，连接， ， ， ， ， ，是等边三角形， 在中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图所示，以为圆心的长为半径，作，作， ， 又， ， ， ， 当三点共线时，最小， ∵为平面内一动点，将沿翻折得， 在上， 又∵垂直平分，则， ∴的最大值为， 过点作于点， 在中，， ， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ， 在中，， 则， 设， 则， 解得：， ， ． 5．（第八中学2023-2024学年九年级上学期第三学月）在三角形中，，F为中点，D为平面内一点． (1)如图1，D点在边上，连接，，若，，，求的值； (2)如图2，连接，将绕点A逆时针旋转到，使得，连接，恰好过点F，若，猜想并证明与的数量关系； (3)D点在边上，E为线段上一点，且，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，若，，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：过点A作于点H，过点F作于点G， ∵， ∴， ∴， ∵点F为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 证明：在上截取，连接， ∵将绕点A逆时针旋转到，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点F为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵， 由旋转得， ∴当最大时，有最大值， ∵点E为上一点， ∴当点E与点C重合时，有最大值， 连接，过点P作于点F， ∵， ∴， 由旋转可得， ∴， ∴， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， 即的最大值为． 题型二：利用最值求值 此类题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质、折叠的性质、勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．熟练掌握各种最值模型例如费马点、胡不归等，知道达到最值具备的条件，逆向思维解决此类问题。 6．（2023年重庆市育才中学教育集团中考三模）在中，，，点为线段上一点，将射线绕点顺时针旋转得到射线，交线段于点，过点作交射线于点，连接．    (1)如图1，若点为线段的中点，且．，求的面积； (2)如图2．若，过点作的垂线，在的垂线上取一点，使得，连接，，在的延长线上取一点．连接，使得，当时，证明：； (3)如图3，若，，，点为线段上一点，取线段的中点，连接，，将沿翻折得到，连接，，取线段的中点，连接．当线段取得最大值时，直接写出的面积． 【答案】(1)12 (2)证明过程见解析 (3) 【详解】（1）如图，作， ∵，， ∴， ∵为线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；    （2）证明：∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵，，且， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴；    （3）∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，点为中点， ∴，由折叠可得， ∴点的运动轨迹在以为直径的上， ∵点为的中点， ∴， ∴点的运动轨迹在以为直径的圆上，取中点，    ∴当过时，长最大， 如图所示，作，，        ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵点为中点， ∴； 7．（第八中学2024-2025学年九年级上学期期末）在中，，以为边向右作等边． (1)如图1，若，，求四边形的面积； (2)如图2，连接，取的中点，连接、，求证：； (3)如图3，点为中点，连接，将沿翻折，得，连接，当取得最大值时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）解：如图，过点作交点，过点作交点， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴四边形的面积为； （2）解：过点作，交的延长线于点，延长至点，使，连接，过点作于点，过点作于点， ∵为中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴，， 又∵，， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：设等边位置固定，且边长为， 如图，构造的外接圆，圆心为点， 则， 又∵， ∴为等边三角形， ∴点位置固定，， ∴是以为边长的固定圆， 则点的轨迹为固定在左侧的弧， 取中点，连接，， 又∵为中点， ∴，是固定值， ∴点的轨迹为以为圆心，为半径的圆在左侧的弧， 由两点之间线段最短，知，且当、、共线时，取得最大值，最大值为； 当最大时，如图，连接交于点，连接交于点，过点作于点，过点作于点，设与交于点， 由， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由翻折可得， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中，由勾股定理得， 即， 解得：， ∴， 由翻折得， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：，， ∴， ∴， ∴． 8．（四川外国语大学附属外国语学校2024-2025学年九年级上学期期末）如图三角形中，点D在线段上，点E在线段上，连接、交于点F． (1)如图1，，，平分．若．求的长． (2)如图2，是等边三角形．延长至点，连接，连接交于点．若，．猜想、、之间的数量关系并证明． (3)如图3，，，且，，．点、是平面内直线上方的动点且总有，．若，直接写出当线段取得最小值时的面积． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ， ， ， ∵平分， ， ∵， ，， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：猜想：，证明如下： 在上取点，使得，连接，在上截取， ∵是等边三角形， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由，设，， ∵，，， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴， 解得：， ∴，， 构造的外接圆， 由， 则所对圆心角为， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴点和点重合， ∴的外接圆圆心即为点， ∴点的轨迹为以为圆心，为半径的圆在上方部分， ∵， ∴如图，点的轨迹为以为圆心，为半径长的圆在上方部分， 设， ∴， ∴， 如图，将沿直线翻折，得到， ∴，，， ∴， ∵，， ∴，是定值， 由，且当、、依次共线时，取最小值， 由， 则当、、依次共线时，取最小值， 当取最小值时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作于点，连接， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∵， ∴． 9．（重庆第八中学九年级上学期12月）在等边中，，点为边上一点，连接． (1)如图1，若点为靠近的三等分点，将线段绕点顺时针旋转至位置，使得，求点到的距离； (2)如图2，将线段绕点顺时针旋转至位置，连接，交于点，过点作于点，猜想并证明与的数量关系； (3)在（2）的条件下，若点为直线上一点，当取得最小值时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【详解】（1）过点A作，垂足为M，过点P作，垂足为N， ∴， 在等边中，， ∴， ∴， ∵点为靠近的三等分点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2），理由如下： 在上截取，连接，交于点K， 在等边中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴点E为中点， ∵， ∴， ∴； （3）将绕点A顺时针旋转120度，得到，连接，延长，交直线于点Y，作点B关于的对称点，连接交于点，过点作，垂足为X，过点作，垂足为J， 由（2）得， ∴，当三点共线时，的值最小， 此时的面积即为所求， 同（2）可证， ∴四边形是菱形， 同理可得四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴面积为． 10．（第八中学校2023-2024学年九年级上学期10月）已知，在中，，，E是边上一点． ​ (1)如图1，点是边上一点，连接，将绕点逆时针旋转至，连接．若，，求的面积； (2)如图2，连接，将绕点顺时针旋转至，连接，取的中点，连接．试探究线段，，之间的数量关系； (3)如图3，连接，为上一点，在的上方以为边作等边，刚好点是点关于直线的对称点，连接，当取最小值的条件下，点是直线上一点，连接，将沿所在直线翻折得到（与在同一平面内），连接，当取最小值时，请直接写出的值． 【答案】(1)2 (2)； (3)． 【详解】（1）解：如图1，过点作直线于， 将绕点逆时针旋转至， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 的面积； （2）解：； 如图2，过点作，交直线于点，过点作，交于， ， ，，， 点是的中点， ， ， ，， ， ， ，， ， ，， 将绕点顺时针旋转至， ，， ， ， ， ， ； （3）解：如图3，作点关于的对称点，连接，， 点是点关于直线的对称点， ，平分，垂直平分， 是等边三角形， ， ， 点与点关于对称， ，，， ， 为等边三角形， ， 当点，点，点三点共线时，有最小值， 将沿所在直线翻折得到， ， 点在以点为圆心，长为半径的圆上， 当点落在上时，有最小值， 设，则，， 为等边三角形，， 垂直平分， ，， 将沿所在直线翻折得到， ，， ，， ， ， ， ． （建议用时： 50 分钟） 1．点P是三角形内一点，连接、，．      (1)如图1，若、分别平分、，，，求的长； (2)如图2，连接，若：且，D是的中点，求证：； (3)在（1）的条件下，若点M是直线上一动点，连接，将绕点A顺时针旋转至，连接，取的中点Q，直接写出当取得最小值时，的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：如图1，过C作于H，    ∵、分别平分、， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，     在中，，，， ∴，， 在中，，， ∴． （2）证明：过B作交的延长线于E，过点P作交于F． ∵， ∴， ∵D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴，即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴；      （3）解：由（1）可得，，，， 如图，当点M在点C上，将绕点A顺时针旋转至，当点M在点B上，将绕点A顺时针旋转至， 则、是等边三角形， ∴， ∵点、分别是、的中点， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点M在上移动， ∴点Q在上移动， 当时，取最小值， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点Q作于点G， ∵，， ∴， ∴，， ∴ ．    2．如图，已知四边形，，且，过点作交于，点在上且，点在延长线上且，连接． (1)如图1，若，，，，求的长度． (2)如图2，取中点，连接，求证：． (3)如图3，在（2）条件下，连接，若，，将绕着点旋转，所在直线与直线交于，是内部一点，当最大时，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：过点作于点，过点作于，如图1， 则， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴，解得， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴； （2）证明：延长至，使，连接， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴； （3）解：由旋转得点在以为圆心，为半径的圆上运动，当最大时，点在的延长线上， ∵，，， ∴， 如图3，将绕点顺时针旋转得到，在上截取，过点作交于， 连接，，过点作于， 由旋转得，，，，， 则是等边三角形， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 当且仅当点在同一条直线上时，取得最小值， 在中，， ∴的最小值为 ． 15 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$