重难点08 二次函数综合题角相关（4大题型+高分技巧+限时提升练）-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练（重庆专用）

重难点08 二次函数综合题角相关 二次函数是中考数学的必考考点，本题型常以解答题的形式出现，考查类型为线段最值(含周长)问题、面积最值问题、特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题，常结合二次函数的性质、相似或全等三角形的性质、图形的平移、图形的旋转等知识进行综合考查.2024年考查内容以角相关为主。二次函数中的角度存在性问题一般是指在动点的运动过程中，存在某个特殊位置，使得某些角度满足一定的特殊关系，常见类型有角度为定值、角度相等、角度倍分、角度和差等，是对二次函数和几何图形的综合考查，涉及二次函数的图象性质以及几何图形中的平行线、三角形性质、三角形全等或者相似、三角函数、轴对称等知 识，一般的解题策略是利用相关几何知识确定特殊点的坐标，再利用点的坐标确定解析式，最后联立解析式找到满足条件的点的坐标。 【题型1 角相等】 考查了二次函数综合，待定系数法，二次函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，三角函数等；能根据题意构建相似三角形，并能熟练利用二次函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，三角函数进行求解是解题的关键． 1．（24-25九年级上·重庆江北·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），作直线，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是抛物线上直线上方的一动点，过点P作轴于D，交于点E，过点P作于点F．点N是线段上一动点，作轴于点M，取的中点G，连接，．当的周长取得最大值时，求点E的坐标和的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中的点E，且与直线相交于另一点K，点Q为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 2．（第八中学2024-2025学年九年级上学期期末）如图，抛物线与轴交于点，点（在的左侧），与轴相交于点，、的坐标分别为：、，连接、． (1求抛物线的解析式； (2)如图1，点是第一象限内抛物线上的动点，过点作，交直线于点，过点作轴，交轴于点，点为直线上一动点，当最大时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移个单位，点为平移后抛物线对称轴上一动点，连接、，当时，请写出所有符合条件的的坐标，并写出其中一个点的求解过程． 3．（育才中学校2024-2025学年九年级上学期第三次月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的函数图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线下方的抛物线上有一动点，连接，点是点关于轴的对称点，过点作直线轴，点为直线上一动点，轴，垂足为，连接，当的面积取得最大值时，求的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新的抛物线，点为中点，在新抛物线上存在一点使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 4．（育才中学校2024-2025学年九年级上学期12月）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式 (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴，交于点，点是轴上的一动点，连接，当线段长度取得最大值时，求周长的最小值； (3)点E坐标为，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，在抛物线是否存在点，满足，若存在，直接写出点的坐标，若不存在请说明理由． 5．（第八中学校2024—2025学年九年级上学期第三学月）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于，两点，其中点为．         图1                 图2                  图3 (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，点是直线上方抛物线上一动点，点为直线上一动点，轴于点，连接，，，当的面积取得最大时，求的最小值； (3)如图3，将抛物线沿着水平方向平移，使得新抛物线经过点，交轴于点，点，点Q为平移后新抛物线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【题型2 角互余】 主要考查了二次函数与坐标轴交点、求一次函数解析式、解直角三角形、勾股定理、二次函数图像平移、平行四边形的判定与性质等知识，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线和具备较强的计算能力是解题关键。 6．（育才中学校2024-2025学年九年级上学期期中）如图，平面直角坐标系中，抛物线过，其对称轴为直线，该抛物线与直线交于、两点．其中点在轴上，点在轴上． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，点为直线下方抛物线上一动点，过点作于点，连接，点为直线上一点，连接．当面积最大时，求点的坐标及最小值． (3)在（2）的条件下，如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线点是新抛物线上一动点，连接、 ．当时，请直接写出符合条件的点坐标． 7．（2024·重庆九龙坡·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C，如图所示．点D为抛物线的顶点，点是抛物线上的一点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上一动点，过点P分别作交x轴于点M，轴交直线于点N．求的最大值及此时点P的坐标； (3)将抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线，点是新抛物线的顶点，点F是点E平移后的对应点，点G是新抛物线上一动点，连接．当时，请直接写出所有符合条件的点G的坐标． 8．（南开中学校 2024-2025学年九年级上学期10月）如图1，直线分别与轴，轴交于A，B两点，与二次函数在第二象限交于点．已知为中点，抛物线对称轴为直线，点为点关于轴的对称点，连接． (1)求抛物线的解析式： (2)如图2，点是抛物线上的一动点且位于第一象限，连接和为轴上的一个动点，连接和，当时，求点的坐标及的最大值； (3)如图3，点直线上一动点，连接，若，请直接写出所有符合条件的点坐标． 9．（第一中学校2024-2025学年九年级上学期第一次月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且点在点的右侧，连接，． (1)求直线的解析式； (2)如图，点是直线下方抛物线上的一个动点，连接，，点和点是直线上的两个动点（点在点的下方），且，连接，，当时，求的最小值； (3)将该抛物线沿方向平移使得新抛物线与轴的左交点恰好是点，与轴的右交点记为点．点是新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 10．（西南大学附属中学校九年级下学期中考一诊）如图，在平而直角坐标系中，抛物线过点，交轴于点和点，交轴于点． (1)求拋物线的解析式； (2)如图，点是直线下方拋物线上一动点，过点作轴交于点，过点作交于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)将原抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新拋物线，新拋物线与轴的负半轴交于点，请问在新拋物线上是否存在一点，使得？若存在，则直接写出点的坐标；若不存在，则说明理由． 【题型3 角的倍数关系】 考查了待定系数法确定函数解析式，二次函数的图像与性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一性质，图像的平移，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数与一次函数的交点等知识点．掌握二次函数的图像与性质，图像的平移，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 11．（南岸区珊瑚初级中学2024-2025学年九年级上学期12月）如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，过点作直线的平行线，交抛物线于点．    (1)求抛物线的表达式； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，过点作于点，连接．求面积的最大值，及此时点的坐标； (3)如图2，在（2）问条件下，将原抛物线向右平移，再次经过（2）问条件下的点时，新抛物线与轴交于点，（在左侧），与轴交于点，点为新抛物线上的一点，连接，并延长交直线于点，使得，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 12．（杨家坪中学2024-2025学年九年级上学期10月）如图1，抛物线经过，两点，与轴交于点，为第四象限内抛物线上一点．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)设四边形的面积为S，求S的最大值； (3)如图2，过点作轴于点，连接，，与轴交于点．当时，求直线的函数表达式及点的坐标． 13．（育才中学2024-2025年九年级上学期第一次月考）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，是抛物线上一点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上一动点，问：是否存在点，使得面积有最小值，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)抛物线沿方向平移个单位长度，点是新抛物线与轴的交点，点是新抛物线上一点，连接．当时，请直接写出所有符合条件的点坐标． 14．（2024年重庆一中三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，．直线经过点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，作于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为平移后的抛物线与轴负半轴的交点，将点向下平移一个单位得到点，在直线上确定一点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 15．（九龙坡区2024-2025学年九年级上学期期末）如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，过点作直线的平行线，交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，过点作于点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标． (3)如图2，在（2）问条件下，将原抛物线向右平移1个单位，使抛物线再次经过（2）问条件下的点时，新抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，连接，点为新抛物线上一点，连接交直线于点，使得，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【题型4 多角和差关系】 考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，二次函数图象上点坐标的特征，平行四边形的性质与判定，三角函数的定义，相似三角形的性质与判定等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度，利用几何性质构造角的和差关系是解题关键。 16．（第十一中学校2024-2025学年上学期九年级数学学科素养12月）如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点，连接和，点在抛物线上运动，连接和． (1)求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标； (2)点在抛物线上从点运动到点的过程中（点与点不重合），作点关于轴的对称点，连接，记的面积为，记的面积为，若满足，求的面积； (3)将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，试探究在新抛物线上是否存在一点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 17．（第八中学校2023-2024学年九年级下学期三模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P为第二象限抛物线上的一点，过点P作轴交直线于点D，过点P作轴交直线于点E，F为y轴上一点，且满足，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，将原抛物线进行平移，平移后的抛物线与x轴交于点M，N，顶点为，轴于H，在平移后的抛物线上是否存在点R，使得，若存在，请直接写出R的坐标，若不存在，请说明理由． 18．（第八中学校2024年九年级下学期期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，，与轴交于，连接，作直线． (1)求该抛物线的解析式： (2)已知直线上方抛物线上有一动点，过点作轴交于，过作轴交轴于，求的最大值和此时点坐标； (3)将原抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线，已知点是新抛物线上一动点，且，求所有符合条件的点的横坐标并写出其中一种情况的求解过程． 19．（八中学校2023-2024学年九年级下学期5月）已知如图1，抛物线：交x轴于A、B两点，交y轴于点C，其中．点D为y轴上一点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为位于下方抛物线上一点，过P作y轴平行线交于点E，再过点E作直线的垂线交其于点F，求的最大值，并求此时点P的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度后得到新抛物线y'，点M为新抛物线y'上一点，当时，写出所有符合条件的点M的横坐标，并写出求解点M横坐标的其中一种情况的过程． 20．（南开中学2023-2024学年九年级下学期期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与y轴交于点，连接、． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是直线下方抛物线上的一动点，过点作直线交轴于点，过点作于点，求出的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，连接交于点，将原抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，在新抛物线上存在一点，使，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． （建议用时： 40 分钟） 1．综合与探究 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求A，B两点的坐标及直线的函数表达式． (2)M为直线下方抛物线上一点，其横坐标为m，过点M作于点D，当线段最长时，求点M的坐标． (3)在（2）的条件下，连接．在y轴上是否存在一点P，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图1，抛物线与坐标轴分别交于三点，其中点坐标为． (1)求抛物线解析式； (2)点是直线下方抛物线上的一动点，点是轴上一动点，当四边形的面积最大时，求的最小值； (3)在（2）条件下，将抛物线沿轴翻折得到，则点的对应点为，并将沿射线方向平移个单位长度得到，记在抛物线上的对应点为，过作轴于点是直线上一点，连接，则是否存在点使得；若存在，请直接写出点的坐标． 15 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点08 二次函数综合题角相关 二次函数是中考数学的必考考点，本题型常以解答题的形式出现，考查类型为线段最值(含周长)问题、面积最值问题、特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题，常结合二次函数的性质、相似或全等三角形的性质、图形的平移、图形的旋转等知识进行综合考查.2024年考查内容以角相关为主。二次函数中的角度存在性问题一般是指在动点的运动过程中，存在某个特殊位置，使得某些角度满足一定的特殊关系，常见类型有角度为定值、角度相等、角度倍分、角度和差等，是对二次函数和几何图形的综合考查，涉及二次函数的图象性质以及几何图形中的平行线、三角形性质、三角形全等或者相似、三角函数、轴对称等知 识，一般的解题策略是利用相关几何知识确定特殊点的坐标，再利用点的坐标确定解析式，最后联立解析式找到满足条件的点的坐标。 【题型1 角相等】 考查了二次函数综合，待定系数法，二次函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，三角函数等；能根据题意构建相似三角形，并能熟练利用二次函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，三角函数进行求解是解题的关键． 1．（24-25九年级上·重庆江北·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），作直线，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是抛物线上直线上方的一动点，过点P作轴于D，交于点E，过点P作于点F．点N是线段上一动点，作轴于点M，取的中点G，连接，．当的周长取得最大值时，求点E的坐标和的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中的点E，且与直线相交于另一点K，点Q为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 【答案】(1) (2)，的最小值为 (3)或 【详解】（1）解：令得，，则，， ∵， ∴， ∴， 把代入得， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴，解得， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：令，解得， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， 代入，得，解得， ∴直线解析式为， ∵轴， ∴，设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的周长为， ∴当时，的周长取得最大值，此时，， ∴， 连接，， ∵作轴，轴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当在上时，最小， ∵，， ∴的中点G坐标为， ∴， ∴的最小值为； （3）解：将该抛物线沿射线方向平移，设向左平移个单位，再向上平移了个单位，， 则新抛物线的表达式为：， 将代入上式得：，解得或， ∴， 故新抛物线的表达式为：， 联立上式和直线的表达式并解得：（舍去）或， ∴点， ∴设直线线的表达式为：， 当点在点下方时， ∵， ∴， 由，，得，直线的表达式为：， 则直线的表达式为：， 联立，解得或， ∴， 当点在点的上方时，取点，则轴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由，，得，直线的表达式为：， ∴直线的表达式为：， 联立，解得或， ∴， 综上所述，当时，点Q的坐标为或． 2．（第八中学2024-2025学年九年级上学期期末）如图，抛物线与轴交于点，点（在的左侧），与轴相交于点，、的坐标分别为：、，连接、． (1求抛物线的解析式； (2)如图1，点是第一象限内抛物线上的动点，过点作，交直线于点，过点作轴，交轴于点，点为直线上一动点，当最大时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移个单位，点为平移后抛物线对称轴上一动点，连接、，当时，请写出所有符合条件的的坐标，并写出其中一个点的求解过程． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，过作轴交于，交于，延长交于， 轴， ， 当时，， ∴， ∴，， ， 在中， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时， 取最大值， ， ， 如图，过作轴，过作，过作轴交于，作交于， 轴， 四边形、、均是矩形， ， ， ， ， 在中， ， ， ， ， ， 如图， 当、、三点共线时，的值最小， 此时， 的最小值为； （3）解：， 该抛物线沿射线方向平移个单位， 该抛物线向左平移个单位长度， ， 平移后的对称轴为直线， ①当在轴上方时， 如图，过作轴交于，过作轴交于，交于， ， 四边形、、是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：，（舍去）， ， 设， ， ， 在中 ， ， 解得：，（舍去）， ； ②当在轴下方时，如图， 同理可求： ， ， 解得：，（舍去）， ； 综上所述：的坐标为或． 3．（育才中学校2024-2025学年九年级上学期第三次月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的函数图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线下方的抛物线上有一动点，连接，点是点关于轴的对称点，过点作直线轴，点为直线上一动点，轴，垂足为，连接，当的面积取得最大值时，求的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新的抛物线，点为中点，在新抛物线上存在一点使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 把，代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由，得， 设直线的解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 设点，过点作轴 ，交直线于点，如图，则点， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积取最大值， ∴， ∴， 作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则， ∵点是点关于轴的对称点， ∴， ∵点为直线上一动点，轴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由两点之间线段最短，可知此时的值最小， ∵点与点关于直线的对称点， ∴， 又∵， ∴， ∴的最小值； （3）解：∵直线的解析式为， ∴可设抛物线沿射线向下平移的单位长度，再向右平移的单位长度得到新的抛物线， ∵， ∴， ∴抛物线沿射线向下平移的单位长度，再向右平移的单位长度得到新的抛物线， ∵， ∴， ∵点为中点， ∴， 如图，当时，， 设直线的解析式为，把代入得， ， ∴， ∴直线的解析式为， 由，解得（不合，舍去）或， ∴； 当，与轴的交点为点时，如图， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，, ∴， ∴， 设直线的解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 由，解得（不合，舍去）或， ∴； 综上，当时，点的坐标为或． 4．（育才中学校2024-2025学年九年级上学期12月）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式 (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴，交于点，点是轴上的一动点，连接，当线段长度取得最大值时，求周长的最小值； (3)点E坐标为，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，在抛物线是否存在点，满足，若存在，直接写出点的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为； (2)周长的最小值为； (3)点的坐标为或． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，抛物线的对称轴是直线， ∴， 解得： ∴抛物线的表达式为； （2）解：令，则， ∴或， ∴，， 令，则， ∴， 设直线的解析式为， ∴ ∴， ∴直线的解析式为， 设， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，此时，， ∴， 取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，如图， ∵点是轴上的一动点， ∴此时最小，， ∴， ∵，， ∴， ∴周长的最小值为； （3）解：由， ∵，， ∴。 ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，就是将原抛物线向下平移个单位，再向右平移个单位， ∴， 分两种情况： 当在的上方时，如图,设交轴于， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， 同理得：的解析式为， ∴， 解得：（舍去），， ∴点的坐标为； 当在的下方时，如图， ∵， ∴， 当时，， 解得：（舍去），， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 5．（第八中学校2024—2025学年九年级上学期第三学月）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于，两点，其中点为．         图1                 图2                  图3 (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，点是直线上方抛物线上一动点，点为直线上一动点，轴于点，连接，，，当的面积取得最大时，求的最小值； (3)如图3，将抛物线沿着水平方向平移，使得新抛物线经过点，交轴于点，点，点Q为平移后新抛物线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：直线交坐标轴于，两点， 令，则， 令，则， 解得：， 点，， 直线与抛物线交于，两点， 将，两点坐标代入抛物线解析式，可得： ， 解得：， 该抛物线解析式为； （2）解：如图，过点作轴交于点， 设，则， 点是直线上方抛物线上一动点， ， ， ， 当时，取得最大值，此时， 四边形为矩形，轴于点， ，， ， 当点，，共线时，取得最小值， ， 的最小值为； （3）解：由（1）可知：该抛物线解析式为， 其顶点坐标为， 令，则， 解得：，， 平移前抛物线与轴的右侧交点为， 将抛物线沿着水平方向平移，且平移后的抛物线经过点， 该平移是将抛物线沿轴向左平移个单位长度， 平移后的新抛物线顶点坐标为，即， 平移后的新抛物线解析式为， 如图，过点作轴于点， ， ，， 易证得四边形是正方形， 由（1）可知：， 为中点， 由正方形的性质可知：， ， ， 过点作交于点，过点作轴于点， ，， ， ， ， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 设的函数解析式为， 将，代入，得： ， 解得：， 的函数解析式为， 根据题意可得：， 解得：，， ； 如图，作点关于直线的对称点，设交抛物线于点， 易知， 根据轴对称的性质可得：，即， 设的函数解析式为， 将，代入，得： ， 解得：， 的函数解析式为， 根据题意可得：， 解得：，， ； 综上所述，点的坐标为或． 【题型2 角互余】 主要考查了二次函数与坐标轴交点、求一次函数解析式、解直角三角形、勾股定理、二次函数图像平移、平行四边形的判定与性质等知识，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线和具备较强的计算能力是解题关键。 6．（育才中学校2024-2025学年九年级上学期期中）如图，平面直角坐标系中，抛物线过，其对称轴为直线，该抛物线与直线交于、两点．其中点在轴上，点在轴上． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，点为直线下方抛物线上一动点，过点作于点，连接，点为直线上一点，连接．当面积最大时，求点的坐标及最小值． (3)在（2）的条件下，如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线点是新抛物线上一动点，连接、 ．当时，请直接写出符合条件的点坐标． 【答案】(1) (2)， (3)， 【详解】（1）解：∵抛物线过，其对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：当时，， ∴， 当时，， 解得：，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当与抛物线有唯一交点时，面积最大， ∵，，直线为， ∴， ∴，解得：， ∴直线为：， ∴设直线为， 令， 整理得：， ∴， 解得：， ∴直线为， ∴， 解得：， ∴， ∴， 如图，过作于， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 当三点关系，且时，最小， ∵， ∴， ∴的最小值为：． （3）解：∵， 又∵直线为，， ∴将抛物线沿射线方向平移个单位相当于将抛物线向右平移4个单位，再向上平移2个单位， ∴平移后的抛物线为：， 如图，连接，过作于，过作于， ∵，， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理可得：， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴， 设， ∴， 整理得：， 解得：，（经检验不符合题意，舍去）， ∴， ∴， 如图，作交轴于，设，过作于， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 解得：（不符合题意的根舍去）， ∴， 同理可得：的解析式为：， 令， ∴， 解得：（不符合题意，舍去），， ∴， ∴， 综上：的坐标为：或． 7．（2024·重庆九龙坡·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C，如图所示．点D为抛物线的顶点，点是抛物线上的一点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上一动点，过点P分别作交x轴于点M，轴交直线于点N．求的最大值及此时点P的坐标； (3)将抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线，点是新抛物线的顶点，点F是点E平移后的对应点，点G是新抛物线上一动点，连接．当时，请直接写出所有符合条件的点G的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)的最大值为， (3)点G的坐标为或． 【详解】（1）解：由题意得， ， ， 抛物线的解析式为； （2）解：如图1， 作于，设， 由得， ，， ， ， 设的解析式为：， ， ， ， 由得， ， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ， 时，的最大值为， 当时，， ； （3）解：如图2， 作于， ， ，， ， ，， ，， ，即， ， ， ， 如图3， ， 轴， ， 新抛物线与轴右交点满足条件， 由得， ，（舍去）， ， 作关于的对称点，作射线，作轴于点， ，， ， ， ， 设，则， ， 在中，，，， ， ，， ，， ， 的解析式为：， 由得， （舍去），， 当时，， ， 综上所述：点G的坐标为或． 8．（南开中学校 2024-2025学年九年级上学期10月）如图1，直线分别与轴，轴交于A，B两点，与二次函数在第二象限交于点．已知为中点，抛物线对称轴为直线，点为点关于轴的对称点，连接． (1)求抛物线的解析式： (2)如图2，点是抛物线上的一动点且位于第一象限，连接和为轴上的一个动点，连接和，当时，求点的坐标及的最大值； (3)如图3，点直线上一动点，连接，若，请直接写出所有符合条件的点坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为，的最大值为 (3)或 【详解】（1）解：对于一次函数，当时，，令，则， ∴，， 又∵为中点，点为点关于轴的对称点， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∵抛物线对称轴为直线， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：， ∴， 过点P作轴于点Q， 设点P的坐标为， ∴， 即， 整理得：， 解得（舍去），， ∴点P的坐标为， 如图，作点C关于y轴的对称点F，连接，， 则点F的坐标为，且， ∵，即当P、E、F三点共线时取等号，有最大值， 最大值为， ∴的最大值为； （3）解：∵， ∴， 如图，当点N在y轴左侧时， 当时，则， ∴，即， 设点N的坐标为， ∴， 解得：或（舍去）； 如图，当点N在y轴右侧时，在x轴下方直线上取点P，使得， 当时，则， 设点N的坐标为， ∴， 解得：或（舍去）； ∴点N的坐标为或． 9．（第一中学校2024-2025学年九年级上学期第一次月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且点在点的右侧，连接，． (1)求直线的解析式； (2)如图，点是直线下方抛物线上的一个动点，连接，，点和点是直线上的两个动点（点在点的下方），且，连接，，当时，求的最小值； (3)将该抛物线沿方向平移使得新抛物线与轴的左交点恰好是点，与轴的右交点记为点．点是新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：对于， 令，可得，即， 令，可得， 整理可得 ，解得 ，， ∵点在点的右侧， ∴，， 设直线的解析式的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式的解析式为； （2）∵，，， ∴，，， ∴， 如下图，过点作轴的垂线，交于， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 如下图，过点作，过点作，过点作轴于点， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴，即点与点重合， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当三点在同一直线上时，取最小值，即取最小值，如下图， 此时， ∴， 即的最小值为； （3）原抛物线， 将原抛物线沿方向平移使得新抛物线，且与轴的左交点恰好是点， 即将原抛物线相似移动3个单位长度，相右移动4个单位长度，即可得到新的抛物线， ∴新抛物线解析式为， 令，可得， 解得，， ∴， 当点在点右侧时，则有，故不符合题意， ∴点在点左侧，如下图，过点作轴于点， 设，则， ∴，， ∵在中，， 又∵， ∴， ∵， ∴， 即， 可有或， 解得，（舍去）或，（舍去）， ∴点的坐标为或． 10．（西南大学附属中学校九年级下学期中考一诊）如图，在平而直角坐标系中，抛物线过点，交轴于点和点，交轴于点． (1)求拋物线的解析式； (2)如图，点是直线下方拋物线上一动点，过点作轴交于点，过点作交于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)将原抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新拋物线，新拋物线与轴的负半轴交于点，请问在新拋物线上是否存在一点，使得？若存在，则直接写出点的坐标；若不存在，则说明理由． 【答案】(1) (2)最大值， (3)存在，或 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 拋物线的解析式为：； （2）解：如图，过点B作，交y轴于点F， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 也是等腰直角三角形， 在中，令，则， 或， ， ， 也是等腰直角三角形 ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点，则， ，， 当时，由最大值，最大值为， 取得最大值，此时； （3）解：存在点，使得，理由如下： ∵抛物线沿射线方向平移个单位长度，，， ∴，， ∴， ∴抛物线向右平移个单位长度，再向上平移3个单位长度可得到新抛物线， ， ∴， 如图，当点T在x轴下方时，延长交于点Q，过点T作轴，垂足为R， ，， ，， ， ， ， 设，则， ， ， ，即， 整理得：， 解得：或（与点N重合，舍去）， ； 如图，当点T在x轴上方时，过点T作轴，垂足为K， 同理得， ，， ， ， 设，则， ，即， 整理得： 解得：或（与点N重合，舍去）， ； 综上，点的坐标为或． 【题型3 角的倍数关系】 考查了待定系数法确定函数解析式，二次函数的图像与性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一性质，图像的平移，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数与一次函数的交点等知识点．掌握二次函数的图像与性质，图像的平移，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 11．（南岸区珊瑚初级中学2024-2025学年九年级上学期12月）如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，过点作直线的平行线，交抛物线于点．    (1)求抛物线的表达式； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，过点作于点，连接．求面积的最大值，及此时点的坐标； (3)如图2，在（2）问条件下，将原抛物线向右平移，再次经过（2）问条件下的点时，新抛物线与轴交于点，（在左侧），与轴交于点，点为新抛物线上的一点，连接，并延长交直线于点，使得，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)面积的最大值为，点的坐标为； (3)或 【详解】（1）解：抛物线与直线交于点， ，解得， 抛物线为； （2）解：设直线的解析式为， 过点点， ，解得， 直线的解析式为， ， 设直线的解析式为， 当时，，解得，， ， ，解得， ∴直线的解析式为， 设，则， 过点作交于点，记交于点，设直线交轴于点，则    ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ， ， 即， ，轴交直线于点， ， ， 即为等腰直角三角形， ， ， ， 当时，面积的最大值为，，则点的坐标为； （3）解：设原拋物线向右平移个单位， 平移后的拋物线解析式为， 平移后的拋物线解析式过点， ，解得，或（舍去） 平移后的拋物线解析式为， 当时， 解得：， 当时， ∴，，， ①连接，作的垂直平分线交于点，    ∴， ， ， 设直线的解析式为， 过点， ，解得， 直线的解析式为， 设，则，， ，解得， ∴ ， ∴ ②过点作 ∴    ∴ 解得：或 当时， ∴ 综上所述，或． 12．（杨家坪中学2024-2025学年九年级上学期10月）如图1，抛物线经过，两点，与轴交于点，为第四象限内抛物线上一点．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)设四边形的面积为S，求S的最大值； (3)如图2，过点作轴于点，连接，，与轴交于点．当时，求直线的函数表达式及点的坐标． 【答案】(1) (2)S的最大值为 (3)； 【详解】（1）解：将，代入，得： ， ， ； （2）解：过点P作轴于点N，如图所示，    令，则， ∴， ∴， ∵P为第四象限内抛物线上一点，设点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵ ∴当时，S有最大值，． （3）解：设交y轴于点N，如图，    ∵轴，轴， ∴， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， 设直线的解析式为，把，代入得： ， ， ， 令， 解得：，， ∴点P的横坐标为， 把代入得：， ∴点P的坐标为． 13．（育才中学2024-2025年九年级上学期第一次月考）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，是抛物线上一点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上一动点，问：是否存在点，使得面积有最小值，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)抛物线沿方向平移个单位长度，点是新抛物线与轴的交点，点是新抛物线上一点，连接．当时，请直接写出所有符合条件的点坐标． 【答案】(1) (2)的面积没有最小值，理由见解析 (3)或 【详解】（1）解：∵点、在抛物线上， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）的面积没有最小值．理由如下： 由（1）知：抛物线的表达式为， 当时，得：， 当时，得：， 解得：或， ∴、， 过点作轴于点，过点作轴于点，连接，设，其中，， ∵、，， ∴，，，，，， ∴ ， ∴的图像是抛物线， ∵，对称轴， ∴图像开口向上，图像上越接近对称轴的点的函数值越小， 但∵， ∴的面积没有最小值； （3）∵，，， ∴，即是等腰直角三角形， ∴，即直线与轴正方向的夹角为， 又∵，， ∴抛物线沿方向平移个单位长度相当于向右平移个单位向上平移个单位， ∴新抛物线解析式为，即， 当时，得， ∴， 如图，在取点，使，连接并延长交新抛物线于点，过点作于点，延长到点，使，连接交新抛物线于点，过点作轴于点，作轴于点， ∵，， ∴垂直平分，， ∴， ∴， ∴，即点为符合条件的点， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴，即点为符合条件的点， ∵，，， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵轴， 轴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵点是线段的中点，且，设， ∴，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∴， 综上所述，符合条件的点坐标是或． 14．（2024年重庆一中三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，．直线经过点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，作于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为平移后的抛物线与轴负半轴的交点，将点向下平移一个单位得到点，在直线上确定一点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)最大值为，点P的坐标为 (3)或 【详解】（1）解：把，代入可得： ，解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：设直线的解析式为，把，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为：， 解方程组得， ∵，，， ∴，，， ∴，， ∴，， 过点P作轴，交，于点G，F， 则， ∴，， 设点P的坐标为，则，， ∴，， ∴， ， ∴， ∵， ∴当时，最大，最大为，这时点P的坐标为； （3）解：， 由题意可得：抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，即抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位得到抛物线， ∴平移后， 令，则， 解得：，， ∴点D的坐标为， ∵将点向下平移一个单位得到点， ∴点的坐标为， ∴直线的解析式为， 设点Q的坐标为， 如图，当点Q在点A右侧时，由于， 则， ∴，即， 解得：，（舍去）， ∴点Q的坐标为； 当点在点A左侧时， 则， 设直线交y轴于点H，过B作于点K， 则点H坐标为， ∴，， ∵， ∴， 根据点Q的解法同理可得点的坐标， 根据可得点的坐标为， ∴点的坐标为或． 15．（九龙坡区2024-2025学年九年级上学期期末）如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，过点作直线的平行线，交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，过点作于点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标． (3)如图2，在（2）问条件下，将原抛物线向右平移1个单位，使抛物线再次经过（2）问条件下的点时，新抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，连接，点为新抛物线上一点，连接交直线于点，使得，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)面积的最大值为，点的坐标为； (3)点的坐标为或，过程见解析． 【详解】（1）解：抛物线与直线交于点， ，解得， 抛物线为； （2）解：设直线的解析式为， 过点点， ，解得， 直线的解析式为， ， 设直线的解析式为， 当时，，解得，， ， ，解得， 设，则， 过点作交于点，记交于点， 由平移的性质可知， ， ， 即， ，轴交直线于点， ， ， 即为等腰直角三角形， ， ， ， 当时，面积的最大值为，点的坐标为； （3）解：原拋物线向右平移1个单位， 平移后的拋物线解析式为， 平移后的拋物线解析式为， 同理，求得，，， ①连接，作的垂直平分线交于点， 有， ， ， 设直线的解析式为， 过点， ，解得， 直线的解析式为， 设，则，， ，解得， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 点为新拋物线上的一点，连接交直线于点， ， 整理得， 解得，， 当时，， 点的坐标为， ②作关于的对称点，连接、，交抛物线于点， ，，， ， ， 由对称性可知， ， 设， ，， ， 整理得， 解得，， 当时，， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， ， 整理得， 解得，， 当时，， 点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 【题型4 多角和差关系】 考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，二次函数图象上点坐标的特征，平行四边形的性质与判定，三角函数的定义，相似三角形的性质与判定等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度，利用几何性质构造角的和差关系是解题关键。 16．（第十一中学校2024-2025学年上学期九年级数学学科素养12月）如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点，连接和，点在抛物线上运动，连接和． (1)求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标； (2)点在抛物线上从点运动到点的过程中（点与点不重合），作点关于轴的对称点，连接，记的面积为，记的面积为，若满足，求的面积； (3)将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，试探究在新抛物线上是否存在一点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【详解】（1）解：将点和代入抛物线可得： ，解得：， 则抛物线的表达式为：， ∵， ∴该抛物线的顶点坐标为：． （2）解：∵， ∴点， 设点，则点， 设直线的解析式为：， 则，解得：， ∴直线的表达式为：， 如图：连接交于点E，则点， 同理由点B、P的坐标得，直线的表达式为：， 设直线交y轴于点D，则点， 则， 同理可得：， ∴，解得：（舍去）或 ∴点， ∴的面积为． （3）存在，如图， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 将原抛物线沿射线方向向下平移个单位长度， 相当于把将原抛物线向下，向左各平移了个单位长度， 新抛物线的解析式为， ， ， ， 设直线交轴于点， ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴，即 ∴， ∴ ∴ 设直线的解析式为，代入 得 ∴, ∴直线的解析式为， 联立 解得：或 ， ∴或 17．（第八中学校2023-2024学年九年级下学期三模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P为第二象限抛物线上的一点，过点P作轴交直线于点D，过点P作轴交直线于点E，F为y轴上一点，且满足，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，将原抛物线进行平移，平移后的抛物线与x轴交于点M，N，顶点为，轴于H，在平移后的抛物线上是否存在点R，使得，若存在，请直接写出R的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)取得最大值2，此时 (3)存在，或 【详解】（1）∵抛物线与x轴交于两点， ∴， ∴， ∴； （2）如图，故点D作轴于点Q， 当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 设， 则，， ∴，， ∴ ， ∵， ∴当时，取得最大值2，此时； （3）∵平移后的抛物线顶点为， ∴平移后解析式为． 当时，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 连接，并延长交直线于点K， ①当在的左侧时， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把点，点代入，得， ∴， ∴直线的解析式为：， 解得，（舍去）， ∴． ②当在的右侧时 ∵，， ∴ ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴， 用待定系数法可求出． 解得，（舍去）， ∴． 综上可知，R的坐标为或． 18．（第八中学校2024年九年级下学期期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，，与轴交于，连接，作直线． (1)求该抛物线的解析式： (2)已知直线上方抛物线上有一动点，过点作轴交于，过作轴交轴于，求的最大值和此时点坐标； (3)将原抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线，已知点是新抛物线上一动点，且，求所有符合条件的点的横坐标并写出其中一种情况的求解过程． 【答案】(1) (2)， (3)点的横坐标为或．【详解】（1）解：将点，，代入抛物线， 可得， 解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）设直线的解析式为， 将点，代入， 可得， 解得， ∴直线的解析式为， 设， ∵轴交于， ∴点的纵坐标为， ∴点的横坐标为， ∴， ∵轴交轴于， ∴， ∴，， ∴， ∴当时，取最大值，最大值为， 此时点坐标为； （3）∵，，， ∴，， ∴， ∵将原抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线， ∴原抛物线，向左，向下平移了2个单位长度， ∴新抛物线的解析式为， 设， 则，， 如图，当点D在下方时，过点作轴于点， ∵， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 整理可得， 解得， ∴点的横坐标为或（舍去）； 当点在上方时，记为，作轴 ∵， 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 整理得， 解得或（舍去） 综上所述，点的横坐标为或． 19．（八中学校2023-2024学年九年级下学期5月）已知如图1，抛物线：交x轴于A、B两点，交y轴于点C，其中．点D为y轴上一点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为位于下方抛物线上一点，过P作y轴平行线交于点E，再过点E作直线的垂线交其于点F，求的最大值，并求此时点P的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度后得到新抛物线y'，点M为新抛物线y'上一点，当时，写出所有符合条件的点M的横坐标，并写出求解点M横坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)， (3)或 【详解】（1）把，分别代入，得 ，解得：， ∴； （2）令，则， ∴， 设直线解析式为：， 把，，代入，得 ，解得：， ∴直线解析式为：， 设，， ， ∵， ∴当时，的最大值=4， 此时，点的坐标为， 作交直线于点 ∵，， ∴， ∴。 ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴的最大值为 （3）∵， ∴设抛物线沿射线方向平移个单位长度相当于向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度， 则， 解得：（负根舍去）， ∴抛物线沿射线方向平移个单位长度相当于向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度， ∵原抛物线：， ∴平移后的抛物线： 由(2)知：， ∴， ∴， 分两种情况： 当射线在的下方时，如图所示： ∵， ∴， 设的解析式为， 则， 解得：， ∴的解析式为， ∴设的解析式为， 则， 解得：， ∴的解析式为， 联立，得， 解得：，（舍去） 当射线在的上方时，交于点，如图所示： ∵， ∴， 设， 则， 解得： ∴， 设的解析式为， 则 解得： ∴的解析式为， 联立，得， 解得：，（舍去） 综上可得，符合条件的点M的横坐标为：或 20．（南开中学2023-2024学年九年级下学期期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与y轴交于点，连接、． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是直线下方抛物线上的一动点，过点作直线交轴于点，过点作于点，求出的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，连接交于点，将原抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，在新抛物线上存在一点，使，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 【答案】(1) (2)有最大值6，此时； (3)点M的横坐标为或． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点和点， ， 解得：， 抛物线的表达式为； （2）解：在中，令，得， ， 设直线的解析式为，把、代入， 得， 解得：， 直线的解析式为， 在中，，， ， 如图1，过点作轴交于，过点作轴交于， 则， 设，则， ， ， ， ， ， ， ∵，， 四边形是平行四边形，， ， ， ， ，即， ， ， ， 当时，取得最大值，最大值为6，此时点的坐标为； （3）解：由，可得原抛物线的顶点为， 将原抛物线沿射线方向平移个单位，即向右平移2个单位，向上平移1个单位得到新抛物线， 新抛物线的解析式为， 如图，过点作轴交轴于，过点作轴于， 则，，，， ，， ， ， ，， ， ， ， 过点作的垂线，在该垂线上分别截取，使或， 分别过点、作轴的垂线，垂足分别为、， ， ， ， ， ， ，， ， 设直线的解析式为，把，代入， 得， 解得：， 直线的解析式为， 联立方程组得， 整理得， （不合题意的已舍去）； 同理可得，直线的解析式为， 联立方程组得， 整理得， （不合题意的已舍去）； 综上所述，所有符合条件的点的横坐标为或． （建议用时： 40 分钟） 1．综合与探究 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求A，B两点的坐标及直线的函数表达式． (2)M为直线下方抛物线上一点，其横坐标为m，过点M作于点D，当线段最长时，求点M的坐标． (3)在（2）的条件下，连接．在y轴上是否存在一点P，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)点M的坐标为； (3)存在，点P的坐标为或． 【详解】（1）解：当时，， 解得，． 点A在点B的左侧， A，B两点的坐标分别为，． 当时，， 点C的坐标为． 设直线的函数表达式为， 把，代入，得， 解得， 直线的函数表达式为． （2）解：如图，过点M作轴交于点E， 点B的坐标为，点C的坐标为， ，． 在中，根据勾股定理可得． 为直线下方抛物线上一点，其横坐标为m，轴交于点E， 点M的坐标为，点E的坐标为， ． 轴， ， ． 在中，，， ， 当时，线段最长， 点M的坐标为 （3）解：存在，点P的坐标为或． 如图，作的垂直平分线交x轴于点F，连接，则，过点M作轴于点N， ， ∵， ∴， ∵， ∴， 设， 点M的坐标为，A，B两点的坐标分别为，， ，， ，， 在中，根据勾股定理得， 即， 解得， ， ， 当时，， ， ∴点P的坐标为或． 2．如图1，抛物线与坐标轴分别交于三点，其中点坐标为． (1)求抛物线解析式； (2)点是直线下方抛物线上的一动点，点是轴上一动点，当四边形的面积最大时，求的最小值； (3)在（2）条件下，将抛物线沿轴翻折得到，则点的对应点为，并将沿射线方向平移个单位长度得到，记在抛物线上的对应点为，过作轴于点是直线上一点，连接，则是否存在点使得；若存在，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：令，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， 把，代入得， 解得， ∴抛物线解析式； （2）解：过作轴于，交于， ∵， ∴设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， ∴设，则， ∴， ∴ ， ∴当时，最大，此时， 过在轴上方找一点，使，，连接，延长交轴于， ∴，， ∴，，即，点在直线上移动， ∴， ∴当在上时，最小， 设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， ∴设， ∴， ∴当时，最小，即， ∴的最小值； （3）解：∵关于轴翻折得到点， ∴将抛物线沿轴翻折得到，解析式为，整理得，的对应点， 连接交轴于，则轴，，    ∴，，， ∴将沿射线方向平移个单位长度得到，相当于先向左移动个单位长度，再向下移动12个单位长度， ∴在抛物线上的对应点为，即， ∵过作轴于点， ∴， ∵， ∴设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， 当点在点左边时，由外角可得，不合题意； 当点在线段上时，如图，连接交轴于点，过作于 ∵， ∴，即平分， ∵ ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵中，， ∴， 解得， ∴， 同理可求得直线解析式为， ∵直线与交点为， ∴联立，解得， ∴； 当点在点右边时，如图，过作交于，过作轴于， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，轴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴， 同理可求得直线解析式为， ∵直线与交点为， ∴联立，解得， ∴， 综上所述，或． 15 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$