重难点07 圆双空类（3大题型+高分技巧+限时提升练）-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练（重庆专用）

重难点07 圆双空类 此题型在2022年2023年作为选择题进行考查,2024年都作为填空进行考查，设两个空且第二空难度较大。主要考查熟练掌握圆周角定理及其推论、垂径定理及其推论、切线的判定和性质等。此类问题经常和其他几何知识相结合来考查，需熟练掌握等腰三角形的性质及其判定、直角三角形的性质及其判定、全等三角形的性质及其判定、相似三角形的性质及其判定以及特殊的平行四边形的性质等知识。 【题型1 垂径定理相关】 主要考查了垂径定理，勾股定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，求角的正切值，特殊角的三角函数，圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形，已知正切值求边长，直接开平方法解一元二次方程等知识点，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键． 1．（沙坪坝区2024-2025学年九年级上学期期末）如图，点A，B是上两点，连接，直径与垂直于点E，点F在上，连接，，过点A作的垂线交于点G，交于点H，若，，，则的长度为 ，的长度为 ． 2．（巴川中学校2024-2025学年九年级上学期期末）如图，已知是的直径，弦于点，过点作的切线交的延长线于点，为的中点，连接．若，则的半径是 ， ． 3．（江津中学校2024-2025学年九年级上学期12月）如图，是的直径，点D为下方上一点，点C为的中点，连结．延长交于点E，若，，则的半径为 ， ． 4．（24-25九年级上·重庆九龙坡·期末）如图，在半径为4的中，，点B为的中点，点E为弦的中点，点F为弦的中点，则点O到的距离为 ，线段 ． 5．（24-25九年级上·重庆北碚·期末）如图，为圆的直径，过圆外一点作圆的两条切线，交圆于B，D两点，弦于点，连接交于点，交圆于点，已知，则的长为 ；则的长为 ． 【题型2 切线相关】 主要考查了切线的性质，圆周角定理，正方形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 6．（南开中学2024-2025学年九年级下学期开学）如图，内接于，是的直径，是的切线，点为切点，点在的延长线上，，，垂足分别为点，连接．若，，则 ， ． 7．（巴蜀中学2024-2025学年九年级下学期开学）如图，是的切线，为切点，与交于点，是上一点，连接，，延长至点，使得，连接，过点作于点，，则为 ，四边形的面积为 ． 8．（第一中学校2024－2025学年九年级下学期入学）如图，是直径，将劣弧沿弦折叠至所在平面内，折叠后的弧交于点，连接，延长交于点，连接，过点作的切线交的延长线于点．若，，则半径 ：的面积 ． 9．（四川外国语大学附属外国语学校2024-2025学年九年级下学期开学）如图，是的直径，是切线，交于点，若，，则的长为 ，过点作于点，连接并延长交于点，则的长为 ． 10．（24-25九年级上·重庆江北·期末）如图，平行四边形的顶点A、B和对角线交点F均在上，与相切于点B，边经过圆心O且交于点E，若半径，则线段 ，线段 ． 【题型3 圆的内接四边形】 主要考查了圆的内接四边形、圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的判定、平行线的判定与性质等知识，涉及知识点较多，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识的联系与运用，能利用相似三角形的判定与性质求解是解答的关键． 11．（第一中学校2024-2025学年九上期末）如图，在中，以为直径的分别交、于点、．与交于点，为射线上的一点，连接，且，．若，，则 ， ．    12．（重庆市县区联考2024-2025学年九年级上学期期末）如图，四边形内接于，点为弧的中点，对角线经过圆心，延长与过点的的切线交于点．若，则的长度为 ；的长度为 ． 13．（鲁能巴蜀中学2024——2025学年九年级上学期11月）如图，四边形内接于圆O，为圆O直径，交于点E，平分的平分线交于F，切圆O于D，交延长线于G，若，点O到的距离为，则 ， ． 14．（合川中学2024-2025学年九年级上学期第二次月考）如图，是的外接圆，，于点，的延长线交于点．交于点． （1）设，则用含的代数式表示出 ． （2）若，，则 ． 15．（第八中学校2024—2025学年九年级上学期第三学月月考）如图，四边形内接于，连结为的直径，是的中点．过点作的切线，交的延长线于点，且，则的长为 ，的半径为 ． （建议用时：20分钟） 1．如图，为的直径，弦于点，点在圆上，且，，交于点，则 ， ． 2．如图，，点在上，与相切于点，与的交点分别为．作，与交于点，作，垂足为，连接并延长，交于点，，则的长为 ，的长为 ． 3．如图，是的直径，弦垂直平分交于点E，F为上一点，连接，，过C点作交于点G，若，，则的长度为 ；连接，，，则四边形的面积为 ． 15 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点07 圆双空类 此题型在2022年2023年作为选择题进行考查,2024年都作为填空进行考查，设两个空且第二空难度较大。主要考查熟练掌握圆周角定理及其推论、垂径定理及其推论、切线的判定和性质等。此类问题经常和其他几何知识相结合来考查，需熟练掌握等腰三角形的性质及其判定、直角三角形的性质及其判定、全等三角形的性质及其判定、相似三角形的性质及其判定以及特殊的平行四边形的性质等知识。 【题型1 垂径定理相关】 主要考查了垂径定理，勾股定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，求角的正切值，特殊角的三角函数，圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形，已知正切值求边长，直接开平方法解一元二次方程等知识点，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键． 1．（沙坪坝区2024-2025学年九年级上学期期末）如图，点A，B是上两点，连接，直径与垂直于点E，点F在上，连接，，过点A作的垂线交于点G，交于点H，若，，，则的长度为 ，的长度为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接，，， ，且是的直径， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 令，则，， ， ， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 即：， 解得：或（不合题意，故舍去）， ， 故答案为：，． 2．（巴川中学校2024-2025学年九年级上学期期末）如图，已知是的直径，弦于点，过点作的切线交的延长线于点，为的中点，连接．若，则的半径是 ， ． 【答案】 4 【详解】解：如图，连接，，， 是的切线， ， ， ， ， 于点，， ， 设， 为的中点， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ，即的半径为4． ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：4，． 3．（江津中学校2024-2025学年九年级上学期12月）如图，是的直径，点D为下方上一点，点C为的中点，连结．延长交于点E，若，，则的半径为 ， ． 【答案】 6 【详解】解：延长交于F， 如图所示 ∵是的直径， ，即， ∵点C为 的中点， 根据垂径定理得， ， 设的半径为R，则 ∵， ∴， 而， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得， ∴， 整理得， 解得 (不合题意，舍去)， ∴的半径为． ∴， ∴， 故答案为：；6． 4．（24-25九年级上·重庆九龙坡·期末）如图，在半径为4的中，，点B为的中点，点E为弦的中点，点F为弦的中点，则点O到的距离为 ，线段 ． 【答案】 【详解】解：连接，，过点F作交的延长线于H，如图， ∵，点B为的中点， ∴， ∵点E为弦的中点， ∴，， ∴， ∴，即点O到的距离为； ∵点F为弦的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；． 5．（24-25九年级上·重庆北碚·期末）如图，为圆的直径，过圆外一点作圆的两条切线，交圆于B，D两点，弦于点，连接交于点，交圆于点，已知，则的长为 ；则的长为 ． 【答案】 【详解】解：连接、、、、，如图， 设圆的半径为r， ∵，， ∴， ∴中，由得， 解得，则； ∵为圆的直径， ∴，即， ∵过圆外一点作圆的两条切线，交圆于B，D两点， ∴，，又， ∴垂直平分， ∴， ∴，又， ∴，则， ∴； ∵，， ∴，则， ∴， ∴，则， ∵，， ∴，则， ∴， 解得， ∴， 故答案为：，． 【题型2 切线相关】 主要考查了切线的性质，圆周角定理，正方形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 6．（南开中学2024-2025学年九年级下学期开学）如图，内接于，是的直径，是的切线，点为切点，点在的延长线上，，，垂足分别为点，连接．若，，则 ， ． 【答案】 【详解】解：如图，过C作交延长线于点H，过D作交于点Q，连接，， ∵是的直径，， ∴， ∴、、为等腰直角三角形， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵，，， ∴四边形为正方形， ∴设，则， ∴在中，， 即， 解得：，（舍）， ∴，， ∴； ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵，， ∴． ∴A、C、O、F四点共圆， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：；． 7．（巴蜀中学2024-2025学年九年级下学期开学）如图，是的切线，为切点，与交于点，是上一点，连接，，延长至点，使得，连接，过点作于点，，则为 ，四边形的面积为 ． 【答案】 / 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的切线，为切点， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴设，则 ∴ ∴ ∴； ∴ ∴ ∴ ∴， ∴，， ∴ ∴四边形的面积 ． 故答案为：，． 8．（第一中学校2024－2025学年九年级下学期入学）如图，是直径，将劣弧沿弦折叠至所在平面内，折叠后的弧交于点，连接，延长交于点，连接，过点作的切线交的延长线于点．若，，则半径 ：的面积 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，连接，设关于的对称点为，连接， ∵四边形是圆内接四边形， ∴ ∵将劣弧沿弦折叠，关于对称， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ 又 ∴ ∴ 设， ∵是的切线， ∴ ∴， ∵，则 ∴ 又∵ ∴ ∴， 设半径 ∵，即， ∴， ∴ ∵是直径， ∴， 在中， ∴ ∵是直径， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴， ∴ ∴ 在中，， ∵ ∴ 如图所示，过点作于点， ∴， ∴， 故答案为：，． 9．（四川外国语大学附属外国语学校2024-2025学年九年级下学期开学）如图，是的直径，是切线，交于点，若，，则的长为 ，过点作于点，连接并延长交于点，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：连接， 是的直径， ， ，， ． 是的切线， ， ， ， 又， ， ， ； ， 在中， ． ． ， ， 又， ， ，即， ， ， 作于点H，连接，， 设，则， ，， ， ，即， ， 是的直径，， ，， ，， ， ， ， ， ， 整理得，， 解得（负值舍去）， ， ，即， ． 故答案为：，． 10．（24-25九年级上·重庆江北·期末）如图，平行四边形的顶点A、B和对角线交点F均在上，与相切于点B，边经过圆心O且交于点E，若半径，则线段 ，线段 ． 【答案】 2 【详解】解：如图：连接， ∵与相切于点B， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2，． 【题型3 圆的内接四边形】 主要考查了圆的内接四边形、圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的判定、平行线的判定与性质等知识，涉及知识点较多，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识的联系与运用，能利用相似三角形的判定与性质求解是解答的关键． 11．（第一中学校2024-2025学年九上期末）如图，在中，以为直径的分别交、于点、．与交于点，为射线上的一点，连接，且，．若，，则 ， ．    【答案】 【详解】解：如图所示，连接，    ∵为的直径， ∴， ∵， ∴即， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； ∵垂直平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：5，． 12．（重庆市县区联考2024-2025学年九年级上学期期末）如图，四边形内接于，点为弧的中点，对角线经过圆心，延长与过点的的切线交于点．若，则的长度为 ；的长度为 ． 【答案】 3 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴,， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵点为弧的中点， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：3，． 13．（鲁能巴蜀中学2024——2025学年九年级上学期11月）如图，四边形内接于圆O，为圆O直径，交于点E，平分的平分线交于F，切圆O于D，交延长线于G，若，点O到的距离为，则 ， ． 【答案】 / 【详解】解：平分， ， ， ， 平分， ， ，， 而， ， ， ， 是的直径， ， ， 如图，过点O作于H，连接， 则，， 又， ， ， 是的直径， ， 切于D， ， ， ， ， ， ， ， ， 设则， 在中，由勾股定理得， 解得（含） ， 故答案为：； 14．（合川中学2024-2025学年九年级上学期第二次月考）如图，是的外接圆，，于点，的延长线交于点．交于点． （1）设，则用含的代数式表示出 ． （2）若，，则 ． 【答案】 【详解】解：（1），， ， ， ， ， 是的直径， ，即， ， 故答案为：； （2）由（1）知，， ， ，即， ， ， ， ， ， ， 是的直径， ，即， 又， ， ， ， ， 设， ，， ， 在中，，即， 解得：， ， ， ， 故答案为：． 15．（第八中学校2024—2025学年九年级上学期第三学月月考）如图，四边形内接于，连结为的直径，是的中点．过点作的切线，交的延长线于点，且，则的长为 ，的半径为 ． 【答案】 【详解】解：连接， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴由勾股定理得：， ∴； ∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴半径为， 故答案为：；． （建议用时：20分钟） 1．如图，为的直径，弦于点，点在圆上，且，，交于点，则 ， ． 【答案】 【详解】解：如图，连接，，并延长交与点， 为的直径，， ， 设， , ， ， ， ， ； ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：①，②． 2．如图，，点在上，与相切于点，与的交点分别为．作，与交于点，作，垂足为，连接并延长，交于点，，则的长为 ，的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ∵ 与相切于点， ∴ ， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴ ， 过点作于点 ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：，． 3．如图，是的直径，弦垂直平分交于点E，F为上一点，连接，，过C点作交于点G，若，，则的长度为 ；连接，，，则四边形的面积为 ． 【答案】 【详解】解：连接， ∵，弦垂直平分交于点E， ∴，，， ∴，，， ∴，，， ∴是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 设， ∴，，， 在中，， 在中，，， 过点作I于， ∵， 设，则，， 在中，，即， 解得： 或（舍）， ∴， ， ， ∴， 故答案为：；． 15 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$