重难点05 三角函数实际问题（4大题型+高分技巧+限时提升练）-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练（重庆专用）

重难点05 三角函数实际问题 此题型在2015年和2022年2023年作为解答题进行考查,其余8年都作为选择题进行考查，主要考查解直角三角形与实际情境相结合.作为解答题考查是其考查趋势.该题型结合实际情境通过计算物体的高度或者距离,考查学生对于几何图形的实际应用能力.熟练掌握解直角三角形的相关知识点,灵活运用作辅助线的方法。 【题型1 选择时间短的路线】 主要考查仰俯角、勾股定理与行程问题，三角函数的计算的综合，掌握仰俯角求路程，勾股定理的运用，三角函数的计算方法是解题的关键．除了要比较的大小，还需注意速度对于时间的影响。 1．（第八中学校2024-2025学年九年级下学期开学）2025年重庆“新年第一跑”活动在渝北区中央公园中央广场举办，活动方开辟出了两条经典路线．如图是两条跑步路线的平面示意图，已知终点C在起点A的东北方向．路线①从起点A出发向北偏东的方向先跑过一段山路到达补给点B，再沿正东方向跑一段步道即可到达终点C；路线②从起点A出发沿北偏东的方向跑过一段山路到达补给点D，再沿正北方向的步道跑1800米即可到达终点C．（参考数据：，，） (1)求的长度；（结果精确到1米） (2)某班有两位同学小轩和小鹏参加了跑步活动，小轩选择路线①，他的平均速度为80米/分钟，小鹏选择了路线②，他的平均速度为90米/分钟，若两人同时出发，请通过计算说明谁会先到达终点？（结果精确到0.1） 2．（南开中学2024-2025学年九年级下学期开学）除夕当天，小南和小津相约同时从家出发前往外婆家吃年夜饭．如图，小南从家处出发步行至小青家处，再步行到达正东方向的朝旭百货处，最后步行到达外婆家处．小津从家处出发步行至商店处，再步行至外婆家．已知在的东北方向，且米，米，在的正北方向，且在的北偏西方向，既在的南偏东方向，又在的南偏西方向，且米，在的正东方向．（参考数据：，，，） (1)求小津家处与商店处的距离；（结果保留根号） (2)小南步行的平均速度为90米/分，小津步行的平均速度为60米/分，请计算说明小南和小津谁先到达外婆家．（结果精确到） 3．（24-25九年级上·重庆江北·期末）北滨路延伸段建设是我区的重大民生项目，在建设过程中十分重视便民利民．如图，四边形区域是规划的休闲公园，其中四周是人行步道，对角线、为两条自行车道，点B为公园入口．经测量，点A在点B的正东方向，同时点A在点D的南偏东方向，点C在点D的南偏西方向，点C在点A的北偏西方向，若米．（参考数据：，，） (1)求自行车道的长．（结果保留小数点后一位） (2)测得，小明从A地以60米/分钟的速度步行前往B地，小明出发2分钟后，小刚以小明步行速度的3倍骑自行车从D出发赶往B地给小明送东西，问他们谁先到达B地，通过计算说明先到达多长时间？（结果保留小数点后两位） 4．（第一中学校2024－2025学年九年级下学期入学考）寒假期间，小明和小红在处游玩，结束后相约去学校自习室，学校在点处，小明家在点处，小红家在点处，点在点的正东方向，点在点的正北方向，点在点的北偏东方向，点在点的东北方向，且米，米． (1)求小明家到学校的距离的长度（结果保留根号）； (2)小明和小红同时从处出发，两人先各自回家取书包，再去学校自习室，小明步行的速度为40米/分，小红步行的速度为45米/分，请通过计算说明谁先到达学校自习室（两人取书包的时间忽略不计）．（参考数据：，，结果精确到十分位） 5．（荣昌初级中学2024-2025学年九年级上学期期中）五边形是围绕河修建的步道，小依和爸爸从A前往D处，有两条线路，如图：①；②．经勘测，点B在点A的正南方向，米，点C在点B的正东方向，米，点D在点C的北偏东，点E在点A的东北方向，点E在点C的正北方向，点D在点E的正东方向．（参考数据：，） (1)求的长度（结果精确到1米）； (2)小依选择线路①，爸爸选择线路②，小依步行速度是80米/分钟，爸爸步行速度是100米/分钟，小依和爸爸同时从A处出发且始终保持匀速前进，请计算说明小依和爸爸谁先到达D处？ 【题型2 选择路程少的路线】 此类题考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键。还需注意了解直角三角形的应用、矩形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质。 6．（24-25九年级上·重庆渝北·期末）如图，一艘货船从港口出发，需要运至其正北方向海里处的港口，由于航道条件限制，货船有两种可能的航行路线：①由港口出发，经港口，休整，最后驶向港口；②由港口出发，经港口休整，最后驶向港口（休整时间忽略不计）．经勘测，港口在港口东北方向，港口在港口正北方向海里处，港口在港口东南方向，港口在港口南偏西方向，港口在港口北偏西方向． (1)求港口和港口之间的距离．（结果保留根号） (2)考虑到航行时间和成本，货船需要选择路程更短的路线，请通过计算说明是选择路线①还是路线②．（结果精确到个位） 7．（24-25九年级上·重庆沙坪坝·期末）某校开展了“寻根·行走的青春”研学活动．如图所示，国防教育B在劳动教育A正北方向，米；科学研究C在国防教育B北偏东方向，米；素质拓展D在科学研究C东南方向；德育实践E在素质拓展D正南方向，且在劳动教育A正东方向，米．（参考数据：，） (1)求C，D两处之间的距离（结果精确到个位）； (2)小沙和小坪从劳动教育A处出发，准备一起前往素质拓展D处，有两条路可选择：①；②，请通过计算说明选择哪一条路较近． 8．（24-25九年级上·重庆南岸·期末）如图，A，B两地的直线距离为，但因湖水相隔，不能直接到达．从A到B有两条路可走．线路1：从；线路2：从．从地图上可得到以下数据：点C位于A的正北方向，且在B的北偏西的方向；点D在A的东南方向，且位于B的南偏西方向．（参考数据：，，，，，，，．） (1)求的长度；（保留1位小数） (2)通过计算说明，线路1和线路2，那条线路更短． 9．（凤鸣山中学2024-2025学年九年级上学期第三次月考）如图，，，，分别是某公园四个景点，在的正东方向，在的正北方向，且在的北偏西方向，在的北偏东方向，且在的北偏西方向，千米．（参考数据：，，） (1)求的长度（结果精确到千米）； (2)甲、乙两人从景点出发去景点，甲选择的路线为：，乙选择的路线为：．请计算说明谁选择的路线较近？ 10．（南开中学2024-2025学年九年级上学期12月）如图，A、B、C、D分别是铁山坪森林公园的四个景点且位于同一平面内，B在A的正东方向，C在B的正北方向，D在A的北偏东方向且在C的北偏西方向，千米，千米．（参考数据：，） (1)求的长度；（结果保留很号） (2)甲、乙两人从景点A出发去景点C，甲选择的路线为，乙选择的路线为．请计算说明谁选择的路线较近？（结果精确到千米） 【题型3 判断是否及时到达】 此类题考查了解直角三角形的应用-方位角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．还需了解平行线分线段成比例，相似三角形的应用，熟练掌握平行线分线段成比例定理以及相似三角形的判定和性质是解题的关键． 11．（巴蜀中学校2023-2024学年九年级下学期期中）去年，第9号台风“苏拉”登陆我国沿海地区，风力强、影响范围广，有极强的破坏力．如图，台风中心从A地由南向北移动，1小时后到达B地．已知点C为一海港，在C港测得：A地在C地南偏东方向、距离为300千米处；B地在C地东南方向上．（参考数据：，，，） (1)当台风中心到达B地时距海港C还有多远？（结果保留根号） (2)当台风中心到达B地后方向立即发生了改变，沿北偏西方向快速移动，风速比之前增强了，影响范围进一步扩大，以台风中心为圆心，周围千米以内为受影响区域，此时C港接到紧急通知：要求所有人员在30分钟内撤离海港．请通过计算说明C港人员能否在受台风影响前及时撤离？ 12．（2024年重庆大渡口区九年级中考一诊）某送货司机在各站点间上门送货的平面路线如图所示：．已知点B在点A的北偏东方向处，点C在点B的正东方处，点D在点C的南偏东方向，点D在点A的正东方．(参考数据：，，) (1)求线段CD的长度；(结果精确到0.01km) (2)已知送货司机在送货过程中全程保持10m/s的速度匀速行驶，若现在有急件需要在16分钟内从A点运送到D点，则送货司机按既定路线进行运送能否按时送达？(送货司机在各站点停留的时间忽略不计) 13．（22-23九年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，小南家位于一条东西走向的笔直马路上，超市在地的正东方．午休时间，小南从家出发沿北偏东方向步行至菜鸟驿站取快递．下午第一节网课是美术课，此时距离上课时间只有，他决定先沿西南方向步行至超市购买素描画纸，再沿正西方向回到家上网课．(参考数据：，) (1)求菜鸟驿站与超市的距离(保留整数)； (2)若小南的步行速度为，那么他上美术网课会迟到吗？请说明理由．(忽略买素描画纸的时间) 14．（潼南区九年级下学期二模）某校进行应急演练，事发地点处发生了一起事故，有伤员需要救援．为了提高营救效率，接到报告后，位于点处的演练应急处理队员立即报告120（专为演练准备的），并组织位于点处的救护人员立即出发，处的120救护车接到通知后也立刻同时出发前往事发地点处．计划由B处的救护人员赶到事发地点处一边应急处理一边护送该伤员沿方向行进，与救护车相遇后将该伤员转移到救护车上接受救治．已知在的北偏东方向500米上，在的东北方向上，且在的正南方向上．    (1)求两点的距离（结果精确到1米，参考数据：）； (2)黄金救援时间是6分钟（本次演练设定为3分钟），救护人员的平均速度为90米/分，救护车的平均速度为230米/分，请判断该伤员是否能在黄金救援时间内接受救治？请说明理由．（事发与接到通知之间的时间，接送伤员上下车的时间均忽略不计） 15．（育才中学教育集团2024-2025学年九年级上学期9月）如图，四边形是休闲公园的人行步道．，是两条自行车道且相交于点，点是休闲公园入口．经测量，点A在点的西偏南方向，点在点的东偏南方向，点在点A的北偏东方向，米． (1)求自行车道的长度（精确到个位数）； (2)测得，小刚从A点出发步行沿步道去处取快餐，小刚步行的速度为60米每分钟，送餐员等待的时间不超过5分钟，请计算说明小刚能否在送餐员规定的时间内取到快餐吗？（参考数据：，，） 【题型4 求实际距离】 此类题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的应用，熟练掌握平行线分线段成比例定理以及相似三角形的判定和性质．通过仰角俯角问题测量物体高度，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 16．（高新区中学联盟2024-2025学年九年级上学期期中）为了方便市民出行，建委决定对某街道一条斜坡进行改造，计划将原斜坡坡角为的改造为坡角为的，已知米，点A，B，C，D，E，F在同一平面内． (1)求的距离；（结果保留根号） (2)一辆货车沿斜坡从C处行驶到F处，货车的高为6米，，若米，求此时货车顶端E到水平线的距离．（精确到0.1米，参考数据：，） 17．（巴蜀中学校2024-2025学年九年级上学期期末）“1”腔热血护家园，“1”呼百应齐参与，“9”久守护永不变，在“全国消防日”之际，学校组织学生到消防队参观消防救援车实施救援演练的过程，图1是高空救援消防车实物图，图2是其侧面示意图，操作面与水平地面平行，操作面离地面的距离米，伸缩臂可绕着点O旋转，点A在上，为云梯的液压杆，其中可伸缩，已知套管米，且套管的长度不变．消防员为大家介绍：此时，，，于点E，交于点F，云梯末端工作台C上升到了离地面米的高处．（参考数据：，，结果精确到0.1） (1)求此时液压杆的长度；（结果保留根号） (2)通过消防员的操作，云梯伸缩臂绕点O逆时针旋转并伸长至，云梯末端工作台C的铅锤高度上升了4米至，请问伸缩臂比伸缩臂伸长了多少米？ 18．（育才中学2022-2023学年九年级数学上学期第二次自主作业）重庆有六座矗立百年的文峰塔，其中位于江北区塔子山的文峰塔被称为是重庆的“航标”．小宇与小航准备测量塔子山文峰塔的高度，如图，小宇在点处观测到文峰塔最高点的仰角为，再沿正对文峰塔的方向前进至处测得最高点的仰角为，小航先在点处竖立长为标杆，再后退至其眼睛所在位置点、标杆顶、最高点在一条直线上，此时测得最高点的仰角为，已知两人身高均为（头顶到眼睛的距离忽略不计）． (1)求文峰塔的高度．（结果保留一位小数）； (2)测量结束时小宇站在点处（点在点的正下方），小航站在点处，两人相约在塔底见面，小宇的速度为，小航速度是其2倍，谁先到达塔底？请说明理由．（参考数据：） 19．（第八中学2023-2024学年下期九年级开学）拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，底座固定，， 且，连杆长度为，机械臂长度为．点B，C是转动点，且与始终在同一平面内． (1)转动连杆，机械臂，使，，如图2，求机械臂端点D离操作台l的高度的长（精确到，参考数据：）． (2)物品在操作台l上，距离底座A端的点M处，转动连杆，机械臂， 机械臂端点D能否碰到点M？请说明理由． 20．（第一中学校2021-2022学年九年级上学期第一次月考）如图，在建筑物的左边有一个小山坡，坡底B、C同建筑底端F在同一水平线上，斜坡的坡比为，小李从斜坡底端B沿斜坡走了26米到达坡顶A处，在坡顶A处看建筑物的顶端D的仰角为，然后小李沿斜坡走了米到达底部C点，已知建筑物上有一点E，在C处看建筑物E点的仰角为，（点A、B、C、D、E、F在同一平面内）建筑物顶端D到E的距离长度为米．（参考数据：，，，） (1)求小李从斜坡B走到A处高度上升了多少米． (2)求建筑物的高度． （建议用时：30分钟） 1．重庆市位于我国西南部、四川盆地东部，地处我国中西结合部，是承东启西、左右传递的枢纽，在我国经济发展总格局和西部大开发中，具有重要的战略地位和作用；重庆主城为三面环水的半岛，位于长江与嘉陵江汇合处，是由大江托起的中国最著名的山城．如图，为了测量斜坡上的建筑物的高度，一个数学兴趣小组，站在山脚点处测得建筑物底部点的仰角为，然后沿水平方向走了米到达点，再沿坡度为：的斜坡走了米到达点，继续向前走了米到达了一个比较好的测量点，在点测得建筑物底部的仰角为，建筑物顶部的仰角为（测量员身高与测角仪高度均忽略不计，且、、、、、在同一平面内）． (1)求点到山脚的水平距离； (2)求建筑物的的高度．（精确到，参考数据：，，，，） 2．外卖，作为现代化快节奏生活中的一种餐饮服务形式，近年来在全球范围内迅速发展并广受欢迎．小西在位于点处的家中购买了位于点处“稻香园”的外卖食品，外卖骑手收到商家派单后立即赶往点处取餐，然后进行配送．根据导航显示，点位于点的西北方向米处，点位于点南偏东方向且在点的北偏东方向，点位于点的南偏东方向，又在点的正西方向．（参考数据：） (1)求的长（保留根号）； (2)骑手在“稻香园”取餐后开始配送，由于道路施工，骑手有两条送餐路线可以选择，路线①，速度为每分钟120米，路线②，速度为每分钟240米，请通过计算说明，骑手选择哪条路线才能更快的将外卖送到小西家？ 3．寒假期间，小明和小红在处游玩，结束后相约去学校自习室，学校在点处，小明家在点处，小红家在点处，点在点的正东方向，点在点的正北方向，点在点的北偏东方向，点在点的东北方向，且米，米． (1)求小明家到学校的距离的长度（结果保留根号）； (2)小明和小红同时从处出发，两人先各自回家取书包，再去学校自习室，小明步行的速度为米分，小红步行的速度为米分，请通过计算说明谁先到达学校自习室（两人取书包的时间忽略不计）．（参考数据：，，结果精确到十分位） 15 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点05 三角函数实际问题 此题型在2015年和2022年2023年作为解答题进行考查,其余8年都作为选择题进行考查，主要考查解直角三角形与实际情境相结合.作为解答题考查是其考查趋势.该题型结合实际情境通过计算物体的高度或者距离,考查学生对于几何图形的实际应用能力.熟练掌握解直角三角形的相关知识点,灵活运用作辅助线的方法。 【题型1 选择时间短的路线】 主要考查仰俯角、勾股定理与行程问题，三角函数的计算的综合，掌握仰俯角求路程，勾股定理的运用，三角函数的计算方法是解题的关键．除了要比较的大小，还需注意速度对于时间的影响。 1．（第八中学校2024-2025学年九年级下学期开学）2025年重庆“新年第一跑”活动在渝北区中央公园中央广场举办，活动方开辟出了两条经典路线．如图是两条跑步路线的平面示意图，已知终点C在起点A的东北方向．路线①从起点A出发向北偏东的方向先跑过一段山路到达补给点B，再沿正东方向跑一段步道即可到达终点C；路线②从起点A出发沿北偏东的方向跑过一段山路到达补给点D，再沿正北方向的步道跑1800米即可到达终点C．（参考数据：，，） (1)求的长度；（结果精确到1米） (2)某班有两位同学小轩和小鹏参加了跑步活动，小轩选择路线①，他的平均速度为80米/分钟，小鹏选择了路线②，他的平均速度为90米/分钟，若两人同时出发，请通过计算说明谁会先到达终点？（结果精确到0.1） 【答案】(1)的长度约为3477米 (2)小鹏会先到达终点 【详解】（1）如图，过点D作于点E， 由题意，得，，米 在中，（米）． 在中，（米） （米）． 答：的长度约为3477米； （2）如图，过点A作交的延长线于点F， 由题意，知， 由（1）知米， 在中，米 在中，米， 米 （米） 在中，（米）， 小轩走路线①需要的时间为：（分钟）． 小鹏走路线②需要的时间为：（分钟）． ，小鹏会先到达终点． 2．（南开中学2024-2025学年九年级下学期开学）除夕当天，小南和小津相约同时从家出发前往外婆家吃年夜饭．如图，小南从家处出发步行至小青家处，再步行到达正东方向的朝旭百货处，最后步行到达外婆家处．小津从家处出发步行至商店处，再步行至外婆家．已知在的东北方向，且米，米，在的正北方向，且在的北偏西方向，既在的南偏东方向，又在的南偏西方向，且米，在的正东方向．（参考数据：，，，） (1)求小津家处与商店处的距离；（结果保留根号） (2)小南步行的平均速度为90米/分，小津步行的平均速度为60米/分，请计算说明小南和小津谁先到达外婆家．（结果精确到） 【答案】(1)米 (2)小津先到达外婆家；计算见解析 【详解】（1）解：连接，延长交于点G，过点B作于点H，如图所示： ∵在的正北方向，在的正东方向， ∴， ∵，在的正东方向， ∴四边形为矩形， ∴米，， ∵在的东北方向， ∴， ∴（米）， （米）， ∴米， ∵在的北偏西方向，E在的南偏西方向， ∴，， ∴（米）， （米）， ∴（米）， ∵在的南偏东方向， ∴， ∴（米）， 答：小津家处与商店处的距离米； （2）解：根据解析（1）可知：米，米， ∴小南需要的时间为： （分钟）， 小津需要的时间为： （分钟）， ∵， ∴小津先到达外婆家． 3．（24-25九年级上·重庆江北·期末）北滨路延伸段建设是我区的重大民生项目，在建设过程中十分重视便民利民．如图，四边形区域是规划的休闲公园，其中四周是人行步道，对角线、为两条自行车道，点B为公园入口．经测量，点A在点B的正东方向，同时点A在点D的南偏东方向，点C在点D的南偏西方向，点C在点A的北偏西方向，若米．（参考数据：，，） (1)求自行车道的长．（结果保留小数点后一位） (2)测得，小明从A地以60米/分钟的速度步行前往B地，小明出发2分钟后，小刚以小明步行速度的3倍骑自行车从D出发赶往B地给小明送东西，问他们谁先到达B地，通过计算说明先到达多长时间？（结果保留小数点后两位） 【答案】(1)米 (2)小明先到达，先到达分钟． 【详解】（1）解：由题意可得：，，即， 如图：过D作， ∵， ∴，米，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴米 （2）解：由题意可得：， ∴， ∵米， ∴米， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵小明从A地以60米/分钟的速度步行前往B地，小明出发2分钟后，小刚以小明骑自行车以180米/分钟从D出发赶往B地， ∴小明用时：分钟；小刚共用时：分钟， ∵， ∴小明先到达，先到达分钟． 4．（第一中学校2024－2025学年九年级下学期入学考）寒假期间，小明和小红在处游玩，结束后相约去学校自习室，学校在点处，小明家在点处，小红家在点处，点在点的正东方向，点在点的正北方向，点在点的北偏东方向，点在点的东北方向，且米，米． (1)求小明家到学校的距离的长度（结果保留根号）； (2)小明和小红同时从处出发，两人先各自回家取书包，再去学校自习室，小明步行的速度为40米/分，小红步行的速度为45米/分，请通过计算说明谁先到达学校自习室（两人取书包的时间忽略不计）．（参考数据：，，结果精确到十分位） 【答案】(1)米 (2)小红先到达学校自习室 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，过点作于点， 依题意， ∴四边形是矩形， 又∵， 米， ∴米， ∴米， ∵， ∴米， ∴米 （2）解：在中， ∴， ∴ 小明步行的速度为米/分， ∴小明到达学校自习室需要分钟 米, 小红步行的速度为45米/分 所用时间为：分钟， ∴小红先到达学校自习室． 5．（荣昌初级中学2024-2025学年九年级上学期期中）五边形是围绕河修建的步道，小依和爸爸从A前往D处，有两条线路，如图：①；②．经勘测，点B在点A的正南方向，米，点C在点B的正东方向，米，点D在点C的北偏东，点E在点A的东北方向，点E在点C的正北方向，点D在点E的正东方向．（参考数据：，） (1)求的长度（结果精确到1米）； (2)小依选择线路①，爸爸选择线路②，小依步行速度是80米/分钟，爸爸步行速度是100米/分钟，小依和爸爸同时从A处出发且始终保持匀速前进，请计算说明小依和爸爸谁先到达D处？ 【答案】(1)424米 (2)爸爸 【详解】（1）解：如图，过点A作于点H；则； 由题意知，，即， ∴四边形是矩形， 米，； ，即是等腰直角三角形， 米， 由勾股定理得：（米）。 （2）解：由（1）知，四边形是矩形， 米， 米； 点E在点C的正北方向，点D在点E的正东方向， ； 在中，，， 米，米； ∵①（米）， ②（米）， ∴小依到达终点的时间为：（分），小依爸爸到达终点的时间为：1350÷100=13.5（分）； 综上，小依爸爸先到达D处． 【题型2 选择路程少的路线】 此类题考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键。还需注意了解直角三角形的应用、矩形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质。 6．（24-25九年级上·重庆渝北·期末）如图，一艘货船从港口出发，需要运至其正北方向海里处的港口，由于航道条件限制，货船有两种可能的航行路线：①由港口出发，经港口，休整，最后驶向港口；②由港口出发，经港口休整，最后驶向港口（休整时间忽略不计）．经勘测，港口在港口东北方向，港口在港口正北方向海里处，港口在港口东南方向，港口在港口南偏西方向，港口在港口北偏西方向． (1)求港口和港口之间的距离．（结果保留根号） (2)考虑到航行时间和成本，货船需要选择路程更短的路线，请通过计算说明是选择路线①还是路线②．（结果精确到个位） 【答案】(1)海里 (2)路线① 【详解】（1）解：由题意得，，，海里， ∴， ∴海里， ∴港口和港口之间的距离为海里； （2）解：如图，分别过点作垂直，垂足分别为点，则， 由题意得，，，， 海里， ∴四边形是矩形， ∴海里，， ∵，， ∴和是等腰直角三角形， ∴，， ∴海里， ∴海里， 又∵海里， ∴路线①的路程为海里， 路线②的路程为海里， ∵， ∴应选择路线①． 7．（24-25九年级上·重庆沙坪坝·期末）某校开展了“寻根·行走的青春”研学活动．如图所示，国防教育B在劳动教育A正北方向，米；科学研究C在国防教育B北偏东方向，米；素质拓展D在科学研究C东南方向；德育实践E在素质拓展D正南方向，且在劳动教育A正东方向，米．（参考数据：，） (1)求C，D两处之间的距离（结果精确到个位）； (2)小沙和小坪从劳动教育A处出发，准备一起前往素质拓展D处，有两条路可选择：①；②，请通过计算说明选择哪一条路较近． 【答案】(1)两处之间的距离约为238米 (2)选择线路②较近，说明见解析 【详解】（1）解：如图，过点作于点，延长交延长线于点． 由题意可知，， ∴四边形是矩形， ∴米， 在中，米， ∴米， 在中，（米）， 答：两处之间的距离约为238米． （2）解：由（1）可知，四边形是矩形，米，米， ∴米，， 在中，（米）， ∵米， ∴米， 在中，米， ∴米， ∴线路①的长为（米）， 线路②的长为（米）， 因为， 所以选择线路②较近． 8．（24-25九年级上·重庆南岸·期末）如图，A，B两地的直线距离为，但因湖水相隔，不能直接到达．从A到B有两条路可走．线路1：从；线路2：从．从地图上可得到以下数据：点C位于A的正北方向，且在B的北偏西的方向；点D在A的东南方向，且位于B的南偏西方向．（参考数据：，，，，，，，．） (1)求的长度；（保留1位小数） (2)通过计算说明，线路1和线路2，那条线路更短． 【答案】(1) (2)线路2比线路1短，见解析 【详解】（1）解：过点D作，垂足为E． ∴． ∵，， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴，． ∴． 故的长为． （2）解：由（1）可得，在中， ， 即． 在中，， 即． ， 即． 线路1：； 线路2：． ∵， ∴线路2更短． 故线路2比线路1短． 9．（凤鸣山中学2024-2025学年九年级上学期第三次月考）如图，，，，分别是某公园四个景点，在的正东方向，在的正北方向，且在的北偏西方向，在的北偏东方向，且在的北偏西方向，千米．（参考数据：，，） (1)求的长度（结果精确到千米）； (2)甲、乙两人从景点出发去景点，甲选择的路线为：，乙选择的路线为：．请计算说明谁选择的路线较近？ 【答案】(1)千米 (2)甲选择的路线比较近 【详解】（1）解：如图所示，过点B作于E，    由题意得，， ∴， 在中，千米， ∴千米， 在中，千米， ∴的长度约为千米； （2）解：如图所示，过点C作于D，    在中，千米， ∴千米， 在中，千米， 千米， 在中，， ∴千米， 千米， ∴千米，千米， ∵， ∴甲选择的路线较近． 10．（南开中学2024-2025学年九年级上学期12月）如图，A、B、C、D分别是铁山坪森林公园的四个景点且位于同一平面内，B在A的正东方向，C在B的正北方向，D在A的北偏东方向且在C的北偏西方向，千米，千米．（参考数据：，） (1)求的长度；（结果保留很号） (2)甲、乙两人从景点A出发去景点C，甲选择的路线为，乙选择的路线为．请计算说明谁选择的路线较近？（结果精确到千米） 【答案】(1)千米 (2)乙选择的路线为较近． 【详解】（1）解：如图，过作于，过作于， ∵， ∴四边形为矩形，而千米． ∴千米，， 结合题意可得：，，而千米， ∴是等腰直角三角形， ∴（千米）， ∴千米，（千米）， ∵， ∴千米， ∴（千米）； （2）解：∵千米，， ∴（千米）， ∴（千米）， （千米）； ， ∴乙选择的路线为较近． 【题型3 判断是否及时到达】 此类题考查了解直角三角形的应用-方位角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．还需了解平行线分线段成比例，相似三角形的应用，熟练掌握平行线分线段成比例定理以及相似三角形的判定和性质是解题的关键． 11．（巴蜀中学校2023-2024学年九年级下学期期中）去年，第9号台风“苏拉”登陆我国沿海地区，风力强、影响范围广，有极强的破坏力．如图，台风中心从A地由南向北移动，1小时后到达B地．已知点C为一海港，在C港测得：A地在C地南偏东方向、距离为300千米处；B地在C地东南方向上．（参考数据：，，，） (1)当台风中心到达B地时距海港C还有多远？（结果保留根号） (2)当台风中心到达B地后方向立即发生了改变，沿北偏西方向快速移动，风速比之前增强了，影响范围进一步扩大，以台风中心为圆心，周围千米以内为受影响区域，此时C港接到紧急通知：要求所有人员在30分钟内撤离海港．请通过计算说明C港人员能否在受台风影响前及时撤离？ 【答案】(1) (2)能在受台风影响前及时撤离 【详解】（1）解：过点C作于D， 由题意得：，，， 在中，，， 在中，（千米）， 答：当台风中心到达B地时距海港C还有千米． （2）解：过点F作于点H，连接． 在，，∴， ∴， ∴， ∴台风速度为， ∴现在台风在直线l上的速度为 假设30分钟台风行驶到点F处，则， ∵， ∴在中，，， ∴， ∴在中，， 而， ∵， ∴不会收到影响，能及时撤离． 12．（2024年重庆大渡口区九年级中考一诊）某送货司机在各站点间上门送货的平面路线如图所示：．已知点B在点A的北偏东方向处，点C在点B的正东方处，点D在点C的南偏东方向，点D在点A的正东方．(参考数据：，，) (1)求线段CD的长度；(结果精确到0.01km) (2)已知送货司机在送货过程中全程保持10m/s的速度匀速行驶，若现在有急件需要在16分钟内从A点运送到D点，则送货司机按既定路线进行运送能否按时送达？(送货司机在各站点停留的时间忽略不计) 【答案】(1) (2)能 【详解】（1）分别过点B、C作于E，于F， 依题意可知：，，，，， ∴， ∴四边形是矩形，， ∵，， ∴ 又∵， ∴ （2）16分钟秒， ∵，，， ∴， ∴从A点运送到D点的时间为：， ∴送货司机按既定路线进行运送能按时送达． 13．（22-23九年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，小南家位于一条东西走向的笔直马路上，超市在地的正东方．午休时间，小南从家出发沿北偏东方向步行至菜鸟驿站取快递．下午第一节网课是美术课，此时距离上课时间只有，他决定先沿西南方向步行至超市购买素描画纸，再沿正西方向回到家上网课．(参考数据：，) (1)求菜鸟驿站与超市的距离(保留整数)； (2)若小南的步行速度为，那么他上美术网课会迟到吗？请说明理由．(忽略买素描画纸的时间) 【答案】(1)菜鸟驿站与超市的距离约为 (2)小南上美术网课会迟到，理由见解析 【详解】（1）解：过点作交的延长线于点，则， 由题意可知，，，， ，是等腰直角三角形， ， ． 答：菜鸟驿站与超市的距离约为． （2）解：小南上美术网课会迟到，理由：在中，， ， ， ． ， 小南上美术网课会迟到． 14．（潼南区九年级下学期二模）某校进行应急演练，事发地点处发生了一起事故，有伤员需要救援．为了提高营救效率，接到报告后，位于点处的演练应急处理队员立即报告120（专为演练准备的），并组织位于点处的救护人员立即出发，处的120救护车接到通知后也立刻同时出发前往事发地点处．计划由B处的救护人员赶到事发地点处一边应急处理一边护送该伤员沿方向行进，与救护车相遇后将该伤员转移到救护车上接受救治．已知在的北偏东方向500米上，在的东北方向上，且在的正南方向上．    (1)求两点的距离（结果精确到1米，参考数据：）； (2)黄金救援时间是6分钟（本次演练设定为3分钟），救护人员的平均速度为90米/分，救护车的平均速度为230米/分，请判断该伤员是否能在黄金救援时间内接受救治？请说明理由．（事发与接到通知之间的时间，接送伤员上下车的时间均忽略不计） 【答案】(1)米 (2)该伤员能在黄金救援时间内接受救治，理由见解析 【详解】（1）解：过点A作的垂线，交的延长线于点D， 由题意可知，，，米， ∴，， 在中，，， ∴，， ∴米，米， 在中，米， ∴米；    （2）解：该伤员能在黄金救援时间内接受救治，理由如下： 设从接到通知后到救护车接到伤员共用时x分钟， 由题意可得 解得 ∴该伤员能在黄金救援时间内接受救治． 15．（育才中学教育集团2024-2025学年九年级上学期9月）如图，四边形是休闲公园的人行步道．，是两条自行车道且相交于点，点是休闲公园入口．经测量，点A在点的西偏南方向，点在点的东偏南方向，点在点A的北偏东方向，米． (1)求自行车道的长度（精确到个位数）； (2)测得，小刚从A点出发步行沿步道去处取快餐，小刚步行的速度为60米每分钟，送餐员等待的时间不超过5分钟，请计算说明小刚能否在送餐员规定的时间内取到快餐吗？（参考数据：，，） 【答案】(1)1338米 (2)能 【详解】（1）解：过点作于点，如图． 由题意，得．． 在中，米， 米，米． 在中，米． 米． 答：的长度约为1338米． （2）过点作交的延长线于点，如图． 在中，． ， ． 在等腰中，米． 在中，米． 米． 小刚从A到所用的时间约为分钟． 答：小刚能在送餐员规定的时间内取到快餐． 【题型4 求实际距离】 此类题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的应用，熟练掌握平行线分线段成比例定理以及相似三角形的判定和性质．通过仰角俯角问题测量物体高度，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 16．（高新区中学联盟2024-2025学年九年级上学期期中）为了方便市民出行，建委决定对某街道一条斜坡进行改造，计划将原斜坡坡角为的改造为坡角为的，已知米，点A，B，C，D，E，F在同一平面内． (1)求的距离；（结果保留根号） (2)一辆货车沿斜坡从C处行驶到F处，货车的高为6米，，若米，求此时货车顶端E到水平线的距离．（精确到0.1米，参考数据：，） 【答案】(1)米 (2)米 【详解】（1）解：如图，过点C作交的延长线于点G， 在中， 米， （米）， （米）， 在中， ， （米）， （米）， 答：的距离为米； （2）如图，过点F作于点H，过点E作于点M， 由题意，知， ∴四边形是矩形， ， 在中， 32米，， （米）， ， ， 又， ， 在中， 米， （米）， （米）， 米， 答：货车顶端E到水平线的距离约为米． 17．（巴蜀中学校2024-2025学年九年级上学期期末）“1”腔热血护家园，“1”呼百应齐参与，“9”久守护永不变，在“全国消防日”之际，学校组织学生到消防队参观消防救援车实施救援演练的过程，图1是高空救援消防车实物图，图2是其侧面示意图，操作面与水平地面平行，操作面离地面的距离米，伸缩臂可绕着点O旋转，点A在上，为云梯的液压杆，其中可伸缩，已知套管米，且套管的长度不变．消防员为大家介绍：此时，，，于点E，交于点F，云梯末端工作台C上升到了离地面米的高处．（参考数据：，，结果精确到0.1） (1)求此时液压杆的长度；（结果保留根号） (2)通过消防员的操作，云梯伸缩臂绕点O逆时针旋转并伸长至，云梯末端工作台C的铅锤高度上升了4米至，请问伸缩臂比伸缩臂伸长了多少米？ 【答案】(1)米 (2)伸缩臂比伸缩臂伸长了1.625米 【详解】（1）解：过点B作，如， 在中，米，， ∴（米）， 在中，， ∴，即, ∴（米）； （2）解：过点作，垂足为Q，过点C作，垂足为R， 根据题意知，（米） ∵（米） ∴（米） ∵, ∴（米） 由作图知四边形是矩形， ∴米， ∵米， ∴米， 又 ∴ 在中，, ∴米， ∴米， 即伸缩臂比伸缩臂伸长了1.625米 18．（育才中学2022-2023学年九年级数学上学期第二次自主作业）重庆有六座矗立百年的文峰塔，其中位于江北区塔子山的文峰塔被称为是重庆的“航标”．小宇与小航准备测量塔子山文峰塔的高度，如图，小宇在点处观测到文峰塔最高点的仰角为，再沿正对文峰塔的方向前进至处测得最高点的仰角为，小航先在点处竖立长为标杆，再后退至其眼睛所在位置点、标杆顶、最高点在一条直线上，此时测得最高点的仰角为，已知两人身高均为（头顶到眼睛的距离忽略不计）． (1)求文峰塔的高度．（结果保留一位小数）； (2)测量结束时小宇站在点处（点在点的正下方），小航站在点处，两人相约在塔底见面，小宇的速度为，小航速度是其2倍，谁先到达塔底？请说明理由．（参考数据：） 【答案】(1)文峰塔的高度约为； (2)小宇先到达塔底． 【详解】（1）解：设与相交于点， 由题意得： ，， 设， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 文峰塔的高度约为； （2）解：小宇先到达塔底， 理由：设与相交于点， 由题意得： ， ， ， 在中，，， ， 在中，， ， 小宇的速度为，小航速度是其2倍， 小航的速度为， ，， ， 小宇先到达塔底． 19．（第八中学2023-2024学年下期九年级开学）拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，底座固定，， 且，连杆长度为，机械臂长度为．点B，C是转动点，且与始终在同一平面内． (1)转动连杆，机械臂，使，，如图2，求机械臂端点D离操作台l的高度的长（精确到，参考数据：）． (2)物品在操作台l上，距离底座A端的点M处，转动连杆，机械臂， 机械臂端点D能否碰到点M？请说明理由． 【答案】(1)手臂端点离操作台的高度的长约为 (2)手臂端点不能碰到点，理由见解析 【详解】（1）解：如图，过点作于点，过点作于点，    则四边形和四边形都是矩形， ∴，，， ∵， ∴， 在中，， 则， 答：手臂端点离操作台的高度的长约为． （2）解：手臂端点不能碰到点，理由如下： 由题意可知，如图，当点共线时，手臂端点能碰到的距离最远，    ∴此时， ∵，， ∴， 即手臂端点不能碰到点． 20．（第一中学校2021-2022学年九年级上学期第一次月考）如图，在建筑物的左边有一个小山坡，坡底B、C同建筑底端F在同一水平线上，斜坡的坡比为，小李从斜坡底端B沿斜坡走了26米到达坡顶A处，在坡顶A处看建筑物的顶端D的仰角为，然后小李沿斜坡走了米到达底部C点，已知建筑物上有一点E，在C处看建筑物E点的仰角为，（点A、B、C、D、E、F在同一平面内）建筑物顶端D到E的距离长度为米．（参考数据：，，，） (1)求小李从斜坡B走到A处高度上升了多少米． (2)求建筑物的高度． 【答案】(1)10米 (2)约为米 【详解】（1）解：过作， ∵的坡比， 设， ∴在中，， ∴， ∴； 答：小李从斜坡走到处高度上升了10米． （2）解：延长角的水平边交于则， 在中，， 设， 在中，， ， ∵四边形是矩形， ， 又∵， 在中，， ， ， ， 答：建筑物的高度为米． （建议用时：30分钟） 1．重庆市位于我国西南部、四川盆地东部，地处我国中西结合部，是承东启西、左右传递的枢纽，在我国经济发展总格局和西部大开发中，具有重要的战略地位和作用；重庆主城为三面环水的半岛，位于长江与嘉陵江汇合处，是由大江托起的中国最著名的山城．如图，为了测量斜坡上的建筑物的高度，一个数学兴趣小组，站在山脚点处测得建筑物底部点的仰角为，然后沿水平方向走了米到达点，再沿坡度为：的斜坡走了米到达点，继续向前走了米到达了一个比较好的测量点，在点测得建筑物底部的仰角为，建筑物顶部的仰角为（测量员身高与测角仪高度均忽略不计，且、、、、、在同一平面内）． (1)求点到山脚的水平距离； (2)求建筑物的的高度．（精确到，参考数据：，，，，） 【答案】(1)点到山脚的水平距离为米 (2)建筑物的的高度为米 【详解】（1）过点作，垂足为，过点作，垂足为， 则米，， 斜坡的坡度为：， ， 设米，米， （米）， 米， ， ， （米），（米）， 米， （米）， 点到山脚的水平距离为米； （2）延长交的延长线于点，延长交的延长线于点， 则米，， 设米， 米， 在中，， （米）， 米， 在中，， ， ， 经检验：是原方程的根， 米，米， 在中，， （米）， （米）， 建筑物的的高度为米． 2．外卖，作为现代化快节奏生活中的一种餐饮服务形式，近年来在全球范围内迅速发展并广受欢迎．小西在位于点处的家中购买了位于点处“稻香园”的外卖食品，外卖骑手收到商家派单后立即赶往点处取餐，然后进行配送．根据导航显示，点位于点的西北方向米处，点位于点南偏东方向且在点的北偏东方向，点位于点的南偏东方向，又在点的正西方向．（参考数据：） (1)求的长（保留根号）； (2)骑手在“稻香园”取餐后开始配送，由于道路施工，骑手有两条送餐路线可以选择，路线①，速度为每分钟120米，路线②，速度为每分钟240米，请通过计算说明，骑手选择哪条路线才能更快的将外卖送到小西家？ 【答案】(1)米 (2)骑手选择路线②的送餐路线才能更快的将外卖送到小西家 【详解】（1）解：如图所示，过点O作于H， 由题意得，， ∴ ， ， 在中，， 在中，， ， ∴； （2）解：作，垂足为G， 由题意得：， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ∴路线①的时间为分钟； ∴路线②的时间为分钟， ∵， ∴骑手选择路线②的送餐路线才能更快． 3．寒假期间，小明和小红在处游玩，结束后相约去学校自习室，学校在点处，小明家在点处，小红家在点处，点在点的正东方向，点在点的正北方向，点在点的北偏东方向，点在点的东北方向，且米，米． (1)求小明家到学校的距离的长度（结果保留根号）； (2)小明和小红同时从处出发，两人先各自回家取书包，再去学校自习室，小明步行的速度为米分，小红步行的速度为米分，请通过计算说明谁先到达学校自习室（两人取书包的时间忽略不计）．（参考数据：，，结果精确到十分位） 【答案】(1)米 (2)小红先到达学校自习室 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，过点作于点， 依题意， ∴四边形是矩形， 又∵， ， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴米 （2）解：在中， ∴， ∴ 小明步行的速度为米／分， ∴小明到达学校自习室需要分钟 米, 小红步行的速度为45米/分 所用时间为：分钟， ∴小红先到达学校自习室． 15 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$