重难点09 二次函数综合题最值相关（4大题型+高分技巧+限时提升练）-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练（重庆专用）

重难点09 二次函数综合题最值相关 二次函数是中考数学的必考考点，本题型常以解答题的形式出现，考查类型为线段最值(含周长)问题、面积最值问题、特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题，常结合二次函数的性质、相似或全等三角形的性质、图形的平移、图形的旋转等知识进行综合考查.2024年考查内容以角相关为主。二次函数中的角度存在性问题一般是指在动点的运动过程中，存在某个特殊位置，使得某些角度满足一定的特殊关系，常见类型有角度为定值、角度相等、角度倍分、角度和差等，是对二次函数和几何图形的综合考查，涉及二次函数的图象性质以及几何图形中的平行线、三角形性质、三角形全等或者相似、三角函数、轴对称等知 识，一般的解题策略是利用相关几何知识确定特殊点的坐标，再利用点的坐标确定解析式，最后联立解析式找到满足条件的点的坐标。 【题型1 多线段和差（不含根号）】 考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系 1．（第八中学校2024-2025学年九年级下学期开学）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，（点A在点B的左侧），交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点M． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接，点F是线段上一动点（点F不与端点A，D重合），过点F作，交抛物线于点E（点E在对称轴左侧），过点E作轴，垂足为H，交于点G，点N是线段上一动点，当取得最大值时，求的最小值； (3)在（2）的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点P为平移后的抛物线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的P的坐标，并写出其中一个点的求解过程． 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：∵， ∴， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 设，则：， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， ∵， ∴当时，最大，此时最大， ∴，， ∴， 连接， ∵，， ∴，同法可得直线的解析式为：， ∴， ∴， 过点作，连接，则：， ∴， ∴当三点共线，且时，的值最小为的长， 设与轴交于点，连接， ∵，当时，， ∴， ∴轴，， ∴， ∴， ∴的最小值为：； （3）解：∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）知：，则直线的解析式为， ∴为二，四象限的角平分线， ∴抛物线沿方向平移个单位，相当于先向左平移3个单位，再向上平移3个单位， ∴， 连接，过点作轴于点，则四边形为正方形， ∴， ①在上方取点，过点作，则：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点在射线上， ∴点为射线与抛物线的交点， 同（2）法可得直线的解析式为：， 联立，解得：或（舍去）； ∴； ②在下方取点，过点作， 同法可得：， 点为射线与抛物线的交点，同法可得，直线的解析式为：， 联立，解得：或（舍去）； ∴； 综上：或． 2．（南开中学2024-2025学年九年级下学期开学）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，且点在轴上． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，交轴于点，点是直线上一动点，过点作轴交轴于点，连接，．当取得最大值时，求的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线的对称轴为轴，点是线段上一点，连接，过点作交新抛物线于点，且点在轴上方，连接，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：∵点为直线与抛物线的交点，且点在轴上， ∴令， 解得：， ∴， 将代入， 得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：联立， 解得：或， ∴， ∵点是直线上方抛物线上一点，且点在上， ∴设 ， ∵轴交直线于点，交轴于点， ∴，， ∴， ， ∴， ∵，且对称轴为直线， ∴当时（满足），取得最大值， 此时，， 即，， ∵轴交轴于点，， ∴四边形是矩形， ∴， 如图，将线段沿着方向平移个单位长度，得到线段，连接， 由平移得，， ∴， 由两点之间线段最短，得当、、依次共线时，最小， 最小值为， 故的最小值为； （3）解：如图，过点作轴于点， ∴，， ∴， ∵将抛物线沿射线方向平移， ∴利用相似可知平移相当于水平向右平移，再向下平移，向右和向下平移的距离比为， ∵新抛物线的对称轴为轴，且原抛物线的对称轴为直线， ∴相当于抛物线水平向右平移个单位，再向下平移个单位， ∴新抛物线解析式为， ∵， ∴， ∵， ∴， 当点在轴左侧时，过点作轴于点，过点作轴交于点，如图， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，， 则，，，， ∴， 解得：，， ∴, 则； 当点在轴右侧时，过点作轴于点，过点作轴交于点，如图， 同理， ∴， 设，， 则，，，， ∴， 解得：，或（舍）， ∴， 则； 综上所述，或． 3．（巴蜀中学2024-2025学年九年级下学期开学）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点、，交轴于点，，对称轴为直线，连接，过点作交抛物线于点，点为轴上的动点，连接、． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴交于点，再过点作于点，连接，当的面积最大时，求出此时点的坐标及的最小值； (3)如图2，在（2）的条件下，连接，将该抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，点为新抛物线上的一个动点，连接，与线段交于点，点在轴上且在点下方，满足时，请求出符合条件的点的坐标，并写出简要的求解过程． 【答案】(1) (2)，的最小值为， (3)点或． 【详解】（1）解：（1）抛物线过，对称轴为直线，则点， 则抛物线的表达式为：，则，则， 则抛物线的表达式为：； （2）由抛物线的表达式可知点， 设直线线的表达式为， 将点、的代入， 可得，解得， ∴直线的表达式为：， ，则直线的表达式为：， 设点，则点， ∴， ，， ∴为定长，过点F作， ∵轴，是定直线， ∴的角度一定， ∴为定值， ∴的大小形状一定，即为定长， ∵的面积， 故最大时，的面积最大， 而， 故当时，最大，此时，即点， 作点关于轴的对称点为点，连接交轴于点，则点为所求点， 理由：由对称轴可知：， ∴为最小， 则的最小值为：； （3）∵，， ∴，直线的表达式为：， ∴将该抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，相当于抛物线向左平移1个单位，向上平移3个单位， 则， 延长交轴于点，由点、的坐标得， ∴点坐标为， 又∵， ∴与关于轴对称， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴直线， 而直线的表达式为：， 设直线的表达式为：，则，， ∴直线的表达式为： 联立上式和新抛物线的表达式得：， 解得：或， 即点或． 4．（重庆科学城西永中学校2024-2025学年九年级上学期期末）如图1，已知抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，且抛物线对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，为线段下方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，作轴交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图3，连接、，在抛物线上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)最大值为4，此时 (3)存在，或，理由见解析 【详解】（1）解：∵已知抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，且抛物线对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴解析式为：； （2）解：∵点的坐标为，且抛物线对称轴为直线， ∴， 当， ∴， 设直线表达式为：， ∴， 解得 ∴直线表达式为：， 设， 则由题意得：， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值为4，此时； （3）解：存在，理由如下： ①当Q点位于上方时，在上取一点D，使得，连接并延长交抛物线与点Q， ， ， 此时使得， ， 同上可求直线得解析式为， 联立，解得：或， ； ②当Q点位于下方时，如图，作轴，作于点F，与抛物线的交点为E，连接， ， 当时，， 解得：或， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， 则E即为Q点， ∴， 综上所述：或． 5．（巴蜀中学校2024-2025学年九年级上学期期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与y轴交于点B，与x轴交于A、C两点（A在C的左侧），连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线AB上方抛物线上的一动点，过点P作交y轴于点D，交x轴于点E，点F为y轴上一动点，当取最大值时，求此时点P的坐标及的最大值； (3)如图，点Q是抛物线的对称轴与的交点，将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线刚好经过点Q，K为新抛物线上一动点，当，请写出所有符合条件的点K的坐标，并写出求解其中一个点K坐标的过程． 【答案】(1) (2)，的最大值为 (3)或 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， 把，代入中得：， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为； 设，直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，，当时，， ∴，， ∴，， ∴ ， ∵， ∴当，即时，有最大值， ∴此时点P的坐标为； ∵， ∴， ∴当A、P、F三点共线时，有最大值，最大值为的长， ∵， ∴； ∴的最大值为； （3）解：∵原抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， 在中，当时，， ∴； ∵将原抛物线沿射线方向平移，得到新抛物线， ∴可设原抛物线向下平移个单位长度，向左平移个单位长度得到抛物线， ∴新抛物线解析式为， ∵平移后的抛物线经过， ∴， ∴或（舍去）， ∴新抛物线解析式为； 如图所示，取，连接， 在中，当时，或， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴， 如图所示，过点Q作交新抛物线与，则，即点即为所求； 同理可得直线解析式为， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴； 如图所示，过点A作，且使得，连接并延长，交新抛物线于，则， ∵， ∴， ∴，即点即为所求； 同理可得直线解析式为， 设， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 同理可得直线解析式为； 联立，解得或， ∴； 综上所述，点K的坐标为或． 【题型2 多线段和差（含根号）】 考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合，轴对称最短问题，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的平移，难度较大，利用几何知识帮助解答． 6．（西南大学附属中学校2024-2025学年九年级下学期开学）如图1，抛物线与坐标轴分别交于三点，其中点坐标为． (1)求抛物线解析式； (2)点是直线下方抛物线上的一动点，点是轴上一动点，当四边形的面积最大时，求的最小值； (3)在（2）条件下，将抛物线沿轴翻折得到，则点的对应点为，并将沿射线方向平移个单位长度得到，记在抛物线上的对应点为，过作轴于点是直线上一点，连接，则是否存在点使得；若存在，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：令，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， 把，代入得， 解得， ∴抛物线解析式； （2）解：过作轴于，交于， ∵， ∴设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， ∴设，则， ∴， ∴ ， ∴当时，最大，此时， 过在轴上方找一点，使，，连接，延长交轴于， ∴，， ∴，，即，点在直线上移动， ∴， ∴当在上时，最小， 设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， ∴设， ∴， ∴当时，最小，即， ∴的最小值； （3）解：∵关于轴翻折得到点， ∴将抛物线沿轴翻折得到，解析式为，整理得，的对应点， 连接交轴于，则轴，，    ∴，，， ∴将沿射线方向平移个单位长度得到，相当于先向左移动个单位长度，再向下移动12个单位长度， ∴在抛物线上的对应点为，即， ∵过作轴于点， ∴， ∵， ∴设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， 当点在点左边时，由外角可得，不合题意； 当点在线段上时，如图，连接交轴于点，过作于 ∵， ∴，即平分， ∵ ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵中，， ∴， 解得， ∴， 同理可求得直线解析式为， ∵直线与交点为， ∴联立，解得， ∴； 当点在点右边时，如图，过作交于，过作轴于， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，轴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴， 同理可求得直线解析式为， ∵直线与交点为， ∴联立，解得， ∴， 综上所述，或． 7．（24-25九年级上·重庆合川·期末）如图，抛物线与轴交于点，点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点在直线上方抛物线上运动，过点作，轴于点，求的最大值，以及此时点的坐标； (3)将原抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位得到，点是原抛物线的顶点，问在平移后的抛物线上是否存在点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)； (2)4，； (3)或． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点、点两点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵抛物线的解析式为， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图：作轴交于点Q， ∵，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 设点． ∴， ∴， ∴当时，的最大值为4， ∴当的最大值时，， ∴． （3）解：如图： ∵， ∴抛物线的对称轴为，顶点坐标， ∴将原抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位得到的解析式为， 当点在直线的下方时，点为直线的延长线与新抛物线的交点， 设直线的解析式为：， 则，解得：， ∴直线的解析式为：， 联立，解得：或2（舍弃）， ∴， ∴； 当点在直线的上方时，作点N关于点C的对称点，则，点为直线的延长线与新抛物线的交点， 设直线的解析式为：， 则，解得：， ∴直线的解析式为：， 联立，解得：或（舍弃）， ∴， ∴． 综上，点M的坐标为或． 8．（巴川中学校2024-2025学年九年级上学期期末）如图，抛物线与轴分别交于点，点（在的左侧），与轴交于点，直线的图象过两点，． (1)求抛物线解析式； (2)点为直线上方抛物线上一点，点为直线上一动点，连接，当面积最大时，求点的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移后过点，在新抛物线上是否存在一点，使，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，或 【详解】（1）解：由抛物线与轴交于点，可知， 直线的图象过点， 将代入得，即直线， 当时，，解得，则， ， ，即， 抛物线与轴分别交于点，点（在的左侧）， 设抛物线为，则化为一般式得， ，解得， 抛物线解析式为； （2）解：如图，过作轴交于， ∵，， ∴直线为， 设，则， ∴， 当最大时，最大， ∴，， ∴， 过作轴的平行线与过作轴的平行线交于点，则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，，此时最短； ∵， ∴， ∴， 即的最小值为； （3）解：将抛物线沿射线方向平移后过点， ∴； 如图，过作轴于， ∵，， ∴， ∴， 设， ∴， ∴或，其中， 解得：或（舍去）或或（舍去）； 当时，， 当时，， ∴或． 9．（24-25九年级上·重庆渝北·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，两点，与轴交于点，连接，，且，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，点为直线下方抛物线上一动点，过作交于点，过作轴交轴于点、交于点，点为直线上一动点，当周长最大时，求的最小值及此时点的坐标； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位，得到新抛物线，点是新抛物线上一点，点为点关于轴的对称点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于A，两点，，， ∴， ∴， 解得， ∴; （2）解：由（1）可知，，， ∴， ∴， ∵，轴， ∴轴, ∴， ∴是等腰直角三角形， 设，直线表达式为， 则， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴当时，最大时，周长最大， 此时, ， ∴， ∴， 连接并延长到H， 使，连接， 则点H与点D关于直线对称， ， ∴， ∵， ∴当点M与点E重合时，，值最小， ∴最小值为， ∴； （3）解：由轴对称知，， ∴， ∵， ∴， ∵抛物线沿射线方向平移个单位， ∴抛物线是向右平移2个单位，再向下平移4个单位， ∵， ∴， 过点C作，交直线于点P，过P作轴于点N， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当F在直线左上侧时， ∴， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴， 联立得 解得：或（舍去）， ∴； 当F在直线右下侧时， 同理得，直线解析式为， 联立得。 解得或（舍去）， ∴； ∴或． 10．（24-25九年级上·重庆九龙坡·期末）已知二次函数的图象与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，． (1)求二次函数的解析式； (2)如图1，P是直线上方抛物线上一动点，过P作轴交于点Q．点E、F分别是x轴、y轴上的动点，连接．当的长度最大时，求点P坐标以及四边形周长的最小值． (3)如图2，抛物线的顶点为D，连接，把抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线．点M是新抛物线对称轴上的一动点，直线与直线相交于点N，是否存在点M，使，若存在，请直接写出点M的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的最大值为4；四边形周长的最小值为 (3)存在，或 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 把，代入，得 ， ∴， ∴； （2）解：解，得 ， ∴． 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴． 设，则， ∴． 作于点H，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴当时，的最大值为4， ∴，则． 作点P关于y轴的对称点，作点Q关于x轴的对称点，连接，交x轴于点E，交y轴于点F，则，，， ∴四边形周长的最小值 ． ∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴四边形周长的最小值为； （3）解：①当点M在x轴下方时， ∵， ∴． 在射线截取，作于点L， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴把抛物线向右平移3个单位，再向上平移9个单位得到新抛物线， ∴， ∴设． 过点D作于点E，交的对称轴于点F， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ②当点M在x轴上方时，如图，过点D作于点E，交的对称轴于点F， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 综上可知，点M的坐标为或． 【题型3 周长最值】 考查了二次函数的图象和性质，求函数解析式，二次函数与坐标轴的交点问题，轴对称求最短路径问题，二次函数的平移，解直角三角形的应用，因式分解法解一元二次方程等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键 11．（西南大学附属中学校2024-2025学年九年级上学期10月）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作轴，交于点D．点M是y轴上的一动点，连接．当线段长度取得最大值时，求周长的最小值； (3)将该抛物线进行平移，使得平移后的抛物线经过（2）中周长取得最小值时的点M，且与x轴交于两点（E在F的左侧），连接．点N为平移后的抛物线上的一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点N的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴是直线， ， ， ， 抛物线经过点， ， 解得：， ， 抛物线的表达式为； （2）解：抛物线的表达式为， 令，则，即， 令，则， 解得：，， ，， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， 设点，则， ， ， 当时，线段长度取得最大值， ， 过点作关于轴的对称点，则，连接， ， ， 即当点、、三点共线时，有最小值，最小值为， ，， ， 周长的最小值为； （3）解：由（2）可知，， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， 令，则， ， 设平移后的抛物线解析式为， 平移后的抛物线过点，且与x轴的左交点为， ，解得：， 平移后的抛物线解析式为， 令，则， 解得：或， ， ，， ， 如图，连接，过点作于点， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， 设， ①若点在轴上方，此时， ， ， 过点作轴于点， ， ，， ， 整理得：， ， 解得：（舍）或， 当时，， 点N的坐标为． ②若点在轴下方，此时或， ， ， 过点作轴于点， ， ，， ， 整理得：， ， 解得：（舍）或， 当时，， 点N的坐标为， 综上可知，符合条件的点N的坐标为或． 12．（2024·重庆开州·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B（再点A在B的右侧），与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1所示，在直线上方的抛物线上有一动点P，且轴交于点Q，交于点G，当的周长取得最大值时，求点P的坐标及周长的最大值． (3)将原抛物线y竖直向下平移2个单位、水平向左平移2个单位长度得到新抛物线，新抛物线与y轴交于点N，在新抛物线的对称轴上是否存在点M，使得，若存在，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2)，周长的最大值为 (3)或 【详解】（1）解：令，则， ∴，， ∵， ∴， 将，代入得，， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴周长， ∴当取最大值时，的周长取最大值， 设直线的解析式为， 把，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 设，， ∴， 当时，有最大值，为2，此时，， ∴当时，的周长有最大值，为； （3）解：∵， ∴将抛物线y竖直向下平移2个单位、水平向左平移2个单位长度得到新抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线， 当时，，即， ∴， 令，解得，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 如图，分以下两种情况： 当时，， ∴， ∴； 当时，和y轴交于点F，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， ∴． 综上，点M的坐标为或． 13．（2023·重庆渝北·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，连接，是直线下方抛物线上的一个动点，过点作轴，交于点，，垂足为． (1)求的面积； (2)当的周长取得最大值时，求点的坐标和周长的最大值； (3)将抛物线沿射线的方向平移个单位长度，得到新抛物线，为新抛物线与原抛物线的交点，为的对称轴上任意一点．写出所有使得是等腰三角形的点的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程． 【答案】(1) (2)， (3)满足条件的点的坐标有，， 【详解】（1）解：在中， 令，则， ． ∴， 令，则， 解得， ，， ∴， ． （2）解：过点作轴交于点． 设直线的解析式为， ，， ， 解得：， 的解析式为． 轴，， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ． 设，则， ． ，， 当时，， ，此时，． （3）解：将抛物线沿射线的方向平移个单位长度，得到新抛物线， 相当于将抛物线向左平移个单位长度，向下平移个单位长度， 平移后的抛物线的解析式为， 对称轴为直线， 联立， 解得：， ， 设， ，，． ①当时，则， 不存在该情况，舍去； ②当时，则， 解得， 或； ③当时，则， 解得， ， 综上所述，满足条件的点的坐标有，，． 14．（2024·重庆九龙坡·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一个动点．过点作轴，交于点，过点作轴，交于点，当的周长取得最大值时，求点的坐标和周长的最大值； (3)在（2）中的周长取得最大值时，把抛物线向右平移个单位得到新的抛物线，点是点的对应点，新抛物线交轴于点、为新抛物线对称轴上一点，在新抛物线上，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)，周长的最大值 (3)、、 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：； （2）解：∵，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴，轴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， ∵，， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 根据题意，设 ∵轴， ∴， ∴， 当时，有最大值，最大值为：， ∴周长的最大值：， 即， ∴； （3）解：抛物线解析式为：， ∵把抛物线向右平移个单位得到新的抛物线， ∴新的抛物线解析式为：， 则新抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴点， ∵新抛物线的对称轴为直线，在新抛物线上， ∴设点，点 ， ∵点是点的对应点， ∴， 以、、、为顶点的四边形是平行四边形， 第一种情况：当对角线为、时； ∵平行四边形的对角线互相平分， ∴， 解得：， ∴， ∴； 第二种情况：当对角线为、时； ∵平行四边形的对角线互相平分， ∴， 解得：， ∴， ∴； 第三种情况：当对角线为、时； ∵平行四边形的对角线互相平分， ∴， 解得：， ∴， ∴； 综上所述：点的H的坐标为：、、． 15．（杨家坪中学2023-2024学年九年级上学期期中）二次函数经过点，，．    (1)求该二次函数的解析式； (2)设点的横坐标为，过点作轴交直线于点，轴交对称轴于点，以、为边构造矩形，当矩形的周长最大时，求点的坐标； (3)将抛物线向右平移1个单位，向上平移2个单位后得到新抛物线，与直线交于点，点为平移后抛物线对称轴上一点，点为平面内任意一点．在第（2）问条件下，当点、、、构成的四边形为菱形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)点的坐标为或或 【详解】（1）抛物线经过点， 设抛物线的解析式为， 把，代入中， ，解得， 抛物线的解析式为； （2）设直线的解析式为， 点，， ，解得， 直线的解析式为， 点的横坐标为， ， ， 抛物线的解析式为； ， ，， 矩形的周长， 即当时，矩形的周长取最大值， 此时点的坐标为； （3）将抛物线向右平移1个单位，向上平移2个单位后得到新抛物线， 新抛物线， 与直线交于点， ， 设， 如图1，若以为对角线，四边形为菱形，   ， ，， ， 解得， ， 点的坐标为； 如图2，若以为边，四边形为菱形，   ， ，，， ， 解得或， 或， 点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或 【题型4 面积最值】 考查了待定系数法，二次函数与三角形面积最值综合问题，二次函数与角度综合问题，掌握待定系数法，能熟练利用二次函数的性质求最值及分类讨论思想解题问题是解题的关键．还需会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会利用两点间的距离公式计算线段的长；注意分类讨论思想的应用． 16．（大足中学2024-2025学年九年级下学期开学）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中，，连接，，．     (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，点M为线段（不含端点O，C）上一点，连接并延长交抛物线于点P，连接，，当面积最大时，求点M的坐标及面积的最大值； (3)如图2，将该抛物线沿射线方向平移，当它过点B时得到新抛物线，点F为新抛物线与x轴的另一个交点，点G为新抛物线的顶点，连接，，过点B作交新抛物线于点H，连接．在新抛物线上确定一点N，使得，直接写出所有符合条件的点N的坐标． 【答案】(1) (2)，的面积有最大值 (3)N点坐标为或 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， ， ， ， 将、、三点代入， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 过点作轴交于点，如图1， 设，则， ， ， 当时，的面积有最大值，此时， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， ； （3）解：设抛物线沿轴正半轴方向平移个单位，则沿轴正方形平移个单位， 平移后的函数解析式为， 经过点， ， 解得（舍或， 平移后的函数解析式为， 当时，， 解得或， ， 是顶点， ， 直线的解析式为， ， 直线的解析式为， 当时，解得或， ， 过点作轴的垂线与的延长线交于点，与轴交于点，过点作交于点，过点作轴的平行线，过点作交于点，如图2， 直线与轴的交点，， ， ，， ， ， ， ， 直线的解析式为， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， 当点在点上方时， ， ， ， ， ， 设， ， 解得（舍或， ∴； 当点在点下方时，设与直线交于点，过点作交于点， ∴， ， ， ， ， ， 设， ， 解得， ∴， 直线的解析式为， 设点关于直线的对称点为， ， ， 解得或（舍， ∴， 直线的解析式为， 当时，解得或（舍； ∴； 综上所述：点坐标为或． 17．（重庆市县区联考2024-2025学年九年级上学期期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，交轴于点和点，交轴于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点是直线上方抛物线上一动点，连接，求面积最大值及此时点的坐标； (3)将原抛物线沿轴正半轴平移2个单位长度得到新抛物线，新抛物线与轴的负半轴交于点，点为平移后的新抛物线上一动点，当，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)， 【详解】（1）解：∵抛物线过点，交轴于点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）如图，过点P作轴交于点E，    当时，， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， ， ，则， ∵，且 ， 当时，取得最大值， 取得最大值， 此时， 此时； （3）∵， ∴将原抛物线沿轴正半轴平移2个单位长度得到新抛物线，则： ， 当时，，解得或， ∴点的坐标为， 如图，当时，，    ∵直线的解析式为， ∴可设直线的解析式为， 把点代入得到，， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得到， 解得或， ∴点的坐标是， 当时，， ∴直线与直线关于轴对称， ∴直线经过点的关于轴对称点， 设直线的解析式为， 把点的坐标为，点代入，得 解得， ∴直线的解析式为， 联立得到， 解得，或， ∴点的坐标是， 综上可知，点的坐标为或． 18．（第八中学校2023-2024学年九年级下学期二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，其中，． (1)求该抛物线的解析式； (2)是直线上方抛物线上一点，过作直线，交抛物线于点，连接交于点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，平移后的抛物线交轴于、两点（点在点左侧），交轴于点，将向下平移3个单位得到点，将绕点旋转得到，射线与射线分别与平移后的抛物线的对称轴交于点与点，点关于射线的对称点为，连接，若，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)最大值为12，点坐标 (3)或或或 【详解】（1）解：把，代入得： ， ∴， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：作直线，且和抛物线相切于点．连． 由得， 时，， 时，， ，， , ∴为等腰， ∴直线是由直线向上平移4个长度单位得到， ∴直线解析式为：． 设直线解析式为， 代入得， ∴直线解析式为， ∴． 联立和， 得， ∴或5， 时，， ∴． ∴面积面积面积， ∵， ∴面积面积， ∵直线，且和抛物线相切， ∴面积最大，故面积最大． 设直线解析式为， 联立得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， 代入，得， 解得， ∴直线解析式为， ∴ ∴面积面积面积． 故面积的最大值，点坐标． （3）解：∵向下平移3个单位得到点， ∴点， 由得， 把抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位， 得， ∴， ∴对称轴为直线， 由得，， ∴， 由对称得：为等腰，直角三角形， 过作轴，如图： ∵， ∴， ，，， ， ∴，， 设， ∴， 由对称知为中点， ∴，即， 设直线解析式为， ， ∴ ， ∴直线解析式为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，或， ∴或6或或， ∴或或或． 19．（南川区2024-2025学年九年级上学期期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，交轴于点和点．交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点是直线上方抛物线上一动点．连接，．求面积最大值及此时点的坐标； (3)将原抛物线沿轴正半轴平移2个单位长度得到新抛物线，新抛物线与轴的负半轴交于点．点为平移后的新抛物线上一动点，当．请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或 【详解】（1）解：由题意得 ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点作轴，交轴于，交于， 当时，， ， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为， ， ， 设， ， ， ， ， 点是直线上方抛物线上一动点， ， ， 当时， ， ， ， 故面积最大值为，此时点的坐标为； （3）解：由题意得 ， ， ， ①当时，如图， ， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：，， ； ②当时，如图， 直线与直线关于轴对称， 直线经过关于轴对称点， 同理可求直线的解析式为， 联立， 解得：，， ； 综上所述：的坐标为或． 20．（渝北区六校联盟2024-2025学年九年级上学期第一次教学检测）如图，已知抛物线经过点，与轴交于点，其对称轴为直线，为轴上一点，直线与抛物线交于另一点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)试在线段下方的抛物线上求一点，使得的面积最大，并求出最大面积； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，x轴上一点使得是等腰直角三角形？如果存在，求点的坐标；如果不存在，请说明理． 【答案】(1) (2)，最大面积为 (3)存在，或或； 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线， ， ， 将点代入中， ， 解得， ； （2）解：设直线的解析式为， ， 解得， ， 联立方程组， 解得或， ， 过点作轴交于点， 设，则， ， ， ， 当时，的面积最大为， 此时； （3）解：存在一点，轴上一点使得是等腰直角三角形，理由如下： 抛物线对称轴为直线， 设， 如图1：当，时，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点， ， ， ， ， ， ，， ， 解得或， 或， 或； 如图2，当，时，过点作轴交对称轴于点，过点作交于点， 同理可证， ，， ， 此情况不存在； 如图3，当，，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点， 同理可证， ，， ， ； 综上所述：点坐标为或或； （建议用时： 40 分钟） 1．如图1，已知抛物线与轴交于，两点（在左侧），与轴交于点，连接、，若，． (1)求抛物线的解析式； (2)点为直线上方抛物线上的一个动点，连接、，、为上的两个动点且满足（在左侧），为上一个动点，连接、，当最大时，求的最小值； (3)如图2，将抛物线沿着射线平移得到新抛物线，上找一点，连接，当与互补时，请写出所有符合条件的的坐标，并写出其中一个点的求解过程． 【答案】(1) (2) (3)或． 【详解】（1）解：令，则，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵抛物线与轴交于，两点（在左侧）， ∴，， 把，代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：过作轴，交于点，交轴于点，在上方找一点，使，，过作轴，交轴于点，连接， ∵，， ∴设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， ∵轴，交于点，交轴于点， ∴设，则， ∴， ∴， ∴当时，最大，此时， ∵，，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形，点沿射线方向移动个单位长度得到点， ∴，点先向右移动1个单位长度，再向上移动个单位长度得到点，则 ∴， ∴当、、三点共线时最小，由垂线段最短可得最小值为， ∴的最小值为； （3）解：∵将抛物线沿着射线平移得到新抛物线，，，， ∴将抛物线先向右移动2个单位长度，再向上移动1个单位长度得到新抛物线， ∴平移后解析式为， 当在直线下方时，如图， 取点，则， ∴，， ∵， ∴， ∵与互补， ∴， ∴， ∴是直线与新抛物线的交点， ∵，， ∴设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， 联立，解得或（不在下方，舍去）， ∴； 当在直线上方时，如图，取一点，使，， ∴， ∴， ∴是直线与新抛物线的交点， 设， ∴，， 两方程相减整理得， 代入得， 解得 当时，，此时与重合， ∴，， ∴， ∵，， ∴设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， 联立，得， 解得， ∵在和之间， ∴，此时 ∴； 综上所述，当与互补时，或． 2．如图，抛物线经过A，B两点，与x轴的另外一个交点为C，点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交直线于点D，点E是y轴上点B下方一点，若，点，点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交于点D，在轴上点B下方取一点E，使得，求的最大值及此时点P的坐标； (3)在点P运动过程中，连接，当的中点恰好落在y轴上时，连接，在抛物线 上是否存在点Q，使得，如果存在，请写出所有符合条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，或 【详解】（1）解：将点，点代入得： ，解得：， ∴抛物线的表达式为． （2）解：∵点，点， ∴设直线的解析式为：， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， 如图1，作轴于， ∵， ∴点E、点B关于直线对称， ∴， ∴， ∴当时，的最大值为，此时． （3）解：令，解得，或， ∴， ∵的中点恰好落在y轴上，设， ∴，解得，， ∴； 如图2，作，交抛物线于， ∴， 设的解析式为， 将代入得，，解得，， ∴的解析式为， 联立，解得，或， ∴； 如图2，在上取点N，连接，交抛物线于，使， ∴， ∴， 设，则，， ∴，解得，， ∴， 同理，直线的解析式为， 联立，解得，或， ∴； 综上所述，存在，所有符合条件的点Q的坐标为或． 15 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点09 二次函数综合题最值相关 二次函数是中考数学的必考考点，本题型常以解答题的形式出现，考查类型为线段最值(含周长)问题、面积最值问题、特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题，常结合二次函数的性质、相似或全等三角形的性质、图形的平移、图形的旋转等知识进行综合考查.2024年考查内容以角相关为主。二次函数中的角度存在性问题一般是指在动点的运动过程中，存在某个特殊位置，使得某些角度满足一定的特殊关系，常见类型有角度为定值、角度相等、角度倍分、角度和差等，是对二次函数和几何图形的综合考查，涉及二次函数的图象性质以及几何图形中的平行线、三角形性质、三角形全等或者相似、三角函数、轴对称等知 识，一般的解题策略是利用相关几何知识确定特殊点的坐标，再利用点的坐标确定解析式，最后联立解析式找到满足条件的点的坐标。 【题型1 多线段和差（不含根号）】 考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系 1．（第八中学校2024-2025学年九年级下学期开学）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，（点A在点B的左侧），交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点M． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接，点F是线段上一动点（点F不与端点A，D重合），过点F作，交抛物线于点E（点E在对称轴左侧），过点E作轴，垂足为H，交于点G，点N是线段上一动点，当取得最大值时，求的最小值； (3)在（2）的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点P为平移后的抛物线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的P的坐标，并写出其中一个点的求解过程． 2．（南开中学2024-2025学年九年级下学期开学）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，且点在轴上． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，交轴于点，点是直线上一动点，过点作轴交轴于点，连接，．当取得最大值时，求的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线的对称轴为轴，点是线段上一点，连接，过点作交新抛物线于点，且点在轴上方，连接，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程． 3．（巴蜀中学2024-2025学年九年级下学期开学）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点、，交轴于点，，对称轴为直线，连接，过点作交抛物线于点，点为轴上的动点，连接、． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴交于点，再过点作于点，连接，当的面积最大时，求出此时点的坐标及的最小值； (3)如图2，在（2）的条件下，连接，将该抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，点为新抛物线上的一个动点，连接，与线段交于点，点在轴上且在点下方，满足时，请求出符合条件的点的坐标，并写出简要的求解过程． 4．（重庆科学城西永中学校2024-2025学年九年级上学期期末）如图1，已知抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，且抛物线对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，为线段下方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，作轴交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图3，连接、，在抛物线上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（巴蜀中学校2024-2025学年九年级上学期期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与y轴交于点B，与x轴交于A、C两点（A在C的左侧），连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线AB上方抛物线上的一动点，过点P作交y轴于点D，交x轴于点E，点F为y轴上一动点，当取最大值时，求此时点P的坐标及的最大值； (3)如图，点Q是抛物线的对称轴与的交点，将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线刚好经过点Q，K为新抛物线上一动点，当，请写出所有符合条件的点K的坐标，并写出求解其中一个点K坐标的过程． 【题型2 多线段和差（含根号）】 考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合，轴对称最短问题，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的平移，难度较大，利用几何知识帮助解答． 6．（西南大学附属中学校2024-2025学年九年级下学期开学）如图1，抛物线与坐标轴分别交于三点，其中点坐标为． (1)求抛物线解析式； (2)点是直线下方抛物线上的一动点，点是轴上一动点，当四边形的面积最大时，求的最小值； (3)在（2）条件下，将抛物线沿轴翻折得到，则点的对应点为，并将沿射线方向平移个单位长度得到，记在抛物线上的对应点为，过作轴于点是直线上一点，连接，则是否存在点使得；若存在，请直接写出点的坐标． 7．（24-25九年级上·重庆合川·期末）如图，抛物线与轴交于点，点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点在直线上方抛物线上运动，过点作，轴于点，求的最大值，以及此时点的坐标； (3)将原抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位得到，点是原抛物线的顶点，问在平移后的抛物线上是否存在点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 8．（巴川中学校2024-2025学年九年级上学期期末）如图，抛物线与轴分别交于点，点（在的左侧），与轴交于点，直线的图象过两点，． (1)求抛物线解析式； (2)点为直线上方抛物线上一点，点为直线上一动点，连接，当面积最大时，求点的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移后过点，在新抛物线上是否存在一点，使，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．（24-25九年级上·重庆渝北·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，两点，与轴交于点，连接，，且，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，点为直线下方抛物线上一动点，过作交于点，过作轴交轴于点、交于点，点为直线上一动点，当周长最大时，求的最小值及此时点的坐标； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位，得到新抛物线，点是新抛物线上一点，点为点关于轴的对称点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 10．（24-25九年级上·重庆九龙坡·期末）已知二次函数的图象与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，． (1)求二次函数的解析式； (2)如图1，P是直线上方抛物线上一动点，过P作轴交于点Q．点E、F分别是x轴、y轴上的动点，连接．当的长度最大时，求点P坐标以及四边形周长的最小值． (3)如图2，抛物线的顶点为D，连接，把抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线．点M是新抛物线对称轴上的一动点，直线与直线相交于点N，是否存在点M，使，若存在，请直接写出点M的坐标：若不存在，请说明理由． 【题型3 周长最值】 考查了二次函数的图象和性质，求函数解析式，二次函数与坐标轴的交点问题，轴对称求最短路径问题，二次函数的平移，解直角三角形的应用，因式分解法解一元二次方程等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键 11．（西南大学附属中学校2024-2025学年九年级上学期10月）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作轴，交于点D．点M是y轴上的一动点，连接．当线段长度取得最大值时，求周长的最小值； (3)将该抛物线进行平移，使得平移后的抛物线经过（2）中周长取得最小值时的点M，且与x轴交于两点（E在F的左侧），连接．点N为平移后的抛物线上的一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点N的坐标． 12．（2024·重庆开州·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B（再点A在B的右侧），与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1所示，在直线上方的抛物线上有一动点P，且轴交于点Q，交于点G，当的周长取得最大值时，求点P的坐标及周长的最大值． (3)将原抛物线y竖直向下平移2个单位、水平向左平移2个单位长度得到新抛物线，新抛物线与y轴交于点N，在新抛物线的对称轴上是否存在点M，使得，若存在，请直接写出点M的坐标． 13．（2023·重庆渝北·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，连接，是直线下方抛物线上的一个动点，过点作轴，交于点，，垂足为． (1)求的面积； (2)当的周长取得最大值时，求点的坐标和周长的最大值； (3)将抛物线沿射线的方向平移个单位长度，得到新抛物线，为新抛物线与原抛物线的交点，为的对称轴上任意一点．写出所有使得是等腰三角形的点的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程． 14．（2024·重庆九龙坡·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一个动点．过点作轴，交于点，过点作轴，交于点，当的周长取得最大值时，求点的坐标和周长的最大值； (3)在（2）中的周长取得最大值时，把抛物线向右平移个单位得到新的抛物线，点是点的对应点，新抛物线交轴于点、为新抛物线对称轴上一点，在新抛物线上，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有满足条件的点的坐标． 15．（杨家坪中学2023-2024学年九年级上学期期中）二次函数经过点，，．    (1)求该二次函数的解析式； (2)设点的横坐标为，过点作轴交直线于点，轴交对称轴于点，以、为边构造矩形，当矩形的周长最大时，求点的坐标； (3)将抛物线向右平移1个单位，向上平移2个单位后得到新抛物线，与直线交于点，点为平移后抛物线对称轴上一点，点为平面内任意一点．在第（2）问条件下，当点、、、构成的四边形为菱形时，直接写出点的坐标． 【题型4 面积最值】 考查了待定系数法，二次函数与三角形面积最值综合问题，二次函数与角度综合问题，掌握待定系数法，能熟练利用二次函数的性质求最值及分类讨论思想解题问题是解题的关键．还需会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会利用两点间的距离公式计算线段的长；注意分类讨论思想的应用． 16．（大足中学2024-2025学年九年级下学期开学）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中，，连接，，．     (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，点M为线段（不含端点O，C）上一点，连接并延长交抛物线于点P，连接，，当面积最大时，求点M的坐标及面积的最大值； (3)如图2，将该抛物线沿射线方向平移，当它过点B时得到新抛物线，点F为新抛物线与x轴的另一个交点，点G为新抛物线的顶点，连接，，过点B作交新抛物线于点H，连接．在新抛物线上确定一点N，使得，直接写出所有符合条件的点N的坐标． 17．（重庆市县区联考2024-2025学年九年级上学期期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，交轴于点和点，交轴于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点是直线上方抛物线上一动点，连接，求面积最大值及此时点的坐标； (3)将原抛物线沿轴正半轴平移2个单位长度得到新抛物线，新抛物线与轴的负半轴交于点，点为平移后的新抛物线上一动点，当，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 18．（第八中学校2023-2024学年九年级下学期二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，其中，． (1)求该抛物线的解析式； (2)是直线上方抛物线上一点，过作直线，交抛物线于点，连接交于点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，平移后的抛物线交轴于、两点（点在点左侧），交轴于点，将向下平移3个单位得到点，将绕点旋转得到，射线与射线分别与平移后的抛物线的对称轴交于点与点，点关于射线的对称点为，连接，若，请直接写出点的坐标． 19．（南川区2024-2025学年九年级上学期期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，交轴于点和点．交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点是直线上方抛物线上一动点．连接，．求面积最大值及此时点的坐标； (3)将原抛物线沿轴正半轴平移2个单位长度得到新抛物线，新抛物线与轴的负半轴交于点．点为平移后的新抛物线上一动点，当．请直接写出所有符合条件的点的坐标． 20．（渝北区六校联盟2024-2025学年九年级上学期第一次教学检测）如图，已知抛物线经过点，与轴交于点，其对称轴为直线，为轴上一点，直线与抛物线交于另一点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)试在线段下方的抛物线上求一点，使得的面积最大，并求出最大面积； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，x轴上一点使得是等腰直角三角形？如果存在，求点的坐标；如果不存在，请说明理． （建议用时： 40 分钟） 1．如图1，已知抛物线与轴交于，两点（在左侧），与轴交于点，连接、，若，． (1)求抛物线的解析式； (2)点为直线上方抛物线上的一个动点，连接、，、为上的两个动点且满足（在左侧），为上一个动点，连接、，当最大时，求的最小值； (3)如图2，将抛物线沿着射线平移得到新抛物线，上找一点，连接，当与互补时，请写出所有符合条件的的坐标，并写出其中一个点的求解过程． 2．如图，抛物线经过A，B两点，与x轴的另外一个交点为C，点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交直线于点D，点E是y轴上点B下方一点，若，点，点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交于点D，在轴上点B下方取一点E，使得，求的最大值及此时点P的坐标； (3)在点P运动过程中，连接，当的中点恰好落在y轴上时，连接，在抛物线 上是否存在点Q，使得，如果存在，请写出所有符合条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 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