重难点04 动态几何+函数图像（6大题型+高分技巧+限时提升练）-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练（重庆专用）

重难点04 动态几何+函数图像 动态几何+函数图像是重庆中考去年的新考题型，一般以解答题的形式考查，重点考查学生的逻辑推理能力，需要学生通过动点的运动轨迹,通过分析、动手计算并求出函数表达式，画出函数图象，通过观察图象，找出函数图象的性质.此类问题通过分析、计算得到函数表达式,再经历列表、描点、连线得到函数图象，根据函数图象分析函数性质进行解题，注重培养学生的应用意识.这类题型虽然看似比较难，但其实并不难，只要我们打好数学基础、多做题训练、总结方法，并加强对创新意识和创新能力的培养注重解题过程中的细节,就可以很好地解决问题。 题型1 三角形相关的动态几何 此类题为三角形综合题，解题的关键是掌握等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，一次函数的应用，图象法解一元二次不等式等知识，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例．还考查了等腰直角三角形的性质，解直角三角形，三角形的面积，函数图象，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解决问题． 1．（巴蜀中学2024-2025学年九年级下学期开学）如图1，在中，．点为线段上一点（点与端点、不重合），，过点作于点，点在射线上，连接．的面积始终为3，线段的长为，线段的长为． (1)请直接写出分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并分别写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过） 【答案】(1)， (2)见解析 (3)或． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，的面积始终为3，线段的长为， ∴，即， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴ （2）函数，的图象如图所示， 函数的性质：随x的增大而减小（答案不唯一）； 函数的性质：随x的增大而减小（答案不唯一）； （3）由图象得，当时x的取值范围是或． 解方程并检验得， 故当时x的取值范围是或． 2．（24-25九年级上·重庆江北·期末）如图，在中，，，于点D，动点E从点B出发，沿折线，到达点C时停止运动，设点E的运动路程为，连接，若的面积与点E的运动路程x的比值为，的面积为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，当时请直接写出函数时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：∵在中，，，于点D， ∴， ∴， ∴，即； 如图，点E在上时，过点D作于H，则， ∵， ∴， ∴； 同理：可得当点P在上时，． 综上所述，． （2）解：列表如下： x … 1 2 … … x … 1 6 … 0 … x … 1 2 … 6 3 … 如图所示函数图象即为所求； 由函数图象可知，当时，随x增大而减小，当时，随x增大而增大． （3）解：联立：解得：或， ∴当时，与交点的横坐标为或， ∴由函数图象可得：当时，函数时x的取值范围为：． 3．（24-25九年级上·重庆大渡口·期末）如图1，在中，，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着运动到点停止，过点作于点的长为，点的运动时间为． (1)直接写出与之间的函数关系式，并写出对应的取值范围； (2)在图2的平面直角坐标系中画出与的函数图象，并写出函数的一条性质； (3)若直线与该函数图象只有2个交点，则的取值范围为_____． 【答案】(1) (2)作图见解析，性质：当时，随的增大而增大（答案不唯一） (3) 【详解】（1）解：在中，，， ∴由勾股定理得，， 当点在上时，则，如图： ∵， ∴， ∴， ∴， 即； 当点在上时，如图， 此时， ∵， ∴， ∴， 即：， 综上所述：； （2）解：关于的函数图象如图： 性质：当时，随的增大而增大（答案不唯一）， （3）解：如图， 由图可知，当时，， ∴， 当时，， 解得：， ∴函数图象与轴交点为， 对于直线变形为：， ∴过定点， 当直线在位置时，为直线与该函数图象有2个交点的临界位置， ∴将代入得，， 解得：， 将点代入得，， 解得：， ∴的取值范围为：， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·重庆巴南·期末）如图，在中，，，，点D为上的三等分点．动点P从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点Q从点D出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度运动，当其中任意一个动点到达终点时，两点都停止运动．设动点P运动的时间为x秒，的长度为，的面积为． (1)请直接写出与分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数与的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】(1)，； (2)图见解析，性质见解析； (3)． 【详解】（1）解：由题意得， ． （2）函数，的图象如答图． 根据函数图象，函数的性质为： 抛物线与x轴的交点为，顶点为．或当时，随着x的增大而增大．或当时，随着x的增大而减小．或当时，函数有最大值9． 以上4条性质写出一条即可． （3）由函数图象得，当时，． 5．（四川外国语大学附属外国语学校2024-2025学年九年级上学期期末）如图，中，，，，点D为的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿B→A方向匀速运动，至点A处停止；同时，点Q以相同的速度从点C出发，沿着折线方向匀速运动，至点A处停止．设点P运动时间为x秒（），的面积与的面积之比为，的面积为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质： (3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】(1)， (2)作图见解析，函数的一条性质：当，随着的增大而增大（答案不唯一） (3) 【详解】（1）解：由题意得， ∵与共过点作边的高， ∴， ∴， ∵，，， ∴由勾股定理得：， ∵点D为的中点， ∴， ∴， ∴， 当点在线段上时，即，过点作于点， 由题意得，， ∴， ∴， ∴, 当点在线段上时，即，过点作于点， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， 综上：； （2）解：画出函数，的图象如图， 函数的一条性质：当，随着的增大而增大（答案不唯一）； （3）解：记函数与函数的交点为 由图象可得：， ∴当时x的取值范围：． 题型2 平行四边形相关的动态几何 此类题题考查了平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，一次函数解析式，一次函数图象与性质．熟练掌握平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，一次函数解析式，一次函数图象与性质，数形结合是解题的关键． 6．（南开中学2024-2025学年九年级下学期开学）如图1，在平行四边形中，，，．点为边的中点，动点从点出发，沿折线方向运动，速度为每秒2个单位长度，到达点时停止运动，连接，．设点的运动时间为秒，记为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)一次函数与的图象有且仅有2个交点，请直接写出常数的取值范围． 【答案】(1) (2)画图见解析，当时，y随x的增大而减小（答案不唯一） (3) 【详解】（1）解：在平行四边形中， ，． ∴，， ∵点为边的中点， ∴， 当时， 过E作于F， ∵， ∴， ∴； 当时， 过C作于G， ∴， ∴ 综上， （2）解：画图如下： 由图象知：当时，y随x的增大而减小； （3）解：当经过时，，解得， 当经过时，，解得， 当经过时，，解得， 画图分析 当时，一次函数与的图象有且仅有2个交点． 7．（巴蜀中学校2023-2024学年九年级下学期期中）如图，平行四边形中，，，，动点P以每秒1个单位的速度从点B出发沿折线B→A→D运动，在运动过程中，过点P作于点H，设点P的运动时间为x秒，点P到直线BC的距离与点P到点A的距离之和记为． (1)请直接写出关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出的图象与的图象有两个公共点时m的取值范围． 【答案】(1) (2)画图见解析，当时，有最小值为2 (3) 【详解】（1）解：平行四边形中，，，， ∴，，， 当时，，， ∴， ∴； 当时， 过点A作于G， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：画图，如下： 由图象可知，当时，有最小值为2； （3）解：把代入，得， 解得， 把代入，得， 解得， 把代入，得， 如图所示， 观察函数图形可得当时，的图象与的图象有两个公共点. 8．（南开中学校 2024-2025学年九年级上学期10月）如图1，在平行四边形中，，过点作于点．点从点出发，以每秒个单位的速度沿折线运动，到达点时停止．设点的运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (2)在如图2所示的平面直角坐标系中画出y的函数图象，并写出函数y的一条性质：_____ (3)若直线与该函数图象恰有一个交点，则常数的取值范围是_____． 【答案】(1) (2)图象见解析，性质：当时，函数有最大值（答案不唯一，合理即可） (3)或 【详解】（1）解：∵在平行四边形中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵点从点出发，以每秒个单位的速度沿折线运动，到达点时停止， ∴当点到达点时秒，当点到达点时秒， ∴当时，点在线段上，此时，； 当时，点在线段上， 此时，； ∴； （2）解：函数图象如图： 由函数图象可得，当时，函数有最大值（答案不唯一，合理即可）； （3）解：平移直线，与相交，函数图象如图： 把代入可得； 把代入可得，解得； 把代入可得，解得； 由函数图象可得，直线与该函数图象恰有一个交点，则常数的取值范围是或． 9．（2024年重庆市巴川中学二模）如图，平行四边形中，，，，动点从点出发沿折线运动，到达点停止运动．在运动过程中，过点作于点，设点的运动路程为，记为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出的图象与的图象有1个公共点时的取值范围． 【答案】(1) (2)作图见解析，当时，有最小值为3； (3) 【详解】（1）解：平行四边形中，，，， 如图，过点A作交的延长线于点H， ∵，， ∴， ∵，， 当时，，， ∴； 当时，如图，， ∵，， ∴ ∴， ∴； （2）解：画图，如下： 由图象可知，当时，有最小值为3； （3）解：把代入，得， 把代入，得， 如图所示， 观察函数图形可得当时，的图象与的图象有1个公共点. 10．（2023年重庆南开中学中考数学模拟预测题 （4月））如图，在平行四边形中，，，，点P从点B出发，沿线段向点A运动，到达点A时停止．过点P作的垂线，交折线于点Q，设，． (1)请直接写出y与x的函数表达式以及对应的x的取值范围； (2)在直角坐标系中画出y的图象，并写出函数y的一条性质； (3)当时，请直接写出自变量x的取值范围． 【答案】(1) (2)图象见详解，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大 (3) 【详解】（1）解：过C作于M，过A作于N， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， 当时，， 当时，， 故y与x的函数表达式为； （2）解：图象如图所示， 函数的性质(增减性)；当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大． （3）解：当时，，， ∵， ∴， 解得，即此时x的取值范围为； 当时，，， ∵， ∴，解得， 即此时x的取值范围为； 综上述，自变量x的取值范围为． 题型3 矩形相关的动态几何 此类题考查了一次函数的应用，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，利用图象解不等式，作函数图象等，熟练掌握知识点是解题的关键．本题是四边形综合题目，矩形的性质、反比例函数的图象与性质以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和反比例函数的图象与性质是解题的关键，属于中考常考题型． 11．（第八中学校2024-2025学年九年级下学期开学）如图1，在矩形中，，，对角线交于点O．动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿着运动，同时动点Q从点B出发，以相同的速度沿运动，点E是线段上一动点，满足，设点P、Q运动的时间都为x（），点P到的距离与点P到的距离的和为，点E到的距离为． (1)请直接写出，关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过） 【答案】(1), (2)见解析 (3)或 【详解】（1）解：在矩形中，，， ∴， ∴， 当时，如图，作，，垂足分别为点F和点G， 则， ∴，， 即，， ∴，， ∴当时，， 当时，如图，作，，垂足分别为点M和点N， 则， ∴，， 即，， ∴，， ∴当时，， ∴； ∵．点E到的距离为． ∴， ∴； （2）解：函数图象如图所示： 在时，函数随着x的增大而增大；时，函数随着x的增大而减小 （3）解：根据图象估计当时，即函数图象在函数图象下方， 此时x的取值范围是或． 12．（育才中学校2024-2025学年九年级上学期期中）如图，在矩形中，，，点为边上的中点．动点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向点运动，到点时停止．设运动的时间为秒，记为． (1)请直接写出关于的函数表达式以及对应的的取值范围（）； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)函数与的图象有且仅有2个交点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：当点在上运动时，即时，，则，此时， 当点在上运动时，即时，，则， ∵点为边上的中点， ∴， ∴； 综上所述：； （2）解：画出函数图象如图所示： ， 由图象可得：性质：当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大； （3）解：函数恒过， 如图： ， ∵函数与的图象有且仅有2个交点， ∴直线一定在和之间， 将代入函数得：， ∴， 将代入函数得：， ∴， ∴． 13．（第一中学校2024-2025学年九年级上学期半期）如图，在矩形中，，，点以每秒2个单位长度的速度从点出发，沿对角线方向运动，当点到达点时停止运动，过点作于点．设运动时间为秒，点、的距离为，的周长与的周长之比为．    (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】(1) (2)函数图象见解析，随x增大而增大，随x增大而减小 (3) 【详解】（1）解：∵矩形， ∴，，， ∴ ∴的周长=的周长， 又∵，即 ∴∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴； （2）解：函数图象如图所示： 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． （3）解：由函数图象可知，（右端点的值可为1.6，1.7，1.8，1.9）． 14．（西南大学附属中学校2024-2025学年九年级上学期开学）如图1．矩形中，交于点，动点沿按每秒2个单位长度运动，动点沿按每秒个单位长度运动，两点同时运动，当运动至点时，点也停止运动，在整个运动过程中，记，记点到点的距离为，设运动时间为秒． (1)直接写出和关于的函数关系，并注明自变量的取值范围； (2)如图2，在给定的直角坐标系中画出的函数图像，并写出该函数的一条性质； (3)根据所画出的函数图像，直接写出当．时，所对应的取值范围． 【答案】(1)， (2)作图见详解，当 时， 随的增大而增大； (3)当时， 【详解】（1）解：如图所示，四边形是矩形，， ∴，， ∴点从的运动时间为（秒），点从的运动时间为（秒），运动时间为秒， ∴当时，即点在上时，如图所示， ∴，； 当时，即点在上时，如图所示，过点作于点，且， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，； 综上所述， ，； （2）解：由（1）可得，作图如下， ∴当时，随的增大而增大； （3）解：根据题意，如图所示，函数、的图象， ∴， 解得，， ∴当时，． 15．（育才中学校九年级下学期中考四诊）如图，在矩形中，．动点P从点A出发，沿折线运动（运动路线不包含点A、点C），当它到点C时停止，设点P运动的路程为x，连接、．设的面积为y． (1)求出y与x的函数关系式，并注明x的取值范围，在x的取值范围内画出该函数图象； (2)根据函数图象，写出该函数的一条性质； (3)若直线与该函数图象有两个交点，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)由图象可知，当时，y随着x的增大而增大，当时，y随着x的增大而减小； (3) 【详解】（1）解：由题意知，当时，， ∴； 当时，， ∴； ∴； 作图如图2； （2）解：由图象可知，当时，y随着x的增大而增大，当时，y随着x的增大而减小； （3）当时，， 将代入，得，解得； 将代入，得，解得； ∴时，直线与该函数图象有两个交点 题型4 菱形相关的动态几何 仔细阅读题目条件,准确判断该题考查哪一类基本尺规作图;(明确该类基本尺规作图的作图过程;按照基本尺规作图的方法步骤,规范完成作图,标上字母和符号,保留作图痕迹，写出结论。根据作出的图形，完成简单的几何计算与证明，若需判断线段、角度关系或图形形状等需要先进行判断，再进行证明. 16．（南开中学校2024-2025学年九年级上学期期中）如图，在菱形中，，，动点从点出发，沿着的路线运动，到达点停止，过点作交菱形的另一边于点．设动点行驶的路程为，点、的距离为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)函数与函数只有一个交点，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)作图见解析，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； (3)或． 【详解】（1）解：如图，点在上时， ∵， ∴， ∴即， ∴， ∵ 如图，点在上时， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 当点在上时，， ∵， ∴， ∴即， ∴， 综上可知，关于的函数表达式为 （2）解：由（1）所得关系式可知， 0 5 8 10 0 8 0 函数图象如下： 性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；（答案不唯一） （3）解：如图，由图象可知，函数的图象在和之间时，与函数只有一个交点， 将代入，得：， 解得：， 将代入，得：， 将代入，得：， 的取值范围为或． 17．（杨家坪中学2023-2024学年九年级上学期数学第一次定时作业）如图1，菱形的边长为5，交于点O，且，一动点M从B点出发，沿以每秒1个单位的速度运动到点A时停止，设运动时间为t秒，． (1)直接写出y与t的函数关系式，并注明t的取值范围，并在图2的平面直角坐标系中直接画出y的函数图象； (2)根据所画的y与t的函数图象，写出该函数的一条性质：______； (3)已知函数的图象如图2所示，结合你所画的函数图象，直接估计当时t的取值范围：______．（结果保留一位小数，误差不超过） 【答案】(1)，图象见解析 (2)当时，y随t的增大而增大；当时，y随t的增大而减小 (3) 【详解】（1）解：∵菱形， ∴，则 根据题意，当点M从点B运动到点O时，，， 当点M从点O运动到点A时，，， ∴ 所画的函数y的图像如下图： （2）观察上图可知，当时，y随t的增大而增大；当时，y随t的增大而减小． （3）观察图2图象可知，时，t的取值范围在两函数交点的横坐标范围之间，方程组消去y得到的解为；方程组消去y得到的解为， 故答案为：． 18．（巴蜀中学校2024-2025学年九年级上学期数学第三次月考）小王在学习中遇到了这样一个问题：如图1，在菱形中，对角线，，点P是线段上的动点，E是的中点，连接，当是等腰三角形时，求线段的长度．小王分析发现，此问题可以用函数思想解决，于是尝试结合学习函数的经验探究此问题．请将下面的探究过程补充完整：根据点P任上的不同位置，画出相应的图形，测量线段的长度，得到下表的几组对应值． 0 1 2 3 4 5 6 7 8 (1)m的值是_________，的值是_________； (2)将线段的长度作为自变量的长度都是关于x的函数，分别记为，并在平面直角坐标系中画出了的函数图象，如图2所示，请在同一平面直角坐标系中描点，并画出的函数图象．求出，的表达式． (3)根据图象，在点P从A移动到C的过程中，当是等腰三角形时，的长为________．（结果精确到，误差不超过） 【答案】(1)； (2)图见详解；； (3)或 【详解】（1）解：设与交点为， ∵在菱形中，对角线，， ∴， ∴． 当时，点与对角线和的交点重合， ∴此时为直角三角形． ∵为的中点， ∴， 即； 观察表格可得，当时，； 当和时，； 当和时，； 当和时，； 综上可得，当和时，的值相等，即； 故答案为，； （2）解：画出的，的函数图象如解图所示． 过点作的垂线，垂足为，如图： ∵， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， 即，， ∵， ∴， ∴ （3）解：由题意，可知当是等腰三角形时，需分以下两种情况进行讨论： ①当时，则点和点重合，或点和点重合， ∴， 观察图象，可知或（舍去）． ②当时，由（2）可得， 即 解得 ∴的长约为（或观察图象可得）， 综上，线段的长度约为或 故答案为：或． 19．（重庆实验外国语学校2024-2025学年九年级上学期开学）如图1，在菱形中，对角线与交于点，点沿着的方向每秒1个单位运动，点沿着的方向每秒1个单位运动，连接，点，的距离为，两动点同时出发，设运动时间为秒，当两动点到达终点时即时，． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出有3个解时的取值范围． 【答案】(1)； (2)图见解析，时，随增大而增大，时，随增大而减小，时，随增大而增大； (3). 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵时，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴，即， ∴， 当时， 由题意得，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时， ， ∴； 当时， ， ∴， 综上可知，； （2）解：当时，；当时，；当时，， 如图所示，即为所求： 性质：时，随增大而增大，时，随增大而减小，时，随增大而增大； （3）解：由可知直线与x轴平行， 如图， ， 当时，， 解得， 当时，， 解得， ∴. 20．（育才中学校2023-2024学年九年级下学期开学）如图1，在菱形中，对角线，交于点O，，，动点P从点A出发，沿着折线运动，速度为每秒1个单位长度，到达O点停止运动，设点P的运动时间为t秒，的面积为y． (1)直接写出y关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； (2)在图2的直角坐标系中画出y与t的函数图象，并写出它的一条性质； (3)若一次函数的图像与y的函数图像有两个交点，直接写出b的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析，当 时，随的增大而增大 (3) 【详解】（1）∵四边形是菱形， ， ， ①当点在线段上时，过作于， ， ， ； ②当点在线段上时， 如图， ， ， 综上所述，； （2）如图所示； 当 时，随的增大而增大； （3）∵与的图象与的函数图象有两个交点， ∴当经过时， 与的图象与的函数图象有两个交点， 把代入得， ， 当与的图象经过时，即 ， ， ∴一次函数 的图象与的函数图象有两个交点，的取值范围为 题型5 正方形相关的动态几何 此类题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，三角形的面积，几何动点运动问题等知识，解题的关键是理解题意，确定点P的位置和x的值是本题的关键． 21．（24-25九年级上·重庆南岸·期末）如图1，正方形的边长为4，动点P从点C出发，沿路线向点A运动，设点P的运动路程是．点Q是射线上一动点，且，当点P到达终点A时，点Q停止运动，连接，．记的面积为，的面积为．    (1)请分别写出，关于x的函数解析式，并注明x的取值范围； (2)在图2中画出，关于x的函数图像，并分别写出，的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时，x的取值范围． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：（1）当时，； 当时，； ∴ ， ∴． （2）和的图象如图所示：   的性质有：当时，有最大值8； 的性质有：当时，随x的增大而减小． （3）由函数图象知，当时，x的取值范围为：． 22．（24-25九年级上·重庆渝中·期末）如图，为正方形中边上一点，，．动点P，Q同时从点B出发，以相同的速度分别沿，向点A，点C移动，连接，，．设点P运动的路程为x，的面积为，的面积为． (1)分别写出，关于x的函数解析式及x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出，的函数图象，并分别写出，的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时，x的取值范围． 【答案】(1)， (2)图象见解析，性质：当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小 (3) 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴， ； （2）解：画 列表： x ⋯ 0 2 4 6 8 ⋯ y ⋯ 0 6 8 6 0 ⋯ 描点，连线得，如图： 画 列表： x ⋯ 0 8 ⋯ y ⋯ 12 0 ⋯ 描点，连线得，如图； 性质：当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小； （3）解：由函数图象知，当时，x的取值范围为． 23．（第一中学校2024-2025学年九年级上学期12月）如图，在正方形中，．点从点出发，以速度的速度沿折线运动，同时点从点出发，以速度的速度沿线段运动，连接、．当到达点时，、两点同时停止运动．设点运动的时间为，，的面积为． (1)请直接写出与的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数的函数图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，若函数的图象与直线有两个交点，则的取值范围是______． 【答案】(1) (2)图见解析，当时，随x的增大而增大（答案不唯一） (3) 【详解】（1）解：由题意知，，， 当时，点P在上， ， 当时，点P在上，， ， 综上可得：； （2）解：根据（1）中解析式列表得： x 0 1 2 3 4 5 6 y 0 3 6 9 8 5 0 描点连线，可得的函数图象如下图所示： 由图可知，当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小； （3）解：如图， 当直线经过点时，， 解得； 联立与，得， 即， 当直线与的图象相切时，只有一个根， ， 解得， 结合图形可知，当时，函数的图象与直线有两个交点． 故答案为：． 24．（复旦中学2024-2025学年九年级上学期期中）如图，在正方形中，，动点从点开始沿对角线向点以的速度移动（运动到点C停止运动），过P点作，垂足为点E，过P点作，垂足为点F，M为中点，连接，设P点移动时间为秒，的面积为，四边形的面积为． (1)请直接分别写出，关于x的函数解析式，并说明的取值范围． (2)请在图中画出，关于的函数图像，并写出函数图像的一条性质． (3)若，请结合函数图像直接写出的取值范围（结果精确到0.1）． 【答案】(1)，； (2)见详解 (3) 【详解】（1）解：设的边上的高长为， 正方形中，为对角线，， ∴， ∵，为中点， ∴，， ∴， ，， ， 四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵秒 ∴取值范围为：； （2）解：根据题意，作图如下； 函数图像是一条过原点的抛物线； （3）解：当时，， 解得：， 结合图像得到：当时， 的取值范围为：； 25．（第八中学2022-2023学年九年级下学期三月）如图，在正方形中，，动点F，E分别从点A，B出发，F点沿着运动，到达C点停止运动，点E沿着运动，到达D点停止运动，连接，已知F点的速度且，令，，运动时间为t，请回答下列问题： (1)请直接写出，与t之间的函数关系式以及对应的t的取值范围； (2)请写出函数的一条性质； (3)在直角坐标系中画出，的图象，并根据图形直接写出当时，t的取值范围． 【答案】(1)， (2)当时，的值随t的增大而减小；时，的值随t的增大而增大； (3)图象见解析；或 【详解】（1）解：当点F在边上时，此时，如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ； 当点F在边上时，此时，如图，连接， 同理， ∴， ∴， ∴； ； 终上所述，，； （2）解：根据题意得：当时，的值随t的增大而减小；时，的值随t的增大而增大； （3）解：在平面直角坐标系内画出，的函数图象，如下： 联立得：，解得：， ∴与的交点坐标为， 观察图象得：当或时， 当时，t的取值范围或． 题型6 其他四边形相关的动态几何 此类题属于四边形综合题，主要考查了函数的图象，梯形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．通过观察图象，找出函数图象的性质.此类问题通过分析、计算得到函数表达式,再经历列表、描点、连线得到函数图象，根据函数图象分析函数性质进行解题。 26．（第一中学校2024－2025学年九年级下学期入学）如图，在四边形中，，，，，，．点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度运动，到点停止运动．过作交于点．过作交于点．设运动时间为秒，四边形的面积为，的周长与的周长之比为．    (1)请直接写出，关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当时的取值范围（近似值保留一位小数，误差不超过0.2） 【答案】(1)， (2)见解析，函数随x的增大而增大；函数随x的增大而减小 (3) 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， 在中，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知，， 过点，过点， 函数图象如图所示： 根据函数图象可得：函数随x的增大而增大；函数随x的增大而减小； （3）解：令，即， 解得：（负值舍去）， 则，的图象交点的横坐标为， 根据函数图象可得，当时，的取值范围为． 27．（四川外国语大学附属外国语学校2024-2025学年九年级上学期11月）如图，在四边形中，，，，，连接．点从点出发，以每秒一个单位的速度沿折线运动，到达点停止．设点的运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出的函数图象，并写出关于函数的一条性质_____； (3)若该函数图象与直线恰好有一个交点，则常数的取值范围是____． 【答案】(1) (2)图象见解析，函数有最大值为12 (3)或 【详解】（1）解：过点D作于点E，如图， ∵, ∴ ∴ ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴, ∴； 当点P在上运动时，即，此时，， ∴的面积； 当点P在上运动时，即，此时，，过点A作于点F， ∴， ∴， ∴； 综上，； （2）解：函数图形如图所示； 性质：函数有最大值为12； （3）解：把代入，得， 解得，； 把代入，得， 解得，， 所以，函数图象与直线恰好有一个交点，则常数的取值范围是或， 故答案为：或． 28．（南开中学校2024-2025学年九年级上学期入学）如图1，在四边形中，，，，，．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿折线方向匀速运动，到达点C时停止运动，点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿方向匀速运动，到达点B时停止运动．两点同时出发，设点P运动时间为x秒，的面积为y．    (1)请直接写出y与x之间的函数关系式及对应的x的取值范围； (2)在如图2所示的平面点角坐标系中画出y的图象，并写出函数y的一条性质； (3)结合你所画的函数图象，当时，请直接写出x的取值范围_______． 【答案】(1) (2)图见解析，当时，随着的增大而增大（答案不唯一） (3)或 【详解】（1）解：过点作，则由题意得：四边形为矩形，    ∴， ∴， ∴， ∴点在上的运动时间为，在上的运动时间为， ∵点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发， ∴点在上的运动时间为， ∴当时，，； 当时，此时点与点重合，过点作于F，，    ∵， ∴， ∴， 综上：； （2）解：画出的图象如图所示：    由图象可知：当时，随着的增大而增大（答案不唯一）； （3）解：当时， ①时，解得：； ②时，解得：， 由图象可知，当时，或； 故答案为：或． 29．（育才中学2024-2025年九年级上学期第一次月考）如图1，在四边形中， ，，，，，动点从点山发，沿着的方向以个单位每秒匀速运动，且到达点时停止运动．设的运动时间为秒，连接、，设的面积为． (1)请直接写出与的函数关系式，并注明的取值范围（不取端点）； (2)请在图2平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质； (3)已知函数的图象如图2所示，结合函数图像，直接写出时的取值范围．（结果精确到，误差） 【答案】(1) (2)作图见解析，答案见解析 (3) 【详解】（1）解：过点作于点，过点作于点，交于点， ∴，， ∵动点从点山发，沿着的方向以个单位每秒匀速运动，且到达点时停止运动．设的运动时间为秒， ∴， ∵，，，，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴在中，， 当点在线段上时，此时， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴的面积：， 当点在线段上时，此时，如图， ∴， ∴， ∴的面积：， 综上所述，与的函数关系式为：； （2）如图， 该函数的一条性质：当时，随的增大而减小（答案不唯一）； （3）联立， 整理得：， 解得：或（舍去）， 联立， 整理得：， 解得：或（舍去）， ∴时的取值范围是． 30．（2024年重庆市两江新区九年级中考适应性考试）如图，在四边形中，，，连接，，．点是上的点，，连接，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿着折线运动，到达点停止运动，连接、．设点的运动时间为秒，记的面积为，请解答下列问题： (1)直接写出关于的函数关系式，并写出的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)函数图象如图所示，当时，请直接写出的取值范围．（结果保留一位小数，误差不超过） 【答案】(1) (2) 当时，函数有最大值，函数没有最小值 (3) 【详解】（1）在中， ，则， 则， 在中，，， 则， 当点在上时， 则； 当点在上时， 即； （2）当时，，当时，，当，， 根据上述个点画出函数图像如下： 由函数图像可得，函数在时，取得最大值为，函数没有最小值 （3）从图像看，两个函数的交点横坐标大概为：和， 故的取值范围为：． （建议用时： 45 分钟） 1．如图，已知在矩形中，，，动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度运动，同时，动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度运动，当点到达点时，、两点都停止运动．设动点运动的时间为秒，规定，．    (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图像，直接写出时的取值范围． 【答案】(1)，； (2)画图见解析，当时随的增大而增大（答案为不唯一）； (3)当时，． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， 由题意得：，， 当时，，当时，， 当时，， ∴，； （2）解：列表： 描点： 连线： 当时随的增大而增大（答案为不唯一）； （3）解：根据图象可知：当时，． 2．如图1，在平行四边形中，，，，点为边的中点，点沿着的方向每秒1个单位运动，到达点停止运动，同时点沿着的方向每秒个单位运动，一点停止时另一点也停止运动，连接、、，设的运动时间为秒，记的面积为，记的面积为． (1)请直接写出、关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在图2给定的平面直角坐标系中，画出函数、的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合、的函数图象，请直接写出时的取值范围． 【答案】(1)， (2)图象见解析，性质：当时，取最大值，（答案不唯一，合理即可） (3) 【详解】（1）解：过作于点， ∵平行四边形中，，， ∴，，，，， ∴，即， ∴，， ∵点为边的中点， ∴， ∴点与点重合，即，， ∴， ∴， ∵点沿着的方向每秒个单位运动，运动时间为秒， ∴，， ∵，的面积为， ∴， 整理得， ∵点沿着的方向每秒1个单位运动，设的运动时间为秒， ∴当点在线段上时，，此时，； 当点在线段上时，，此时， 如图，延长、交于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 整理得， 综上所述，； （2）解：函数、的图象如图所示： 由图象可得，当时，取最大值，（答案不唯一，合理即可）； （3）解：由函数图象可得，当时，的取值范围为． 3．如图1，在中，为中点，动点以每秒1个单位长度的速度沿折线方向运动，当点运动到点时停止运动．设运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给出的平画直角坐标系中画出的图象，并写出的一条性质； (3)如图2，的图象如图所示，结合函数图象，直接写出时的取值．（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【详解】（1）过点D作，则四边形为矩形， ∵为中点， ， 当时， 当时， （2）图象如图所示，性质如下： 增减性：当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小， 最值：该函数在自变量的取值范围内，有最大值，无最小值；当时，函数取得最大值； （3）由图可知： ． 15 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点04 动态几何+函数图像 动态几何+函数图像是重庆中考去年的新考题型，一般以解答题的形式考查，重点考查学生的逻辑推理能力，需要学生通过动点的运动轨迹,通过分析、动手计算并求出函数表达式，画出函数图象，通过观察图象，找出函数图象的性质.此类问题通过分析、计算得到函数表达式,再经历列表、描点、连线得到函数图象，根据函数图象分析函数性质进行解题，注重培养学生的应用意识.这类题型虽然看似比较难，但其实并不难，只要我们打好数学基础、多做题训练、总结方法，并加强对创新意识和创新能力的培养注重解题过程中的细节,就可以很好地解决问题。 题型1 三角形相关的动态几何 此类题为三角形综合题，解题的关键是掌握等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，一次函数的应用，图象法解一元二次不等式等知识，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例．还考查了等腰直角三角形的性质，解直角三角形，三角形的面积，函数图象，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解决问题． 1．（巴蜀中学2024-2025学年九年级下学期开学）如图1，在中，．点为线段上一点（点与端点、不重合），，过点作于点，点在射线上，连接．的面积始终为3，线段的长为，线段的长为． (1)请直接写出分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并分别写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过） 2．（24-25九年级上·重庆江北·期末）如图，在中，，，于点D，动点E从点B出发，沿折线，到达点C时停止运动，设点E的运动路程为，连接，若的面积与点E的运动路程x的比值为，的面积为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，当时请直接写出函数时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 3．（24-25九年级上·重庆大渡口·期末）如图1，在中，，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着运动到点停止，过点作于点的长为，点的运动时间为． (1)直接写出与之间的函数关系式，并写出对应的取值范围； (2)在图2的平面直角坐标系中画出与的函数图象，并写出函数的一条性质； (3)若直线与该函数图象只有2个交点，则的取值范围为_____． 4．（24-25九年级上·重庆巴南·期末）如图，在中，，，，点D为上的三等分点．动点P从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点Q从点D出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度运动，当其中任意一个动点到达终点时，两点都停止运动．设动点P运动的时间为x秒，的长度为，的面积为． (1)请直接写出与分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数与的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 5．（四川外国语大学附属外国语学校2024-2025学年九年级上学期期末）如图，中，，，，点D为的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿B→A方向匀速运动，至点A处停止；同时，点Q以相同的速度从点C出发，沿着折线方向匀速运动，至点A处停止．设点P运动时间为x秒（），的面积与的面积之比为，的面积为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质： (3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 题型2 平行四边形相关的动态几何 此类题题考查了平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，一次函数解析式，一次函数图象与性质．熟练掌握平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，一次函数解析式，一次函数图象与性质，数形结合是解题的关键． 6．（南开中学2024-2025学年九年级下学期开学）如图1，在平行四边形中，，，．点为边的中点，动点从点出发，沿折线方向运动，速度为每秒2个单位长度，到达点时停止运动，连接，．设点的运动时间为秒，记为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)一次函数与的图象有且仅有2个交点，请直接写出常数的取值范围． 7．（巴蜀中学校2023-2024学年九年级下学期期中）如图，平行四边形中，，，，动点P以每秒1个单位的速度从点B出发沿折线B→A→D运动，在运动过程中，过点P作于点H，设点P的运动时间为x秒，点P到直线BC的距离与点P到点A的距离之和记为． (1)请直接写出关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出的图象与的图象有两个公共点时m的取值范围． 8．（南开中学校 2024-2025学年九年级上学期10月）如图1，在平行四边形中，，过点作于点．点从点出发，以每秒个单位的速度沿折线运动，到达点时停止．设点的运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (2)在如图2所示的平面直角坐标系中画出y的函数图象，并写出函数y的一条性质：_____ (3)若直线与该函数图象恰有一个交点，则常数的取值范围是_____． 9．（2024年重庆市巴川中学二模）如图，平行四边形中，，，，动点从点出发沿折线运动，到达点停止运动．在运动过程中，过点作于点，设点的运动路程为，记为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出的图象与的图象有1个公共点时的取值范围． 10．（2023年重庆南开中学中考数学模拟预测题 （4月））如图，在平行四边形中，，，，点P从点B出发，沿线段向点A运动，到达点A时停止．过点P作的垂线，交折线于点Q，设，． (1)请直接写出y与x的函数表达式以及对应的x的取值范围； (2)在直角坐标系中画出y的图象，并写出函数y的一条性质； (3)当时，请直接写出自变量x的取值范围． 题型3 矩形相关的动态几何 此类题考查了一次函数的应用，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，利用图象解不等式，作函数图象等，熟练掌握知识点是解题的关键．本题是四边形综合题目，矩形的性质、反比例函数的图象与性质以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和反比例函数的图象与性质是解题的关键，属于中考常考题型． 11．（第八中学校2024-2025学年九年级下学期开学）如图1，在矩形中，，，对角线交于点O．动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿着运动，同时动点Q从点B出发，以相同的速度沿运动，点E是线段上一动点，满足，设点P、Q运动的时间都为x（），点P到的距离与点P到的距离的和为，点E到的距离为． (1)请直接写出，关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过） 12．（育才中学校2024-2025学年九年级上学期期中）如图，在矩形中，，，点为边上的中点．动点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向点运动，到点时停止．设运动的时间为秒，记为． (1)请直接写出关于的函数表达式以及对应的的取值范围（）； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)函数与的图象有且仅有2个交点，请直接写出的取值范围． 13．（第一中学校2024-2025学年九年级上学期半期）如图，在矩形中，，，点以每秒2个单位长度的速度从点出发，沿对角线方向运动，当点到达点时停止运动，过点作于点．设运动时间为秒，点、的距离为，的周长与的周长之比为．    (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 14．（西南大学附属中学校2024-2025学年九年级上学期开学）如图1．矩形中，交于点，动点沿按每秒2个单位长度运动，动点沿按每秒个单位长度运动，两点同时运动，当运动至点时，点也停止运动，在整个运动过程中，记，记点到点的距离为，设运动时间为秒． (1)直接写出和关于的函数关系，并注明自变量的取值范围； (2)如图2，在给定的直角坐标系中画出的函数图像，并写出该函数的一条性质； (3)根据所画出的函数图像，直接写出当．时，所对应的取值范围． 15．（育才中学校九年级下学期中考四诊）如图，在矩形中，．动点P从点A出发，沿折线运动（运动路线不包含点A、点C），当它到点C时停止，设点P运动的路程为x，连接、．设的面积为y． (1)求出y与x的函数关系式，并注明x的取值范围，在x的取值范围内画出该函数图象； (2)根据函数图象，写出该函数的一条性质； (3)若直线与该函数图象有两个交点，直接写出m的取值范围． 题型4 菱形相关的动态几何 仔细阅读题目条件,准确判断该题考查哪一类基本尺规作图;(明确该类基本尺规作图的作图过程;按照基本尺规作图的方法步骤,规范完成作图,标上字母和符号,保留作图痕迹，写出结论。根据作出的图形，完成简单的几何计算与证明，若需判断线段、角度关系或图形形状等需要先进行判断，再进行证明. 16．（南开中学校2024-2025学年九年级上学期期中）如图，在菱形中，，，动点从点出发，沿着的路线运动，到达点停止，过点作交菱形的另一边于点．设动点行驶的路程为，点、的距离为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)函数与函数只有一个交点，求的取值范围． 17．（杨家坪中学2023-2024学年九年级上学期数学第一次定时作业）如图1，菱形的边长为5，交于点O，且，一动点M从B点出发，沿以每秒1个单位的速度运动到点A时停止，设运动时间为t秒，． (1)直接写出y与t的函数关系式，并注明t的取值范围，并在图2的平面直角坐标系中直接画出y的函数图象； (2)根据所画的y与t的函数图象，写出该函数的一条性质：______； (3)已知函数的图象如图2所示，结合你所画的函数图象，直接估计当时t的取值范围：______．（结果保留一位小数，误差不超过） 18．（巴蜀中学校2024-2025学年九年级上学期数学第三次月考）小王在学习中遇到了这样一个问题：如图1，在菱形中，对角线，，点P是线段上的动点，E是的中点，连接，当是等腰三角形时，求线段的长度．小王分析发现，此问题可以用函数思想解决，于是尝试结合学习函数的经验探究此问题．请将下面的探究过程补充完整：根据点P任上的不同位置，画出相应的图形，测量线段的长度，得到下表的几组对应值． 0 1 2 3 4 5 6 7 8 (1)m的值是_________，的值是_________； (2)将线段的长度作为自变量的长度都是关于x的函数，分别记为，并在平面直角坐标系中画出了的函数图象，如图2所示，请在同一平面直角坐标系中描点，并画出的函数图象．求出，的表达式． (3)根据图象，在点P从A移动到C的过程中，当是等腰三角形时，的长为________．（结果精确到，误差不超过） 19．（重庆实验外国语学校2024-2025学年九年级上学期开学）如图1，在菱形中，对角线与交于点，点沿着的方向每秒1个单位运动，点沿着的方向每秒1个单位运动，连接，点，的距离为，两动点同时出发，设运动时间为秒，当两动点到达终点时即时，． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出有3个解时的取值范围． 20．（育才中学校2023-2024学年九年级下学期开学）如图1，在菱形中，对角线，交于点O，，，动点P从点A出发，沿着折线运动，速度为每秒1个单位长度，到达O点停止运动，设点P的运动时间为t秒，的面积为y． (1)直接写出y关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； (2)在图2的直角坐标系中画出y与t的函数图象，并写出它的一条性质； (3)若一次函数的图像与y的函数图像有两个交点，直接写出b的取值范围． 题型5 正方形相关的动态几何 此类题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，三角形的面积，几何动点运动问题等知识，解题的关键是理解题意，确定点P的位置和x的值是本题的关键． 21．（24-25九年级上·重庆南岸·期末）如图1，正方形的边长为4，动点P从点C出发，沿路线向点A运动，设点P的运动路程是．点Q是射线上一动点，且，当点P到达终点A时，点Q停止运动，连接，．记的面积为，的面积为．    (1)请分别写出，关于x的函数解析式，并注明x的取值范围； (2)在图2中画出，关于x的函数图像，并分别写出，的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时，x的取值范围． 22．（24-25九年级上·重庆渝中·期末）如图，为正方形中边上一点，，．动点P，Q同时从点B出发，以相同的速度分别沿，向点A，点C移动，连接，，．设点P运动的路程为x，的面积为，的面积为． (1)分别写出，关于x的函数解析式及x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出，的函数图象，并分别写出，的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时，x的取值范围． 23．（第一中学校2024-2025学年九年级上学期12月）如图，在正方形中，．点从点出发，以速度的速度沿折线运动，同时点从点出发，以速度的速度沿线段运动，连接、．当到达点时，、两点同时停止运动．设点运动的时间为，，的面积为． (1)请直接写出与的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数的函数图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，若函数的图象与直线有两个交点，则的取值范围是______． x 0 1 2 3 4 5 6 y 0 3 6 9 8 5 0 24．（复旦中学2024-2025学年九年级上学期期中）如图，在正方形中，，动点从点开始沿对角线向点以的速度移动（运动到点C停止运动），过P点作，垂足为点E，过P点作，垂足为点F，M为中点，连接，设P点移动时间为秒，的面积为，四边形的面积为． (1)请直接分别写出，关于x的函数解析式，并说明的取值范围． (2)请在图中画出，关于的函数图像，并写出函数图像的一条性质． (3)若，请结合函数图像直接写出的取值范围（结果精确到0.1）． 25．（第八中学2022-2023学年九年级下学期三月）如图，在正方形中，，动点F，E分别从点A，B出发，F点沿着运动，到达C点停止运动，点E沿着运动，到达D点停止运动，连接，已知F点的速度且，令，，运动时间为t，请回答下列问题： (1)请直接写出，与t之间的函数关系式以及对应的t的取值范围； (2)请写出函数的一条性质； (3)在直角坐标系中画出，的图象，并根据图形直接写出当时，t的取值范围． 题型6 其他四边形相关的动态几何 此类题属于四边形综合题，主要考查了函数的图象，梯形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．通过观察图象，找出函数图象的性质.此类问题通过分析、计算得到函数表达式,再经历列表、描点、连线得到函数图象，根据函数图象分析函数性质进行解题。 26．（第一中学校2024－2025学年九年级下学期入学）如图，在四边形中，，，，，，．点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度运动，到点停止运动．过作交于点．过作交于点．设运动时间为秒，四边形的面积为，的周长与的周长之比为．    (1)请直接写出，关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当时的取值范围（近似值保留一位小数，误差不超过0.2） 27．（四川外国语大学附属外国语学校2024-2025学年九年级上学期11月）如图，在四边形中，，，，，连接．点从点出发，以每秒一个单位的速度沿折线运动，到达点停止．设点的运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出的函数图象，并写出关于函数的一条性质_____； (3)若该函数图象与直线恰好有一个交点，则常数的取值范围是____． 28．（南开中学校2024-2025学年九年级上学期入学）如图1，在四边形中，，，，，．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿折线方向匀速运动，到达点C时停止运动，点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿方向匀速运动，到达点B时停止运动．两点同时出发，设点P运动时间为x秒，的面积为y．    (1)请直接写出y与x之间的函数关系式及对应的x的取值范围； (2)在如图2所示的平面点角坐标系中画出y的图象，并写出函数y的一条性质； (3)结合你所画的函数图象，当时，请直接写出x的取值范围_______． 29．（育才中学2024-2025年九年级上学期第一次月考）如图1，在四边形中， ，，，，，动点从点山发，沿着的方向以个单位每秒匀速运动，且到达点时停止运动．设的运动时间为秒，连接、，设的面积为． (1)请直接写出与的函数关系式，并注明的取值范围（不取端点）； (2)请在图2平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质； (3)已知函数的图象如图2所示，结合函数图像，直接写出时的取值范围．（结果精确到，误差） 30．（2024年重庆市两江新区九年级中考适应性考试）如图，在四边形中，，，连接，，．点是上的点，，连接，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿着折线运动，到达点停止运动，连接、．设点的运动时间为秒，记的面积为，请解答下列问题： (1)直接写出关于的函数关系式，并写出的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)函数图象如图所示，当时，请直接写出的取值范围．（结果保留一位小数，误差不超过） （建议用时： 45 分钟） 1．如图，已知在矩形中，，，动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度运动，同时，动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度运动，当点到达点时，、两点都停止运动．设动点运动的时间为秒，规定，．    (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图像，直接写出时的取值范围． 2．如图1，在平行四边形中，，，，点为边的中点，点沿着的方向每秒1个单位运动，到达点停止运动，同时点沿着的方向每秒个单位运动，一点停止时另一点也停止运动，连接、、，设的运动时间为秒，记的面积为，记的面积为． (1)请直接写出、关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在图2给定的平面直角坐标系中，画出函数、的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合、的函数图象，请直接写出时的取值范围． 3．如图1，在中，为中点，动点以每秒1个单位长度的速度沿折线方向运动，当点运动到点时停止运动．设运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给出的平画直角坐标系中画出的图象，并写出的一条性质； (3)如图2，的图象如图所示，结合函数图象，直接写出时的取值．（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 15 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$