重难点01 尺规作图+补全证明过程（5大题型+高分技巧+限时提升练）-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练（重庆专用）

重难点01 尺规作图+补全证明过程 尺规作图+补全证明过程题是重庆中考近两年的新考题型，重点考查5种基本作图.2021年的考题设置两问，第一一问考查基本作图,第二问在作图基础上简单证明.2022年设置一问但分“作图”与“填空”两步，先通过作图将图补充完整，再根据题干的证明过程进行填空,将证明过程补充完整.平时复习时加强尺规作图的练习， 熟练掌握5种基本的作图方法与全等三角形的五种证明方法。 题型一：作垂直平分线 仔细阅读题目条件,准确判断该题考查哪一类基本尺规作图;(明确该类基本尺规作图的作图过程;按照基本尺规作图的方法步骤,规范完成作图,标上字母和符号,保留作图痕迹，写出结论。根据作出的图形，完成简单的几何计算与证明，若需判断线段、角度关系或图形形状等需要先进行判断，再进行证明. 1.（第一中学校2023-2024学年下学期九年级开学）如图，在中，为的角平分线． (1)（1）用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交、于点、，垂足为．连接、．（保留作图痕迹） (2)小明利用（1）所作的图形，证明四边形是菱形．请根据他的思路完成下面的填空． 证明：∵平分， ∴①___________， ∵垂直平分， ∴②___________， ∴， ∴③___________， ∴， ∵同理，， ∴④___________， ∵ ∴平行四边形是菱形 小明通过探究，发现任意三角形的一条角平分线到对边的交点，同该角平分线的垂直平分线与该角两边的交点，和这个角顶点都能围成一个四边形，那么⑤___________． 【答案】(1)见解析 (2)；；；四边形为平行四边形；这个四边形是菱形 【详解】（1）解：所作图形如图所示． ； （2）证明：平分， ， 垂直平分， ， ， ， ∴， 同理，， 四边形为平行四边形， ， 平行四边形是菱形． 小明通过探究，发现任意三角形的一条角平分线到对边的交点，同该角平分线的垂直平分线与该角两边的交点，和这个角顶点都能围成一个四边形，那么这个四边形是菱形． 故答案为：；；；四边形为平行四边形；这个四边形是菱形． 2．（巴蜀中学校2024-2025学年九年级上学期期末）平行四边形的一组对边的中点连线的垂直平分线与平行四边形的另外一组对边所在直线交于两点，这两个点与原来的两个中点组成的四边形是菱形．为了验证这个结论，小希进行了以下操作，请按要求完成下列问题： 如图，在平行四边形中，E、F分别为边的中点，连接． (1)尺规作图：作出的垂直平分线，交直线于点G、H，交于点O，连接；（只保留作图痕迹，不要求写作法） (2)结合（1）中图形，请你帮小希完成以下证明过程并将答案填在答题卡上对应的横线上： 证明：在平行四边形中，，， ∵E、F分别为的中点， ∴，， ∴①______，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ②______， ∴， ∵为的垂直平分线， ∴③______， ∴四边形为平行四边形， ∵ ∴四边形为菱形． 小希进一步研究发现，当平行四边形为正方形时，四边形的形状为④______． 【答案】(1)见解析 (2)①，②，③，④正方形 【详解】（1）解：如图，直线为的垂直平分线， （2）证明：在平行四边形中，，， ∵E、F分别为的中点， ∴，， ∴①，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ②， ∴， ∵为的垂直平分线， ∴③， ∴四边形为平行四边形 ∵， ∴四边形为菱形． 小希进一步研究发现，当平行四边形为正方形时，四边形的形状为④正方形． 理由：当平行四边形为正方形时，如图， ∵四边形是正方形， ∴ ∵E、F分别为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， 又 ∴ ∴四边形为矩形， ∴ ∴ ∵为的垂直平分线， ∴， 又 ∴ 同理可得，, ∴，且互相垂直平分， ∴四边形是正方形 故答案为：①，②，③，④正方形． 3．（育才中学校2022-2023学年九年级上学期12月）如图，在四边形中，，，连接，． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线交于点，交于，连接（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）所作图中，证明四边形为菱形，完成下列填空． 证明：垂直平分， __________①． ， ， ，， ， ， __________②，即， ， ， ， 四边形是__________③， __________④， 四边形为菱形． 【答案】(1)作图见解析 (2)，，平行四边形， 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）证明：垂直平分， ， ， ， ，， ， ， ，即， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形为菱形． 故答案为：，，平行四边形，． 4．（西南大学附属中学校2022-2023学年九年级上学期开学）如图，四边形是矩形．    (1)用尺规完成基本作图：作对角线的垂直平分线，分别交、于点、，垂足为点，连接和，（保留作图痕迹，不要求写作法，不写结论）； (2)求证：四边形是菱形，请完成下列证明过程． 证明：四边形为矩形， 　　　　①， ， 垂直平分线段， 　　　　②， 在和中， ， 　　　　③， 又， 四边形是 　　　　④， 又， 四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)，，，平行四边形 【详解】（1）解：如图所示：即为所求；    （2）证明：四边形为矩形， ∴①， ， 垂直平分线段， ②， 在和中， ， ， ③， 又， 四边形是平行四边形④， 又， 四边形是菱形． 故答案为：，，，平行四边形． 5．（第一中学校2024-2025学年九年级上学期第一次月考）如图，在四边形中，，是对角线． (1)用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交，，于点，，，连接，．（只保留作图痕迹） (2)在（1）问所作的图形中，求证：四边形为菱形．（请完成下面的填空） 证明：∵垂直平分 ∴________①_________， ∵ ∴________②_________ 在和中 ∴ ∴______④_______． ∴四边形为菱形（两条对角线互相垂直平分的四边形为菱形） 在作图过程中，进一步研究还可发现，夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后，可以得到一个特殊四边形，请你依照题意完成下面命题：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后．顺次连接两交点及线段两端点所组成的四边形是________⑤_________． 【答案】(1)见解析 (2)①；②；③；④；⑤得到的四边形是菱形 【详解】（1）解：如图，为所求作的线段的垂直平分线； （2）证明：垂直平分， ①，， ②， ∵， ， ④， 四边形为菱形（两条对角线互相垂直平分的四边形为菱形） 在作图过程中，进一步研究还可发现，夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后，可以得到一个特殊四边形，请你依照题意完成下面命题：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后⑤得到的四边形是菱形． 故答案为：①；②；③；④；⑤得到的四边形是菱形． 题型二：作角平分线 此类题考查作图复杂作图、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、线段垂直平分线的作法是解答本题的关键． 6．（一中寄宿学校2024-2025学年九年级下学期开学）在学习了平行四边形后，小王进行了拓展性探究，他发现，如果作平行四边形一组对角的角平分线，与平行四边形两边相交的两点和这一组对角的两个顶点构成的四边形是平行四边形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： 如图，四边形是平行四边形．用尺规作的平分线交于，作的平分线交于．（不写作法，保留作图度迹） 已知：在平行四边形中，平分，平分．求证四边形是平行四边形． 证明：四边形是平行四边形， ①__________，，． 平分，平分， ，， ②__________， ． ． 四边㷧是平行四边形， ，． ，即③__________， 四边形是平行四边形． 请你依照题意完成下面命题：过平行四边形一组对角作角平分线，与对边产生两个交点，连接这两个交点的线段与平行四边形对角线的关系为④__________． 【答案】作图见解析，①；②；③；④互相平分 【详解】如图所示， 证明：四边形是平行四边形， ①，，． 平分，平分， ，， ， ． ． 四边形是平行四边形， ，． ，即， 四边形是平行四边形． 如图所示，连接交于点，      ∵四边形是平行四边形． ∴互相平分，则点为的中点， 又∵是平行四边的对角线中点， ∴也平分了 所以，过平行四边形一组对角作角平分线．与对边产生两个交点，连接这两个交点的线段与平行四边形对角线的关系为互相平分． 故答案为：①；②；③；④互相平分． 7．（24-25九年级上·重庆沙坪坝·期末）在学习了平行四边形的相关知识后，小渝进行了更深入的研究，他发现，作平行四边形的一组对角的角平分线，与平行四边形两边相交的两点和这组对角的顶点构成的四边形是平行四边形，可利用平行四边形的判定方法得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图和填空：    (1)如图，在平行四边形中，平分交于点E．用尺规作的角平分线交点F（不写作法，保留作图痕迹）． (2)已知：平行四边形中，平分交于点E，平分交于点F． 求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ，∴． ∵平分，∴， 同理可得：， ∴ ， ∴，∴ ． ∴四边形是平行四边形． 进一步思考，如果四边形是矩形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论： ． 【答案】(1)图见解析 (2)；；；作矩形的一组对角的角平分线，与矩形两边相交的两点和这组对角的顶点构成的四边形是平行四边形 【详解】（1）解：如图，用尺规作的角平分线交点；    （2）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 平分， ， 同理可得：， ， ， ， 四边形是平行四边形， 进一步思考，如果四边形是矩形，同法可证， ， 四边形是平行四边形， 结论如下： 作矩形的一组对角的角平分线，与矩形两边相交的两点和这组对角的顶点构成的四边形是平行四边形， 故答案为：；；；作矩形的一组对角的角平分线，与矩形两边相交的两点和这组对角的顶点构成的四边形是平行四边形． 8．（第一中学校2024－2025学年九年级下学期入学）在学习了平行四边形后，小王进行了拓展性探究．他发现，如果作平行四边形一组对角的角平分线，与平行四边形两边相交的两点和这一组对角的两个顶点构成的四边形是平行四边形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空：如图，四边形是平行四边形，用尺规作的平分线交于，作的平分线交于．（不写作法，保留作图痕迹） 已知：在平行四边形中，平分，平分．求证四边形是平行四边形． 证明：四边形是平行四边形， ①______，，． 平分，平分， ，， ②______， ． ． 四边形是平行四边形， ，． ，即③______， 四边形是平行四边形． 请你依照题意完成下面命题：过平行四边形一组对角作角平分线．与对边产生两个交点，连接这两个交点的线段与平行四边形对角线的关系为④______． 【答案】作图见解析，①；②；③；④互相平分 【详解】如图所示， 证明：四边形是平行四边形， ①，，． 平分，平分， ，， ， ． ． 四边形是平行四边形， ，． ，即， 四边形是平行四边形． 如图所示，连接交于点，      ∵四边形是平行四边形． ∴互相平分，则点为的中点， 又∵是平行四边的对角线中点， ∴也平分了 所以，过平行四边形一组对角作角平分线．与对边产生两个交点，连接这两个交点的线段与平行四边形对角线的关系为互相平分． 故答案为：①；②；③；④互相平分． 9．（南岸区2024-2025学年 九年级上期期末）如图，在中，，平分，是的外角． (1)用尺规完成作图：作的角平分线，过点C作，垂足为E；（不写作法，保留作图痕迹） (2)小敏作完图后，发现四边形是矩形，请帮助她完成下列推理过程： ∵平分，平分， ∴，． ∴①________． 又∵，平分， ∴②________（三线合一）． ∴． 又∵， ∴③________． ∴四边形是矩形（三个角是直角的四边形是矩形）． (3)小敏在完成证明后进一步思考，得到结论：当等腰满足________时，矩形是正方形 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或或 【详解】（1）解：（1）由题意，作图如下：    （2）∵平分，平分， ∴，． ∴． 又∵，平分， ∴（三线合一）． ∴． 又∵， ∴． ∴四边形是矩形（三个角是直角的四边形是矩形）． （3）当或或时，矩形是正方形； 当时，则：， ∵四边形是矩形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴矩形是正方形． 10．（南开中学校2024-2025学年九年级上学期期末）在学习了平行四边形的相关知识后，数学小组进行了更深入的研究，他们发现，连接平行四边形的一条对角线后，作一组对边被该线所截形成的如内错角的角平分线，角平分线与平行四边形一组对边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是平行四边形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： (1)如图，在平行四边形中，用尺规作和的角平分线，分别交，于点，（不写作法，保留作图痕迹）． (2)已知：平行四边形中，，分别平分和，求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，①________． ∵，分别平分和 ∴②______________；． ∴③_______________． 在与中 ∴． ∴④_______________． 又∵， ∴四边形是平行四边形． 进一步思考，如果将上述条件中的平行四边形变为菱形呢？连接菱形的一条对角线后，作一组对边被该线所截形成的一组内错角的角平分线，角平分线与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是⑤__________． 【答案】(1)见解析 (2)，，，，平行四边形 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，①． ∵，分别平分和 ∴②；． ∴③． 在与中 ∴． ∴④． 又∵， ∴四边形是平行四边形． 同理可证，如果将上述条件中的平行四边形变为菱形，连接菱形的一条对角线后，作一组对边被该线所截形成的一组内错角的角平分线，角平分线与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是平行四边形， 故答案为：，，，，平行四边形 题型三：过一点作已知直线的垂线 此类题主要考查了过已知点作直线的垂线，菱形的判定，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形全等和菱形的判定方法．强尺规作图的练习， 熟练掌握5种基本的作图方法与全等三角形的五种证明方法。 11．（巴蜀中学校2024-2025学年九年级上学期10月）学习小组在学习菱形时，进行了进一步地深入研究，他们发现，过菱形的一个顶点作对边的垂线，两个垂足的连线与菱形的这个顶点所引的对角线垂直．请你根据他们的想法与思路，完成以下作图与填空． (1)如图，在菱形中，用尺规过点A作的垂线，垂足为，连接 (不写作法，保留作图痕迹)． (2)已知：在菱形中，为对角线，于点于点，连接EF，求证：． 证明：四边形是菱形，为对角线， ① ， ， ② ， ， ， ③ ， 又， ． 同学们进行了更进一步的研究：两个垂足的连线与菱形的另一条对角线存在怎样的位置关系呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论： ④ 【答案】(1)见解析 (2)，，，，证明见解析 【详解】（1）解：如图：线段即为所求． （2）证明∶四边形是菱形，为对角线， ， ， ， ， ， ， 又， ． 猜想：两个垂足的连线与菱形的另一条对角线存在的位置关系为：． 证明如下： ∵菱形中，、为对角线， ∴， ， ∴． 故答案为：，，，． 12．（2023年重庆实验外国语学校中考一模）在平行四边形中，E为边上的一点，连接， ． (1)用尺规完成以下基本作图：过点E作垂直于点O，交于点F；（保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图形中，连接，若，证明：四边形为菱形． 证明：∵四边形是平行四边形 ∴ ∵ ∴ 即 ∵ 即且 ∴四边形为 又∵ ∴四边形为菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， 即且， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为菱形． 故答案为：，，平行四边形，． 13．（第一中学校2024-2025学年九上期末）在学习了平行四边形的相关知识后，小艾进行了更深入的研究，他发现：对于一个邻边不相等的平行四边形，作其短边的端点为顶点的一个内角的角平分线与平行四边形的边相交，再过该短边的另一个端点作这条角平分线的垂线与平行四边形的另一边相交，则这两个交点和平行四边形的另两个顶点构成的四边形是平行四边形．他的思路是通过证明三角形全等与平行四边形的判定得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图和填空： (1)如图，四边形是平行四边形，的平分线与交于点E．用尺规作图：过点A作的垂线，交于点F，交于点G，连接（不写作法，保留作图痕迹）； (2)已知：四边形是平行四边形，的平分线与交于点E，点G在边上，且于点F，连接．求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴．∵平分， ∴①_____，∴， ∴②_____． ∵，∴． 在和中 ∴， ∴， ∴③_____， ∴，即， ∵④_____， ∴四边形是平行四边形． 进一步思考，如果四边形是矩形呢？请你模仿题中的表述，写出你猜想的结论：四边形是⑤_____． 【答案】(1)见详解 (2)①；②；③；④；⑤矩形 【详解】（1）解：作图如图所示： （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． ∵平分， ∴①， ∴， ∴②． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∴③， ∴，即， ∵④， ∴四边形是平行四边形． 进一步思考，如果四边形是矩形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴平行四边形是矩形． 结论：四边形是⑤矩形． 故答案为：①；②；③；④；⑤矩形． 14．（渝北中学2024-2025学年九年级上学期第三次月考）小北在学习完直角三角形后，小北进行了如下思考：在等腰直角三角形中，如果由斜边的中点向两腰分别引出一条射线，与等腰直角三角形两腰各相交于一点，当两条射线互相垂直时，两交点与斜边中点所连线段有什么数量关系?请根据他的思考完成以下作图与填空． 已知：在中，，E为边上一点，D为边中点． (1)尺规作图：过点D作直线的垂线，交于点F（只保留作图痕迹） (2)求证：． 证明：在中， ①_______ 又，D为BC中点 ②_______ 又，D为BC中点 又 ③_______ 在和中， ． 小北在进一步研究中发现，只要等腰直角三角形满足此特征均有此结论，请你根据题意完成下面命题：在等腰直角三角形中，如果由斜边的中点向两腰分别引出一条射线，与等腰直角三角形两腰各相交于一点，若两条射线互相垂直，则⑤_______． 【答案】(1)见解析 (2)，，，，两交点与斜边中点所连线段相等 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， （2）证明：在中， 又，D为中点 又∵，D为中点 又 在和中， ， ． 小北在进一步研究中发现，只要等腰直角三角形满足此特征均有此结论，请你根据题意完成下面命题：在等腰直角三角形中，如果由斜边的中点向两腰分别引出一条射线，与等腰直角三角形两腰各相交于一点，若两条射线互相垂直，则两交点与斜边中点所连线段相等． 故答案为：，，，，两交点与斜边中点所连线段相等． 15．（南开中学校2024-2025学年九年级上学期期中）在学习了平行四边形与正方形的相关知识后，智慧小组进行了更深入的探究．他们发现，如图所示的正方形，分别取，的中点，，连接，交于点，过作的垂线，交于点，交于点．则四边形是平行四边形． (1)用尺规完成以下基本作图：过作的垂线，交于点，交于点（只保留作图痕迹）． (2)根据（1）中所作图形，智慧小组发现四边形是平行四边形成立，并给出了证明，请补全证明过程． 证明：∵四边形是正方形，∴，，．又∵，分别为，的中点，∴，，∴ ① ，在与中， ∴．∴ ② ．又∵，∴， ∴，又∵，∴，∴ ③ ．又∵ ∴四边形是平行四边形． 进一步思考，智慧小组发现任取，的上点，（不与，重合），，连接，，过作的垂线，交于点，则四边形是 ④ ． 【答案】(1)见解析 (2)；；；进一步思考：四边形是平行四边形 【详解】（1）解：如图所示，就是所求作的经过点B垂直于于Q，交于P的直线， （2）证明：∵四边形是正方形， ∴，，． 又∵，分别为，的中点， ∴，， ∴， 在与中， ∴． ∴． 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 又∵ ∴四边形是平行四边形． 进一步思考：如图， ∵四边形是正方形， ∴，，． 在与中， ∴． ∴． 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 又∵ ∴四边形是平行四边形． 故答案为：平行四边形． 题型四：作已知角相等的角 此类题考查了作一个角等于已知角，三角形全等的判定和性质，菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形性质，全等三角形的判定与性质是解题关键。根据作出的图形，完成简单的几何计算与证明，若需判断线段、角度关系或图形形状等需要先进行判断，再进行证明. 16．（育才中学校2024-2025学年九年级上学期第三次月考）学习了三角形的中位线定理后，小育和小才两位同学进行了更深入的研究．他们发现，过三角形一边中点，作另一边的平行线与第三边相交，交点与中点所连线段是三角形的中位线．他们的解决思路是通过构造全等三角形和平行四边形转化线段得出结论，根据他们的思路完成以下作图和填空： (1)用直尺和圆规，在的左侧作，使交的延长线于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)已知：在中，为中点，交于，．求证：是的中位线． 证明： ① 又， 四边形为平行四边形 ② 为中点 ③ 在和中 ④ ， ，即为中点 又为中点， 是的中位线． 小育和小才进一步研究发现：的面积和四边形的面积比为⑤______． 【答案】(1)见解析 (2)；；；； 【详解】（1）解：如图所示， （2）证明： ① 又， 四边形为平行四边形 ② 为中点 ③ 在和中 ④ ， ，即为中点 又为中点， 是的中位线． ，， ， 与的面积之比是， ∴的面积和四边形的面积比为 故答案为：；；；；． 17．（巴蜀中学校2024-2025学年九年级上学期12月）如图，在中，点F是的中点，点E是线段延长线上一动点，连接． (1)用直尺和圆规，在左侧以C为顶点作，使，与线段的延长线交于点D，连接； (2)试研究四边形的形状，并按下列思路完成填空． 证明：∵， ∴①_________， ∴， ∵点F是的中点， ∴②_______且， ∴， ∴③_________． ∵， ∴④________； (3)若，则在点E的运动过程中，当⑤________时，四边形DBEC是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)是平行四边形 (3)2 【详解】（1）解：如图：即为所作： （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴且， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； 故答案为：，,，四边形是平行四边形． （3）解：如图， ∵ ∴ ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∵， ∴ 即当时，四边形是矩形． 故答案为：2． 18．（巴蜀中学校2024-2025学年九年级上学期数学第三次月考）某数学兴趣小组同学发现，任意一个（三边均不相等），以一边的端点B为顶点在三角形外作角，使其等于这条边另一端点C为顶点的三角形的内角，射线与这条边上的中线的延长线相交于一点E，则以A、B、C、E四个点为顶点的四边形是平行四边形．如图，在中，点D为边上的中点，连接． (1)尺规作图：在下方作射线，使得，且射线交的延长线于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）所作的图中，连接，求证：四边形是平行四边形．（请补全下面的证明过程） 证明：∵点D为边上的中点， ∴ __________， 在和中， ∴______， ∴_______， ∵ ∴__________． ∴四边形是平行四边形． 小组进一步研究发现，作了上述的相等角之后，当三角形有两边相等时，必然会形成一个特殊的四边形，请根据这个发现完成以下命题： 以等腰三角形底边的一个端点为顶点向外作角，使其等于底角，且与底边上中线的延长线相交于一点，则以该点和三角形的三个顶点为顶点的特殊四边形 ________． 【答案】(1)见详解 (2)；；；；菱形 【详解】（1）解：射线为所求，如图， （2）证明：点是的中点， ， 在和中， ， ∴， ， ， 四边形为平行四边形； 以等腰三角形底边的一个端点为顶点向外作角，使其等于底角，且与底边上中线的延长线相交于一点，则以该点和三角形的三个顶点为顶点的特殊四边形是菱形． 理由：，四边形为平行四边形， 四边形是菱形． 故答案为：，，，，菱形． 19．（第八中学校2024—2025学年九年级上学期第三学月）如图，在中，． （1）用直尺和圆规完成以下基本作图：过顶角顶点作底边的垂线，交于点；在的下方作，与交于点，连接． （2）小明想要研究四边形的形状，请根据他的思路完成以下填空． 证明：，， ，①_______， ， ②_______， ， 又， ， ③_______ 又， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形， 小明进一步思考，若在等腰直角三角形中进行以上操作，则四边形的形状是 ④_______， 【答案】（1）图见解析 （2），，，正方形 【详解】解：（1）按照要求作图如下： （2），， ，， ， ， ， 又， ， ， 又， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形， 进一步思考，若在等腰直角三角形中进行以上操作，则四边形的形状是正方形， 故答案为：，，，正方形． 20．（西南大学附属中学校2024-2025学年九年级上学期11月）数学发烧友小附在探究等腰三角形面积时，发现一个规律：如图，在中，，，以为边向下构造等边，就可以得到．请根据小附的探究思路完成下面的作图与填空： 如图，在中，， (1)用直尺和圆规，在下方作，在射线上截取，连接交于点（不要求写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）所作的图中，求证．（请补全下面的证明过程） 证明：在中，，且， ， ， ， ， 是等边三角形． ，， ， 在和中， ， （）， ． ， ． 小附总结：顶角为的等腰三角形的面积与 的面积相等． 【答案】(1)见解析； (2)，，，边长等腰腰长的等边三角形． 【详解】（1）解：如图， （2）证明：在中，，且， ， ， ， ， 是等边三角形． ，， ， 在和中， ， （）， ∴． ， ． 小附总结：顶角为的等腰三角形的面积与边长等腰腰长的等边三角形的面积相等． 故答案为：，，，边长等腰腰长的等边三角形． 题型五：作已知线段相等的线段 此类题主要考查了作已知线段相等的线段，等边对等角，三角形外角的性质，全等三角形的性质与判定，作与已知角相等的角，熟练掌握相关判定定理和性质定理进行推理论证是解题的关键． 21．（实验外国语学校2023-2024学年九年级上学期期中）如图，． (1)请用尺规完成以下基本作图：在射线上截取，作的平分线，交于点D，连接；（保留作图痕迹，不写作法，不下结论） (2)求证：四边形是菱形． 证明：∵, ∴, ∵平分 ∴ ① , ∴, ∴ ② , 又∵, ∴, 又∵ ③ , ∴四边形是平行四边形 又∵ ④ , ∴四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)，,,． 【详解】（1）解：如图即为所求； ． （2）证明：    如图：∵, ∴, ∵平分 ∴, ∴, ∴ 又∵, ∴, 又∵ ∴四边形是平行四边形 又∵, ∴四边形是菱形 故答案为：，,,． 22．（第一中学校2023-2024学年九年级上学期期中）在学习平行四边形后，小函进行了拓展性研究．她发现，平行四边形中，在边上截，连接，作的角平分线交于点，则．她的解决思路是通过证明两条线段所在的四边形是平行四边形得出结论．请根据她的思路完成以下作图和填空： 用直尺和圆规，在边上截，连接，作的角平分线，交于点（只保留作图痕迹）． 已知：如图，四边形是平行四边形，，平分，交于点．求证：． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴______，① ∵平分， ∴______，② ∴， ∴ ∵， ∴______，③ ∴______，④ ∴ ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ∴． 【答案】作图见解析； 【详解】解：如图所示； 证明：∵四边形是平行四边形， 平分 ， ， ∴四边形是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)， ∴． 故答案为：． 23．（实验外国语学校2023-2024学年九年级上学期9月）如图，在四边形中，于点．    (1)尺规作图：在边上截取，过点作对角线的垂线，交于点G．（要求：保留作图痕迹，不写做法） (2)连接，证明．将下面的过程补充完整． 证明：（1）_______________， 四边形是平行四边形 ，（2）_______________ （3）_______________ 在和中 【答案】(1)见解析 (2)；；， 【详解】（1）解：如图所示，即为所求；    （2）证明：，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 在和中 ， ， 故答案为：；；，． 24．（第一中学校2023-2024学年九年级上学期数学开学）如图，在平行四边形中，已知．    (1)实践与操作：作的平分线交于点E，在上截取，连接；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)小明同学准备在（1）问的所作图形中，求证四边形是菱形．他的证明思路是：利用角平分线和平行线的性质证到四边形是平行四边形，再利用边的关系证到菱形．请根据小明的思路完成下列填空： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴　 　①（ 　 　） ∵平分， ∴，   ∴　 　②（ 　 　） ∴， 由（1）得：， ∴， 又∵　 　③（ 　 　） ∴四边形是平行四边形， ∵　 　④（ 　 　） ∴四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)；两直线平行，内错角相等；；等量代换；；已证；；已知 【详解】（1）如图所示，    （2）∵四边形是平行四边形， ∴， ∴（两直线平行，内错角相等） ∵平分， ∴，   ∴（等量代换） ∴， 由（1）得：， ∴， 又∵（已证） ∴四边形是平行四边形， ∵（已知） ∴四边形是菱形． 故答案为：；两直线平行，内错角相等；；等量代换；；已证；；已知 25．（第八中学校2022-2023学年九年级上学期数学开学）如图，在平行四边形中，． (1)用尺规完成以下基本作图：作的平分线交于点，在上截取，使（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）所作的图形中，连接，求证：四边形是菱形．请补全下面的证明过程． 证明：∵四边形为平行四边形，∴且， ∵，∴， ∴________． ∴四边形是平行四边形， ∵，∴________． ∵平分，∴_______， ∴． ∴_______，∴四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)；；； 【详解】（1）解：如图所示： （2）证明：∵四边形为平行四边形，∴且， ∵， ∴， ∴． ∴四边形是平行四边形， ∵，∴． ∵平分，∴， ∴． ∴，∴四边形是菱形． 故答案为：；；； （建议用时： 20 分钟） 1．小西在探究角平分线性质的时候，他发出疑问，三角形的一个内角角平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边是否成比例？于是，他展开探究．根据他的想法与思路，完成以下作图和填空． (1)在中，用尺规作图作的角平分线交与点，在射线上取一点，使得（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（）所作的图中，求证：． 证明：∵平分， ∴ ， 又∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴ ， 依据证明过程，小西得出如下结论：___________． 【答案】(1)作图见解析； (2)；；；三角形的一个内角角平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边成比例． 【分析】（）作角平分线和作一条线段等于已知线段即可； （）根据角平分线的定义和等边对等角得出，则，故有，然后根据相似三角形的性质即可求解； 本题考查了尺规作图，角平分线的定义，等边对等角，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：如图， （2）证明：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 依据证明过程，小西得出如下结论：三角形的一个内角角平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边成比例． 故答案为：；；；三角形的一个内角角平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边成比例． 2．在学习了矩形的相关知识后，小外同学进行了更深入的研究，他们发现，过矩形的一条对角线一点与另外两个端点连线，再与这条对角线上任一端点组成的2个三角形面积有特殊关系． 提出猜想，小外同学猜想这2个三角形面积相等． 方案构思，小外与同学进行充分讨论，发现两个三角形底边相同，如果能够证明高也是相等即可得面积相等，根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： 数学建模：如图，在矩形中，为对角线上一点，连接、，过作于点． 合作探究：（1）请你用尺规过点作的垂线交于点（不写作法，保留作图痕迹）． 严密推理：（2）已知：矩形，于点，于点．求证：． 证明：∵四边形是矩形， ∴，___________①___________． ∴． ∵___________②___________，， ∴，． ∴． ∴． ∴___________③___________． 而，___________④___________． ∴． 所以过矩形的一条对角线上任意一点与另外两个端点连线，再与这条对角线上任一端点组成的2个三角形面积相等；进一步思考，如果四边形是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：___________⑤___________． 【答案】（1）图见解析，（2），，，，过平行四边形的一条对角线上任意一点与另外两个端点连线，再与这条对角线上任一端点组成的2个三角形面积相等 【分析】本题考查了尺规作图——作垂线，矩形的性质，全等三角形的判定和性质． （1）根据尺规作图——作垂线，即可解答； （2）根据矩形的性质得出，．则，进而得出，则，根据三角形的面积公式，即可得出结论． 【详解】解：（1）如图所示，即为所求； （2）∵四边形是矩形， ∴，． ∴． ∵，， ∴，． ∴． ∴． ∴． 而，． ∴． 所以过矩形的一条对角线上任意一点与另外两个端点连线，再与这条对角线上任一端点组成的2个三角形面积相等；进一步思考，如果四边形是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：过平行四边形的一条对角线上任意一点与另外两个端点连线，再与这条对角线上任一端点组成的2个三角形面积相等． 故答案为： ，，，，过平行四边形的一条对角线上任意一点与另外两个端点连线，再与这条对角线上任一端点组成的2个三角形面积相等． 3．三角形角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得两条线段与这个角的两边对应成比例． 如图1，中，是角平分线，则．小石同学学习了这个定理以后探究：三角形的外角平分线分对边所得两条线段与这个角的两边的关系，下面是他的探究过程，请按要求完成． 已知：如图2，已知及其外角．的角平分线交的延长线于点F． 求证：．    (1)尺规作图：在图2中作的平分线交的延长线于点F，在射线上截取，连接（不写作法保留作图痕迹） (2)证明： 是的角平分线 ______① ， ______②    ，______③ 是的角平分线 ______ ④     ， 结合以上探究可知：三角形的一个外角的角平分线外分对边所成两条线段，这两条线段和夹相应的内角的两边______ ⑤． 【答案】(1)见解析 (2)；；；；成比例 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定和性质． （1）根据题意作出图形即可； （2）证明，推出，，根据定理得到，再等量代换，即可得证． 【详解】（1）解：所作图形，如图所示，    （2）证明：是的角平分线 ， ，， ， ，， 是的角平分线， ， ，， ． ∴三角形的一个外角的角平分线外分对边所成两条线段，这两条线段和夹相应的内角的两边成比例． 故答案为：；；；；成比例． 15 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点01 尺规作图+补全证明过程 尺规作图+补全证明过程题是重庆中考近两年的新考题型，重点考查5种基本作图.2021年的考题设置两问，第一一问考查基本作图,第二问在作图基础上简单证明.2022年设置一问但分“作图”与“填空”两步，先通过作图将图补充完整，再根据题干的证明过程进行填空,将证明过程补充完整.平时复习时加强尺规作图的练习， 熟练掌握5种基本的作图方法与全等三角形的五种证明方法。 题型一：作垂直平分线 仔细阅读题目条件,准确判断该题考查哪一类基本尺规作图;(明确该类基本尺规作图的作图过程;按照基本尺规作图的方法步骤,规范完成作图,标上字母和符号,保留作图痕迹，写出结论。根据作出的图形，完成简单的几何计算与证明，若需判断线段、角度关系或图形形状等需要先进行判断，再进行证明. 1.（第一中学校2023-2024学年下学期九年级开学）如图，在中，为的角平分线． (1)（1）用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交、于点、，垂足为．连接、．（保留作图痕迹） (2)小明利用（1）所作的图形，证明四边形是菱形．请根据他的思路完成下面的填空． 证明：∵平分， ∴①___________， ∵垂直平分， ∴②___________， ∴， ∴③___________， ∴， ∵同理，， ∴④___________， ∵ ∴平行四边形是菱形 小明通过探究，发现任意三角形的一条角平分线到对边的交点，同该角平分线的垂直平分线与该角两边的交点，和这个角顶点都能围成一个四边形，那么⑤___________．； 2．（巴蜀中学校2024-2025学年九年级上学期期末）平行四边形的一组对边的中点连线的垂直平分线与平行四边形的另外一组对边所在直线交于两点，这两个点与原来的两个中点组成的四边形是菱形．为了验证这个结论，小希进行了以下操作，请按要求完成下列问题： 如图，在平行四边形中，E、F分别为边的中点，连接． (1)尺规作图：作出的垂直平分线，交直线于点G、H，交于点O，连接；（只保留作图痕迹，不要求写作法） (2)结合（1）中图形，请你帮小希完成以下证明过程并将答案填在答题卡上对应的横线上： 证明：在平行四边形中，，， ∵E、F分别为的中点， ∴，， ∴①______，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ②______， ∴， ∵为的垂直平分线， ∴③______， ∴四边形为平行四边形， ∵ ∴四边形为菱形． 小希进一步研究发现，当平行四边形为正方形时，四边形的形状为④______． 3．（育才中学校2022-2023学年九年级上学期12月）如图，在四边形中，，，连接，． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线交于点，交于，连接（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）所作图中，证明四边形为菱形，完成下列填空． 证明：垂直平分， __________①． ， ， ，， ， ， __________②，即， ， ， ， 四边形是__________③， __________④， 四边形为菱形． 4．（西南大学附属中学校2022-2023学年九年级上学期开学）如图，四边形是矩形．    (1)用尺规完成基本作图：作对角线的垂直平分线，分别交、于点、，垂足为点，连接和，（保留作图痕迹，不要求写作法，不写结论）； (2)求证：四边形是菱形，请完成下列证明过程． 证明：四边形为矩形， 　　　　①， ， 垂直平分线段， 　　　　②， 在和中， ， 　　　　③， 又， 四边形是 　　　　④， 又， 四边形是菱形．   5．（第一中学校2024-2025学年九年级上学期第一次月考）如图，在四边形中，，是对角线． (1)用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交，，于点，，，连接，．（只保留作图痕迹） (2)在（1）问所作的图形中，求证：四边形为菱形．（请完成下面的填空） 证明：∵垂直平分 ∴________①_________， ∵ ∴________②_________ 在和中 ∴ ∴______④_______． ∴四边形为菱形（两条对角线互相垂直平分的四边形为菱形） 在作图过程中，进一步研究还可发现，夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后，可以得到一个特殊四边形，请你依照题意完成下面命题：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后．顺次连接两交点及线段两端点所组成的四边形是________⑤_________． 题型二：作角平分线 此类题考查作图复杂作图、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、线段垂直平分线的作法是解答本题的关键． 6．（一中寄宿学校2024-2025学年九年级下学期开学）在学习了平行四边形后，小王进行了拓展性探究，他发现，如果作平行四边形一组对角的角平分线，与平行四边形两边相交的两点和这一组对角的两个顶点构成的四边形是平行四边形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： 如图，四边形是平行四边形．用尺规作的平分线交于，作的平分线交于．（不写作法，保留作图度迹） 已知：在平行四边形中，平分，平分．求证四边形是平行四边形． 证明：四边形是平行四边形， ①__________，，． 平分，平分， ，， ②__________， ． ． 四边㷧是平行四边形， ，． ，即③__________， 四边形是平行四边形． 请你依照题意完成下面命题：过平行四边形一组对角作角平分线，与对边产生两个交点，连接这两个交点的线段与平行四边形对角线的关系为④__________． 7．（24-25九年级上·重庆沙坪坝·期末）在学习了平行四边形的相关知识后，小渝进行了更深入的研究，他发现，作平行四边形的一组对角的角平分线，与平行四边形两边相交的两点和这组对角的顶点构成的四边形是平行四边形，可利用平行四边形的判定方法得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图和填空：    (1)如图，在平行四边形中，平分交于点E．用尺规作的角平分线交点F（不写作法，保留作图痕迹）． (2)已知：平行四边形中，平分交于点E，平分交于点F． 求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ，∴． ∵平分，∴， 同理可得：， ∴ ， ∴，∴ ． ∴四边形是平行四边形． 进一步思考，如果四边形是矩形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论： ． 8．（第一中学校2024－2025学年九年级下学期入学）在学习了平行四边形后，小王进行了拓展性探究．他发现，如果作平行四边形一组对角的角平分线，与平行四边形两边相交的两点和这一组对角的两个顶点构成的四边形是平行四边形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空：如图，四边形是平行四边形，用尺规作的平分线交于，作的平分线交于．（不写作法，保留作图痕迹） 已知：在平行四边形中，平分，平分．求证四边形是平行四边形． 证明：四边形是平行四边形， ①______，，． 平分，平分， ，， ②______， ． ． 四边形是平行四边形， ，． ，即③______， 四边形是平行四边形． 请你依照题意完成下面命题：过平行四边形一组对角作角平分线．与对边产生两个交点，连接这两个交点的线段与平行四边形对角线的关系为④______． 9．（南岸区2024-2025学年 九年级上期期末）如图，在中，，平分，是的外角． (1)用尺规完成作图：作的角平分线，过点C作，垂足为E；（不写作法，保留作图痕迹） (2)小敏作完图后，发现四边形是矩形，请帮助她完成下列推理过程： ∵平分，平分， ∴，． ∴①________． 又∵，平分， ∴②________（三线合一）． ∴． 又∵， ∴③________． ∴四边形是矩形（三个角是直角的四边形是矩形）． (3)小敏在完成证明后进一步思考，得到结论：当等腰满足________时，矩形是正方形 10．（南开中学校2024-2025学年九年级上学期期末）在学习了平行四边形的相关知识后，数学小组进行了更深入的研究，他们发现，连接平行四边形的一条对角线后，作一组对边被该线所截形成的如内错角的角平分线，角平分线与平行四边形一组对边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是平行四边形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： (1)如图，在平行四边形中，用尺规作和的角平分线，分别交，于点，（不写作法，保留作图痕迹）． (2)已知：平行四边形中，，分别平分和，求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，①________． ∵，分别平分和 ∴②______________；． ∴③_______________． 在与中 ∴． ∴④_______________． 又∵， ∴四边形是平行四边形． 进一步思考，如果将上述条件中的平行四边形变为菱形呢？连接菱形的一条对角线后，作一组对边被该线所截形成的一组内错角的角平分线，角平分线与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是⑤__________． 题型三：过一点作已知直线的垂线 此类题主要考查了过已知点作直线的垂线，菱形的判定，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形全等和菱形的判定方法．强尺规作图的练习， 熟练掌握5种基本的作图方法与全等三角形的五种证明方法。 11．（巴蜀中学校2024-2025学年九年级上学期10月）学习小组在学习菱形时，进行了进一步地深入研究，他们发现，过菱形的一个顶点作对边的垂线，两个垂足的连线与菱形的这个顶点所引的对角线垂直．请你根据他们的想法与思路，完成以下作图与填空． (1)如图，在菱形中，用尺规过点A作的垂线，垂足为，连接 (不写作法，保留作图痕迹)． (2)已知：在菱形中，为对角线，于点于点，连接EF，求证：． 证明：四边形是菱形，为对角线， ① ， ， ② ， ， ， ③ ， 又， ． 同学们进行了更进一步的研究：两个垂足的连线与菱形的另一条对角线存在怎样的位置关系呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论： ④ 12．（2023年重庆实验外国语学校中考一模）在平行四边形中，E为边上的一点，连接， ． (1)用尺规完成以下基本作图：过点E作垂直于点O，交于点F；（保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图形中，连接，若，证明：四边形为菱形． 证明：∵四边形是平行四边形 ∴ ∵ ∴ 即 ∵ 即且 ∴四边形为 又∵ ∴四边形为菱形． 13．（第一中学校2024-2025学年九上期末）在学习了平行四边形的相关知识后，小艾进行了更深入的研究，他发现：对于一个邻边不相等的平行四边形，作其短边的端点为顶点的一个内角的角平分线与平行四边形的边相交，再过该短边的另一个端点作这条角平分线的垂线与平行四边形的另一边相交，则这两个交点和平行四边形的另两个顶点构成的四边形是平行四边形．他的思路是通过证明三角形全等与平行四边形的判定得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图和填空： (1)如图，四边形是平行四边形，的平分线与交于点E．用尺规作图：过点A作的垂线，交于点F，交于点G，连接（不写作法，保留作图痕迹）； (2)已知：四边形是平行四边形，的平分线与交于点E，点G在边上，且于点F，连接．求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴．∵平分， ∴①_____，∴， ∴②_____． ∵，∴． 在和中 ∴， ∴， ∴③_____， ∴，即， ∵④_____， ∴四边形是平行四边形． 进一步思考，如果四边形是矩形呢？请你模仿题中的表述，写出你猜想的结论：四边形是⑤_____． 14．（渝北中学2024-2025学年九年级上学期第三次月考）小北在学习完直角三角形后，小北进行了如下思考：在等腰直角三角形中，如果由斜边的中点向两腰分别引出一条射线，与等腰直角三角形两腰各相交于一点，当两条射线互相垂直时，两交点与斜边中点所连线段有什么数量关系?请根据他的思考完成以下作图与填空． 已知：在中，，E为边上一点，D为边中点． (1)尺规作图：过点D作直线的垂线，交于点F（只保留作图痕迹） (2)求证：． 证明：在中， ①_______ 又，D为BC中点 ②_______ 又，D为BC中点 又 ③_______ 在和中， ． 小北在进一步研究中发现，只要等腰直角三角形满足此特征均有此结论，请你根据题意完成下面命题：在等腰直角三角形中，如果由斜边的中点向两腰分别引出一条射线，与等腰直角三角形两腰各相交于一点，若两条射线互相垂直，则⑤_______． 15．（南开中学校2024-2025学年九年级上学期期中）在学习了平行四边形与正方形的相关知识后，智慧小组进行了更深入的探究．他们发现，如图所示的正方形，分别取，的中点，，连接，交于点，过作的垂线，交于点，交于点．则四边形是平行四边形． (1)用尺规完成以下基本作图：过作的垂线，交于点，交于点（只保留作图痕迹）． (2)根据（1）中所作图形，智慧小组发现四边形是平行四边形成立，并给出了证明，请补全证明过程． 证明：∵四边形是正方形，∴，，．又∵，分别为，的中点，∴，，∴ ① ，在与中， ∴．∴ ② ．又∵，∴， ∴，又∵，∴，∴ ③ ．又∵ ∴四边形是平行四边形． 进一步思考，智慧小组发现任取，的上点，（不与，重合），，连接，，过作的垂线，交于点，则四边形是 ④ ． 题型四：作已知角相等的角 此类题考查了作一个角等于已知角，三角形全等的判定和性质，菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形性质，全等三角形的判定与性质是解题关键。根据作出的图形，完成简单的几何计算与证明，若需判断线段、角度关系或图形形状等需要先进行判断，再进行证明. 16．（育才中学校2024-2025学年九年级上学期第三次月考）学习了三角形的中位线定理后，小育和小才两位同学进行了更深入的研究．他们发现，过三角形一边中点，作另一边的平行线与第三边相交，交点与中点所连线段是三角形的中位线．他们的解决思路是通过构造全等三角形和平行四边形转化线段得出结论，根据他们的思路完成以下作图和填空： (1)用直尺和圆规，在的左侧作，使交的延长线于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)已知：在中，为中点，交于，．求证：是的中位线． 证明： ① 又， 四边形为平行四边形 ② 为中点 ③ 在和中 ④ ， ，即为中点 又为中点， 是的中位线． 小育和小才进一步研究发现：的面积和四边形的面积比为⑤______． 17．（巴蜀中学校2024-2025学年九年级上学期12月）如图，在中，点F是的中点，点E是线段延长线上一动点，连接． (1)用直尺和圆规，在左侧以C为顶点作，使，与线段的延长线交于点D，连接； (2)试研究四边形的形状，并按下列思路完成填空． 证明：∵， ∴①_________， ∴， ∵点F是的中点， ∴②_______且， ∴， ∴③_________． ∵， ∴④________； (3)若，则在点E的运动过程中，当⑤________时，四边形DBEC是矩形． 18．（巴蜀中学校2024-2025学年九年级上学期数学第三次月考）某数学兴趣小组同学发现，任意一个（三边均不相等），以一边的端点B为顶点在三角形外作角，使其等于这条边另一端点C为顶点的三角形的内角，射线与这条边上的中线的延长线相交于一点E，则以A、B、C、E四个点为顶点的四边形是平行四边形．如图，在中，点D为边上的中点，连接． (1)尺规作图：在下方作射线，使得，且射线交的延长线于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）所作的图中，连接，求证：四边形是平行四边形．（请补全下面的证明过程） 证明：∵点D为边上的中点， ∴ __________， 在和中， ∴______， ∴_______， ∵ ∴__________． ∴四边形是平行四边形． 小组进一步研究发现，作了上述的相等角之后，当三角形有两边相等时，必然会形成一个特殊的四边形，请根据这个发现完成以下命题： 以等腰三角形底边的一个端点为顶点向外作角，使其等于底角，且与底边上中线的延长线相交于一点，则以该点和三角形的三个顶点为顶点的特殊四边形 ________． 19．（第八中学校2024—2025学年九年级上学期第三学月）如图，在中，． （1）用直尺和圆规完成以下基本作图：过顶角顶点作底边的垂线，交于点；在的下方作，与交于点，连接． （2）小明想要研究四边形的形状，请根据他的思路完成以下填空． 证明：，， ，①_______， ， ②_______， ， 又， ， ③_______ 又， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形， 小明进一步思考，若在等腰直角三角形中进行以上操作，则四边形的形状是 ④_______， 20．（西南大学附属中学校2024-2025学年九年级上学期11月）数学发烧友小附在探究等腰三角形面积时，发现一个规律：如图，在中，，，以为边向下构造等边，就可以得到．请根据小附的探究思路完成下面的作图与填空： 如图，在中，， (1)用直尺和圆规，在下方作，在射线上截取，连接交于点（不要求写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）所作的图中，求证．（请补全下面的证明过程） 证明：在中，，且， ， ， ， ， 是等边三角形． ，， ， 在和中， ， （）， ． ， ． 小附总结：顶角为的等腰三角形的面积与 的面积相等． 题型五：作已知线段相等的线段 此类题主要考查了作已知线段相等的线段，等边对等角，三角形外角的性质，全等三角形的性质与判定，作与已知角相等的角，熟练掌握相关判定定理和性质定理进行推理论证是解题的关键． 21．（实验外国语学校2023-2024学年九年级上学期期中）如图，． (1)请用尺规完成以下基本作图：在射线上截取，作的平分线，交于点D，连接；（保留作图痕迹，不写作法，不下结论） (2)求证：四边形是菱形． 证明：∵, ∴, ∵平分 ∴ ① , ∴, ∴ ② , 又∵, ∴, 又∵ ③ , ∴四边形是平行四边形 又∵ ④ , ∴四边形是菱形． 22．（第一中学校2023-2024学年九年级上学期期中）在学习平行四边形后，小函进行了拓展性研究．她发现，平行四边形中，在边上截，连接，作的角平分线交于点，则．她的解决思路是通过证明两条线段所在的四边形是平行四边形得出结论．请根据她的思路完成以下作图和填空： 用直尺和圆规，在边上截，连接，作的角平分线，交于点（只保留作图痕迹）． 已知：如图，四边形是平行四边形，，平分，交于点．求证：． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴______，① ∵平分， ∴______，② ∴， ∴ ∵， ∴______，③ ∴______，④ ∴ ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ∴． 23．（实验外国语学校2023-2024学年九年级上学期9月）如图，在四边形中，于点．    (1)尺规作图：在边上截取，过点作对角线的垂线，交于点G．（要求：保留作图痕迹，不写做法） (2)连接，证明．将下面的过程补充完整． 证明：（1）_______________， 四边形是平行四边形 ，（2）_______________ （3）_______________ 在和中 24．（第一中学校2023-2024学年九年级上学期数学开学）如图，在平行四边形中，已知．    (1)实践与操作：作的平分线交于点E，在上截取，连接；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)小明同学准备在（1）问的所作图形中，求证四边形是菱形．他的证明思路是：利用角平分线和平行线的性质证到四边形是平行四边形，再利用边的关系证到菱形．请根据小明的思路完成下列填空： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴　 　①（ 　 　） ∵平分， ∴，   ∴　 　②（ 　 　） ∴， 由（1）得：， ∴， 又∵　 　③（ 　 　） ∴四边形是平行四边形， ∵　 　④（ 　 　） ∴四边形是菱形． 25．（第八中学校2022-2023学年九年级上学期数学开学）如图，在平行四边形中，． (1)用尺规完成以下基本作图：作的平分线交于点，在上截取，使（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）所作的图形中，连接，求证：四边形是菱形．请补全下面的证明过程． 证明：∵四边形为平行四边形，∴且， ∵，∴， ∴________． ∴四边形是平行四边形， ∵，∴________． ∵平分，∴_______， ∴． ∴_______，∴四边形是菱形． （建议用时： 20 分钟） 1．小西在探究角平分线性质的时候，他发出疑问，三角形的一个内角角平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边是否成比例？于是，他展开探究．根据他的想法与思路，完成以下作图和填空． (1)在中，用尺规作图作的角平分线交与点，在射线上取一点，使得（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（）所作的图中，求证：． 证明：∵平分， ∴ ， 又∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴ ， 依据证明过程，小西得出如下结论：___________． 2．在学习了矩形的相关知识后，小外同学进行了更深入的研究，他们发现，过矩形的一条对角线一点与另外两个端点连线，再与这条对角线上任一端点组成的2个三角形面积有特殊关系． 提出猜想，小外同学猜想这2个三角形面积相等． 方案构思，小外与同学进行充分讨论，发现两个三角形底边相同，如果能够证明高也是相等即可得面积相等，根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： 数学建模：如图，在矩形中，为对角线上一点，连接、，过作于点． 合作探究：（1）请你用尺规过点作的垂线交于点（不写作法，保留作图痕迹）． 严密推理：（2）已知：矩形，于点，于点．求证：． 证明：∵四边形是矩形， ∴，___________①___________． ∴． ∵___________②___________，， ∴，． ∴． ∴． ∴___________③___________． 而，___________④___________． ∴． 所以过矩形的一条对角线上任意一点与另外两个端点连线，再与这条对角线上任一端点组成的2个三角形面积相等；进一步思考，如果四边形是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：___________⑤___________． 3．三角形角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得两条线段与这个角的两边对应成比例． 如图1，中，是角平分线，则．小石同学学习了这个定理以后探究：三角形的外角平分线分对边所得两条线段与这个角的两边的关系，下面是他的探究过程，请按要求完成． 已知：如图2，已知及其外角．的角平分线交的延长线于点F． 求证：．    (1)尺规作图：在图2中作的平分线交的延长线于点F，在射线上截取，连接（不写作法保留作图痕迹） (2)证明： 是的角平分线 ______① ， ______②    ，______③ 是的角平分线 ______ ④     ， 结合以上探究可知：三角形的一个外角的角平分线外分对边所成两条线段，这两条线段和夹相应的内角的两边______ ⑤． 15 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$