热点07 分式方程与不等式综合含参运算（5大题型+高分技巧+限时提升练）-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练（重庆专用）

热点07 分式方程与不等式综合含参运算 重庆近6年选择题中每年都会考查含参数的不等式组与分式方程的综合，为必考点。含参数的不等式组与分式方程的综合主要涉及由不等式组的解集与分式方程的解的情况判断参数的取值,求满足条件的参数的和或积等.熟练掌握分式方程增根和无解的情况，要注意端点值是否能取到.在平时复习中加强练习。 考向：分式方程与不等式综合含参运算 【题型1 有解类】 此类题主要考查了含字母系数的分式方程和含字母系数的一元一次不等式组等，解决问题的关键是熟练掌握分式方程的解的概念，解分式方程，一元一次不等式组有解的情形，解一元一次不等式组， 确定分式方程的解时，注意分式方程不产生增根的情形． 1．（2024年重庆育才中学九年级数学 一诊）若关于x的一元一次不等式组有解，且关于y的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】 【详解】解； 解不等式①得， 解不等式②得：， ∵不等式组有解， ∴， ∴； 去分母得：， 移项，合并同类项得， 解得， ∵分式方程的解为非负整数， ∴，且为整数，且 ∴且为整数，且， ∴或或， ∴所有满足条件的整数的值之和是， 故答案为：． 2．（西南大学附属中学校2023-2024学年九年级上学期期中）若关于x的一元一次不等式组有解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 【答案】7 【详解】解：不等式组的解为， 关于的一元一次不等式组有解， ， ， 方程的两边同时乘以，得 ， 解得：， 解为非负整数， 、、、、、， ， ， 整数的值为，，1，3，7，其和为7． 故答案为：7． 3．（第七中学校2023-2024学年九年级上学期期中）若关于的不等式组有解，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】 【详解】解：； ，； ∴； ∵有解， ∴； ∴； 对于分式方程； 直接去分母得； 解得：； 即，且； ∴，且； ∵为整数 ∴m的取值为，，，，，，，； ∵关于的分式方程有非负整数解， ∴为非负整数 ∴m的取值为，， 则 ∴所有整数的值之和是； 故答案为：． 4．（重庆巴蜀科学城中学校2023-2024学年九年级上学期开学）若整数使得关于的分式方程有正整数解，且使得关于的不等式组有解，那么符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】16 【详解】解：由分式方程得：， 分式方程的解为正整数解， 或或或， 又∵且， ∴， 或或， 关于的不等式组有解， ∴， 解得：， 综上，符合题意的整数的值有，，符合条件的所有整数的和为． 故答案为：． 5．（西南大学附属中学校2023-2024学年九年级上学期期末）若整数既能使关于的不等式组有解，也能使关于的分式方程有整数解，则整数的值为 ． 【答案】 【详解】解：解关于的不等式组得：， 不等式组有解， ， 解得：， 解关于的分式方程得：， ，， ，， 且， 且 为整数，且为整数， 解得：，或(舍去)，或(舍去) ， 整数的值为． 故答案为：． 【题型2 无解类】 此类题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．依据题意，根据分式方程有正整数解确定出参数的值，再由不等式组无解确定出满足题意参数的值，求出之和即可． 6．（2023-2024学年重庆第八中学九年级上学期12月）若数使关于的不等式组无解，使关于的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数的值之积是 ． 【答案】90 【详解】不等式组整理得， 由不等式组无解，可得， 解得， 分式方程去分母，得， 解得， 由分式方程的解为正数，可得， 解得且， ∴的取值范围为且， ∴满足条件的整数的值为， ∴乘积为， 故答案为：90． 7．（第八中学校2024—2025学年上学期第一学月考）如果关于的不等式组无解，且关于的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】13 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： 不等式组无解 分式方程去分母得： 分式方程的解为非负整数 且 且 解得：且 为整数，为非负整数 ，5，7 符合条件的所有整数的和为： 故答案为：13． 8．（巴蜀中学校2024-2025学年九年级上学期12月）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值的和为 ． 【答案】 【分析】此题考查的是解分式方程、解一元一次不等式组．首先根据不等式组无解求得a的取值范围，再解分式方程，根据分式方程的解为正整数，得出a为整数，为正整数，然后确定出符合条件的所有整数a，即可得出答案． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组无解， ∴， ∴， 分式方程去分母，得， ∴， ∵分式方程的解为正整数， ∴a为整数，且， ∵， ∴，，，1， ∴所有满足条件的整数a的值的和为： ． 故答案为：． 9．（第八中学校2024-2025学年九年级上学期9月）若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∵不等式组无解， ∴， ∴， 解分式方程得，， ∵分式方程有整数解，且, ∴，，，， 又∵， ∴，，， ∴满足条件的所有整数的和为， 故答案为：． 10．（2024年育才中学校九年级下学期中考一诊）若数 a既使得关于x的不等式组 无解，又使得关于y的分式方程 的解不小于1，则满足条件的所有整数a的和为 ． 【答案】 【详解】解：， 由①得， 由②得， 不等式组无解， ， 解得， ， ， ， 方程的解不小于1， ， ， ， ， 满足条件的所有整数为4，3，2，1，0，，，，， ， 满足条件的所有整数的和是， 故答案为：． 【题型3 已知解集求参数】 此类题考查了分式方程的解以及不等式的解集，先按照不等式组的性质求出不等式的解集，确定取值范围，再解出分式方程，找到分式方程的非负整数解，进而求出参数的值即可．熟练掌握一元一次不等式组和分式方程的解法以及分式方程的增根情况是解题的关键． 11．（第十八中学2024-2025学年九年级上学期9月）若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解是非负整数解，则所有满足条件的整数m的值之积是 ． 【答案】 【详解】解：， 解不等式①得： ， ∵不等式组的解集为， ∴ ，解得： ， ， 去分母得： ， 解得： ， ∵分式方程的解是非负整数解，且 ， ∴ ，且， 解得： 且 ， ∴ ，且 ， ∴当 或时，分式方程的解是非负整数解， ∴所有满足条件的整数m的值之积是 ． 故答案为：． 12．（南开中学校2024-2025学年九年级上学期入学）若关于x的一元一次不等式组的解集是，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数m的和为 ． 【答案】2 【详解】解：由，得：， ∵不等式组的解集是， ∴， ∴， 解，得：， ∵分式方程有非负整数解， ∴，为整数，且， ∴且， ∴且，且为整数， ∴， ∴符合条件的所有整数m的和为； 故答案为：2． 13．（巴蜀中学校2024-2025学年九年级上学期10月）如果关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程有负整数解，那么符合条件的所有整数的和是 ． 【答案】 【详解】解：， 由①得，， ∵关于的不等式组的解集为， ∴， 解得，， 分式方程， 移项得，，整理得， 两边同时乘以得，， 解得，， ∵关于的分式方程有负整数解， ∴，即，且， ∵， ∴，即， 解得，， ∴，且，是整数， ∴当时，的值不是负整数，不符合题意，舍去； 当时，；当时，；符合题意； ∴符合条件的所有整数的值为或， ∴， 故答案为： ． 14．（育才中学校2023-2024学年九年级下学期开学）若关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数有 个 【答案】3 【详解】解：， 由①得：， 解得：， 由②得：， 解得：， 关于的不等式组的解集为， ， ， ， ， ， 方程两边同时乘得： ， ， ， ， 关于的分式方程的解为正整数， 或4或6或8或10或12或，且， 解得：或0或2或4或6或8或，且， 综上可知所有满足条件的整数为：，2，4， 所有满足条件的整数共3个， 故答案为：3． 15．（2024·重庆·中考真题）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解均为负整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得： ， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴； 解分式方程得， ∵关于的分式方程的解均为负整数， ∴且是整数且， ∴且且a是偶数， ∴且且a是偶数， ∴满足题意的a的值可以为4或8， ∴所有满足条件的整数a的值之和是． 故答案为：． 【题型4 整数解（解的数量确定）】 根据不等式组的整数解的个数确定参数的取值范围，再根据分式方程的整数解确定参数的取值范围，从而求出符合条件的所有整数即可得结论．熟练掌握分式方程，一元一次不等式组的解法是解题的关键． 16．（渝北区2024-2025学年九年级上学期期末）若关于的不等式组有且仅有2个偶数解，且使得关于的分式方程有整数解，则满足条件．所有整数的乘积为 ． 【答案】 【详解】解：由， 得， ∴， ∵不等式组有且仅有2个偶数解， ∴偶数解为：2，0， ∴， ∴， ∵， 解得， ∵方程的解为整数， ∴为整数，且， ∵， ∴a的值为：或1或3， ∴满足条件所有整数a的乘积为：． 故答案为：． 17．（南开中学校2024-2025学年九年级上学期期末）如果关于的不等式组有解且至多有4个整数解，且关于的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 【答案】 【详解】解：解不等式得：， 解不等式，得：， ∴， ∵关于的不等式组至多有4个整数解， ∴， ∴， 由，得， ∵关于的分式方程的解为整数， ∴或或或且， ∴所有满足条件的整数有或， ∴所有满足条件的整数的值之和为， 故答案为：． 18．（西南大学附属中学校2024-2025学年九年级上学期1月）若关于的不等式组有且只有两个奇数解，且关于的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 【答案】21 【详解】解：解不等式组得， ， ∵不等式组有且只有两个奇数解， ∴，即， 解分式方程得，， ∵关于的分式方程有整数解， ∴为整数， 而，则 ∴或或9， ∴， 故答案为：． 19．（第一中学校2024-2025学年九年级上学期12月）若关于的不等式组有且只有2个偶数解，且关于的分式方程有正数解，则符合条件的所有整数的积为 ． 【答案】30 【详解】解：， 去分母得，， ， 根据题意得，，即， ∴是正数，且，即， ∴且，． ， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式的解集为，， ∵关于的不等式组有且只有2个偶数解， ∴， ， ，， ∴所有符合条件的整数的值有， ， ∴所有符合条件的整数的值之积为30． 故答案为：30． 20．（西南大学附属中学校2024-2025学年九年级上学期11月）若关于的不等式组有且只有4个整数解，关于的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数的和为 ． 【答案】 【详解】解：解不等式组，得， ∵不等式组有且只有四个整数解， ， 解得， 解分式方程，得， ∵， ∴， ∵关于y的方程的解为整数， ∴为偶数， ∴满足条件的a的值为，， ∴满足条件的整数a的值之和是． 故答案为：． 【题型5 整数解（解的数量不确定）】 此类题考查了解分式方程，分式方程的解，解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握各种的解法是解本题的关键； 不等式组整理后，表示出解集，由不等式组有解且至多有2个偶数解确定出的范围，再由分式方程解为非负整数，确定出满足题意整数的值，求出之和即可． 21．（第一中学校2024-2025学年九年级上学期数学半期）若关于的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的绝对值之和为 ． 【答案】9 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 关于的一元一次不等式组至少有2个整数解， ， 解得， ， ，且， 则 关于的分式方程的解为正整数， 或或或， 又， 或0或6， 所有满足条件的整数的绝对值之和为． 22．（四川外国语大学附属外国语学校2024-2025学年九年级下学期开学）若关于的一元一次不等式组有解且至多有2个整数解，且关于的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数之和为 ． 【答案】 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ， ∵关于x的一元一次不等式组有解且至多有2个整数解， ∴， ∴， 解，得， ∴， ∵关于y的分式方程有整数解， ∴或或或1， ∵， ∴， ∴， ∴所有满足条件的整数a的值为：或或1， ∴所有满足条件的整数a之和为：， 故答案为：． 23．（南开中学2024-2025学年九年级下学期开学）若关于的不等式组有解且至多4个奇数解，且关于的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴， ∵不等式组有解且至多4个奇数解， ∴ 解得：． 解分式方程得：． ∵分式方程的解为整数，且（时原分式方程无意义） ∴符合条件的所有整数a的值为， ∴符合条件的所有整数a的和为， 故答案为：． 24．（巴蜀中学校2024-2025学年九年级上学期1月）关于的一元一次不等式组至少有个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则符合条件的整数的值之和为 ． 【答案】 【详解】解：解不等式组得，， ∵不等式组至少有个整数解， ∴， ∴， 解分式方程得，， ∵分式方程的解为非负整数， ∴且为整数， ∴， ∴， ∵为整数， ∴或或或或， 又∵， ∴， ∴， 综上，符合条件的整数的值为，，，， ∴符合条件的整数的值之和为， 故答案为：． 25．（第八中学校2024—2025学年九年级上学期第三学月月考）如果关于的不等式组至少有三个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】8 【详解】解：解不等式组，得：， 不等式组至少有三个整数解， ∴，至少有，0，1三个整数解 ， 解得：， 解关于的分式方程， 得：，且， ∴， 分式方程解为非负整数，且， 符合条件的所有整数的值为，，，， 符合条件的所有整数的和为． 故答案为：8． （建议用时：15分钟） 1．如果关于x的不等式组至少有2个整数解，且关于y的分式方程的解为非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 【答案】 【详解】解：解不等式得：， 解不等式，得：， ∴， ∵关于x的不等式组至少有2个整数解， ∴， ∴， 由，得， ∵关于y的分式方程的解为非负整数解， ∴， ∴， ∴， ∵为非负整数， ∴或或或且， ∴所有满足条件的整数有或或8， ∴所有满足条件的整数a的值之和为， 故答案为：． 2．若关于的不等式组至少有2个奇数解，且关于的分式方程有正整数解，那么符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】9 【详解】解：不等式组 解得：；即， 由不等式组至少有2个奇数解，即至少9，7两个奇数是不等式组的解，故， 解得：， 分式方程去分母得：，即， 由分式方程有正整数解，得到， 由x为正整数，且，， 解得：或4或6，10， ∵，分式方程：是增根，， 综上所述：或6， ∴， 则符合条件的所有整数a的和为9， 故答案为：9． 3．若关于的一元一次不等式组有且仅有2个奇数解，且关于的分式方程的解为整数，则满足条件的所有整数的值之和为 ． 【答案】 【详解】解：， 由①得：， ， ， 由②得：， ， ， ， 关于的一元一次不等式组有且仅有2个奇数解， 这两个奇数解为1和3， ， ， ， ， 方程两边同时乘得：， ， 关于的分式方程的解是整数， 或或或或或，且，即， 又， 或2或4或或或， 满足条件的所有整数的值之和为：， 故答案为：． 4．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为 ． 【答案】 【详解】解： ， ， 又关于x的一元一次不等式组的解集为， ， 解得； ， 关于y的分式方程的解为非负整数，且，即， 符合条件的所有整数a为，， 符合条件的所有整数a的和为； 故答案为：． 5．若关于x的一元一次不等式组有解且至多有3个整数解，且关于y的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数a的值之积为 ． 【答案】5 【详解】解：解不等式组，得， 不等式组有解且最多有3个整数解， ， 解得：， 整数为：1，2，3，4，5，6， 解分式方程，得， 分式方程有整数解， 是整数，且， 整数为：1，5， 所有满足条件的整数的值之积是． 故答案为：5． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点07 分式方程与不等式综合含参运算 重庆近6年选择题中每年都会考查含参数的不等式组与分式方程的综合，为必考点。含参数的不等式组与分式方程的综合主要涉及由不等式组的解集与分式方程的解的情况判断参数的取值,求满足条件的参数的和或积等.熟练掌握分式方程增根和无解的情况，要注意端点值是否能取到.在平时复习中加强练习。 考向：分式方程与不等式综合含参运算 【题型1 有解类】 此类题主要考查了含字母系数的分式方程和含字母系数的一元一次不等式组等，解决问题的关键是熟练掌握分式方程的解的概念，解分式方程，一元一次不等式组有解的情形，解一元一次不等式组， 确定分式方程的解时，注意分式方程不产生增根的情形． 1．（2024年重庆育才中学九年级数学 一诊）若关于x的一元一次不等式组有解，且关于y的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 2．（西南大学附属中学校2023-2024学年九年级上学期期中）若关于x的一元一次不等式组有解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 3．（第七中学校2023-2024学年九年级上学期期中）若关于的不等式组有解，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 4．（重庆巴蜀科学城中学校2023-2024学年九年级上学期开学）若整数使得关于的分式方程有正整数解，且使得关于的不等式组有解，那么符合条件的所有整数的和为 ． 5．（西南大学附属中学校2023-2024学年九年级上学期期末）若整数既能使关于的不等式组有解，也能使关于的分式方程有整数解，则整数的值为 ． 【题型2 无解类】 此类题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．依据题意，根据分式方程有正整数解确定出参数的值，再由不等式组无解确定出满足题意参数的值，求出之和即可． 6．（2023-2024学年重庆第八中学九年级上学期12月）若数使关于的不等式组无解，使关于的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数的值之积是 ． 7．（第八中学校2024—2025学年上学期第一学月考）如果关于的不等式组无解，且关于的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为 ． 8．（巴蜀中学校2024-2025学年九年级上学期12月）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值的和为 ． 9．（第八中学校2024-2025学年九年级上学期9月）若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为 ． 10．（2024年育才中学校九年级下学期中考一诊）若数 a既使得关于x的不等式组 无解，又使得关于y的分式方程 的解不小于1，则满足条件的所有整数a的和为 ． 【题型3 已知解集求参数】 此类题考查了分式方程的解以及不等式的解集，先按照不等式组的性质求出不等式的解集，确定取值范围，再解出分式方程，找到分式方程的非负整数解，进而求出参数的值即可．熟练掌握一元一次不等式组和分式方程的解法以及分式方程的增根情况是解题的关键． 11．（第十八中学2024-2025学年九年级上学期9月）若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解是非负整数解，则所有满足条件的整数m的值之积是 ． 12．（南开中学校2024-2025学年九年级上学期入学）若关于x的一元一次不等式组的解集是，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数m的和为 ． 13．（巴蜀中学校2024-2025学年九年级上学期10月）如果关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程有负整数解，那么符合条件的所有整数的和是 ． 14．（育才中学校2023-2024学年九年级下学期开学）若关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数有 个 15．（2024·重庆·中考真题）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解均为负整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【题型4 整数解（解的数量确定）】 根据不等式组的整数解的个数确定参数的取值范围，再根据分式方程的整数解确定参数的取值范围，从而求出符合条件的所有整数即可得结论．熟练掌握分式方程，一元一次不等式组的解法是解题的关键． 16．（渝北区2024-2025学年九年级上学期期末）若关于的不等式组有且仅有2个偶数解，且使得关于的分式方程有整数解，则满足条件．所有整数的乘积为 ． 17．（南开中学校2024-2025学年九年级上学期期末）如果关于的不等式组有解且至多有4个整数解，且关于的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 18．（西南大学附属中学校2024-2025学年九年级上学期1月）若关于的不等式组有且只有两个奇数解，且关于的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 19．（第一中学校2024-2025学年九年级上学期12月）若关于的不等式组有且只有2个偶数解，且关于的分式方程有正数解，则符合条件的所有整数的积为 ． 20．（西南大学附属中学校2024-2025学年九年级上学期11月）若关于的不等式组有且只有4个整数解，关于的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数的和为 ． 【题型5 整数解（解的数量不确定）】 此类题考查了解分式方程，分式方程的解，解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握各种的解法是解本题的关键； 不等式组整理后，表示出解集，由不等式组有解且至多有2个偶数解确定出的范围，再由分式方程解为非负整数，确定出满足题意整数的值，求出之和即可． 21．（第一中学校2024-2025学年九年级上学期数学半期）若关于的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的绝对值之和为 ． 22．（四川外国语大学附属外国语学校2024-2025学年九年级下学期开学）若关于的一元一次不等式组有解且至多有2个整数解，且关于的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数之和为 ． 23．（南开中学2024-2025学年九年级下学期开学）若关于的不等式组有解且至多4个奇数解，且关于的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数的和为 ． 24．（巴蜀中学校2024-2025学年九年级上学期1月）关于的一元一次不等式组至少有个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则符合条件的整数的值之和为 ． 25．（第八中学校2024—2025学年九年级上学期第三学月月考）如果关于的不等式组至少有三个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为 ． （建议用时：15分钟） 1．如果关于x的不等式组至少有2个整数解，且关于y的分式方程的解为非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 2．若关于的不等式组至少有2个奇数解，且关于的分式方程有正整数解，那么符合条件的所有整数的和为 ． 3．若关于的一元一次不等式组有且仅有2个奇数解，且关于的分式方程的解为整数，则满足条件的所有整数的值之和为 ． 4．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为 ． 5．若关于x的一元一次不等式组有解且至多有3个整数解，且关于y的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数a的值之积为 ． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$