精品解析：河北省衡水市阜城县阜城实验中学2024-2025学年高二下学期2月月考数学试题

2025年2月高二数学试卷 一、选择题选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 已知函数在处可导，且则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的定义计算可得. 【详解】因为函数在处可导，且， 所以. 故选：A 2. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 求得函数的导数，得到，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】由题意，函数，可得， 又由，则，即切线的斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为. 故选：A. 3. 曲线在点处的切线与直线平行，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】确定曲线在点处的切线的斜率，求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得答案. 【详解】因为曲线在点处的切线与直线平行， 故曲线在点处的切线的斜率为2， 因为，所以， 所以， 故选：C. 4. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据基本初等函数求导法则以及复合函数求导法则计算即可. 【详解】因为，，，. 故选：C. 5. 已知函数的导函数是，且，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】求出，由可得答案． 【详解】，则，解得． 故选：B. 6. 若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数在区间上的导函数为非负数，列不等式，解不等式即可求得的取值范围. 【详解】由题意得， 在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 又函数在上单调递增，得， 所以，即实数的取值范围是. 故选：B 7. 若曲线与曲线在交点处有公切线，则 A. B. 0 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【详解】分析：由曲线与曲线在交点处有公切线，根据斜率相等，求解，根据点在曲线上，求得，进而求得的值，即可求解． 详解：由曲线，得，则， 由曲线，得，则， 因为曲线与曲线在交点处有公切线， 所以，解得， 又由，即交点为， 将代入曲线，得，所以，故选D． 点睛：本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中根据在点处的公切线，建立方程求解是解答的关键，，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力． 8. 若直线与曲线和曲线同时相切，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设出切点，由导数的意义，根据两直线的斜率相等求出，再由，求出即可. 【详解】设直线直线与曲线相切于， 与曲线相切于点， 曲线，其导数，则有， 则在点处切线的方程为， 即，曲线，其导数，则有， 则在处切线的方程为，即， 则有，则有， 又由，则有，则， 则； 故选：A． 二、多项选择题本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列求函数的导数正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用复合函数的求导法则可判断各选项的正误. 【详解】选项A:正确； 选项B: 错误； 选项C：正确； 选项D：，正确； 故选：ACD 10. 已知函数，则函数在下列区间上单调递增的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由导函数大于0求出单调递增区间，得到答案. 【详解】因为的定义域为R， ， 令得：或， 所以在区间，上单调递增． 故选：AC． 11. 设函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的定义域是 B. 当时，的图象位于x轴下方 C. 存在单调递增区间 D. 有两个单调区间 【答案】BC 【解析】 【分析】由函数定义域的求解可判断A,根据基本函数的性质可判断当时，可判断B,根据导函数与单调性的关系即可判断C,D. 【详解】由，得且，所以函数的定义域为，所以A不正确. 当时，，，所以，所以当时，的图象位于x轴下方，所以B正确. ，令，则，所以函数单调递增， ，故存在，使得，则函数只有一个根，当和时，，函数单调递减，当时，函数单调递增，所以函数有三个单调区间，所以C正确，D不正确. 故选：BC 三、填空题本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则实数a的值为_________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求出切线的斜率，再根据直线垂直即可求解. 【详解】函数的导函数为， 故函数在处的切线的斜率为. ∵直线的斜率为，切线与直线垂直， 所以，解得. 故答案为：3. 13. 已知函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用函数单调性与导数的关系，列出不等式即可求解. 【详解】函数的定义域为，求导得， 依题意，不等式在上有解，等价于在上有解， 而，当且仅当时取等号，则， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：． 14. 若对任意的、，且，，则的最小值是_______________________． 【答案】 【解析】 【分析】分析出函数在上为减函数，利用导数求出函数的单调递减区间，即可求得实数的最小值. 【详解】对任意的、，且，，易知， 则，所以，，即， 令，则函数在上为减函数， 因为，由，可得， 所以函数单调递减区间为， 所以，，所以，，因此，实数的最小值为. 故答案为：. 四、解答题本题共 5 小题，共 77 分. 15. 求下列函数的导数． （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）（2）（3）（4）根据基本初等函数的求导公式，结合求导法则即可逐一求解. 【小问1详解】 由可得 【小问2详解】 由可得 【小问3详解】 由得 【小问4详解】 由得 16. 已知函数. （1）求曲线与直线垂直的切线方程； （2）若过点的直线与曲线相切，求直线的斜率. 【答案】（1） （2）或5 【解析】 【分析】（1）求出切线的斜率，再写出切线方程； （2）根据切线的斜率与直线的方程列方程组求解即可. 【小问1详解】 因为斜率为，所以， 所以，又. 所以所求切线方程为，即. 【小问2详解】 ，设切点的横坐标为，直线的斜率为，直线的方程：， 则 则，整理得，所以， 所以或5. 17. 设函数. （1）若在点处的切线为，求a，b的值； （2）求的单调区间. 【答案】（1），； （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）已知切线求方程参数，第一步求导，切点在曲线，切点在切线，切点处的导数值为切线斜率. (2)第一步定义域，第二步求导，第三步令导数大于或小于0，求解析，即可得到答案. 【小问1详解】 定义域为，， 因为在点处的切线为， 所以，所以；所以 把点代入得：. 即a，b的值为：，. 【小问2详解】 由（1）知：. ①当时，在上恒成立，所以在单调递减； ②当时，令，解得：， 列表得： x - 0 + 单调递减 极小值 单调递增 所以，时，的递减区间为，单增区间为. 综上所述：当时，在单调递减； 当时，的递减区间为，单增区间为. 【点睛】导函数中得切线问题第一步求导，第二步列切点在曲线，切点在切线，切点处的导数值为切线斜率这三个方程，可解切线相关问题. 18. 已知函数.讨论的单调性； 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】根据导数和因式分解，分类讨论导数的正负即可分析函数的单调性. 【详解】， 令， 则或， ①若， 则有， 所以函数在R上为增函数； ②若， 当或时，， 当时，， 所以函数在和上递增，在上递减； ③若， 当或时，， 当时，， 所以函数在和上递增，在上递减； 综上所述， 当时，函数在和上递增，在上递减； 当时，函数在R上为增函数； 当时，函数在和上递增，在上递减. 19 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，，讨论零点个数. 【答案】（1）答案见解析 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）求，根据a的范围分类讨论导数的正负，从而判断f(x)的单调性； （2）令并参变分离，将问题转化为三次函数与常数函数图象交点问题. 【小问1详解】 的定义域为R，. 若，令，得或，令，得； 若，令，得或，令，得. 综上，当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 当时，， 令，则， 令， 则. 当和时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以的极小值为，的极大值为， 画出函数的大致图象，如图， 由图可知， 当或时，函数有1个零点； 当或时，函数有2个零点； 当时，函数有3个零点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年2月高二数学试卷 一、选择题选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 已知函数在处可导，且则（ ） A. B. C. D. 2 2. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 曲线在点处的切线与直线平行，则（ ） A B. C. 1 D. 2 4. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的导函数是，且，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 1 6. 若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若曲线与曲线在交点处有公切线，则 A. B. 0 C. 2 D. 1 8. 若直线与曲线和曲线同时相切，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列求函数的导数正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则函数在下列区间上单调递增的有（ ） A. B. C. D. 11. 设函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的定义域是 B. 当时，的图象位于x轴下方 C. 存在单调递增区间 D. 有两个单调区间 三、填空题本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则实数a的值为_________. 13. 已知函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是__________. 14. 若对任意的、，且，，则的最小值是_______________________． 四、解答题本题共 5 小题，共 77 分. 15. 求下列函数导数． （1） （2） （3） （4） 16. 已知函数. （1）求曲线与直线垂直的切线方程； （2）若过点的直线与曲线相切，求直线的斜率. 17 设函数. （1）若在点处的切线为，求a，b的值； （2）求的单调区间. 18. 已知函数.讨论单调性； 19. 已知函数. （1）讨论单调性； （2）当时，，讨论的零点个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$