精品解析：湖南永州市第一中学2026-2026学年高一下学期期末研学考试模拟（一）数学试卷

2026年永州市高一下学期期末研学考试模拟（一） 数学 满分：150分 考试时间：120分钟 范围：必修二全册 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】首先化简复数，再代入模的公式. 【详解】由条件可知，， 所以. 2. 已知一组数据，，的平均数为，方差为，则数据，，，的平均数和方差分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】因为一组数据，，的平均数为，方差为， 所以数据，，，的平均数为，方差为. 3. 人口普查的主要目的是全面查清我国人口数量、结构、分布等方面的情况，为完善我国人口发展战略和政策体系、制定经济社会发展规划、推动高质量发展提供准确统计信息支持．根据国家统计局发布的第七次全国人口普查结果，全国人口共141178万人，全国共有家庭户49416万户，家庭户人口为129281万人．如图所示的为历次人口普查中的全国人口及年均增长率，根据该统计图，下列说法正确的是（ ） A. 我国人口近10年来继续保持低速增长态势 B. 我国人口的年平均增长率持续下降 C. 2020年的全国人口相比2010年增加了 D. 我国人口出生率仍然持续上升 【答案】A 【解析】 【详解】我国人口近10年的年平均增长率为，保持低速增长态势，故A正确，C错误； 1964年年，我国人口的年平均增长率上升，故B错误； 从图中不能判定我国人口出生率的情况，故D错误． 4. 设非零平面向量，，两两不垂直，那么“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】结合向量数乘的共线性质，分别验证充分性与必要性，利用题设两两不垂直即点积非零的条件判断逻辑关系. 【详解】验证充分性： 已知非零向量两两不垂直，故，， 若，则左边为与共线的非零向量，右边为与共线的非零向量， 两非零向量相等则方向一致，因此，充分性成立； 验证必要性： 若，由为非零向量，可知存在实数，使得， 代入左边得： ， 代入右边得： ， 左边等于右边，故必要性成立； 因此“”是“”的充要条件. 5. 已知是两条不同直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面的位置关系逐一判断每个选项. 【详解】若，则，A选项正确. 若，则，也可能相交，B选项错误； 若，则，也可能，C选项错误； 若，则，还可能，，和相交但不垂直，D选项错误. 故选：A. 6. 一个圆柱形水杯的底面半径为3，高为8．若向其中放入一个半径为2的实心金属球，且金属球完全浸没在水中，则水面上升的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据水升高部分的体积就是球的体积可得结果. 【详解】金属球的体积为． 圆柱形水杯的底面积为． 水面上升高度为． 7. 如图，在长方体中，，点分别为的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】如图所示，取的中点，连接，，， 在长方体中，，因为，分别是，，所以，所以，所以直线和所成角是锐角， 因为，所以，所以， 因为为的中点，所以，所以，所以，， 在中，由余弦定理得， 所以异面直线和所成角的余弦值为. 8. 已知，若向量满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】易得，则可设，设，根据求出的关系，进而求出的范围，再根据数量积的坐标公式即可得解. 【详解】因为， 所以，所以， 则可设，设， 由， 得， 即，化简整理得， 所以，所以， 所以， 即的最大值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 有6个相同的球，分别编号1、2、3、4、5、6，从中先不放回的随机取两次，再将球全部放回随机取一次，以上每次抽取一个小球，记事件A：第一次取球编号数字小于3；B：第二次取球编号数字为偶数；C：第三次取球编号为6；D：前两次取球编号数字和为7；E：第一、三次取球编号数字至少有一个1.则下列说法正确的是（ ） A. B. 事件A与事件C相互独立 C. 事件A与事件E相互独立 D. 事件A与事件B相互独立 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出事件的概率，再根据相互独立事件概率的关系依次判断每个选项得到答案. 【详解】根据题意，，，，， 对于A，由于是不放回的取球，则，故A正确； 对于B，因为，所以事件与相互独立，故B正确； 对于C，因为，所以事件与不相互独立，故C错误； 对于D，因为，所以事件与相互独立，故D正确. 故选：ABD. 10. 在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（ ） A. B. C. D. 的范围为 【答案】AC 【解析】 【分析】对题干所给式子，利用正弦定理边角互化化简即可判断A，B选项；利用向量的加法法则即可判断C选项，利用向量模长计算的范围即可． 【详解】根据， 由正弦定理可知， 整理得， 利用两角和公式可知； 根据三角形内角和可知，， 故上式可化简为， 根据正弦定理可知，故A正确； 假设，则， 因为，故，则，，则， 不符合三角形内角范围，故B错误； 由可得， 故，故C正确； 因为， 由余弦定理可得，故， 因为，故； 由三角形三边关系可知，解得； 故，故的范围为，故D错误． 11. 在棱长为2的正方体中，P，Q，R分别为，，的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 直线与所成的角为 C. 若三棱锥的所有顶点都在球的表面上，则球的表面积为 D. 过点且与直线垂直的平面截正方体所得截面多边形的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据线面垂直判定定理证明平面，即可判断；对于B，说明直线与所成的角为，结合余弦定理验算即可；对于C，只需求出三棱锥的外接球的半径，再结合球的表面积公式验算即可；对于D，说明截面为边长为的正六边形，然后根据面积公式验算即可. 【详解】对于A，因为四边形为正方形，所以， 由正方体性质可得平面，又平面， 所以，又，平面， 所以平面，因为平面， 所以，A正确； 对于B，如图所示， 因为，所以四边形是平行四边形，所以， 所以直线与所成的角为或其补角， 而， 所以，所以，故B错误； 对于C，如图所示， ， 所以三角形的外接圆半径为， 显然平面，且， 所以三棱锥的外接球的半径为， 所以球的表面积为，故C正确； 对于D，如图所示，取中点，顺次连接， 因为平面，平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 同理可证，， 而，，平面， 所以平面， 根据前面的假设有，，所以四点共面， 又因为，所以四边形是平行四边形， 所以，所以六点共面， 因为，平面，平面， 所以平面， 同理可证平面， 又因为平面，，平面， 所以平面平面， 又因为平面， 所以平面， 所以六边形即为过点且与直线垂直的平面截正方体所得截面多边形， 显然这是一个边长为的正六边形，其面积为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某学校高一年级在校人数为人，其中男生人，女生人，为了解学生身高发展情况，按分层随机抽样的方法抽出的男生身高为一个样本，其样本平均数为cm，抽出的女生身高为一个样本，其样本平均数为cm，则可估计该校高一学生的平均身高为_______cm. 【答案】 【解析】 【分析】通过分层随机抽样，平均数的概念求解. 【详解】由题意可知，，且， 所以该校高一学生平均身高的估计值， 故该校高一学生的平均身高的估计值为． 13. 抽奖箱中共6个球，这6个球的形状、大小完全相同，每个球上面分别标有数字1，2，3，4，5，6中的一个，且没有重复出现的数字标号，现从中随机抽出两个球（不放回），则两个球之间的数字标号互质的概率为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用列举法求出古典概率. 【详解】随机抽出两个球的样本空间，共15个， 两个球之间的数字标号互质的事件，共11个， 所以两个球之间的数字标号互质的概率为. 故答案为： 14. 已知直二面角，点，，为垂足，点，，为垂足，若，，则到平面的距离等于_____． 【答案】## 【解析】 【分析】由直二面角得到、，根据勾股定理得到，，求出，求出，求出，设点到平面的距离为，由计算出则. 【详解】直二面角，棱为， 因为，，，， 所以，，，，， ，， ，， ， ， 所以， 因为， ，所以平面， 即是三棱锥的高，且， ，故， 在Rt中，， ， 设点到平面的距离为， ，则，解得 ， 即. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在等边中，分别是和的中点，，设． （1）用向量表示，并求； （2）求向量与的夹角的余弦值． 【答案】（1），. （2） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量基本定理即可将向量表示出来，然后根据求模公式和数量积的定义可求出. （2）利用向量数量积的定义求解即可. 【小问1详解】 如图所示， . 所以. 【小问2详解】 如图，因为. 由（1）知，. 所以. 而， 所以. 16. 高一年级举行了一次“数学建模能力竞赛”，为了解本次测试竞赛情况，年级从中抽取了部分学生的成绩进行统计．将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第1组频数是第2组频数的一半，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）若根据这次成绩，年级择优选取的同学晋级下一轮竞赛，请问晋级分数线定为多少合理？ （2）年级以各学习小组的平均分和方差为团体奖励依据．若某学习小组10位学生测试分数的平均数，标准差，若该小组得分分别为95分和85分的两位学生宣布退赛，求该小组余下8位学生分数的平均数与方差； （3）在下一轮比赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关模型检验的问题．已知甲回答正确的概率是，甲、乙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人至少一人回答正确的概率是．每人回答正确与否相互独立．求甲、乙、丙三人中至少两人回答正确的概率． 【答案】（1）73分合理； （2）90；38.75 （3） 【解析】 【分析】（1）首先根据频率比值求，再根据频率和为1求，再根据频率计算百分位数，即可求解的值； （2）代入样本平均数和方差公式，即可求解； （3）首先根据独立事件概率公式求乙，丙2人回答正确问题的概率，再结合对立事件概率公式，即可求解. 【小问1详解】 由题意知，第1组的小长方形的高是第2组的小长方形的高的一半， 所以， 又，解得， 所以，， 择优选取的同学晋级下一轮竞赛，即确定第60百分位数， 成绩落在内的频率为：， 落在内的频率为：， 设第60百分位数为， 则，解得， 所以晋级分数线划为73分合理； 【小问2详解】 设该小组10位学生的分数分别为，因为， 所以， 所以， 所以， 剔除其中的95和85两个分数，设剩余8个数为， 平均数与标准差分别为，， 则剩余8个分数的平均数：， 方差：； 【小问3详解】 记“甲、乙、丙回答正确这道题”分别为事件， 则，解得， 由乙、丙两人至少一人回答正确的概率是， 则 即． 所以乙、丙两人各自回答正确这道题的概率为和． 有0人回答正确的概率， 有1人回答正确的概率为 所以不少于2人回答正确这道题的概率． 17. 如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，． （1）当平面时，求实数的值； （2）当时，求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行，得到线线平行，可确定点位置. （2）先利用体积法求点到平面的距离，在根据与平面所成角的正弦值为求解. 【小问1详解】 如图： 连接交与点，连接. 因为平面，平面，平面平面， 所以. 因为底面为矩形，所以为中点， 所以为中点，所以.所以. 【小问2详解】 当时，取中点，连接，. 因为，. 所以，，. . 在中，由余弦定理得：. 所以，所以. 设到平面的距离为， 由，得：，又. 所以. 设直线与平面所成的角为， 则. 18. 已知三角形的角，，所对的边为，，，且，，延长到点． （1）若，求的长； （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先结合，利用正弦定理，可求，再在中，利用余弦定理可求. （2）设，，在和中，利用正弦定理构造关系，求的正弦，再在中，利用正弦定理求的长. 【小问1详解】 由和正弦定理，可得， 因，代入可得， 因为，所以，由因,所以. 在中，，，， 由余弦定理，， 所以. 【小问2详解】 设，则，设，则. 在中，，由正弦定理，得①， 在中，，由正弦定理，得②. 由得：， 整理得： 可得 . 又为锐角，所以. 在中，由正弦定理，可得， 所以. 19. 矩形中，，为线段的中点，将沿折起，使得平面平面．在新构造的四棱锥中，求解以下问题： （1）求四棱锥的体积. （2）求二面角的余弦值． （3）在上是否存在点使得平面? 若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由； 【答案】（1） （2） （3）存在，是线段上靠近点的三等分点 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理推出线面垂直，即得出棱锥的高，代入四棱锥的体积公式即得； （2）先证，平面，得，计算，从而证，得出为二面角的平面角，在中即得余弦值； （3）设交于点，可证，因此只要，就有，进而可得平面. 【小问1详解】 取的中点，连接，在原矩形中，因为，点为的中点，故，因为是等腰三角形，所以. 翻折后，因为平面平面，且平面平面， 根据面面垂直的性质定理得：平面，即是四棱锥的高， 又因为，所以， 又因为， 所以四棱锥的体积. 【小问2详解】 在矩形中，，， ，． 又平面平面，平面，平面平面 平面， 平面，， ． 在中，，， 又，平面，平面，平面平面， 为二面角的平面角， 在中，， ∴二面角的余弦值为． 【小问3详解】 存在．如图所示： 连接、，设交于点， ，且， ． 取的三等分点，使，连接、、，则． 又平面，平面， 平面． 故存在满足条件的点，且是线段上靠近点的三等分点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年永州市高一下学期期末研学考试模拟（一） 数学 满分：150分 考试时间：120分钟 范围：必修二全册 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. 4 D. 8 2. 已知一组数据，，的平均数为，方差为，则数据，，，的平均数和方差分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 人口普查的主要目的是全面查清我国人口数量、结构、分布等方面的情况，为完善我国人口发展战略和政策体系、制定经济社会发展规划、推动高质量发展提供准确统计信息支持．根据国家统计局发布的第七次全国人口普查结果，全国人口共141178万人，全国共有家庭户49416万户，家庭户人口为129281万人．如图所示的为历次人口普查中的全国人口及年均增长率，根据该统计图，下列说法正确的是（ ） A. 我国人口近10年来继续保持低速增长态势 B. 我国人口的年平均增长率持续下降 C. 2020年的全国人口相比2010年增加了 D. 我国人口出生率仍然持续上升 4. 设非零平面向量，，两两不垂直，那么“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知是两条不同直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 一个圆柱形水杯的底面半径为3，高为8．若向其中放入一个半径为2的实心金属球，且金属球完全浸没在水中，则水面上升的高度为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在长方体中，，点分别为的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（   ） A. B. C. D. 8. 已知，若向量满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 有6个相同的球，分别编号1、2、3、4、5、6，从中先不放回的随机取两次，再将球全部放回随机取一次，以上每次抽取一个小球，记事件A：第一次取球编号数字小于3；B：第二次取球编号数字为偶数；C：第三次取球编号为6；D：前两次取球编号数字和为7；E：第一、三次取球编号数字至少有一个1.则下列说法正确的是（ ） A. B. 事件A与事件C相互独立 C. 事件A与事件E相互独立 D. 事件A与事件B相互独立 10. 在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（ ） A. B. C. D. 的范围为 11. 在棱长为2的正方体中，P，Q，R分别为，，的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 直线与所成的角为 C. 若三棱锥的所有顶点都在球的表面上，则球的表面积为 D. 过点且与直线垂直的平面截正方体所得截面多边形的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某学校高一年级在校人数为人，其中男生人，女生人，为了解学生身高发展情况，按分层随机抽样的方法抽出的男生身高为一个样本，其样本平均数为cm，抽出的女生身高为一个样本，其样本平均数为cm，则可估计该校高一学生的平均身高为_______cm. 13. 抽奖箱中共6个球，这6个球的形状、大小完全相同，每个球上面分别标有数字1，2，3，4，5，6中的一个，且没有重复出现的数字标号，现从中随机抽出两个球（不放回），则两个球之间的数字标号互质的概率为_______________． 14. 已知直二面角，点，，为垂足，点，，为垂足，若，，则到平面的距离等于_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在等边中，分别是和的中点，，设． （1）用向量表示，并求； （2）求向量与的夹角的余弦值． 16. 高一年级举行了一次“数学建模能力竞赛”，为了解本次测试竞赛情况，年级从中抽取了部分学生的成绩进行统计．将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第1组频数是第2组频数的一半，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）若根据这次成绩，年级择优选取的同学晋级下一轮竞赛，请问晋级分数线定为多少合理？ （2）年级以各学习小组的平均分和方差为团体奖励依据．若某学习小组10位学生测试分数的平均数，标准差，若该小组得分分别为95分和85分的两位学生宣布退赛，求该小组余下8位学生分数的平均数与方差； （3）在下一轮比赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关模型检验的问题．已知甲回答正确的概率是，甲、乙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人至少一人回答正确的概率是．每人回答正确与否相互独立．求甲、乙、丙三人中至少两人回答正确的概率． 17. 如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，． （1）当平面时，求实数的值； （2）当时，求与平面所成角的正弦值． 18. 已知三角形的角，，所对的边为，，，且，，延长到点． （1）若，求的长； （2）若，，求的长． 19. 矩形中，，为线段的中点，将沿折起，使得平面平面．在新构造的四棱锥中，求解以下问题： （1）求四棱锥的体积. （2）求二面角的余弦值． （3）在上是否存在点使得平面? 若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $