精品解析：福建省莆田市2025届高三第二次教学质量检测数学试卷

莆田市2025届高中毕业班第二次教学质量检测试卷 数学 本试卷共5页，19小题，满分150分．考试时间120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，则在方向上投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 设等比数列公比为，则“”是“为递增数列”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 即不充分也不必要条件 5. 曲线在点处切线的斜率为，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数是图象的一条对称轴，且在上单调，则为（ ） A 2 B. 5 C. 8 D. 11 7. 为了解女儿身高与其母亲身高的关系，随机抽取5对母女的身高数据如下： 母亲身高 164 166 166 166 168 女儿身高 165 165 166 167 167 根据最小二乘法（即取最小），关于的回归直线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 设正方形的四条边分别经过点，则该正方形与圆的公共点至多有（ ） A. 0个 B. 4个 C. 8个 D. 16个 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知双曲线的左右焦点分别是，过的直线交于两点，列结论正确的是（ ） A. B. 渐近线方程 C. 的最小值为4 D. 内切圆圆心在直线上 10. 在三棱锥中，平面分别为中点，下列结论正确的是（ ） A. 直角三角形 B. 平面 C. 三棱锥的体积最大值为 D. 三棱锥外接球的半径为定值 11. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 当时，是的极大值点 B. 存在实数，使得成立 C. 若在区间上单调递减，则的取值范围是 D. 若存在唯一的零点，且，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 展开式中的常数项为_________． 13. 如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面3m，水面宽6m．水面上升1m后，水面宽度是______m． 14. 在中，，的面积为3，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 记为等差数列的前项和．已知． （1）求的通项公式； （2）记集合，将中的元素从小到大依次排列，得到新数列，求的前20项和． 16. 如图，在直三棱柱中，平面平面为中点． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件（安静或嘈杂）的影响． （1）已知在安静环境下，语音识别成功的概率为0.9；在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为0.6．某天进行测试，已知当天处于安静环境的概率为0.3，处于嘈杂环境的概率为0.7． （ⅰ）求测试结果为语音识别成功的概率； （ⅱ）已知测试结果为语音识别成功，求当天处于安静环境的概率； （2）已知当前每次测试成功的概率为0.8，每次测试成本固定，现有两种测试方案： 方案一：测试4次；方案二：先测试3次，如果这3次中成功次数小于等于2次，则再测试2次，否则不再测试，为降低测试成本，以测试次数的期望值大小为决策依据，应选择哪种方案？ 18. 已知椭圆的离心率为，点在上． （1）求的方程； （2）设椭圆．若过的直线交于另一点交于两点，且在轴上方． （ⅰ）证明：； （ⅱ）为坐标原点．为右顶点．设在第一象限内，，是否存在实数使得的面积与的面积相等？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 19. 若函数在区间上有意义，且存在正实数，使得，均有，则称在上具有性质．设． （1）求的单调区间： （2）判断在上是否具有性质，并说明理由； （3）当时，在上具有性质，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 莆田市2025届高中毕业班第二次教学质量检测试卷 数学 本试卷共5页，19小题，满分150分．考试时间120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数除法运算求出，然后由共轭复数概念和复数模公式可得. 【详解】因为，所以， 所以，所以. 故选：C 2 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的诱导公式化简即可. 【详解】. 故选：C. 3. 已知向量，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量定义公式计算求解即可得解. 【详解】在方向上的投影向量是， 故选：A. 4. 设等比数列公比为，则“”是“为递增数列”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D. 即不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】要判断“”与“等比数列为递增数列”之间的条件关系.需要分别从充分性和必要性两方面进行分析，即看“”能否推出“等比数列为递增数列”，以及“等比数列为递增数列”能否推出“”. 【详解】假设.对于等比数列，其通项公式为. 当，时，根据通项公式可得. 此时，等比数列不是递增数列. 这说明仅仅不能保证等比数列一定是递增数列， 所以“”不是“等比数列为递增数列”的充分条件. 假设等比数列为递增数列，那么. 由通项公式可得，，所以. 当时，不等式两边同时除以（因为，，不等号方向改变）， 得到.例如当时，，解得. 这说明等比数列为递增数列时，不一定有， 所以“”不是“等比数列为递增数列”的必要条件. 则“”是“为递增数列”的既不充分又不必要条件. 故选：D. 5. 曲线在点处切线的斜率为，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助导数的几何意义计算即可得. 【详解】，令，则，故， 当时，，即的坐标为. 故选：B. 6. 已知函数是图象的一条对称轴，且在上单调，则为（ ） A 2 B. 5 C. 8 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】利用的对称轴和在区间上的单调性，求得的值. 【详解】因为函数在上单调， 所以，得. 又直线为的图象的对称轴， 所以， 得，当时，. 故选：B. 7. 为了解女儿身高与其母亲身高的关系，随机抽取5对母女的身高数据如下： 母亲身高 164 166 166 166 168 女儿身高 165 165 166 167 167 根据最小二乘法（即取最小），关于的回归直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用线性回归方程经过样本中心点，进行排除即可. 详解】观察数据，可得与有关，故排除D. 又，. 所以回归直线方程必过点，所以排除AB. 故选：C 8. 设正方形的四条边分别经过点，则该正方形与圆的公共点至多有（ ） A. 0个 B. 4个 C. 8个 D. 16个 【答案】B 【解析】 【分析】设，，表达出正方形边长，求出等号成立时，，得到答案. 【详解】，由勾股定理得，设，， 则，， 由对称性可知，， 所以， 当且仅当时，等号成立，此时不妨设点为点，则， 同理可得，， 经验证，在上，故该正方形与圆的公共点至多有4个. 故选：B 【点睛】关键点点睛：设出角度，由对称性得到正方形边长，求出取最大值时四点的坐标，得到答案. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知双曲线的左右焦点分别是，过的直线交于两点，列结论正确的是（ ） A. B. 渐近线方程为 C. 的最小值为4 D. 内切圆圆心在直线上 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据双曲线的计算得出焦点及渐近线判断A，B，联立求解弦长计算判断C，结合圆的切线长定理、双曲线的定义判断D. 【详解】因为双曲线中，所以，所以，所以左焦点，故A正确； 渐近线方程为，故B错误； 双曲线，， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时，，则； 当直线的斜率为：或时， 设直线的方程为，设， 联立，得， 则，， 所以， 由于或，则，即. 当直线的斜率为：时，过的直线交于两点，左右各有一个交点，， 当斜率为0时，取得最小值，最小值为，故C正确． 设圆分别与相切于点，则． 因为，所以． 令的横坐标为，则，即为双曲线的右顶点， 即内切圆圆心在定直线上， 同理如果在双曲线左支上，可得内切圆圆心在定直线上，故D正确． 故选：ACD. 10. 在三棱锥中，平面分别为中点，下列结论正确的是（ ） A. 为直角三角形 B. 平面 C. 三棱锥的体积最大值为 D. 三棱锥外接球的半径为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用线面垂直证明平面，然后可判断A；连接相交于点，连接，证明为的重心即可判断B；利用基本不等式求面积的最大值即可判断C；利用补形法求解可判断D. 【详解】对A，因为平面，平面，所以， 又是平面内的两条相交直线，所以平面， 因为平面，所以，所以为直角三角形，正确； 对B，连接相交于点，连接， 若平面，平面平面，平面，则， 因为为的中线，所以为的重心，， 因为为的中点，所以，与矛盾，故B错误； 对C，因为，得， 所以， 所以，当且仅当时等号成立，正确； 对D，将三棱锥补形成长方体，易知即为外接球的直径， 易得，外接球半径，正确. 故选：ACD 11. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 当时，是的极大值点 B. 存在实数，使得成立 C. 若在区间上单调递减，则的取值范围是 D. 若存在唯一的零点，且，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过求导判断函数的单调性进而确定极值点即可判断A；代入函数进行化简验证等式即可判断B；根据函数在区间上的单调性得出关于的不等式，解之即可判断C；利用导数讨论函数的单调性，结合零点情况确定的取值范围即可判断D. 【详解】A：，令，得或. 当时，，令或， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以是的极大值点，故A正确； B：， 所以， 整理得， 所以，解得，即存在使得，故B正确； C：若在上单调递减，则在上恒成立， 即不等式在上恒成立， 又在上单调递减，其值域为，所以，故C错误； D：由选项A知，当时，， 令，解得，所以函数又两个零点，不符合题意； 当时，，令或， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为，极小值， 且当时，，当时，， 要使存在唯一的零点，则， 解得或（舍去），所以，此时，不符合题意； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以的极大值为，极小值， 且当时，，当时，， 要使存在唯一的零点，且，则， 解得或（舍去），所以. 综上，的取值范围为，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：解决本题选项D的关键是分类讨论取值范围，求出对应的极值，利用存在唯一的零点且建立不等式，解不等式即可. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 展开式中的常数项为_________． 【答案】12 【解析】 【分析】 利用二项式定理求出通项公式，令指数为零找出常数项即可． 【详解】通项，令，得， ∴展开式的常数项为． 故答案为：12. 【点睛】二项式定理类问题的处理思路：利用二项展开式的通项进行分析． 13. 如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面3m，水面宽6m．水面上升1m后，水面宽度是______m． 【答案】 【解析】 【分析】建立坐标系，先根据条件求抛物线的方程，再根据的值求即可. 【详解】如图：以拱桥顶点为原点，建立如图坐标系. 设抛物线方程为：，由题意，抛物线过点. 所以，所以抛物线方程为：. 水面上升，则，此时或. 所以水面宽度为：. 故答案为： 14. 在中，，的面积为3，则的最小值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】设，则，根据三角形的面积公式可得，利用余弦定理计算可得，由辅助角公式和正弦函数的图象与性质可得，解不等式即可. 【详解】设，则， 由，得. 由余弦定理得， 令，则， 即（其中）， 所以，即， 得，解得或，即或（舍去）， 解得或（舍去），所以的最小值为4. 故答案为：4 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用余弦定理计算得到后，转化为，解不等式即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 记为等差数列的前项和．已知． （1）求的通项公式； （2）记集合，将中元素从小到大依次排列，得到新数列，求的前20项和． 【答案】（1）； （2）487 【解析】 【分析】（1）设出公差，利用等差数列通项公式和求和公式得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式； （2）列举法表示，得到的前20项，并分组求和，得到答案. 【小问1详解】 设公差为， 由题意得， 解得， 故； 【小问2详解】 ， ， 故的前20项为， 故的前20项和为 . 16. 如图，在直三棱柱中，平面平面为的中点． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得线面垂直，再由线面垂直即可得出线线垂直； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角正弦值即可. 【小问1详解】 如图， 在直三棱柱中， 因为平面，平面，所以， 又因为，所以四边形是正方形，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以. 【小问2详解】 因为平面，平面，所以. 又，，平面，平面， 所以平面，所以两两垂直， 以为原点，以的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 不妨设， 则， 所以， 设是平面的法向量， 则，所以， 取，则，所以是平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17. 在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件（安静或嘈杂）的影响． （1）已知在安静环境下，语音识别成功的概率为0.9；在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为0.6．某天进行测试，已知当天处于安静环境的概率为0.3，处于嘈杂环境的概率为0.7． （ⅰ）求测试结果为语音识别成功的概率； （ⅱ）已知测试结果为语音识别成功，求当天处于安静环境的概率； （2）已知当前每次测试成功的概率为0.8，每次测试成本固定，现有两种测试方案： 方案一：测试4次；方案二：先测试3次，如果这3次中成功次数小于等于2次，则再测试2次，否则不再测试，为降低测试成本，以测试次数的期望值大小为决策依据，应选择哪种方案？ 【答案】（1）； （2）方案二 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）应用全概率公式计算求解；（ⅱ）应用贝叶斯公式计算求解． （2）分析的取值，对于方案一，计算成本；对于方案二，利用规则得出对应概率列出分布列再求期望，比较即可判断求解． 【小问1详解】 （ⅰ）记事件A是“安静环境”，则是“嘈杂环境”，记事件B是“语音识别成功”. 所以； （ⅱ）已知测试结果为语音识别成功，则当天处于安静环境的概率； 【小问2详解】 设每次测试成本固定为， 设方案一和方案二测试成本分别为， 方案一：测试4次则测试4次； 方案二：可取， ， ， 随机变量的分布列如下表所示： 所以． 所以，即方案一测试次数的期望值大于方案二测试次数的期望值，所以应选择方案二． 18. 已知椭圆的离心率为，点在上． （1）求的方程； （2）设椭圆．若过的直线交于另一点交于两点，且在轴上方． （ⅰ）证明：； （ⅱ）为坐标原点．为右顶点．设在第一象限内，，是否存在实数使得的面积与的面积相等？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析（ⅱ）存在， 【解析】 【分析】（1）根据条件，列出方程求出，即可得出椭圆方程； （2）（ⅰ）问题可转化为两弦中点重合，联立直线与椭圆方程，利用根与系数的关系及中点坐标公式可得证； （ⅱ）根据根与系数的关系及可得的关系式，再由三角形面积相等及点到直线的距离可得另外的关系式，据此联立即可求解. 【小问1详解】 由已知，可得， 因为，， 解得， 所以椭圆方程为 【小问2详解】 如图， （ⅰ）证明： 要证，只需证明弦的中点与弦的中点重合. 当垂直于轴时，弦的中点都是坐标原点，故它们的中点重合， 此时 当不垂直于轴时，设直线的方程为， 由，得， 则， 所以弦中点的横坐标为， 同理可得， 所以弦中点的横坐标为 所以弦的中点与弦的中点重合，此时. 综上所述， (ii)因为，所以， 又因为点在第一象限内，， 由(i)知，，所以, 又，所以， 化简得 ① 设到的距离为，C到的距离为， 假设的面积与的面积相等，则， 因为，所以，所以, 又， 因为，所以， 所以 ② 由①②解得，经检验符合题意， 所以 【点睛】关键点点睛：在求参数的过程中，根据，的面积与的面积相等，分别列出方程，再联立方程即可求出参数的取值. 19. 若函数在区间上有意义，且存在正实数，使得，均有，则称在上具有性质．设． （1）求的单调区间： （2）判断在上是否具有性质，并说明理由； （3）当时，在上具有性质，证明：． 【答案】（1）答案见解析 （2）具有，理由见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导后借助导函数的正负即可得原函数单调区间； （2）由，则可分、，结合函数单调性进行讨论； （3）由题意可得函数在时恒成立，结合导数讨论其单调性可得其在上单调递增，则有，再构造函数，结合导数研究其单调性，再结合则可得. 【小问1详解】 ， 则当时，，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减； 【小问2详解】 在上具有性质，理由如下： 由（1）知在上单调递增，在上单调递减， 又，，故， 故当时，，有，， 故， 当时，，有， 综上，，恒成立， 即在上具有性质； 【小问3详解】 因为在上具有性质， 所以在时恒成立， 则在时恒成立， 即在时恒成立， 设，， ， 令，则， 设，， 则， 故在上单调递减，则， 故，故在上单调递增， 则，， 设，则， 令，解得， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 又，则， 又当时，， 故存在，使得， 即当时，，当时，， 又 ， 令， 则， 故在上单调递减，则， 故， 故，则，即. 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于理解所给新性质，将在上具有性质转化为在时恒成立，从而结合导数得到恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$