专题17 解三角形大题（30题）-【百强名校好题】刷透百强模拟 2025年高考数学直通130+（金题特训·名校巅峰）

专题17 解三角形大题 1. 正弦定理 （1） 基本公式： （其中为外接圆的半径） （2） 变形 ① ② ③ ④ （3） 应用：边角互化 ① ② ③ 或（舍） 2. 三角形中三个内角的关系 ，， 3. 余弦定理 （1） 边的余弦定理 ，， （2） 角的余弦定理 ，， 4. 三角形的面积公式 5. 角平分线定理 （1）在中，为的角平分线，则有 （2） （3）（库斯顿定理） （4） 6. 张角定理 7. 倍角定理 在中,三个内角的对边分别为, (1)如果,则有:(2)如果,则有:(3)如果,则有: 倍角定理的逆运用 在中,三个内角A、B、C的对边分别为, (1)如果,则有:。(2)如果,则有:。(3)如果,则有:。 8. 中线长定理 为的中线,则中线定理: 证明:在和中,用余弦定理有: 【金题】1．（河北省衡水中学2024届高三下学期模拟押题（一））记的内角的对边分别为，已知. (1)若，求的值； (2)若是边上的一点，且平分，求的长. 【金题】2．（湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高三下学期保温卷一）在中，角A，B，C的对边为a，b，c，已知，，是等差数列． (1)若a，b，c是等比数列，求； (2)若，求． 【金题】3．（辽宁省沈阳市东北育才学校2025届高三上学期第三次模拟考试）已知分别为三个内角的对边，且满足，. （1）求； （2）若是中点，，求面积. 【金题】4．（广东省广州市华南师范大学附属中学2025届高三上学期10月阶段检测）已知在中，，，分别为角的对边，的面积为. (1)求的值； (2)若，证明：. 【金题】5．（安徽省合肥市第一中学2025届高三上学期阶段性诊断检测）锐角中，角对应的边为，满足，且. (1)求角的大小； (2)求的取值范围. 【金题】6．（山东省济南市山东师范大学附属中学2025届高三上学期高考模拟考试）已知的内角的对边分别为，且． (1)求； (2)若，求的周长． 【金题】7．（河南省郑州市郑州中学2024-2025学年高三上学期一测模拟演练）已知在△ABC中，. (1)求A； (2)证明：. 【金题】8．（重庆市西南大学附属中学校2024-2025学年高三上学期12月一诊模拟）在中，内角所对的边分别为．已知． (1)求角的大小； (2)若的角平分线与边相交于点，，求的周长． 【金题】9．（重庆市第八中学2024届高三下学期强化考试（四））设的内角的对边分别为 ，已知.求与. 【金题】10．（吉林省东北师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期第三次摸底考试）锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)若，，求b； (2)求的取值范围. 1．（湖南省长沙市长郡中学2024届考前模拟）如图所示，在平面四边形中，角为钝角，且.    (1)求钝角的大小； (2)若，求的大小. 2．（湖南长沙长郡中学2024届高考适应）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． (1)求A； (2)若，点D在边BC上，，求AD． 3．（湖南长沙长郡中学2024届高三下学期考前模拟）已知的内角的对边分别为的内切圆圆的面积为. (1)求的值及； (2)若点在上，且三点共线，试讨论在边上是否存在点，使得若存在，求出点的位置，并求出的面积；若不存在，请说明理由. 4．（河北石家庄第二中学2024届高三一模）已知中，角所对的边分别为. (1)求； (2)设是边上的点，且满足，求内切圆的半径. 5．（广东广州华南师大附中2024年5月月考）已知的三个内角A、B、C的对边分别为，且的面积． （1）求角B的大小; （2）若，且，求边的取值范围． 6．（浙江杭州二中2024届6月热身考试）已知的周长为20，角，，所对的边分别为，， (1)若，，求的面积； (2)若的内切圆半径为，，求的值． 7．（河南郑州一中2024届考前全真模拟）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． (1)若，求； (2)若，求． 8．（山东省实验2024届高三二模）如图，已知平面四边形中，. (1)若四点共圆，求； (2)求四边形面积的最大值. 9．（2024山东省实验5月模拟）从①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中. 已知的内角，，的对边分别为，，且______. (1)求角的大小； (2)若的角平分线交边于点，且，，求边. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 10．（广东东莞高级中学三模）在中，角所对的边分别为且． (1)求； (2)若的面积为的平分线交于点且，求的值． 11．（贵州贵阳一中2024届高三一模）记的内角的对边分别为，已知． (1)； (2)若，，求的面积． 12．（2024届湖南长沙一中最后一卷）记的内角的对边分别为，已知. (1)若，求的值； (2)若是边上的一点，且平分，求的长. 13．（浙江温州中学2024届高三一模）在中，内角的对边分别为，，，且，，. (1)求角及边的值； (2)求的值. 14．（江苏南京师大附中2024高三模拟）已知ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量，且， （1）若，求A及tanC的值； （2）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围. 15．（黑龙江哈尔滨市三中2024高三一模）已知函数． (1)当时，求函数在上的值域； (2)在中，内角的对边分别为为的平分线，若的最小正周期是，求的面积． 16．（湖北襄阳五中2024届五模）记的内角的对边分别为，已知. (1)若成等差数列，求的面积； (2)若，求. 17．（江苏扬州中学2024届高三全真模拟）在中，内角的对边分别为的面积为，且． (1)证明：； (2)若，求． 【附加联考模拟题】 1．（2024·山西·模拟预测）在中，点是边上一点，且， (1)若，，且，求的值； (2)若，且，求面积的最小值； (3)若，，且的面积为12，求的值. 2．（2024·湖北黄冈·一模）在中，角所对的边分别为. (1)证明：； (2)若成等比数列. （i）设，求q的取值范围； （ii）求的取值范围. 3．（2025·四川成都·三模）设的内角，，所对的边分别为，，，且，． (1)求角； (2)点为边的中点，若，求的面积； (3)如图所示，点是外一点，若，且，记的周长为，求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题17 解三角形大题 1. 正弦定理 （1） 基本公式： （其中为外接圆的半径） （2） 变形 ① ② ③ ④ （3） 应用：边角互化 ① ② ③ 或（舍） 2. 三角形中三个内角的关系 ，， 3. 余弦定理 （1） 边的余弦定理 ，， （2） 角的余弦定理 ，， 4. 三角形的面积公式 5. 角平分线定理 （1）在中，为的角平分线，则有 （2） （3）（库斯顿定理） （4） 6. 张角定理 7. 倍角定理 在中,三个内角的对边分别为, (1)如果,则有: (2)如果,则有: (3)如果,则有: 倍角定理的逆运用 在中,三个内角A、B、C的对边分别为, (1)如果,则有:。 (2)如果,则有:。 (3)如果,则有:。 8. 中线长定理 为的中线,则中线定理: 证明: 在和中,用余弦定理有: 【金题】1．（河北省衡水中学2024届高三下学期模拟押题（一））记的内角的对边分别为，已知. (1)若，求的值； (2)若是边上的一点，且平分，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知可得，边化角，可得，利用三角恒等变换可求； （2）由已知可得，利用，可得，可求解. 【详解】（1）由题意得，所以. 由正弦定理，得，即. 又，所以，又，所以. 因为，所以. （2）由，得，解得. 由， 得， 即， 所以. 【金题】2．（湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高三下学期保温卷一）在中，角A，B，C的对边为a，b，c，已知，，是等差数列． (1)若a，b，c是等比数列，求； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用等差数列和等比数列的中项性质，结合同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式，化简求得； （2）由（1）得，再借助角的值，以及两角和与差的余弦公式即可求解. 【详解】（1）因为a，b，c是等比数列，所以，有， 因为，，是等差数列，所以. 故. 所以． （2）由（1）的过程可知，若，则. 又由，得， 故． 【金题】3．（辽宁省沈阳市东北育才学校2025届高三上学期第三次模拟考试）已知分别为三个内角的对边，且满足，. （1）求； （2）若是中点，，求面积. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由正弦定理化简即可求得，从而可求A的值． （2）在中由余弦定理列方程，在中利用余弦定理列方程，在中利用余弦定理列方程，联立可得的值，根据三角形面积公式即可计算得解． 【详解】： （1） ， 则 ， （2）方法一：在中， 即  . 在中， 同理中， 而，有， 即. 联立得， . 方法二：又①            ② ②①得 方法三：（极化式） 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 【金题】4．（广东省广州市华南师范大学附属中学2025届高三上学期10月阶段检测）已知在中，，，分别为角的对边，的面积为. (1)求的值； (2)若，证明：. 【答案】(1)2 (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意利用面积可得，再利用正弦定理运算求解； （2）由（1）可得，根据三角形三边关系分析证明. 【详解】（1）因为三角形面积， 又因为，则，且，可得， 由正弦定理得. （2）由（1）可得，结合三角形三边关系， 得，即，可得， 且，即，解得， 所以. 【金题】5．（安徽省合肥市第一中学2025届高三上学期阶段性诊断检测）锐角中，角对应的边为，满足，且. (1)求角的大小； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理，将转化为，再利用三角形内角和定理及两角和的正弦公式可得，从而可得角C的大小； （2）由锐角 得角的范围，利用正弦定理分别将表示成的函数，求解范围即可. 【详解】（1）由题意及正弦定理， 得， 因为，所以， ∴, ∴， 因为，所以，， 又因为，所以. （2）∵，∴， ， 由正弦定理，得，又因为， ， 由，得，得， ∴，∴，则， ∴. 【金题】6．（山东省济南市山东师范大学附属中学2025届高三上学期高考模拟考试）已知的内角的对边分别为，且． (1)求； (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角恒等变换和正弦定理，化简条件等式，即可求解； （2）首先根据正弦定理以及二倍角的正弦公式，化简求角，再根据正弦定理，即可求解. 【详解】（1）由条件可知，， 因为，所以， 即，由正弦定理可知，， 即，且， 所以，则，， 所以. （2）由正弦定理可知，， 即，则，， 所以，，所以， 且，，则， 由正弦定理可知，，即， ， 所以，则, 所以的周长为. 【金题】7．（河南省郑州市郑州中学2024-2025学年高三上学期一测模拟演练）已知在△ABC中，. (1)求A； (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据两角和与差的正弦公式，将题中所给条件化为，再根据角是三角形内角，即可求出结果； （2）根据正弦定理，以及（1）的结果，要证，即证，不妨设（其中），将不等式左侧化简整理，即可证明结论成立. 【详解】（1）由题意，， 即， 化简得， 即，故或， 又，解得或（舍去），故． （2）要证，即证，即证， 由（1），，所以，即证． 不妨设（其中）， 则 显然恒成立． 故，命题得证． 【金题】8．（重庆市西南大学附属中学校2024-2025学年高三上学期12月一诊模拟）在中，内角所对的边分别为．已知． (1)求角的大小； (2)若的角平分线与边相交于点，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，在由三角恒等变换公式化简，即可求出，从而得解； （2）根据等面积法得到，再由余弦定理得到，即可求出，从而求出周长. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， ， ， ， ，即， 即， ∴． 又， ； （2）因为的角平分线与边相交于点， 所以，即， 所以，所以， 又由余弦定理，即， 所以，解得或（舍去）， 所以. 【金题】9．（重庆市第八中学2024届高三下学期强化考试（四））设的内角的对边分别为 ，已知.求与. 【答案】 【分析】由三角恒等变换以及正弦定理得，对分类讨论即可得解. 【详解】 ， 因为，所以， 因为，，所以， 所以或， 当时，，即， 因为，所以， 所以，所以此时； 当时，，即， 这与矛盾，故是不可能的， 综上所述，满足题意的为. 【金题】10．（吉林省东北师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期第三次摸底考试）锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)若，，求b； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理可求； （2）利用正弦定理结合三角变换公式可得，再根据锐角三角形可得，再结合正弦定理可得. 【详解】（1）因为，故，整理得到：， 故，此时且， 故此时为锐角三角形，故. （2）因为，所以， 所以， 整理得到：，而，， 故即，故， 而 ，故，故， 故. 1．（湖南省长沙市长郡中学2024届考前模拟）如图所示，在平面四边形中，角为钝角，且.    (1)求钝角的大小； (2)若，求的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两角和的余弦公式，二倍角余弦公式，诱导公式将条件式化简，求得的值得解； （2）设，由正弦定理求得，结合条件，求得，结合角的范围求得结果. 【详解】（1）因为， 所以，所以， 又，所以，即， 解得或者，又为钝角，所以. （2）设，四边形内角和为， 由（1）的结论知：， 在中，由正弦定理得：，即， 在中，，即， 又， 则，即，即， ，即， ，即，即的大小为. 2．（湖南长沙长郡中学2024届高考适应）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． (1)求A； (2)若，点D在边BC上，，求AD． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理求得，再利用余弦定理求解作答. （2）利用（1）的结论，结合同角公式及和角的余弦公式求出三角函数值，再利用正弦定理求解作答. 【详解】（1）在中，由，得：，由余弦定理得， 即，整理得，由余弦定理得， ，而， 所以. （2）因为，即，而，则，， 所以， 又，则，显然是锐角三角形， 由， 所以， 所以在中， 3．（湖南长沙长郡中学2024届高三下学期考前模拟）已知的内角的对边分别为的内切圆圆的面积为. (1)求的值及； (2)若点在上，且三点共线，试讨论在边上是否存在点，使得若存在，求出点的位置，并求出的面积；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)，； (2)存在，位置见解析，. 【分析】（1）先求出内切圆的半径，由三角形面积公式得出与的关系，再由余弦定理得到它们的另一个关系式，联立解出，最后由余弦定理解出即可； （2）由题意，配合切线长定理可解出，再设角结合正弦定理解出，最后由面积公式求得即可. 【详解】（1）因为内切圆圆的面积为，可得圆的半径为， 则， 所以，由余弦定理得， 得，将代入整理得：， 解得. 由余弦定理得：. （2）记圆与边切于点，根据切线长定理可求得， 若，则， 即，解得， 所以在边上存在点，使得. 依题意可知为内心，则平分， 记，则， 故， 在中，， 由正弦定理得， 又， ，. 4．（河北石家庄第二中学2024届高三一模）已知中，角所对的边分别为. (1)求； (2)设是边上的点，且满足，求内切圆的半径. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理以及两角和的正弦公式求解结果； （2）在中根据余弦定理得出关于边长的一个关系，再由两边平方得出另一个方程，联立解出边长，再由的面积与内切圆半径的关系求得结果. 【详解】（1）已知，由正弦定理得， 又， 所以， 因为，所以， 因为，所以. （2）如图所示： 在中根据余弦定理得，即，① 又因为，所以，因为，所以， 将两边平方并整理得，② 联立①②得到，所以，， 所以，. 所以的面积为. 设其内切圆半径为，则，解得， 所以内切圆的半径为. 5．（广东广州华南师大附中2024年5月月考）已知的三个内角A、B、C的对边分别为，且的面积． （1）求角B的大小; （2）若，且，求边的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）从已知条件，可由，得，从而有；（2）根据已知条件，由正弦定理求得，求得的范围，进而可得解. 【详解】（1）． （2）由, ． ． 6．（浙江杭州二中2024届6月热身考试）已知的周长为20，角，，所对的边分别为，， (1)若，，求的面积； (2)若的内切圆半径为，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理，可得，又的周长为20，可得，则可得，由三角形的面积公式即可求出的面积； （2）由的内切圆的性质，可得，，再由的周长为20，可求出，进而求出，即可求出的值． 【详解】（1）在中，由余弦定理，可得， 由，，则， 得, 由的周长为20，即，则， 所以，则，即， 所以， 故的面积为，. （2）根据题意，如图所示， 圆为的内切圆，半径为，切点分别为， 则，且， 由内切圆性质，圆心为内角平分线的交点， 则，且， 由中，即， 所以，又，即， 所以，则，则， 在中， 故， 即. 7．（河南郑州一中2024届考前全真模拟）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． (1)若，求； (2)若，求． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）方法1，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面积公式求出，作出边上的高，利用直角三角形求解作答. （2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答；方法2，利用向量运算律建立关系求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答. 【详解】（1）方法1：在中，因为为中点，，，    则，解得， 在中，，由余弦定理得， 即，解得，则， ， 所以. 方法2：在中，因为为中点，，， 则，解得， 在中，由余弦定理得， 即，解得，有，则， ，过作于，于是，， 所以. （2）方法1：在与中，由余弦定理得， 整理得，而，则， 又，解得，而，于是， 所以. 方法2：在中，因为为中点，则，又， 于是，即，解得， 又，解得，而，于是， 所以. 8．（山东省实验2024届高三二模）如图，已知平面四边形中，. (1)若四点共圆，求； (2)求四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）在、中分别利用余弦定理表示出，再由四点共圆得到，即可求出；； （2）由（1）可得，再由面积公式得到，将两式平方再相加得到，结合余弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）在中，由余弦定理得： ， 在中，由余弦定理得： ， 因为四点共圆，所以，因此， 上述两式相加得：，所以（负值已舍去）. （2）由（1）得：， 化简得， 则①， 四边形的面积 ， 整理得， 则② ①②相加得：， 即， 由于， 所以当且仅当时，取得最小值， 此时四边形的面积最大，由，解得， 故四边形面积的最大值为. 9．（2024山东省实验5月模拟）从①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中. 已知的内角，，的对边分别为，，且______. (1)求角的大小； (2)若的角平分线交边于点，且，，求边. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理，余弦定理，结合三角形的内角和定理，二倍角公式，求，从而确定的大小. （2）在中，利用正弦定理可求，进而判断的形状，可求边. 【详解】（1）若选择①，则因为， 由正弦定理得， 所以，即， 从而， 因为，所以． 若选择②则：因为， 由正弦定理得， 又由余弦定理， 从而， ，所以． 若选择③则：因为，所以， 由正弦定理得， 整理得，所以 因为，所以， 所以，所以. （2）如图：在中，， 所以， 所以，所以， 所以， 所以是等腰三角形，且， 所以． 10．（广东东莞高级中学三模）在中，角所对的边分别为且． (1)求； (2)若的面积为的平分线交于点且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理，切化弦，两角和的正弦展开式等化简等式，可求出结果. （2）根据三角形的面积公式求出间关系，解方程组求出其值，再求最后结果即可. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得 ， 又， 所以， 化简可得， 因为，所以， 又， 所以. （2）因为，即， 又， 所以， 解得或， 当时，； 当时，. 11．（贵州贵阳一中2024届高三一模）记的内角的对边分别为，已知． (1)； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用正弦定理求得，进而求得的值； （2）设的外接圆的半径为，根据正弦定理求得，进而得到，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）解：因为， 由正弦定理得， 又因为，可得，所以，可得， 因为，可得. （2）解：由（1）知，因为， 设的外接圆的半径为，可得， 所以， 因为，可得， 所以的面积为. 12．（2024届湖南长沙一中最后一卷）记的内角的对边分别为，已知. (1)若，求的值； (2)若是边上的一点，且平分，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知可得，边化角，可得，利用三角恒等变换可求； （2）由已知可得，利用，可得，可求解. 【详解】（1）由题意得，所以. 由正弦定理，得，即. 又，所以，又，所以. 因为，所以. （2）由，得，解得. 由， 得， 即， 所以. 13．（浙江温州中学2024届高三一模）在中，内角的对边分别为，，，且，，. (1)求角及边的值； (2)求的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由余弦定理得到，求出，由正弦定理得到； （2）由二倍角公式求出，由差角公式求出答案. 【详解】（1）因为，由余弦定理得， 因为，所以， 因为，，所以， 由正弦定理得，即，解得； （2）由（1）得， ， . 14．（江苏南京师大附中2024高三模拟）已知ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量，且， （1）若，求A及tanC的值； （2）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围. 【答案】（1）A=；tanC=；（2）. 【详解】（1）因为，所以，由余弦定理可得：，而，所以, 所以. （2）由正弦定理得， 所以，则 , 因为ABC是锐角三角形，所以，则， 所以，所以三角形周长. 15．（黑龙江哈尔滨市三中2024高三一模）已知函数． (1)当时，求函数在上的值域； (2)在中，内角的对边分别为为的平分线，若的最小正周期是，求的面积． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据三角恒等变换将化为一般式，再利用整体法，结合正弦函数单调性，即可求得值域； （2）根据题意，求得，利用等面积法和余弦定理，求得，再求三角形面积即可. 【详解】（1） , 当时，，又，故， 又在上单调递增，在单调递减，且， 故函数在上的值域为. （2）由（1）知，，由其最小正周期为， 可得，又，解得，则； 由，即，又，可得，则，即； 为的平分线，故可得， 则，即，； 在三角形中由余弦定理可得，即， 将代入上式可得：，即， 解得，或（舍去）； 故的面积为. 16．（湖北襄阳五中2024届五模）记的内角的对边分别为，已知. (1)若成等差数列，求的面积； (2)若，求. 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据等差数列的性质得到，再利用余弦定理求得的值，进而利用三角形的面积公式求解； （2）根据已知条件代入，并用三角恒等变换化简求得A，再利用正弦定理求解. 【详解】（1）因为成等差数列，所以， 又，所以①， 在中，由余弦定理可得：， 又，所以②， 由①②得， 所以的面积. （2）因为，所以， 又因为且，所以， 所以， 所以，所以， 所以， 又因为，所以，所以，所以， 所以. 17．（江苏扬州中学2024届高三全真模拟）在中，内角的对边分别为的面积为，且． (1)证明：； (2)若，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形的面积公式化简可得，解之即可求解； （2）由（1）并根据余弦定理可得，再次利用余弦定理计算即可求解. 【详解】（1）因为的面积，又． 所以， 又．所以．所以． 所以，又，所以． （2）因为．所以， 所以．所以， 所以． 【附加联考模拟题】 1．（2024·山西·模拟预测）在中，点是边上一点，且， (1)若，，且，求的值； (2)若，且，求面积的最小值； (3)若，，且的面积为12，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）借助三角函数基本关系可得，再利用余弦定理可得，最后借助正弦定理计算即可得解； （2）设，，借助等面积法计算可得，再利用基本不等式即可得，最后利用面积公式计算即可得解； （3）设，，则可用表示出其余量，借助正弦定理计算可得，结合题目所给条件可得，即可解出、，最后利用面积公式与余弦定理计算即可得解. 【详解】（1）由题意知，所以， 又， 故，由正弦定理，得， 所以， 所以； （2）设，，因为， 所以， 即， 所以，所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的面积， 即面积的最小值为； （3）设，， 则，，， 在中，由正弦定理，得， 所以， 在中，，即， 所以，所以， 所以，所以， 又，，解得，， 所以，， 所以， 又，，所以， 所以，解得，所以， 在中，由余弦定理， 得， 解得或，又，所以. 2．（2024·湖北黄冈·一模）在中，角所对的边分别为. (1)证明：； (2)若成等比数列. （i）设，求q的取值范围； （ii）求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)(i)；(ii) 【分析】（1）利用二倍角公式及同角三角函数的平方关系证明即可； （2）（i）利用三角形三边关系建立不等式组解不等式即可；（ii）利用第一问及第二问第一小问的结论，结合正余弦定理、对勾函数的单调性计算即可. 【详解】（1）易知，所以， 则对于，即左侧等式成立， 又，两侧同时除以， 所以，即右侧等式成立，证毕； （2）（i）由题意，设公比为，知， 根据三角形三边关系知：， 解之得 （ii）由（1）及正弦定理、余弦定理知： ， 由对勾函数的性质知： 在上单调递减，在上单调递增， 所以，则， 即的取值范围为. 3．（2025·四川成都·三模）设的内角，，所对的边分别为，，，且，． (1)求角； (2)点为边的中点，若，求的面积； (3)如图所示，点是外一点，若，且，记的周长为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正余弦定理以及诱导公式求解即可； （2）根据为边的中点得到，两边平方后结合余弦定理求解即可； （3）利用正弦定理得到和，再利用余弦定理结合诱导公式以及二倍角公式得到，写出的表达式，求导判断单调性即可求解. 【详解】（1）由可得， 由正弦定理得， ， 所以，即． 由余弦定理，又因为，因此； 或者：由内角和定理得， 由正弦定理可知， 所以，即． 由余弦定理，又因为，因此； （2）因为中线，所以； 两边同时平方得，即， 在中，，由余弦定理可得， 可得，所以； （3）在中，由正弦定理可得，即， 在中，由正弦定理可得，即． 因为四边形的内角和为，且， 所以， 在中， 所以， 则， ， 因为在中，所以， 则，在单调递增， 因为，所以， 所以的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题第（3）问的关键点在于利用正弦定理将边化角，再利用导数判断函数的单调性. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$