专题18 数列大题（30题）-【百强名校好题】刷透百强模拟 2025年高考数学直通130+（金题特训·名校巅峰）

专题18 数列大题 1. 等差数列通项公式： 或 2. 等比数列通项公式： 3. 通项公式的构造 （1）已知，我们可以用待定系数法构造，从而转化为我们熟悉的等比数列求解 （2）已知用求通项 （3）已知用求通项公式，其本质是除以一个指数式 （4）已知用求通项公式，其本质是待定系数法 （5）已知用求通项公式，其本质是除以 （6）已知用求通项公式，其本质是取到数 （7）已知用求通项公式，其本质是取对数 4. 的类型，公式 5. 数列求和的常用方法： （1） 对于等差、等比数列，利用公式法可直接求解； 等差数列求和，等比数列求和 （2） 对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和； 为公差为d的等差数列，为公比为q的等比数列，若数列满足，则数列的前n项和为 （3）对于结构，利用分组求和法； （4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和. 或通项公式为形式的数列，利用裂项相消法求和. 即 常见的裂项技巧： （1） ； （2） ； （3） （4） （5） 指数型； （6） 对数型. （7） （8） （9） （10） 等 【金题】1．（河北省衡水中学2024届高三下学期模拟押题（一））若各项均为正数的数列满足（为常数），则称为“比差等数列”.已知为“比差等数列”，且. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用“比差等数列”的定义可得，令，则为常数列， 可得，可求的通项公式； （2）分为奇数与偶数两种情况求解可得数列的前项和. 【详解】（1）由为“比差等数列”， 得， 从而. 设，则， 所以数列为等差数列. 因为， 所以为常数列， 因此，，即， 所以是首项为，公比为的等比数列， 因此. （2）当为偶数时， ； 当为奇数时，. 综上，. 【金题】2．（河北省衡水市第二中学2025届高三高考模拟一）在数列中，已知． (1)求数列的通项公式； (2)在数列中的和之间插入1个数，使成等差数列；在和之间插入2个数，使成等差数列；…；在和之间插入个数，使成等差数列，这样可以得到新数列，设数列的前项和为，求（用数字作答）． 【答案】(1) (2)14337 【分析】（1）根据数列的前项和求数列的通项公式，一定要分和讨论. （2）首先弄清楚新数列前55项的构成，再转化为错位相减法求和. 【详解】（1）当时，； 当时，， 所以，. 当时，上式亦成立， 所以：. （2）由. 所以新数列前55项中包含数列的前10项，还包含，，，，，，，，. 且，，， . 所以 . 设 则， 所以. 故：. 所以. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是要弄清楚新数列前55项的构成.可先通过列举数列的前几项进行观察得到规律. 【金题】3．（辽宁省沈阳市东北育才学校2025届高三上学期第三次模拟考试）已知数列满足. (1)证明是等比数列，并求的通项公式； (2)证明： . 【答案】（1）证明见解析，；（2）证明见解析. 【详解】试题分析：本题第（1）问，证明等比数列，可利用等比数列的定义来证明，之后利用等比数列，求出其通项公式；对第（2）问，可先由第（1）问求出，然后转化为等比数列求和，放缩法证明不等式. 试题解析：（1）证明：由得，所以，所以是等比数列，首项为，公比为3，所以，解得. （2）由（1）知：，所以， 因为当时，，所以，于是=， 所以. 【易错点】对第（1）问，构造数列证明等比数列不熟练；对第（2）问，想不到当时，，而找不到思路，容易想到用数学归纳法证明而走弯路. 考点：本小题考查等比数列的定义、数列通项公式的求解、数列中不等式的证明等基础知识，考查同学们的逻辑推理能力，考查分析问题与解决问题的能力.数列是高考的热点问题之一，熟练数列的基础知识是解决好该类问题的关键. 【金题】4．（吉林省东北师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期第三次摸底考试）已知数列满足，. (1)证明：数列为等差数列，并求通项； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见详解， (2) 【分析】（1）将， 变形为，再利用等差数列的定义求解； （2）求出，再利用错位相减法求解. 【详解】（1）因为，所以， 又，即， 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列， ，即. （2）由（1）， ， 则， 两式相减得， ， . 【金题】5．（山东省济南市山东省实验中学2024届高三高考定心卷）已知数列是公差不为零的等差数列，且，，成等差数列，，，成等比数列，. (1)求m的值及的通项公式； (2)令，，求证：. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据等差中项可得，进而根据等比数列的性质可得，即可根据通项特征求解， （2）利用放缩法，结合裂项求和即可求证. 【详解】（1）设的公差为， ，，成等差数列，， 即， 考虑到，化简得，即 ，成等比数列， ，即， 即，解得. ，，解得. ，，解得，. . （2）由（1）可知， 显然满足 当时， 所以 【金题】6．（河南省郑州市郑州中学2024-2025学年高三上学期一测模拟演练）已知数列的前项和为，且满足.数列是首项为，公差不为零的等差数列，且成等比数列． （1）求数列与的通项公式． （2）若，数列的前项和为恒成立，求的范围． 【答案】（1），；（2）. 【分析】（1）由化简可得成等比，求出的通项，再由可求出的通项；（2）因为，用错位相减法求得，所以. 【详解】解：（1）因为， 所以 所以 所以成等比，首项，公比q 所以 由题意知，设公差为d 则，即， 解得或（舍） 所以 （2） 所以 两式相减得 所以 所以 【点睛】本题考查了数列的通项与求和，对等差乘等比的数列进行求和采用错位相减法求和，分列乘减算四步进行. 【金题】7．（陕西省西北工业大学附属中学2025届高三上学期第六次适应性训练）已知等比数列的公比，，是，的等差中项．等差数列满足，． (1)，求数列的前项和； (2)将数列与的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列，求此数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，结合等比数列通项列出方程组求出，求出，的通项公式，再利用错位相减法求和； （2）利用（1）的结论，确定新数列前项中，数列所占项数，再借助等比数列、等差数列前n项和公式计算作答. 【详解】（1）依题有， 因为，解得，. 数列是等差数列，设其公差为，，解得，. 数列的前项和记为，则， 因为， 所以， ， 两式相减有 ， 所以. （2）因为，，设新数列为，因为数列与数列都是递增数列， 且，， 又因为， 所以数列的前项由中的前项和中的前项构成， 所以 . 【金题】8．（辽宁省沈阳市东北育才学校2024届高三考前最后一模）设数列的前项和为，已知，且． (1)证明：为等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，设，数列的前项和为，求除以16的余数． 【答案】(1) (2) (3)8 【分析】（1）根据求出，构造出，得到为首项为，公比为的等比数列，并求出通项公式，得到； （2）变形得到，构造，作差得到，得到数列单调性，得到； （3），结合及二项式定理得到当为奇数时，，当为偶数时，，分组求和得到，利用二项式定理得到除以16的余数为除以16的余数，求出答案. 【详解】（1）当时，，又，所以， 当时，①， 故②， 式子①-②得，，即， 又，故当时，， 故，即， 因为为首项为，公比为的等比数列， 故，故， （2）由（1）知，，故， 对于任意的，不等式恒成立， 即恒成立， 设，于是， 当时，，即， 当时，，即， 故，所以， 综上，的取值范围是； （3）由（1）知，， 因为 ， 当为奇数时，，故， 当为偶数时，，故， 所以 ， ， 考虑当时，能被16整除，另外也能被16整除， 故除以16的余数为除以16的余数， ， 故除以16的余数为8. 【点睛】方法点睛：数列新定义问题，主要针对于等差，等比，递推公式和求和公式等综合运用，对常见的求通项公式和求和公式要掌握牢固，同时涉及数列与函数，数列与解析几何，数列与二项式定理，数列与排列组合等知识的综合，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题. 1．（湖北武汉华师一2024届高三考前测试）在等差数列（）中，，. (1)求的通项公式； (2)若，数列的前项和为，证明. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出等差数列的首项与公差，即可得解； （2）利用裂项相消法求出，进而可得出结论. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由，即，解得， 所以， 所以数列的通项公式为； （2）∵，∴， （方法一） ， ∴ 化简得：， ∴. （方法二） ， ∴ . 2．（河北衡水中学2023-2024学年高三下学期自我提升测试）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先根据，探索的结构特点，再根据等比数列的通项公式求； （2）由（1）可知，再利用放缩法证明结论. 【详解】（1）当时，. 当时，，，两式相减得： . 所以是以为首项，以为公比的等比数列. 所以. （2）由（1）知： 所以. 当时，， 当时，，故， 所以. 3．（河北省衡水中学2024届高三下学期押题）记各项均为正数的数列的前项和为，已知是与的等差中项. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由是与的等差中项,可得，化简得，可得，作差可得，则可得的通项公式； （2）由（1）得，，分组求，可得，可得，即可得证. 【详解】（1）由题意，得， 即，即①， 所以②， ①-②，得， 即. 又，所以. 由是与的等差中项，得当时， ，解得， 所以是以1为首项，2为公差的等差数列， 故. （2）由（1）得，则 ， 所以 ， 所以， 所以. 4．（湖南省长沙市长郡中学2024届考前模拟）设等差数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，若，求证：. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）由已知条件，列出关于等差数列的首项与公差的方程组，进行求解即可. （2）利用裂项相消求出，再结合不等式的性质证明. 【详解】（1）设的公差为， 依题意可得 即解得 所以. （2）由（1）可得， 所以. . 5．（湖南长沙雅礼中学2024届高三4月测试）记为数列的前项和，若，. (1)求； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题设及关系得，构造新数列并结合等差数列定义写出通项公式，进而可得； （2）应用裂项相消法求前n项和. 【详解】（1）由题设，则， 又，故是首项为3，公差为2的等差数列， 所以，则. （2）由（1）得， 所以. 6．（河北石家庄第二中学2024届高三一模）设等差数列的前项和为，，． (1)求的通项公式； (2)设数列的前项和为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出的公差为，利用等差数列通项公式和前项和公式求解即可； （2）由（1）判断出前六项为正，后四项为负，进而利用前项和公式求解即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为， ，，， 解得，， 故. （2）由（1）知，， ，，， ． 7．（湖南师大附中2024二模）记为数列的前项和，已知. (1)证明：数列是等比数列； (2)求最小的正整数，使得对一切都成立. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）用替换已知，再与已知作差，得到，即可得证； （2）由（1）可得，利用错位相减法求出，进而得到结果. 【详解】（1）由题知， 用替换上式的，得. 两式作差，，即. 而由，可得. 从而是首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）得，于是， 设，则， 当时，，故， 两式作差，得. 整理可得. 故，又，因此满足条件的最小正整数为. 8．（湖北武汉二中2024高三最后一卷）已知数列的前项和为，且（）． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 【答案】(1)（） (2) 【分析】（1）根据计算可得，利用累乘法计算即可求解； （2）由（1）可得，结合裂项相消求和法即可求解. 【详解】（1）令，得 因为（），所以（，）， 两式相减得（，）， 即．所以（，）， 所以，即， 所以（，）， 又，符合上式，所以（）． （2）由（1）， 所以． 9．（辽宁沈阳东北育才2024高三六模）已知数列是正项等比数列，是等差数列，且，，， (1)求数列和的通项公式； (2)表示不超过x的最大整数，表示数列的前项和，集合共有4个元素，求范围； (3)，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）设出数列公比，数列公差，结合题意计算即可得； （2）由，即可得，令，由的值，可得数列的单调性，计算出前五项，即可得的取值范围； （3）分奇偶讨论后，分别借助错位相减法与裂项相消法求和计算即可得. 【详解】（1）设数列首项，设公比， 设数列首项，设公差， ∵，即， ∴，（舍去），， ∴．； （2）， 其中， ∴， 集合，设， ， 所以当时，，当时，． 计算可得，，，，， 因为集合有4个元素，； （3）， ， 设， ， 则 ， 所以， 当n为奇数时，， 设 ， 所以. 10．（山西大学附中2024届高三下月考）设数列的前n项和为，已知，. (1)证明数列为等比数列； (2)设数列的前n项积为，若对任意恒成立，求整数的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2)0 【分析】（1）利用数列作差得到递推关系，再利用等比数列定义证明； （2）根据等比数列定义求出通项公式和前n项和与积，进而对化简，利用裂项相消法求和，分参求的取值范围. 【详解】（1）因为，① 当时，，② ①②得：，即， 经检验符合上式， 所以数列是首项为3，公比为3的等比数列. （2）由（1）知，所以， ， 所以 ， 所以恒成立，即， 化简得：， 令，所以， 所以数列是递增数列，最小值为， 所以，故整数的最大值为0. 11．（辽宁省实验2024届高三考前模拟）已知是曲线上的点，，是数列的前n项和，且满足， (1)求； (2)确定的取值集合，使时，数列是单调递增数列； (3)证明：当时，弦的斜率随n单调递减． 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）对原递推式进行变换即可； （2）求出的通项公式并将条件转化为，再解不等式； （3）先证明对，有，然后利用单调递增即可. 【详解】（1）由已知有对任意正整数成立，故. 而根据的定义域，有，所以. 这就说明，，. 故，. （2）我们有. 故. 再由，，，就得到. 从而，，. 所以命题等价于，即. 故. （3）先证明一个结论：对，有. 证明：该不等式等价于，即，. 所以只需要说明当时，有成立即可. 设，则，故当时，当时. 所以在上递减，在上递增，故当时，有，即. 所以原来的结论也成立. 回到原题. 当时，数列是单调递增数列，结合的定义域知. 故有，. 所以，结论得证. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于使用导数工具证明不等式，从而求得相应数列的单调性. 12．（山东青岛二中二模）欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数且与互素的正整数的个数，例如：，，，数列满足. (1)求，，，并求数列的通项公式； (2)记，求数列的前和. 【答案】(1)，，， (2) 【分析】（1）根据题意理解可求，，，结合与互素的个数可求数列的通项公式； （2）求出数列的通项公式，利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）由题意可知，，， 由题意可知，正偶数与不互素，所有正奇数与互素，比小的正奇数有个， 所以； （2）由（1）知，所以， 所以 ， ， 所以，① ，② 所以①－②得 ， 所以. 13．（安徽合肥一六八中学2024届最后一卷）已知数列满足，且对任意均有． (1)设，证明为等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)已知，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）令，变形递推关系，结合等差数列定义即可得出证明； （2）由等差数列通项公式得出，再由累加法得出，结合赋值可得，即可得出通项公式； （3）分组求和得出，再由裂项相消法求出的前n项和. 【详解】（1）因为，，令， 所以当时，，即， 所以， 所以为等差数列. （2）由（1）知，， 所以， 即， 所以 ，， 所以，， 再由，令，可得， 即，解得， 所以，， 当时，，满足上式. 所以数列的通项公式为. （3）因为， 所以， 设， 则， ， 所以，， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于利用等差数列通项公式及累加法求出后，表达式中的求值，首先对所求的式子中赋值得出，.其次要对原式恰当赋值，联立方程求出，具有很强的技巧性. 14．（贵州贵阳一中2024届高三一模）已知数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)在数列中，，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据求解即可； （2）利用分组求和法求解即可. 【详解】（1）由， 当时，，所以， 当时，，即， 所以数列是从第二项开始以为公比的等比数列， 所以； （2）当时，，此时 当时，， 则， 此时 ， 当时，，上式成立， 所以. 15．（重庆南开中学2024届高三5月模拟）已知等差数列和等比数列均单调递增，前n项和分别为和，且满足：． (1)求数列的通项公式； (2)设，求的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设数列公差为，数列的公比为，根据题意列出方程，求得，即可求解； （2）由（1）得到，结合错位相减求和，即可求解. 【详解】（1）设数列公差为，数列的公比为， ，则， 因为①， 所以， 故②. 由①②结合递增，解得， 则，（舍）. 又因为， 所以， 即. （2）由（1）可知， 则①， ②， ①-②得： ． 故. 16．（江西抚州临川一中2024届5月训练）记等差数列的前项和为，已知，且． (1)求和； (2)设，求数列前项和． 【答案】(1)；； (2)． 【分析】（1）利用等差数列性质求出通项公式和前项和； （2）利用裂项相消法求和. 【详解】（1）设的公差为，因为，所以， 又，所以，解得， 所以， ． （2）， 所以 ． 17．（重庆巴蜀中学2024届高考适应性考试）已知数列的首项，设，且的前项和满足：． (1)求数列的通项公式； (2)令，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用，结合等比数列的定义和通项公式计算即可求解； （2）由（1）得，易知当时不等式成立，当时根据放缩法可得，结合裂项相消求和法即可证明. 【详解】（1）当时，， 两式相减得：，所以. 当时，且，可得，满足上式， 由，则为等比数列，， 所以． （2）由（1）知， 所以， 当时，成立； 当时，， 所以成立． 18．（重庆西南大学附中2024届高考全真模拟）已知， (1)证明：当时，； (2)令， （i）证明：当时，； （ii）是否存在正实数，使得恒成立，若存在，求的最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）证明见解析；（ii）不存在，理由见解析 【分析】（1）依题意可得，代入已知条件即可得证； （2）（i）依题意可得，即可得到，利用累加法即可证明； （ii）由（i）可知当时，，再推导出，假设存在符合题意的，则恒成立，再推出矛盾，即可得解. 【详解】（1）因为， 当时，即， 所以，即. （2）（i）因为，， 当时，又，所以， 当时，，所以， 即，即， 所以，即， 所以，，，， 累加可得， 当时， 综上可得当时，； （ii）由（i）可知当时，①， 又，，当时， 即，所以对，，显然有，所以， 以此类推可得对，均有， 由①式，当时， 所以，即， 又时，易知成立，所以， 假设存在符合题意的，则有恒成立， 即恒成立，则恒成立， 所以当时由①可得 ， 即，又恒成立， 所以当时②恒成立， 令，，则， 所以在上单调递增，所以，即在上恒成立， 所以， 所以， 所以，即， 当时上式显然不恒成立，矛盾； 综上，不存在符合题意的. 【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是推导出当时，，再利用反证法证明. 19．（2024届湖南长沙一中最后一卷）若各项均为正数的数列满足（为常数），则称为“比差等数列”.已知为“比差等数列”，且. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用“比差等数列”的定义可得，令，则为常数列， 可得，可求的通项公式； （2）分为奇数与偶数两种情况求解可得数列的前项和. 【详解】（1）由为“比差等数列”， 得， 从而. 设，则， 所以数列为等差数列. 因为， 所以为常数列， 因此，，即， 所以是首项为，公比为的等比数列， 因此. （2）当为偶数时， ； 当为奇数时，. 综上，. 20．（浙江温州中学2024届高三一模）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，其前项和为，求使得成立的的最小值． 【答案】(1)； (2)10. 【分析】 （1）根据关系及递推式可得，结合等比数列定义写出通项公式，即可得结果； （2）应用裂项相消法求，由不等式能成立及指数函数性质求得，即可得结果. 【详解】（1）当时，， 所以，则，而， 所以，故是首项、公比都为2的等比数列， 所以. （2）由， 所以， 要使，即， 由且，则. 所以使得成立的的最小值为10. 21．（福建福州一中2024届高三5月模拟）已知数列中，，． (1)证明：数列为常数列； (2)求数列的前2024项和． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用和差角的余弦公式，结合构造法推理即可. （2）由（1）求出数列的通项，再结合余弦函数的周期性，利用分组求和法求和即可. 【详解】（1）依题意， ， 则化为， 而，则，因此， 所以数列为常数列. （2）由（1）知，，由，即是以6为周期的周期数列，令， 所以数列的前2024项和 . 22．（黑龙江哈尔滨师大附中、东北师大学附中、辽宁省实验二联）已知等比数列的前n项和为，且，其中. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同三项，，（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据递推关系可得，从而可得公比，故可求首项从而得到通项公式； （2）先求出的通项，再利用反证法结合等比中项的性质可得矛盾，从而得到数列中不存在不同三项，，（其中成等差数列）成等比数列. 【详解】（1）因为，故，故， 而为等比数列，故其公比为， 又，故，故， 故. （2）由题设可得， 若数列中存在不同三项，，（其中成等差数列）成等比数列， 则，因为等差数列， 故即，故， 故即，这样不同矛盾， 故数列中不存在不同三项，，（其中成等差数列）成等比数列. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题18 数列大题 1. 等差数列通项公式： 或 2. 等比数列通项公式： 3. 通项公式的构造 （1）已知，我们可以用待定系数法构造，从而转化为我们熟悉的等比数列求解 （2）已知用求通项 （3）已知用求通项公式，其本质是除以一个指数式 （4）已知用求通项公式，其本质是待定系数法 （5）已知用求通项公式，其本质是除以 （6）已知用求通项公式，其本质是取到数 （7）已知用求通项公式，其本质是取对数 4. 的类型，公式 5. 数列求和的常用方法： （1） 对于等差、等比数列，利用公式法可直接求解； 等差数列求和，等比数列求和 （2） 对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和； 为公差为d的等差数列，为公比为q的等比数列，若数列满足，则数列的前n项和为 （3）对于结构，利用分组求和法； （4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和. 或通项公式为形式的数列，利用裂项相消法求和. 即 常见的裂项技巧： （1） ； （2） ； （3） （4） （5） 指数型； （6） 对数型. （7） （8） （9） （10） 等 【金题】1．（河北省衡水中学2024届高三下学期模拟押题（一））若各项均为正数的数列满足（为常数），则称为“比差等数列”.已知为“比差等数列”，且. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【金题】2．（河北省衡水市第二中学2025届高三高考模拟一）在数列中，已知． (1)求数列的通项公式； (2)在数列中的和之间插入1个数，使成等差数列；在和之间插入2个数，使成等差数列；…；在和之间插入个数，使成等差数列，这样可以得到新数列，设数列的前项和为，求（用数字作答）． 【金题】3．（辽宁省沈阳市东北育才学校2025届高三上学期第三次模拟考试）已知数列满足. (1)证明是等比数列，并求的通项公式； (2)证明： . 【金题】4．（吉林省东北师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期第三次摸底考试）已知数列满足，. (1)证明：数列为等差数列，并求通项； (2)求数列的前n项和. 【金题】5．（山东省济南市山东省实验中学2024届高三高考定心卷）已知数列是公差不为零的等差数列，且，，成等差数列，，，成等比数列，. (1)求m的值及的通项公式； (2)令，，求证：. 【金题】6．（河南省郑州市郑州中学2024-2025学年高三上学期一测模拟演练）已知数列的前项和为，且满足.数列是首项为，公差不为零的等差数列，且成等比数列． （1）求数列与的通项公式． （2）若，数列的前项和为恒成立，求的范围． 【金题】7．（陕西省西北工业大学附属中学2025届高三上学期第六次适应性训练）已知等比数列的公比，，是，的等差中项．等差数列满足，． (1)，求数列的前项和； (2)将数列与的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列，求此数列的前项和． 【金题】8．（辽宁省沈阳市东北育才学校2024届高三考前最后一模）设数列的前项和为，已知，且． (1)证明：为等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，设，数列的前项和为，求除以16的余数． 1．（湖北武汉华师一2024届高三考前测试）在等差数列（）中，，. (1)求的通项公式； (2)若，数列的前项和为，证明. 2．（河北衡水中学2023-2024学年高三下学期自我提升测试）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)求证：． 3．（河北省衡水中学2024届高三下学期押题）记各项均为正数的数列的前项和为，已知是与的等差中项. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：. 4．（湖南省长沙市长郡中学2024届考前模拟）设等差数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，若，求证：. 5．（湖南长沙雅礼中学2024届高三4月测试）记为数列的前项和，若，. (1)求； (2)若，求数列的前项和. 6．（河北石家庄第二中学2024届高三一模）设等差数列的前项和为，，． (1)求的通项公式； (2)设数列的前项和为，求． 7．（湖南师大附中2024二模）记为数列的前项和，已知. (1)证明：数列是等比数列； (2)求最小的正整数，使得对一切都成立. 8．（湖北武汉二中2024高三最后一卷）已知数列的前项和为，且（）． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 9．（辽宁沈阳东北育才2024高三六模）已知数列是正项等比数列，是等差数列，且，，， (1)求数列和的通项公式； (2)表示不超过x的最大整数，表示数列的前项和，集合共有4个元素，求范围； (3)，求数列的前项和． 10．（山西大学附中2024届高三下月考）设数列的前n项和为，已知，. (1)证明数列为等比数列； (2)设数列的前n项积为，若对任意恒成立，求整数的最大值. 11．（辽宁省实验2024届高三考前模拟）已知是曲线上的点，，是数列的前n项和，且满足， (1)求； (2)确定的取值集合，使时，数列是单调递增数列； (3)证明：当时，弦的斜率随n单调递减． 12．（山东青岛二中二模）欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数且与互素的正整数的个数，例如：，，，数列满足. (1)求，，，并求数列的通项公式； (2)记，求数列的前和. 13．（安徽合肥一六八中学2024届最后一卷）已知数列满足，且对任意均有． (1)设，证明为等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)已知，求． 14．（贵州贵阳一中2024届高三一模）已知数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)在数列中，，求数列的前项和． 15．（重庆南开中学2024届高三5月模拟）已知等差数列和等比数列均单调递增，前n项和分别为和，且满足：． (1)求数列的通项公式； (2)设，求的前n项和． 16．（江西抚州临川一中2024届5月训练）记等差数列的前项和为，已知，且． (1)求和； (2)设，求数列前项和． 17．（重庆巴蜀中学2024届高考适应性考试）已知数列的首项，设，且的前项和满足：． (1)求数列的通项公式； (2)令，求证：． 18．（重庆西南大学附中2024届高考全真模拟）已知， (1)证明：当时，； (2)令， （i）证明：当时，； （ii）是否存在正实数，使得恒成立，若存在，求的最小值，若不存在，请说明理由． 19．（2024届湖南长沙一中最后一卷）若各项均为正数的数列满足（为常数），则称为“比差等数列”.已知为“比差等数列”，且. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 20．（浙江温州中学2024届高三一模）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，其前项和为，求使得成立的的最小值． 21．（福建福州一中2024届高三5月模拟）已知数列中，，． (1)证明：数列为常数列； (2)求数列的前2024项和． 22．（黑龙江哈尔滨师大附中、东北师大学附中、辽宁省实验二联）已知等比数列的前n项和为，且，其中. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同三项，，（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$