专题08 平面向量（42题）-【百强名校好题】刷透百强模拟 2025年高考数学直通130+（金题特训·名校巅峰）

专题08 平面向量 1. 向量的运算 （1） 两点间的向量坐标公式： ，，终点坐标始点坐标 （2） 向量的加减法 ， ， （3） 向量的数乘运算 ，则： （4） 向量的模 ，则的模 （5） 相反向量 已知，则；已知 （6） 单位向量 （7） 向量的数量积 （8） 向量的夹角 （9） 投影向量 向量在上的投影向量为 （10） 向量的平行关系 （11） 向量的垂直关系 （12） 向量模的运算 【金题】1．（重庆市西南大学附属中学校2024-2025学年高三上学期12月一诊模拟）已知，，，则 ． 【答案】 【分析】根据及数量积的运算律计算可得. 【详解】因为，，， 所以 . 故答案为： 【金题】2．（重庆市第八中学2024届高三下学期强化考试（四））已知非零向量满足， 且，若与的夹角为， 则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出，进一步求得，结合向量夹角公式即可求解. 【详解】由题意，所以 ， 注意到，两边平方得， 解得， 与的夹角的余弦值为，注意到， 所以. 故选：C. 【金题】3．（山东省济南市山东省实验中学2024届高三高考定心卷）已知点A、B、C在圆上运动，且，若点的坐标为，则的最大值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】由题意可得为直径，且，当共线且方向相同时模长最长，即可得出答案. 【详解】因为，所以为直径且过原点，的中点为原点， 所以由平行四边形法则可得：， 所以， 所以当共线且方向相同时模长最长，即当运动到时， 取得最大值为. 故选：C. 【金题】4．（河北省衡水中学2024届高三下学期模拟押题（一）在平行四边形中，，点为该平行四边形所在平面内的任意一点，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】设与的交点为，由，两边平方可表示出，同理可表示，四个式子相加化简可求得结果. 【详解】设与的交点为，由， 得， 同理可得， ， ， 所以 ，当点与点重合时，等号成立. 故选：C 【金题】5．（河南省郑州市郑州中学2024-2025学年高三上学期一测模拟演练）已知是单位圆上的三个动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，设出，，，表达出，结合，求出最小值. 【详解】以的垂直平分线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 设，，， 则， 故， 当时，取得最小值，最小值为， 由于，故当时，最小，故最小值为， 此时，满足要求， 故选：B. 【金题】6．（河北省衡水市第二中学2025届高三高考模拟一）（多选）下列四个命题正确的是（    ） A．若，则的最大值为3 B．若复数满足，则 C．若，则点的轨迹经过的重心 D．在中，为所在平面内一点，且，则 【答案】ABC 【分析】A根据复数模的几何意义及圆的性质判断；B利用复数的运算和模的运算求解即可；C结合重心的性质进行判断；D利用平面向量基本定理，判断出D点位置，进而可求. 【详解】对A，由的几何意义，知复数对应的动点到定点的距离为1，即动点的轨迹以为圆心，1为半径的圆，表示动点点的轨迹以的距离，由圆的性质知： ，A正确； 对B，设，因为， 所以，， 所以，所以，B正确； 对C，由正弦定理的，即， ，设中点为， 如图：    则，则，由平面向量的共线定理得三点共线，即点在边的中线上，故点的轨迹经过的重心,C正确； 对D，如图由已知点在中与平行的中位线上，且靠近的三等分点处，故有，所以，D错误.    故选：ABC 【金题】7．（重庆市西南大学附属中学校2024-2025学年高三上学期12月一诊模拟）已知点为圆上一点，，则的最大值为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设,表示出,继而得,将问题转化为圆上的动点到的距离的最大值问题,可得答案. 【详解】设,则, , 则, 故, 而的几何意义为圆上的动点到的距离, 其最大值为, 的最大值为, 故选：A 【金题】8．（陕西省西北工业大学附属中学2025届高三上学期第六次适应性训练）已知中，点分别是的重心和外心，且，则边的长为 . 【答案】 【分析】根据重心和外心性质，通过转化法利用数量积可得，再由三角形法则计算可求出的长为. 【详解】延长交于点，连接，作于点，则分别为的中点，如下图所示： 易知， 同理可得， 由重心性质可知； 所以； 又，即，可得； 所以，可得； 因此，即. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于要充分利用重心和外心的性质，将数量积通过转化得出三角形边长之间的关系，再由即可得出结果. 【金题】9．（辽宁省沈阳市东北育才学校2025届高三上学期第三次模拟考试）（多选）如图，已知中，，，是的中点，动点在以为直径的半圆弧上.则（    ） A． B．最小值为-2 C．在上的投影向量为 D．若的最大值为 【答案】ABD 【分析】由已知是的中点，易得，可判断A；根据投影向量的定义可判断C；以M为原点，直线AC为轴建立直角坐标系，设，则，写出各点坐标，表示各向量的坐标，用向量的坐标运算及三角恒等变形可判断C、D. 【详解】以M为原点，直线AC为轴建立直角坐标系（如图）， 设，则，在中，，，是的中点， 所以， ，则 ，，，， 所以，，， 对于A：因为是的中点，所以，故A正确； 对于B： 因为，所以，当时，取得最小值， 所以最小值为，故B正确； 对于C：在上的投影向量为，故C错误； 对于D：因为所以， 则，当时，取最大值.故D正确. 故选：ABD. 1．（贵州贵阳一中2024届高三一模）已知向量，，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】 根据平面向量共线的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】因为，且， 所以，解得. 故选：B 2．（安徽合肥一中2024届最后一卷）已知向量，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据向量坐标进行线性运算，再由模长公式即可求解. 【详解】， 故选：D. 3．（江西抚州临川一中2024届5月训练）已知，是单位向量，若，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知可推得，进而即可求出投影向量. 【详解】根据已知可得， 所以，. 所以，在上的投影向量为. 故选：D. 4．（重庆西南大学附中2024届高考全真模拟）已知，且与不共线，若向量与互相垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可得，根据数量积的运算律计算可得. 【详解】因为向量与互相垂直， 所以，即， 即，解得. 故选：C 5．（湖南长沙雅礼中学2024届高三一模）已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量垂直的坐标表示可得答案. 【详解】因为，所以，即， 所以，所以. 故选：C. 6．（吉林长春东北师大附中2024届五模）已知两个向量满足，，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】将两边平方，结合数量积的运算律计算可得. 【详解】因为，， 所以，即，解得或（舍去）. 故选：D 7．（河北石家庄第二中学2024届高三一模）已知向量，，若与反向共线，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量共线的坐标运算，求得参数，再结合向量线性运算的坐标运算求模长即可. 【详解】根据题意可得：，解得或； 当时，与共线同向，故舍去； 当时，，， . 故选：C. 8．（2024吉林长春东北师大附中高三六模）已知是两个单位向量，则下列四个结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用单位向量的定义与向量数量积运算即可得解. 【详解】对于A，因为是两个单位向量，但两者方向不一定相同， 所以不一定成立，故A错误； 对于B，，显然不一定成立，故B错误； 对于C，，则，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D. 9．（湖南长沙长郡中学2024届高考适应）若向量，则“”是“向量的夹角为钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据向量的夹角为钝角求出m的范围，即可判断“”和“向量的夹角为钝角”之间的逻辑推理关系，即可得答案. 【详解】向量，由向量的夹角为钝角， 即有，解得且， 即“”不能推出“且”即“向量的夹角为钝角”； “向量的夹角为钝角”即“且”能推出“”； 故“”是“且”的必要不充分条件， 即“”是“向量的夹角为钝角”的必要不充分条件． 故选：B． 10．（福建福州一中2024届高三5月模拟）已知，向量，若，则实数（    ） A． B． C．-2 D．2 【答案】D 【分析】由，可得，用坐标表示数量积，即得解 【详解】由 可得 ，因为，所以. 故选：D 11．（湖南师大附中2024二模）设为单位向量，在方向上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据投影向量的定义，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】因为在方向上的投影向量为， 所以， 所以有， 故选：D 12．（山东省实验2024届高三一模）若，，，则向量与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助向量模长与数量积的关系以及夹角公式计算即可得. 【详解】由，，， 则， 而，即得， 所以，又， 所以. 故选：A. 13．（江苏南京外国语20242月开学考试）平面向量，若，则（    ） A．6 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】先利用平面向量垂直的坐标表示求得，再利用平面向量模的坐标表示即可得解. 【详解】因为，， 所以，解得， 所以， 因此. 故选：B． 14．（安徽合肥一六八中学2024届最后一卷）在四边形中，，且，则 ． 【答案】3 【分析】根据图形，建立平面直角坐标系，再利用坐标求数量积. 【详解】如图，建立平面直角坐标系，由题意可知，，， 则，，，，， 所以. 故答案为：3 15．（山西大学附中2024届高三下月考）已知平面向量，均为单位向量，且，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，结合圆的几何性质求得正确答案. 【详解】依题意平面向量，均为单位向量，且， 建立如图所示平面直角坐标系，设， 设，由， 所以点在以原点为圆心，半径为的圆上， 表示以原点为圆心， 半径为的圆上的点与点的距离， 所以，根据圆的几何性质可知：的最大值是， 其中是点与原点的距离. 故选：C 16．（2024山东省实验5月模拟）（多选）已知向量，，则下列说法正确的是（    ） A． B．与的夹角为 C． D．在上的投影向量为 【答案】CD 【分析】利用向量的坐标运算即可，其中在上的投影向量公式为. 【详解】对于A，由向量，，则，故A是错误的； 对于B，由向量的夹角公式得：，所以与的夹角为，故B是错误的； 对于C，由，所以，即，故C是正确的； 对于D，由，则在上的投影向量为： ，故D是正确的； 故选：CD. 17．（重庆南开中学2024届高三5月模拟）已知非零向量、满足，则向量与的夹角为 ． 【答案】 【分析】由向量垂直的数量积表示和数量积的定义式运算即可. 【详解】因为， 设向量与的夹角为， 又因为， ， 所以向量与的夹角为. 故答案为：. 18．（江西师大附学2024届高考三模）已知钝角的面积为，则的值是（    ） A． B． C．或 D．或6 【答案】C 【分析】根据题设求得，依题分角为钝角和角为钝角两种情况讨论检验，利用向量数量积的定义即可分别求得. 【详解】依题意，，解得， 若角为钝角，则， 由余弦定理，,符合题意， 此时，； 若角为钝角，则， 由余弦定理，， 此时,即，符合题意， 此时. 故选：C. 19．（福建厦门双十中学2024届高三热身考试）在菱形中，，点分别为和的中点，且，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算以及数量积的运算律结合，求出，继而根据向量的线性运算以及数量积的运算律即可求得答案. 【详解】因为点分别为和的中点，   ，所以， 又 ， 故选：B. 20．（山东青岛二中二模）已知复数与在复平面内用向量和表示（其中是虚数单位，为坐标原点），则与夹角为 . 【答案】45°（或） 【分析】根据复数的几何意义、向量夹角公式运算得解. 【详解】根据题意，，， ，又， 所以向量与的夹角为. 故答案为：（或）. 21．（湖北武汉二中2024高三最后一卷）若平面向量两两夹角相等且，写出的一个可能值为 . 【答案】9（或，答案不唯一） 【分析】考虑两两夹角均为0和两种情况，计算出相应的模长. 【详解】当夹角均为时，； 当两两夹角均为时， ，此时. 故答案为：9（或，答案不唯一） 22．（山东省实验2024届高三二模）在中，为边的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助平面向量的线性运算及平面向量基本定理计算即可得解. 【详解】因为为边的中点，， 所以. 故选：D. 23．（辽宁沈阳东北育才2024高三六模）在中，点是的中点，点是的中点，点在线段上并且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的线性运算计算即可. 【详解】因为，所以， 又点是的中点，点是的中点，所以， 故. 故选：D. 24．（2024广东华南师大附中综合测试）等边的边长为3，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取中点，建立直角坐标系，得到，再根据模长的坐标公式即可求解. 【详解】 如图，取中点，建立直角坐标系，则， 由，若，则， 所以得：， 由，若，则， 所以得：， 所以，故. 故选：A 25．（河北省衡水中学2024届高三下学期押题）在中，是的中点，直线分别与交于点，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量运算法则，利用表示，结合向量三点共线的定理列式运算求解. 【详解】由，得. 因为共线，所以，解得. 故选：B. 26．（湖南省长沙市长郡中学2024届考前模拟）已知平面非零向量的夹角为，且满足，则的最小值为（    ） A． B．12 C． D．24 【答案】D 【分析】根据向量数量积的定义和关系，把的两边平方，利用基本不等式进行转化求解即可． 【详解】由已知非零向量的夹角为，所以， 由，两边平方得 当且仅当时等号成立，所以， 所以的最小值为24. 故选：D. 27．（湖南长沙长郡中学2024届高三下学期考前模拟）已知圆内接四边形中，是圆的直径，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量数量积的线性运算，结合圆内接四边形的几何性质，即可得所求. 【详解】 因为，所以，易知， 结合图形，，，则，故. 所以在直角三角形中可得，故. 故选：. 28．（湖南师大附中2023-2024学年高三下一模）设平面向量，若，则平面向量可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意利用向量的夹角公式可推出，确定的坐标，求得每个选项中向量的坐标，一一计算验证是否成立，即可求得答案. 【详解】由题意, 因为，所以， 所以，所以， 所以，所以， 由题意， 对于A, 若， 则，故A错误; 对于B，若， 则，故B错误； 对于C，若， 则，故C错误; 对于D，若， 则，故D正确， 故选：D 29．（湖南长沙长郡中学2024届高三下学期二模）如图，在▱OACB中，E是AC的中点，F是BC上的一点，且BC=3BF，若=m，其中m，n∈R，则m+n的值为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意将 用基底向量表示出来，然后通过基底向量进行计算． 【详解】在平行四边形中 因为E是AC中点， 所以 所以, 因为 所以 所以 因为 所以 ，解得 所以 故选C 【点睛】本题考查向量的运算，解题的关键是找到一组基底，将所求向量用基底表示，然后再进行运算． 30．（2024届湖南长沙一中最后一卷）在平行四边形中，，点为该平行四边形所在平面内的任意一点，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】设与的交点为，由，两边平方可表示出，同理可表示，四个式子相加化简可求得结果. 【详解】设与的交点为，由， 得， 同理可得， ， ， 所以 ，当点与点重合时，等号成立. 故选：C 31．（浙江宁波镇海中学2024适应性测试）已知是边长为1的正三角形，是上一点且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据题意得，由三点共线求得，利用向量数量积运算求解. 【详解】，，且， 而三点共线，，即， ， 所以. 故选：A. 32．（湖北武汉华师一2024届高三考前测试）如图，在中，，，是边的中点，过点作于点，延长交于点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，依题意可得，根据数量积的运算律求出，从而得到. 【详解】方法一：设，∵，∴， 又是边的中点，所以， ∴，∴， ∴， ∵，，所以，且， ∴，，， 代入得，解得， ∴，∴. 方法二：因为，，所以为等腰直角三角形， 又因为，为中线，所以，， 所以. 因为，所以， 所以，即， 所以. 过点作交于点，所以， 因为，设，则， 所以，解得，∴.    故选：C 33．（湖北武汉华师一2024届高三五月适应性考试）已知是边长为的正三角形，点是所在平面内的一点，且满足，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】可由重心的性质结合向量运算得到点的轨迹，再结合圆上的点到圆外定点的距离最小值为圆心到定点减半径得到；亦可建立适当平面直角坐标系，借助向量的坐标运算结合圆的性质得解. 【详解】法一：设的重心为，则， 点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 又，的最小值是. 法二：以所在直线为轴，以中垂线为轴建立直角坐标系， 则， 设，即， 化简得，点的轨迹方程为， 设圆心为，，由圆的性质可知当过圆心时最小， 又，故得最小值为. 故选：C. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 平面向量 1. 向量的运算 （1） 两点间的向量坐标公式： ，，终点坐标始点坐标 （2） 向量的加减法 ， ， （3） 向量的数乘运算 ，则： （4） 向量的模 ，则的模 （5） 相反向量 已知，则；已知 （6） 单位向量 （7） 向量的数量积 （8） 向量的夹角 （9） 投影向量 向量在上的投影向量为 （10） 向量的平行关系 （11） 向量的垂直关系 （12） 向量模的运算 【金题】1．（重庆市西南大学附属中学校2024-2025学年高三上学期12月一诊模拟）已知，，，则 ． 【金题】2．（重庆市第八中学2024届高三下学期强化考试（四））已知非零向量满足， 且，若与的夹角为， 则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【金题】3．（山东省济南市山东省实验中学2024届高三高考定心卷）已知点A、B、C在圆上运动，且，若点的坐标为，则的最大值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【金题】4．（河北省衡水中学2024届高三下学期模拟押题（一）在平行四边形中，，点为该平行四边形所在平面内的任意一点，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【金题】5．（河南省郑州市郑州中学2024-2025学年高三上学期一测模拟演练）已知是单位圆上的三个动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D．0 【金题】6．（河北省衡水市第二中学2025届高三高考模拟一）（多选）下列四个命题正确的是（    ） A．若，则的最大值为3 B．若复数满足，则 C．若，则点的轨迹经过的重心 D．在中，为所在平面内一点，且，则 【金题】7．（重庆市西南大学附属中学校2024-2025学年高三上学期12月一诊模拟）已知点为圆上一点，，则的最大值为（） A． B． C． D． 【金题】8．（陕西省西北工业大学附属中学2025届高三上学期第六次适应性训练）已知中，点分别是的重心和外心，且，则边的长为 . 【金题】9．（辽宁省沈阳市东北育才学校2025届高三上学期第三次模拟考试）（多选）如图，已知中，，，是的中点，动点在以为直径的半圆弧上.则（    ） A． B．最小值为-2 C．在上的投影向量为 D．若的最大值为 1．（贵州贵阳一中2024届高三一模）已知向量，，若，则（    ） A． B．1 C． D． 2．（安徽合肥一中2024届最后一卷）已知向量，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（江西抚州临川一中2024届5月训练）已知，是单位向量，若，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．（重庆西南大学附中2024届高考全真模拟）已知，且与不共线，若向量与互相垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 5．（湖南长沙雅礼中学2024届高三一模）已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 6．（吉林长春东北师大附中2024届五模）已知两个向量满足，，则（    ） A．1 B． C． D．2 7．（河北石家庄第二中学2024届高三一模）已知向量，，若与反向共线，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 8．（2024吉林长春东北师大附中高三六模）已知是两个单位向量，则下列四个结论正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（湖南长沙长郡中学2024届高考适应）若向量，则“”是“向量的夹角为钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（福建福州一中2024届高三5月模拟）已知，向量，若，则实数（    ） A． B． C．-2 D．2 11．（湖南师大附中2024二模）设为单位向量，在方向上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 12．（山东省实验2024届高三一模）若，，，则向量与的夹角为（   ） A． B． C． D． 13．（江苏南京外国语20242月开学考试）平面向量，若，则（    ） A．6 B．5 C． D． 14．（安徽合肥一六八中学2024届最后一卷）在四边形中，，且，则 ． 15．（山西大学附中2024届高三下月考）已知平面向量，均为单位向量，且，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 16．（2024山东省实验5月模拟）（多选）已知向量，，则下列说法正确的是（    ） A． B．与的夹角为 C． D．在上的投影向量为 17．（重庆南开中学2024届高三5月模拟）已知非零向量、满足，则向量与的夹角为 ． 18．（江西师大附学2024届高考三模）已知钝角的面积为，则的值是（    ） A． B． C．或 D．或6 19．（福建厦门双十中学2024届高三热身考试）在菱形中，，点分别为和的中点，且，则（    ） A．1 B． C．2 D． 20．（山东青岛二中二模）已知复数与在复平面内用向量和表示（其中是虚数单位，为坐标原点），则与夹角为 . 21．（湖北武汉二中2024高三最后一卷）若平面向量两两夹角相等且，写出的一个可能值为 . 22．（山东省实验2024届高三二模）在中，为边的中点，，则（    ） A． B． C． D． 23．（辽宁沈阳东北育才2024高三六模）在中，点是的中点，点是的中点，点在线段上并且，则（    ） A． B． C． D． 24．（2024广东华南师大附中综合测试）等边的边长为3，若，，则（    ） A． B． C． D． 25．（河北省衡水中学2024届高三下学期押题）在中，是的中点，直线分别与交于点，且，，则（    ） A． B． C． D． 26．（湖南省长沙市长郡中学2024届考前模拟）已知平面非零向量的夹角为，且满足，则的最小值为（    ） A． B．12 C． D．24 27．（湖南长沙长郡中学2024届高三下学期考前模拟）已知圆内接四边形中，是圆的直径，，则（    ） A． B． C． D． 28．（湖南师大附中2023-2024学年高三下一模）设平面向量，若，则平面向量可能是（    ） A． B． C． D． 29．（湖南长沙长郡中学2024届高三下学期二模）如图，在▱OACB中，E是AC的中点，F是BC上的一点，且BC=3BF，若=m，其中m，n∈R，则m+n的值为（　　） A．1 B． C． D． 30．（2024届湖南长沙一中最后一卷）在平行四边形中，，点为该平行四边形所在平面内的任意一点，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 31．（浙江宁波镇海中学2024适应性测试）已知是边长为1的正三角形，是上一点且，则（    ） A． B． C． D．1 32．（湖北武汉华师一2024届高三考前测试）如图，在中，，，是边的中点，过点作于点，延长交于点，则（    ）    A． B． C． D． 33．（湖北武汉华师一2024届高三五月适应性考试）已知是边长为的正三角形，点是所在平面内的一点，且满足，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$