专题04 函数的基本性质（42题）-【百强名校好题】刷透百强模拟 2025年高考数学直通130+（金题特训·名校巅峰）

专题04 函数的基本性质 （单调性、周期性、奇偶性、对称性）及应用 1. 单调性 （1） 单调性的运算 ①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗ ②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘ ③为↗，则为↘，为↘ ④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗ ⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘ ⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数） （2） 复合函数的单调性 2. 奇偶性 ①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提） ②奇偶性的定义： 奇函数：，图象关于原点对称 偶函数：，图象关于轴对称 ③奇偶性的四则运算 3. 周期性（差为常数有周期） ①若，则的周期为： ②若，则的周期为： ③若，则的周期为：（周期扩倍问题） ④若，则的周期为：（周期扩倍问题） 4. 对称性（和为常数有对称轴） 轴对称 ①若，则的对称轴为 ②若，则的对称轴为 点对称 ①若，则的对称中心为 ②若，则的对称中心为 5. 周期性对称性综合问题 ①若，，其中，则的周期为： ②若，，其中，则的周期为： ③若，，其中，则的周期为： 6. 奇偶性对称性综合问题 ①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为： ②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为： 【金题】1．（河北省衡水中学2024届高三下学期模拟押题（一）已知函数则不等式的解集为 . 【金题】2．（辽宁省沈阳市东北育才学校2025届高三上学期第三次模拟考试）已知函数是偶函数，则 . 【金题】3．（陕西省西北工业大学附属中学2025届高三上学期第六次适应性训练）函数（    ） A．是偶函数，且在区间上单调递增 B．是偶函数，且在区间上单调递㺂 C．是奇函数，且在区间上单调递增 D．既不是奇函数，也不是偶函数 【金题】4．（重庆市西南大学附属中学校2024-2025学年高三上学期12月一诊模拟）若函数，在区间的最大值为8，无最小值，则的取值范围为 ． 【金题】5．（辽宁省沈阳市东北育才学校2024届高三考前最后一模）已知函数的定义域为，且满足，的导函数为，函数的图象关于点中心对称，则（    ） A．3 B． C．1 D． 【金题】6．（安徽省合肥市第一中学2025届高三上学期阶段性诊断检测）函数在上有两个零点，则的取值范围是 . 【金题】7．（陕西省西北工业大学附属中学2025届高三上学期第六次适应性训练）已知定义在上的函数在区间上单调递增，且满足，，则（   ） A． B． C． D． 【金题】8．（广东省广州市华南师范大学附属中学2025届高三上学期10月阶段检测）设定义域为的单调递增函数满足，且，则时， ，若实数，满足对任意符合题意的都有，则的最小值为 . 【金题】9．（江苏省南京大学附属中学2024-2025学年高三下学期2月模拟）（多选）已知函数，，则下列结论正确的是（   ） A．当时，为奇函数 B．的图象关于直线对称 C．当时，， D．若，，则 【金题】10．（安徽省合肥市第一中学2025届高三上学期阶段性诊断检测）（多选）已知函数 ，若关于 方程 有四个不同的解 ，且 ，则 的可能取值为（     ） A．2 B．8 C．16 D．32 【金题】11．（山东省济南市山东省实验中学2024届高三高考定心卷）（多选）已知函数，设，．且关于的函数．则（    ） A． B． C．当时，存在关于的函数在区间上的最小值为6， D．当时，存在关于的函数在区间上的最小值为6， 【金题】12．（山东省济南市山东师范大学附属中学2025届高三上学期高考模拟考试）若函数恰有3个零点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【金题】13．（山东省济南市山东师范大学附属中学2025届高三上学期高考模拟考试）已知函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的取值范围是 ． 【金题】14．（河南省郑州市郑州中学2024-2025学年高三上学期一测模拟演练）（多选）已知函数和的定义域均为R，且是的导函数，若和均为奇函数，则（    ） A． B．0是的一个极值点 C．和均为周期函数 D． 单选+填空 1．（湖北武汉华师一2024届高三五月适应性考试）函数（    ） A．是偶函数，且在区间上单调递增 B．是偶函数，且在区间上单调递㺂 C．是奇函数，且在区间上单调递增 D．既不是奇函数，也不是偶函数 2．（2024吉林长春东北师大附中高三六模）函数图象的对称中心为（   ） A． B． C． D． 3．（湖南师大附中2023-2024学年高三下一模）已知为奇函数，则 . 4．（山东省实验2024届高三二模）若是周期为π的奇函数，则可以是（    ） A． B． C． D． 5．（江西抚州临川一中2024届5月训练）定义在上的函数满足，则下列是周期函数的是（    ） A． B． C． D． 6．（湖南省长沙市长郡中学2024届考前模拟）已知函数的图象如图所示，则函数的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 7．（浙江杭州二中2024高三下开学考试）函数的图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   8．（河南郑州一中2024届考前全真模拟）若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 9．（河南郑州一中2024届考前全真模拟）已知为奇函数，则（    ） A． B．14 C． D．7 10．（山东青岛二中二模）已知函数满足对任意的且都有，若，，则（    ） A． B． C． D． 11．（辽宁沈阳东北育才2024高三六模）函数是定义在上的奇函数，且在区间上单调递增，若关于实数的不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（湖南长沙长郡中学2024届高考适应）函数，对任意的时，都有，则 ，函数的最小值是 . 13．（湖南省长沙市长郡中学2024届高三一模）函数有3个零点的充分不必要条件是（    ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 14．（湖南长沙雅礼中学2024届高三4月测试）已知定义在上的函数是偶函数，当时，，若关于的方程有且仅有6个不同的实数根，则实数的取值范围是 . 15．（浙江杭州二中2024届6月热身考试）对于每一对实数，，函数满足函数方程，如果，那么满足的的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数多个 16．（安徽合肥一六八中学2024届最后一卷）已知函数（不恒为零），其中为的导函数，对于任意的，满足，且，则（    ） A． B．是偶函数 C．关于点对称 D． 多选 17．（吉林长春东北师大附中2024届五模）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数单调递增 B．函数值域为 C．函数的图象关于对称 D．函数的图象关于对称 18．（湖南长沙长郡中学2024届高三下学期二模）已知定义在R上的偶函数，其周期为4，当时，，则（    ） A． B．的值域为 C．在上单调递减 D．在上有8个零点 19．（广东广州华南师大附中2024年5月月考）函数和的定义域为，若的最小正周期为的最小正周期为，则（    ） A．为周期函数 B．为周期函数 C．为周期函数 D．为周期函数 20．（湖南长沙长郡中学2024届高三下学期考前模拟）已知函数的定义域和值域均为，对于任意非零实数，函数满足：，且在上单调递减，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．在定义域内单调递减 D．为奇函数 21．（湖南长沙雅礼中学2024届高三下学期3月测试）设a为常数，的定义域为R，，则（    ）． A． B．成立 C． D．满足条件的不止一个 22．（广西柳州高级中学2024届高三5月适应性考试）已知函数，的定义域均为R，且，，，则下列说法正确的有（    ） A． B．为奇函数 C．的周期为6 D． 23．（湖北武汉华师一2024届高三五月适应性考试）已知函数的定义域为R，对，且为的导函数，则（    ） A．为偶函数 B． C． D． 24．（湖南师大附中2024二模）已知函数及其导函数的定义域均为，记.若满足的图象关于直线对称，且，则（    ） A．是偶函数 B． C． D． 25．（河南郑州外国语2024高三适应性考试）已知函数及其导函数的定义域均为，若是奇函数，，且对任意x，，，则（    ） A． B． C． D． 26．（江苏南京外国语2024年2月开学考试）设定义在R上的函数与的导函数分别为和．若，，且为奇函数，则（    ）． A．， B． C． D． 27．（山西大学附中2024届高三下月考）已知非常数函数及其导函数的定义域均为，若为奇函数，为偶函数，则（ ） A． B． C． D． 28．（广东东莞高级中学三模）已知定义在实数集上的函数的图象关于点中心对称，函数，且函数在上单调递减，函数的导函数分别是，则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．若，则 D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 函数的基本性质 （单调性、周期性、奇偶性、对称性）及应用 1. 单调性 （1） 单调性的运算 ①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗ ②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘ ③为↗，则为↘，为↘ ④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗ ⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘ ⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数） （2） 复合函数的单调性 2. 奇偶性 ①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提） ②奇偶性的定义： 奇函数：，图象关于原点对称 偶函数：，图象关于轴对称 ③奇偶性的四则运算 3. 周期性（差为常数有周期） ①若，则的周期为： ②若，则的周期为： ③若，则的周期为：（周期扩倍问题） ④若，则的周期为：（周期扩倍问题） 4. 对称性（和为常数有对称轴） 轴对称 ①若，则的对称轴为 ②若，则的对称轴为 点对称 ①若，则的对称中心为 ②若，则的对称中心为 5. 周期性对称性综合问题 ①若，，其中，则的周期为： ②若，，其中，则的周期为： ③若，，其中，则的周期为： 6. 奇偶性对称性综合问题 ①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为： ②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为： 【金题】1．（河北省衡水中学2024届高三下学期模拟押题（一）已知函数则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】由函数解析式可得在上单调递增，令，不等式为变为，利用单调性可得不等式的解集. 【详解】函数在上单调递增， 又在上单调递增，又， 所以在上单调递增. 设，可得在上单调递增. 又，所以原不等式可化为， 所以原不等式的解集为. 故答案为：. 【金题】2．（辽宁省沈阳市东北育才学校2025届高三上学期第三次模拟考试）已知函数是偶函数，则 . 【答案】1 【分析】利用偶函数的定义可求参数的值. 【详解】因为，故， 因为为偶函数，故， 时，整理得到， 故， 故答案为：1 【金题】3．（陕西省西北工业大学附属中学2025届高三上学期第六次适应性训练）函数（    ） A．是偶函数，且在区间上单调递增 B．是偶函数，且在区间上单调递㺂 C．是奇函数，且在区间上单调递增 D．既不是奇函数，也不是偶函数 【答案】A 【分析】借助函数奇偶性的定义可判断函数奇偶性，借助导数即可得函数单调性. 【详解】的定义域为，， 为偶函数； 当时，在区间上单调递增. 故选：A. 【金题】4．（重庆市西南大学附属中学校2024-2025学年高三上学期12月一诊模拟）若函数，在区间的最大值为8，无最小值，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用导数求出函数的单调区间，依题意可得且，即可求出的值，从而求出的取值范围. 【详解】因为，则， 所以当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 且，，， 因为在区间的最大值为8，无最小值， 所以且，解得， 则. 故答案为： 【金题】5．（辽宁省沈阳市东北育才学校2024届高三考前最后一模）已知函数的定义域为，且满足，的导函数为，函数的图象关于点中心对称，则（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】利用函数的图象关于对称、关于点中心对称可得的周期，根据周期可得答案． 【详解】因为，则函数的图象关于点中心对称， 且．由，，得， 所以函数的图象关于对称，． 根据图象变换的规律，由的图象关于点中心对称， 得的图象关于点中心对称，， 则的周期为，， 故． 故选：A． 【金题】6．（安徽省合肥市第一中学2025届高三上学期阶段性诊断检测）函数在上有两个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】分类讨论是否为0，得出不同情况下函数的情况，即可求出的取值范围. 【详解】由题意，在中， 当时，，函数单调递增， 在上，，无零点，舍去， 当时，， ， ， 对称轴，∴图象过，， ∴函数图象开口向下， ，解得：， 故答案为：. 【金题】7．（陕西省西北工业大学附属中学2025届高三上学期第六次适应性训练）已知定义在上的函数在区间上单调递增，且满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抽象函数性质可确定关于直线对称，关于点对称，从而可确定其周期性，再结合单调性可得函数的大致图象，结合周期性、对称性、对数函数性质、三角函数性质逐项判断即可得结论. 【详解】对于函数有，，则函数关于直线对称， 由，则函数关于点对称， 所以，所以得， 则，故函数的周期为，且，故函数为偶函数， 因为函数在区间上单调递增，则函数的大致图象如下图： 由对称性可得， 所以 ，故A错误； 由于，，所以，故B错误； 又，，所以，故C正确； ，且， 因为，所以，故， 所以，故D错误. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：抽象函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性，解决本题的关键是结合函数的性质确定函数的图象，从而可确定函数值的大小关系、对称关系. 【金题】8．（广东省广州市华南师范大学附属中学2025届高三上学期10月阶段检测）设定义域为的单调递增函数满足，且，则时， ，若实数，满足对任意符合题意的都有，则的最小值为 . 【答案】 288 【分析】由题意构造，从而得到，即可解决空①，由空①，得到，再结合，以及的单调性，即可求解. 【详解】由题得，设，则，又， 则时，故时. 由2025除以7等于289余2，易得， 故， 得， 又为单调递增函数，，，故， 只需在单调递增即可满足题意：设，若， 则 ， 而，故在单调递增 而依此类推可得始终单调递增， 故两边都可以趋近取等， 故，，且可以取等. 故答案为：；288 【金题】9．（江苏省南京大学附属中学2024-2025学年高三下学期2月模拟）（多选）已知函数，，则下列结论正确的是（   ） A．当时，为奇函数 B．的图象关于直线对称 C．当时，， D．若，，则 【答案】ACD 【分析】利用奇函数、轴对称的定义判断AB；取值计算判断C；分离参数构造函数，结合不等式性质判断D. 【详解】对于A，当时，， ，函数是奇函数，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，当时，，，C正确； 对于D，由，得， 令，， 而，，且均在时取等号，则，， 因此，D正确. 故选：ACD 【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，， ①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称. ②存在常数a使得，则函数图象关于直线对称. 【金题】10．（安徽省合肥市第一中学2025届高三上学期阶段性诊断检测）（多选）已知函数 ，若关于 方程 有四个不同的解 ，且 ，则 的可能取值为（     ） A．2 B．8 C．16 D．32 【答案】BCD 【分析】画出函数图像，根据图像结合函数性质确定，，，可得，即可得到 的取值范围，从而得到答案. 【详解】画出函数的图象，如图所示： 因为方程有四个不同的解，，，，且， 所以，且， 由时，，则与的中点横坐标为，即：， 当时，，则，所以， 又，则， 因为， 则，所以BCD符合. 故选：BCD. 【金题】11．（山东省济南市山东省实验中学2024届高三高考定心卷）（多选）已知函数，设，．且关于的函数．则（    ） A． B． C．当时，存在关于的函数在区间上的最小值为6， D．当时，存在关于的函数在区间上的最小值为6， 【答案】ABD 【分析】根据新定义，归纳推理即可判断A，根据A及求和公式化简即可判断B，根据二次函数的对称轴分别求出函数最小值，建立方程求解正整数可判断CD. 【详解】因为，，所以， ，依次类推，可得，故A正确； 由A选项知，，故B正确； 当时，的对称轴， 所以在区间上单调递减，故当时，，方程无整数解，故C错误； 当时，的对称轴， 所以当时，，解得，故D正确. 故选：ABD 【金题】12．（山东省济南市山东师范大学附属中学2025届高三上学期高考模拟考试）若函数恰有3个零点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数零点的意义分离参数可得，再构造函数将问题转化为直线与函数图象有3个交点求解. 【详解】由，当时，，则， 函数在上单调递减，值域为R， 当时，要使有意义，则对恒成立， 于是，由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，有最小值为， 于是，令函数， 在同一坐标系内作出函数的图象及直线， 观察图象知，当时，直线与函数的图象有个交点，即函数有个零点. 综上，的取值范围为. 故选：C 【金题】13．（山东省济南市山东师范大学附属中学2025届高三上学期高考模拟考试）已知函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】作出函数的图象，求出方程的解，由已知可得出，对实数的取值进行分类讨论，确定满足不等式的整数解，结合图象可得出实数的取值范围. 【详解】由，可得. 因为，作出函数的图象如下图所示： 当时，， 当时，由， 即，解得或（舍）. 若，则有，且， 若使得满足不等式恰有一个整数解， 由图可知，则该整数解为，且不是不等式的解， 则，即； 若，则，无解； 若，则有， 由图可知，则满足不等式的整数解为， 且与都不是不等式的解，且， 所以，即. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【金题】14．（河南省郑州市郑州中学2024-2025学年高三上学期一测模拟演练）（多选）已知函数和的定义域均为R，且是的导函数，若和均为奇函数，则（    ） A． B．0是的一个极值点 C．和均为周期函数 D． 【答案】ABC 【分析】由为奇函数，可得函数的导函数为偶函数，据此结合每个选项逐项计算判断即可. 【详解】因为是奇函数，所以，两边求导可得， 所以，因为是的导函数，即， 所以是偶函数，令，可得，所以， 因为均为奇函数，所以， 令，可得，可得， 又是偶函数，所以，故A正确； 因为是偶函数，所以，求导可得， 所以，令，可得，从而可得， 由，可知在两侧导数值异号，所以0是的一个极值点，故B正确； 由，又是偶函数，所以， 所以，所以，所以， 所以是以4为周期的周期函数，因为， 所以，所以， 所以也是以4为周期的周期函数，故C正确； 由以4为周期的周期函数， 所以， 又是奇函数，所以， 所以， 所以， 所以，所以，又， 所以，所以， 所以，无法确定，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：利用奇函数的导数偶函数，可确定是周期函数，进而确定是周期函数，进而计算可判断D的正确性. 单选+填空 1．（湖北武汉华师一2024届高三五月适应性考试）函数（    ） A．是偶函数，且在区间上单调递增 B．是偶函数，且在区间上单调递㺂 C．是奇函数，且在区间上单调递增 D．既不是奇函数，也不是偶函数 【答案】A 【分析】借助函数奇偶性的定义可判断函数奇偶性，借助导数即可得函数单调性. 【详解】的定义域为，， 为偶函数； 当时，在区间上单调递增. 故选：A. 2．（2024吉林长春东北师大附中高三六模）函数图象的对称中心为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设的对称中心为，利用对任意恒成立，即可求出和. 【详解】设的对称中心为，则对任意恒成立， 代入解析式，有， 即对任意恒成立， 所以，解得，故对称中心为. 故答案为：B. 3．（湖南师大附中2023-2024学年高三下一模）已知为奇函数，则 . 【答案】-6 【分析】根据函数为奇函数，得到，从而得到，求出答案. 【详解】因为为奇函数，所以， 即， 所以，故， 即. 故答案为：-6 4．（山东省实验2024届高三二模）若是周期为π的奇函数，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合选项，利用三角恒等变换的公式化简，应用三角函数的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，若，则为偶函数，不符合题意； 若，则，奇函数且周期为，符合题意； 若，则为偶函数，不符合题意； 若，则周期为，不符合题意. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，以及三角函数的恒等变换的应用，着重考查了推理与运算能力. 5．（江西抚州临川一中2024届5月训练）定义在上的函数满足，则下列是周期函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造特殊函数排除法即可. 【详解】由题意可知，满足题意. 选项A，，是周期函数. 而选项B，，选项C，，选项D，，均不是周期函数，故排除BCD. 选项A，证明：设， ， 则是以为周期的函数. 故选：A. 6．（湖南省长沙市长郡中学2024届考前模拟）已知函数的图象如图所示，则函数的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象，结合各个选项的函数，逐一分析判断即可得出结果. 【详解】对于选项A，由，得，不符合函数图象，所以选项A错误， 对于选项B，因为，且的定义域为， 关于原点对称，所以是奇函数，不符合函数图象，所以选项B错误， 对于选项C，因为的定义域为，不符合函数图象，所以选项C错误， 对于选项D，解析式符合图象特征. 故选：D. 7．（浙江杭州二中2024高三下开学考试）函数的图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】利用函数的定义域、奇偶性、函数值分析运算判断即可得解. 【详解】解：设，定义域为，则有 ， 所以函数是偶函数，图象关于轴对称，故选项A、C错误； 因为， 所以选项B错误； 综上知，选项D正确. 故选：D. 8．（河南郑州一中2024届考前全真模拟）若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 【答案】B 【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可. 【详解】因为 为偶函数，则 ，解得， 当时，，，解得或， 则其定义域为或，关于原点对称. ， 故此时为偶函数. 故选：B. 9．（河南郑州一中2024届考前全真模拟）已知为奇函数，则（    ） A． B．14 C． D．7 【答案】C 【分析】根据函数奇偶性定义和性质即可求解. 【详解】因为为奇函数， 故， ， ， ， 故. 故选：C. 10．（山东青岛二中二模）已知函数满足对任意的且都有，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据将，再用裂项相消法求的值. 【详解】∵函数满足对任意的且都有 ∴令，则， ∴ ∴ . 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题主要考查数列的求和问题，关键是理解数列的规律，即研究透通项，本题的关键是将通项分析为： 11．（辽宁沈阳东北育才2024高三六模）函数是定义在上的奇函数，且在区间上单调递增，若关于实数的不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先得出是偶函数，把不等式化为，结合函数的单调性与奇偶性，得到，求解不等式即可． 【详解】因为函数是定义在上的奇函数， 即，当时，又有意义， 所以是定义域上的偶函数， 又因为在区间上单调递增， 所以， 所以，即，所以， 则或，解得或， 所以的取值范围是． 故选：D． 12．（湖南长沙长郡中学2024届高考适应）函数，对任意的时，都有，则 ，函数的最小值是 . 【答案】 －1 －36 【分析】易得，是的两个零点，由可得，也是的两个零点，代入即可求出；令通过换元将函数转化为二次函数的最值问题即可. 【详解】依题意， 因为， 则，是的两个零点， 又，则，也是的两个零点， 故，则，故； 又，故， 令，则或，故， 对称轴是，故当时，即时，函数取得最小值－36.， 故答案为：-1；-36. 13．（湖南省长沙市长郡中学2024届高三一模）函数有3个零点的充分不必要条件是（    ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】D 【分析】由题意可得函数有3个零点的充要条件为且，逐个选项分析其是否为且的充分不必要条件即可得. 【详解】，有， 若有三个零点，则有且， 故函数有3个零点的充要条件为： 且， 对A：，且，则当时，有，不符，故A错误； 对B：可能，不符，故B错误； 对C：且，则，不符，故C错误； 对D：，且，则， 即由，且能得到且， 但且并不意味着，且， 故，且是且的充分不必要条件， 即是函数有3个零点的充分不必要条件，故D正确. 故选：D. 14．（湖南长沙雅礼中学2024届高三4月测试）已知定义在上的函数是偶函数，当时，，若关于的方程有且仅有6个不同的实数根，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】作出函数的图象，令，,，则有有两不等实根，，结合图象可得或，结合韦达定理求解即可． 【详解】由题意可知，函数的图象如图所示，根据函数图象， 函数在上单调递增，在上单调递减， 故当时取得最大值2，当时取得最小值0， 直线是该图象的渐近线.令， 则关于的方程可写成， 此时关于的方程应该有两个不相等的实数根， 设为方程的两个实数根， 显然，有以下两种情况符合题意： ①当时，，则； ②当时，，则. 综上可知，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数． 15．（浙江杭州二中2024届6月热身考试）对于每一对实数，，函数满足函数方程，如果，那么满足的的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数多个 【答案】A 【分析】根据题意，令可得，由累加法可得，然后考虑负整数的情况，代入计算，即可求解. 【详解】令，则， ①， 分别令， 可得， ， ， 并将诸式相加得 整理可得②， 从而对所有自然数，②式成立. 若，可得，，. 于是，对且时，无解. 对公式①取得. 再取得. 进而得，，. 再由①式，时，. 从而，时，有. 所以，只有时，. 故选：A 16．（安徽合肥一六八中学2024届最后一卷）已知函数（不恒为零），其中为的导函数，对于任意的，满足，且，则（    ） A． B．是偶函数 C．关于点对称 D． 【答案】D 【分析】借助赋值法令，即可得A；结合赋值法与函数奇偶性的定义计算可得B；结合复合函数导数公式与对称性可得C；借助赋值法，可逐项计算出到，即可得解. 【详解】对A：令，有，故，故A错误； 对B：令，有，又不恒为零， 故，即，又，故是奇函数，故B错误； 对C：令， ； 令， 当时，有， ； 当，有， ， 当，结合，有， ， ， 综上，，， 关于直线对称， 所以关于直线对称，故C错误； 对D：由，故， 令，有， 即，则，即， ，即，，即， 令，有， 即，则， ，， 故，故D正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：D选项中，关键点在于令可得，结合，可得为偶数时，. 多选 17．（吉林长春东北师大附中2024届五模）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数单调递增 B．函数值域为 C．函数的图象关于对称 D．函数的图象关于对称 【答案】ABD 【分析】根据复合函数单调性的判断方法，即可判断A，根据函数形式的变形，根据指数函数的值域，求解函数的值域，即可判断B，根据对称性的定义，与的关系，即可判断CD. 【详解】， 函数，，则， 又内层函数在上单调递增，外层函数在上单调递增， 所以根据复合函数单调性的法则可知，函数单调递增，故A正确； 因为，所以，则，所以函数的值域为，故B正确； ，，所以函数关于点对称，故C错误，D正确. 故选：ABD 18．（湖南长沙长郡中学2024届高三下学期二模）已知定义在R上的偶函数，其周期为4，当时，，则（    ） A． B．的值域为 C．在上单调递减 D．在上有8个零点 【答案】AB 【分析】对于A选项，利用函数的周期性与奇偶性，计算函数值；对于B选项，利用函数的解析式求得函数值范围，再利用奇偶性，得出函数的值域；对于C选项，利用函数解析式和周期性，推得函数的单调性；对于D选项，利用函数的周期性和奇偶性，得出零点个数。 【详解】对于A，，所以A正确； 对于B，当时，单调递增， 所以当时，的值域为， 由于函数是偶函数，在上的值域也为， 又是周期为的周期函数，所以的值域为，所以B正确； 对于C，当时，单调递增， 又的周期是4，所以在上单调递增，所以C错误； 对于D，令，得，所以， 由于的周期为4，所以， 所以在上有6个零点，所以D错误， 故选：AB. 19．（广东广州华南师大附中2024年5月月考）函数和的定义域为，若的最小正周期为的最小正周期为，则（    ） A．为周期函数 B．为周期函数 C．为周期函数 D．为周期函数 【答案】CD 【分析】由周期函数的定义逐一验算每个选项即可得解. 【详解】当是无理数时，两个函数周期不存在最小整数公倍数，和可能不为周期函数，故AB选项错误， 但的周期均为， 因此和均有为的周期，CD选项正确. 故选：CD. 20．（湖南长沙长郡中学2024届高三下学期考前模拟）已知函数的定义域和值域均为，对于任意非零实数，函数满足：，且在上单调递减，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．在定义域内单调递减 D．为奇函数 【答案】BC 【分析】赋值法可判断A，根据等比数列求和公式判断B，利用奇偶函数的定义及赋值法判断C，由函数的特例可判断D. 【详解】对于，令，则， 因，故得，故A正确； 对于由， 令，则， 则，即， 故是以为首项，2为公比的等比数列， 于是，故B错误； 对于，由题意，函数的定义域为，关于原点对称， 令，则①， 把都取成，可得②， 将②式代入①式，可得， 化简可得即为奇函数，故D正确； 对于C，在上单调递减，函数为奇函数，可得在上单调递减， 但是不能判断在定义域上的单调性，例如，故C错误. 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于对已知的函数抽象表达式的处理，一般以赋值化简为主，根据选项信息对自变量进行针对性赋值，求出函数值，或者推导出递推式，或者构造出的关系式即可判断奇偶性等. 21．（湖南长沙雅礼中学2024届高三下学期3月测试）设a为常数，的定义域为R，，则（    ）． A． B．成立 C． D．满足条件的不止一个 【答案】ABC 【分析】对已知条件进行多次赋值，结合已知数据，再对每个选项进行逐一判断即可. 【详解】 对A：对原式令，则，即，故A正确； 对B： 对原式令，则，故， 对原式令，则，故非负； 对原式令，则，解得， 又非负，故可得，故B正确； 对C：由B分析可得：，故C正确； 对D：由B分析可得：满足条件的只有一个，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：本题考察抽象函数的性质，处理问题的关键是对已知条件合理的赋值，属中档题. 22．（广西柳州高级中学2024届高三5月适应性考试）已知函数，的定义域均为R，且，，，则下列说法正确的有（    ） A． B．为奇函数 C．的周期为6 D． 【答案】ACD 【分析】根据已知得，将转化为，给取值推导奇偶性和周期性解决问题. 【详解】对于A，，故A正确； ，， ，令， 则①， ②， ①+②可得， ，， ，因此，故C正确； 令，， 令，，， 则，故，， 故为偶函数，所以B不正确； 因为，故关于对称， 且，，令，， 则，令，，， 则，， ，一个周期的和为0， 则，故D正确. 故选：ACD 23．（湖北武汉华师一2024届高三五月适应性考试）已知函数的定义域为R，对，且为的导函数，则（    ） A．为偶函数 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】对于A：令，可判断A；对于B：令，进而计算可判断B；对于C：为奇函数，可得为偶函数；进而可得关于对称，可判断C；对于D：令，可得，令，则，两式相加可判断D. 【详解】对于A：令，则， 为奇函数，故选项A不正确； 对于B：令，则，令，则 为奇函数， ， 的周期为4，，故选项B正确； 对于C：为奇函数，为偶函数； 的周期为4， 为偶函数，， 关于对称， 所以，令，可得，令，可得， 所以，故， ，故选项C正确； 对于D：令，则，即①， 令，则②， 由①+②得， 故选项D正确. 故选：BCD． 【点睛】关键点睛：本题综合考查函数性质的应用，涉及到函数的奇偶性、周期性以及导数的知识，解答的关键是根据题意采用变量代换推出函数为周期为4的周期函数，进而求得一个周期内的函数值，即可求解. 24．（湖南师大附中2024二模）已知函数及其导函数的定义域均为，记.若满足的图象关于直线对称，且，则（    ） A．是偶函数 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】推导出函数的奇偶性，设，利用导数推导出为常值函数，结合函数奇偶性的定义可判断A选项；推导出，令代值计算可判断B选项；由、推导可判断C选项；求出的值，结合函数的周期性可判断D选项． 【详解】对于A选项，因为函数的图象关于直线对称， 则， 即，所以，函数为偶函数，故A正确； 对于选项，因为，令，可得，即， 对等式两边求导得，即， 故，所以，故B正确； 对于选项，因为，则， 令，则，所以，为常值函数， 设，其中为常数， 当时，，故C错误； 对于D选项，因为，所以，. ，可得， ， 由，令，可得，则， 所以， 因为，则，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】结论点睛：本题考查抽象函数的对称性与周期性，一般可根据如下规则判断： （1）若对任意的实数，满足，则函数的周期为； （2）若对任意的实数，满足，则函数关于直线对称； （3）若对任意的实数，满足，则函数关于点对称． 25．（河南郑州外国语2024高三适应性考试）已知函数及其导函数的定义域均为，若是奇函数，，且对任意x，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据赋值法，结合原函数与导函数的对称性，奇、偶函数的定义、函数周期性进行求解即可. 【详解】令，得，因为， 所以，所以A错误； 令，得①，所以， 因为是奇函数，所以是偶函数， 所以②，由①②， 得， 即， 所以， 所以，是周期为3的函数，所以， ， 所以B正确，C错误； 因为， 在①中令得， 所以， ，所以D正确． 故选：BD． 【点睛】对于可导函数有： 奇函数的导数为偶函数 偶函数的导数为奇函数 若定义在R上的函数是可导函数，且周期为T，则其导函数是周期函数，且周期也为T 26．（江苏南京外国语2024年2月开学考试）设定义在R上的函数与的导函数分别为和．若，，且为奇函数，则（    ）． A．， B． C． D． 【答案】AC 【分析】由为奇函数，结合奇函数的性质判断A，由条件证明为周期为的函数，利用组合求和法求判断C，根据条件证明，由此判断BD. 【详解】对A，又∵为奇函数， 则图像关于对称，且， 所以，A 正确； 对于C，∵，则， 则，又， 所以， 令，可得，即. 所以，又 所以， 所以， ∴的周期，所以， 由可得， ，，， 所以，， ∴，C正确； 对B，，则是周期的函数，，B错误； 对D，，，所以， 所以，D错误. 故选：AC. 【点睛】知识点点睛：本题考查导数的运算，奇函数的性质，抽象函数周期性的证明，分组求和法等知识点，属于综合题，考查逻辑推理和首项运算的核心素养. 27．（山西大学附中2024届高三下月考）已知非常数函数及其导函数的定义域均为，若为奇函数，为偶函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据为奇函数可求出判断A，再由为奇函数，为偶函数求出可得周期，据此可判断B，根据函数的周期可求的周期判断CD. 【详解】因为非常数函数及其导函数的定义域均为， 若为奇函数，则，则的图象关于点对称，且，故A错误； 因为为偶函数，所以，即， 则，又，所以， 所以，即，所以， 故的周期为8，所以，，在中，令，得，所以，故B正确； 对两边同时求导，得， 所以导函数的周期为8，所以，故C正确； 由周期，得，，对两边同时求导，得，令，得， 所以，故D正确. 故选：BCD. 28．（广东东莞高级中学三模）已知定义在实数集上的函数的图象关于点中心对称，函数，且函数在上单调递减，函数的导函数分别是，则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．若，则 D． 【答案】ACD 【分析】选项A，验证等式是否成立即可；选项B，验证等式是否成立即可；选项C，由等式出发，证明成立即可；选项D，构造函数，借助其单调性证明不等式即可. 【详解】对于选项A，因为函数的图象关于点中心对称， 所以，两边求导数得： ， 成立，所以函数的图象关于直线对称. 故选项A正确； 对于选项B，因为函数， 则， 用替换，得：，故的图象关于直线对称， 故选项B错误； 对于选项C，接上个选项解析中， 两边求导得：则，即， 将代入，得：， 故选项C正确； 对于选项D，因为的图象关于直线对称， 所以， 设， 则， 又设， 则有， 从而在上单调递增，则， 即在上单调递增，， 故有恒成立，则， 又因在上单调递减，则在上单调递增， 又，故，即：， 故选项D正确. 故选：ACD. 【点睛】本题考查抽象函数的对称性以及应用导数证明不等式，注意赋值法的使用，属于难题.抽象函数的对称性主要有两种形式：（1）若成立，函数的对称轴为；（2）若成立，函数的对称中心为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$