热点必刷题03 几何综合解答题压轴40题（4类题型40题）-2025年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练（浙江专用）

热点必刷题03 几何综合解答题压轴40题 一、圆中的综合问题 2 二、旋转综合问题 48 三、其他几何综合（含求值与最值） 63 四、创新探究问题 96 一、圆中的综合问题 1．（2024·浙江·模拟预测）已知是圆的内接四边形的两条对角线，相交于点，且． (1)如图，求证：． (2)在图中找出一组全等的三角形，并给出证明． (3)如图，圆的半径为，弦于点，当的面积为时，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)，证明见解析； (3)． 【分析】（）由得，即得，得到，进而即可求证； （）．由（）得，，再利用即可求证； （）如图，连接，由垂直得，同理（）可得，得到为等腰直角三角形，即得，进而得，利用勾股定理得，设，，可得，，利用完全平方公式可得，得到，据此即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 即， ∴， 即， ∴； （2）解：． 证明：由（）得，， 在和中， ， ∴； （3）解：如图，连接， ∵， ∴， 同理（）可得， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 设，， 在中，由勾股定理得， ∴， 又∵的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角之间的关系，等角对等边，全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，完全平方公式，正确作出辅助线是解题的关键． 2．（2024·浙江金华·模拟预测）如图，已知内接于，，过点作于点，延长交于点，在上截取，连结． (1)求证：． (2)若，求的值． (3)在上取一点，使得，连结，若，的面积为，求和的长． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) (3)， 【分析】（1）设，根据直角三角形两锐角互余可得，根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形内角和定理可得，由此即可求解； （2）根据题意可得垂直平分，由，可得，，所以可得点在线段的垂值平分线上，如图所示，连接并延长交于于点，可得，在中，设，则，，根据勾股定理可求出，由此即可求解； （3）由（2）可得，，如图所示，过点作于点，可证，得到，根据，可求出，则，在中，根据勾股定理可得，设，则，由勾股定可得，可求出，在中，，所以有，可求出，在中，运用勾股定理可得，由此求出，如图所示，连接，可得，，再根据三角形相似的判定可得，求出，在中，根据勾股定理可得，由此即可求解． 【详解】（1）证明：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，连接， ∵，， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，且， ∴点在线段的垂直平分线上， 如图所示，连接并延长交于于点， ∴，，， ∴， 在中，设，则，， ∴， ∴； （3）解：由（2）可得，， 如图所示，过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， 在中，， ∴，即， 解得，，即， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 如图所示，连接，过点作于点， ∴， ∵，，， ∴， ∴，即， 解得，， 在中，． 【点睛】本题主要考查圆与几何图形的综合，掌握圆的基础知识，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，同弧所对圆周角相等，等腰三角形的判定和性质等知识的综合运用，构造辅助线，图形结合思想是解题的关键． 3．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图（1），为锐角的外接圆，过点作于点，，分别交直径于点，，连结，． (1)求证：． (2)当时，求证：． (3)如图（2），若， ①求的值； ②求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)①；② 【分析】（1）证明，得到，即可求解； （2）证明平分且，即可求解； （3）①在中，，求出，根据，即可求解； ②设，则，，则，根据，即可求解． 【详解】（1）连接、， 则， ， 而， ， ， ∵， ， ； （2）当时，则， 由（1）知， ∴平分， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）①在等腰三角形中，， ， ， 设，则， 则， 在中，， 即， 解得：， 则， 则； ②过点作于点， ∵，是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴ 故设，则，， 则， 则， 解得：， 则，，，， 则，； ， ； ∴， 解得：． 【点睛】本题考查的是圆的综合运用，涉及到等腰三角形的性质，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，解直角三角形，勾股定理，平行线分线段成比例定理，正确作出辅助线是解题的关键． 4．（2024·浙江·模拟预测）如图，是半径为的的直径，是的中点，连接交于点，连接． (1)求证：． (2)若，求的长． (3)如图，作于点，交于点，射线交的延长线于点，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（）根据题意得出，即可证明，得到垂直平分，即可证明结论． （）延长交于点，连结，证明，根据相似三角形的性质得到比例关系计算即可； （）由勾股定理得，再证明和，可得，即得，设，利用勾股定理求出即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的中点 ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴； （2）解：如图，延长交于点，连接， ∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴在中，； （3）解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了弧弦圆心角之间的关系，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定理，相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理，余角性质，正确作出辅助线是解题的关键． 5．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，是的直径，弦于点是上一点，的延长线交于点，连结． (1)求度数． (2)求证：． (3)令，若，求k的值． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，圆周角定理． （1）连接，先推出，，再利用,得； （2）连接，先证得，即即可； （3）先证得，设，则，得，由得，即，解出即可． 【详解】（1）解：如图，连接 是直径， , ； （2）如图，连接， 由（1）知，是等边三角形 , 即 ； （3）如图，连接 是等边三角形， 是直径， 设，则， 即 （舍去）或 ． 6．（2024·浙江杭州·二模）如图，在中，，，以C为圆心，为半径作圆．点D为上的动点，、分别切圆C于点P、点Q，连接，分别交和于点E、F，取的中点M． (1)当时，求劣弧的度数； (2)当时，求的长； (3)连接，． ①证明：． ②在点D的运动过程中，是否存在最小值？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)①见解析；②存在，最小值为6 【分析】（1）由切线连接半径，从已知角逐步往目标角推理得出角度即可； （2）由切线长连接，过点D作于点G，根据已知条件证明C、D在线段的垂直平分线上，证明平分， 根据角平分线的性质得出，根据勾股定理得出，根据等积法求出即可； （3）①由切线长推出经过中点M，此时垂直平分，故而得证与目标线段相关的两三角形相似，最后利用相似对应边成比例得证； ②证明，得出，证明，得出，证明，求出，说明点M在以为直径的圆上运动，取的中点H，当B、M、H三点共线时，最短，根据勾股定理求出最小值即可． 【详解】（1）解：如图，连接、． ∵、分别切圆C于点P、点Q， ∴， ∵， ∴ ∴劣弧为； （2）解：连接，过点D作于点G，如图所示： ∵、分别切圆C于点P、点Q， ∴， ∵， ∴C、D在线段的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴平分， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：； （3）解：①连接，，，如图所示： 根据解析（2）可知：垂直平分， ∵点M为的中点， ∴点M在上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②由①可得，C、D、M三点共线，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据①可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴为定值， ∵， ∴点M在以为直径的圆上运动， 取的中点H，当B、M、H三点共线时，最短， ∵， ∴， ∴， 即的最小值为6． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，切线长定理，三角形相似的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的判定，四边形内角和，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线熟练掌握相关的判定和性质． 7．（2024·浙江台州·模拟预测）如图，是的直径，弦于点E，G是的中点，连接． (1)若点E是的中点（如图1），求的度数； (2)连接，，，且交于点H（如图2），求证：是等腰三角形； (3)若交于N（如图3），若，求的值． 【答案】(1)的度数为60° (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，利用直角三角形求出，再根据圆周角定理以及等边三角形的判定和性质即可得到答案； （2）利用垂径定理，圆周角定理以及三角形的外角性质，等腰三角形的判定定理证明即可； （3）过点作于点，利用相似三角形的判定与性质得到，根据比例进行计算即可． 【详解】（1）解：连接， 点E是OB的中点， ， ， ， ， ， ， ， G是的中点， ， ， 为等边三角形， ； （2）证明：连接， 直径， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； （3）解：过点作于点， 由（2）得：， ， ， ， ， ， 设，则， 设，则， ， ， ， 或（不符合题意，舍去）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，特殊角的三角函数值，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 8．（2024·浙江温州·三模）如图，在中，，O为上一点，以为半径的圆交于点D，与相切于点E，P．M，Q分别为上一点，且，，，，已知． (1)求证：． (2)①求的长； ②求y关于x的函数表达式． (3)以为两边构造，当点N落在一边所在的直线上时，求x的值． 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3)或 【分析】（1）连接，由得出，可推出，进一步得出结论； （2）①由得出，从而，在中，由勾股定理得，从而求得； ②可证得，从而，即，从而得出； （3）当点N在直线上时，设交于点H，由得出，从而得出，从而，由得，从而得出x的值；当点N在直线上时，可得出，从而，表示出，从而得出，进一步得出结果． 【详解】（1）证明：如图1， 连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①由（1）知，是的切线，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图2， 当点N在直线上时，设交于点H， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由得，， ∴， ∴， 如图3， 当点N在直线上时， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定和性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识点，解决问题的关键是分类讨论． 9．（2024·浙江宁波·二模）如图，为的直径，弦，连结，为上一点，，连结并延长交于点，交于点． (1)求证：． (2)若，求． (3)若，判断的值是否会改变，若会改变，请说明理由；若不会改变，则用含的代数式表示． 【答案】(1)详见解析 (2) (3)不会改变， 【分析】（1）如图1，连接，根据，得出，由同弧所对的圆周角相等得，根据垂径定理得出是的垂直平分线，得到，证出，再结合三角形内角和定理证出，根据三角形外角的性质即可证明； （2）根据，求出，由（1）知：，得出，证明，根据相似三角形的性质即可求解． （3）设，则，根据相似三角形的性质即可解答． 【详解】（1）证明：如图1，连接， ， ， 由同弧所对的圆周角相等得， 是的直径，且， ， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ； （2）解：∵， ， 由（1）知：， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ． （3）解：的值不会改变， 设，则， ， ， ， ∴， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，平行线的判定，垂径定理，等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会用相似三角形的性质列比例式解决问题，属于中考常考题型． 10．（2024·浙江嘉兴·三模）如图，已知为的直径，弦于点E，P是弧上一动点，连接交于点G，连结，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，当P是弧的中点时，猜想、、之间的关系，并说明理由； (3)如图3，已知，若，求的值（用含m的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等可得到结果； （2）根据等弧所对的圆周角相等可得到相等的角度，再根据等角所对的边相等可将线段等量代换，即可证明出结论； （3）先作辅助线，根据同位角相等两直线平行，得到两个相似的三角形，再根据线段之间的关系得到角的正切值，然后根据等量代换可得到要求的结果． 【详解】（1）证明：∵为的直径，弦， ∴， ∴； （2）解：猜想． 证明：∵P是弧的中点， ∴， 设， ∴所对的圆周角为，即所对的圆周角也为， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）解：作交于点M，连接，如图所示： ∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆与三角形的综合问题、同弧或等弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角为直角、垂径定理、相似三角形的判定与性质等，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． 11．（2024·浙江·一模）定义，若四边形的一条对角线平分这个四边形的面积，则称这个四边形为倍分四边形，这条对角线称为这个四边形的倍分线．如图1，在四边形中，若，则四边形为倍分四边形，为四边形的倍分线． (1)判断：若是真命题请在括号内打，若是假命题请在括号内打． ①平行四边形是倍分四边形（______） ②梯形是倍分四边形（______） (2)如图1，倍分四边形中，是倍分线，若，，，求的长； (3)如图2，在，，以为直径的分别交于点，已知四边形是倍分四边形． ①求的值； ②如图3，连结，交于点，取中点，连结交于，若，求的长． 【答案】(1)（1）①；② (2) (3)①；② 【分析】（1）①平行四边形的对角线平分平行四边形的面积，可判断①是真命题； ②梯形的对角线不平分梯形的面积，可判断②是假命题； （2）过作于，根据是四边形的倍分线，，可得，故，，故； （3）①连接，，，设交于，由，得，故，可知倍分四边形中，是倍分线，即，而，，有，从而，知，，设，由，有，可得，，根据勾股定理可得，即得； ②连接交于，作中点，连接，由为的中点，得，，，则，，证明，得，故，而是的中位线，可得，，故，即得． 【详解】（1）①平行四边形的对角线平分平行四边形的面积，故平行四边形是倍分四边形，①是真命题； 故答案为：； ②梯形的对角线不平分梯形的面积，故梯形不是倍分四边形，②是假命题； 故答案为：； （2）过作于，如图： 是四边形的倍分线，， ， ， 在中， ， ，， ， 在中， ， 的长为； （3）①连接，，，设交于，如图： 为的直径， ， ， ， ， 倍分四边形中，是倍分线，即， ，， ， ， ，， 设，则， ， ， ， ， ，， 在中，， 在中，， 在中，， ； ②连接交于，作中点，连接，如图： 为的中点， ，，， 在中，， ， 由①知，， ，， ， ， ， 为的中点， 是的中位线， ，， ， ， ． 【点睛】本题考圆的综合应用，涉及新定义，全等三角形的判定与性质，相似三角形判定与性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题． 12．（2024·浙江·模拟预测）【综合探究】如图所示，四边形为菱形，，点从点向点运动，速度为，运动时间为秒．过点作的垂线交直线于点为的外接圆，交菱形对角线于点，连接． (1)求证：． (2)当为何值时，与相切？ (3)当t为何值时，为等腰三角形？ 【答案】(1)见解析 (2)当时，与相切； (3)当或时，为等腰三角形． 【分析】（1）由四边形为菱形可得，，再根据，在中得，即可证得. （2）连接，由，所以为的直径，当与相切时，，在中，求得，在中，求得． （3）连接，交于点，连接，交于点，过点作于点，连接，设，可证得四边形为菱形，可求得同理在菱形中，由，，再分三种情况进行讨论即可. 【详解】（1）证明：四边形为菱形，如图（1）所示． ． ． ． ， ． 在中，． 都是所对的圆周角， ． ． （2）解：连接，见答图（2）． ， 为的直径． 当与相切时， 则． ． ． 在中，， ． 在中，， 解得． 当时，与相切． （3）解：如答图（3）所示，连接，交于点，连接，交于点，过点作于点，连接． 由（1）（2）可得：，设， ． 四边形为菱形． 于点． ． 同理在菱形中，． ． ． ， ， ． ①若，则， 即有． 解得或（舍去）． ②若，则， 即有． 解得（舍去）或（舍去）． ③若，则， 即有． 解得． 综上：当或时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查菱形的性质，三角函数的应用，切线的性质，等腰三角形的性质，本题难度大，作出合适的辅助线，清晰的分类讨论是解本题的关键. 13．（2024·浙江·模拟预测）【综合探究】如图所示，四边形为菱形，，，点P从点A向点D运动，速度为，运动时间为t秒（）．过点P作的垂线交直线于点Q，为的外接圆，交菱形对角线于点G，连接，．    (1)求证：． (2)当t为何值时，与相切？ (3)当t为何值时，为等腰三角形？ 【答案】(1)见解析 (2)当时，与相切 (3)当或 时，为等腰三角形 【分析】（1）由四边形是菱形，，得，而，可得，即得，故即可得； （2）连接，当与相切时，，结合，得到 ，继而得到，结合，得到，结合，列式计算即可． （3）连接交于点M，连接交于点H，过点G作于点N，连接，则，证明，得四边形为菱形，可求出，，求出；分三种情况列方程可解得答案． 【详解】（1）证明：由四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：连接，当与相切时， 则， ∵， ∴， ∴，    ∵， ∴， ∵， ∴， 解得． （3））解：连接交于点M，连接交于点H，过点G作于点N，连接，如图：    设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∴于点H， ∴； ∴，， ∴， ∴， 在菱形中， AC＝2AM＝2ABcos∠MAB＝2×6， ∴； 又， ①若，则， 解得； ②若，则， 解得（舍去）或（舍去）； ③若，则t， 解得； 综上所述，当或时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，切线的性质，圆周角定理，三角函数的应用，等腰三角形的分离计算，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，切线性质，分类思想是解题的关键． 14．（2024·浙江·模拟预测）如图，四边形内接于，连结，交于点P．已知，.    (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，若,，求的长； (3)若，求的最大值． 【答案】(1)6 (2) (3) 【分析】（1）根据得是的直径，结合，得到，结合，得到，，继而得到，结合，得到，求解即可； （2）根据，得到，利用三角函数，特殊角的三角函数值解答即可． （3）连接，过点D作交于点P，于点Q, 设，且是锐角，表示出，，设，则，运用二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵ ∴是的直径， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．    （2）解：∵ ∴是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴．    （3）如图，连接，过点D作交于点P，于点Q, ∵，， ∴，四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 设，且是锐角， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 则 ， ∵， ∴y有最大值，且当时，取得最大值，且最大值为， ∴的最大值为．    【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，三角函数的应用，二次函数的最值性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握圆周角定理，勾股定理，三角函数的应用，二次函数的最值性质是解题的关键． 15．（2024·浙江·模拟预测）如图，内接于，，，垂足为点E，直线交于点D． (1)如图1，求证：为的直径． (2)如图2，在上截取，连结并延长交于点F，求证：． (3)如图3，在（2）的条件下，作，垂足为点H，K为边的中点，连结，①若 ，用含有k的代数式表示． ②若，，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)①  ② 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质可得, 设, 则,从而得出, 则为直径； （2）利用证明 得,，再根据三角形内角和定理可得结论； （3）①延长交于点, 连接,设，则，然后利用圆周角定理的推论和同角的余角相等得到得到，即可得到，，设,根据,求出的值，即可解题； ②先根据，得到，设,根据得到，然后根据得到，即可得到，代入即可得到b的值，即可解题． 【详解】（1）证明：连接， ，， ，， 设， ， ， ， 在中，， ， ， ， 为直径； （2）证明：连接， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ； （3）①延长交于点, 连接,设，则， ∵, , 为中点, ∴, ∴是的中位线, ∴, , ， ， ∵，， ∴， ∴， ， ，， 设, ∴, ∵, ， ，即 解得或(舍去), ∴, ； ②解：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，即， 根据（2）可得， 设，则， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴， 由①得， ∴或（舍去）， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆的综合题，主要考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，掌握相似三角形的判定是解题的关键． 二、旋转综合问题 16．（2024·浙江嘉兴·三模）在中，，以点为中心，将顺时针旋转，得到；再以点为中心，将顺时针旋转，得到；连结，    (1)如图，若，，求的长； (2)如图，，探究与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)平行，理由见详解 【分析】（1）通过旋转的性质得，和，证明四边形为正方形，再根据正方形的性质即可求出． （2）过点作交于点，由旋转的性质和平行线的性质可得，易证，因为，所以四边形为平行四边形，故可得出． 【详解】（1）解：根据旋转性质可得当时，， ∴四边形为矩形， ∵旋转的性质可得， ∴四边形为正方形， ∴． ∴的长为． （2）与的位置关系是平行． 理由：如图，过点作交于点，    则， 由旋转的性质可得，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴． ∴与的位置关系是平行． 【点睛】本题考查了正方形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，旋转的性质，平行线的性质的判定，等腰三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 17．（2024·浙江杭州·模拟预测）在中，是斜边上的一点，将线段绕点旋转至位置，点C，D在直线的同一侧． (1)当M是的中点时，连接． ①如图1，求的大小； ②如图2，已知点D和边上的点E满足，连接．求证：． (2)如图3，当时，在线段取一点G，连接并延长交的延长线于点F，当四边形是平行四边形时，若的面积为8，，求平行四边形的面积． 【答案】(1)①；②见解析 (2)8 【分析】（1）根据旋转的性质和线段中点的定义得到，根据等边对等角得到，在中，根据三角形内角和定理即得出，进而即可求解；②延长交于点，证明四边形是菱形，进而根据平行线分线段成比例得出，，根据等腰三角形的性质，得出是的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得证； （2）连接，设平行四边形的面积为S，则，由平行四边形的性质和平行线的性质可得，则，进而得到，，由，得到；证明，得到，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：如图1， ∵将线段绕点M旋转至位置， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； ②如图，延长，交于点，则，    ∵， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∵是的中点，， ∴． ∴． ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴是菱形． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵，即， ∴，即点是斜边的中点． ∴． （2）解：如图3，连接，设平行四边形的面积为S， 则， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 整理得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴平行四边形的面积为8． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，平行线分线段成比例定理等等，正确作出辅助线是解题的关键． 18．（2024·浙江·模拟预测）在平行四边形中，，，，点E是上一点．，P从点E出发，沿折线以每秒3个单位长度的速度运动，到D停止．连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段．连接．设点P的运动时间为t秒． (1)用t表示线段的长度； (2)连接，求的值； (3)当点F在平行四边形的对角线上时，求t的值； (4)连接．当分线段为的两部分时，直接写出t的值． 【答案】(1)①当点E在线段上时，；②当点E在线段上时， (2) (3)，1， (4)或 【分析】（1）分两种情况讨论，当点E在线段上时，；当点E在线段上时，； （2）过点C作延长线于点G，根据平行四边形性质推出，，设，，利用勾股定理建立等式求出，进而得到，，在中，即可求出的值； （3）根据题意分类讨论：当时，点F落在上，点F落在上时，过点D作于点H；当时，点F落在上，过点P，F分别作的垂线，垂足为M，N，通过锐角三角函数，等角的三角函数值相等，以及构造一线三等角的全等解决问题； （4）分类讨论：当及，构造辅助线，利用平行线分线段成比例定理，矩形的性质，全等三角形的性质解决问题． 【详解】（1）解：由题知，①当点E在线段上时，即时，； ②当点E在线段上时，当时，． （2）解：如图1，过点C作延长线于点G， 四边形是平行四边形， ，，，， ， 在，由， ， 设，， 由勾股定理得：， 解得：， ，， 中，． （3）解：由旋转知，， 当时，点F落在上，如图2， 由得，， 解得：； 点F落在上时，如图3，过点D作于点H， 同（1）可求，， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 解得：， 当时，点F落在上，过点P，F分别作的垂线，垂足为M，N，如图4， 由，得：，， ， 由旋转的性质可知，，， ， ， ， ， ， ，， 在中，， ， 解得． 综上所述：t的值为，1，． （4）解：①当时，构造如图5辅助线（均是水平线，铅垂线）， 由平行线分线段成比例定理的：，由（2）知，， ， ， 设，则，，， ， ， ， 而， ， ， ， ， ， 解得：， ， ； ②当时，构造如图6辅助线（均是水平线，铅垂线）， 同理可得：， 解得：， ， ． 综上所述：或． 【点睛】本题考查了代数式表示式，平行四边形性质，勾股定理，锐角三角函数，旋转的性质，平行线分线段成比例定理，矩形的性质，全等三角形的性质和判定，注意分类讨论的思想，解题关键在于熟练掌握全等三角形的构造，锐角三角函数的应用，并正确添加辅助线． 19．（2024·浙江杭州·一模）如图，在矩形中，将绕点逆时针旋转，使点的对应点落在上（点的对应点为），分别交边于点．的外接圆交线段于点． (1)求证：是中点． (2)若，求的长． (3)连结，交线段于点，若，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)． 【分析】（）连接，证明，得到，再证明为圆的直径，得到，根据等腰三角形三线合一即可求证； （）设，，证明得，证明得，由化简得，，解方程即可求解； （）过点作于，可得四边形是矩形，得，，证明，得，设，则，得，，再证明，得，进而得，设，则，可得，，最后根据余弦的定义计算即可求解． 【详解】（1）证明：连接， 由旋转可得，， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，点在圆上， ∴为圆的直径， ∴， 即， ∴， 即是中点； （2）解：设，，则，， 由旋转可得，，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， 即， 由化简得，， 解得或（不合，舍去）， ∴， ∴； （3）解：过点作于，则， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又由旋转可得，，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，三角函数，正确作出辅助线是解题的关键． 20．（2024·浙江杭州·二模）综合与实践 【问题情境】 如图，在正方形中，点在线段上，点在线段上，且始终满足．连接，，将线段绕点逆时针旋转一定角度，得到线段（点是点旋转后的对应点），并使点落在线段上，与交于点． 【初步分析】 （1）线段与的数量关系为______，位置关系为______； 【深入分析】 （2）如图②，再将线段绕点逆时针旋转90°，得到线段（点是点旋转后的对应点），连接，请判断四边形的形状，并说明理由： （3）如图③，若点落在的延长线上，且当点恰好为的中点时，设与交于点，，求的长． 【答案】（1）；（2）四边形为菱形，理由见解析；（3） 【分析】（1）先根据正方形的性质，得出，再证明，结合旋转性质，得出，进行角的等量代换，即可作答； （2）根据旋转性质，得出，得出四边形是平行四边形，结合一组邻边相等，得证四边形是菱形； （3）先得出是的垂直平分线，进行角的等量代换以及直角三角形的两个锐角互补，得出，因为正方形的性质，得出，结合，进而求得,根据即可求解． 【详解】解：（1）；理由如下： ∵四边形是正方形 ∴， 又∵， ∴， ∴． 由旋转的性质，得， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， 即 （2）四边形为菱形，理由如下： 由旋转的性质，得， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （3）∵点是的中点，， ∴是的垂直平分线， ∴． 又∵， ∴ 又∵， ∴， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴在中， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解直角三角形的相关性质，菱形的判定，旋转性质等内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 三、其他几何综合（含求值与最值） 21．（2024·浙江金华·二模）【基础巩固】 （1）如图1，在中，点是上的一点，且，求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在（1）的条件下，过点作，交于点．若，，求的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在中，点是的中点，连结，交于点，且．若，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【分析】（1）证明，得出，可得出结论； （2）设，则，，由相似三角形的性质得出答案； （3）证明，设，则，得出，证明，得出，设，则，，过点作于，则可得出答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， 设，则，， ∵， ∴， ∴或（负值不符合题意，舍去）， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴； （3）∵在中，点是的中点， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， 设，则，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴或（负值不符合题意，舍去）， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 设，则， ∴， ∴， 过点作于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查平行四边形的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定与性质，三角形外角的定义及性质，平行线的性质等知识点，掌握相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义是解题的关键． 22．（2024·浙江杭州·二模）在矩形中，，，点是上的一个动点，点与点关于对称，连接，延长交射线于点，延长交或于点，如图1，图2． (1)如图1，若，求； (2)如图2，当时，求的长； (3)当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)的值为或 【分析】（1）根据补角的定义求出的度数，再根据翻折的性质求出的度数，最后根据三角形内角和定理求出的度数即可； （2）证明得出和的关系，根据折叠的性质得出，再由勾股定理计算即可得出答案； （3）分两种情况：当在线段上时；当在延长线上时，分别求出的值即可． 【详解】（1）解：， ， 由折叠的性质可得：， ， ， ； （2）解：由折叠的性质可得：，， ， ， ， 设，， ， 在中，，即， 解得：或（舍去）， ； （3）解：如图，当在线段上时，如图，作交于， ，， ，， 为等腰直角三角形，为等腰直角三角形， ， ，为等腰直角三角形， ， 设，则， ， ， 设，则， 为等腰直角三角形，， ， ，即， 解得：， ， ， ； 如图，当在延长线上时，作交于， ， ， ，， ， ，， 四边形为平行四边形， ，， ； 综上所述，的值为或． 【点睛】相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、翻折的性质以及锐角三角函数的定义是本题解题的关键． 23．（2024·浙江·模拟预测）如图，正方形，在正方形内以为圆心为半径画，是边上一点（不与，重合），连结交 于点，作交于，连结，． (1)求的度数． (2)证明：． (3)若是中点，求的值． (4)若，，直接写出的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) (4) 【分析】（1）根据三角形外角的性质以及圆周角和圆心角的关系求解即可； （2）过C作于N，根据角平分线的性质得出垂线段相等，在根据四边形内角和定理以及补角的定义，得出角相等，构造全等三角形，即可证明； （3）根据E是中点，令，根据勾股定理求出，再在和中运用勾股定理列出一元二次方程，最终求出的长度即可求解； （4）先根据比例关系，设和的长，再根据等腰直角三角形的性质得出和的长，再根据正方形的判定与性质，得出和的关系，设的长，运用勾股定理求出和的关系，最后根据勾股定理表示出，然后在中运用勾股定理，求出即可． 【详解】（1）解：连接，，如图： ， 由圆周角定理可得：，， ； （2）证明：过作于，于，如图： ， ， ， 是的平分线， ， ， ， 又， ， ， ； （3）解：连接，如图： 令， 是的中点，四边形为正方形， ， 由勾股定理得：，， 设，则， 由勾股定理得：， 即：， 解得：， ， ； （4）解：如（2）图， ， ， 又，， ， ， ，， 为等腰直角三角形， ， 同理可得，， 四边形为正方形， 由（2）知，， ，， ， ， 设，， ， 设，则，， 在中，， 解得：或（舍去）， ， ， ， 在中，， 解得：或（舍去）， ． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及正方形的判定与性质，灵活运用圆周角定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及正方形的判定与性质是本题解题的关键． 24．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图①，是的外接圆，，以为边作菱形，点B，E在直线的同侧，与交于点M，连结交于N，交于T． (1)如图②，若点E在上，与交于点F，连结，求证． (2)在（1）的条件下，若，，求的半径． (3)如图①，连结，若，，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据菱形的性质即可得证； （2）连接，，连接并延长交于H，根据，得到为=的直径，根据圆周角定理求出，设的半径为r，利用勾股定理即可解答； （3）连接，，过B作于K，设，证明，列出比例式，求出，，设，则，设，则，根据，代入数值，得到①，延长交的延长线于点G，②，由①得③，由②得④，求解即可． 【详解】（1）证明：菱形， ，， ． ， ． （2）解：如图①，连结，，连结并延长交于， ， 为的直径． ，， ， ，， ， ． 设的半径为，则， 解得：． （3）解：如图②，连结，，过B作于K，设， ，． ， ． 同理可得：， ． ， ． ， ， ． 同理． 为直径， ， 而． ， ，． 设，则，设，则． ， ，① 延长交的延长线于点，则， 在中，，，，则， 即，② 由①得：，③ 由②得：，④ 得：，代入③得：， ． 【点睛】本题考查圆的综合应用，主要考查勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，菱形的性质，掌握这些性质定理是解题的关键． 25．（2024·浙江温州·模拟预测）如图1，已知四边形内接于⊙O，是直径，是圆的切线交的延长线于A点，过D作交的延长线为G点，设（） (1)求证：． (2)若，，请猜测的度数．并说明理由． (3)如图2，连结，，经过圆心O，记的面积为，的面积为，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据垂径定理得出，推导出，即可得到答案； （2）设于点，有切线的性质以及锐角三角函数进行求解即可； （3）连接，根据勾股定理进行证明． 【详解】（1）证明：是直径，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：设于点， ， 是圆的切线交的延长线于A点， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）证明：连接，设于点， ， ， ， 是圆的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， 整理得， ， ， ， ．     【点睛】本题主要考查圆周角定理，切线的性质定理，垂径定理，勾股定理，相似三角形的性质与判定，锐角三角函数与解直角三角形，熟练掌握性质定理是解题的关键． 26．（2024·浙江·模拟预测）如图，在矩形中，，．点M，N分别是，边上的动点，连接、．请你解答下列问题： (1)如图1，若M是边上的中点且，求的值； (2)如图2，若M是边上的三等分点且，连接，求的面积． 【答案】(1) (2)或5 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质等知识点，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）根据矩形的性质，可证明，进而求得，根据，即可求解； （2）过点作交延长线于，过点作延长线于，延长交于，可证，，得，，则，，再根据是的三等分点，可知，或，，分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：在矩形中，，，， 则 ∵是边上的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即，解得：， 则， ∴； （2）过点作交延长线于，过点作延长线于，延长交于， 则四边形是矩形，，，， ∵，，则 ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，，则， ∵， ∴，则 ∵是的三等分点， ∴，或，， 当，时，，则， ∵，即：， ∴，， 则 ； 当，，时，，则， ∵，即：， ∴，， 则 ； 综上，的面积为或5． 27．（2024·浙江台州·二模）如图1，在正方形中，点E在上（不与点B，C重合），点F在边上，，连接交于点M． (1)求证：； (2)如图2，连接与交于点G，连接交于点H． ①求证：； ②当时，求的值； (3)如图3，若E是的中点，以点B为圆心，为半径作，P是上的一个动点，连接交于点N，则的最大值为 ． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② (3)2 【分析】（1）证明，则，利用互余关系即可证明； （2）①证明，则，再由（1）的证明即可证明； ②分别过G、H作的垂线，垂足分别为K、Q；设，则可得，则可得，由相似三角形的性质得，进而得，则由勾股定理可分别求得，从而求得结果； （3）延长交于点W，过P作于Y，过P作交射线于点J；易证，则，从而，当最大时，最大；证明，则可得，当最大时，最大，此时点P与点W重合，Y与M重合；由面积关系求出，则可得的值，最后求得结果； 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 即， ； （2）①证明：四边形是正方形， ， ， ， ， 再由（1）的证明知：， ， 即； ②解：如图，分别过G、H作的垂线，垂足分别为K、Q； 则； ∵四边形为正方形， ， ， ， 设， 由①知，， ， ， ； ， ， ， ， 即， ； ， ， ， 即， 由勾股定理得：，； ， ， ， 又由（1）知，， 由勾股定理得， ； （3）解：如图，延长交于点W，过P作于Y，过P作交射线于点J； ， ， ， ， 则当最大时，最大； ，， ， ； ， ， ； ∵点E是的中点，， ， 由勾股定理得， ， 即， 上式表明：当最大时，最大，从而最大； 此时点P与点W重合，Y与M重合； ， ， 则， ， 的最大值为； 故答案为：2． 【点睛】本题是正方形的综合，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，圆上点到切线的距离最大为直径等知识，综合性较强，构造适当的辅助线，灵活运用相关知识是解题的关键． 28．（2024·浙江·模拟预测）如图1，在正方形中，E 为延长线上一点，连接交对角线于F， 交于G． (1)若，求正方形的边长． (2)探索之间的数量关系． (3)如图2，连接，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正方形性质以及平行线分线段成比例可得，设，，利用勾股定理求出，结合，求出x的值，进而得出结果； （2）通过平行线分线段成比例即可得出结论； （3）如图，过点B作于点H，连接，证明，得到，得出点H在以为直径的圆上运动，取的中点O为圆心，长为半径画圆，则H在上运动，连接交于点，设，则，当D，H，O三点共线时，即H与重合，得出的最小值为，从而得出结果． 【详解】（1）解：四边形为正方形， ，， ， 设，， ， ， ， ， ， 正方形的边长为； （2），理由如下： ， ∴， ， ， ∴ ， ， ； （3）如图，过点B作于点H，连接， 则， 在正方形中，，， ， ， ，即， ， ， 又， ， ，即， ， 点H在以为直径的圆上运动， 取的中点O为圆心，长为半径画圆，则H在上运动，连接交于点， 设，则， 当D，H，O三点共线时，即H与重合， ， ，， 的最小值为， 的最小值为， 的最小值为． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，圆周角定理，准确作出辅助线，得出当D，H，O三点共线时，即H与重合，，得出最小值是解题关键． 29．（2024·浙江·模拟预测）如图，在中，，D，E为上的动点，且，P为的中点． (1)若，求的长． (2)在线段的运动过程中，的长由2到，求这一变化过程中，点 P运动的路程． (3)连结，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用勾股定理求出，根据，证明，利用相似三角形的性质即可求解； （2）连接，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求出，再根据当时，为等边三角形，；当时，，得到弧的圆心角为，利用弧长公式即可求解； （3）在 上取一点F，使得，连接，，利用相似三角形的性质证明，根据，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； （2）解：连接， ∵，P为的中点，， ∴， ∴点P运动的路线是以C为圆心，2为半径的一段圆弧， 当时，为等边三角形，； 当时，，得到弧的圆心角为， 则 P运动的路程即为圆心角为的弧的长度，即为； （3）解：如图，在上取一点F，使得，连接，， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查阿氏圆问题，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题． 30．（2024·浙江宁波·二模）（1）如图 1，在三角形 中， 是 中点，连结 ， 是 上任意一点，过点 作别交 ， 于点 、 ，求证： 是中点；    （2）如图 2，在四边形 中，， 与 不平行， ， ，连结对角线 ， 交于点 ， 是 上的点，过点 作交 于点 ， 于点 ，求的值； （3）如图 3，在菱形 中， ， ，分别取菱形各边的中点 ，，， 并顺次连结得到四边形 ，连结 ， 交于点 ， 是 上一动点，作交 于点 ，交 于点 ，过点 作 交 于点 ，连结 ，求 的最小值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【分析】（1）由可得，，于是可得，结合 是 中点，即可得出结论； （2）由可得，，于是可得，进而可得，由题意可得四边形是等腰梯形，然后求出，根据可得，于是可得，于是得解； （3）由题意可推出且，均为等边三角形，且，均为等腰三角形，进而得出四边形是矩形，于是可得，连接，结合（1）可推出，根据，可得，于是得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， ∵ 是 中点， ∴， ∴， ∴ 是中点； （2）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， 与 不平行， ， ∴四边形 是等腰梯形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵四边形是菱形，， ∴，，， ∵，，，是菱形各边的中点， ∴， ∴且，均为等边三角形，且，均为等腰三角形， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， ∴， 如图，连接， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时 取得最小值 ，故的最小值为 ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，三线合一等知识点，熟记相关几何结论，掌握举一反三的数学思想是解题的关键． 31．（2024·浙江·模拟预测）如图1，在正方形中，，的边分别与对角线相交于点P，Q，请说明． 尝试解决： （1）小明给出了以下思路：将绕点A逆时针旋转得到，使与重合，连结，请帮小明完成解题过程． 类比探究： （2）如图2，在正方形内作，使与相交于点与相交于点Q，连结．已知，，求的面积． 拓展应用： （3）如图3，在长方形中，，，，P是上一点，Q是上一点，连结，求的面积的最小值． 【答案】（1）见详解；（2）15；（3） 【分析】（1）可证明，，则，由于在中，，故； （2）延长至点G，使得，连接，则可得， 同（1）可证明，故，设正方形边长为a，则，在中，由勾股定理得，，解得，，故； （3）延长至点，使得，连接，先证明，则，，同上可得，，过点P作，故，可得，作的外接圆，记为，连接，作，则，设的半径为r，则，，由，得到，故，因此，故，则． 【详解】（1）证明：如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 由题意得，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴； （2）解：延长至点G，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 同（1）可证明， ∴， 设正方形边长为a，则， ∴在中，由勾股定理得，， 解得，， ∴； （3）解：延长至点，使得，连接， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，， 同上可得，， 过点P作， ∴， ∴， 作的外接圆，记为，连接，作， ∵， ∴， 设的半径为r， ∴在中，由勾股定理可得，， ∵，， ∴点H为的中点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理等知识点 ，熟练掌握知识点，正确添加辅助线，识别“定角定高”模型求面积最值是解决本题的关键． 四、创新探究问题 32．（2024·浙江杭州·一模）【背景】如图（1），点E，F分别是正方形的边的中点，与相交于点P，连接．同学们在研究图形时，作交CE于点H，发现：．他们通过作三角形的中位线，构造全等三角形，找到与线段相等的线段，得到了多种方法证明成立． 【猜想】（1）若把正方形改成平行四边形，其余条件不变，如图（2），结论是否还成立？请说明理由． 【延伸】（2）在图（2）的条件下连接，那么四边形的面积和的面积有什么关系？请说明理由． 【答案】（1）成立，理由见解析（2）四边形的面积面积，理由见解析 【分析】（1）延长交的延长线于点N，取的中点M，连接，证明，推出为的中位线，得到，证明，即可得证； （2）连接，证明，推出，根据，得到，设，则，求出四边形的面积和的面积即可得出结果． 【详解】解：（1）成立； 理由：延长交的延长线于点N，取的中点M，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）四边形的面积面积． 理由：连接， ∵F为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等和相似三角形，是解题的关键． 33．（2024·浙江嘉兴·二模）【操作思考】 如图1，将正方形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在正方形的内部，点A的对应点为点G，折痕为，再将该纸片沿过点B的直线折叠，使与重合，折痕为． （1）求的度数． 【探究应用】 将图1折叠所得的图形重新展开并铺平．如图2，连结，作的中垂线分别交于点P，H，连结．        （2）求证：． （3）若，求的面积． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据折叠性质得，再根据，即可求出． （2）根据中垂线性质得出，，从而得出，根据勾股定理即可得出，再根据，运用勾股定理得出，即可证明； （3）如图2，过点P作的平行线分别交于点M，N，则， 证明，得出，再证明四边形是平行四边形，，证明，得出，，证明，根据相似三角形的性质即可得出，即可求解； 【详解】（1）由题意得， 在正方形中，， ， ， ， 即． （2）是的中垂线， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）如图，过点P作的平行线分别交于点M，N， 则， ， ， ， ， ， 又， ， ， 在正方形中，， ∴四边形是平行四边形，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，正方形的性质，矩形的性质和判定，线段垂直平分线的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 34．（2024·浙江宁波·模拟预测）综合与实践． 【问题发现】 （1）如图1，在正方形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，连接，求证：， 【类比探究】 （2）如图2，在矩形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，且，连接，求的值． 【拓展延伸】 （3）如图3，在（2）的条件下，将E改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点M，连接，，若，则当是直角三角形时，请求出的长． 【答案】（1）证明见解析  （2）    （3）或 【分析】（1）利用正方形性质和垂线的定义证明，利用全等三角形性质即可证明； （2）根据题意证明点，点E，点B，点F四点共圆，利用圆周角定理得到，进而得到，再证明，利用相似三角形性质即可得到的值； （3）由（2）知，利用得到，利用直角三角形性质得到， ，进而得到，根据E为直线上的动点，当是直角三角形，分以下情况讨论，当在线段上时，当或时，点不存在，当在延长线上时，设，则，结合勾股定理建立方程求解，即可解题； 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，，， ，， ， ，， ， ； （2）解：，， ， 点，点E，点B，点F四点共圆， ， ， ，， ， ， ，， ， ； （3）解：由（2）知：， ， ， ， ， ， 为的中点， ， 由（2）知， ， ， 又是直角三角形， ， ， 当在线段上时， 设，则， ，， ， ， ， ， 或（不合题意，舍去）， 当或时，点不存在， 当在延长线上时，设，则， ，， ， ， ， ， ， （不合题意，舍去）或， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查正方形性质，全等三角形性质和判定，四点共圆，圆周角定理，相似三角形性质和判定，直角三角形性质，勾股定理，熟练掌握相关性质是解题的关键． 35．（2024·浙江杭州·一模）综合与实践 【问题情境】如图，在四边形中，点P是线段上一点，，． 【问题情境】如图1，当时，猜想，，三条线段存在的数量关系并证明． 【问题情境】如图2，延长，交于点E，当时，时，求的值． 【问题情境】如图2，延长，交于点E，当时，时，用含的代数式表示的值． 【答案】【问题情境1】三条线段存在的数量关系为，见解析 【问题情境2】 【问题情境3】 【分析】【问题情境1】根据证明即可得证． 【问题情境2】过点A作于点M，过点D作于点N，根据证明，结合特殊角的三角函数计算证明即可． 【问题情境3】过点A作于点M，过点D作于点N，根据证明，结合三角函数计算证明即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，特殊角的三角函数值，三角函数的应用，熟练掌握全等的判定，三角函数的应用是解题的关键． 【详解】【问题情境1】如图，三条线段存在的数量关系为，理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【问题情境2】，理由如下： 过点A作于点M，过点D作于点N， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴，， ∴，， ，， ∵， ∴． 【问题情境3】，理由如下： 如前图，过点A作于点M，过点D作于点N， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴，，， ∴，， ，， ∵， ∴． 36．（2024·湖北孝感·模拟预测）【问题情景】 （1）如图1，正方形中，点E是线段上一点（不与B，C点重合），连接.将绕点E顺时针旋转得到，连接，求的度数． 以下是两名同学通过不同的方法构造全等三角形来解决问题的思路： 小聪：过点作的延长线的垂线；小明：在上截取，使得； 请你选择其中一名同学的解题思路，写出完整的解答过程． 【类比探究】 （2）如图2，点E是菱形边上一点（不与B，C点重合），，将绕点E顺时针旋转得到，使得，（）． ①求的度数（用含的代数式表示）； 【学以致用】 ②如图3，连接AF与CD相交于点G，当时，若，，则BE的长为_____． 【答案】（1）选小明的思路：，完整的解答过程见解析 （2）①；② 【分析】（1）在上截取，使得．证明，得出，则可得出结论； （2）由“”可证，可得，由等腰三角形的性质可求解； （3）过点作交的延长线于点，证明，得出，在上截取，使，连接，作于点．由（2）可知，，求出和，则可得出答案． 【详解】解：（1）选小明的思路：如图，在上截取，使得． ，，由图可知，， ． 顺时针旋转得到， ． ，， ． 在和中， ， ， ， ； （2）①如图，在上截取，使得，连接， 四边形是菱形，， ，， ， ， 将绕点顺时针旋转得到， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ； ②过点作交的延长线于点， ，， 菱形的边长为3． ， ， ，， ， ， 由（2）知，， ， ， ， ， ， 在上截取，使，连接，作于点． 由（2）可知，， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形或相似三角形是解题的关键． 37．（2024·浙江杭州·一模）综合与实践 【模型探究】 （1）如图1，在中，点O为边的中点，作射线于点M，于点N．求证：． 【尝试建构】 （2）如图2，在中，点O为边的中点，点P在边上（不与点B，C，O重合），作射线于点M，于点N．连接．猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 【迁移应用】 （3）如图3，在中，点D，E在边上，，作射线于点M，于点N．连接．若，，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2），理由见解析；（3）． 【分析】（1）证明即可得到结论； （2）延长交于H，证明，得到，根据直角三角形的性质求出； （3）如图3，过点E作于F，证得，推出，由得到，证得，设，则，由勾股定理列得，求出，，则，求得． 【详解】（1）证明：∵点O为边的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下：如图2，延长交于H， ∵点O为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3）如图3，过点E作于F， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行线分线段成比例，解直角三角形，熟练掌握各定理是解题的关键． 38．（2024·浙江宁波·模拟预测）【基础巩固】 （1）如图（1），在和中，点在上，，求证：． 【尝试应用】 （2）如图（2），在（1）的条件下，连结．若，求的长． 【拓展提高】 （3）如图（3），在中，对角线相交于点，，点E是边上一点，，连结交于点，线段与的延长线交于点，若，，求平行四边形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）20 【分析】（1）根据平行可得，再根据相似三角形的判定和性质即可求解； （2）根据可得的长，再直角中，根据勾股定理即可求解； （3）如图3，延长交于点P，证明，得，设，则，证明和，可得和的值，最后由平行四边形的面积公式可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图，延长交于点P， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴（负值舍）， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形的面积． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识的综合，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 39．（2024·浙江·模拟预测）综合与实践 【问题情境】 在一次数学探究课上，老师带领大家一起研究特殊三角形的性质. 圆圆小组对直角三角形进行了各种类型的折叠探究，并尝试用数学方法说明发现的结论. 类型 ．如图，沿着折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点，他们发现：点的位置与 和的长有关． 问题.若，，则________． 【变式探究】 类型．如图，点为上一点，沿着折叠，恰好落在上，点的对称点为，折痕交于点 ． 问题 ．若 ，则 ． 请猜测 与 有何关系，并证明． 【拓展思考】 方方小组对等腰三角形进行了各种折叠探究.如图，在等腰三角形中，为底边，为钝角，点为边上一点，将沿直线翻折得到． 问题．若，，求的长． 【答案】问题．；问题 ．；，证明见解析；问题．． 【分析】问题．由折叠可得，，设，则，在中由勾股定理得，解方程求出即可求解； 问题 ．证明可得，进而可得，又由即可求解；．同理即可求证； 问题．连接，与相交于点，由折叠可得，，进而可得为的中位线，得到，利用勾股定理可得，进而得，即可求解； 本题考查了勾股定理，折叠的性质，相似三角形额判定和性质，三角形中位线的性质，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：问题：由折叠可得，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：； 问题：由折叠可得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 猜测：． 证明：由折叠可得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； 问题：连接，与相交于点， 由折叠可得，，， ∴， ∵， ∴为的中位线，， ∴， ∴， ∴， ∴． 40．（2024·浙江绍兴·二模）【特例发现】 正方形与正方形如图1所示放置，，，三点在同一直线上，点在边上，连结，．通过推理证明，我们可得到两个结论：①；②．    【旋转探究】 将正方形绕点按顺时针方向旋转一定角度到图2所示的位置，则在“特例发现”中所得到的关于与的两个结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．    【迁移拓广】 如图3，在矩形与矩形中，若，．连结，．探索线段与线段存在怎样的数量关系和位置关系？为什么？    【联想发散】如图4，与均为正三角形，连结，．则线段与线段的数量关系是______；直线与直线相交所构成的夹角中，较小锐角的度数为______．      【答案】【旋转探究】结论仍然成立．证明见解析；【迁移拓广】有结论：①；②．理由见解析；【联想发散】，． 【分析】【旋转探究】根据正方形的性质易证，得出，延长与、交于点I、H，利用角的转化得出，从而结论得证； 【迁移拓广】 根据矩形的性质及条件“，”，易证，得出，，设和的交点为M，与的交点为N，利用角的转化得出，从而得到结论； 【联想发散】 延长交的延长线于点，交于点．证明，推出，，利用角的转化得出，可得结论． 【详解】【旋转探究】 结论仍然成立． 证明：如图，延长与、交于点I、H，   ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， 且； 【迁移拓广】 解：，．理由如下： 四边形与四边形都为矩形， ， ， ，， ， ， ，， ， 如图，设和的交点为M，与的交点为N，   ，，， ， ， ． 【联想发散】 解：如图，延长交的延长线于点，交于点．   ，都是等边三角形， ，，， ， ， ，， ， ， ， ，直线与直线相交所成较小角的度数是． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，旋转的性质等，熟练掌握并灵活运用相关知识是解题的关键． 1 / 69 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点必刷题03 几何综合解答题压轴40题 一、圆中的综合问题 2 二、旋转综合问题 8 三、其他几何综合（含求值与最值） 10 四、创新探究问题 15 一、圆中的综合问题 1．（2024·浙江·模拟预测）已知是圆的内接四边形的两条对角线，相交于点，且． (1)如图，求证：． (2)在图中找出一组全等的三角形，并给出证明． (3)如图，圆的半径为，弦于点，当的面积为时，求的长． 2．（2024·浙江金华·模拟预测）如图，已知内接于，，过点作于点，延长交于点，在上截取，连结． (1)求证：． (2)若，求的值． (3)在上取一点，使得，连结，若，的面积为，求和的长． 3．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图（1），为锐角的外接圆，过点作于点，，分别交直径于点，，连结，． (1)求证：． (2)当时，求证：． (3)如图（2），若， ①求的值； ②求的长． 4．（2024·浙江·模拟预测）如图，是半径为的的直径，是的中点，连接交于点，连接． (1)求证：． (2)若，求的长． (3)如图，作于点，交于点，射线交的延长线于点，若，求的长． 5．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，是的直径，弦于点是上一点，的延长线交于点，连结． (1)求度数． (2)求证：． (3)令，若，求k的值． 6．（2024·浙江杭州·二模）如图，在中，，，以C为圆心，为半径作圆．点D为上的动点，、分别切圆C于点P、点Q，连接，分别交和于点E、F，取的中点M． (1)当时，求劣弧的度数； (2)当时，求的长； (3)连接，． ①证明：． ②在点D的运动过程中，是否存在最小值？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 7．（2024·浙江台州·模拟预测）如图，是的直径，弦于点E，G是的中点，连接． (1)若点E是的中点（如图1），求的度数； (2)连接，，，且交于点H（如图2），求证：是等腰三角形； (3)若交于N（如图3），若，求的值． 8．（2024·浙江温州·三模）如图，在中，，O为上一点，以为半径的圆交于点D，与相切于点E，P．M，Q分别为上一点，且，，，，已知． (1)求证：． (2)①求的长； ②求y关于x的函数表达式． (3)以为两边构造，当点N落在一边所在的直线上时，求x的值． 9．（2024·浙江宁波·二模）如图，为的直径，弦，连结，为上一点，，连结并延长交于点，交于点． (1)求证：． (2)若，求． (3)若，判断的值是否会改变，若会改变，请说明理由；若不会改变，则用含的代数式表示． 10．（2024·浙江嘉兴·三模）如图，已知为的直径，弦于点E，P是弧上一动点，连接交于点G，连结，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，当P是弧的中点时，猜想、、之间的关系，并说明理由； (3)如图3，已知，若，求的值（用含m的代数式表示）． 11．（2024·浙江·一模）定义，若四边形的一条对角线平分这个四边形的面积，则称这个四边形为倍分四边形，这条对角线称为这个四边形的倍分线．如图1，在四边形中，若，则四边形为倍分四边形，为四边形的倍分线． (1)判断：若是真命题请在括号内打，若是假命题请在括号内打． ①平行四边形是倍分四边形（______） ②梯形是倍分四边形（______） (2)如图1，倍分四边形中，是倍分线，若，，，求的长； (3)如图2，在，，以为直径的分别交于点，已知四边形是倍分四边形． ①求的值； ②如图3，连结，交于点，取中点，连结交于，若，求的长． 12．（2024·浙江·模拟预测）【综合探究】如图所示，四边形为菱形，，点从点向点运动，速度为，运动时间为秒．过点作的垂线交直线于点为的外接圆，交菱形对角线于点，连接． (1)求证：． (2)当为何值时，与相切？ (3)当t为何值时，为等腰三角形？ 13．（2024·浙江·模拟预测）【综合探究】如图所示，四边形为菱形，，，点P从点A向点D运动，速度为，运动时间为t秒（）．过点P作的垂线交直线于点Q，为的外接圆，交菱形对角线于点G，连接，．    (1)求证：． (2)当t为何值时，与相切？ (3)当t为何值时，为等腰三角形？ 14．（2024·浙江·模拟预测）如图，四边形内接于，连结，交于点P．已知，.    (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，若,，求的长； (3)若，求的最大值． 15．（2024·浙江·模拟预测）如图，内接于，，，垂足为点E，直线交于点D． (1)如图1，求证：为的直径． (2)如图2，在上截取，连结并延长交于点F，求证：． (3)如图3，在（2）的条件下，作，垂足为点H，K为边的中点，连结，①若 ，用含有k的代数式表示． ②若，，求的面积． 二、旋转综合问题 16．（2024·浙江嘉兴·三模）在中，，以点为中心，将顺时针旋转，得到；再以点为中心，将顺时针旋转，得到；连结，    (1)如图，若，，求的长； (2)如图，，探究与的位置关系，并说明理由． 17．（2024·浙江杭州·模拟预测）在中，是斜边上的一点，将线段绕点旋转至位置，点C，D在直线的同一侧． (1)当M是的中点时，连接． ①如图1，求的大小； ②如图2，已知点D和边上的点E满足，连接．求证：． (2)如图3，当时，在线段取一点G，连接并延长交的延长线于点F，当四边形是平行四边形时，若的面积为8，，求平行四边形的面积． 18．（2024·浙江·模拟预测）在平行四边形中，，，，点E是上一点．，P从点E出发，沿折线以每秒3个单位长度的速度运动，到D停止．连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段．连接．设点P的运动时间为t秒． (1)用t表示线段的长度； (2)连接，求的值； (3)当点F在平行四边形的对角线上时，求t的值； (4)连接．当分线段为的两部分时，直接写出t的值． 19．（2024·浙江杭州·一模）如图，在矩形中，将绕点逆时针旋转，使点的对应点落在上（点的对应点为），分别交边于点．的外接圆交线段于点． (1)求证：是中点． (2)若，求的长． (3)连结，交线段于点，若，求的值． 20．（2024·浙江杭州·二模）综合与实践 【问题情境】 如图，在正方形中，点在线段上，点在线段上，且始终满足．连接，，将线段绕点逆时针旋转一定角度，得到线段（点是点旋转后的对应点），并使点落在线段上，与交于点． 【初步分析】 （1）线段与的数量关系为______，位置关系为______； 【深入分析】 （2）如图②，再将线段绕点逆时针旋转90°，得到线段（点是点旋转后的对应点），连接，请判断四边形的形状，并说明理由： （3）如图③，若点落在的延长线上，且当点恰好为的中点时，设与交于点，，求的长． 三、其他几何综合（含求值与最值） 21．（2024·浙江金华·二模）【基础巩固】 （1）如图1，在中，点是上的一点，且，求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在（1）的条件下，过点作，交于点．若，，求的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在中，点是的中点，连结，交于点，且．若，求的值． 22．（2024·浙江杭州·二模）在矩形中，，，点是上的一个动点，点与点关于对称，连接，延长交射线于点，延长交或于点，如图1，图2． (1)如图1，若，求； (2)如图2，当时，求的长； (3)当时，直接写出的值． 23．（2024·浙江·模拟预测）如图，正方形，在正方形内以为圆心为半径画，是边上一点（不与，重合），连结交 于点，作交于，连结，． (1)求的度数． (2)证明：． (3)若是中点，求的值． (4)若，，直接写出的长． 24．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图①，是的外接圆，，以为边作菱形，点B，E在直线的同侧，与交于点M，连结交于N，交于T． (1)如图②，若点E在上，与交于点F，连结，求证． (2)在（1）的条件下，若，，求的半径． (3)如图①，连结，若，，求的值． 25．（2024·浙江温州·模拟预测）如图1，已知四边形内接于⊙O，是直径，是圆的切线交的延长线于A点，过D作交的延长线为G点，设（） (1)求证：． (2)若，，请猜测的度数．并说明理由． (3)如图2，连结，，经过圆心O，记的面积为，的面积为，求证：． 26．（2024·浙江·模拟预测）如图，在矩形中，，．点M，N分别是，边上的动点，连接、．请你解答下列问题： (1)如图1，若M是边上的中点且，求的值； (2)如图2，若M是边上的三等分点且，连接，求的面积． 27．（2024·浙江台州·二模）如图1，在正方形中，点E在上（不与点B，C重合），点F在边上，，连接交于点M． (1)求证：； (2)如图2，连接与交于点G，连接交于点H． ①求证：； ②当时，求的值； (3)如图3，若E是的中点，以点B为圆心，为半径作，P是上的一个动点，连接交于点N，则的最大值为 ． 28．（2024·浙江·模拟预测）如图1，在正方形中，E 为延长线上一点，连接交对角线于F， 交于G． (1)若，求正方形的边长． (2)探索之间的数量关系． (3)如图2，连接，求的最小值． 29．（2024·浙江·模拟预测）如图，在中，，D，E为上的动点，且，P为的中点． (1)若，求的长． (2)在线段的运动过程中，的长由2到，求这一变化过程中，点 P运动的路程． (3)连结，求的最小值． 30．（2024·浙江宁波·二模）（1）如图 1，在三角形 中， 是 中点，连结 ， 是 上任意一点，过点 作别交 ， 于点 、 ，求证： 是中点；    （2）如图 2，在四边形 中，， 与 不平行， ， ，连结对角线 ， 交于点 ， 是 上的点，过点 作交 于点 ， 于点 ，求的值； （3）如图 3，在菱形 中， ， ，分别取菱形各边的中点 ，，， 并顺次连结得到四边形 ，连结 ， 交于点 ， 是 上一动点，作交 于点 ，交 于点 ，过点 作 交 于点 ，连结 ，求 的最小值． 31．（2024·浙江·模拟预测）如图1，在正方形中，，的边分别与对角线相交于点P，Q，请说明． 尝试解决： （1）小明给出了以下思路：将绕点A逆时针旋转得到，使与重合，连结，请帮小明完成解题过程． 类比探究： （2）如图2，在正方形内作，使与相交于点与相交于点Q，连结．已知，，求的面积． 拓展应用： （3）如图3，在长方形中，，，，P是上一点，Q是上一点，连结，求的面积的最小值． 四、创新探究问题 32．（2024·浙江杭州·一模）【背景】如图（1），点E，F分别是正方形的边的中点，与相交于点P，连接．同学们在研究图形时，作交CE于点H，发现：．他们通过作三角形的中位线，构造全等三角形，找到与线段相等的线段，得到了多种方法证明成立． 【猜想】（1）若把正方形改成平行四边形，其余条件不变，如图（2），结论是否还成立？请说明理由． 【延伸】（2）在图（2）的条件下连接，那么四边形的面积和的面积有什么关系？请说明理由． 33．（2024·浙江嘉兴·二模）【操作思考】 如图1，将正方形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在正方形的内部，点A的对应点为点G，折痕为，再将该纸片沿过点B的直线折叠，使与重合，折痕为． （1）求的度数． 【探究应用】 将图1折叠所得的图形重新展开并铺平．如图2，连结，作的中垂线分别交于点P，H，连结．        （2）求证：． （3）若，求的面积． 34．（2024·浙江宁波·模拟预测）综合与实践． 【问题发现】 （1）如图1，在正方形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，连接，求证：， 【类比探究】 （2）如图2，在矩形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，且，连接，求的值． 【拓展延伸】 （3）如图3，在（2）的条件下，将E改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点M，连接，，若，则当是直角三角形时，请求出的长． 35．（2024·浙江杭州·一模）综合与实践 【问题情境】如图，在四边形中，点P是线段上一点，，． 【问题情境】如图1，当时，猜想，，三条线段存在的数量关系并证明． 【问题情境】如图2，延长，交于点E，当时，时，求的值． 【问题情境】如图2，延长，交于点E，当时，时，用含的代数式表示的值． 36．（2024·湖北孝感·模拟预测）【问题情景】 （1）如图1，正方形中，点E是线段上一点（不与B，C点重合），连接.将绕点E顺时针旋转得到，连接，求的度数． 以下是两名同学通过不同的方法构造全等三角形来解决问题的思路： 小聪：过点作的延长线的垂线；小明：在上截取，使得； 请你选择其中一名同学的解题思路，写出完整的解答过程． 【类比探究】 （2）如图2，点E是菱形边上一点（不与B，C点重合），，将绕点E顺时针旋转得到，使得，（）． ①求的度数（用含的代数式表示）； 【学以致用】 ②如图3，连接AF与CD相交于点G，当时，若，，则BE的长为_____． 37．（2024·浙江杭州·一模）综合与实践 【模型探究】 （1）如图1，在中，点O为边的中点，作射线于点M，于点N．求证：． 【尝试建构】 （2）如图2，在中，点O为边的中点，点P在边上（不与点B，C，O重合），作射线于点M，于点N．连接．猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 【迁移应用】 （3）如图3，在中，点D，E在边上，，作射线于点M，于点N．连接．若，，求的值． 38．（2024·浙江宁波·模拟预测）【基础巩固】 （1）如图（1），在和中，点在上，，求证：． 【尝试应用】 （2）如图（2），在（1）的条件下，连结．若，求的长． 【拓展提高】 （3）如图（3），在中，对角线相交于点，，点E是边上一点，，连结交于点，线段与的延长线交于点，若，，求平行四边形的面积． 39．（2024·浙江·模拟预测）综合与实践 【问题情境】 在一次数学探究课上，老师带领大家一起研究特殊三角形的性质. 圆圆小组对直角三角形进行了各种类型的折叠探究，并尝试用数学方法说明发现的结论. 类型 ．如图，沿着折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点，他们发现：点的位置与 和的长有关． 问题.若，，则________． 【变式探究】 类型．如图，点为上一点，沿着折叠，恰好落在上，点的对称点为，折痕交于点 ． 问题 ．若 ，则 ． 请猜测 与 有何关系，并证明． 【拓展思考】 方方小组对等腰三角形进行了各种折叠探究.如图，在等腰三角形中，为底边，为钝角，点为边上一点，将沿直线翻折得到． 问题．若，，求的长． 40．（2024·浙江绍兴·二模）【特例发现】 正方形与正方形如图1所示放置，，，三点在同一直线上，点在边上，连结，．通过推理证明，我们可得到两个结论：①；②．    【旋转探究】 将正方形绕点按顺时针方向旋转一定角度到图2所示的位置，则在“特例发现”中所得到的关于与的两个结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．    【迁移拓广】 如图3，在矩形与矩形中，若，．连结，．探索线段与线段存在怎样的数量关系和位置关系？为什么？    【联想发散】如图4，与均为正三角形，连结，．则线段与线段的数量关系是______；直线与直线相交所构成的夹角中，较小锐角的度数为______．      1 / 69 学科网（北京）股份有限公司 $$