大题预测02（A+B+C三组解答题）-【大题精做】冲刺2025年高考数学大题突破+限时集训（上海专用）

大题预测02（A组+B组+C组） 【A组】 （建议用时：60分钟 满分：78分） 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18＝78分）解下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，底面ABCD，且，E是PC的中点，平面ABE与线段PD交于点F. (1)求证：； (2)若，求直线BE与平面BCF所成角的正弦值. 18．已知数列和满足． (1)求数列和的通项公式； (2)设数列的前项和为，求证：． 19．2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行了夏季奥运会．为了普及奥运知识，大学举办了一次奥运知识竞赛，竞赛分为初赛与决赛，初赛通过后才能参加决赛． (1)初赛从6道题中任选2题作答，2题均答对则进入决赛．已知这6道题中小王能答对其中4道题，求小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率； (2)大学为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩，决定对进入决赛的参赛大学生给予一定的奖励．奖励规则如下：对于进入决赛的每名大学生允许连续抽奖3次，中奖1次奖励120元，中奖2次奖励180元，中奖3次奖励360元，若3次均未中奖，则只奖励60元，假定每次中奖的概率均为，且每次是否中奖相互独立． （Ⅰ）记一名进入决赛的大学生恰好中奖1次的概率为，求的极大值； （Ⅱ）大学数学系共有9名大学生进入了决赛，若这9名大学生获得的总奖金的期望值不小于1120元，试求此时的取值范围． 20．已知点是直线上的动点，为坐标原点，过点作轴的垂线，过点作直线的垂线交直线于点，记点的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)过曲线上一点的直线分别交于两点（异于点），设的斜率分别为． （Ⅰ）若，求证：直线过定点； （Ⅱ）若，且的纵坐标均不大于0，求的面积的最大值． 21．对于函数图像上不同的三点（其中），记点M处的切线为l，若，则称M为函数在区间上的“T点”．特别地，当，则称M为函数在区间上的“和谐T点”． (1)设是函数在区间上的“T点”，若，求实数n的值； (2)设，若函数在区间上恰有3个“T点”，求所有满足条件的实数a的值组成的集合； (3)设，试探究函数的定义域内是否存在一个包含“和谐T点”的区间，若存在，求出该区间；若不存在，请说明理由． 【B组】 （建议用时：60分钟 满分：78分） 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18＝78分）解下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17．已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中，，是的中点，是的中点.    (1)求证平面； (2)求平面与平面的夹角余弦值； (3)求点到平面的距离. 18．在中，角的对边分别为，且是与的等差中项. (1)求； (2)如图所示，为平面上一点，与构成一个四边形，且，若，求的最大值. 19．近几年，技术加持的智能手机（以下简称为手机）逐渐成为市场新宠.为了解顾客的购买意愿，某手机商城随机调查了位顾客购买手机的情况，得到数据如下表： 购买手机 购买不带的手机 总计 男性顾客 女性顾客 总计 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为购买手机与顾客的性别有关？ (2)为提升手机的销量，该手机商城针对购买手机的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下： ①共设一、二等奖两种奖项，分别奖励元、元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为、，其余情况不获奖金； ②每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立，记某购买手机的顾客两次所获得奖金之和为元，求的分布列和数学期望. 参考公式：，. 20．如图，双曲线的左右焦点分别为，，双曲线与有相同的渐近线和焦距．过上一点作的两条切线，切点分别为A，B，A在轴上方，连接AB交于点M． （注：过曲线外一点作曲线的两条切线，则两切点所在直线方程为）    (1)求双曲线的方程； (2)证明：直线AB与切于点M，且； (3)当点在第三象限，且时，求的值． 21．定义，中元素称为奇函数；，中元素称为奇函数；，中元素称为双偶函数.例如：，， (1)在下面横线上填下列词的一个：“真包含”“真包含于”“相等”，___________，并说明理由； (2)若所有项系数均为正数的多项式函数，满足，且，则可以找到关于的多项式函数，使得当，时，，且等号当时取到，求这样的； (3)证明：对任何函数，均可得到如下分解：，其中为奇函数，为奇函数，为双偶函数. 【C组】 （建议用时：60分钟 满分：78分） 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18＝78分）解下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17．在四棱锥中，平面，，． (1)若，为的中点，且平面，求的长； (2)若，且二面角的大小为，求三棱锥的体积． 18．设向量，，． (1)求的单调递减区间； (2)在锐角中，角所对的边分别为，若，，，求的面积 19．手工刺绣是中国非物质文化遗产之一，指以手工方式把图案设计和制作添加在编织物上的一种艺术，大致分为三个环节，简记为工序，工序，工序．经过试验测得小李在这三道工序成功的概率依次为，，．现某单位推出一项手工刺绣体验活动，报名费30元，成功通过三道工序最终的奖励金额是200元，为了更好地激发参与者的兴趣，举办方推出了一项工序补救服务，可以在活动开始前付费聘请技术员，若某一道工序没有成功，可以由技术员完成本道工序，技术员只完成其中一道工序，且只能聘请一位技术员，需另付聘请费用100元，若制作完成后没有接受技术员补救服务的退还一半的聘请费用． (1)求小李独立成功完成三道工序的概率； (2)若小李聘请一位技术员，且接受技术员补救服务，求他成功完成三道工序的概率； (3)为了使小李获得收益的期望值更大，请问小李是否需要聘请一位技术员？请说明理由． 20．已知椭圆椭圆的离心率．左顶点为A，下顶点为，是线段的中点，其中． (1)求椭圆E的方程． (2)设M为椭圆E上一动点，求的最大值． (3)过点的动直线与椭圆E有两个交点，．在轴上是否存在点使得恒成立．若存在求出这个点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由． 21．已知. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数存在两个不同的极值点，求证：； (3)若，，数列满足，.求证：当时，. 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大题预测02（A组+B组+C组） 【A组】 （建议用时：60分钟 满分：78分） 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18＝78分）解下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，底面ABCD，且，E是PC的中点，平面ABE与线段PD交于点F. (1)求证：； (2)若，求直线BE与平面BCF所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）在矩形中，， 又平面，平面， 所以平面， 又因为平面，且平面平面， 所以. （2）由（1）可知， 又因为E是的中点，所以F是的中点， 因为，即，故. 因为平面平面， 所以 又在正方形中，， 所以两两垂直. 如图建立空间直角坐标系， 则 所以， 设平面的一个法向量为 由，得， 令，得， 设直线与平面所成角为， 则 故直线BE与平面BCF所成角的正弦值为. 18．已知数列和满足． (1)求数列和的通项公式； (2)设数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)； (2)证明见解析 【解析】（1）因为，可得， 即， 可知数列为常数列，则，所以； 又因为，则有： 若，可得； 若，则， 两式相减得； 且符合上式，所以. （2）由（1）可知：， 可得， 显然，所以. 19．2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行了夏季奥运会．为了普及奥运知识，大学举办了一次奥运知识竞赛，竞赛分为初赛与决赛，初赛通过后才能参加决赛． (1)初赛从6道题中任选2题作答，2题均答对则进入决赛．已知这6道题中小王能答对其中4道题，求小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率； (2)大学为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩，决定对进入决赛的参赛大学生给予一定的奖励．奖励规则如下：对于进入决赛的每名大学生允许连续抽奖3次，中奖1次奖励120元，中奖2次奖励180元，中奖3次奖励360元，若3次均未中奖，则只奖励60元，假定每次中奖的概率均为，且每次是否中奖相互独立． （Ⅰ）记一名进入决赛的大学生恰好中奖1次的概率为，求的极大值； （Ⅱ）大学数学系共有9名大学生进入了决赛，若这9名大学生获得的总奖金的期望值不小于1120元，试求此时的取值范围． 【答案】(1) (2)； 【解析】（1）记事件：小王已经答对一题，事件：小王未进入决赛， 则小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率. （2）（I）由题意知，，， 则，令，得或1（舍）， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，有极大值，且极大值为. （II）设每名进入决赛的大学生获得的奖金为随机变量，则的可能取值为， 则， ， ， ， 所以， 令，即，整理得， 因为， 易知，所以，即， 又，所以的取值范围为. 20．已知点是直线上的动点，为坐标原点，过点作轴的垂线，过点作直线的垂线交直线于点，记点的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)过曲线上一点的直线分别交于两点（异于点），设的斜率分别为． （Ⅰ）若，求证：直线过定点； （Ⅱ）若，且的纵坐标均不大于0，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2)（Ⅰ）证明见解析，（Ⅱ）6 【解析】（1）设，则， 根据可得，故， （2）设直线， 联立与可得， 设, 则， 故， 将代入抛物线方程中可得， （Ⅰ）若，则， 化简可得， 故，故或， 当时，直线的方程为，故，此时直线经过点，不符合题意，故舍去， 当时，直线的方程为，故，此时直线经过点，故直线过定点； （Ⅱ）由于的纵坐标均不大于0，则， 由，则, 故， 则， 故， 则， 可得，故， 由（Ⅰ）知，故， 故，故， 故， 点到直线的距离为， 故， 记， 则， 当单调递增， 故当时，此时取最大值为9 故的面积的最大值6 21．对于函数图像上不同的三点（其中），记点M处的切线为l，若，则称M为函数在区间上的“T点”．特别地，当，则称M为函数在区间上的“和谐T点”． (1)设是函数在区间上的“T点”，若，求实数n的值； (2)设，若函数在区间上恰有3个“T点”，求所有满足条件的实数a的值组成的集合； (3)设，试探究函数的定义域内是否存在一个包含“和谐T点”的区间，若存在，求出该区间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【解析】（1），由可得，而 因为为函数在区间上的“T点”，故. （2）， 因为函数在区间上恰有3个“T点”， 所以在上有三个不同的解， 故在上有三个不同的解， 设，则， 则在上有两个不同的根， 且其中有且只有一个根为或或， 若一个根为，则，此时另一个根为， 此时有一根，在上有两个不同的解， 故此时在上有三个不同的解； 若一个根为，则，此时另一个根为， 同理可得在上有三个不同的解； 若一个根为，则，此时在上仅有一个根，舍； 综上，. （3）， 若存在含“和谐T点”的区间，则， 其中， 整理得到：即， 设，故，设， 则，故在上为增函数，故， 故，故不成立， 故函数的定义域内不存在一个包含“和谐T点”的区间 【B组】 （建议用时：60分钟 满分：78分） 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18＝78分）解下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17．已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中，，是的中点，是的中点.    (1)求证平面； (2)求平面与平面的夹角余弦值； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【解析】（1）    如图，取中点，连接，由是的中点得，且， 由是的中点得，且， ∴，即四边形是平行四边形，故， ∵平面，平面，∴平面. （2）如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，，， ∴，，. 设平面的法向量为，则， 令，得，故， 设平面的法向量为，则， 令，得，故， ∴，故平面与平面的夹角余弦值为. （3）由（2）得，， ∴点到平面的距离为. 18．在中，角的对边分别为，且是与的等差中项. (1)求； (2)如图所示，为平面上一点，与构成一个四边形，且，若，求的最大值. 【答案】(1) (2)4. 【解析】（1）∵是与的等差中项，∴， ∴， 由正弦定理得，， ∴，即， ∵，∴， ∴，故. （2）方法一：设，则， 在中，①，在中，②, 得，， 由得，，∴， ∴，当时，的最大值是. 解法二：在中，由余弦定理得，， ∵，∴四边形存在一个外接圆， ∴圆的直径为， ∴，即， ∴当为圆直径时，的最大值为4. 19．近几年，技术加持的智能手机（以下简称为手机）逐渐成为市场新宠.为了解顾客的购买意愿，某手机商城随机调查了位顾客购买手机的情况，得到数据如下表： 购买手机 购买不带的手机 总计 男性顾客 女性顾客 总计 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为购买手机与顾客的性别有关？ (2)为提升手机的销量，该手机商城针对购买手机的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下： ①共设一、二等奖两种奖项，分别奖励元、元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为、，其余情况不获奖金； ②每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立，记某购买手机的顾客两次所获得奖金之和为元，求的分布列和数学期望. 参考公式：，. 【答案】(1)有关 (2)分布列见解析， 【解析】（1）， 所以，依据小概率值的独立性检验，可以认为购买AI手机与顾客的性别有关. （2）根据题意，随机变量可能取值为：、、、、， ，， ，， ， 所以，随机变量的分布列为 所以，随机变量的期望. 20．如图，双曲线的左右焦点分别为，，双曲线与有相同的渐近线和焦距．过上一点作的两条切线，切点分别为A，B，A在轴上方，连接AB交于点M． （注：过曲线外一点作曲线的两条切线，则两切点所在直线方程为）    (1)求双曲线的方程； (2)证明：直线AB与切于点M，且； (3)当点在第三象限，且时，求的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【解析】（1）的渐近线方程为，， 的渐近线方程为，， 所以，得，，所以双曲线的方程为． （2）已知，且满足， 设切点，，， 根据题意得，直线AB方程为． 直线AB与联立，得， 化简得，， 所以直线AB与切于点． 所以，． 直线AB与联立，得，即， 得， 所以，即为中点， 所以． （3）法一：因为，则， 直线与直线联立， 得，即， 将点代入， 得，化简得， 由得，， 所以． 法二：因为，，点与点关于原点对称，所以． 因为，所以， 因为，所以，所以， ， 所以． 21．定义，中元素称为奇函数；，中元素称为奇函数；，中元素称为双偶函数.例如：，， (1)在下面横线上填下列词的一个：“真包含”“真包含于”“相等”，___________，并说明理由； (2)若所有项系数均为正数的多项式函数，满足，且，则可以找到关于的多项式函数，使得当，时，，且等号当时取到，求这样的； (3)证明：对任何函数，均可得到如下分解：，其中为奇函数，为奇函数，为双偶函数. 【答案】(1)真包含于；理由见解析 (2) (3)证明见解析 【解析】（1）根据题意知，集合中的元素满足 集合中的元素满足 所以集合中的元素同时满足和 即，代入得 即中的元素满足集合中元素的条件； 又，而，， 所以真包含于. （2）根据题意，， 则， （其中，，且，）， 取，则 因为， 所以，且当时， ， . （3）令， ， ， 则， ， ， 所以，，， 且. 【C组】 （建议用时：60分钟 满分：78分） 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18＝78分）解下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17．在四棱锥中，平面，，． (1)若，为的中点，且平面，求的长； (2)若，且二面角的大小为，求三棱锥的体积． 【答案】(1)4 (2)． 【解析】（1）如图，取的中点为，连接，， 则，且． ， ． 平面，平面，平面平面， ． 又，四边形为平行四边形． ，又， ． （2）平面，平面， ，又，，且平面， 平面，平面， ． 如图所示，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，设， 则，，，． ，，设平面的一个法向量为， 则，令，则，故． 又，，设平面的一个法向量为， 则，令，可得，故． 二面角的大小为，所以， ， ，即． ， 即三棱锥的体积为． 18．设向量，，． (1)求的单调递减区间； (2)在锐角中，角所对的边分别为，若，，，求的面积 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由题意得 ， 令，解得， 所以的单调递增区间为. （2）因为为锐角三角形，由得， 由可得， 所以，故， 在中，由正弦定理得，所以， 所以①， 由余弦定理得，得②， 由①②解得， 所以的面积为. 19．手工刺绣是中国非物质文化遗产之一，指以手工方式把图案设计和制作添加在编织物上的一种艺术，大致分为三个环节，简记为工序，工序，工序．经过试验测得小李在这三道工序成功的概率依次为，，．现某单位推出一项手工刺绣体验活动，报名费30元，成功通过三道工序最终的奖励金额是200元，为了更好地激发参与者的兴趣，举办方推出了一项工序补救服务，可以在活动开始前付费聘请技术员，若某一道工序没有成功，可以由技术员完成本道工序，技术员只完成其中一道工序，且只能聘请一位技术员，需另付聘请费用100元，若制作完成后没有接受技术员补救服务的退还一半的聘请费用． (1)求小李独立成功完成三道工序的概率； (2)若小李聘请一位技术员，且接受技术员补救服务，求他成功完成三道工序的概率； (3)为了使小李获得收益的期望值更大，请问小李是否需要聘请一位技术员？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)小李需要聘请一位技术员，理由见解析 【解析】（1）设事件“小李独立成功完成三道工序” 则． （2）设事件“小李聘请一位技术员，且接受技术员补救服务，成功完成三道工序”， 当技术员完成工序时，小李成功完成三道工序的概率为：， 当技术员完成工序时，小李成功完成三道工序的概率为：， 当技术员完成工序时，小李成功完成三道工序的概率为：， 故． （3）若小李没有聘请技术员参与比赛，设小李最终收益为， ，所以， 若小李聘请一位技术员参与比赛，设小李最终收益为， 有如下几种情况： 技术员最终未参与补救仍成功完成三道工序，此时， 由（1）知，， 技术员参与补救并成功完成三道工序，此时，由（2）知， 技术员参与补救但仍未成功完成三道工序，此时， ， 所以， 因为，所以小李需要聘请一位技术员． 20．已知椭圆椭圆的离心率．左顶点为A，下顶点为，是线段的中点，其中． (1)求椭圆E的方程． (2)设M为椭圆E上一动点，求的最大值． (3)过点的动直线与椭圆E有两个交点，．在轴上是否存在点使得恒成立．若存在求出这个点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【解析】（1）因为椭圆的离心率为，故，，其中为半焦距， 所以，，， 故， 故，所以，，故椭圆方程为：． （2）设M点坐标为，满足，又C点坐标为， 所以：，其中 所以当时，有最大值，所以的最大值为． （3）若过点的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：， 设， 由，可得， 故且 而， 故 ， 因为恒成立，故，解得. 若过点的动直线的斜率不存在，则或， 此时需，两者结合可得. 综上，存在，使得恒成立. 21．已知. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数存在两个不同的极值点，求证：； (3)若，，数列满足，.求证：当时，. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【解析】（1）当时，，则，， 又，所求切线方程为：，即. （2）由题意知：定义域为，， 令，则， 令，则，原方程可化为，且和是方程的两根， ，解得：，，， ， ，在上单调递减，， 即. （3），定义域为，， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， ，，， 以此类推，当时，； ，， 在上单调递减，当时，， 即，，， 即，. 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$