大题预测01（A+B+C三组解答题）-【大题精做】冲刺2025年高考数学大题突破+限时集训（上海专用）

大题预测01（A组+B组+C组） 【A组】 （建议用时：60分钟 满分：78分） 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18＝78分）解下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17．如图，已知四边形是直角梯形，，，，是等边三角形，平面平面为的中点，为的中点，． (1)证明：平面平面； (2)分别为棱上的动点（不包含端点），当时，试判断二面角和二面角的大小是否相等，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)二面角和二面角大小相等，理由见解析 【解析】（1）因为是等边三角形，为的中点，，所以， 在底面内，过点作交于点，如图， 因为四边形是直角梯形，所以， 四边形为矩形，则， 因为，所以，，所以， 因为为的中点，所以， 在中，，所以， 所以，即， 因为是等边三角形，为的中点，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面平面， 又平面平面， 平面平面平面． （2）二面角和二面角的大小相等，证明如下： 法一：以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， ，， 设，则， ，， ， 易得平面和平面的法向量均为， 设平面的法向量， 则，令，则， 设平面的法向量， 则，令，则， 由已知易得二面角和二面角均为锐角， 设二面角和二面角的平面角分别为， 则，即． 法二：过作，交于，过作，交于，连接， 则平面， 同理可证平面， 平面平面，平面平面， ，且平面， 平面均与垂直， 二面角的平面角为，二面角的平面角为， ，， 与全等，， 即二面角和二面角大小相等． 18．已知函数 (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)试讨论的单调性． 【答案】(1). (2)见解析 【解析】（1）当，， 所以， 所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. （2）因为， 所以. 当时，，令，得， 令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增. 当时，令，解得或. 当时，，所以在上单调递增. 当时，，令，解得或， 令，解得， 所以在和上单调递增，在上单调递减. 当时，，令，解得或， 令，解得， 所以在和上单调递增，在上单调递减. 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时， 在上单调递增， 当时，在和上单调递增，在上单调递减， 当时，在和上单调递增，在上单调递减. 19．“冰雪同梦，亚洲同心”，年第九届亚冬会在哈尔滨举办，本次赛事共有个大项，个分项，个小项，有来自个国家和地区，多名运动员参赛，是一场令人回味无穷的冬季体育盛会，亚冬会圆满结束后，我校团委组织学生参加与亚冬会有关的知识竞赛.为鼓励同学们积极参加此项活动，比赛规定：答对一题得两分，答错一题得一分，选手不放弃任何一次答题机会.已知小明报名参加比赛，每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率不一定相等. (1)若前三道试题，小明每道试题答对的概率均为， ①设，记小明答完前三道题得分为，求随机变量的分布列和数学期望； ②若小明答完前四道题得分的概率为，求小明答完前四题时至少答对三题的概率的最小值； (2)若小明答对每道题的概率均为，因为小明答对第一题或前两题都答错，均可得到两分，称此时小明答题累计得分为，记小明答题累计得分为的概率为，求数列的通项公式. 【答案】(1)①分布列答案见解析，；② (2) 【解析】（1）①由题意可知，随机变量的可能取值有、、、， ，， ，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 所以，； ②因为前四道试题得分即全对的概率为，所以第四道试题答对的概率为， 所以，小明答完前四题时至少答对三题的概率为， 则， 当时，，此时，函数单调递减， 当时，，此时，函数单调递增， 所以. （2）依题意可得，，当时，则， 所以，，且， 所以，数列是首项为，公比为的等比数列， 故， 且， 所以数列是各项均为的常数列，则， 所以，解得. 20．点为直线上的动点，为坐标原点，过点作直线垂直于轴，过点作直线的垂线交直线于点. (1)求点的轨迹方程； (2)记点轨迹为曲线，上一定点，过作两不同直线分别交于两点， ①直线的斜率满足，且直线过点，求定点坐标； ②若点，且直线的斜率满足，设的外接圆为圆，过点作曲线的切线，判断直线与圆位置关系，并说明理由. 【答案】(1) (2)①；②直线与圆相切，理由见解析 【解析】（1）设，则直线：，直线：， 时，直线：，点的轨迹为， 时，， 综上，点的轨迹方程； （2）    ①设，，， 由已知直线的斜率存在， 所以设直线：， 联立方程得， 所以，由题意得， 所以，解得，所以； ②   当时，由可得，求导可得， 当时，，所以切线的斜率为，所以直线：， 设直线：，联立抛物线方程得， ，， 可得，所以， 中垂线：， 同理，中垂线：， 联立可得，， ，即直线与圆相切. 21．已知函数的图象上存在两点，记直线的方程为，若直线恰为曲线的一条切线（为切点），且（为的定义域），则称函数为“切线支撑”函数． (1)试判断函数是否为“切线支撑”函数．若是，求出一组点；否则，请说明理由； (2)已知为“切线支撑”函数，求实数的取值范围； (3)证明：函数为“切线支撑”函数． 【答案】(1)是； (2) (3)证明见解析 【解析】（1）, 显然， 令，得，即， 所以是的极小值点，且为曲线得一条切线， 所以函数是“切线支撑”函数， 可取. （2）当时，，所以在上为增函数，所以切点不可能都在轴的右侧； 当时，，所以在上为增函数，所以切点不可能都在轴的左侧； 所以切点必在轴的两侧. 不妨设，， 当时，，所以点处的切线方程为， 即； 当时，，所以点处的切线方程为， 即， 因为两点处的切线重合，所以， 设，则， 所以在上单调递增， 又当时，，所以，即， 设点处的切线方程为， 设， 则， 所以当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增， 所以，所以， 设点处的切线方程为， 则，即， 所以为“切线支撑”函数， 综上可得，实数的取值范围为. （3）因为，设， 所以点处的切线方程为和， 所以， 所以， 不妨取， 则，即， 所以，不妨取，则切线的方程为， 又，所以函数为“切线支撑”函数． 【B组】 （建议用时：60分钟 满分：78分） 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18＝78分）解下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17.如图，在以为顶点的多面体中，平面平面， 为的中点    (1)证明： 平面； (2)在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成角的大小为.若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【解析】（1）连接交于点，连接， 因为 ，所以四边形为平行四边形， 所以为的中点， 又因为为的中点， 所以 ， 因为平面平面， 所以 平面. （2）因为平面平面，平面平面，平面，所以平面， 以为坐标原点，在平面内，以过点垂直于的方向为轴正方向， 以的方向分别为轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，    则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，可得， 令，则， 假设在棱上存在一点，使得直线与平而所成角的大小为， 设， 因为，则， 又因为，所以， 则， 化简得，解得， 因为，所以， 所以在棱上存在一点，使得直线与平面所成角的大小为， 此时. 18．已知函数是定义在上的奇函数，并且当时， . (1)求函数的表达式； (2)求关于x的不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）当时，函数 . 当时，； 当时，， 即； 因为， 所以. 因此； （2）当时，， 因此有在上严格单调递增； 而当时， 因此有在上严格单调递增； 原不等式可化为：； 而是定义在上的严格增函数， 所以； 因此不等式的解集为. 19．某公司为考核员工，采用某方案对员工进行业务技能测试，然后统计并分析测试成绩以确定员工绩效等级． (1)已知该公司甲部门有3名负责人，乙部门有4名负责人，该公司从甲、乙两部门中随机选取3名负责人做测试分析，记负责人来自甲部门的人数为，求最有可能的取值． (2)该公司统计了七个部门测试的平均成绩（满分100分）与绩效等级优秀率，如表所示． 32 41 54 68 74 80 92 0.28 0.34 0.44 0.58 0.66 0.74 0.94 根据数据绘制散点图，初步判断，选用作为经验回归方程．令，经计算得，． （i）已知某部门测试的平均成绩为60分，估计其绩效等级优秀率； （ii）根据统计分析，大致认为各部门测试平均成绩，其中近似为样本平均数近似为样本方差．经计算，求某个部门绩效等级优秀率高于0.7875的概率． 参考公式与数据： ①． ②经验回归方程中，． ③若随机变量，则． 【答案】(1)1 (2)（i）0.498；（ii）约为0.15865 【解析】（1）随机变量服从超几何分布，且的可能取值为， 且， ． 由此可得最大，即的可能性最大， 故最有可能的取值为1． （2）（i）第一步：取对数． 依题意，两边取对数，得，即． 第二步：求经验回归方程． 其中， 由提供的参考数据，可知，又，故， 由提供的参考数据，可得，故． 当时，，即估计其绩效等级优秀率为0.498． （ii）由（i）及提供的参考数据可知， 又，即，可得，即， 又，且， 由正态分布的性质，得， 记“绩效等级优秀率高于0.7875”为事件，则， 所以绩效等级优秀率高于0.7875的概率约为0.15865． 20．已知双曲线过点，渐近线方程为. (1)求的方程； (2)已知点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点，在线段上取异于点的点. （i）当为中点时，的面积为7，求直线的斜率； （ii）直线分别与轴交于点，若为中点，证明：点恒在一条定直线上. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【解析】（1）由题意，得，则①， 将点代入双曲线方程，得②， 联立①②解得故的方程为. （2）若直线的斜率不存在，则直线与双曲线右支只有一个交点，不符合题意，故直线的斜率存在. 设直线的方程为，与联立得. 设，由题意，得解得. （i）解：因为为中点，所以. 由，得. 又，解得，所以直线的斜率为. （ii）证明：设直线的方程为，令，得. 同理可得，. 因为为中点，所以，即. 又因为点都在直线上， 所以， 整理，得， 代入韦达定理，得，所以. 因为，所以点恒在定直线上. 21．已知函数． (1)若为增函数，求的取值范围； (2)记的导函数为，若，，求的取值范围； (3)定义：如果数列的前项和满足，其中为常数，则称数列为“和上界数列”，为数列的一个“和上界”．设数列满足，，证明：当时，数列为“和上界数列”，且不小于4的常数均可作为数列的“和上界”． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解析】（1）已知函数． 若为增函数，则， 即对任意恒成立， 令，则，令，解得， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 故，故. 故的取值范围为. （2），， 由题意，任意，， 即对任意恒成立， 设，其中， 当时， ， ，， 由，则，则，又， 可得，所以， 即在上单调递增，所以， 且， 要使对任意恒成立，则. 故的取值范围为. （3）当时，， 设，则， 当时，，则在单调递增； 当时，，则在单调递减； 所以，则有，当且仅当时等号成立. 所以对任意恒成立， 由，,其中， 所以，且， 则当时， ； 又当时，成立； 综上所述，任意，都有， 故数列为“和上界数列”，且不小于4的常数均可作为数列的“和上界”． 【C组】 （建议用时：60分钟 满分：78分） 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18＝78分）解下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17．如图，将等腰直角三角形沿斜边上的中线翻折，得到四面体． (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）由为等腰直角三角形斜边上的中线， 可得：，也即，又为平面内两条相交直线， 所以平面； （2） 由，可得， 所以，所以， 因为平面，以为坐标原点，以为轴和轴，过在平面作的垂线为轴建系， 易知， 则 设平面的法向量为， 则 ，即，令，可得：， 所以， 易知平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为； 18．已知函数为奇函数． (1)求的值； (2)判断并证明的单调性； (3)若存在实数，使得成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)函数在上单调递减，证明见解析 (3) 【解析】（1）由函数为奇函数，其定义域为，所以， 即，解得，此时， 满足，即为奇函数， 故的值为. （2）在R上单调递减，证明如下： 由（1）知， ，且，则， 因为，所以，，， 所以，即函数在上单调递减. （3）由，则， 又因为为奇函数，所以， 又由（2）知函数在上单调递减， 所以，因为存在实数，使得成立， 所以，解得. 所以的取值范围为. 19．一个不透明的盒子中装有3个红球，3个黑球，个白球，这些球除颜色外完全相同.若从盒子中随机摸出1个球，则白球被摸出的概率为. (1)求的值； (2)现从盒子中一次性随机摸出4个球. ①求三种颜色的球都被摸出的概率； ②记摸出的球的颜色种类为，求的分布列与期望. 【答案】(1)5 (2)①；②分布列见解析， 【解析】（1）由题可知，从盒子中随机摸出1个球，白球被摸出的概率， 所以； （2）①从盒子中一次性随机摸出4个球，不同的取法共有种， 三种颜色的球都被摸出的不同取法共有种， 故三种颜色的球都被摸出的概率； ②由题可知，X的取值可能为1，2，3， 且，， ， X的分布列为 1 2 3 . 20．已知椭圆的焦距为2，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)已知椭圆上点处的切线方程是.在直线上任取一点引椭圆的两条切线，切点分别是、. ①求证：直线恒过定点； ②是否存在实数，使得，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②存在 【解析】（1）由题意可知，所以， 所以， 所以椭圆的方程为. （2）①设，，，由题设可知：，， 又因为，经过点，所以， 所以，均在直线上，即， 由，解得，所以直线过定点. ②设实数存在，因为，所以， 当直线斜率不存在时，此时直线的方程为， 由，解得， 所以，故. 当直线斜率时，不满足题意： 当直线斜率时，设直线的方程为，则， 故， 所以， 联立可得，显然， 所以，， 所以. 综上可知，存在满足条件. 21．对于曲线，若存在斜率为的两条平行直线，满足:直线与曲线至少切于两点；曲线上所有的点都在之间或者其中一条直线上，则直线为曲线的一对"双夹线"，并称之间的距离为曲线在“方向上的宽度”，记为.设，曲线. (1)设，写出曲线的一组“双夹线”（不必说明理由）； (2)设，试问:和是否是曲线的一对“双夹线”？若是，求出此时的值；若不是，请说明理由； (3)对于任意正实数，曲线是否都存在“双夹线”？若是，求出的所有取值构成的集合；若不是，请说明理由. 【答案】(1)和 (2)是， (3)存在， 【解析】（1）曲线，由正弦函数的图象可知：和为曲线的一对“双夹线”，故曲线是存在“双夹线”. （2）曲线，，令， 即，当时，，点是曲线与的一个切点； 当时，，点是曲线与的一个切点； 直线与曲线至少存在两个切点， 同理，可得当时，，点是曲线与的一个切点； 当时，，点是曲线与的一个切点； 直线与曲线至少存在两个切点， 令，则 ，， 和是函数的一对“双夹线”，且. （3），则， ，当时，，则过点的切线方程为：， 当时，，过点的切线方程也为：， 直线与至少存在两个切点； 同理，可得直线与相切于点和， 直线与至少存在两个切点； 令， 则， ， 在两条直线之间， 故对于任意的正实数，函数都存在“双夹线”，且， 故的所有取值构成的集合. 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大题预测01（A组+B组+C组） 【A组】 （建议用时：60分钟 满分：78分） 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18＝78分）解下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17．如图，已知四边形是直角梯形，，，，是等边三角形，平面平面为的中点，为的中点，． (1)证明：平面平面； (2)分别为棱上的动点（不包含端点），当时，试判断二面角和二面角的大小是否相等，并说明理由． 18．已知函数 (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)试讨论的单调性． 19．“冰雪同梦，亚洲同心”，年第九届亚冬会在哈尔滨举办，本次赛事共有个大项，个分项，个小项，有来自个国家和地区，多名运动员参赛，是一场令人回味无穷的冬季体育盛会，亚冬会圆满结束后，我校团委组织学生参加与亚冬会有关的知识竞赛.为鼓励同学们积极参加此项活动，比赛规定：答对一题得两分，答错一题得一分，选手不放弃任何一次答题机会.已知小明报名参加比赛，每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率不一定相等. (1)若前三道试题，小明每道试题答对的概率均为， ①设，记小明答完前三道题得分为，求随机变量的分布列和数学期望； ②若小明答完前四道题得分的概率为，求小明答完前四题时至少答对三题的概率的最小值； (2)若小明答对每道题的概率均为，因为小明答对第一题或前两题都答错，均可得到两分，称此时小明答题累计得分为，记小明答题累计得分为的概率为，求数列的通项公式. 20．点为直线上的动点，为坐标原点，过点作直线垂直于轴，过点作直线的垂线交直线于点. (1)求点的轨迹方程； (2)记点轨迹为曲线，上一定点，过作两不同直线分别交于两点， ①直线的斜率满足，且直线过点，求定点坐标； ②若点，且直线的斜率满足，设的外接圆为圆，过点作曲线的切线，判断直线与圆位置关系，并说明理由. 21．已知函数的图象上存在两点，记直线的方程为，若直线恰为曲线的一条切线（为切点），且（为的定义域），则称函数为“切线支撑”函数． (1)试判断函数是否为“切线支撑”函数．若是，求出一组点；否则，请说明理由； (2)已知为“切线支撑”函数，求实数的取值范围； (3)证明：函数为“切线支撑”函数． 【B组】 （建议用时：60分钟 满分：78分） 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18＝78分）解下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17.如图，在以为顶点的多面体中，平面平面， 为的中点    (1)证明： 平面； (2)在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成角的大小为.若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 18．已知函数是定义在上的奇函数，并且当时， . (1)求函数的表达式； (2)求关于x的不等式的解集. 19．某公司为考核员工，采用某方案对员工进行业务技能测试，然后统计并分析测试成绩以确定员工绩效等级． (1)已知该公司甲部门有3名负责人，乙部门有4名负责人，该公司从甲、乙两部门中随机选取3名负责人做测试分析，记负责人来自甲部门的人数为，求最有可能的取值． (2)该公司统计了七个部门测试的平均成绩（满分100分）与绩效等级优秀率，如表所示． 32 41 54 68 74 80 92 0.28 0.34 0.44 0.58 0.66 0.74 0.94 根据数据绘制散点图，初步判断，选用作为经验回归方程．令，经计算得，． （i）已知某部门测试的平均成绩为60分，估计其绩效等级优秀率； （ii）根据统计分析，大致认为各部门测试平均成绩，其中近似为样本平均数近似为样本方差．经计算，求某个部门绩效等级优秀率高于0.7875的概率． 参考公式与数据： ①． ②经验回归方程中，． ③若随机变量，则． 20．已知双曲线过点，渐近线方程为. (1)求的方程； (2)已知点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点，在线段上取异于点的点. （i）当为中点时，的面积为7，求直线的斜率； （ii）直线分别与轴交于点，若为中点，证明：点恒在一条定直线上. 21．已知函数． (1)若为增函数，求的取值范围； (2)记的导函数为，若，，求的取值范围； (3)定义：如果数列的前项和满足，其中为常数，则称数列为“和上界数列”，为数列的一个“和上界”．设数列满足，，证明：当时，数列为“和上界数列”，且不小于4的常数均可作为数列的“和上界”． 【C组】 （建议用时：60分钟 满分：78分） 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18＝78分）解下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17．如图，将等腰直角三角形沿斜边上的中线翻折，得到四面体． (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 18．已知函数为奇函数． (1)求的值； (2)判断并证明的单调性； (3)若存在实数，使得成立，求的取值范围． 19．一个不透明的盒子中装有3个红球，3个黑球，个白球，这些球除颜色外完全相同.若从盒子中随机摸出1个球，则白球被摸出的概率为. (1)求的值； (2)现从盒子中一次性随机摸出4个球. ①求三种颜色的球都被摸出的概率； ②记摸出的球的颜色种类为，求的分布列与期望. 20．已知椭圆的焦距为2，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)已知椭圆上点处的切线方程是.在直线上任取一点引椭圆的两条切线，切点分别是、. ①求证：直线恒过定点； ②是否存在实数，使得，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 21．对于曲线，若存在斜率为的两条平行直线，满足:直线与曲线至少切于两点；曲线上所有的点都在之间或者其中一条直线上，则直线为曲线的一对"双夹线"，并称之间的距离为曲线在“方向上的宽度”，记为.设，曲线. (1)设，写出曲线的一组“双夹线”（不必说明理由）； (2)设，试问:和是否是曲线的一对“双夹线”？若是，求出此时的值；若不是，请说明理由； (3)对于任意正实数，曲线是否都存在“双夹线”？若是，求出的所有取值构成的集合；若不是，请说明理由. 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$