专题06 矩形的重难点题型归纳（十二大题型）-2024-2025学年八年级数学下册《重难点题型•高分突破》（苏科版）

专题06矩形的重难点题型归纳（十二大题型） 重难点题型归纳 【题型1 利用矩形的性质求角度】 【题型2 利用矩形的性质求线段长度】 【题型3 利用矩形的性质求面积】 【题型4 求矩形在平面直角坐标系中的坐标】 【题型5 矩形与折叠综合应用】 【题型6 直角三角形斜边上的中线问题】 【题型7 添加条件对矩形的判定】 【题型8 矩形的判定-证明题】 【题型9 矩形的性质与判定综合】 【题型10 求矩形中最大值问题-梯子模型】 【题型11 求矩形中最小值问题】 【题型12 矩形中动点问题-分类讨论】 【题型1 利用矩形的性质求角度】 1．（24-25九年级上·辽宁辽阳·期末）如图，延长矩形的边至点E，使，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·甘肃定西·期末）如图，将长方形绕其顶点B顺时针转到如图所示的位置，则旋转角可以为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·河南焦作·期中）如图，矩形的对角线，交与点O，于E，点F为中点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·重庆奉节·期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点O．若，则的度数为 ． 5．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，四边形是矩形，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N；作直线分别交于点E，F，连接，若，则 ． 【题型2 利用矩形的性质求线段长度】 6．（24-25九年级下·广西南宁·开学考试）如图，矩形的对角线交于点O，若，，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D．4 7．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在矩形中，已知于，，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 8．（2025·江苏无锡·一模）如图，矩形中，，，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，当点，，三点共线时，交于点，则的长度是（   ）    A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在矩形中，，对角线、相交于点，过点的直线交的延长线于点，交边于点，若，则的长为 ． 10．（24-25九年级上·江西吉安·期末）如图所示是一张矩形纸片，已知为边上的一点，，点在矩形的一边上．要使是等腰三角形，则的底边长为 ． 11．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，把两个全等的矩形和矩形拼成如图所示的图案，已知，，则的长为 ． 【题型3 利用矩形的性质求面积】 12．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，矩形的对角线与相交于点O，，已知，则该矩形的面积是（    ） A． B．2 C． D．3 13．（24-25九年级上·贵州·期末）一个矩形被分成不同的4个三角形，其中绿色三角形的面积占矩形面积的，黄色的三角形的面积是21，则该矩形的面积为（）    A．60 B．70 C．120 D．140 【题型4 求矩形在平面直角坐标系中的坐标】 14．（24-25九年级上·山东·阶段练习）如图，矩形的边分别落在直角坐标系轴和轴上，且，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 15．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，矩形中，顶点，，，将矩形绕点O逆时针旋转，每秒旋转，则第100秒旋转结束时，点D的坐标为(    ) A． B． C． D． 16．（23-24八年级下·云南昆明·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别为，点是的中点，点在上运动，当时，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 17．（22-23八年级下·四川达州·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点，．将矩形绕点O顺时针方向旋转，使点A恰好落在上的点处，则点B的对应点的坐标为（    ）．    A． B． C． D． 18．（22-23八年级下·安徽黄山·期末）如图，四边形是矩形，其中点和点分别在轴和轴上，连接，点的坐标为，的平分线与轴相交于点，则点的坐标为 ．    【题型5 矩形与折叠综合应用】 19．（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）如图，在矩形中，，点分别在边 上，将矩形沿折叠，得到四边形，且点恰好为边的中点，则的长为（   ） A． B． C． D． 20．（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）如图，在长方形纸片中，，，为边上一点，将长方形纸片沿折叠，的对应边恰好经过点，则的长为 ． 21．（24-25九年级上·广东清远·期末）如图，矩形中，点E在边上，将矩形沿直线折叠，点A恰好落在边的点F处．若，，则的长是 ． 22．（23-24八年级下·四川泸州·期中）如图，在矩形中，．将矩形沿折叠后，使点D恰好落在对角线上的点F处．    (1)求的长； (2)求梯形的面积． 23．（24-25八年级上·广东深圳·期末）在研究一类图形的折叠问题时，乐思数学小组发现，可以通过构造直角三角形，利用勾股定理来解决． (1)如图1，在矩形中，，点E是边上一点，将沿折叠，使点D落在边上的处，求的长； 乐思数学小组的解题思路如下：（请补充填写题中空缺部分） 解：由折叠可知：， ∴． ∵， ∴ ， ∴ ． 在中，设，则． 由勾股定理可得：，即（ ） ， 解得 ． (2)如图2，在矩形中，，点E是边上一动点，将沿折叠，点D落在点处，当为直角三角形时，求的长； (3)如图3，在矩形中，，点E是直线上一动点，将沿折叠，当点D的对应点恰好落到边的中垂线上时，请直接写出的长． 【题型6 直角三角形斜边上的中线问题】 24．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，小逸同学利用刻度直尺（单位：）测量三角形纸片的尺寸，点，分别对应刻度尺上的刻度2和8，为的中点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 25．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，点D、E分别是边的中点，点F是线段上的一点且，连接，若，则线段的长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【题型7 添加条件对矩形的判定】 26．（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）如图，过四边形的四个顶点分别作对角线、的平行线，若所围成的四边形是矩形时，原四边形必须满足的条件是（  ） A． B． C． D． 27．（24-25九年级上·山西运城·期中）在中，和是其对角线．若添加一个条件使四边形是矩形，则这个条件可以是（    ） A．与互相平分 B． C． D． 28．（23-24九年级上·辽宁朝阳·期末）如图，四边形为平行四边形，延长到，使，连接，添加一个条件，不能使四边形成为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【题型8 矩形的判定-证明题】 29．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）已知，如图，在中，是边上的中点，且．求证：是矩形． 30．（2025·河南安阳·模拟预测）如图，在平行四边形中，，为上两点，连接，，且，． (1)求证：． (2)判定四边形的形状，并说明理由． 31．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，在中，于点E，于点F，求证：四边形是矩形． 32．（23-24八年级下·广东中山·期中）如图，在中，，是的中点，过点作，使，连接，求证四边形是矩形． 33．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，点为边上一点，以，为邻边作，连接，． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是矩形． 【题型9 矩形的性质与判定综合】 34．（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）如图，在四边形中，，对角线与交于点O，于点E，交于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求线段的长． 35．（24-25九年级上·河南焦作·期中）如图，中，，平分，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)作于F，若，，求的长． 36．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，平行四边形中，P是边上的一点（不与点A，B重合），，过点P作，交于点Q，连接． (1)若平分，求证：四边形是矩形； (2)在（1）的条件下，当，时，求的长． 37．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）在平行四边形中，对角线，相交于点，，点是的中点，连接，过点C作，交的延长线于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 38．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）如图，在平行四边形中，于点E，延长至点F，使得，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的长． 39．（21-22九年级下·山东青岛·自主招生）如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接 ，若，，，求的长． 【题型10 求矩形中最大值问题-梯子模型】 40.（24-25九年级上·安徽淮南·期末）如图，在中，，，，平面上有一点，，连接，，取的中点．连接，在绕点的旋转过程中，则的最大值是（   ） A．7 B．7.5 C． D．14 41．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，，分别是射线和上的两个动点，是中点，长始终为，延长至，使，作交于点，连接，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 42．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，是平面上一动点，连接，，是的中点，连接，当，的最大值为（   ） A． B． C． D． 【题型11 求矩形中最小值问题】 43．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，是矩形的对角线上一点，，，于点，于点，连接，，则的最小值为为（   ） A． B．4 C． D．8 44．（22-23九年级下·四川内江·阶段练习）如图，边长为2的正，两顶点A、B 分别在直角的两边上滑动，点C在的内部，则的长的最大值为 ； 45．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在中，，点D是边上一动点，过点D作，交于点E，则线段长度的最小值为 ． 46．（24-25八年级上·广东潮州·期末）如图，对折长方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平后再次折叠，使点A落在上的点处，得到折痕，与相交于点N．若直线交直线于点O，，，点Q是折痕上的一个动点，则的最小值为 ． 47．（24-25九年级上·江苏连云港·期末）如图，矩形中，，，点E、F分别为、边上的动点，且，M为的中点，直线分别交边、于点G、H，连接、，则的最小值为 ． 48．（24-25九年级上·海南·阶段练习）如图，在矩形中，，，为线段上一动点，于点，于点，则的最小值为 ． 【题型12 矩形中动点问题-分类讨论】 49．（24-25九年级上·四川德阳·阶段练习）如图A、B、C、D为矩形的四个顶点，，，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动，设点P的运动时间为t秒． (1)________，________（用含t的代数式表示）； (2)t为多少时，四边形的面积为； (3)t为多少时，点P和点Q的距离为． 50．（24-25九年级下·湖北武汉·开学考试）如图，在四边形中，，，，，．点P从点A出发，以秒的速度向点B运动；点Q从点C出发，以秒的速度向点D运动．规定其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设Q点运动的时间为t秒． (1)若P，Q两点同时出发． ①时，用t分别表示出和的长： ， ； ②若运动过程中，当时，求t的值； (2)若P点先运动2秒后停止运动．此时Q点从C点出发，到达D点后运动立即停止，则t为 时（直接写出结果）为直角三角形． 51．（23-24八年级下·云南曲靖·期中）如图，在中，，，连接，恰有，过点D作于点E．动点P从点D出发沿以的速度向终点A运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P运动的时间为． (1)分别求和的长度； (2)连接，当时，判断与是否垂直，并说明理由； (3)试判断是否存在t的值，使得以P，Q，C，D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； 52．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图1，在平面直角坐标系中，是坐标原点，矩形的顶点，分别在轴和轴上，已知点的坐标为，点从点出发，以每秒1个单位的速度向点运动，同时，点从点出发，以每秒1个单位的速度向点运动，当，分别到达终点，时，停止运动，设运动时间为秒． (1)求△的面积，直接用表示为　　． (2)如图2，把矩形沿着折叠，点恰好落在点处，此时点的对应点为，求此时到直线的距离； (3)若△是以为腰的等腰三角形，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06矩形的重难点题型归纳（十二大题型） 重难点题型归纳 【题型1 利用矩形的性质求角度】 【题型2 利用矩形的性质求线段长度】 【题型3 利用矩形的性质求面积】 【题型4 求矩形在平面直角坐标系中的坐标】 【题型5 矩形与折叠综合应用】 【题型6 直角三角形斜边上的中线问题】 【题型7 添加条件对矩形的判定】 【题型8 矩形的判定-证明题】 【题型9 矩形的性质与判定综合】 【题型10 求矩形中最大值问题-梯子模型】 【题型11 求矩形中最小值问题】 【题型12 矩形中动点问题-分类讨论】 【题型1 利用矩形的性质求角度】 1．（24-25九年级上·辽宁辽阳·期末）如图，延长矩形的边至点E，使，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟记矩形的性质并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直； ④对角线：矩形的对角线相等． 连接，由矩形性质可得、，知，而，可得度数． 【详解】解：连接，交于点， 四边形是矩形， ，，，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ，即． 故选：A． 2．（24-25九年级上·甘肃定西·期末）如图，将长方形绕其顶点B顺时针转到如图所示的位置，则旋转角可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，长方形性质，平行线性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识．记，，旋转后的对应点为，，，交于点．利用旋转的性质，长方形性质，平行线性质得到，即可解题． 【详解】解：记，，旋转后的对应点为，，，交于点． 由旋转的性质可知四边形为长方形， ， ， ， ， 旋转角可以为， 故选：A． 3．（24-25九年级上·河南焦作·期中）如图，矩形的对角线，交与点O，于E，点F为中点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质，，利用等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：∵ 矩形的对角线，交与点O， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，点F为中点， ∴，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 4．（24-25九年级上·重庆奉节·期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点O．若，则的度数为 ． 【答案】/55度 【分析】本题考查了矩形性质、三角形外角性质、等腰三角形的性质等知识点．根据矩形性质可得，推出，根据三角形外角性质求出，然后代入相关数据即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 5．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，四边形是矩形，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N；作直线分别交于点E，F，连接，若，则 ． 【答案】/34度 【分析】本题主要考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、矩形的性质、等角对等边等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质、矩形的性质是解答本题的关键． 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，可得，则．结合矩形的性质可得，再根据即可解答． 【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型2 利用矩形的性质求线段长度】 6．（24-25九年级下·广西南宁·开学考试）如图，矩形的对角线交于点O，若，，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质，含30度角的直角三角形，根据含30度的直角三角形的性质，得到，根据矩形的对角线相等，得到即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选D． 7．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在矩形中，已知于，，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是矩形的性质、含的直角三角形特征、勾股定理，解题关键是熟练掌握含的直角三角形特征． 结合矩形性质得到和，再由含的直角三角形特征得到、的长，最后由勾股定理即可得解． 【详解】解：矩形中，，， ，， ， ， ， ，， 中，． 故选：． 8．（2025·江苏无锡·一模）如图，矩形中，，，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，当点，，三点共线时，交于点，则的长度是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 连接，由旋转可知：，，得出，证，得出，再根据勾股定理列出方程，即可解答． 【详解】解：连接，    ∵，，， ， 由旋转可知：，， ，，三点共线， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 9．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在矩形中，，对角线、相交于点，过点的直线交的延长线于点，交边于点，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，根据面积求线段的长度等知识，设直线交于点，由矩形的性质得，而，则，可证明，得，则，由，求得，于是得到问题的答案，证明是解题的关键． 【详解】解：设直线交于点，如图： ∵四边形是矩形，，对角线交于点， ， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·江西吉安·期末）如图所示是一张矩形纸片，已知为边上的一点，，点在矩形的一边上．要使是等腰三角形，则的底边长为 ． 【答案】或或5 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、勾股定理、分类思想，解题的关键是灵活运用等腰三角形的性质并分三种情况进行解答．分情况讨论：①当时，则是等腰直角三角形，得出底边 即可；②当时，求出，由勾股定理求出，再由勾股定理求出等边即可；③当时，底边；即可得出结论． 【详解】解：如图所示： ①当时， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴底边 ； ②当时， ∵，， ∴ ， ∴底边 ； ③当时，底边； 综上所述：等腰三角形的对边长为或或； 故答案为：或或 【点睛】 11．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，把两个全等的矩形和矩形拼成如图所示的图案，已知，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理定理，全等三角形的判定和性质，掌握矩形的性质，勾股定理是解题的关键． 根据矩形的性质，勾股定理得到，再证明，得到是等腰直角三角形，由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵把两个全等的矩形和矩形拼成如图所示的图案， ∴，，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，则， 故答案为： ． 【题型3 利用矩形的性质求面积】 12．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，矩形的对角线与相交于点O，，已知，则该矩形的面积是（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，含的直角三角形，等边三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用． 根据矩形的性质可知，，，三角形为等边三角形，进而可求，含的直角三角形中，，再通过矩形面积公式计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积为：， 故选：C． 13．（24-25九年级上·贵州·期末）一个矩形被分成不同的4个三角形，其中绿色三角形的面积占矩形面积的，黄色的三角形的面积是21，则该矩形的面积为（）    A．60 B．70 C．120 D．140 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质以及面积的计算；关键是根据图得出黄色和绿色部分共占总面积的，再找出黄色面积占总面积的百分之几，进而根据除法的意义求解．黄色三角形与绿色三角形面积之和是矩形面积的，而绿色三角形面积占矩形面积的，所以黄色三角形面积占矩形面积的，已知黄色三角形面积是21，用除法即可得出矩形的面积． 【详解】解：黄色三角形与绿色三角形面积之和是矩形面积的， 矩形的面积， ， ， 故选：A． 【题型4 求矩形在平面直角坐标系中的坐标】 14．（24-25九年级上·山东·阶段练习）如图，矩形的边分别落在直角坐标系轴和轴上，且，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标平面内的点的坐标的特征、矩形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握平面直角坐标系各个象限的点的坐标特征是解答本题的关键． 先由勾股定理得到，结合矩形的性质及点所在象限即可解答． 【详解】解：矩形的边，分别落在直角坐标系y轴和x轴上， ， 轴，轴， ，， ， ， 故选：D． 15．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，矩形中，顶点，，，将矩形绕点O逆时针旋转，每秒旋转，则第100秒旋转结束时，点D的坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，坐标与图形变化-旋转及点的坐标变化规律，能由所给旋转方式得出第100秒旋转结束时点D的位置，与第4秒旋转结束时点D的位置相同是解题的关键． 根据所给旋转方式可知每旋转八秒，点D的坐标重复出现，再根据四边形是矩形，求出点D坐标可解决问题． 【详解】解：∵， ∴每旋转八次一个循环． ∵余4， ∴第100秒旋转结束时点D的位置，与第4秒旋转结束时点D的位置相同． 连接和， ∵四边形是矩形， ∴和互相平分， ∴，， ∴，， ∴点D的坐标为． 又∵， ∴第4秒旋转结束时的点D与点关于坐标原点对称， ∴此时点D的坐标为． 即第100秒旋转结束时，点D的坐标为． 故选：B． 16．（23-24八年级下·云南昆明·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别为，点是的中点，点在上运动，当时，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了坐标与图形的性质,矩形的性质，等腰三角形的性质，由点是的中点，可得出点的坐标，当，由等腰三角形的性质即可得出点的坐标 【详解】解：过点作于点， 矩形的顶点的坐标分别为，点是的中点， 点 ，， ， 即点 点， 故选：A 17．（22-23八年级下·四川达州·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点，．将矩形绕点O顺时针方向旋转，使点A恰好落在上的点处，则点B的对应点的坐标为（    ）．    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，作于H，证明，得到，，得到答案． 【详解】解：连接，作于H，    由题意，得，， 则， ∴， ∴， 由旋转的性质可知， ∴， 在和中 ∴， ∴，， ∴点的坐标为，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题考查的是矩形的性质、旋转变换的性质，掌握矩形的性质、全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 18．（22-23八年级下·安徽黄山·期末）如图，四边形是矩形，其中点和点分别在轴和轴上，连接，点的坐标为，的平分线与轴相交于点，则点的坐标为 ．    【答案】 【分析】利用勾股定理求出，作于点E，如图，根据角平分线的性质可得，证明，推出，得到，设，利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，点的坐标为， ∴， ∴， 作于点E，如图， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在直角三角形中，根据勾股定理可得：， 即，解得， ∴点的坐标为； 故答案为：．    【点睛】本题考查了矩形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关图形的性质定理、构建方程是解题的关键． 【题型5 矩形与折叠综合应用】 19．（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）如图，在矩形中，，点分别在边 上，将矩形沿折叠，得到四边形，且点恰好为边的中点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查折叠的性质及勾股定理，熟练掌握相关性质及定理是解题关键． 设，则，进而得出，进而在中，，根据勾股定理建立方程解方程，得出，进而根据折叠的性质以及平行线的性质得出则，进而即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 依题意，， 设，则， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴， ∵折叠， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴， ∴ 故选：C． 20．（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）如图，在长方形纸片中，，，为边上一点，将长方形纸片沿折叠，的对应边恰好经过点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键. 根据折叠的性质得到，，，，，根据勾股定理求出，得到，根据勾股定理计算即可得到答案. 【详解】解：在长方形纸片中， ，， 长方形纸片沿折叠，的对应边恰好经过点， ，，，，， ， ， ，， ， ， 故答案为：. 21．（24-25九年级上·广东清远·期末）如图，矩形中，点E在边上，将矩形沿直线折叠，点A恰好落在边的点F处．若，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形与折叠，勾股定理．利用数形结合的思想是解题关键．由折叠的性质可知，，再根据矩形的性质得出，，，设，则，根据勾股定理得出，求出结果即可． 【详解】解：由折叠的性质可知，， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴根据勾股定理得：， 设，则， 根据勾股定理得：， ∴， 解得：． 故答案为：． 22．（23-24八年级下·四川泸州·期中）如图，在矩形中，．将矩形沿折叠后，使点D恰好落在对角线上的点F处．    (1)求的长； (2)求梯形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了矩形的折叠问题、勾股定理、梯形面积等知识． （1）根据折叠的性质，折叠前后边相等，即 得： 在中，根据勾股定理，可将的长求出，知的长，可求出的长，在中，根据，可将的长求出； （2）根据S梯形=，将各边的长代入进行求解即可． 【详解】（1）解：设， ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠可知，. ∵在中，   ∴. 在中，有， 即 解得， ∴. （2）由(1)知：， 梯形的面积. 23．（24-25八年级上·广东深圳·期末）在研究一类图形的折叠问题时，乐思数学小组发现，可以通过构造直角三角形，利用勾股定理来解决． (1)如图1，在矩形中，，点E是边上一点，将沿折叠，使点D落在边上的处，求的长； 乐思数学小组的解题思路如下：（请补充填写题中空缺部分） 解：由折叠可知：， ∴． ∵， ∴ ， ∴ ． 在中，设，则． 由勾股定理可得：，即（ ） ， 解得 ． (2)如图2，在矩形中，，点E是边上一动点，将沿折叠，点D落在点处，当为直角三角形时，求的长； (3)如图3，在矩形中，，点E是直线上一动点，将沿折叠，当点D的对应点恰好落到边的中垂线上时，请直接写出的长． 【答案】(1)，，2， (2)或7 (3)2或 【分析】（1）根据推理过程利用勾股定理填空即可； （2）当为直角三角形时，分当点落在矩形内部，时，当点落在边上，时，两种情况讨论即可； （3）过点作于N，交于点M，设，则，分点在线段上；点在延长线上；两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：由折叠可知：， ∴． ∵， ∴， ∴． 在中，设，则． 由勾股定理可得：，即， 解得； （2）解：当为直角三角形时，有两种情况： 当点落在矩形内部，时，如图， ∵在矩形中，， ∴，， 由折叠的性质得：，，， ∴， ∴点三点共线， ∵， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理可得：，即， 解得，即； 当点落在边上，时，如图， 此时，， ∵在矩形中，， ∴四边形是矩形， 由折叠的性质得：， ∴四边形是正方形， ∴， ∴； 综上，当为直角三角形时，的长为或； （3）解：过点作于N，交于点M， 设，则， 当点在线段上时，如图， ∵是边的中垂线， ∴，， 由勾股定理可知：， ∴， ∵， ∴， 解得：，则， ∴； 当点在延长线上时，如图， 同理，， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴； 综上知：的长为或． 【点睛】本题考查了翻转变换、轴对称的性质、矩形的性质以及勾股定理，本题属于中档题，难度不大，但在做题过程中容易丢失一种情况，解决该题型题目时，结合勾股定理列出方程是关键． 【题型6 直角三角形斜边上的中线问题】 24．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，小逸同学利用刻度直尺（单位：）测量三角形纸片的尺寸，点，分别对应刻度尺上的刻度2和8，为的中点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，据此作答即可． 【详解】解：根据题意得：， ∵D为的中点，， ∴， 故选：A． 25．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，点D、E分别是边的中点，点F是线段上的一点且，连接，若，则线段的长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中位线定理的应用，利用三角形中位线定理得到．由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到．所以由图中线段间的和差关系来求线段的长度即可．解题的关键是了解三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，题目比较好，难度适中． 【详解】解：点、分别是边、的中点， 是的中位线， ， ，是的中点，， ， ． ， 故选：B． 【题型7 添加条件对矩形的判定】 26．（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）如图，过四边形的四个顶点分别作对角线、的平行线，若所围成的四边形是矩形时，原四边形必须满足的条件是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的判定，平行四边形的判定，平行公理及推论等知识点，能证出四边形为平行四边形和是解此题的关键， 由平行公理的推论求出，，推出平行四边形，证出即可得解． 【详解】解：添加的条件是， ∵，， ∴， 同理， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 平行四边形是矩形， 故选：． 27．（24-25九年级上·山西运城·期中）在中，和是其对角线．若添加一个条件使四边形是矩形，则这个条件可以是（    ） A．与互相平分 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩行的判定，掌握矩形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A.与互相平分，不能得到四边形是矩形； B.，能得到四边形是矩形； C.，四边形是菱形而不是矩形； D.，不能得到四边形是矩形； 故选：B． 28．（23-24九年级上·辽宁朝阳·期末）如图，四边形为平行四边形，延长到，使，连接，添加一个条件，不能使四边形成为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形、菱形、矩形的判定和性质，掌握其判定方法和性质是解题的关键． 根据四边形是平行四边形，结合题意可证四边形是平行四边形，根据菱形的判定，矩形的判定方法证明即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵延长到，使， ∴， ∴四边形是平行四边形， 当添加时，则有，设交于点，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形，故A选项不能使四边形成为矩形，符合题意； 当添加时，则， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形，故B选项能使四边形成为矩形，不符合题意； 当添加时，则有， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形，故C选项能使四边形成为矩形，不符合题意； 当添加时， ∵， ∴点是中点， ∴，则， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形，故D选项能使四边形成为矩形，不符合题意； 故选：A ． 【题型8 矩形的判定-证明题】 29．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）已知，如图，在中，是边上的中点，且．求证：是矩形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了矩形的判定，即利用 “有一个角是直角的平行四边形是矩形”是解答本题的关键，根据平行四边形的两组对边分别相等可知得到，又由可得，证得，即可证明是矩形． 【详解】解：证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵点是的中点， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）． 30．（2025·河南安阳·模拟预测）如图，在平行四边形中，，为上两点，连接，，且，． (1)求证：． (2)判定四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)矩形；理由见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和矩形的判定等知识点．全等三角形的判定是本题的重点． （1）根据题中的已知条件我们不难得出：，，又因为，那么两边都加上后，，因此就构成了全等三角形的判定中边边边的条件． （2）由于四边形是平行四边形，只要证明其中一角为直角即可． 【详解】（1）证明：，，， ． 四边形是平行四边形， ． 在和中， ． （2）解：四边形为矩形． 理由如下： ， ． 四边形是平行四边形， ． ． ， 四边形是矩形． 31．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，在中，于点E，于点F，求证：四边形是矩形． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了矩形的判定和平行四边形的性质，解答本题的关键是熟练掌握三个角是直角的四边形是矩形． 根据题意得出，再根据平行四边形的性质证出，即可证明． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 32．（23-24八年级下·广东中山·期中）如图，在中，，是的中点，过点作，使，连接，求证四边形是矩形． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定、等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由题意得出四边形是平行四边形，结合等腰三角形的性质得出，即可得证． 【详解】证明：，， 四边形是平行四边形， ，是的中点， ， ， 四边形是矩形． 33．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，点为边上一点，以，为邻边作，连接，． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题综合考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定、等腰三角形的性质以及矩形的判定，熟练掌握全等三角形的判定以及矩形的判定是解题的关键． （1）根据得出，再结合平行四边形的性质即可证明； （2）先推得，，再证得四边形是平行四边形，即可求证． 【详解】（1）证明：， 又四边形是平行四边形， ，， ，， ， ． （2）解：若， 又， ，， ， 又四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形． 【题型9 矩形的性质与判定综合】 34．（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）如图，在四边形中，，对角线与交于点O，于点E，交于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、二次根式的应用等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键． （1）先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出四边形是平行四边形，然后根据矩形的判定即可得证； （2）先利用勾股定理可得，利用三角形的面积公式可得，再根据矩形的性质可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴和都是直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）已证：四边形是矩形， ∴， ∴在中，． 35．（24-25九年级上·河南焦作·期中）如图，中，，平分，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)作于F，若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了矩形的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理， （1），根据等腰三角形的性质得，再根据平行线的性质得，然后根据，可得，即可得出结论； （2），根据等腰三角形的性质求出，再根据勾股定理得，然后根据矩形的性质得，，最后根据三角形的面积相等得出答案. 【详解】（1）证明：∵，平分， ∴， ∴. ∵， ∴． ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵，平分， ∴. ∵， ∴. ∵四边形是矩形， ∴，. ∵， ∴． 36．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，平行四边形中，P是边上的一点（不与点A，B重合），，过点P作，交于点Q，连接． (1)若平分，求证：四边形是矩形； (2)在（1）的条件下，当，时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理： （1）证明，进而得到，即可得证； （2）设，根据矩形的性质，得到，进而得到，在中，利用勾股定理求出的值即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形为矩形； （2）由（1）知平行四边形为矩形， ∴， 设，则：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴． 37．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）在平行四边形中，对角线，相交于点，，点是的中点，连接，过点C作，交的延长线于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证是的中位线，得，再证明，则四边形是平行四边形，由，即可得出结论； （2）根据勾股定理得出，进而利用矩形的面积公式解答即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，   ， 点是的中点， 是的中位线， ，即， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∵，四边形是矩形； （2）解：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形的面积． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 38．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）如图，在平行四边形中，于点E，延长至点F，使得，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理和勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，再由，得， 则四边形是平行四边形，再证即可得出结论； （2）由勾股定理的逆定理证是直角三角形，，再由面积法求出，然后由矩形的性质得，最后由勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ， ∴是直角三角形，， ∴的面积， ， 由（1）得：，四边形是矩形， ． 39．（21-22九年级下·山东青岛·自主招生）如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接 ，若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）由在平行四边形性质得到且，由平行线的性质得到，根据三角形的判定可证得，由全等三角形的性质得到，，可得，根据矩形的判定即可得到结论；（2）由矩形的性质得到，进而求得，，由可求得，由勾股定理可求得∴，，由平行四边形性质得，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得到结论； 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴且， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：由（1）知：四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； 【点睛】本题主要考查了三角形全等的性质及判定，平行四边形的性质、矩形的判定与性质，熟练掌握相关几何证明方法是解决本题的关键． 【题型10 求矩形中最大值问题-梯子模型】 40.（24-25九年级上·安徽淮南·期末）如图，在中，，，，平面上有一点，，连接，，取的中点．连接，在绕点的旋转过程中，则的最大值是（   ） A．7 B．7.5 C． D．14 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，三角形中位线的性质，三角形三边的不等关系，勾股定理等知识，掌握这些知识是解题的关键；取的中点E，连接，则，，当三点共线时，最大，即可求得最大值． 【详解】解：如图，取的中点E，连接， ∵，，， ∴，， ∴； ∵， ∴当三点共线时，最大，最大值为； ∵， ∴的最大值为7； 故选：A． 41．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，，分别是射线和上的两个动点，是中点，长始终为，延长至，使，作交于点，连接，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过N作，且使，连接，取的中点S，连接，，．先证明，由全等三角形的性质得出，，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得出，，再证明为等腰直角三角形，有勾股定理得出，由三角形中位线判定和性质可得出，最后利用三角形三边关系即可得出答案． 【详解】解：过N作，且使，连接，取的中点S，连接，，． ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ 即， 在和中， ∴， ∴，，， ∵，是中点，， ∴， 又∵，S是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵是中点，S是的中点， ∴， 在中， ， ∴的最大值为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了综合性的三角形问题，等角对等边，等腰直角三角形的判定以及性质， 全等三角形的判定以及性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，三角形中位线的判定以及性质，三角形三边关系的应用，勾股定理等知识，综合性较强，难度较大，正确作出辅助线是解题的关键． 42．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，是平面上一动点，连接，，是的中点，连接，当，的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理、三角形的中位线的性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识，添加辅助线，利用三角形的中位线性质求解是解答的关键．取的中点F，连接，，利用三角形的中位线性质得到，再利用勾股定理和直角三角形的中线性质求得，然后利用三角形三边关系得到，当B、F、E共线时取等号，进而得到答案． 【详解】解：取的中点F，连接，，如图， ∵是的中点，点F是的中点， ∴是的中位线，又， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵，当B、F、E共线时取等号， ∴的最大值为， 故选：D． 【题型11 求矩形中最小值问题】 43．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，是矩形的对角线上一点，，，于点，于点，连接，，则的最小值为为（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，连接，根据矩形的性质得到，的最小值即为的最小值，当，，三点共线时，的值最小，且为的长度，根据勾股定理得到，于是得到结论．熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：连接， 四边形是矩形， ，     的最小值即为的最小值， 当，，三点共线时，的值最小，且为的长度， 四边形是矩形， ， 的最小值为， 故选：C． 44．（22-23九年级下·四川内江·阶段练习）如图，边长为2的正，两顶点A、B 分别在直角的两边上滑动，点C在的内部，则的长的最大值为 ； 【答案】/ 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形的三边关系，根据题意作出辅助线判定出当、、三点共线时，最长是解题的关键．取的中点，连接，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长度，再根据等边三角形的性质求出的长，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得，判定当、、三点共线时，最长，然后求解即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接，， ，点为的中点， ， 等边三角形的边长为2，为中线， ， ， 在中，， 当、、三点共线时，最长，最大值为， 的最大值为：， 故答案为： 45．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在中，，点D是边上一动点，过点D作，交于点E，则线段长度的最小值为 ． 【答案】4 【分析】要想求出长度的最小值，把转化成，只需要求出的最小值即可，根据垂线段最短，当时最小，再根据含的直角三角形的性质即可解决此题． 【详解】取的中点F，连接，过点F作于点． 则． 当时最小，最小，此时点D与G重合． ∵ ． 设 在中 ∴ ∴， ∴ ， ∴线段长度的最小值为4． 【点睛】本题主要考查了含的直角三角形的性质，垂线段最短，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，解决此题的关键是要想到把转化成． 46．（24-25八年级上·广东潮州·期末）如图，对折长方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平后再次折叠，使点A落在上的点处，得到折痕，与相交于点N．若直线交直线于点O，，，点Q是折痕上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，由折叠的性质及题意易得，则有是等边三角形，进而可得；设，，然后利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得可得，则求得，，进而求得，根据对称性得到，当、Q、E共线时取等号，进而可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵对折矩形纸片，使与重合，得到折痕， ∴，，， ∵把纸片展平后再次折叠，使点A落在上的点处，得到折痕， ∴，，， ∴，即是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴设，， 则在中，， ∴， ∴， ∵在中，，又 ∴， 解得， ∴，， ∴， ∵点Q是折痕上的一个动点，点A与点关于对称， ∴连接，则， ∴，当、Q、E共线时取等号，此时点Q在N处， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理及二次根式的运算、含30度角的直角三角形的性质、最短路径问题，熟练掌握折叠的性质、等边三角形的判定与性质、利用轴对称性质求最短路径是解题的关键． 47．（24-25九年级上·江苏连云港·期末）如图，矩形中，，，点E、F分别为、边上的动点，且，M为的中点，直线分别交边、于点G、H，连接、，则的最小值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题．先推导出点是以为圆心，以为半径的圆弧上的点，得到当共线时，的值最小，利用勾股定理计算，从而得出的最小值． 【详解】解：连接， ∵矩形，直线， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，M为的中点， ∴， ∴点是以为圆心，以为半径的圆弧上的点， 作关于的对称点，连接，， ∵， ∴当共线时，的值最小， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为9， 故答案为：9． 48．（24-25九年级上·海南·阶段练习）如图，在矩形中，，，为线段上一动点，于点，于点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．过点C作于点E，连接，证四边形是矩形，得，再由勾股定理得，由面积求得，当M运动到E位置时，，取得最小值，得的最小值为． 【详解】解：如图，连接，过点C作于点E， ∵于点P，于点Q， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴当M运动到E位置时，，最小， ∴的最小值为， 故答案为：． 【题型12 矩形中动点问题-分类讨论】 49．（24-25九年级上·四川德阳·阶段练习）如图A、B、C、D为矩形的四个顶点，，，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动，设点P的运动时间为t秒． (1)________，________（用含t的代数式表示）； (2)t为多少时，四边形的面积为； (3)t为多少时，点P和点Q的距离为． 【答案】(1)，； (2)t为秒时，四边形的面积为； (3)t为或秒时，点P和点Q的距离为． 【分析】（1）由题意得：，，再根据，即可列式； （2）证明四边形是直角梯形，再根据梯形面积公式列方程求解即可； （3）过点作于点，则四边形是矩形，得到，，分两种情况求解：当点在点上方时；当点在点下方时，利用勾股定理分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， 四边形是矩形，， ， ，， 故答案为：，； （2）解：四边形是矩形，， ，，， 四边形是直角梯形， 四边形的面积， 四边形的面积为， ， 解得：， 答：t为秒时，四边形的面积为； （3）解：如图，过点作于点， 则四边形是矩形， ，， 点P和点Q的距离为， ， 当点在点上方时，， 由勾股定理得：， ， ； 当点在点下方时，， 由勾股定理得：， ， ， 综上可知，t为或秒时，点P和点Q的距离为． 【点睛】本题考查了列代数式，矩形的判定和性质，梯形的判定和性质，勾股定理，一元一次方程的应用等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． 50．（24-25九年级下·湖北武汉·开学考试）如图，在四边形中，，，，，．点P从点A出发，以秒的速度向点B运动；点Q从点C出发，以秒的速度向点D运动．规定其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设Q点运动的时间为t秒． (1)若P，Q两点同时出发． ①时，用t分别表示出和的长： ， ； ②若运动过程中，当时，求t的值； (2)若P点先运动2秒后停止运动．此时Q点从C点出发，到达D点后运动立即停止，则t为 时（直接写出结果）为直角三角形． 【答案】(1)①，；②4 (2)或 【分析】（1）①由题意可得出答案；②由平行四边形的性质得出，则可得出答案； （2）当时，，不可能为直角；分两种情况，当为直角时，当为直角时，由直角三角形的性质及勾股定理可得出答案． 【详解】（1）解：①当时，点P在上运动，点Q在上运动， 由题意得，，， 故答案为：，； ②当时， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； （2）解：当时，， 由题意知不可能为直角， 当为直角时，四边形是矩形， ∴，如图1， 则， ∴； 当为直角时，如图，过点P作于点M， 则四边形是矩形， ∴，， ∴， 设， ∵，， ∴， 解得：， ∴， ∴， 综上，或时，为直角三角形， 故答案为：或． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了直角三角形的定义，勾股定理，平行四边形的判定和性质，矩形的性质和判定等知识，构造出直角三角形是解本题的关键． 51．（23-24八年级下·云南曲靖·期中）如图，在中，，，连接，恰有，过点D作于点E．动点P从点D出发沿以的速度向终点A运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P运动的时间为． (1)分别求和的长度； (2)连接，当时，判断与是否垂直，并说明理由； (3)试判断是否存在t的值，使得以P，Q，C，D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2)，详见解析 (3)存在，t的值为和4，详见解析 【分析】（1）由平行四边形的性质求出，根据含的直角三角形的性质可得，，根据平行四边形的性质可得，则，即可得，，即可求解； （2）先证四边形是平行四边形，再证四边形是矩形，即可得出结论； （3）分两种情况讨论，由平行四边形的性质可得，列出方程可求解． 【详解】（1）∵四边形是平行四边形，，，， ∴，， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴； （2），理由如下： 如图， ∵动点P从点D出发沿以的速度向终点A运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿射线运动， ∴当时，，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴； （3）存在， 当为边时，如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； 当为对角线时，如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 综上所述：t的值为或4； 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，矩形的判定和性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 52．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图1，在平面直角坐标系中，是坐标原点，矩形的顶点，分别在轴和轴上，已知点的坐标为，点从点出发，以每秒1个单位的速度向点运动，同时，点从点出发，以每秒1个单位的速度向点运动，当，分别到达终点，时，停止运动，设运动时间为秒． (1)求△的面积，直接用表示为　　． (2)如图2，把矩形沿着折叠，点恰好落在点处，此时点的对应点为，求此时到直线的距离； (3)若△是以为腰的等腰三角形，求的值． 【答案】(1) (2)6 (3)或 【分析】（1）作于点，由矩形的性质及得，，，，则，而，则，于是得到问题的答案； （2）作于点，由折叠得，，，因为，且，所以，求得，则，由，求得，则此时到直线的距离为6； （3）分两种情况讨论，①，作于点，则，且，由，且，得，求得；②，由，得，求得． 【详解】（1）解：如图1，作于点， 四边形是矩形，且顶点，分别在轴和轴上，， ，，，， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如图2，作于点， 由折叠得，，， ，且， ， 解得， ， ， ， 解得， 此时到直线的距离为6； （3）解：①如图3，当时，作于点，则， ∴，且，， ∴四边形是矩形， ， ，且， ， 解得； ②当时， ，且，，， ， 解得， 综上所述，的值为或． 【点睛】此题重点考查图形与坐标、矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$