7.2 不等式的基本性质-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（华东师大版2024）

7.2 不等式的基本性质 课程标准 学习目标 ①不等式的基本性质1 ②不等式的基本性质2 1. 掌握不等式的基本性质1和2，使不等式成立； 2. 掌握不等式的基本性质成立的依据． 知识点01 不等式的基本性质1 不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变。 用数学式子表示即为：如果a>b，那么a+c>b+c（或a-c>b-c），其中c为任意实数或式子。 知识点02 不等式的基本性质2 不等式的基本性质2是：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 具体来说，如果a>b，c<0，那么ac<bc；如果a<b，c<0，那么ac>bc。 题型01 不等式的基本性质1 【典例1】若，则、的大小关系是（　　） A． B． C． D．以上都不对 【变式1】若，下列运用不等式基本性质变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如果，那么 ． 【变式3】若，则 ．（填“>”或“<”） 【变式4】请解决以下两个问题： (1)利用不等式的性质1比较与的大小； (2)利用不等式的性质2比较与的大小． 题型02 不等式的基本性质2 【典例1】若，下列不等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】根据不等式的性质，下列变形中正确的是（   ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【变式2】已知，则 ．（填“”、“”或“”） 【变式3】若，则 （1） ； （2） ． 【变式4】阅读下列文字，并解决问题： 不等式的性质与等式的性质有类似之处，也有不同之处：不等式的两边都乘（或除以）同一个数时，要关注所乘（或除以）的数是正数还是负数．若该数的符号不能确定，则需分类讨论．如，将关于的不等式化成“” 或“”的形式． 解：因为，所以有和两种可能． 当时，不等式的两边都除以正数，不等号的方向不变，得，即； 当时，不等式的两边都除以负数，不等号的方向改变，得，即． 请用类似的方法将关于的不等式化成“”或“”的形式． 题型03 不等式的变形 【典例1】下列变形过程正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【变式1】下列不等式变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2】根据不等式的基本性质，将“mx＜3”变形为“”，则m的取值范围是 ． 【变式3】根据不等式的基本性质，若将“＞2”变形为“b＜2a”，则a的取值范围为 ． 【变式4】下列变形是怎样得到的？   （1）由，得； （2）由，得； （3）由，得． 题型04 不等式变形的依据 【典例1】不等式-2x＜6变形为x＞-3的依据是（　　） A．不等式的性质1 B．不等式的性质2 C．不等式的性质3 D．等式的基本性质2 【变式1】把不等式－3x＞－6变形为x＜2的依据是不等式的(            ) A．基本性质1 B．基本性质2 C．基本性质3 D．以上都不是 【变式2】填空： （1）若，两边都加上，得 （依据： ）． （2）若，两边都除以2，得 （依据： ）． （3）若，两边都乘，得 （依据： ）． 【变式3】指出下列各题中不等式变形的依据： （1）由得 ； （2）由，得 ； （3）由，得 ； （4）由，得 ． 【变式4】下面是小颖同学解一元一次不等式的解答过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母得，第步 去括号得，第步 移项得，第步 合并同类项得，第步 两边都除以，得第步 任务一：填空： （）以上运算步骤中，第步去括号依据的运算律是 　　； （）第步移项的依据是 　　； （）第 　　步开始出现错误，这一步错误的原因是 　　； 任务二：请写出正确的解答过程． 题型05 【典例1】若，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如果，那么下列结论一定正确的是(   ) A． B． C． D． 【变式2】已知，下列结论：①；②；③若，则；④若，则．其中正确的结论是 （填序号）． 【变式3】已知为有理数，下列结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤．其中正确的为 ．（填序号） 【变式4】我们知道不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变.不等式组是否也具有类似的性质呢?请解答下列问题. （1）完成下列填空： 已知 用“”“或“”填空 _______ _______ （2）一般地，如果那么_______（用“”或“”填空）.请你利用不等式的基本性质说明上述不等式的正确性 题型06 【典例1】已知，．若，则与的关系为（    ） A． B． C． D． 【变式1】数，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【变式2】若，则a，，三个数用“<”连接起来为 【变式3】若，，，，，则、、之间的大小关系是 ． 【变式4】【阅读理解】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小．即要比较代数式、的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． (1)【知识运用】请用上述方法比较下列代数式的大小（直接在空格中填写答案）： ①_____； ②当时，______； ③若，则______； (2)【知识运用】试比较与与的大小，并说明理由； (3)【类比运用】图（1）是边长为4的正方形，将正方形一边保持不变，另一组对边增加得到如图（2）所示的新长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加，得到如图（3）所示的新正方形，此正方形的面积为；则与大小的大小关系为：____； (4)已知，，试运用上述方法比较、的大小，并说明理由． 1．若，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．若，则下列不等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 3．若，且，则的值可能是（   ） A． B．0 C．1 D．4 4．若，则b的值可以为 ．（填一个合适的数即可） 5．已知，请写出一个有理数，使，你所写的有理数是 ． 6．易错若，则a，，三个数用“<”连接起来为 ． 7．根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“”或“”的形式： (1) (2) 8．说出下列不等式的变形依据． (1)若，则； (2)若，则； (3)若，则． 9．（1）如果，那么a b；如果，那么a b；如果，那么a b．（填、、） （2）试用（1）提供的方法比较与的大小． 10．（1）解方程：； （2）已知，试比较与的大小． 解：因为，第一步 所以，第二步 所以．第三步 问：①上述解题过程中，从第______步开始出现错误； ②错误的原因_____________________． ③请写出正确的解题过程． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.2 不等式的基本性质 课程标准 学习目标 ①不等式的基本性质1 ②不等式的基本性质2 1. 掌握不等式的基本性质1和2，使不等式成立； 2. 掌握不等式的基本性质成立的依据． 知识点01 不等式的基本性质1 不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变。 用数学式子表示即为：如果a>b，那么a+c>b+c（或a-c>b-c），其中c为任意实数或式子。 知识点02 不等式的基本性质2 不等式的基本性质2是：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 具体来说，如果a>b，c<0，那么ac<bc；如果a<b，c<0，那么ac>bc。 题型01 不等式的基本性质1 【典例1】若，则、的大小关系是（　　） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查的是不等式的性质，根据不等式的两边都减去5，即可得到答案. 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C 【变式1】若，下列运用不等式基本性质变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．根据不等式的基本性质，对选项逐一分析判断即可． 【详解】解：A、不等式两边都减去1，不等号方向不变，故此选项错误，不符合题意； B、不等式两边都乘以，不等号方向应改变，故此选项错误，不符合题意； C、不等式两边都乘以后再加上2，不等号方向应改变，故此选项错误，不符合题意； D、不等式两边都加上3，不等号方向不变，即，又因为，所以，故此选项正确，符合题意． 故选：D． 【变式2】如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质．根据不等式的性质“在不等式两边同时加上同一个数（式子）时，不等号的方向不变”，可得答案． 【详解】解：将不等式的两边都加上3， 根据不等式的性质得：， 故答案为：． 【变式3】若，则 ．（填“>”或“<”） 【答案】 【分析】本题主要考查不等式的性质，根据不等式的两边都乘以一个负数时，不等号的方向改变可得，然后利用不等式两边同时加上或减去同一个数，不等式方向不变即可得出答案． 【详解】解：∵ 故答案为： ． 【变式4】请解决以下两个问题： (1)利用不等式的性质1比较与的大小； (2)利用不等式的性质2比较与的大小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）当时，，即； 当时，，即． （2）因为，所以当时，； 当时，． 题型02 不等式的基本性质2 【典例1】若，下列不等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键． 根据不等式的基本性质“不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”逐项判断即可解题． 【详解】解：A、由两边同时加上8，可得，成立； B、由两边同时乘以3，可得，成立； C、由两边同时除以7，可得，成立； D、由两边同时乘以再加上1，可得，原式不成立； 故选：D． 【变式1】根据不等式的性质，下列变形中正确的是（   ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【分析】本题主要考查了等式的性质，注意等式两边同除以或乘同一个负数，不等号方向发生改变．根据不等式的性质进行判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴，故A错误； B．∵， ∴，故B错误； C．∵，当时，成立，故C错误； D．∵，而， ∴， ∴，故D正确． 故选：D． 【变式2】已知，则 ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质：①不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．②不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．③不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式两边乘以同一个负数，不等号的方向改变进行解答． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【变式3】若，则 （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】（1）根据不等式的基本性质，在不等式两边同时乘以，即可求解， （2）根据不等式的基本性质，在不等式两边同时乘以，在不等式的两边同时加，即可求解， 本题考查了不等式的基本性质，解题的关键是：熟练掌握不等式的基本性质． 【详解】（1）解：∵， ∴，即：， （2）解：∵， ∴，即：， 故答案为：；． 【变式4】阅读下列文字，并解决问题： 不等式的性质与等式的性质有类似之处，也有不同之处：不等式的两边都乘（或除以）同一个数时，要关注所乘（或除以）的数是正数还是负数．若该数的符号不能确定，则需分类讨论．如，将关于的不等式化成“” 或“”的形式． 解：因为，所以有和两种可能． 当时，不等式的两边都除以正数，不等号的方向不变，得，即； 当时，不等式的两边都除以负数，不等号的方向改变，得，即． 请用类似的方法将关于的不等式化成“”或“”的形式． 【答案】当时，；当时， 【分析】根据不等式的性质解答即可．不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：∵， ∴， ①当时，； ②当时，． 【点睛】本题主要考查不等式的性质和等式的性质，需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 题型03 不等式的变形 【典例1】下列变形过程正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的性质，不等式的性质①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A．由，则，故选项A错误，不符合题意； B．由，，则，故选项B错误，不符合题意； C．由，则，故选项C正确，符合题意； D．由，则，故选项D错误，不符合题意． 故选：C． 【变式1】下列不等式变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题考查不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．据此逐项判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴，故此选项符合题意； B．∵， ∴，故此选项不符合题意； C．∵， ∴， ∴，故此选项不符合题意； D．∵， 当时， ∴，故此选项不符合题意． 故选：A． 【变式2】根据不等式的基本性质，将“mx＜3”变形为“”，则m的取值范围是 ． 【答案】m<0 【详解】分析：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，根据将“mx＜3”变形为“x＞”，可得m的取值范围是m＜0，据此解答即可． 详解：∵将“mx＜3”变形为“x＞”，不等式符号发生了改变， ∴m的取值范围是m＜0． 故答案为m＜0． 点睛：此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变． 【变式3】根据不等式的基本性质，若将“＞2”变形为“b＜2a”，则a的取值范围为 ． 【答案】a＜0 【详解】分析： 按不等式的基本性质进行分析解答即可. 详解： ∵当时，， ∴. 故答案为：. 点睛：熟知：“在不等式两边同时乘以一个负数，不等号的方向要改变”是解答本题的关键. 【变式4】下列变形是怎样得到的？   （1）由，得； （2）由，得； （3）由，得． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【分析】（1）两边除以再减去得到结果； （2）两边减去再除以得到结果； （3）两边除以加上再乘以得到结果. 【详解】（1）， 两边除以得：， 两边减去得：； （2）， 两边减去得：， 两边除以得：； （3）， 两边除以得：， 两边加上得：， 两边乘以得：. 【点睛】此题考查不等式的性质：不等式的两边加（或减去）同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. 题型04 不等式变形的依据 【典例1】不等式-2x＜6变形为x＞-3的依据是（　　） A．不等式的性质1 B．不等式的性质2 C．不等式的性质3 D．等式的基本性质2 【答案】C 【分析】根据不等式的性质，可得答案． 【详解】-2x＜6变形为x＞-3的依据是不等式的性质3， 故选C． 【点睛】本题考查了不等式的性质，不等式的两边都除以同一个负数不等号的方向改变． 【变式1】把不等式－3x＞－6变形为x＜2的依据是不等式的(            ) A．基本性质1 B．基本性质2 C．基本性质3 D．以上都不是 【答案】C 【分析】根据不等式的基本性质，结合变形的方法求解即可. 【详解】∵把不等式－3x＞－6的两边都除以-2可变形为x＜2， ∴变形的依据是不等式的基本性质3. 故选C. 【点睛】本题考查了不等式的基本性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 【变式2】填空： （1）若，两边都加上，得 （依据： ）． （2）若，两边都除以2，得 （依据： ）． （3）若，两边都乘，得 （依据： ）． 【答案】 / 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 / 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 【分析】（1）根据不等式的基本性质解答即可； （2）根据不等式的基本性质解答即可； （3）根据不等式的基本性质解答即可． 【详解】解：（1）若，两边都加上，得，依据：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变； （2）若，两边都除以2，得，依据：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； （3）若，两边都乘，得，依据：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变； 故答案为：；不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 【点睛】本题考查不等式的基本性质，性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，解题的关键是掌握并理解以上性质． 【变式3】指出下列各题中不等式变形的依据： （1）由得 ； （2）由，得 ； （3）由，得 ； （4）由，得 ． 【答案】 不等式性质2 不等式性质1 不等式性质3 不等式性质1 【分析】根据不等式的性质：性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；进行求解即可． 【详解】解：（1）由得依据是不等式的性质2； （2）由，得依据是不等式的性质1； （3）由，得依据是不等式的性质3； （4）由，得依据是不等式的性质1． 故答案为：依据是不等式的性质2；依据是不等式的性质1；依据是不等式的性质3；依据是不等式的性质1． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键在于能够熟练掌握不等式的性质． 【变式4】下面是小颖同学解一元一次不等式的解答过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母得，第步 去括号得，第步 移项得，第步 合并同类项得，第步 两边都除以，得第步 任务一：填空： （）以上运算步骤中，第步去括号依据的运算律是 　　； （）第步移项的依据是 　　； （）第 　　步开始出现错误，这一步错误的原因是 　　； 任务二：请写出正确的解答过程． 【答案】任务一：（）乘法分配律；（）不等式的性质；（）；去分母时，每一项都要乘以最小公倍数，第步中没有乘以最小公倍数；任务二：见解析． 【分析】任务一：（）根据乘法分配律即可求解； （）根据不等式的性质即可求解； （）根据去分母时漏乘最小公倍数即可求解； 任务二：按照解一元一次不等式的步骤解答即可求解； 本题考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 【详解】解：任务一： （）第步去括号依据的运算律是乘法分配律， 故答案为：乘法分配律； （）第步移项的依据是不等式的性质， 故答案为：不等式的性质； （）第步开始出现错误，这一步错误的原因是，去分母时，每一项都要乘以最小公倍数，第步中没有乘以最小公倍数， 故答案为：；去分母时，每一项都要乘以最小公倍数，第步中没有乘以最小公倍数； 任务二：去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，． 题型05 【典例1】若，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，不等号方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变．直接利用不等式的性质逐一判断即可． 【详解】解：， A、，即，故原式不一定成立，该选项不合题意； B、，故原式不一定成立，该选项不合题意； C、，即，故原式不一定成立，该选项不合题意； D、，即，则一定成立，该选项符合题意． 故选：D． 【变式1】如果，那么下列结论一定正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查不等式的性质．用不等式的性质对根据已知得到的不等式进行变形，从而找到最后的答案． 【详解】解：A. ∵ ，∴，故该选项正确，符合题意；     B. ∵ ，∴，故该选项不正确，不符合题意； C. ∵ ，∴，故该选项不正确，不符合题意；     D. ∵ ，且，∴，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 【变式2】已知，下列结论：①；②；③若，则；④若，则．其中正确的结论是 （填序号）． 【答案】④ 【解析】略 【变式3】已知为有理数，下列结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤．其中正确的为 ．（填序号） 【答案】③④/④③ 【分析】根据不等式的基本性质，逐项判断即可． 【详解】①若，当时不等式不成立，不符合题意； ②若，当时不等式不成立，不符合题意； ③若，则，符合题意； ④若，则，符合题意； ⑤，当时不等式不成立，不符合题意； 故答案为：③④． 【点睛】此题考查了不等式的基本性质，解题的关键是熟悉不等式的基本性质． 【变式4】我们知道不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变.不等式组是否也具有类似的性质呢?请解答下列问题. （1）完成下列填空： 已知 用“”“或“”填空 _______ _______ （2）一般地，如果那么_______（用“”或“”填空）.请你利用不等式的基本性质说明上述不等式的正确性 【答案】（1）>、<；（2）<，理由见解析. 【分析】（1）根据有理数的运算即可得出； （2）利用（1）的规律判断，利用不等式的基本性质即可证明. 【详解】解：（1），，故答案为>、<； （2）结论：，理由如下： ∵，∴， ∵，∴. 【点睛】本题考查的是不等式的基本性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键. 题型06 【典例1】已知，．若，则与的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质，由，可推出，，即可得到答案． 【详解】解： ， ， 故选：B． 【变式1】数，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，判断出其余各数的大小关系． 【详解】 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的比较大小，解题的关键在于通过，判断出各个数的范围大小． 【变式2】若，则a，，三个数用“<”连接起来为 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴ ∴， ∴ 故答案为：． 【变式3】若，，，，，则、、之间的大小关系是 ． 【答案】 【分析】由可得，所以，同理，然后比较a、b、c的大小即可． 【详解】， , , 同理可得, 又, , , 即． 【点睛】本题考查不等式的基本性质，关键是M、N、P的等价变形，利用了整体思想消元，转化为a、b、c的大小关系． 【变式4】【阅读理解】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小．即要比较代数式、的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． (1)【知识运用】请用上述方法比较下列代数式的大小（直接在空格中填写答案）： ①_____； ②当时，______； ③若，则______； (2)【知识运用】试比较与与的大小，并说明理由； (3)【类比运用】图（1）是边长为4的正方形，将正方形一边保持不变，另一组对边增加得到如图（2）所示的新长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加，得到如图（3）所示的新正方形，此正方形的面积为；则与大小的大小关系为：____； (4)已知，，试运用上述方法比较、的大小，并说明理由． 【答案】(1)①；②；③ (2)，理由见解析 (3) (4)，理由见解析 【分析】（1）①用减去，将所得的差再和0比较大小，即可判断； ②用减去，再结合，将所得的差再和0比较大小，即可判断； ③用减去，然后变形为，再结合，即可判断； （2）先求出与的差，再变形为，即可判断； （3）根据图形表示出新长方形的面积和新正方形的面积，再利用作差法比较即可； （4）用减去，再和0比较大小，即可判断． 【详解】（1）解：①∵， ∴． 故答案为：． ②∵， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：． ③∵， 又∵， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． （2）． 理由如下： ∵ ∵， ∴， ∴． （3）∵新长方形的长为，宽为， ∴新长方形的面积， ∵新正方形的长为， ∴新正方形的面积， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． （4）． 理由如下： ， ∴． 【点睛】本题探索了比较两个数或代数式的大小时常采用的“作差法”，考查了整式的混合运算，有理数的混合运算，不等式的性质，长方形和正方形的面积等知识．读懂方法，利用所学知识和方法计算化简是解题的关键． 1．若，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，不等式两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．依据不等式的基本性质，即可得出结论． 【详解】解：， A、若，，两边平方，即，故选项错误； B、两边同时减去1，符号不变，即，故选项错误； C、两边同时乘以，符号改变，即，故选项正确； D、若，则不满足，故选项错误； 故选：C． 2．若，则下列不等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 根据不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：， ，故选项A不符合题意； ，故选项B不符合题意； ，故选项C符合题意； ，故选项D不符合题意； 故选：C ． 3．若，且，则的值可能是（   ） A． B．0 C．1 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了不等式的性质，根据题意可知不等式两边同时乘以a之后不等号改变，则． 【详解】，且， ， ∴的值可能是． 故选：A． 4．若，则b的值可以为 ．（填一个合适的数即可） 【答案】（填一个负数即可） 【分析】本题考查的是不等式的基本性质，由条件可得，再写一个符合条件的数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的值可以是， 故答案为：（答案不唯一） 5．已知，请写出一个有理数，使，你所写的有理数是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质：不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向要改变，即可解答即可求解，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，当时， ， ∴， 故答案为：．（答案不唯一） 6．易错若，则a，，三个数用“<”连接起来为 ． 【答案】 【解析】略 7．根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“”或“”的形式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了不等式的性质，熟记相关结论即可求解． （1）在不等式两边同时减去即可； （2）在不等式两边同时除以即可； 【详解】（1）解：在不等式两边同时减去，不等号方向不变， 得： （2）解：在不等式两边同时除以，不等号方向改变， 得： 8．说出下列不等式的变形依据． (1)若，则； (2)若，则； (3)若，则． 【答案】(1)根据不等式的性质，不等式的两边同时减去 (2)根据不等式的性质，不等式的两边同时除以 (3)不等式的性质，不等式的两边同除以 【分析】 （1）根据不等式的性质变形； （2）根据不等式的性质变形； （3）不等式的性质变形． 【详解】（1）解：根据不等式的性质，不等式的两边同时减去． （2）解：根据不等式的性质，不等式的两边同时除以． （3）解：不等式的性质，不等式的两边同除以． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 9．（1）如果，那么a b；如果，那么a b；如果，那么a b．（填、、） （2）试用（1）提供的方法比较与的大小． 【答案】（1）；；；（2） 【分析】 本题考查等式的性质，整式加减运算，不等式的性质，掌握等式、不等式的性质是正确判断的前提． （1）根据不等式的性质逐项进行判断即可； （2）将两个式子作差计算，即可得到结论． 【详解】 解：（1）如果，那么， 如果，那么， 如果，那么； （2）， ∴， 即． 10．（1）解方程：； （2）已知，试比较与的大小． 解：因为，第一步 所以，第二步 所以．第三步 问：①上述解题过程中，从第______步开始出现错误； ②错误的原因_____________________． ③请写出正确的解题过程． 【答案】（1）；（2）①二；②不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变；③见解析 【分析】本题主要考查解一元一次方程和一元一次不等式： （1）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1可得结论； （2）①由不等式的性质可得第二步开始出现错误；②由不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向要改变可得错误原因；③正确的运用不等式的性质解题即可得到答案． 【详解】解：（1） 去分母得，， 去括号，得，， 移项得，， 合并得：， 解得. （2）①二； ②不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变； ③∵， ∴， ∴； 21 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$