4.1因式分解分层作业 2024-2025学年北师大版数学八年级下册

北师大版八年级下册 姓名： 班级： 分层 类别 第4章因式分解 4.1因式分解分层作业 基础 巩固 （ABC） 1．下列各式中不能进行因式分解的是（　　） A．x2﹣4y2 B．m2﹣2mn+n2 C．x2+y2+2x D．m4﹣n2 2．下列等式中，从左到右的变化是因式分解的是（　　） A．x（x+1）＝x2+x B．x2+xy﹣3＝x（x+y）﹣3 C．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2 D．x2+6x+4＝（x+3）2﹣5 3．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．x2+2x+1＝x（x+2）+1 B．a（2a﹣4b）＝2a2﹣4ab C．x（x+2y）＝x2+2xy D．x2﹣2xy＝x（x﹣2y） 4．关于等式①2a﹣4＝2（a﹣2）和②3x2+3xy＝3x（x+y）从左到右的变形，下列说法中，正确的是（　　） A．①和②都是因式分解 B．①和②都不是因式分解 C．①是因式分解，②不是因式分解 D．①不是因式分解，②是因式分解 5．下列多项式中，能分解因式的是（　　） A．﹣a2+b2 B．﹣a2﹣b2 C．a2﹣4a﹣4 D．a2+ab+b2 6．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有（　　） ①x（y﹣7）＝xy﹣7x；②y2﹣2y+1＝（y﹣1）2；③（a+5）（a﹣5）＝a2﹣25． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7．多项式2x2﹣3x+k分解因式后有一个因式是x+1，则k等于 　 　． 8．因式分解：（x+2）（x+4）+1＝　 　． 9．如果a﹣3是多项式a2+ma﹣6的一个因式，则m的值是　 　． 10．请你写出一个整式A，使得多项式x2+A能因式分解，这个整式A可以是 　 　． 综合 应用 AB组 11．根据如图所示的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：　 　． 12．在□处填入一个整式，使关于x的多项式x2+□+1可以因式分解，则□可以为 　 　．（写出一个即可） 13．当k＝　 　时，二次三项式x2﹣kx+12分解因式的结果是（x﹣4）（x﹣3）． 14．若多项式ax2+bx+c可以被分解为（x﹣3）（x﹣2），则a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　． 15．多项式x2+mx+6因式分解得（x﹣2）（x+n），则m＝　 　． 16．如果100x2+kxy+49y2能分解为（10x﹣7y）2，那么k＝　 　． 17．若多项式x2+mx﹣12分解因式后含有因式x﹣2，则m的值为 　 　． 拓展 提高 （A组） 18．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为（x+n），得 x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n） 则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n ∴． 解得：n＝﹣7，m＝﹣21 ∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21 问题：仿照以上方法解答下面问题： 已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值． 19．填数游戏：在x2﹣□xy+□y2中的每个“□”内，填入适当的整数，使之能分解因式． （1）分解因式：x2﹣2xy+y2； （2）在“□”内填入﹣1和0，请你写出所有不同的结果，并分解因式． 20．【阅读材料】对于多项式x2+x﹣2，如果我们把x＝1代入x2+x﹣2，发现此多项式的值为0，这时可以断定多项式x2+x﹣2中有因式x﹣1，可设x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+m）（m为常数），通过展开多项式或代入合适的x的值即可求出m的值．我们把这种分解因式的方法叫“试根法”． 根据以上阅读材料，完成下列问题： （1）请完成下列因式分解：x2+x﹣2＝　 　； （2）若多项式x2+mx﹣n（m，n为常数）分解因式后，有一个因式是（x﹣2），求2m﹣n值； （3）多项式x3+2x2﹣3用“试根法”分解因式得（x+a）（x2+bx+c）（a，b，c为常数），请直接写出a，b，c的值． 参考答案与试题解析 1．下列各式中不能进行因式分解的是（　　） A．x2﹣4y2 B．m2﹣2mn+n2 C．x2+y2+2x D．m4﹣n2 【答案】C 【解答】解：A、x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y），能进行因式分解，不符合题意； B、m2﹣2mn+n2＝（m﹣n）2，能进行因式分解，不符合题意； C、x2+y2+2x不能进行因式分解，符合题意； D、m4﹣n2＝（m2）2﹣n2＝（m2+n）（m2﹣n），能进行因式分解，不符合题意． 故选：C． 2．下列等式中，从左到右的变化是因式分解的是（　　） A．x（x+1）＝x2+x B．x2+xy﹣3＝x（x+y）﹣3 C．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2 D．x2+6x+4＝（x+3）2﹣5 【答案】C 【解答】解：根据因式分解的定义逐项分析判断如下： A、x（x+1）＝x2+x从左到右的变形属于整式乘法，不是因式分解，不符合题意； B、x2+xy﹣3＝x（x+y）﹣3等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； C、x2﹣2x+1＝（x﹣1）2是因式分解，符合题意； D、x2+6x+4＝（x+3）2﹣5等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； 故选：C． 3．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．x2+2x+1＝x（x+2）+1 B．a（2a﹣4b）＝2a2﹣4ab C．x（x+2y）＝x2+2xy D．x2﹣2xy＝x（x﹣2y） 【答案】D 【解答】解：x2+2x+1＝x（x+2）+1中等号右边不是积的形式，则A不符合题意； a（2a﹣4b）＝2a2﹣4ab是乘法运算，则B不符合题意； x（x+2y）＝x2+2xy是乘法运算，则C不符合题意； x2﹣2xy＝x（x﹣2y）符合因式分解的定义，则D符合题意； 故选：D． 4．关于等式①2a﹣4＝2（a﹣2）和②3x2+3xy＝3x（x+y）从左到右的变形，下列说法中，正确的是（　　） A．①和②都是因式分解 B．①和②都不是因式分解 C．①是因式分解，②不是因式分解 D．①不是因式分解，②是因式分解 【答案】A 【解答】解：①2a﹣4＝2（a﹣2），属于因式分解； ②3x2+3xy＝3x（x+y），属于因式分解； 所以①和②都是因式分解． 故选：A． 5．下列多项式中，能分解因式的是（　　） A．﹣a2+b2 B．﹣a2﹣b2 C．a2﹣4a﹣4 D．a2+ab+b2 【答案】A 【解答】解：A、﹣a2+b2＝（b+a）（b﹣a），故A符合题意； B、﹣a2﹣b2＝﹣（a2+b2），没把多项式转化成几个整式积的形式，故B不符合题意； C、不能把多项式转化成几个整式积的形式，故C不符合题意； D、不能把多项式转化成几个整式积的形式，故D不符合题意； 故选：A． 6．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有（　　） ①x（y﹣7）＝xy﹣7x；②y2﹣2y+1＝（y﹣1）2；③（a+5）（a﹣5）＝a2﹣25． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【解答】解：x（y﹣7）＝xy﹣7x是乘法运算，则①不是因式分解； y2﹣2y+1＝（y﹣1）2符合因式分解的定义，则②是因式分解； （a+5）（a﹣5）＝a2﹣25是乘法运算，则③不是因式分解； 综上，从左到右的变形是因式分解的有1个， 故选：B． 7．多项式2x2﹣3x+k分解因式后有一个因式是x+1，则k等于 　﹣5　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：2x2﹣3x+k分解因式后有一个因式是x+1，设另一个整式为M， 2x2﹣3x+k＝M（x+1）． M＝（2x2﹣3x+k）÷（x+1）＝2x﹣5． 2x2﹣3x+k＝（x+1）（2x﹣5）＝2x2﹣3x﹣5， k＝﹣5， 故答案为：﹣5． 8．因式分解：（x+2）（x+4）+1＝　（x+3）2　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：原式＝x2+4x+2x+8+1 ＝x2+6x+9 ＝（x+3）2， 故答案为：（x+3）2． 9．如果a﹣3是多项式a2+ma﹣6的一个因式，则m的值是　﹣1　． 【答案】﹣1． 【解答】解：∵a﹣3是多项式a2+ma﹣6的一个因式， ∴a2+ma﹣6＝（a﹣3）（a+2）＝a2﹣a﹣6， ∴m＝﹣1． 故答案为：﹣1． 10．请你写出一个整式A，使得多项式x2+A能因式分解，这个整式A可以是 　xy（答案不唯一）　． 【答案】xy（答案不唯一）． 【解答】解：这个整式A可以是：xy（答案不唯一）． 故答案为：xy（答案不唯一）． 11．根据如图所示的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：　x2+2x+4x+8＝（x+4）（x+2）　． 【答案】x2+2x+4x+8＝（x+4）（x+2）． 【解答】解：四张长方形或正方形纸片拼成一个大长方形，面积可以表示为：x2+2x+4x+8＝x2+6x+8＝（x+4）（x+2）． 故答案为：x2+2x+4x+8＝（x+4）（x+2）． 12．在□处填入一个整式，使关于x的多项式x2+□+1可以因式分解，则□可以为 　2x　．（写出一个即可） 【答案】2x． 【解答】解：x2+2x+1＝（x+1）2， 故答案为：2x． 13．当k＝　7　时，二次三项式x2﹣kx+12分解因式的结果是（x﹣4）（x﹣3）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵（x﹣4）（x﹣3）＝x2﹣7x+12， ∴﹣k＝﹣7，k＝7． 故应填7． 14．若多项式ax2+bx+c可以被分解为（x﹣3）（x﹣2），则a＝　1　，b＝　﹣5　，c＝　6　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵多项式ax2+bx+c可以被分解为（x﹣3）（x﹣2）， ∴（x﹣3）（x﹣2）＝x2﹣5x+6， ∴a＝1，b＝﹣5，c＝6， 故答案为：1，﹣5，6． 15．多项式x2+mx+6因式分解得（x﹣2）（x+n），则m＝　﹣5　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：x2+mx+6因式分解得（x﹣2）（x+n），得 x2+mx+6＝（x﹣2）（x+n），（x﹣2）（x+n）＝x2+（n﹣2）x﹣2n， x2+mx+6＝x2+（n﹣2）x﹣2n， ﹣2n＝6，m＝n﹣2． 解得n＝﹣3，m＝﹣5， 故答案为：﹣5． 16．如果100x2+kxy+49y2能分解为（10x﹣7y）2，那么k＝　﹣140　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵（10x﹣7y）2， ＝100x2﹣140xy+49y2， ＝100x2+kxy+49y2， ∴k＝﹣140． 故应填﹣140． 17．若多项式x2+mx﹣12分解因式后含有因式x﹣2，则m的值为 　4　． 【答案】4． 【解答】解：∵多项式x2+mx﹣12分解因式后含有因式x﹣2， ∴x2+mx﹣12＝（x﹣2）（x+6）＝x2+4x﹣12， 则m＝4， 故答案为：4． 18．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为（x+n），得 x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n） 则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n ∴． 解得：n＝﹣7，m＝﹣21 ∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21 问题：仿照以上方法解答下面问题： 已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值． 【答案】另一个因式为（x+4），k的值为20． 【解答】解：设另一个因式为（x+a），得： 2x2+3x﹣k＝（2x﹣5）（x+a）， 则2x2+3x﹣k＝2x2+（2a﹣5）x﹣5a ∴． 解得：a＝4，k＝20． 故另一个因式为（x+4），k的值为20． 19．填数游戏：在x2﹣□xy+□y2中的每个“□”内，填入适当的整数，使之能分解因式． （1）分解因式：x2﹣2xy+y2； （2）在“□”内填入﹣1和0，请你写出所有不同的结果，并分解因式． 【答案】（1）（x﹣y）2； （2）x2+xy＝x（x+y）；x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）． 【解答】解：（1）x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2； （2）当前后方框分别填入﹣1、0时 x2+xy＝x（x+y）； 当前后方框分别填入0、﹣1时 x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）． 20．【阅读材料】对于多项式x2+x﹣2，如果我们把x＝1代入x2+x﹣2，发现此多项式的值为0，这时可以断定多项式x2+x﹣2中有因式x﹣1，可设x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+m）（m为常数），通过展开多项式或代入合适的x的值即可求出m的值．我们把这种分解因式的方法叫“试根法”． 根据以上阅读材料，完成下列问题： （1）请完成下列因式分解：x2+x﹣2＝　（x﹣1）（x+2）　； （2）若多项式x2+mx﹣n（m，n为常数）分解因式后，有一个因式是（x﹣2），求2m﹣n值； （3）多项式x3+2x2﹣3用“试根法”分解因式得（x+a）（x2+bx+c）（a，b，c为常数），请直接写出a，b，c的值． 【答案】（1）（x﹣1）（x+2）； （2）﹣4； （3）a＝﹣1，b＝3，c＝3． 【解答】解：（1）设x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+m）＝x2+（m﹣1）x﹣m， 则m＝2， 则x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+2）， 故答案为：（x﹣1）（x+2）； （2）设x2+mx﹣n＝（x﹣2）（x+a）＝x2+（a﹣2）x﹣2a， 则m＝a﹣2，n＝2a， 那么2m﹣n＝2（a﹣2）﹣2a＝2a﹣4﹣2a＝﹣4； （3）∵（x+a）（x2+bx+c） ＝x3+bx2+cx+ax2+abx+ac ＝x3+（a+b）x2+（ab+c）x+ac ＝x3+2x2﹣3， ∴a+b＝2，ab+c＝0，ac＝﹣3， 解得：a＝﹣1，b＝3，c＝3． 学科网（北京）股份有限公司 $$