第7章 一元一次不等式 （十五题型压轴专练）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（华东师大版2024）

第7章 一元一次不等式 压轴专练 题型一、一元一次不等式(组)的解相同 1．已知不等式与的解集相同，则a的值是（    ） A． B． C． D． 2．关于的不等式与的解集相同，则 3．解关于x，y的方程组时，珍珍发现方程组的解和方程组的解相同． (1)求方程组的解； (2)求关于t的不等式的最小整数解． 题型二、一元一次不等式(组)的解互为相反数 1．已知关于x的不等式组的最大整数解和最小整数解互为相反数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知关于，的方程组, （1），互为相反数时， ； （2） ； （3）若，满足，，则的取值范围是 ． 3．已知关于x，y的方程组． (1)若x，y的值互为相反数，求m的值． (2)当m为何整数时，方程组的解都为正数． 题型三、一元一次不等式(组)与一元一次方程结合 1．若关于x的方程的解是非正数，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知不等式的最小整数解是关于x的方程的解，则m的值为 ． 3．当a为何值时，关于x的方程的解为正数？ 题型四、一元一次不等式(组)与二元一次方程组结合 1．已知关于的方程组，满足，则的最大值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．若方程组的解是负数，那么a的取值范围是 ． 3．已知方程组的解满足为正数，为非负数． (1)求的取值范围； (2)若不等式的解为．求的整数值． 题型五、一元一次不等式(组)有(无)解 1．已知关于的不等式组给出下列说法：①如果不等式组的解集是，那么；②当时，不等式组无解；③如果不等式组的最大整数解是4，那么；④如果不等式组有解，那么．其中所有正确说法的序号是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 2．已知关于的不等式组，下列四个结论：①若它的解集是，则；②当，不等式组有解；③若它的整数解仅有个，则的取值范围是；④若它无解，则．其中正确的结论是 （填写序号）． 3．已知不等式组． (1)当时，在数轴上表示出不等式组的解集； (2)当k取何值时，此不等式组有解； (3)当k取何值时，此不等式组无解． 题型六、一元一次不等式(组)参数求解 1．若，且，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是 ． 3．已知关于x的不等式的解集是，求m的值． 题型七、一元一次不等式(组)的整数解 1．若整数使得关于的方程的解为非负数，且使得关于的一元一次不等式组至少有3个整数解，则所有符合条件的整数的和为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．若整数m使得关于x的不等式组有且只有四个整数解，且关于x、y的二元一次方程组有整数解，则符合条件的所有m的和是 ． 3．已知方程组的解满足． (1)求a的取值范围； (2)当a为何整数时，不等式的解集为． 题型八、一元一次不等式(组)的新定义运算 1．定义，如．若为两不相等整数，且满足，则的值为（   ） A．36 B．6 C．8 D．64 2．对x，y定义一种新的运算，规定，如，若关于正数m的不等式组恰好有2个整数解，则a的取值范围是 ． 3．对x，y定义一种新的运算，规定，例如． （1） ； （2）若关于正数m的不等式组恰好有2个整数解，则k的取值范围是 ． 题型九、一元一次不等式(组)的应用——收费问题 1．某校组织学生外出研学，旅行社报价每人收费400元，当研学人数超过100人时，旅行社给出两种优惠方案： 方案一：研学团队先交2000元后，每人收费300元； 方案二：4人免费，其余每人收费打8折． (1)用代数式表示，当参加研学的总人数是人时，方案一和方案二各是多少钱？ (2)当参加旅游的总人数是多少人时，采用方案一省钱？ 2．“端午节”是中华民族古老的传统节日．甲、乙两家超市在“端午节”当天对一种原来售价相同的粽子分别推出了不同的优惠方案． 甲超市方案：购买该种粽子超过200元后，超出200元的部分按收费； 乙超市方案：购买该种粽子超过300元后，超出300元的部分按收费． 设某位顾客购买了x元的该种粽子． (1)补充表格，填写在横线上（填写化简后的结果）： x（单位：元） 实际在甲超市的花费（单位：元） 实际在乙超市的花费（单位：元） x x ①____________ x ②____________ ③____________ (2)通过计算说明，如果顾客在“端午节”当天购买该种粽子超过200元，那么到哪家超市花费更少？ 3．如图，是某道路停车泊位收费公示牌，现从该收费公示牌中摘录其收费标准，并注解如图表． 一级支路计时 时段/车型 白天时段 夜间时段 小型车 连续停放6小时封顶 连续停放6小时封顶 首小时内（15-60分钟） 首小时后（60分钟后） 20：00至次日8：00 2元/15分钟 2元/15分钟 1元/小时 大型车 2.5元/15分钟 3元/15分钟 1.5元/小时 注解 1、白天时段，车辆进入停车泊位15分钟以内免费，第15分钟开始收费，以小型车为例，记小型车连续停放时间为分钟，当时不收费，当时收费2元，当时收费4元，当时收费6元，当时收费8元，当时收费10元，以此类推． 2、夜间时段，不足1小时按1小时收费． 3、“连续停放6小时封顶”是指当车辆连续停放的时间超过6小时时，只收6小时的停车费． 【初步理解】 （1）夜间时段，一辆小型车在该道路停车泊位连续停放8小时，需缴费______元； （2）白天时段，一辆大型车在该道路停车泊位连续停放1小时36分钟，需缴费______元； 【综合应用】 （3）白天时段，一辆小型车在该道路停车泊位连续停放一段时间后缴费26元，则该车最多停放了多长时间？（用一元一次不等式解决问题） 【深入探索】 （4）已知一辆小型车与一辆大型车在该道路停车泊位都连续停放5小时，小型车在白天时段停放分钟，大型车在白天时段停放分钟，且．当小型车的停车费高于大型车的停车费是，随的变化而变化，请直接写出的范围及相应的的范围． 题型十、一元一次不等式(组)的应用——打折问题 1．2023年是农历癸卯年（兔年），生肖兔的挂件成了热销品．某商店准备购进A、B两种型号的兔子挂件．已知购进2件A型号兔子挂件和1件B型号兔子挂件共需105元，3件A型号兔子挂件比1件B型号兔子挂件贵95元． (1)该商店购进的A、B两种型号的兔子挂件的单价分别为多少元？ (2)该商店计划购进A型号兔子挂件600件，B型号兔子挂件件，甲、乙两个厂家的优惠方式如下： 甲厂家：每购买10件A型号兔子挂件赠送一件B型号兔子挂件； 乙厂家：A型号兔子挂件不打折，B型号兔子挂件打九折． 若你是商家的采购员，在只能选择一个厂家采购的条件下，如何采购较省钱？ 2．鹿寨县某学校准备为学生的书法课购买一批毛笔和宣纸，已知购买40支毛笔和100张宣纸需要280元；购买30支毛笔和200张宣纸需要260元． (1)求毛笔和宣纸的单价； (2)某超市给出以下两种优惠方案： 方案A：购买一支毛笔，赠送一张宣纸； 方案B：购买200张宣纸以上，超出的部分按原价打八折，毛笔不打折． 学校准备购买毛笔50支，宣纸若干张（大于200张）．学校购买宣纸超过多少张时选择方案B更划算? 3．某中学为丰富学生的校园生活，准备从商店购买若干个足球和篮球，已知购买一个足球需50元，购买一个篮球需80元． (1)若学校准备用不超过1600元购买足球和篮球两种球30个，则学校有哪几种购买方案？ (2)在“五•一”期间，该商店对足球、篮球这两种商品进行如下优惠促销活动： 一次性购买的总金额 优惠措施 不超过300元 不优惠 超过300元且不超过500元 售价打九折 超过500元 售价打八折 按上述优惠条件，七年级（1）班第一天只购买足球一次性付款200元，第二天只购买篮球打折后一次性付款360元，求该班购买足球、篮球各多少个？而（2）班一次性购买这两种球，同样也是花560元，求两个班各购买足球、篮球各多少个？ 题型十一、一元一次不等式(组)的应用——程序问题 1．按如图程序进行运算．如果结果不大于10，就把结果作为输入的数再进行第二次运算，直到符合要求（结果大于10） (1)当输入的数是10时，请求出输出的结果； (2)当输入的数是x时，经过第二次运算，结果即符合要求，请求出x的最小整数值． 2．如图，这是一个数值运算程序． (1)若输入的数为，则输出的结果是多少？ (2)设输入的数为x（x为正整数），请探究一下，当输入的x最小为多少时，可一次性输出结果？此时输出的结果是多少？ 3．如图是一个数值转换机，输入数值后按三个方框中的程序运算，若第一次运算结果大于2，可以输出结果，则称该数只要“算一遍”；若第一次运算无法输出结果，且第二次运算结果大于2，可以输出结果，则称该数需要“算两遍”，以此类推： (1)当输入数为2时，输出的结果为___________； (2)当输入数为时，求输出的结果； (3)当输入数为x时，该数需要算两遍，直接写出x的取值范围． 题型十二、一元一次不等式(组)的应用——方案问题 1．华州区位于渭南市南部，有社火、皮影、秧歌、竹艺等多种民俗文化，曾被文化和旅游部命名为年度“中国民间文化艺术之乡”．某校准备组织180名师生到华州区旅游参观，现有甲、乙两种客车可供选择，已知3辆甲种客车的载客量比2辆乙种客车的载客量多60人，2辆甲种客车与1辆乙种客车的总载客量为110人 (1)求每辆甲种客车和每辆乙种客车的载客量分别为多少人： (2)若该校准备租用辆甲种客车和辆乙种客车，将180名师生一次送到目的地，且每辆车都恰好坐满，请你帮助学校设计出所有的租车方案 2．某中学开学初到商场购买、两种品牌的足球，购买种品牌的足球个，种品牌的足球个，共花费元，已知购买一个种品牌的足球比购买一个钟品牌的足球多花元． (1)求购买一个种品牌、一个种品牌的足球各需多少元． (2)学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进、两种品牌足球共个，正好赶上商场对商品价格进行调整，品牌足球售价比第一次购买时提高元，品牌足球按第一次购买时售价的折出售，如果学校此次购买、两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的%，且保证这次购买的种品牌足球不少于个，则这次学校有哪几种购买方案？ (3)请你求出学校在第二次购买活动中最多需要多少资金？ 3．实验中学准备新学期购买一批篮球和跳绳，经过市场调查后发现篮球每个定价150元，跳绳每条定价20元．体育用品商店提供A、B两种优惠方案： A方案：买一个篮球送一条跳绳； B方案：篮球和跳绳都按定价的90％付款． 已知学校要购买篮球40个，跳绳x条． (1)请求出学校按两种方案购买分别需要支付的金额．（用含x的代数式表示） (2)当时，请通过计算说明此时学校选择哪种方案购买较为合算？ (3)当x在什么范围取值时，学校选择A方案购买更合算？请你直接写出此时x的取值范围． 题型十三、一元一次不等式(组)的应用——作差法比较发小 1．【阅读材料】用作差法比较大小： 两个数量的大小可以通过它们的差来判断．如果两个数和比较大小，那么 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有． 反过来也对，即 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有． 因此，我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小． 【解决问题】制作某产品有两种用料方案．方案一：用块型钢板，块型钢板；方案二：用块型钢板，块型钢板．型钢板的面积比型钢板大．从省料角度考虑，应选哪种方案？ 2．要比较两个数，的大小，有时可以通过比较与的大小来解决：如果，则；如果，则；如果，则． (1)若，，试比较，的大小． (2)若，，为何值时，，． 3．如图，已知有甲､乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），面积分别为、． （1）请比较与的大小：_____； （2）若一个正方形与甲的周长相等． ①求该正方形的边长（用含m的代数式表示）； ②若该正方形的面积为，试探究：与的差（即）是否为常数?若为常数，求出这个常数：如果不是，请说明理由； （3）若满足条件的整数n有且只有8个，直接写出m的值． 题型十四、一元一次不等式(组)的新定义应用 1．定义：对于立信不等式：，当时，；当时，． (1)若关于的不等式的解集是，求不等式的解集； (2)若关于的不等式组的解集中有且只有2个整数解，求的取值范围． 2．我们定义，关于同一个未知数的不等式和，两个不等式的解集相同，则称与为同解不等式． (1)若关于的不等式，不等式是同解不等式，求的值； (2)若关于的不等式，不等式是同解不等式，其中，是正整数，求，的值； (3)若关于的不等式，不等式是同解不等式，试求关于的不等式的解集． 3．定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”．例如：的解为，的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“关联方程”． (1)在方程①，②，③中，不等式组的“关联方程”是__________（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； (3)若方程都是关于的不等式组的“关联方程”，试求的取值范围． 题型十五、阅读理解——特殊不等式 1．先阅读理解下列问题，再按要求完成解答 例题：解一元二次不等式 解：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有①或②，解不等式组①得，解不等式组②得．所以一元二次不等式得解集是或 根据上述例题解答，求不等式的解集 2．同学们学习了有理数乘法，不等式组与方程组的知识，它们之间有着一定的逻辑关联.请仔细阅读下面的材料，并解决问题： 阅读理解： 若，根据两数相乘，同号得正运算法则，原不等式可以转化为 或 ．例如：解不等式，原不等式可以转化为 或．解不等式组 ，得；解不等式组，得．∴原不等式的解集为或． 学以致用： (1)根据以上材料，直接写出不等式的解集为 ； (2)请你参考上面思考问题的方法，解不等式； (3)已知关于的二元一次方程组的解满足，求m的取值范围． 3．先阅读理解下列例题，再按要求完成作业． 例题：解一元二次不等式． 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有①或②． 解不等式组①得，解不等式组②得． 所以一元二次不等式的解集是或． (1)求不等式的解集； (2)求不等式的解集． 2 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（3）若，满足，，则的取值范围是 ． 【答案】 6 / 【分析】本题考查了解二元一次方程组，整式的加减，解一元一次不等式组，熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤及运算法则是解题的关键． （1）解出二元一次方程组，然后根据，互为相反数列方程求解即可； （2）将方程组的解代入求解即可； （3）根据已知列 出一元一次不等式组，然后解不等式组即可． 【详解】解：（1）由得， ∵，互为相反数， ∴，则，解得， 故答案为：； （2） ， 故答案为：6； （3）∵，， ∴，解得， 故答案为：． 3．已知关于x，y的方程组． (1)若x，y的值互为相反数，求m的值． (2)当m为何整数时，方程组的解都为正数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了已知二元一次方程组解的情况求参数，涉及了一元一次不等式组等知识点，注意计算的准确性即可． （1）解出二元一次方程组即可求解； （2）令即可求解； 【详解】（1）解： 由①得：， 将代入②得：， 解得：， 将代入得：， ∴原方程组的解为：， ∵x，y的值互为相反数， ∴， 即：， 解得：； （2）解：令， 解得：， ∴当时，方程组的解都为正数． 题型三、一元一次不等式(组)与一元一次方程结合 1．若关于x的方程的解是非正数，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次方程和解一元一次不等式，熟练掌握解方程和不等式的方法是解题的关键．先解一元一次方程，再根据题意构建一元一次不等式，最后解不等式即可． 【详解】∵， ∴， ∵关于x的方程的解是非正数， ∴， 解得， 故选：D． 2．已知不等式的最小整数解是关于x的方程的解，则m的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查一元一次不等式的整数解、一元一次方程的解，解题的关键是明确一元一次不等式的解法和一元一次方程的解法． 解不等式求得它的解集，从而可以求得它的最小整数解，然后代入方程方程，从而可以得到m的值． 【详解】解：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， ∴， ∴最小整数解为， 把代入，得：， 解得：． 故答案为：4． 3．当a为何值时，关于x的方程的解为正数？ 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，一元一次方程的解，熟练掌握运算法则是解题的关键．先解一元一次方程，再根据题意得到不等式，求出答案即可． 【详解】解：， 整理，得，解得． 因为关于的方程的解为正数， ， 解得． 题型四、一元一次不等式(组)与二元一次方程组结合 1．已知关于的方程组，满足，则的最大值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组与解一元一次不等式；由题意把方程组中两方程相关得；由题意得不等式，解不等式即可． 【详解】解： 得：， 而， 即， 解得：； 则的最大值是2． 故选：C． 2．若方程组的解是负数，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和一元一次不等式组．熟练掌握解二元一次方程组，二元一次方程组的解的定义，解一元一次不等式组，是解题的关键． 先解关于x，y的方程组，得出用含a的代数式表示x，y的式子，然后根据即可求出a的取值范围． 【详解】， ，得， 解得， 代入②，得， 解得， ∴方程组的解是， ∵方程组的解是负数， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．已知方程组的解满足为正数，为非负数． (1)求的取值范围； (2)若不等式的解为．求的整数值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，解一元一次不等式组，不等式的性质．熟练掌握加减消元法解二元一次方程组，解一元一次不等式组，不等式的性质是解题的关键． （1）利用加减消元法解方程组，再解关于的不等式组即可； （2）根据不等式的性质可知，，然后求解作答即可． 【详解】（1）解： 由得： 则， 将代入①得：， 则， ∵为正数，为非负数， ∴， 解得不等式组的解集为：； （2）解： ， ∵不等式的解为， ∴， ∴， ∴， ∴的整数值为． 题型五、一元一次不等式(组)有(无)解 1．已知关于的不等式组给出下列说法：①如果不等式组的解集是，那么；②当时，不等式组无解；③如果不等式组的最大整数解是4，那么；④如果不等式组有解，那么．其中所有正确说法的序号是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确理解解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．先求出各不等式的解集，再根据各小题的要求解答即可． 【详解】解不等式得，； 解不等式得，； 故不等式组的解集为：． 对于①，它的解集是，所以，故本小题正确； 对于②，因为，所以不等式组无解，故本小题正确； 对于③，如果不等式组的最大整数解是4，则，且，所以，故本小题正确； 对于④，如果不等式组有解，则，而不是，故本小题错误． 故选：B． 2．已知关于的不等式组，下列四个结论：①若它的解集是，则；②当，不等式组有解；③若它的整数解仅有个，则的取值范围是；④若它无解，则．其中正确的结论是 （填写序号）． 【答案】①③④ 【分析】首先确定不等式组的解集，利用含的式子表示，根据解的情况可以得到关于的不等式或不等式组进而即可解答． 【详解】解：， 由得：， 由得：， ∵不等式组的解集为， ∴不等式组的解集为， ∴， ∴， 故①正确； ∵， ∴， ∴方程组无解， 故②错误； ∵它的整数解仅有个， ∴不等式组的解集为， ∴， ∴解得：， ∴的取值范围为， 故③正确； ∵不等式组无解， ∴， ∴解得：， 故④正确； ∴正确序号为①③④； 故答案为①③④． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式组的解集是解题的关键． 3．已知不等式组． (1)当时，在数轴上表示出不等式组的解集； (2)当k取何值时，此不等式组有解； (3)当k取何值时，此不等式组无解． 【答案】(1)见详解． (2)． (3)． 【分析】（1）当时，不等式组为，解出即可． （2）数形结合的思想，即可得出结果． （3）数形结合的思想，即可得出结果． 【详解】（1）当时，不等式组为， 解之得 在数轴上表示出不等式组的解集为 （2）如图所示： 当时， 此不等式组有解． （3）如图所示： 当时， 此不等式组无解． 【点睛】本题考查了不等式组的解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 题型六、一元一次不等式(组)参数求解 1．若，且，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式的性质：不等式基本性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式基本性质2：不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变；不等式基本性质3：不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向变．根据不等式的性质3求解即可，注意时也成立． 【详解】解：∵，且， ∴，解得， 故选：D． 2．若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．不等式组中第一个不等式求出解集，根据已知不等式组的解集确定出m的范围即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式组的解集是， ∴， 故答案为：． 3．已知关于x的不等式的解集是，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查了根据一元一次不等式解得情况求参数，解一元一次方程，求解不等式的解集为，根据题意可得，求出结果即可． 【详解】解：解不等式，得． 因为关于x的不等式的解集是， 所以， 解得． 题型七、一元一次不等式(组)的整数解 1．若整数使得关于的方程的解为非负数，且使得关于的一元一次不等式组至少有3个整数解，则所有符合条件的整数的和为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次方程、解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确题意，求出a的取值范围．解出关于x的方程，根据解为非负数的条件，求出a的取值范围，解出关于y的一元一次不等式组，根据至少有3个整数解的条件，求出a的取值范围，找出所有符合条件的整数a的和． 【详解】解：由，可得． 关于的方程的解为非负数， ，解得． 解不等式组， 解得：． 一元一次不等式组至少有3个整数解， ． 综上可得． 可取的整数为：． 所有符合条件的整数的和为． 故选∶ D． 2．若整数m使得关于x的不等式组有且只有四个整数解，且关于x、y的二元一次方程组有整数解，则符合条件的所有m的和是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等组和二元一次方程组，及其整数解，熟练掌握解一元一次不等组和二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】由不等式组 可得， ∵关于x的不等式组有且只有四个整数解， ∴这四个整数解为： ， 解得：， 由 可得， ∵关于x、y的二元一次方程组有整数解， ∴或， ∴符合条件的所有m的和是 故答案为： 3．已知方程组的解满足． (1)求a的取值范围； (2)当a为何整数时，不等式的解集为． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，解一元次不等式组，一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确题意，利用不等式的性质解答． （1）两个方程相加可得出，根据列出关于的不等式，解之可得答案； （2）根据不等式的解集为为整数和（1）中的取值范围，可以求得的值； 【详解】（1）解：两个方程相加可得， 则， 根据题意，得：， 解得：， 即的取值范围是； （2）解：由不等式，得， ∵不等式的解集为， ∴，得， 又∵且为整数， ． 题型八、一元一次不等式(组)的新定义运算 1．定义，如．若为两不相等整数，且满足，则的值为（   ） A．36 B．6 C．8 D．64 【答案】A 【分析】本题考查新定义的实数运算，解答此题的关键是根据题意列出不等式，根据x，y均为整数求出x、y的值即可． 【详解】解：， 解得：， ∵为两不相等整数， ∴ ∴时 ∴， ∴， 故选A． 2．对x，y定义一种新的运算，规定，如，若关于正数m的不等式组恰好有2个整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是实数的运算，一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的整数解的确定，掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 根据新运算列出不等式组求出m的取值范围，根据题意列出不等式，解不等式求出实数a的取值范围． 【详解】解：由题意，∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴原不等式组可以化为． ∴原不等式组的解集为． ∵原不等式组恰好有2个整数解， ∴． ∴． 3．对x，y定义一种新的运算，规定，例如． （1） ； （2）若关于正数m的不等式组恰好有2个整数解，则k的取值范围是 ． 【答案】 1 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式这组的整数解，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键． （1）依据题意，根据所给关系代入计算即可得解； （2）依据题意，根据题目所给关系代入建立关于的不等式组，再由不等式组恰好由2个整数解，进而可以求出的取值范围． 【详解】解：（1）由题意，， ． 故答案为：1． （2）由题意，，， ． ． ，， ． ，． 原不等式组可以化为． 原不等式组的解集为． 原不等式组恰好有2个整数解， ． 题型九、一元一次不等式(组)的应用——收费问题 1．某校组织学生外出研学，旅行社报价每人收费400元，当研学人数超过100人时，旅行社给出两种优惠方案： 方案一：研学团队先交2000元后，每人收费300元； 方案二：4人免费，其余每人收费打8折． (1)用代数式表示，当参加研学的总人数是人时，方案一和方案二各是多少钱？ (2)当参加旅游的总人数是多少人时，采用方案一省钱？ 【答案】(1)元；元 (2)当参加旅游的总人数超过164人时，采用方案一省钱 【分析】本题考查了列代数式，一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意，即可求解； （2）根据方案一省钱，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：方案一的费用是元， 方案二的费用是（元）； （2）解：令， 解得， 答：当参加旅游的总人数超过164人时，采用方案一省钱． 2．“端午节”是中华民族古老的传统节日．甲、乙两家超市在“端午节”当天对一种原来售价相同的粽子分别推出了不同的优惠方案． 甲超市方案：购买该种粽子超过200元后，超出200元的部分按收费； 乙超市方案：购买该种粽子超过300元后，超出300元的部分按收费． 设某位顾客购买了x元的该种粽子． (1)补充表格，填写在横线上（填写化简后的结果）： x（单位：元） 实际在甲超市的花费（单位：元） 实际在乙超市的花费（单位：元） x x ①____________ x ②____________ ③____________ (2)通过计算说明，如果顾客在“端午节”当天购买该种粽子超过200元，那么到哪家超市花费更少？ 【答案】(1)①；②；③ (2)当时，到乙超市花费更少；当时，到甲超市花费更少；当时，两家超市花费一样． 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次不等式的实际应用： （1）当时，利用实际在甲超市的花费=超过200元的费用可求出实际在甲超市的花费；当时，利用实际在乙超市的花费超过300元的费用可求出实际在乙超市的花费； （2）当时，恒成立；再分别求出，，时x的取值范围即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得，当时，实际在甲超市的花费为元， 当时，实际在甲超市的花费为元， 实际在乙超市的花费为元， 故答案为：①；②；③； （2）解：当，且时，解得，不合题意舍去， ∴当时，恒成立， ∴当时，到甲超市花费更少； 当，且时，解得， 当，且时，解得， 当，且时，解得， 综上所述，当时，到乙超市花费更少；当时，到甲超市花费更少；当时，两家超市花费一样． 3．如图，是某道路停车泊位收费公示牌，现从该收费公示牌中摘录其收费标准，并注解如图表． 一级支路计时 时段/车型 白天时段 夜间时段 小型车 连续停放6小时封顶 连续停放6小时封顶 首小时内（15-60分钟） 首小时后（60分钟后） 20：00至次日8：00 2元/15分钟 2元/15分钟 1元/小时 大型车 2.5元/15分钟 3元/15分钟 1.5元/小时 注解 1、白天时段，车辆进入停车泊位15分钟以内免费，第15分钟开始收费，以小型车为例，记小型车连续停放时间为分钟，当时不收费，当时收费2元，当时收费4元，当时收费6元，当时收费8元，当时收费10元，以此类推． 2、夜间时段，不足1小时按1小时收费． 3、“连续停放6小时封顶”是指当车辆连续停放的时间超过6小时时，只收6小时的停车费． 【初步理解】 （1）夜间时段，一辆小型车在该道路停车泊位连续停放8小时，需缴费______元； （2）白天时段，一辆大型车在该道路停车泊位连续停放1小时36分钟，需缴费______元； 【综合应用】 （3）白天时段，一辆小型车在该道路停车泊位连续停放一段时间后缴费26元，则该车最多停放了多长时间？（用一元一次不等式解决问题） 【深入探索】 （4）已知一辆小型车与一辆大型车在该道路停车泊位都连续停放5小时，小型车在白天时段停放分钟，大型车在白天时段停放分钟，且．当小型车的停车费高于大型车的停车费是，随的变化而变化，请直接写出的范围及相应的的范围． 【答案】（1）6 （2）19 （3）该车最多停放了195 （4）①当时，；①当时，；③当时，；④当时，；⑤当时， 【分析】本题考查的是一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的不等关系式． （1）根据夜间时段停车收费标准，列出算式计算即可求解； （2）根据白天时段停车收费标准，列出算式计算即可求解； （3）设该车停放了分钟，根据一辆小型车在该道路停车泊位连续停放一段时间后缴费26元，列出不等式计算即可求解； （4）根据白天时段停车收费标准和的取值不同，可以写出相应的的范围． 【详解】解：（1）（元） 故答案为：6； （2）（元） 故答案为：19； （1）设该车停放了分钟 由题意得：， 解得： 的最大值为：195 答：该车最多停放了195分钟； （4）①当时，； ②当时，； ③当时，； ④当时，； ⑤当时，． 题型十、一元一次不等式(组)的应用——打折问题 1．2023年是农历癸卯年（兔年），生肖兔的挂件成了热销品．某商店准备购进A、B两种型号的兔子挂件．已知购进2件A型号兔子挂件和1件B型号兔子挂件共需105元，3件A型号兔子挂件比1件B型号兔子挂件贵95元． (1)该商店购进的A、B两种型号的兔子挂件的单价分别为多少元？ (2)该商店计划购进A型号兔子挂件600件，B型号兔子挂件件，甲、乙两个厂家的优惠方式如下： 甲厂家：每购买10件A型号兔子挂件赠送一件B型号兔子挂件； 乙厂家：A型号兔子挂件不打折，B型号兔子挂件打九折． 若你是商家的采购员，在只能选择一个厂家采购的条件下，如何采购较省钱？ 【答案】(1)A型号兔子挂件的单价为40元，B型号兔子挂件的单价为25元 (2)当时，在甲厂家购买较省钱； 当时，在甲、乙两个厂家购买花费一样； 当时，在乙厂家购买较省钱 【分析】（1）设A型号兔子挂件的单价为元，B型号兔子挂件的单价为元. 由题意，得，解方程组即可． （2）根据题意，得在甲厂家购买需：（元）； 在乙厂家购买需：，分类计算解答即可． 本题考查了方程组的应用，不等式的应用，正确理解题意，建立不等式模型，方程组模型是解题的关键． 【详解】（1）设A型号兔子挂件的单价为元，B型号兔子挂件的单价为元. 由题意，得， 解得， 答：A型号兔子挂件的单价为40元，B型号兔子挂件的单价为25元.． （2）解：在甲厂家购买需：（元）； 在乙厂家购买需：（元）. 当在甲厂家购买较省钱时： ，解得， 当时，在甲厂家购买较省钱. 当在甲、乙两个厂家购买花费一样时： ，解得， 当时，在甲、乙两个厂家购买花费一样. 当在乙厂家购买较省钱时： ，解得， 当时，在乙厂家购买较省钱. 综上所述：当时，在甲厂家购买较省钱； 当时，在甲、乙两个厂家购买花费一样； 当时，在乙厂家购买较省钱. 2．鹿寨县某学校准备为学生的书法课购买一批毛笔和宣纸，已知购买40支毛笔和100张宣纸需要280元；购买30支毛笔和200张宣纸需要260元． (1)求毛笔和宣纸的单价； (2)某超市给出以下两种优惠方案： 方案A：购买一支毛笔，赠送一张宣纸； 方案B：购买200张宣纸以上，超出的部分按原价打八折，毛笔不打折． 学校准备购买毛笔50支，宣纸若干张（大于200张）．学校购买宣纸超过多少张时选择方案B更划算? 【答案】(1)毛笔的单价为6元，宣纸的单价为0.4元 (2)当购买的宣纸数量超过200张不足450张时，选择方案A更划算，选择两方案所需费用相同，选择方案B更划算 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式（或一元一次方程）． （1）设毛笔的单价为元，宣纸的单价为元，根据“购买40支毛笔和100张宣纸需要28元；购买30支毛笔和200张宣纸需要260元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买宣纸张，利用总价单价数量，可找出选择方案和选择方案所需费用，分，和三种情况，求出的取值范围（或的值）即可得出结论． 【详解】（1）设毛笔的单价为元，宣纸的单价为元， 依题意得：， 解得：． 答：毛笔的单价为6元，宣纸的单价为0.4元． （2）设购买宣纸张． 选择方案所需费用为（元； 选择方案所需费用为． 当时，解得：， 当时，选择方案更划算； 当时，解得：， 当时，选择方案和方案所需费用一样； 当时，解得：， 当时，选择方案更划算． 答：当购买的宣纸数量超过200张不足450张时，选择方案更划算；当购买的宣纸数量等于450张时，选择两方案所需费用相同；当购买的宣纸数量超过450张时，选择方案更划算． 3．某中学为丰富学生的校园生活，准备从商店购买若干个足球和篮球，已知购买一个足球需50元，购买一个篮球需80元． (1)若学校准备用不超过1600元购买足球和篮球两种球30个，则学校有哪几种购买方案？ (2)在“五•一”期间，该商店对足球、篮球这两种商品进行如下优惠促销活动： 一次性购买的总金额 优惠措施 不超过300元 不优惠 超过300元且不超过500元 售价打九折 超过500元 售价打八折 按上述优惠条件，七年级（1）班第一天只购买足球一次性付款200元，第二天只购买篮球打折后一次性付款360元，求该班购买足球、篮球各多少个？而（2）班一次性购买这两种球，同样也是花560元，求两个班各购买足球、篮球各多少个？ 【答案】(1)有四种方案：①购买足球27个，购买篮球3个；②购买足球28个，购买篮球2个；③购买足球29个，购买篮球1个；④购买足球30个，购买篮球0个 (2)七年级（1）班购买足球4个，购买篮球5个；七年级（2）班购买足球6个，购买篮球5个 【分析】（1）设购买足球m个，则购买篮球个，根据题意列不等式求解即可； （2）根据促销政策分别求出两个班购买的数量即可； 【详解】（1）设购买足球m个，则购买篮球个， 由题意可得：， 解得：， ∵，∴， 则m的取值为：27，28，29，30； 故有四种方案： ①购买足球27个，购买篮球3个； ②购买足球28个，购买篮球2个； ③购买足球29个，购买篮球1个； ④购买足球30个，购买篮球0个； （2）第一次购买足球：（个），第一次购买篮球：， 设第二次购买足球a个，购买篮球b个， 则，， ∵a．b均为整数， ∴当时，a为整数6， 故（1）班购买足球4个，购买篮球5个；（2）班购买足球6个，购买篮球5个。 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，准确计算是解题的关键． 题型十一、一元一次不等式(组)的应用——程序问题 1．按如图程序进行运算．如果结果不大于10，就把结果作为输入的数再进行第二次运算，直到符合要求（结果大于10） (1)当输入的数是10时，请求出输出的结果； (2)当输入的数是x时，经过第二次运算，结果即符合要求，请求出x的最小整数值． 【答案】(1)16 (2)6 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，与程序流程图有关的计算： （1）把10代入计算，若结果大于10则输出，若结果不大于10则计算的结果当做输入的输重新计算直至结果大于10输出即可； （2）根据题意可得第一次输入计算的结果不大于10，把第一次计算的结果作为新输输入，计算的结果大于10，据此列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：输入10时，计算的结果为， ∴输出的结果为16； （2）解：由题意得，， 解得， ∴x的最小整数值是6． 2．如图，这是一个数值运算程序． (1)若输入的数为，则输出的结果是多少？ (2)设输入的数为x（x为正整数），请探究一下，当输入的x最小为多少时，可一次性输出结果？此时输出的结果是多少？ 【答案】(1)558； (2)当输入的x最小为4时，可一次性输出结果，此时输出的结果是． 【分析】本题考查了程序流程图与有理数的计算，绝对值的意义，一元一次不等式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据程序流程图进行计算判断即可； （2）根据题意列出一元一次不等式，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：输入的数是时，则， ∵， ∴输入54，则， ∵， 此时输出，即输出的结果为； （2）解：根据题意，可知， 解得：或， ∵为正整数， ∴当最小为4时，则， ∵， ∴可以直接输出了， ∴当输入的x最小为4时，可一次性输出结果，此时输出的结果是． 3．如图是一个数值转换机，输入数值后按三个方框中的程序运算，若第一次运算结果大于2，可以输出结果，则称该数只要“算一遍”；若第一次运算无法输出结果，且第二次运算结果大于2，可以输出结果，则称该数需要“算两遍”，以此类推： (1)当输入数为2时，输出的结果为___________； (2)当输入数为时，求输出的结果； (3)当输入数为x时，该数需要算两遍，直接写出x的取值范围． 【答案】(1)4 (2)3 (3) 【分析】本题考查程序流程图与有理数计算，一元一次不等式的应用． （1）根据流程图，列出算式，进行计算即可； （2）根据流程图，列出算式，进行计算即可； （3）根据题意，列出一元一次不等式，进行求解即可． 正确的列出算式和不等式是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意有． 故答案：4； （2）依题意有， ． 故输出的结果是3； （3）依题意有； 解得， ， 解得． 故x的取值范围是． 题型十二、一元一次不等式(组)的应用——方案问题 1．华州区位于渭南市南部，有社火、皮影、秧歌、竹艺等多种民俗文化，曾被文化和旅游部命名为年度“中国民间文化艺术之乡”．某校准备组织180名师生到华州区旅游参观，现有甲、乙两种客车可供选择，已知3辆甲种客车的载客量比2辆乙种客车的载客量多60人，2辆甲种客车与1辆乙种客车的总载客量为110人 (1)求每辆甲种客车和每辆乙种客车的载客量分别为多少人： (2)若该校准备租用辆甲种客车和辆乙种客车，将180名师生一次送到目的地，且每辆车都恰好坐满，请你帮助学校设计出所有的租车方案 【答案】(1)甲种客车载客量为40人，乙种客车载客量为30人 (2)方案一：租用6辆乙种客车；方案二：租用3辆甲种客车，2辆乙种客车 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，熟练掌握方程组，不等式的解法是解题的关键． （1）设甲种客车载客量为人，乙种客车载客量为人，根据题意即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据题意，得，求解符合题意的整数解即可． 【详解】（1）解：设甲种客车载客量为人，乙种客车载客量为人， 根据题意，得， 解得． 答：甲种客车载客量为40人，乙种客车载客量为30人． （2）解：根据题意，得， 即， ， 解得， 为整数， 取0，1，2，3，4， ，符合题意， ，不符合题意， ，不符合题意， ，符合题意， ，不符合题意； 答：一共有2种方案，即方案一：租用6辆乙种客车；方案二：租用3辆甲种客车，2辆乙种客车． 2．某中学开学初到商场购买、两种品牌的足球，购买种品牌的足球个，种品牌的足球个，共花费元，已知购买一个种品牌的足球比购买一个钟品牌的足球多花元． (1)求购买一个种品牌、一个种品牌的足球各需多少元． (2)学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进、两种品牌足球共个，正好赶上商场对商品价格进行调整，品牌足球售价比第一次购买时提高元，品牌足球按第一次购买时售价的折出售，如果学校此次购买、两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的%，且保证这次购买的种品牌足球不少于个，则这次学校有哪几种购买方案？ (3)请你求出学校在第二次购买活动中最多需要多少资金？ 【答案】(1)购买一个A种品牌的足球需要50元，购买一个B种品牌的足球需要80元 (2)见解析 (3)学校在第二次购买活动中最多需要元资金 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用， （1）设A种品牌足球的单价为元，种品牌足球的单价为元，根据“总费用买种足球费用买种足球费用，以及种足球单价比种足球多花元”可得出关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结论； （2）设第二次购买种足球个，则购买种足球个，根据“总费用买种足球费用买种足球费用，以及种足球不小于个”可得出关于的一元一次不等式组，解不等式组可得出的取值范围，由此即可得出结论； （3）分析第二次购买时，、种足球的单价，即可得出哪种方案花钱最多，求出花费最大值即可得出结论． 【详解】（1）解：设种品牌足球的单价为元，种品牌足球的单价为元， 依题意得：，解得：． 答：购买一个种品牌的足球需要元，购买一个种品牌的足球需要元． （2）解：设第二次购买种足球个，则购买种足球个， 依题意得：， 解得：． 故这次学校购买足球有五种方案： 方案一：购买A种足球个，B种足球个； 方案二：购买A种足球个，B种足球个； 方案三：购买A种足球个，B种足球个． 方案四：购买A种足球个，B种足球个． 方案五：购买A种足球个，B种足球个． （3）解：∵第二次购买足球时，A种足球单价为(元)，B种足球单价为(元)， ∴当购买方案中B种足球最多时，费用最高，即方案一花钱最多． ∴(元)． 答：学校在第二次购买活动中最多需要元资金． 3．实验中学准备新学期购买一批篮球和跳绳，经过市场调查后发现篮球每个定价150元，跳绳每条定价20元．体育用品商店提供A、B两种优惠方案： A方案：买一个篮球送一条跳绳； B方案：篮球和跳绳都按定价的90％付款． 已知学校要购买篮球40个，跳绳x条． (1)请求出学校按两种方案购买分别需要支付的金额．（用含x的代数式表示） (2)当时，请通过计算说明此时学校选择哪种方案购买较为合算？ (3)当x在什么范围取值时，学校选择A方案购买更合算？请你直接写出此时x的取值范围． 【答案】(1)学校按A方案购买需要支付的金额为元，学校按B方案购买需要支付的金额为元 (2)学校选择B方案购买较为合算 (3) 【分析】本题考查列代数式，代数式求值，不等式的应用，解题的关键： （1）由题意按A方案购买可列式：，在按B方案购买可列式：； （2）把代入（1）中的结果计算A、B两种方案所需要的费用即可； （3）根据A方案的费用比A方案的费用低列不等式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得 按A方案购买需要支付的金额为元， 按B方案购买需要支付的金额为元； （2）解：当时， 按A方案购买需要支付的金额为元， 按B方案购买需要支付的金额为元； ∵， ∴学校选择B方案购买较为合算； （3）解：根据题意，得， 解得， 又， ∴， 即当时，学校选择A方案购买更合算． 题型十三、一元一次不等式(组)的应用——作差法比较发小 1．【阅读材料】用作差法比较大小： 两个数量的大小可以通过它们的差来判断．如果两个数和比较大小，那么 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有． 反过来也对，即 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有． 因此，我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小． 【解决问题】制作某产品有两种用料方案．方案一：用块型钢板，块型钢板；方案二：用块型钢板，块型钢板．型钢板的面积比型钢板大．从省料角度考虑，应选哪种方案？ 【答案】从省料角度考虑，应选方案二 【分析】本题考查了整式的加减，不等式的应用，熟练掌握作差法比较大小是解题的关键．设一块型钢板的面积为，一块型钢板的面积为， 利用作差法进行比较，即可解答． 【详解】解：设一块型钢板的面积为，一块型钢板的面积为， 方案一所用钢板的面积为， 方案二所用钢板的面积为， ， ， ， 从省料角度考虑，应选方案二． 2．要比较两个数，的大小，有时可以通过比较与的大小来解决：如果，则；如果，则；如果，则． (1)若，，试比较，的大小． (2)若，，为何值时，，． 【答案】(1) (2)当时，；当时，；当时， 【分析】（1）利用作差法进行计算即可； （2）根据题意列出相关不等式和方程，进行计算即可求出的取值范围． 【详解】（1）由题意可知：， ， ，． ； （2）， ， ， ， 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即． 【点睛】本题考查整式的加减和不等式的解法，正确进行计算是解题关键． 3．如图，已知有甲､乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），面积分别为、． （1）请比较与的大小：_____； （2）若一个正方形与甲的周长相等． ①求该正方形的边长（用含m的代数式表示）； ②若该正方形的面积为，试探究：与的差（即）是否为常数?若为常数，求出这个常数：如果不是，请说明理由； （3）若满足条件的整数n有且只有8个，直接写出m的值． 【答案】（1）＜；（2）①m+4.5；②为常数，0.25；（3）m=8 【分析】（1）根据矩形的面积公式计算即可； （2）①根据矩形和正方形的周长公式即可得到结论； ②根据矩形和正方形的面积公式即可得到结论； （3）根据题意得出关于m的不等式，解之即可得到结论． 【详解】解：（1）图甲中长方形的面积S1=（m+5）（m+4）=m2+9m+20， 图乙中长方形的面积S2=（m+7）（m+3）=m2+10m+21， ∵S1-S2=-m-1，m为正整数， ∴-m-1＜0， ∴S1＜S2． 故答案为：＜； （2）①2（m+5+m+4）÷4=m+4.5； ②S3-S1=（m+4.5）2-（m2+9m+20）=0.25， 故S3与S1的差（即S3-S1）是常数； （3）由（1）得|S1-S2|=m+1，且m为正整数， ∵0＜n＜|S1-S2|， ∴0＜n＜m+1， 由题意得8＜m+1≤9， 解得：7＜m≤8， ∵m为正整数， ∴m=8． 【点睛】本题主要考查列代数式，整式的混合运算，解题的关键是掌握多项式乘多项式、长方形的性质、正方形的性质等知识． 题型十四、一元一次不等式(组)的新定义应用 1．定义：对于立信不等式：，当时，；当时，． (1)若关于的不等式的解集是，求不等式的解集； (2)若关于的不等式组的解集中有且只有2个整数解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程和一元一次不等式组等． （1）根据新定义整理不等式并求出其解集，进而得，解方程可得m的值，根据新定义整理所求不等式，再将m的值代入并解不等式即可． （2）先根据新定义整理不等式组得，解不等式组，再根据其解集中有且只有2个整数解，得到关于n的不等式组，解不等式组即可得的取值范围． 【详解】（1）解：，， ， 解得：， 又关于的不等式的解集是， ， 解得：， ， ， 把代入得， 解得：； （2）解：关于的不等式组可变为， 解得：， 关于的不等式组的解集中有且只有2个整数解， ∴， 解得：． 2．我们定义，关于同一个未知数的不等式和，两个不等式的解集相同，则称与为同解不等式． (1)若关于的不等式，不等式是同解不等式，求的值； (2)若关于的不等式，不等式是同解不等式，其中，是正整数，求，的值； (3)若关于的不等式，不等式是同解不等式，试求关于的不等式的解集． 【答案】(1)1 (2)或或 (3) 【分析】本题考查了不等式的性质及解不等式，理解新定义时解题的关键． （1）利用题干中的同解不等式的定义求解； （2）利用题干中的同解不等式的定义及整除定义求解； （3）利用题干中的同解不等式的定义求出字母的取值，再解字母系数的不等式． 【详解】（1）解：，解得：， ，解得：， ∵两不等式是同解不等式， ∴，解得：； （2）解：，解得：， ，解得：， ∵两不等式是同解不等式， ∴，即， ∵，是正整数， ∴为1或4或2， ∴或或； （3）解：，解得：， ∵不等式P和不等式Q是同解不等式， ∴， ，解得：， ∴， ∴，即，， ∴，即， ∴， ∴解得：， 即关于的不等式的解集为． 3．定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”．例如：的解为，的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“关联方程”． (1)在方程①，②，③中，不等式组的“关联方程”是__________（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； (3)若方程都是关于的不等式组的“关联方程”，试求的取值范围． 【答案】(1)③ (2) (3) 【分析】本题考查了一元一次不等式组和一元一次方程的解： （1）分别求出三个方程的解和不等式组的解集，根据“关联方程”的概念即可得出答案； （2）解不等式组后，根据新定义即可得出答案； （3）分别解出方程和不等式组，根据新定义即可求 【详解】（1）①的解为： ②的解为： ③的解为： 不等式组的解为： 因为在中 所以不等式组的“关联方程”是③ （2）不等式组得， 解方程得：， 所以， 解得． （3）解得， 解得， ， ， ， ． 题型十五、阅读理解——特殊不等式 1．先阅读理解下列问题，再按要求完成解答 例题：解一元二次不等式 解：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有①或②，解不等式组①得，解不等式组②得．所以一元二次不等式得解集是或 根据上述例题解答，求不等式的解集 【答案】 【分析】根据由有理数的除法法法则“两数相除，异号得负”转化为两个不等式组求解即可． 【详解】解：由得①或②， 解不等式组①得， 解不等式组②得无解， 所以不等式的解集是 【点睛】本题考查了有理数的除法法则和解一元一次不等式组，根据除法法则把转化为两个不等式组求解是解答本题的关键． 2．同学们学习了有理数乘法，不等式组与方程组的知识，它们之间有着一定的逻辑关联.请仔细阅读下面的材料，并解决问题： 阅读理解： 若，根据两数相乘，同号得正运算法则，原不等式可以转化为 或 ．例如：解不等式，原不等式可以转化为 或．解不等式组 ，得；解不等式组，得．∴原不等式的解集为或． 学以致用： (1)根据以上材料，直接写出不等式的解集为 ； (2)请你参考上面思考问题的方法，解不等式； (3)已知关于的二元一次方程组的解满足，求m的取值范围． 【答案】(1)或； (2)； (3) 【分析】（1）按照例题的解题思路进行计算，即可解答； （2）根据两数相除，同号得正，异号得负列不等式组计算即可； （3）先求解出二元一次方程组的解用含m的参数表示出来，再根据，按照例题的思路进行求解即可 【详解】（1）解：∵两数相乘，异号得负，， ∴原不等式可以转化为或 解不等式组得； 解得， 综上所述，不等式的解集为：或； 故答案为：或； （2）解：∵ ∴或， 解得， 解得此不等式组无解， ∴解不等式的解集为； （3）解：解方程组，得 ∵， ∴或 ∴解得． 解得此不等式组无解． 综上所述，m的取值范围是． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，有理数的乘除法，二元一次方程组的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 3．先阅读理解下列例题，再按要求完成作业． 例题：解一元二次不等式． 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有①或②． 解不等式组①得，解不等式组②得． 所以一元二次不等式的解集是或． (1)求不等式的解集； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，一元一次不等式组的解法，根据新定义运算的含义把二次不等式化为一次不等式组是解本题的关键； （1）由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”可得①或②，解不等式组即可； （2）由有理数的除法法则“两数相除，同号得正”可得①或②，再解不等式组即可． 【详解】（1）解：， 由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负” 有①或②， 解不等式组①得， 解不等式组②得， 所以一元二次不等式的解集是或； （2）， 由有理数的除法法则“两数相除，同号得正” 有①或②， 解不等式组①得：， 解不等式组②无解， 所以不等式的解集是． 8 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $$