第7章 一元一次不等式（题型清单）（十九类题型清单）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（华东师大版2024）

第7章 一元一次不等式（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 要点一：一元一次不等式的定义 含有一个未知数，未知数的次数是1，未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式，叫做一元一次不等式。 要点二：不等式的解与解集 使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 要点三：不等式的性质 1. 如果a>b，b>c，那么a>c（不等式的传递性）。 2. 不等式的两边同加（减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。 3. 不等式的两边同乘（除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同乘（除以）同一个负数，不等号的方向改变。 4. 如果a>b，c>d，那么a+c>b+d（不等式的加法法则）。 5. 如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd（可乘性）。 6. 如果a>b>0，n∈N，n>1，那么an>bn，且当0<n<1时也成立（乘方法则）。 要点四：一元一次不等式的解法 步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为一。注意：去分母与系数化为一要特别小心，因为要在不等式两端同时乘或除以某一个数，要考虑不等号的方向是否发生改变的问题。 要点五：一元一次不等式组 1.定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。 2.解集：几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集。解不等式组就是求它的解集。 3.解法：先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式的解集。 解一元一次不等式组的一般方法： 以两条不等式组成的不等式组为例： 若两个未知数的解集在数轴上表示同向左，就取在左边的未知数的解集为不等式组的解集，此乃“同小取小”。 若两个未知数的解集在数轴上表示同向右，就取在右边的未知数的解集为不等式组的解集，此乃“同大取大”。 若两个未知数的解集在数轴上相交，就取它们之间的值为不等式组的解集。若x表示不等式的解集，此时一般表示为a<x<b，或a≤x≤b。此乃“相交取中”。 若两个未知数的解集在数轴上向背，那么不等式组的解集就是空集，不等式组无解。 要点六：一元一次不等式（组）的应用 1.、分配与调配问题 在资源分配、人员调配等场景中，经常需要根据一定的条件来确定最优的分配或调配方案。这时，一元一次不等式（组）可以帮助我们建立数学模型，通过求解不等式（组）来找到满足条件的分配或调配方案。例如，某公司需要根据员工的技能和工作经验来分配工作任务，以确保任务能够按时完成且成本最低，这时就可以使用一元一次不等式（组）来求解最优的分配方案。 2、费用与利润问题 在商业活动中，费用与利润是企业关注的重点。通过建立一元一次不等式（组）模型，我们可以分析不同销售策略、生产成本等因素对费用和利润的影响，从而制定出最优的经营策略。例如，某商店需要确定商品的售价和打折策略，以确保利润最大化，这时就可以使用一元一次不等式（组）来求解最优的售价和打折策略。 3、方案选择问题 在面临多种方案选择时，我们需要根据一定的标准来评估每种方案的优劣。一元一次不等式（组）可以帮助我们建立评估模型，通过求解不等式（组）来找到满足条件的最优方案。例如，某公司需要选择一种运输方式来运输货物，以确保运输成本最低且运输时间最短，这时就可以使用一元一次不等式（组）来求解最优的运输方案。 4、决策支持问题 在决策过程中，我们需要考虑多种因素的影响，并制定出最优的决策方案。一元一次不等式（组）可以作为决策支持工具，帮助我们分析不同决策方案的可能结果，从而制定出最优的决策方案。例如，在政府部门制定救灾物资分配方案时，需要考虑各种运输方式、载货量和租金等因素，这时就可以使用一元一次不等式（组）来求解最优的救灾物资分配方案。 03 题型归纳 题型一　一元一次不等式(组)的定义 例题：下列不是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元一次不等式组的定义进行解答． 【详解】解：A、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项不合题意； B、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项不合题意； C、该不等式组中含有2个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项符合题意； D、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义，每个不等式中含有同一个未知数且未知数的次数是1的不等式组是一元一次不等式组． 巩固训练 1．下列不等式组中，属于一元一次不等式组的有(　　) ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】一元一次不等式组中指含有一个相同的未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式的两边都是整式，根据以上内容判断即可． 【详解】解：①⑤是一元一次不等式组，②③④不是一元一次不等式组， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义，熟练掌握一元一次不等式组的定义是解题的关键． 2．已知不等式是关于x的一元一次不等式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解题的关键．根据一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：，， 解得：， 故答案为：． 3．若是关于x的一元一次不等式，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的整式不等式是一元一次不等式．根据一元一次不等式的定义，即可求解． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴且， 解得：． 故答案为：． 题型二　列一元一次不等式(组) 例题：将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有1个小朋友所分苹果不到8个．若小朋友的人数为x，则列式正确的是（    ） A．0≤5x＋12－8（x－1）＜8 B．0＜5x＋12－8（x－1）≤8 C．1≤5x＋12－8（x－1）＜8 D．1＜5x＋12－8（x－1）≤8 【答案】C 【解析】略 巩固训练 1．若一艘轮船沿江水顺流航行用时少于小时，它沿江水逆流航行也用时少于小时，设这艘轮船在静水中的航速为，江水的流速为，则根据题意可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】船只顺流速度船静水中的速度水流流速， 船只逆流速度船静水中的速度水流流速， 根据“顺流航行用时少于小时，它沿江水逆流航行也用时少于小时”建立方程，即可得出答案． 【详解】根据题意，得， 故选：． 【点睛】此题是由实际问题抽象出二元一次方程，主要考查了水流问题，找到相等关系是解本题得关键． 2．用不等式表示：的3倍与3的和是非负数： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言描述的不等关系转化为用数学符号表示的不等式． 首先表示出a的3倍是，非负数是大于等于0的数，进而列出不等式即可． 【详解】解：a的3倍是，由题意得：． 故答案为：． 3．“与1的差大于b的2倍”用不等式表示为： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”，“至少”，“最多”等等，正确选择不等号． 根据“a与1的差大于b的2倍”，即可列出关于a的一元一次不等式． 【详解】解：根据题意，得． 故答案为：． 题型三　不等式的基本性质 例题：若，则下列不等式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的基本性质（1）对A进行判断；根据不等式的基本性质（2）对B、C进行判断；根据不等式的基本性质（3）对D进行判断． 【详解】解：A．，则成立，所以A选项不符合题意； B．，则，即不成立，所以B选项符合题意； C．，则成立，所以C选项不符合题意； D．，则成立，所以D选项不符合题意． 故选：B． 巩固训练 1．若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是不等式的性质．根据不等式的性质解答即可． 【详解】解：， ， 故选：A． 2．水果店的小王从水果批发市场购进梨和苹果，在卖出梨和苹果后，又分别购进了梨和苹果，请用请用“＜”或“＞”填空 【答案】 ＞ ＞ 【分析】此题考查了不等式的性质．根据不等式的性质进行解答即即可． 【详解】解：，， 故答案为：＞，＞ 3．用“”或“”连结： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，根据结合不等式两边同时加上或减去同一个数或式子不等号的方向不改变即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 题型四　不等式(组)的解 例题：下列说法中，错误的是（   ） A．不等式的正整数解只有一个 B．是不等式的一个解 C．不等式的整数解有无数个 D．不等式的解集是 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的步骤解出不等式然后一一判断即可． 【详解】解：．，则，则不等式的正整数解只有1一个，故该选项不符合题意； ．，则，则是不等式的一个解，故该选项不符合题意； ．，则，则不等式的整数解有无数个，故该选项不符合题意； ． ，则，故该选项符合题意； 故选：D． 巩固训练 1．关于的不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，则的取值范围是（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了不等式组的解集，先求解不等式组的解集，再根据不等式组的解集结合题意，可得答案．利用不等式的解集不在的范围中得出或是解题关键． 【详解】解：由， 由①得； 由②得； 解得． 关于的不等式组的解集中每一个值均不在的范围中， 得或， 解得或， 故选：B． 2．不等式的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的步骤解答即可，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．，，，都是不等式的解，请写出一个满足条件的不等式： ． 【答案】（答案为不唯一） 【分析】本题考查了不等式，解题的关键是掌握不等式的解，根据，，，都是不等式的解，写出不等式即可． 【详解】解：，，，都是不等式的解， 该不等式可以是， 故答案为：（答案为不唯一）． 题型五　在数轴上表示不等式(组)的解集 例题：不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的求解，在数轴上表示出不等式组的求解，先分别求出两个不等式的解集，得出不等式组的解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 在数轴上表示如下图： ， 故选：A． 巩固训练 1．不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题主要考查了解不等式并把解集在数轴上表示，熟练的掌握不等式的性质，会求不等式的解集，是解题的关键．注意：“”在数轴上是空心小圆圈，“”在数轴上是实心小圆点． 根据不等式的性质，求出不等式的解集，进而判定在数轴上表示正确选项即可． 【详解】解：∵ ∴． 在数轴上表示D选项是正确的． 故选：D． 2．一个不等式的解集在数轴上表示如图，则这个不等式可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查可根据数轴上不等式的解集列不等式．根据数轴上表示的不等式组的解集为，可得答案． 【详解】解：根据数轴可得出这个不等式的解集为：， 故如不等式， 故答案为：（答案不唯一） 3．已知一个不等式组的解集在数轴上如图表示，那么这个不等式组的解集为 ； 【答案】 【分析】本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，利用了数形结合的思想，解答此题的关键是熟知实心圆点与空心圆点的区别． 根据在数轴上表示不等式组解集的方法求出不等式组的解集即可． 【详解】解：∵处为实心圆点，且折线向右， ∴ ∵处为空心圆点折线向右， ∴ ∴不等式组的解集为． 故答案为：． 题型六　一元一次不等式(组)求参 例题：关于x的不等式组的解集是，则a的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式组解集的定义进行解答即可． 本题考查不等式的解集，理解不等式组解集的定义是正确解答的关键． 【详解】解：∵关于x的不等式组的解集是， ∴． 故选：A． 巩固训练 1．若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集求参数，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）” 确定不等式组的解集的原则进行求解即可． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得． 不等式组的解集是， ， 故选：D． 2．已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，根据不等式的基本性质，由不等式的解集为，可得：，据此求出a的取值范围即可． 【详解】解：∵关于x的不等式的解集为， ， 故答案为： 3．已知关于的不等式组的解集为，求的值． 【答案】． 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．分别求出每个不等式的解集，再结合不等式组的解集得出关于a、b的方程，解之即可得出答案． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以该不等式组的解集是， 因为关于的不等式组的解集为， 所以，， 解得， 所以． 题型七　一元一次不等式(组)与一元一次方程 例题：若关于的方程的解是负数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查含参数的一元一次方程、一元一次不等式的解法等知识，掌握相关知识是解题关键．先解出的值，用含的代数式表示，再利用方程的解是负数，转化为解含字母的一元一次不等式，即可解题． 【详解】解：， ， ， ， 关于的方程的解是负数， 解得：， 故选：A． 巩固训练 1．如果关于y的方程有非负整数解，且关于x的不等式组的解集为，则所有符合条件的整数a的和为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，解方程得出，根据关于y的方程有非负整数解，得出，且为整数，由不等式组的解集得出，进而即可求解． 【详解】解：， 解得：， 关于y的方程有非负整数解， ， 解得：，且为整数， ，整理得：， 不等式组的解集为， ， ，且为整数， ，， 于是符合条件的所有整数a的值之和为：， 故选：B． 2．若两个方程的解都是关于的不等式组的解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组，先解一元一次方程得出，根据题意得到，解不等式组，即可求解． 【详解】根据题意，得不等式组的解集为． 因为方程的解分别为， 所以 解得． 故答案为：． 3．已知关于x的方程．若方程的解是负数，求m的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，以及解一元一次不等式，先解一元一次方程得出，再根据方程的解是负数列出关于m的一元一次不等式，解不等式即可求解． 【详解】解：解方程， 得． 因为方程的解是负数， 所以， 所以． 题型八　一元一次不等式(组)与二元一次方程组 例题：方程组的解x、y适合，则的取值（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查解二元一次方程组和解一元一次不等式组．求出方程组的解，再根据列不等式组，解不等式组即可． 【详解】解： 由，得： 又∵，， 即有：， ∴， ∴， 故选：D． 巩固训练 1．已知关于的方程组的解满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，解二元一次方程组，熟练掌握相关解法是解题关键．由得出，再代入已知不等式，求出a的取值范围即可． 【详解】解：， 由得：， 则， ∵关于的方程组的解满足， ∴， 解得：， 故选：D． 2．若方程组的解x、y，都是正数，则a的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，一元一次不等式组的解法，利用加减消元法求出方程组的解的表达式是解题的关键．先利用加减消元法求出x、y的表达式，再根据x，y都是正数列出不等式组，然后解不等式即可． 【详解】解： ①②得：，解得：， 将代入①得：，解得：， x、y，都是正数， ， 解得：． 3．已知关于的方程组 (1)若该方程组的解满足，求的值； (2)若该方程组的解满足均为正数，求的取值范围． 【答案】(1)的值为2024 (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式； （1）用得到，再根据条件，得到，解方程即可； （2）利用加减消元法求出，再根据均为正数，建立不等式求解即可． 【详解】（1）解： ①+②，得，即③， 代入， 得， 解得， 故的值为2024； （2）解方程组， 得 均为正数, 解得． 题型九　一元一次不等式(组)的整数解 例题：若数a使关于x的不等式组，有且仅有三个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　） A．0 B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查根据不等式组的解集的情况，求参数的范围，先解不等式组，根据其有三个整数解，得a的一个范围，再判断整数求和即可． 【详解】解：由关于x的不等式组， 得， ∵有且仅有三个整数解， ∴1，2，或3． ∴， ∴； a的整数解有． ∴所有满足条件的整数a的值之和是0． 故选：A． 巩固训练 1．若实数2是关于x的不等式的一个解，则a可取的最小整数是（           ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的解，解一元一次不等式． 先解原不等式，得出，根据实数2是关于x的不等式的一个解，求出，即可解答． 【详解】解：， ， ， ∵实数2是关于x的不等式的一个解， ∴， 解得：， ∴a可取的最小整数是3， 故选：C． 2．若整数a使得关于x的不等式组有且仅有6个整数解，且使关于y的一元一次方程的解满足，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组和不等式组的整数解等知识点，能根据不等式组的解集及整数解的个数求出的取值范围是解此题的关键． 先求出不等式组的解集，根据不等式组的整数解的个数求出的范围，求出方程的解，根据求出的范围，求出公共部分，再求出的整数解，最后求出答案即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是， ∵a为整数，不等式组有且仅有6个整数解， ， 解得：， 解方程得：， ， ， 解得：， ∵a为整数， ∴a为16或17， ， 故答案为：33． 3． 关于x的方程的方程 的解满足． (1)求a的取值范围； (2)在（1）的条件下，若不等式的解为．求整数a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，一元一次方程的解等知识点， （1）先解方程可得：，然后把x的值代入中进行计算，即可解答； （2）根据不等式的性质可得：，从而可得，然后利用（1）的结论可得：，从而可得：，即可解答； 准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴； （2）， ， ∵不等式的解为， ∴， ∴， 由（1）可得：， ∴， ∵a是整数， ∴． 题型十　一元一次不等式(组)的新定义运算 例题：定义新运算“*”，规定．若关于x的不等式的解集为，则 m 的值为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查新定义、解一元一次不等式、解一元一次方程，先根据新定义可得，解不等式得，从而可得，再解方程即可． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， 解得， ∵不等式的解集为， ∴， 解得， 故选：B． 巩固训练 1．在实数范围内定义新运算“△”，其规则是．已知关于x的不等式的解集在数轴上如图所示，则k应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．根据新运算法则得到不等式，通过解不等式即可求k的取值范围，结合图象可以求得k的值． 【详解】解：根据图示知，已知不等式的解集是． ∵， ∴， ∴， ∴解得． 故选：A． 2．定义运算表示求不超过的最大整数．如，，，．若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，根据题意得出，即，据此可得，解之即可，解题的关键是根据新定义列出关于的不等式组． 【详解】解：根据题意得： ∴， ∴， ∴则， 解得：， 故答案为：． 3．对m、n的定义一种新运算“◇”，规定：（其中a、b均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如：．已知，． (1)求a、b的值； (2)若关于x的不等式组有且只有一个整数解，试求字母t的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】根据已知新运算得出方程组，求出方程组的解即可； 先根据运算得出不等式组，求出每个不等式的解集，根据已知得出关于t的不等式组， 求出解集即可； 【详解】（1） ， 解得: ； （2）∵， ∴, , 即 ， 解得： ， ∵关于x的不等式组 有且只有一个整数解， ， 解得: , 【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解等知识点，能根据已知算式得出方程组或不等式组是解此题的关键. 题型十一　解一元一次不等式(组) 例题：解不等式：． 【答案】 【分析】本题考查求不等式的解集，去括号，移项，合并，系数化1，进行求解即可． 【详解】解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 巩固训练 1．如图所示的是小星同学解不等式的过程． 解不等式：． 解：去分母，得，① 去括号，得，② 移项，得，③ 合并同类项，得，④ 系数化为1，得．⑤ （1）小星的解答从第 步开始出错（填序号）； （2）请写出正确的答案： ． 【答案】 ⑤ 【分析】本题考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的方法． （1）观察可知，小星的解答从第⑤步开始出错； （2）根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：（1）观察可知，小星的解答从第⑤步开始出错， 故答案为：⑤； （2）， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 故答案为：． 2．解不等式组 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程组，求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 分别解出两不等式的解集，再求其公共解． 【详解】解： 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：． 3．解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法和不等式的解集在数轴上表示，先求出两个不等式的解集，再求其公共解即可得到答案． 【详解】解：解不等式①得：，   解不等式②得：，   在数轴上表示如图所示： ， ∴不等式组的解集为． 题型十二　一元一次不等式(组)的实际应用——方案问题 例题：在陕西省的西南部，隐匿着一个自然风光与人文历史交相辉映的宝地——洋县，这里不仅是中国“朱鹦之乡”，更是众多游客心中的旅游胜地．某校准备组织180名师生到洋县旅游参观，现有甲、乙两种客车可供选择，已知3辆甲种客车的载客量比2辆乙种客车的载客量多60人，2辆甲种客车与1辆乙种客车的总载客量为110人． (1)求每辆甲种客车和每辆乙种客车的载客量分别为多少人； (2)若该校准备租用辆甲种客车和辆乙种客车，将180名师生一次送到目的地，且每辆车都恰好坐满，请你帮助学校设计出所有的租车方案． 【答案】(1)甲种客车载客量为40人，乙种客车载客量为30人 (2)一共有2种方案即方案一租用6辆乙种客车；方案二、租用3辆甲种客车，2辆乙种客车 【分析】（1）设甲种客车载客量为人，乙种客车载客量为人，根据题意即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据题意，得，求解符合题意的整数解即可． 本题考查了方程组，不等式的应用，熟练掌握方程组，不等式组的解法是解题的关键． 【详解】（1）解：设甲种客车载客量为人，乙种客车载客量为人， 根据题意，得， 解得． 答：甲种客车载客量为40人，乙种客车载客量为30人． （2）解：根据题意，得， 即， ， 解得， 为整数， 取0，1，2，3，4， ，符合题意，，不符合题意，，不符合题意， ，符合题意，，不符合 答：一共有2种方案即方案一租用6辆乙种客车；方案二、租用3辆甲种客车，2辆乙种客车． 巩固训练 1．某学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，其营养成分表如下： (1)若每份午餐需要恰好摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ (2)考虑到健康饮食的需求，若每份午餐需选用这两种食品共7包，并保证每份午餐中的蛋白质含量不低于，且脂肪含量要尽可能低．请通过计算，求出符合要求且脂肪含量最低的配餐方案． 【答案】(1)应选用A种食品4包，B种食品2包 (2)应选用A种食品3包，B种食品4包 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用： （1）设选用A种食品x包，种食品y包，根据“恰好摄入热量和蛋白质”列方程组，即可求解； （2）设应选用A种食品a包，B种食品包，根据“每份午餐中的蛋白质含量不低于”列不等式，求出不等式的最大整数解即可． 【详解】（1）解：设选用A种食品x包，种食品y包， 由题意可知，， 解得． 答：应选用A种食品4包，B种食品2包． （2）解：设应选用A种食品a包，B种食品包， 由题意可知，． 解得：． 当选用A种食品a包时，脂肪含量（单位：g）为， 脂肪含量随a的增大而减小． ∴时既符合蛋白质的需求，又能够保证脂肪含量最少． B种食品:（包）． 答：应选用A种食品3包，B种食品4包． 2．“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．基本中学为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元． (1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ (2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8600元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？ 【答案】(1)每套甲型号“文房四宝”的价格是100元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是60元 (2)共有5种购买方案，最低费用是8440元 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用，正确地列出一元一次方程和一元一次不等式是解题的关键． （1）设每套甲型号“文房四宝”的价格是x元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元，根据每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元，得出方程，解方程即可； （2）设需购进乙种型号“文房四宝”m套，则需购进甲种型号“文房四宝”套，根据题意得到不等式组，解不等式组即可得到结论． 【详解】（1）解：设每套甲型号“文房四宝”的价格是x元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元， 由题意可得， 解得， ． 答：每套甲型号“文房四宝”的价格是100元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是60元； （2）解：设需购进乙种型号“文房四宝”m套，则需购进甲种型号“文房四宝”套， 由题意可得：， 解得， 又∵m为正整数， ∴m可以取85，86，87，88，89； ∴共有5种购买方案， 方案1：购进35套甲型号“文房四宝”，85套乙型号“文房四宝”； 方案2：购进34套甲型号“文房四宝”，86套乙型号“文房四宝”； 方案3：购进33套甲型号“文房四宝”，87套乙型号“文房四宝”； 方案4：购进32套甲型号“文房四宝”，88套乙型号“文房四宝”； 方案5：购进31套甲型号“文房四宝”，89套乙型号“文房四宝”； ∵每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元， ∴甲型号“文房四宝”的套数越少，总费用就越低， ∴最低费用是（元）． 3．高尔基说：“书籍是人类进步的阶梯”．为提高学生的阅读水平，某中学购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多4元，购买30本“科普类”图书和40本“文学类”图书共花费1240元． (1)求这两种图书的单价分别是多少元？ (2)学校决定再次购买这两种图书共100本，总费用超过1790元但不超过1800元，则学校有哪几种购买方案． 【答案】(1)“科普类”图书的单价为20元，“文学类”图书的单价为16元 (2)①购买“科普类”图书48本，“文学类”图书52本；②购买“科普类”图书49本，“文学类”图书51本；③购买“科普类”图书50本，“文学类”图书50本 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及不等式组的应用，找准数量关系，正确列出一元一次方程和一元一次不等式是解题的关键． （1）设“科普类”图书的单价为x元，则“文学类”图书的单价为元，根据共花费1240元，即可得出关于x的方程，解之即可得出结论； （2）设“文学类”书购a本，根据总价单价数量，结合总费用超过1790元且不超过1800元，列出不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：设“科普类”图书的单价为x元，则“文学类”图书的单价为元，                         由题意得：， 解得：， 则，                        答：“科普类”图书的单价为20元，则“文学类”图书的单价为16元； （2）解：设“文学类”书购买a本，则“科普类”书购买本， 依题意得：， 解得：． 因为a是正整数，所以． ∴学校有3种购买方案：                         ①购买“科普类”图书48本，“文学类”图书52本； ②购买“科普类”图书49本，“文学类”图书51本； ③购买“科普类”图书50本，“文学类”图书50本． 题型十三　一元一次不等式(组)的实际应用——收费问题 例题：有下列两种移动电话计费方法： 月使用费元 主叫限定时间 主叫超时费（元 被叫 套餐 免费 套餐 免费 （月使用费固定收，主叫不超过限定时间不再收费，主叫超过部分加收超时费，被叫免费） (1)若张老师选用套餐，9月份主叫时间分钟，则他9月份的通话费用为 元． (2)若王老师选择套餐，李老师选择套餐，10月份两位老师的主叫时间与通话费用恰好都相同，求两位老师10月份的主叫时间． (3)设主叫时间为分钟，直接写出满足什么条件时，选择套餐省钱． 【答案】(1) (2)通话时长为分钟或分钟时，两人通话时长相等，费用相等 (3)当，选择套餐省钱 【分析】本题考查了一元一次方程以及一元一次不等式的生活应用，根据问题，把实际问题转化成相应的一元一次方程知识解答是解题的关键． （1）设通话时长为分钟，根据题意，得套餐的通话费用计算方式为：或元，代入解答即可； （2）设两位老师的相同通话时长为分钟，根据题意，得王老师的通话费用计算方式为：或元，李老师的通话费用计算方式为：或元，分类解答即可； （3）设通话时长为分钟，根据题意，得套餐的通话费用计算方式为：或元，套餐的费用为或元，分类计算可． 【详解】（1）解：设通话时长为分钟，根据题意得：套餐的通话费用计算方式为：， 当时， （元， 故答案为：； （2）解：设两位老师的相同通话时长为分钟，根据题意，得王老师的通话费用计算方式为：或元，李老师的通话费用计算方式为：或元， 当两位老师的费用都是元时，根据题意得： ， 解得：； 当两位老师的费用超过元时，根据题意得： ， 解得． 故通话时长为分钟或分钟时，两人通话时长相等，费用相等． （3）解：设通话时长为分钟，根据题意，得套餐的通话费用计算方式为：或元，套餐的费用为或元， 根据（2）解答得： 时，套餐便宜， 此时； 当时，套餐便宜， 此时； 故当，选择套餐省钱． 巩固训练 1．某地光纤上网有两种收费方式，用户可以任选其一． A：计时制：元/分，B：包月制：50元/月，每一种上网时间都要再收取通信费元/分 (1)某用户某月上网时间为x小时，请写出两种收费方式下该用户应该支付的费用． (2)用户选哪一种收费方式更合算？ 【答案】(1)A种收费方式的费用为元；B种收费方式的费用为元； (2)当上网时间低于小时时，选择甲种收费方式合算；当上网时间等于小时时，选择两种收费方式一样合算；当上网时间高于小时时，选择乙种收费方式合算 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次不等式的实际应用，一元一次方程的实际应用： （1）A种收费等于上网费用加上通信费，B种收费等于包月费用加上通信费，据此求解即可； （2）根据（1）所求分别求出时，时，时的x的值或取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，A种收费方式的费用为元； B种收费方式的费用为元； （2）解：当时，解得； 当时，解得； 当时，解得； ∴当上网时间低于小时时，选择甲种收费方式合算；当上网时间等于小时时，选择两种收费方式一样合算；当上网时间高于小时时，选择乙种收费方式合算． 2．某地区决定从2019年5月1日起对居民生活用电试行“阶梯电价”收费，具体收费标准如下表：2019年5月份，该地区居民甲用电100千瓦时，交电费60元；居民乙用电200千瓦时，交电费121元． 一户居民一个月用电量的范围 电费价格（单位：元/千瓦时） 不超过180千瓦时的部分 a 超过180千瓦时的部分 b (1)上表中， ， ． (2)随着夏天的到来，用电量将增加，为了节省开支，该地区某小区居民小王计划把今年6月份的电费控制在不超过家庭月收入的，若小王家庭月收入为9300元，则小王家今年6月份最多能用电多少千瓦时． 【答案】(1)0.6，0.65 (2)300千瓦时 【分析】此题主要考查了一元一次不等式的应用，有理数的除法运算和减法运算，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的不等关系． （1）利用居民甲用电100千瓦时，交电费60元，可以求出a的值，进而利用居民乙用电200千瓦时，交电费121元，求出b的值即可； （2）设小明家用电x千瓦时，不超过家庭月收入的，根据该市居民小王计划把今年6月份的电费控制在不超过家庭月收入的，列出不等式求解即可． 【详解】（1）根据2013年5月份，该市居民甲用电100千瓦时，交电费60元； 得出：， 居民乙用电200千瓦时，交电费121元． 则． 故答案为：0.6，0.65． （2）设小王家用电x千瓦时，不超过家庭月收入的， 由题意，得， 解得：． 答：小王家用电量最多能用电300千瓦时，不超过家庭月收入的． 3．如表中有两种手机通话计费方式： 月使用费 主叫限定时间（分钟） 主叫超时费（元分钟） 被叫 方式一 50 150 0.20 免费 方式二 80 350 0.25 免费 （月使用费固定收：主叫不超过限定的时间不再收费，主叫超过限定时间的部分加收超时费；被叫免费） (1)若李明某月主叫通话时间为200分钟，则他按方式一计费需___________元，按方式二计费需___________元；王华某月按方式二计费需100元，则王华该月主叫通话时间为___________分钟； (2)是否存在某个主叫通话时间（分钟），按方式一和方式二的计费相等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)直接写出当月主叫通话时间（分钟）满足什么条件时，选择方式一比选择方式二省钱． 【答案】(1)60，80，430 (2)存在，或 (3)或 【分析】本题考查了一元一次方程、一元一次不等式的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程和不等式，再求解． （1）根据“方式一”“方式二”的计费方式，分别求得李明不同通话时间对应的费用即可；设按 “方式二”计费时主叫通话时间为分钟，根据按“方式二”计费列出方程，解方程即可； （2）根据题中所给出的条件，分、、三种情况列一元一次方程并求解； （3）根据题中所给出的条件，分、、三种情况列一元一次不等式并求解即可得到答案． 【详解】（1）李明按方式一计费元， 李明按方式二计费元， 设王华该月主叫通话时间为分钟， ∵王华某月按方式二计费需100元 ∴ ∴ 故答案为：60，80，430； （2）结合题意，分、、三种情况， 当时，方式一计费方式二计费，不符合题意； 当时， ∵方式一和方式二的计费相等 ∴， ∴； 当时， ∵方式一和方式二的计费相等 ∴， ∴； ∴或时，按方式一和方式二的计费相等 （3）当时，方式一计费方式二计费，符合题意； 当时， ∵方式一计费方式二计费 ∴， ∴； 当时， ∵方式一计费方式二计费 ∴， ∴； ∴或时，选择方式一比选择方式二省钱． 题型十四　一元一次不等式(组)的实际应用——打折问题 例题：某品牌自行车进价为每辆800元，标价为每辆1200元．店庆期间，商场为了答谢顾客，进行打折促销活动，但是要保证利润率不低于，则最多可打几折？ 【答案】最多可打7折． 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．设该自行车能打x折，则根据利润率不低于，可得出不等式，解出即可得出答案． 【详解】解：设该自行车能打x折， 由题意得， 解得：， 答：最多可打7折． 巩固训练 1．某商品的进价是800元，标价是1100元．商店要求以获利不低于的售价打折出售，则最低可以打几折出售此商品？ 【答案】最低可以打八折出售此商品 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，理解利润率的计算方法是解决本题的关键．注意利润公式：利润=售价-进价． 【详解】设商店可以打x折出售此商品，依题意得： 解得： 答：最低可以打八折出售此商品 2．某商场为了迎战“双十一”购进一批A，B两种品牌的冬季暖风机共270台，其中A品牌比B品牌多50台，A，B两种品牌的冬季暖风机每台的进价和售价如表所示： 品牌 进价／（元／台） 售价／（元／台） A 80 100 B 90 120 (1)销售一台A品牌的冬季暖风机获得的利润是 元，销售一台B品牌的冬季暖风机获得的利润是 元；（注：利润=售价－进价） (2)问该商场购进A，B两种品牌冬季暖风机各多少台？ (3)受电商直播的影响，该商场调整销售策略，A品牌的冬季暖风机打折销售，B品牌的冬季暖风机售价改为110元．为使购进的A，B两种冬季暖风机全部售出且利润不少于2200元，问A品牌的冬季暖风机每台最低可打几折出售？ 【答案】(1)20，30 (2)该商场购进A品牌冬季暖风机160台，购进B品牌冬季暖风机110台 (3)A品牌的冬季暖风机每台最低可打八折出售 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）由利润售价进价即可得出； （2）由题意列出等量关系：A品牌数量B品牌数量；A品牌数量B品牌数量；可计算得出； （3）可设A种品牌的饮料打n折后出售，列出进行求解． 【详解】（1）解：一台A品牌的冬季暖风机获得的利润是（元）， 一台B品牌的冬季暖风机获得的利润是（元）， 故答案为：20，30； （2）解：设该商场购进A品牌冬季暖风机x台，购进B品牌冬季暖风机y台， 根据题意，得， 解得 ， 答：该商场购进A品牌冬季暖风机160台，购进B品牌冬季暖风机110台； （3）解：设A品牌的冬季暖风机每台打n折出售， 根据题意，得， 解得：， 答：A品牌的冬季暖风机每台最低可打八折出售． 3．某体育用品商场销售A，B两款足球，售价和进价如下表： 类型 进价（元/个） 售价（元/个） A款 120 B款 90 若该商场购进5个款足球和12个款足球共需1120元；若该商场购进10个款足球和15个款足球共需1700元． (1)每个款足球的利润为______元；每个款足球的利润为______元．（用含、的式子表示） (2)求和的值． (3)已知商场购进10个款足球和20个款足球，售货员说：“每个款足球按售价进行打折销售，款足球不打折”．若两款足球全部售出后总盈利不少于640元，则每个款足球最多打几折？ 【答案】(1)；； (2)； (3)每个款足球最多打7折． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，根据题意找出相等关系和不等关系是解题的关键． （1）根据利润等于售价减去进价即可得解； （2）根据“若该商场购进5个款足球和12个款足球共需1120元；若该商场购进10个款足球和15个款足球共需1700元”，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，的值； （3）设每个款足球打折销售，根据两款足球全部售出后总盈利不少于640元，得出关于的一元一次不等式，解不等式即可得出结论． 【详解】（1）解： 利润售价进价， 每个款足球的利润为元，每个款足球的利润为元． （2）解：根据题意得： 解得：． （3）解：设每个款足球打折销售，根据题意得 . 解得. 答：每个款足球最多打7折． 题型十五　一元一次不等式(组)的实际应用——几何问题 例题：如图，在△ABC中，BC=6cm．射线AG//BC，点E从点A出发沿射线AG以2cm/s的速度运动，当点E出发1s后，点F也从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度运动，分别连接AF，CE．设点E运动时间为t，其中t>0． (1)若∠BAF <∠BAC，则t的取值范围是_______ (2)当t为何值时，AE=CF； (3)是否存在某一时刻t，使S△ABF +S△ACE =S△ABC． 【答案】(1)0＜t＜3； (2)或时，AE＝CF； (3)当秒时，S△ABF +S△ACE =S△ABC． 【分析】（1）由∠BAF＜∠BAC可得出BF＜BC，然后根据点F的速度和运动时间列出不等式，解之即可得出结论； （2）分别表示出AE和CF的长度，由AE＝CF即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）由S△ABF＋S△ACF＝S△ABC结合S△ABF＋S△ACE＝S△ABC可得出S△ACE＝S△ACF（点F在线段BC上），根据平行线的性质可得出△ACF和△ACE的高相等，进而可得出AE＝CF，即2t＝6－，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：∵∠BAF＜∠BAC， ∴BF＜BC， ∴ 解得：t＜3， ∴当0＜t＜3时，∠BAF＜∠BAC， 故答案为：0＜t＜3； （2）由题意得：AE＝2t，BF＝， ∴CF＝6－或CF＝， ∵AE＝CF， ∴2t＝6－或， 解得：或， 即或时，AE＝CF； （3）∵S△ABF＋S△ACF＝S△ABC，S△ABF＋S△ACE＝S△ABC， ∴S△ACE＝S△ACF（点F在线段BC上）， ∵AGBC， ∴△ACF和△ACE的高相等， ∴AE＝CF， 即2t＝6－， 解得：， 即当秒时，S△ABF +S△ACE =S△ABC． 【点睛】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是正确理解题意，列出方程或不等式． 巩固训练 1．我市某企业承接了上海世博会的礼品盒制作业务，他们购得规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图1所示，（单位：cm）    （1）列出方程（组），求出图甲中a与b的值． （2）若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图2的竖式与横式两种无盖礼品盒． ①两种裁法共产生A型板材　 　张，B型板材　 　张； ②做成的竖式和横式两种无盖礼品盒总数最多是多少个？此时横式无盖礼品盒可以做多少个？ 【答案】（1）中a的值为60，b的值为40；（2）①64，38；②竖式和横式两种无盖礼品盒总数最多做20个，横式无盖礼品盒可以做17个或18个 【分析】（1）根据两种裁法的长列出关于a、b的二元一次方程组求解； （2）①根据已知和图示计算出两种裁法共生产的A、B板材的张数即可； ②设做成竖式无盖礼品盒x个，做成横式无盖礼品盒y个根据图示得到共需要A型板材（4x+3y）张，B型（x+2y）张，得到4x+3y≤64，x+2y≤38，将不等式加减得到x+y≤20.4，所以竖式和横式两种无盖礼品盒总数最多做20个，两式相减得到x及y的取值范围，由此确定整数y的值. 【详解】（1）根据题意得： ， 解得：， 即图甲中a的值为60，b的值为40， 答：图甲中a的值为60，b的值为40； （2）①30张标准板材用裁法一裁剪，生产A型板材：30×2＝60（张），生产B型板材：30张， 4张标准板材用裁法二裁剪，生产A型板材：4张，生产B型板材：4×2＝8（张）， 即两种裁法共产生A型板材：60+4＝64（张），B型板材：30+8＝38（张）， 故答案为：64，38， ②设做成竖式无盖礼品盒x个，做成横式无盖礼品盒y个 由已知和图示得：横式无盖礼品盒的y个，用A型板材3y张，B型板材2y张， 竖式无盖礼品盒的x个，用A型板材4x张，B型板材x张， 则做两款盒子共需要A型板材（4x+3y）张，B型（x+2y）张， 则4x+3y≤64，x+2y≤38， 两式相加得5x+5y≤102， 则x+y≤20.4，所以竖式和横式两种无盖礼品盒总数最多做20个， 两式相减得：3x+y≤26，则2x≤5.6，解得：x≤2.8，则y≤18， 则横式无盖礼品盒可以做17个或18个． 【点睛】此题考查二元一次方程组的实际应用，不等式的实际应用，能够读懂图示的含义、正确理解题意是解题的关键. 2．某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图所示的长方形和正方形纸板长方形的宽与正方形的边长相等加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱（加工时接缝材料不计）    (1)若该厂购进正方形纸板张，长方形纸板张，问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完； (2)该工厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板张，长方形纸板张，全部加工成上述两种纸盒，且，试求在这一天加工两种纸盒时，的所有可能值． 【答案】(1)加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个，恰好能将购进的纸板全部用完 (2)，，， 【分析】（1）设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板1000张、长方形纸板2000张，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设加工竖式纸盒m个，加工横式纸盒n个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板80张、长方形纸板a张，即可得出关于m、n的二元一次方程组，解之即可用含a的代数式表示出n值，再根据n、a为正整数结合即可求出a的值，此题得解． 【详解】（1）设加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个， 根据题意得：， 解得：． 答：加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个，恰好能将购进的纸板全部用完． （2）设加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个， 根据题意得：， ． 、为正整数， 为的倍数， 又， 满足条件的为：，，，． 答：在这一天加工两种纸盒时，的所有可能值为，，，． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解． 3．我县某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：cm） (1)列出方程（组），求出图1中a与b的值． (2)在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图2的竖式与横式两种无盖礼品盒． ①两种裁法共产生A型板材 张，B型板材 张； ②设做成的竖式无盖礼品盒x个，横式无盖礼品盒的y个，根据题意完成表格： 礼品盒板材 竖式无盖（个） 横式无盖（个） x y A型（张） B型（张） ③做成的竖式和横式两种无盖礼品盒总数最多是 个（在横线上直接写出答案）． 【答案】(1)a＝60，b＝40 (2)①64，38；②，，，；③20 【分析】（1）由图示列出关于a、b的二元一次方程组求解； （2）①根据已知和图示计算出两种裁法共产生A型板材和B型板材的张数； ②同样由图示完成表格； ③根据做成竖式和横式两种无盖礼品盒共需A型板材不超过64张，B型板材不超过38张，列不等式组即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：． 答：图甲中a与b的值分别为：60、40． （2）解：①由图示裁法一产生A型板材为：，裁法二产生A型板材为：，所以两种裁法共产生A型板材为（张）， 由图示裁法一产生B型板材为：，裁法二产生A型板材为，， 所以两种裁法共产生B型板材为（张）． 故答案为64，38． ②由已知和图示得： 礼品盒板材 竖式无盖（个） 横式无盖（个） x y A型（张） B型（张） x ③由上表可知横式无盖款式共个面，用A型张，则B型需要张． 则做两款盒子共需要A型张，B型张． 则， 两式相加得． 则． 所以最多做20个． 【点睛】本题考查的知识点是二元一次方程组的应用，关键是根据已知先列出二元一次方程组求出a、b的值，再是根据图示解答． 题型十六　一元一次不等式(组)的实际应用——程序问题 例题：如图所示的是一个运算程序： 例如：根据所给的运算程序可知， 当时，，再把代入，得，则输出的值为27． (1)当时，求输出的值； (2)若某数只经过一次运算就能输出结果，求的取值范围． 【答案】(1)31 (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟练掌握一元一次不等式组的解法是关键． （1）根据题目所给的运算程序进行计算即可． （2）根据题意列出不等式，求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 再把代入，得， ∴输出的值是31． （2）解：由题意得． 解得． 巩固训练 1．某学校的编程课上，一位同学设计了一个运算程序，如图所示． 按上述程序进行运算，程序运行到“判断结果是否大于23”为一次运行． (1)若，请通过计算写出该程序需要运行多少次才停止； (2)若该程序只运行了2次就停止了，求x的取值范围． 【答案】(1)4次 (2) 【分析】本题考查程序流程图与有理数的计算，程序流程图与不等式： （1）根据流程图，列出算式进行计算，直至最终的结果大于，即可得出结果； （2）根据流程图，列出不等式组，求解即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴若，该程序需要运行4次才停止； （2）依题意，得，解得． 故若该程序只运行了2次就停止了，x的取值范围为． 2．如图所示是一个运算程序．如果结果不大于，就把结果作为输入的数再进行第二次运算，直到符合要求（结果大于）为止． (1)当输入的数是时，输出的结果是（    ）；当输入的数是5时，输出的结果是（    ）． (2)当输入的x是整数时，经过两次运算，结果即符合要求，则输入的x的最小值是（    ）． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查了整数的四则混合运算，解一元一次不等式． （1）利用程序图进行计算即可； （2）根据题意可得，，解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：， 当输入的数是时，输出的结果是； ， ， ， 当输入的数是5时，输出的结果是， 故答案为：， （2）解：∵， 解得，， ∴输入的x的最小值是， 故答案为： 3．如图是一个电脑运算程序图，当输入x的一个值后，电脑会同时运行①和②两种计算方式，然后电脑会自动比较两种运行计算结果，最后输出较大的值（若相等，则不输出）． (1)若输入的x值为，求输出的值； (2)若输出的值恰好是运行①的计算结果，请求出输入值x的取值范围． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题主要考查了与程序流程图有关的有理数计算，解一元一次不等式： （1）根据流程图分别计算出①和②的结果，比较即可得到答案； （2）根据流程图分别计算出①和②的结果，再根据输出结果为①的计算结果列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，①的运算结果为； 由题意得，②的运算结果为； ∵， ∴输出的结果为4； （2）解：由题意得，①的运算结果为； ②的运算结果为， ∵输出的值恰好是运行①的计算结果， ∴， ∴． 题型十七　作差法比较大小的应用 例题：若，则；若，则；若，则，这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式值的大小． (1)试比较代数式与的值之间的大小关系； (2)已知代数式与相等，试用等式的性质比较的大小关系． (3)已知，试用等式的性质比较的大小关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把两个多项式作差比较大小即可； （2）等式两边同时减去即可得到，由此即可得到结论； （3）等式的性质两边同时乘以6可得，，由此可得结论． 【详解】（1）解： ∵不论为何值，都有 ∴ （2）解：∵， ∴等式两边同时减去，得， 整理得， ∴． （3）解：∵， 根据等式的性质两边同时乘以6可得， 整理得， 即， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等式的性质和不等式的性质，正确理解题意是解题的关键． 巩固训练 1．根据等式和不等式的性质，可以得到：若a﹣b＞0，则a＞b；若a﹣b＝0，则a＝b；若a﹣b＜0，则a＜b，这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式值的大小． (1)试比较代数式5﹣4m+2与4﹣4m﹣7的值之间的大小关系； (2)已知A＝5﹣4（m﹣），B＝7（﹣m）+3，请你运用前面介绍的方法比较代数式A与B的大小． (3)比较3a+2b与2a+3b的大小． 【答案】(1) (2) (3)当a＞b时，3a+2b＞2a+3b；当a=b时，3a+2b=2a+3b；当a＜b时，3a+2b＜2a+3b． 【分析】（1）先化简（5-4m+2）-（4-4m-7），再比较大小即可； （2）先化简A-B，再比较大小即可； （3）先化简（3a+2b）-（2a+3b），再分情况讨论即可． 【详解】（1）解：（5-4m+2）-（4-4m-7） =5-4m+2-4+4m+7 = +9， ∵不论m为何值， +9＞0， ∴5-4m+2＞4-4m-7； （2）∵A=5-4（），B=7（m2-m）+3， ∴A-B = = ∵不论m为何值，＜0， ∴A-B＜0， 即A＜B； （3）（3a+2b）-（2a+3b） =3a+2b-2a-3b =a-b， 当a＞b时，a-b＞0，此时3a+2b＞2a+3b； 当a=b时，a-b=0，此时3a+2b=2a+3b； 当a＜b时，a-b＜0，此时3a+2b＜2a+3b． 【点睛】本题考查了整式的加减，不等式的性质，等式的性质等知识点，能灵活运用整式的运算法则进行计算是解此题的关键． 2．问题提出： 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化,其中“作差法”就是常用的方法之一，所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号来确定它们的大小，要比较代数式、的大小，只要作出它们的差，若，则．若，则．若，则． 问题解决： 如图，试比较图①、图②两个矩形的周长、的大小； 主图形得：；，， ∵，∴，则； 类比应用： （1）用材料介绍的“作差法”比较与的大小； 联系拓展： （2）小刚在超市里买了一些物品，用一个长方体的箱子“打包”，这个箱子的尺寸如图3所示（其中），售货员分别可按图4、图5、图6三种方法进行捆绑，问哪种方法用绳最短？哪种方法用绳最长？请说明理由． 【答案】(1)；(2) 图5的方法用绳最短，图6的方法用绳最长 【分析】(1)根据两个代数式之差大于0，即可做出判断； (2)分别表示出图4的捆绑绳长为L1，图5的捆绑绳长为L2，图6的捆绑绳长为L3，进而表示出它们之间的差，即可得出大小关系． 【详解】(1)() ， 因为， 所以， 所以； (2)设图4的捆绑绳长为L1，则L1， 设图5的捆绑绳长为L2，则L2， 设图6的捆绑绳长为L3，则L3， ∵L1-L2， ∴L1＞L2， ∵L3-L2， ∴L3-L1=， ∵， ∴， ∴L3＞L1． ∴第二种方法用绳最短，第三种方法用绳最长． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算以及不等式的性质，根据已知表示出绳长再利用绳长之差比较是解决问题的关键． 3．【阅读材料】我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或式子的大小，解决问题时一般要进行一定的转化，“求差法”就是常用的方法之一．所谓“求差法”，就是通过求差、变形，并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较两个数a，b的大小，只要求出它们的差．若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)已知，试比较，的大小； (2)若，，，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)a为任意实数 【分析】本题主要考查了利用不等式的性质比大小，以及解不等式．整式的混合运算. （1）根据题意用作差法得出，再结合，利用不等式的性质即可得出结论． （2）把式子代入，解一元一次不等式即可得出答案． 【详解】（1）解：， ． （2）， ， ， ， 解得． 所以a为任意实数． 题型十八　特殊不等式(组) 例题：阅读理解：请阅读下面求含绝对值的不等式和的解集过程． 对于含绝对值的不等式，从图1的数轴上看：大于而小于3的数的绝对值小于3，所以的解集；对于含绝对值的不等式，从图2的数轴上看：小于或大于3的数的绝对值大于3，所以的解集为或． 问题解决： (1)含绝对值的不等式的解集为___________； (2)已知关于x，y的二元一次方程的解满足，其中m是正数，求m的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了解含有绝对值的不等式，理解题中的方法是解题的关键． （1）根据题中提供的方法进行解答即可； （2）根据题中提供的方法进行解答即可； 【详解】（1）解：根据绝对值的定义得：或． 故答案为：或； （2）解：， ， ， ， 解得， 又m是正数， ． 巩固训练 1．先阅读理解下列例题，再按要求解答下列问题． 例题：解一元二次不等式．这类不等式我们可以进行下面的解题思路分析： 解：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有①或②． 从而将陌生的高次不等式化为了学过的一元一次不等式组，分别去解两个不等式组即可求得原不等式组的解集，即： 解不等式组①得，解不等式组②得． 所以一元二次不等式的解集是或． 请利用上述解题思路解决下面的问题： (1)求不等式的解集； (2)类比以上思路利用有理数除法法则求不等式的解集． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查了解不等式组： （1）仿照题意可得两个不等式组①或②，分别解不等式组即可得到答案； （2）根据有理数除法计算法则可得不等式组①或②，分别解不等式组即可． 【详解】（1）解：由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负” 有①或②， 解不等式组①得，解不等式组②得， ∴一元二次不等式的解集是或； （2）解：由有理数的除法法则“两数相除，同号得正” 有①或②， 解不等式组①得：，解不等式组②无解， ∴不等式的解集是． 2．先阅读理解下列例题，再按要求完成作业． 例题：解一元二次不等式． 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有①或②． 解不等式组①得，解不等式组②得． 所以一元二次不等式的解集是或． (1)求不等式的解集； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组的应用，能根据题意得出两个不等式组是解此题的关键． （1）由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”得出两个不等式组，求出每个不等式组的解集即可； （2）由有理数的除法法则“两数相除，同号得正”得出两个不等式组，求出每个不等式组的解集即可． 【详解】（1）解： 由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”， 得①或②， 解不等组①得：， 解不等组②得：， ∴不等式的解集或； （2）解： 由有理数的除法法则“两数相除，同号得正”， 得①或②， 解不等组①得：， 解不等组②得：不等式组无解， ∴不等式的解集为． 3．同学们学习了有理数乘法，不等式组与方程组的知识，它们之间有着一定的逻辑关联，请解决以下问题： 阅读理解： 解不等式． 解：根据两数相乘，同号得正，原不等式可以转化为或 解不等式组得；解不等式组得． ∴原不等式的解集为或． 问题解决： (1)根据以上材料，不等式的解集为________， (2)已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，有理数的乘法，二元一次方程组的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）按照例题的解题思路进行计算，即可解答； （2）先求解出二元一次方程组的解用含m的参数表示出来，再根据，按照例题的思路进行求解即可 【详解】（1）解：根据两数相乘，异号得负， 故原不等式可以转化为或 解不等式组无解； 得， 综上所述，不等式的解集为：， 故答案为：； （2）解：解方程组 得 ∵， ∴或 ∴解得． 或此不等式组无解． 综上所述，m的取值范围是． 题型十九　一元一次不等式(组)的新定义应用 例题：定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． (1)已知①；②；③，则方程的解是它与①②③中的不等式________的“梦想解”； (2)若关于，的二元一次方程组的解是该方程组与不等式组的“梦想解”，求的取值范围． 【答案】(1)③ (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式（组）、解一元一次方程等知识点，掌握相关解法是解题的关键． （1）先求出方程的解和不等式的解集，然后进行判断； （2）先求出方程组的解和不等式组的解集，根据题意得出关于m的不等式组，最后解不等式组即可． 【详解】（1）解：解方程得：， 解①得：，故方程解不是①的“梦想解”； 解②得：，故方程解不是②“梦想解”； 解③得：，故方程解是③的“梦想解”； 即方程的解是不等式③的“梦想解”． 故答案为：③． （2）解：解方程组得：， ∴， ∵方程组的解是不等式组的梦想解， ∴， ∴． 巩固训练 1．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”．例如：方程的解为，而不等式组的解集为，恰好在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”．结合新定义，按要求解答下面问题： (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是________；（只填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围？ 【答案】(1)①② (2) 【分析】本题考查新定义，涉及解一元一次方程、解一元一次不等式组等知识，理解新定义的“关联方程”是解决问题的关键． （1）解题中给出的三个一元一次方程及不等式组的解集，根据“关联方程”验证即可得到答案； （2）解一元一次方程得到，解不等式组得到，根据“关联方程”的定义得到求解即可确定答案． 【详解】（1）解：①，解得； ②，解得； ③，解得； ， 解不等式①得； 解不等式②得； 原不等式组的解集为； 、在范围内；不在范围内， 不等式组的“关联方程”是①②， 故答案为：①②； （2）解：，解得； 解不等式①得； 解不等式②得； 不等式组的解集为； 关于x的方程是不等式组的“关联方程”， ，解得． 2．我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“和谐不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“和谐不等式”． (1)不等式 ______ 的“和谐不等式”：（填“是”或“不是”）． (2)若关于x的不等式不是的“和谐不等式”，求m的取值范围； (3)若，关于x的不等式与不等式互为“和谐不等式”，求n的取值范围． 【答案】(1)不是 (2) (3)或 【分析】（1）根据“和谐不等式”的定义即可得解； （2）解不等式可得，解不等式得，再根据“和谐不等式”的定义可得，解不等式即可求解； （3）分和两种情况讨论，根据“和谐不等式”的定义得到含n的不等式，解得即可． 【详解】（1）解：根据“和谐不等式”的定义可知：不等式 与没有公共整数解， ∴不等式 不是的“和谐不等式”， 故答案为：不是 （2）解：解不等式可得， 解不等式得， ∵关于x的不等式不是的“和谐不等式”， ∴， 解得． 故m的取值范围是； （3）解：解不等式得， 解不等式得， ①当，即时，， 此时不等式与不等式总有公共整数解， ∴时，不等式与不等式总是互为“和谐不等式” ②当，即时，， ∵不等式与不等式互为“和谐不等式”， ∴， 解得， ∴， 综上，n的取值范围为：或． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，新定义“和谐不等式”，读懂“和谐不等式”的定义是解题的关键． 3．新定义：若某一元一次方程的解在某一元一次不等式组解集范困内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． (1)在方程①；②；③中，关于x的不等式组的“关联方程”是____________；（填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“关联方程”求k的取值范围． 【答案】(1)①②； (2)． 【分析】本题考查解一元一次方程，解一元一次不等式组，理解材料中的不等式组的“关联方程”是解题的关键． （1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可； （2）先求出不等式组的解集，然后再解方程求出，最后根据“关联方程”的定义列出关于的不等式组并求解即可． 【详解】（1）解：①， 解得：， ②， 解得：， ③， 解得：， ， 解不等式④得：， 解不等式⑤得：， 该不等式组的解集为：， 和在的范围内， 不等式组的“关联方程”是①②， 故答案为：①②． （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为：， ， 解得：， 关于的方程是不等式组的“关联方程”， ， 解得：， 的取值范围是． 1 / 61 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第7章 一元一次不等式（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 要点一：一元一次不等式的定义 含有一个未知数，未知数的次数是1，未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式，叫做一元一次不等式。 要点二：不等式的解与解集 使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 要点三：不等式的性质 1. 如果a>b，b>c，那么a>c（不等式的传递性）。 2. 不等式的两边同加（减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。 3. 不等式的两边同乘（除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同乘（除以）同一个负数，不等号的方向改变。 4. 如果a>b，c>d，那么a+c>b+d（不等式的加法法则）。 5. 如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd（可乘性）。 6. 如果a>b>0，n∈N，n>1，那么an>bn，且当0<n<1时也成立（乘方法则）。 要点四：一元一次不等式的解法 步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为一。注意：去分母与系数化为一要特别小心，因为要在不等式两端同时乘或除以某一个数，要考虑不等号的方向是否发生改变的问题。 要点五：一元一次不等式组 1.定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。 2.解集：几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集。解不等式组就是求它的解集。 3.解法：先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式的解集。 解一元一次不等式组的一般方法： 以两条不等式组成的不等式组为例： 若两个未知数的解集在数轴上表示同向左，就取在左边的未知数的解集为不等式组的解集，此乃“同小取小”。 若两个未知数的解集在数轴上表示同向右，就取在右边的未知数的解集为不等式组的解集，此乃“同大取大”。 若两个未知数的解集在数轴上相交，就取它们之间的值为不等式组的解集。若x表示不等式的解集，此时一般表示为a<x<b，或a≤x≤b。此乃“相交取中”。 若两个未知数的解集在数轴上向背，那么不等式组的解集就是空集，不等式组无解。 要点六：一元一次不等式（组）的应用 1.、分配与调配问题 在资源分配、人员调配等场景中，经常需要根据一定的条件来确定最优的分配或调配方案。这时，一元一次不等式（组）可以帮助我们建立数学模型，通过求解不等式（组）来找到满足条件的分配或调配方案。例如，某公司需要根据员工的技能和工作经验来分配工作任务，以确保任务能够按时完成且成本最低，这时就可以使用一元一次不等式（组）来求解最优的分配方案。 2、费用与利润问题 在商业活动中，费用与利润是企业关注的重点。通过建立一元一次不等式（组）模型，我们可以分析不同销售策略、生产成本等因素对费用和利润的影响，从而制定出最优的经营策略。例如，某商店需要确定商品的售价和打折策略，以确保利润最大化，这时就可以使用一元一次不等式（组）来求解最优的售价和打折策略。 3、方案选择问题 在面临多种方案选择时，我们需要根据一定的标准来评估每种方案的优劣。一元一次不等式（组）可以帮助我们建立评估模型，通过求解不等式（组）来找到满足条件的最优方案。例如，某公司需要选择一种运输方式来运输货物，以确保运输成本最低且运输时间最短，这时就可以使用一元一次不等式（组）来求解最优的运输方案。 4、决策支持问题 在决策过程中，我们需要考虑多种因素的影响，并制定出最优的决策方案。一元一次不等式（组）可以作为决策支持工具，帮助我们分析不同决策方案的可能结果，从而制定出最优的决策方案。例如，在政府部门制定救灾物资分配方案时，需要考虑各种运输方式、载货量和租金等因素，这时就可以使用一元一次不等式（组）来求解最优的救灾物资分配方案。 03 题型归纳 题型一　一元一次不等式(组)的定义 例题：下列不是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．下列不等式组中，属于一元一次不等式组的有(　　) ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知不等式是关于x的一元一次不等式，则 ． 3．若是关于x的一元一次不等式，则m的值为 ． 题型二　列一元一次不等式(组) 例题：将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有1个小朋友所分苹果不到8个．若小朋友的人数为x，则列式正确的是（    ） A．0≤5x＋12－8（x－1）＜8 B．0＜5x＋12－8（x－1）≤8 C．1≤5x＋12－8（x－1）＜8 D．1＜5x＋12－8（x－1）≤8 巩固训练 1．若一艘轮船沿江水顺流航行用时少于小时，它沿江水逆流航行也用时少于小时，设这艘轮船在静水中的航速为，江水的流速为，则根据题意可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 2．用不等式表示：的3倍与3的和是非负数： ． 3．“与1的差大于b的2倍”用不等式表示为： ． 题型三　不等式的基本性质 例题：若，则下列不等式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．水果店的小王从水果批发市场购进梨和苹果，在卖出梨和苹果后，又分别购进了梨和苹果，请用请用“＜”或“＞”填空 3．用“”或“”连结： ． 题型四　不等式(组)的解 例题：下列说法中，错误的是（   ） A．不等式的正整数解只有一个 B．是不等式的一个解 C．不等式的整数解有无数个 D．不等式的解集是 巩固训练 1．关于的不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，则的取值范围是（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 2．不等式的解为 ． 3．，，，都是不等式的解，请写出一个满足条件的不等式： ． 题型五　在数轴上表示不等式(组)的解集 例题：不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．一个不等式的解集在数轴上表示如图，则这个不等式可以是 ． 3．已知一个不等式组的解集在数轴上如图表示，那么这个不等式组的解集为 ； 题型六　一元一次不等式(组)求参 例题：关于x的不等式组的解集是，则a的取值范围为（  ） A． B． C． D． 巩固训练 1．若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围是 ． 3．已知关于的不等式组的解集为，求的值． 题型七　一元一次不等式(组)与一元一次方程 例题：若关于的方程的解是负数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．如果关于y的方程有非负整数解，且关于x的不等式组的解集为，则所有符合条件的整数a的和为（　　） A． B． C． D． 2．若两个方程的解都是关于的不等式组的解，则的取值范围是 ． 3．已知关于x的方程．若方程的解是负数，求m的取值范围． 题型八　一元一次不等式(组)与二元一次方程组 例题：方程组的解x、y适合，则的取值（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．已知关于的方程组的解满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若方程组的解x、y，都是正数，则a的取值范围是 ． 3．已知关于的方程组 (1)若该方程组的解满足，求的值； (2)若该方程组的解满足均为正数，求的取值范围． 题型九　一元一次不等式(组)的整数解 例题：若数a使关于x的不等式组，有且仅有三个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　） A．0 B． C． D．1 巩固训练 1．若实数2是关于x的不等式的一个解，则a可取的最小整数是（           ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．若整数a使得关于x的不等式组有且仅有6个整数解，且使关于y的一元一次方程的解满足，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 3． 关于x的方程的方程 的解满足． (1)求a的取值范围； (2)在（1）的条件下，若不等式的解为．求整数a的值． 题型十　一元一次不等式(组)的新定义运算 例题：定义新运算“*”，规定．若关于x的不等式的解集为，则 m 的值为（   ） A． B． C．2 D．3 巩固训练 1．在实数范围内定义新运算“△”，其规则是．已知关于x的不等式的解集在数轴上如图所示，则k应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 2．定义运算表示求不超过的最大整数．如，，，．若，则的取值范围是 ． 3．对m、n的定义一种新运算“◇”，规定：（其中a、b均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如：．已知，． (1)求a、b的值； (2)若关于x的不等式组有且只有一个整数解，试求字母t的取值范围． 题型十一　解一元一次不等式(组) 例题：解不等式：． 巩固训练 1．如图所示的是小星同学解不等式的过程． 解不等式：． 解：去分母，得，① 去括号，得，② 移项，得，③ 合并同类项，得，④ 系数化为1，得．⑤ （1）小星的解答从第 步开始出错（填序号）； （2）请写出正确的答案： ． 2．解不等式组 3．解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． 题型十二　一元一次不等式(组)的实际应用——方案问题 例题：在陕西省的西南部，隐匿着一个自然风光与人文历史交相辉映的宝地——洋县，这里不仅是中国“朱鹦之乡”，更是众多游客心中的旅游胜地．某校准备组织180名师生到洋县旅游参观，现有甲、乙两种客车可供选择，已知3辆甲种客车的载客量比2辆乙种客车的载客量多60人，2辆甲种客车与1辆乙种客车的总载客量为110人． (1)求每辆甲种客车和每辆乙种客车的载客量分别为多少人； (2)若该校准备租用辆甲种客车和辆乙种客车，将180名师生一次送到目的地，且每辆车都恰好坐满，请你帮助学校设计出所有的租车方案． 巩固训练 1．某学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，其营养成分表如下： (1)若每份午餐需要恰好摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ (2)考虑到健康饮食的需求，若每份午餐需选用这两种食品共7包，并保证每份午餐中的蛋白质含量不低于，且脂肪含量要尽可能低．请通过计算，求出符合要求且脂肪含量最低的配餐方案． 2．“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．基本中学为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元． (1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ (2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8600元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？ 3．高尔基说：“书籍是人类进步的阶梯”．为提高学生的阅读水平，某中学购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多4元，购买30本“科普类”图书和40本“文学类”图书共花费1240元． (1)求这两种图书的单价分别是多少元？ (2)学校决定再次购买这两种图书共100本，总费用超过1790元但不超过1800元，则学校有哪几种购买方案． 题型十三　一元一次不等式(组)的实际应用——收费问题 例题：有下列两种移动电话计费方法： 月使用费元 主叫限定时间 主叫超时费（元 被叫 套餐 免费 套餐 免费 （月使用费固定收，主叫不超过限定时间不再收费，主叫超过部分加收超时费，被叫免费） (1)若张老师选用套餐，9月份主叫时间分钟，则他9月份的通话费用为 元． (2)若王老师选择套餐，李老师选择套餐，10月份两位老师的主叫时间与通话费用恰好都相同，求两位老师10月份的主叫时间． (3)设主叫时间为分钟，直接写出满足什么条件时，选择套餐省钱． 巩固训练 1．某地光纤上网有两种收费方式，用户可以任选其一． A：计时制：元/分，B：包月制：50元/月，每一种上网时间都要再收取通信费元/分 (1)某用户某月上网时间为x小时，请写出两种收费方式下该用户应该支付的费用． (2)用户选哪一种收费方式更合算？ 2．某地区决定从2019年5月1日起对居民生活用电试行“阶梯电价”收费，具体收费标准如下表：2019年5月份，该地区居民甲用电100千瓦时，交电费60元；居民乙用电200千瓦时，交电费121元． 一户居民一个月用电量的范围 电费价格（单位：元/千瓦时） 不超过180千瓦时的部分 a 超过180千瓦时的部分 b (1)上表中， ， ． (2)随着夏天的到来，用电量将增加，为了节省开支，该地区某小区居民小王计划把今年6月份的电费控制在不超过家庭月收入的，若小王家庭月收入为9300元，则小王家今年6月份最多能用电多少千瓦时． 3．如表中有两种手机通话计费方式： 月使用费 主叫限定时间（分钟） 主叫超时费（元分钟） 被叫 方式一 50 150 0.20 免费 方式二 80 350 0.25 免费 （月使用费固定收：主叫不超过限定的时间不再收费，主叫超过限定时间的部分加收超时费；被叫免费） (1)若李明某月主叫通话时间为200分钟，则他按方式一计费需___________元，按方式二计费需___________元；王华某月按方式二计费需100元，则王华该月主叫通话时间为___________分钟； (2)是否存在某个主叫通话时间（分钟），按方式一和方式二的计费相等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)直接写出当月主叫通话时间（分钟）满足什么条件时，选择方式一比选择方式二省钱． 题型十四　一元一次不等式(组)的实际应用——打折问题 例题：某品牌自行车进价为每辆800元，标价为每辆1200元．店庆期间，商场为了答谢顾客，进行打折促销活动，但是要保证利润率不低于，则最多可打几折？ 巩固训练 1．某商品的进价是800元，标价是1100元．商店要求以获利不低于的售价打折出售，则最低可以打几折出售此商品？ 2．某商场为了迎战“双十一”购进一批A，B两种品牌的冬季暖风机共270台，其中A品牌比B品牌多50台，A，B两种品牌的冬季暖风机每台的进价和售价如表所示： 品牌 进价／（元／台） 售价／（元／台） A 80 100 B 90 120 (1)销售一台A品牌的冬季暖风机获得的利润是 元，销售一台B品牌的冬季暖风机获得的利润是 元；（注：利润=售价－进价） (2)问该商场购进A，B两种品牌冬季暖风机各多少台？ (3)受电商直播的影响，该商场调整销售策略，A品牌的冬季暖风机打折销售，B品牌的冬季暖风机售价改为110元．为使购进的A，B两种冬季暖风机全部售出且利润不少于2200元，问A品牌的冬季暖风机每台最低可打几折出售？ 3．某体育用品商场销售A，B两款足球，售价和进价如下表： 类型 进价（元/个） 售价（元/个） A款 120 B款 90 若该商场购进5个款足球和12个款足球共需1120元；若该商场购进10个款足球和15个款足球共需1700元． (1)每个款足球的利润为______元；每个款足球的利润为______元．（用含、的式子表示） (2)求和的值． (3)已知商场购进10个款足球和20个款足球，售货员说：“每个款足球按售价进行打折销售，款足球不打折”．若两款足球全部售出后总盈利不少于640元，则每个款足球最多打几折？ 题型十五　一元一次不等式(组)的实际应用——几何问题 例题：如图，在△ABC中，BC=6cm．射线AG//BC，点E从点A出发沿射线AG以2cm/s的速度运动，当点E出发1s后，点F也从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度运动，分别连接AF，CE．设点E运动时间为t，其中t>0． (1)若∠BAF <∠BAC，则t的取值范围是_______ (2)当t为何值时，AE=CF； (3)是否存在某一时刻t，使S△ABF +S△ACE =S△ABC． 巩固训练 1．我市某企业承接了上海世博会的礼品盒制作业务，他们购得规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图1所示，（单位：cm）    （1）列出方程（组），求出图甲中a与b的值． （2）若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图2的竖式与横式两种无盖礼品盒． ①两种裁法共产生A型板材　 　张，B型板材　 　张； ②做成的竖式和横式两种无盖礼品盒总数最多是多少个？此时横式无盖礼品盒可以做多少个？ 2．某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图所示的长方形和正方形纸板长方形的宽与正方形的边长相等加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱（加工时接缝材料不计）    (1)若该厂购进正方形纸板张，长方形纸板张，问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完； (2)该工厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板张，长方形纸板张，全部加工成上述两种纸盒，且，试求在这一天加工两种纸盒时，的所有可能值． 3．我县某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：cm） (1)列出方程（组），求出图1中a与b的值． (2)在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图2的竖式与横式两种无盖礼品盒． ①两种裁法共产生A型板材 张，B型板材 张； ②设做成的竖式无盖礼品盒x个，横式无盖礼品盒的y个，根据题意完成表格： 礼品盒板材 竖式无盖（个） 横式无盖（个） x y A型（张） B型（张） ③做成的竖式和横式两种无盖礼品盒总数最多是 个（在横线上直接写出答案）． 题型十六　一元一次不等式(组)的实际应用——程序问题 例题：如图所示的是一个运算程序： 例如：根据所给的运算程序可知， 当时，，再把代入，得，则输出的值为27． (1)当时，求输出的值； (2)若某数只经过一次运算就能输出结果，求的取值范围． 巩固训练 1．某学校的编程课上，一位同学设计了一个运算程序，如图所示． 按上述程序进行运算，程序运行到“判断结果是否大于23”为一次运行． (1)若，请通过计算写出该程序需要运行多少次才停止； (2)若该程序只运行了2次就停止了，求x的取值范围． 2．如图所示是一个运算程序．如果结果不大于，就把结果作为输入的数再进行第二次运算，直到符合要求（结果大于）为止． (1)当输入的数是时，输出的结果是（    ）；当输入的数是5时，输出的结果是（    ）． (2)当输入的x是整数时，经过两次运算，结果即符合要求，则输入的x的最小值是（    ）． 3．如图是一个电脑运算程序图，当输入x的一个值后，电脑会同时运行①和②两种计算方式，然后电脑会自动比较两种运行计算结果，最后输出较大的值（若相等，则不输出）． (1)若输入的x值为，求输出的值； (2)若输出的值恰好是运行①的计算结果，请求出输入值x的取值范围． 题型十七　作差法比较大小的应用 例题：若，则；若，则；若，则，这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式值的大小． (1)试比较代数式与的值之间的大小关系； (2)已知代数式与相等，试用等式的性质比较的大小关系． (3)已知，试用等式的性质比较的大小关系． 巩固训练 1．根据等式和不等式的性质，可以得到：若a﹣b＞0，则a＞b；若a﹣b＝0，则a＝b；若a﹣b＜0，则a＜b，这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式值的大小． (1)试比较代数式5﹣4m+2与4﹣4m﹣7的值之间的大小关系； (2)已知A＝5﹣4（m﹣），B＝7（﹣m）+3，请你运用前面介绍的方法比较代数式A与B的大小． (3)比较3a+2b与2a+3b的大小． 2．问题提出： 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化,其中“作差法”就是常用的方法之一，所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号来确定它们的大小，要比较代数式、的大小，只要作出它们的差，若，则．若，则．若，则． 问题解决： 如图，试比较图①、图②两个矩形的周长、的大小； 主图形得：；，， ∵，∴，则； 类比应用： （1）用材料介绍的“作差法”比较与的大小； 联系拓展： （2）小刚在超市里买了一些物品，用一个长方体的箱子“打包”，这个箱子的尺寸如图3所示（其中），售货员分别可按图4、图5、图6三种方法进行捆绑，问哪种方法用绳最短？哪种方法用绳最长？请说明理由． 3．【阅读材料】我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或式子的大小，解决问题时一般要进行一定的转化，“求差法”就是常用的方法之一．所谓“求差法”，就是通过求差、变形，并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较两个数a，b的大小，只要求出它们的差．若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)已知，试比较，的大小； (2)若，，，求a的取值范围． 题型十八　特殊不等式(组) 例题：阅读理解：请阅读下面求含绝对值的不等式和的解集过程． 对于含绝对值的不等式，从图1的数轴上看：大于而小于3的数的绝对值小于3，所以的解集；对于含绝对值的不等式，从图2的数轴上看：小于或大于3的数的绝对值大于3，所以的解集为或． 问题解决： (1)含绝对值的不等式的解集为___________； (2)已知关于x，y的二元一次方程的解满足，其中m是正数，求m的取值范围． 巩固训练 1．先阅读理解下列例题，再按要求解答下列问题． 例题：解一元二次不等式．这类不等式我们可以进行下面的解题思路分析： 解：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有①或②． 从而将陌生的高次不等式化为了学过的一元一次不等式组，分别去解两个不等式组即可求得原不等式组的解集，即： 解不等式组①得，解不等式组②得． 所以一元二次不等式的解集是或． 请利用上述解题思路解决下面的问题： (1)求不等式的解集； (2)类比以上思路利用有理数除法法则求不等式的解集． 2．先阅读理解下列例题，再按要求完成作业． 例题：解一元二次不等式． 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有①或②． 解不等式组①得，解不等式组②得． 所以一元二次不等式的解集是或． (1)求不等式的解集； (2)求不等式的解集． 3．同学们学习了有理数乘法，不等式组与方程组的知识，它们之间有着一定的逻辑关联，请解决以下问题： 阅读理解： 解不等式． 解：根据两数相乘，同号得正，原不等式可以转化为或 解不等式组得；解不等式组得． ∴原不等式的解集为或． 问题解决： (1)根据以上材料，不等式的解集为________， (2)已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求m的取值范围． 题型十九　一元一次不等式(组)的新定义应用 例题：定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． (1)已知①；②；③，则方程的解是它与①②③中的不等式________的“梦想解”； (2)若关于，的二元一次方程组的解是该方程组与不等式组的“梦想解”，求的取值范围． 巩固训练 1．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”．例如：方程的解为，而不等式组的解集为，恰好在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”．结合新定义，按要求解答下面问题： (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是________；（只填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围？ 2．我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“和谐不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“和谐不等式”． (1)不等式 ______ 的“和谐不等式”：（填“是”或“不是”）． (2)若关于x的不等式不是的“和谐不等式”，求m的取值范围； (3)若，关于x的不等式与不等式互为“和谐不等式”，求n的取值范围． 3．新定义：若某一元一次方程的解在某一元一次不等式组解集范困内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． (1)在方程①；②；③中，关于x的不等式组的“关联方程”是____________；（填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“关联方程”求k的取值范围． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$