重难点专题训练 平行四边形的性质与判定（专题训练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（华东师大版）

重难点专题训练 平行四边形的性质与判定思维导图 专题训练01平行四边形中的最小值 1．如图，在中，，，是边上任意一点，连接，以，为邻边作，连接，则长的最小值为（    ） A．14.4 B．9.6 C．7.2 D．4.8 2．如图，在中，，，，点是边上两动点，连接，CE．若，则周长的最小值为 ． 3．（1）如图1，平行四边形，，，，、分别为、上的点，且，四边形的面积与有关，当有最 值(填“大”、“小”)时，四边形的面积有最 值(填“大”、“小”)． （2）如图2，，且，连接，则的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由． 问题解决 （3）如图3，在四边形中，，对角线交于，已知，且，则与的周长之和是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出最小值． 专题训练02平行四边形中的最大值 1．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3、BC=4、P、Q两点分别在AC和AB上．且CP=BQ=1，在平面上找一点M．以A、P、Q、M为顶点画平行四边形，这个平行四边形的周长的最大值为（　　　） A．12 B． C． D． 2．如图，已知的面积为，，，现先将沿某一方向平移个单位长度后得到，其中点，，，的对应点分别为，，，；再将绕点顺时针旋转后得到，其中点，，的对应点分别为，，，连接，，则线段的最大值为 ，线段的最小值为 ． 3．（1）如图1，E为等边内一点，平分，D为边上一点，且，连接，取中点P，连接，，，直接写出与的位置关系，并直接用等式表示与的数量关系； （2）如图2，把图1中的绕点C顺时针旋转，其它条件不变，连接，点P为中点，连接，，，试问（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （3）在（2）的条件下，若，，绕点C顺时针旋转，则的最大值为 ． 专题训练03平行四边形与图象结合 1．如图1，在平行四边形中，点沿方向从点移动到点，设点移动路程为，线段的长为，图2是点运动时随变化的关系图象，点是曲线部分的最低点，则（    ） A． B．2 C． D． 2．如图1，平行四边形中，， 两动点M， N同时从点A出发， 点M在边上以的速度匀速运动，到达点B时停止运动，点 N沿的路径匀速运动，到达点B时停止运动．的面积与点 N的运动时间的关系图象如图2所示， 已知． （1） N点的运动速度是 ； （2）c处的数值等于 ． 3．如图1，在平行四边形中，，过点作于点．点从点出发，以每秒个单位的速度沿折线运动，到达点时停止．设点的运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (2)在如图2所示的平面直角坐标系中画出y的函数图象，并写出函数y的一条性质：_____ (3)若直线与该函数图象恰有一个交点，则常数的取值范围是_____． 专题训练04平行四边形的平移 1．如图，面积为的三角形沿方向平移至三角形的位置，平移的距离是边的2倍，则图中四边形的面积为（    ）    A． B． C． D． 2．如图，在中，，厘米，将沿方向平移4厘米得到，则四边形的面积是 平方厘米． 3．如图1，直线与轴交于点，与轴交于点．将线段向右平移7个单位长度，向上平移1个单位长度，得到线段，连接． (1)求点的坐标； (2)求四边形的面积； (3)若直线将四边形分成面积相等的两部分，请求出的值． 专题训练05平行四边形的折叠 1．如图，在中，为边上的一个点，将沿折叠至处，使得落在的延长线上，若，时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，将沿对角线折叠，使点A落在点处，若，则的度数为 ． 3．已知，如图，． (1)的对角线相交于点，直线过点，分别交于点．求证：； (2)将（纸片）沿直线折叠，点落在点处，点落在点处，设交于点分别交于点． ①求证：； ②连接，求证：． 专题训练06平行四边形的旋转 1．如图，在平面直角坐标系中，的顶点C在y轴上，对角线轴，，．将绕点O逆时针旋转，每秒旋转，则第2023秒结束时，点B的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，将平行四边形绕顶点B顺时针旋转到平行四边形，当首次经过顶点C时，旋转角的度数为 ． 3．如图1，在中，，将绕着的中点旋转得到，点为的中点．点从点出发沿折线的方向以每秒的速度向终点运动，连结，设点的运动时间为秒． (1)______，______． (2)用含的代数式表示的长． (3)当将四边形的周长分成两部分时，求的值． (4)如图2，在点从点到点的运动过程中，作点关于直线的对称点，连结，当与四边形的边垂直时，请直接写出的度数． 专题训练07平行四边形的作图 1．在中，用尺规作图作等腰，下列作图正确的是（    ） ①                ②               ③                   ④ A．①② B．①③ C．③④ D．②④ 2．如图，在平行四边形中，，按下列步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点分别为点，；②过点，作直线，交于点．如果的周长为8，那么平行四边形的周长是 ． 3．如图，点E在平行四边形的边上．   (1)只用无刻度直尺在上作出点F，使得（保留作图痕迹）； (2)依据你的作图，证明：． 专题训练08平行四边形的比值 1．如图所示，在中，与相交于点，为的中点，连接并延长交于点，则与的面积比值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，的对角线， 相交于点，，过点，且点，在边上，点，在边 上，则阴影区域的面积与的面积比值是 .    3．小明在学习了中心对称图形以后，想知道平行四边形是否为中心对称图形．于是将一张平行四边形纸片平放在一张纸板上，在纸板上沿四边画出它的初始位置，并画出平行四边形纸片的对角线，用大头针钉住对角线的交点．将平行四边形纸片绕着对角线的交点旋转后，平行四边形纸片与初始位置的平行四边形恰好重合．通过上述操作，小明惊喜地发现平行四边形是中心对称图形，对角线的交点就是对称中心． 请你利用小明所发现的平行四边形的这一特征完成下列问题：      (1)如图①，四边形是平行四边形，过对角线交点的直线与边分别相交于点，则四边形与四边形的面积之比的比值为______； (2)如图②，这个图形是由平行四边形与平行四边形组成的，点在边上，且、、在同一直线上． ①请画出一条直线把这个图形分成面积相等的两个部分（不要求写出画法，但请标注字母并写出结论）； ②延长与边的延长线交于点，延长与边交于点．联结，如图③所示，当四边形的面积为18，四边形的面积为4时，求三角形的面积． 专题训练09等边三角形拼成平行四边形 1．如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中： ①； ②四边形是平行四边形； ③； ④．错误的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：①；②；③；④，正确结论是 ． 3．在等边三角形的内部有一点，连接，，以点为中心，把逆时针旋转得到，连接，．以点为中心，把顺时针旋转得到，连接，． (1)判断和的大小关系，并说明理由； (2)求证：； (3)求证：四边形是平行四边形． 专题训练10平行四边形的新定义 1．【问题情境】我们定义：如图a，在中，把绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，的边上的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”． 【特例感知】 （1）在图2和图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． ①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系为______； ②如图3，当，时，则长为______． 【猜想论证】 （2）如图1，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 2．定义：至少有一组对边相等的四边形为“等对边四边形”． (1)请写出一个你学过的特殊四边形中是“等对边四边形”的名称； (2)如图，在中，点D、E分别在边、边上，且满足，线段、交于点O． ①求证：； ②不添加辅助线，请在图中找到一个“等对边四边形”，并给出证明． 3．在平面直角坐标系中，对于两个点P，Q和图形W，给出如下定义：若射线与图形W的一个交点为M，射线与图形W的一个交点为N，且满足四边形为平行四边形，则称点Q是点P关于图形W的“平心点”．如图1中，点Q是点P关于图中线段ST的“平心点”． 已知点：， (1)点中，是点C关于直线 “平心点”的有 ； (2)若点C关于线段 “平心点”J的横坐标为a，求a的取值范围； (3)已知点，点P是线段上的动点（点P不与端点C，K重合），若直线存在点P关于矩形的“平心点”，请直接写出k取值范围． 专题训练11平行四边形中的无刻度尺作图 1．如图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点均在格点上：只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求作图，所作图形的顶点均在格点上且两图形不全等，不要求写作法． (1)在图①中以线段为边作一个平行四边形，使得平行四边形的面积为9； (2)在图②中以线段为边作一个平行四边形，且有一条对角线长为． 2．如图．在中，E是边的中点，是对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作对角线的中点． (2)在图2中作边的中点． 3．如图，在中，是它的一条对角线．分别按下列要求作，使得点在上（保留作图痕迹，不写作法）．    (1)用圆规和无刻度的直尺，在图1、图2中完成作图（用两种不同的方法）； (2)仅用无刻度的直尺，在图3中完成作图． 专题训练12平行四边形中的动点求t 1．如图，在中，对角线相交于点，，，．点从点出发沿方向以的速度匀速运动，到点时停止运动，连接并延长交于点．设运动时间为． (1)当为何值时，四边形是平行四边形？并说明理由； (2)当时，求四边形的面积． 2．已知，在四边形中，，，，． (1)如图1，求长． (2)如图2，点E在的延长线上，连接，若，且四边形的面积为9．求的长． (3)如图3，在（2）的条件下，动点P从点A出发沿以每秒0.5个单位长度的速度向终点D匀速运动，动点Q从点E出发以每秒3.5个单位长度的速度沿向终点B匀速运动．点P和点Q同时出发，当点Q到达终点停止运动时点P也随之停止运动，当运动时间t（秒）为何值时，以C、D、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？ 3．如图，在平行四边形中，，，．点在边上由点向点运动，速度为每秒；点在边上由点向点A运动，速度为每秒．点，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，连接，设运动时间为秒． (1)当何值时，四边形为平行四边形？ (2)当为何值时，点在的平分线上？ (3)当为何值时，四边形的面积是四边形的面积的四分之三？ 专题训练13平面直角坐标系中的平行四边形 1．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形， 的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后， 三个顶点的坐标分别为 ． (1)将 沿x轴正方向平移8个长度单位得 (点 A的对应点为， 点 B 的对应点为，点C的对应点为 画出 (2)作 关于原点中心对称的 (点A的对应点为 ，点B的对应点为 点 C的对应点为 )； (3)四边形的形状 （填“是”或“不是”） 平行四边形； (4)的面积= ． 2．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A、B，C、D的坐标分别为，，，．    (1)以点D为旋转中心，将旋转得到，画出； (2)直接写出以B，，，C为顶点的四边形的面积； (3)在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线平分，写出点E的坐标． 3．在平面直角坐标系内，点A坐标，点B坐标，，且． (1)点C在坐标轴上，若为等腰三角形，写出点C的坐标 (2)若点P在y轴上，点D在直线上，以A、B、P、D为顶点的四边形为平行四边形，写出点D坐标． 专题训练14一次函数中的平行四边形 1．已知：如图，在平面直角坐标系中，，，点在轴的正半轴上，点为的中点． (1)求证：； (2)当与的距离等于时，求点的坐标； (3)如果于点，当四边形为平行四边形时，求直线的解析式． 2．如图，在平面直角坐标系中，，，且、满足．    (1)点的坐标为______ ；点的坐标为______ ； (2)求直线的解析式； (3)若点为直线上一点，且是以为底的等腰直角三角形，求值； (4)若在第一象限有一个固定点，为坐标平面上一点，如果以，，，为顶点的四边形为平行四边形，写出满足条件的点的坐标为______（直接写出） 3．如图，一次函数的图象交x轴于点A，，与正比例函数的图象交于点B，点B的横坐标为．    (1)求一次函数的解析式； (2)若点C在y轴上，且满足，求点C的坐标； (3)一次函数有一点D，点D的纵坐标为1，点M为坐标轴上一动点，在函数上确定一点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一个情况的过程． 专题训练15反比例函数中的平行四边形 1．如图，平行四边形中，，，它的边在轴的负半轴上，对角线在轴的正半轴上．反比例函数的图像经过点．    (1)求反比例函数的表达式； (2)过点的直线与反比例函数在第三象限的图像相交于点，连接，直接写出面积的取值范围． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第一象限内交于和两点，直线与轴相交于点，连接． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)当时，请结合函数图象，直接写出关于的不等式的解集； (3)过点作平行于轴，交于点，在轴上是否存在点，使以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在请求出点坐标，若不存在请说明理由． 3．如图，一次函数与反比例函数的图像交于A、B两点，且A点坐标为，又与坐标轴分别交于M、N两点，且M的坐标为． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)已知的面积为3，求点B的坐标； (3)平面内是否存在一点P，使得以点P、A、O、B为顶点的四边形是平行四边形若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，在请说明理由． 专题训练16阅读理解 1．（1）阅读理解 如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点使，连接，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是 　　．这种方法叫做倍长中线法． （2）问题解决： 如图2，，，此时成立吗？请说明你的理由． （3）问题拓展： 如图3，已知：，，，，为的中线，反向延长交于点，求证：． 2．阅读理解：已知，对于实数，，满足，当且仅当时，等号成立，此时取得代数式的最小值．根据以上结论，解决以下问题： (1)若，当且仅当______时，有最小值，最小值为______． (2)①如图13—1，已知点P为双曲线上的任意一点，过点P作轴，轴，四边形OAPB的周长取得最小值时，求出点P的坐标及周长最小值； ②如图13—2，已知点Q是双曲线上一点，且轴，连接OP、OQ，当线段OP取得最小值时，在平面内是否存在一点C，使得以O、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 3．阅读理解： 如图①，在平面直角坐标系中，若已知点A（xA，yA）和点C（xC，yC），点M为线段AC的中点，利用三角形全等的知识，有△AMP≌△CMQ，则有PM=MQ，PA=QC，即xM﹣xA=xC﹣xM，yA﹣yM=yM﹣yC，从而有，即中点M的坐标为（，）． 基本知识： （1）如图①，若A、C点的坐标分别A（﹣1，3）、C（3，﹣1），求AC中点M的坐标； 方法提炼： （2）如图②，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为（﹣1，5）、（﹣2，2）、（3，3），求点D的坐标； （3）如图③，点A是反比例函数y=（x＞0）上的动点，过点A作AB∥x轴，AC∥y轴，分别交函数y═（x＞0）的图象于点B、C，点D是直线y=2x上的动点，请探索在点A运动过程中，以A、B、C、D为顶点的四边形能否为平行四边形，若能，求出此时点A的坐标；若不能，请说明理由． 专题训练17迁移探索 1．在中，，，点为边上的动点（点不与点点、重合），连接，过点作交直线于点． (1)观察发现： 如图①，当点是边的中点时， ， （填“，，”），试说明理由；    (2)探究迁移： 如图②，当点是边上任意点时，此时（1）中的结论还成立吗？数学小组对此进行了讨论，发现和第（1）问方法类似，请你说明理由．    (3)拓展应用： 在点运动过程中，直接写出线段，，之间的数量关系． 2．八年级的郭小嘉同学在对已学的相关数学知识进行复习的时候，对三角形中的某一条中线与三角形的三边之间是否存在联系产生了极大的兴趣，本着对数学的热爱和积极探索的精神，他充分利用已有的知识经验和数学思想，对某一条中线和三角形的三边关系展开了以下探究： 在中，是边的中线，尝试着探索这四条线段是否存在某种联系？ 要找到四条线段的关系，首先要把四条线段之间逐步建立某种数量联系，于是小嘉立刻想到利用勾股定理将其中的几条线段进行联系： 如图①，首先，过点A作边的垂线，垂足为E，则可以得到： ；① ；② 由以上两式，可以看到这四条线段在计算关系时已出现三条，于是聪明的小嘉想到，，而，所以果断将①式+②式，得到：……    (1)接下来，根据已有提示，请你帮忙整理出这四条线段的数量关系；得出结论后，小嘉为自己新的发现感到很兴奋，回家后立刻查阅资料，发现自己刚才发现的是一条很有名的定理：该定理准确的描述了任一三角形的一条中线两侧所对边的平方和与该中线及底边之间的具体关系，其被称作中线长定理（也叫阿波罗尼奥斯定理）．小嘉很高兴自己在课堂之外产生的收获，便将该定理也分享给了自己的好朋友贾许，贾许也酷爱数学，在自己推算并总结结论后发现该定理用在平行四边形上时可以得出平行四边形的两条对角线与其四条边之间的数量关系： (2)如图②：在中，对角线交于点O，试说明之间存在的数量关系； (3)数学兴趣小组针对以上结论，开展以下迁移应用：如图③，在平面直角坐标系中，点、点，问：x轴上是否存在一点P，使得有最小值，若存在求出点P坐标及最小值，若不存在，请说明理由； (4)在中，对角线交于点O，取的中点H，连接，已知，，，请直接写出的长． 3．【问题情景】利用三角形的面积相等来求解的方法是一种常见的等积法，此方法是我们解决几何问题的途径之一． 例如：张老师给小聪提出这样一个问题： 如图1，在中，，问的高与的比是多少？ 小聪的计算思路是： 根据题意得：． 从而得， 请运用上述材料中所积累的经验和方法解决下列问题： (1)【类比探究】 如图2，在中，点分别在上，且，并相交于点，连接，求证：平分． (2)【探究延伸】 如图3，已知直线，点是直线上两点，点是直线上两点，点是线段中点，且，两平行线间的距离为4．求证：． (3)【迁移应用】 如图4,为边上一点，，垂足分别为，，又已知分别为的中点，连接．求与的周长之和． 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点专题训练 平行四边形的性质与判定思维导图 专题训练01平行四边形中的最小值 1．如图，在中，，，是边上任意一点，连接，以，为邻边作，连接，则长的最小值为（    ） A．14.4 B．9.6 C．7.2 D．4.8 【答案】A 【分析】设，交于点O，过点O作于点F，勾股定理求得，等面积法求得，根据垂线段最短，当点D与点F，重合时，最小，进而求得的最小值，即可求解． 【详解】解：设，交于点O，过点O作于点F，如图所示， 在四边形中，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 当点D与点F，重合时，最小， ∴的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，掌握以上知识是解题的关键． 2．如图，在中，，，，点是边上两动点，连接，CE．若，则周长的最小值为 ． 【答案】/7.2 【分析】作点C关于线段AB的对称点交于点H，连接和，过点作，且，连接，则，根据轴对称得和，那么，周长为，当点C、点E和点F三点共线时，周长最小为，利用勾股定理求得，等面积法求得，则有，在中求得即可． 【详解】解：作点C关于线段AB的对称点交于点H，连接和，过点作，且，连接，如图， 则四边形为平行四边形， ∴， ∵点C关于线段AB的对称点， ∴，， ∴， 则周长为， 当点C、点E和点F三点共线时，周长最小为， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 在中，， 则，周长最小为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查勾股定理、轴对称的性质、平行四边形的判定和性质和三角形三边关系的应用，解题的关键是熟悉轴对称的性质和平行四边形的性质． 3．（1）如图1，平行四边形，，，，、分别为、上的点，且，四边形的面积与有关，当有最 值(填“大”、“小”)时，四边形的面积有最 值(填“大”、“小”)． （2）如图2，，且，连接，则的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由． 问题解决 （3）如图3，在四边形中，，对角线交于，已知，且，则与的周长之和是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出最小值． 【答案】（1）小，大；（2）存在，；（3）不是，周长之和的最小值为15 【分析】（1）先求出平行四边形的面积，利用面积和差关系可得四边形的面积，则当有最小值时，四边形的面积有最大值，即可求解； （2）在中，由勾股定理可求的长，由线段的和差关系可求解； （3）如图3，过点作，交的延长线于，过点作于，可证四边形是平行四边形，可，，则与的周长之和为，由直角三角形的性质可求的长，即可求解． 【详解】解：（1）过点作，交延长线于，过点作，交的延长线于， 四边形是平行四边形， ，，，， ，， ， ，， ，， 四边形的面积， ， ， ∴ 四边形的面积 ， 四边形的面积， 则当有最小值时，四边形的面积有最大值， 故答案为：小，大； （2）存在， 设， ， ， ， 的周长， 当时，的周长的最小值为； （3）与的周长之和不是定值， 理由如下：如图3，过点作，交的延长线于，过点作于， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， 与的周长之和不是定值， 当时，与的周长之和的最小值为15． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键． 专题训练02平行四边形中的最大值 1．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3、BC=4、P、Q两点分别在AC和AB上．且CP=BQ=1，在平面上找一点M．以A、P、Q、M为顶点画平行四边形，这个平行四边形的周长的最大值为（　　　） A．12 B． C． D． 【答案】D 【分析】先依据勾股定理以及相似三角形的性质，即可得到的长，再分三种情况，即可得到以、、、为顶点的平行四边形的周长，进而得出周长的最大值． 【详解】解：由勾股定定理得：，则； 过点作，垂足为，则， 则， 则， ， 由，得， 再由勾股定理得：； 如图1：周长； 如图2：周长； 如图3：周长为最长． ∵，并且 即， 故周长的最大值是 故选：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，关键是作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理计算得到的长． 2．如图，已知的面积为，，，现先将沿某一方向平移个单位长度后得到，其中点，，，的对应点分别为，，，；再将绕点顺时针旋转后得到，其中点，，的对应点分别为，，，连接，，则线段的最大值为 ，线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形，平移，旋转，勾股定理的知识，解题的关键是掌握平行四边形的性质，平移和旋转的性质，勾股定理的运用，根据题意，过点作交于点，连接，根据平行四边形的性质，勾股定理的运用，求出，；以点为圆心，半径为画圆，为，由题意得，沿某一方向平移个单位长度后得到，则在上运动，连接，，；根据三角形三边的关系，当，，三点共线且在，的中间，此时有最大值，即可；过点作且，以点为圆心，半径为画圆，连接并延长交于于点，根据勾股定理求出，；根据三角形三边的关系，当与重合时，此时有最小值，即可． 【详解】解：过点作交于点，连接， ∵平行四边形的面积为 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 以点为圆心，半径为画圆，为， ∵沿某一方向平移个单位长度后得到， ∴在上运动，连接，，， 在中，， ∴当，，三点共线且在，的中间，此时有最大值为； ∴的最大值为； 过点作且， 以点为圆心，半径为画圆，连接并延长交于于点， ∵，， ∴， ∵点在上运动，， ∴在上运动， 在中，， ∴当与重合时，此时有最小值为， ∴的最小值为． 故答案为：；． 3．（1）如图1，E为等边内一点，平分，D为边上一点，且，连接，取中点P，连接，，，直接写出与的位置关系，并直接用等式表示与的数量关系； （2）如图2，把图1中的绕点C顺时针旋转，其它条件不变，连接，点P为中点，连接，，，试问（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （3）在（2）的条件下，若，，绕点C顺时针旋转，则的最大值为 ． 【答案】（1）；（2）结论成立，详见解析；（3） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质； （1）延长至，使，连接，，由等边和平分，得到，再证明四边形是平行四边形，得到，，得到，即可证明，得到，，再由，得到是等边三角形，即可根据等边三角形的性质得到与的关系； （2）延长至，使，连接，，先证明四边形是平行四边形，得到，，，由（1）可知，再证明，得到，即可证明，得到，，再由，得到是等边三角形，即可根据等边三角形的性质得到与的关系． （3）在（2）的条件下，是等边三角形，，则， 根据三边关系可得，即，求出最大值为，此时在上，根据求解即可． 【详解】解：（1）如图，延长至，使，连接，， ∵等边， ∴，， ∵平分， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ，， ，， ，，， ， ，， ， 是等边三角形， ∵， ，， ∴． （2）结论成立． 证明：如图，延长至，使，连接，， ，， 四边形是平行四边形， ，， ∴， 由（1）可知， ， ， 即， ，， ， ，， ， 是等边三角形， ∵， ，， ∴． （3）在（2）的条件下，是等边三角形， ∴， ∵，， ∴，即， ∴，即最大值为，此时在上， ∴的最大值为， 故答案为：． 专题训练03平行四边形与图象结合 1．如图1，在平行四边形中，点沿方向从点移动到点，设点移动路程为，线段的长为，图2是点运动时随变化的关系图象，点是曲线部分的最低点，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，掌握平行四边形的性质，根据点P运动规律，结合函数图象解题是解题关键．根据平行四边形的性质，再结合P运动时y随x的变化的关系图象，通过勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， 根据题意得：，当时，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵， ∴， 解得：． 故选：A 2．如图1，平行四边形中，， 两动点M， N同时从点A出发， 点M在边上以的速度匀速运动，到达点B时停止运动，点 N沿的路径匀速运动，到达点B时停止运动．的面积与点 N的运动时间的关系图象如图2所示， 已知． （1） N点的运动速度是 ； （2）c处的数值等于 ． 【答案】 1 10 【分析】本题主要考查动点问题的函数图象问题，涉及平行四边形的性质，含直角三角形的性质，由点M的速度和路程可知，时，点M和点B重合，过点N作于点E，求出的长，进而求出的长，得出N点的速度；由图2可得当时，点N和点D重合，进而可求出的长；即可求解． 【详解】解：∵，点M的速度为， ∴当点M从点A到点B，用时， 当时，过点N作于点E，    ∴， ∴， 在中，， ∴， ，， ∴， ∴， ∴N点的运动速度是； ∴点N从D到C，用时， 由图2可知，点N从A到D用时3s， ∴， ∴， 故答案为∶1；10． 3．如图1，在平行四边形中，，过点作于点．点从点出发，以每秒个单位的速度沿折线运动，到达点时停止．设点的运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (2)在如图2所示的平面直角坐标系中画出y的函数图象，并写出函数y的一条性质：_____ (3)若直线与该函数图象恰有一个交点，则常数的取值范围是_____． 【答案】(1) (2)图象见解析，性质：当时，函数有最大值（答案不唯一，合理即可） (3)或 【分析】本题考查了动点的函数，包括求函数的解析式，画函数图象，根据图象写函数的性质，比较函数值的大小，还考查了平行四边形的性质，勾股定理； （1）直接确定三角形的底和高求解即可，注意分类讨论； （2）先确定，，然后连接即可画出图象，再观察函数图象，可以从最值写出函数的一条性质； （3）通过平移直线，与相交，找到只有一个交点时的临界点，根据函数图象求解即可． 【详解】（1）解：∵在平行四边形中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵点从点出发，以每秒个单位的速度沿折线运动，到达点时停止， ∴当点到达点时秒，当点到达点时秒， ∴当时，点在线段上，此时，； 当时，点在线段上， 此时，； ∴； （2）解：函数图象如图： 由函数图象可得，当时，函数有最大值（答案不唯一，合理即可）； （3）解：平移直线，与相交，函数图象如图： 把代入可得； 把代入可得，解得； 把代入可得，解得； 由函数图象可得，直线与该函数图象恰有一个交点，则常数的取值范围是或． 专题训练04平行四边形的平移 1．如图，面积为的三角形沿方向平移至三角形的位置，平移的距离是边的2倍，则图中四边形的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质及三角形面积的计算，推出四边形的面积是的4倍是解本题的关键． 根据平移的性质得出四边形是平行四边形，用表示出、，设点A到的距离为h，然后根据三角形的面积公式与平行四边形的面积公式列式进行计算即可． 【详解】面积为的沿方向平移至的位置，平移的距离是边的2倍， ，即， ，， 四边形为平行四边形， 设点A到的距离为h， ， ∴四边形的面积为： 故选：C． 2．如图，在中，，厘米，将沿方向平移4厘米得到，则四边形的面积是 平方厘米． 【答案】24 【分析】本题考查了平移的性质，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握平移的性质进行解题； 根据平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，可得四边形是平行四边形，再根据平行四边形的面积公式即可求解 【详解】沿方向平移4厘米，得到， 厘米，， 四边形是平行四边形， 四边形的面积平方厘米． 故答案为：24． 3．如图1，直线与轴交于点，与轴交于点．将线段向右平移7个单位长度，向上平移1个单位长度，得到线段，连接． (1)求点的坐标； (2)求四边形的面积； (3)若直线将四边形分成面积相等的两部分，请求出的值． 【答案】(1) (2)20 (3) 【分析】（1）根据直线性质，求出与轴交点，与轴交点的坐标，再由图形平移得到点的平移即可确定点的坐标； （2）根据平移性质，结合平行四边形性质得到，数形结合，通过间接表示，代值求解即可得到答案； （3）连接相交于点，如图所示，求出，联立得到点坐标，代入直线即可得到答案． 【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点， ， 当时，，解得， ， 将线段向右平移7个单位长度，向上平移1个单位长度，得到线段， ； （2）解：线段平移得到线段， ，且； 四边形是平行四边形， ， 延长交轴于点，如图所示： 设， 将代入得， ， 当时，，解得， ， ， ， ； （3）解：连接相交于点，如图所示： 设， 将代入得，解得：， ， 联立，解得， 点坐标为， 将代入直线，解得． 【点睛】本题考查直线与四边形综合，涉及一次函数图象与性质、图形平移、点的平移、待定系数法确定函数表达式、平行四边形的判定与性质、直线的交点坐标及直线等分四边形面积等知识，读懂题意，灵活掌握相关几何性质，数形结合是解决问题的关键． 专题训练05平行四边形的折叠 1．如图，在中，为边上的一个点，将沿折叠至处，使得落在的延长线上，若，时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，翻折的性质，三角形内角和定理等知识，根据翻折前后对应角相等是解题的关键．根据平行四边形的性质可求出，由三角形内角和求出，然后由折叠的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据折叠可知：， ∴． 故选：C． 2．如图，将沿对角线折叠，使点A落在点处，若，则的度数为 ． 【答案】108°/度 【分析】此题考查平行四边形的性质和折叠问题，由平行四边形的性质和折叠的性质，得出，由三角形的外角性质求出，再由三角形内角和定理求出，即可得到结果． 【详解】解：∵是平行四边形， ∵， ∴， 由折叠可得， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴中，， ∴， 故答案为：． 3．已知，如图，． (1)的对角线相交于点，直线过点，分别交于点．求证：； (2)将（纸片）沿直线折叠，点落在点处，点落在点处，设交于点分别交于点． ①求证：； ②连接，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）由平行四边形性质，结合三角形全等的判定与性质即可得证； （2）①由（1）中结论，结合折叠性质，利用三角形全等的判定与性质即可得证；②过点作，交于点，如图所示，由等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质即可得证． 【详解】（1）证明：∵在中，， ∴， 又∵， 在和中， ∴， ∴； （2）解：①由（1）得， 由折叠得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②过点作，交于点，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【点睛】本题考查四边形综合，涉及平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、折叠性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形与三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． 专题训练06平行四边形的旋转 1．如图，在平面直角坐标系中，的顶点C在y轴上，对角线轴，，．将绕点O逆时针旋转，每秒旋转，则第2023秒结束时，点B的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查旋转的性质、平行四边形的性质，点坐标的规律探究，熟练根据旋转的知识确定旋转后的位置是解题的关键．先根据平行四边形的性质求出点B的坐标，再作出旋转后的图形，然后找到B点的坐标规律，并按照规律解答即可． 【详解】解：中，，，轴， ，，， ， 如图：将绕点O逆时针旋转，每秒旋转， 1秒时，由旋转角的性质得：与x轴重合，， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ∴四边形是平行四边形， ， 轴， ， 同理可得：， 则：每旋转4秒则回到原位置， ∵， ∴第2023秒时，完成了505次循环，又旋转了3次， ∴当第2023秒旋转结束时，点B的对应点是． 故选：B． 2．如图，在中，，将平行四边形绕顶点B顺时针旋转到平行四边形，当首次经过顶点C时，旋转角的度数为 ． 【答案】52 【分析】本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理．由旋转的性质可知，从而得到，再由旋转角，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理计算即可． 【详解】∵将平行四边形绕顶点B顺时针旋转到平行四边形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即旋转角的度数为， 故答案为：52． 3．如图1，在中，，将绕着的中点旋转得到，点为的中点．点从点出发沿折线的方向以每秒的速度向终点运动，连结，设点的运动时间为秒． (1)______，______． (2)用含的代数式表示的长． (3)当将四边形的周长分成两部分时，求的值． (4)如图2，在点从点到点的运动过程中，作点关于直线的对称点，连结，当与四边形的边垂直时，请直接写出的度数． 【答案】(1)10， (2)当点在上时，； 当点在上时， (3)的值为7或13 (4)或 【分析】本题考查图形的旋转，平行四边形的性质． （1）将绕着的中点旋转得到得，得四边形是平行四边形即可求解； （2）先表示出，再表示即可； （3）先表示出，再根据题意可得或，求解即可； （4）分两种情况，当时和当时，分别画出图形求解即可． 【详解】（1）解：将绕着的中点旋转得到 四边形是平行四边形 故答案为：10，； （2） ； （3） 当将四边形的周长分成两部分时 或 解得或 经检验，或是原方程的解 当将四边形的周长分成两部分时，或； （4）如图， 当时， 点与点关于对称 ； 如图， 当时， 点与点关于对称 ． 综上，的度数为或． 专题训练07平行四边形的作图 1．在中，用尺规作图作等腰，下列作图正确的是（    ） ①                ②               ③                   ④ A．①② B．①③ C．③④ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了作图，解决本题的关键是熟悉几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，也考查了等腰三角形的判定和平行四边形的性质． 直接利用作图痕迹可直接判断①②④；结合平行四边形的性质以及角平分线的定义可判断②． 【详解】解：①由作图可知，，因此是等腰三角形，故本项符合题意； ②由作图可知，，因此得不出是等腰三角形，故本项不符合题意； ③由作图可知，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 故本项符合题意； ④由作图可知，，因此得不出是等腰三角形，故本项不符合题意； 故选：B． 2．如图，在平行四边形中，，按下列步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点分别为点，；②过点，作直线，交于点．如果的周长为8，那么平行四边形的周长是 ． 【答案】16 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质及平行四边形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质及平行四边形的性质是解答本题的关键； 由中垂线的作法可知，然后由的周长为8，可知，继而可求出平行四边形的周长． 【详解】解：由作法得：垂直平分， ， 的周长为8， 即， ， 即， 四边形是平行四边形， ，， 平行四边形的周长． 故答案为：16． 3．如图，点E在平行四边形的边上．   (1)只用无刻度直尺在上作出点F，使得（保留作图痕迹）； (2)依据你的作图，证明：． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的性质和判定，能灵活运用平行四边形的性质进行推理是解此题的关键． （1）连接交于点O连接并延长交于F即可； （2）根据平行四边形的性质得出，，求出，根据去三角形的判定得出即可． 【详解】（1）解：如图，连接交于点O连接并延长交于F，点F即为所求； （2）证明：∵在平行四边形中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 专题训练08平行四边形的比值 1．如图所示，在中，与相交于点，为的中点，连接并延长交于点，则与的面积比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质得到OB=OD，利用点E是OD的中点，得到DE:BE=1：3，根据同高三角形面积比的关系得到S△ADE：S△ABE=1：3，利用平行四边形的性质得S平行四边形ABCD=2S△ABD，由此即可得到与的面积比. 【详解】在中，OB=OD， ∵为的中点， ∴DE=OE, ∴DE:BE=1：3， ∴S△ADE：S△ABE=1：3， ∴S△ABE：S△ABD=1：4， ∵S平行四边形ABCD=2S△ABD, ∴与的面积比为3:8， 故选：C. 【点睛】此题考查平行四边形的性质，同高三角形面积比，熟记平行四边形的性质并熟练运用解题是关键. 2．如图，的对角线， 相交于点，，过点，且点，在边上，点，在边 上，则阴影区域的面积与的面积比值是 .    【答案】/ 【分析】本题考查平行四边形的对称性，解题关键将阴影部分的面积进行合理的转化．根据平行四边形是中心对称图形来解答即可． 【详解】解：∵是中心对称图形， ∴， ∴， 故答案为：． 3．小明在学习了中心对称图形以后，想知道平行四边形是否为中心对称图形．于是将一张平行四边形纸片平放在一张纸板上，在纸板上沿四边画出它的初始位置，并画出平行四边形纸片的对角线，用大头针钉住对角线的交点．将平行四边形纸片绕着对角线的交点旋转后，平行四边形纸片与初始位置的平行四边形恰好重合．通过上述操作，小明惊喜地发现平行四边形是中心对称图形，对角线的交点就是对称中心． 请你利用小明所发现的平行四边形的这一特征完成下列问题：      (1)如图①，四边形是平行四边形，过对角线交点的直线与边分别相交于点，则四边形与四边形的面积之比的比值为______； (2)如图②，这个图形是由平行四边形与平行四边形组成的，点在边上，且、、在同一直线上． ①请画出一条直线把这个图形分成面积相等的两个部分（不要求写出画法，但请标注字母并写出结论）； ②延长与边的延长线交于点，延长与边交于点．联结，如图③所示，当四边形的面积为18，四边形的面积为4时，求三角形的面积． 【答案】(1) (2)①见解析，；②7 【分析】（1）由四边形是平行四边形，对角线相交于点，得，从而得到，即可证明出，同理可证明出，，因此得到，，，又因为，，所以得到，从而即可得到答案； （2）根据（1）中的结论画出图并写出相关结论即可； 由四边形是平行四边形得，由四边形为平行四边形，得，从而可得，进而可得四边形为平行四边形，同理可得，四边形、四边形均为平行四边形，在根据平行四边形的面积与三角形的面积关系，即可得到三角形的面积为． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，对角线相交于点， ， ， 在和中 ， ， 同理可得，， ，，， ，， ， 即四边形的面积与四边形的面积之比为， 故答案为：； （2）根据（1）中的结论画出图如图所示，      平行四边形的对角线、相交于点，平行四边形的对角线、相交于点，过点的直线将图形分为面积相等的两个部分，直线与相交于点，直线与相交于，直线与相交于， 其中，， ， 即； 四边形是平行四边形， ， 四边形为平行四边形， ， ， 四边形为平行四边形， 同理可得，四边形、四边形均为平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 三角形的面积为7． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定的应用，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解决问题的关键，难度较大，综合性较强． 专题训练09等边三角形拼成平行四边形 1．如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中： ①； ②四边形是平行四边形； ③； ④．错误的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】由，得出，故①正确；再由证得，得，同理证得，得，则四边形是平行四边形，故②正确；然后由平行四边形的性质得，则③正确；最后求出，故④错误；即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴，故①正确； ∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∵和都是等边三角形， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∴四边形是平行四边形，故②正确； ∴，故③正确； 过A作于G，则， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴，故④错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明是解题的关键． 2．如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：①；②；③；④，正确结论是 ． 【答案】①②③④ 【分析】由，得出，故正确；再由证得，得，同理，得，则四边形是平行四边形，故正确；然后由平行四边形的性质得出，故正确． 【详解】解：，，，， ， 是直角三角形，， ，故①正确； ，都是等边三角形， ， ， 和都是等边三角形， ，，， ， 在与中， ， ∴， ， 同理可证：， ， 四边形是平行四边形， ，，故②③正确； 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 故④正确． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明≌是解题的关键． 3．在等边三角形的内部有一点，连接，，以点为中心，把逆时针旋转得到，连接，．以点为中心，把顺时针旋转得到，连接，． (1)判断和的大小关系，并说明理由； (2)求证：； (3)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)．见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质和平行四边形的判定． （1）先根据旋转的性质得，，则可判断为等边三角形，所以，，再利用为等边三角形得到，，则可得到； （2）通过证明得到； （3）先判断为等边三角形得到，，再与（2）的证明方法一样证明得到，所以，加上，从而可判断四边形是平行四边形． 【详解】（1）． 理由如下：逆时针旋转得到， ，， 为等边三角形， ，， 为等边三角形， ，， ，， ； （2）证明：在和中， ， ， ； （3）证明：顺时针旋转得到， ，， 为等边三角形， ，， 为等边三角形， ，， ，， ； 在和中， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 专题训练10平行四边形的新定义 1．【问题情境】我们定义：如图a，在中，把绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，的边上的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”． 【特例感知】 （1）在图2和图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． ①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系为______； ②如图3，当，时，则长为______． 【猜想论证】 （2）如图1，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 【答案】（1）①；②8；（2）结论：，详见解析 【分析】（1）①根据含30度的直角三角形的性质解答；②证明，根据全等三角形的性质得到，根据直角三角形的性质计算； （2）证明四边形是平行四边形，得到，根据全等三角形的性质得到，得到答案． 【详解】解：（1）①∵是等边三角形， ∴， ∵是的“旋补三角形”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵是的“旋补三角形”， ∴， 在和中， ∵ ∴， ∴， ∵，是的“旋补中线”， ∴， 故答案为：8； （2）猜想． 证明：如图，延长至点E使得，连接， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、理解“旋补三角形”的定义是解题的关键． 2．定义：至少有一组对边相等的四边形为“等对边四边形”． (1)请写出一个你学过的特殊四边形中是“等对边四边形”的名称； (2)如图，在中，点D、E分别在边、边上，且满足，线段、交于点O． ①求证：； ②不添加辅助线，请在图中找到一个“等对边四边形”，并给出证明． 【答案】(1)平行四边形（答案不唯一） (2)①见详解；②四边形是“等对边四边形”，证明见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，等角对等边等等． （1）根据定义平行四边形即符合题意； （2）①先证明，再利用四边形内角和定理和平角的定义证明，，即可证明；②先证明；如图所示，过点C作于G，过点B作交延长线与F，证明，得到，再证明，得到，则四边形是“等对边四边形”． 【详解】（1）解：写出一个学过的特殊四边形中是“等对边四边形”的名称，如：平行四边形； （2）①证明：， ， ，， ， ， ； 四边形是“等对边四边形”，证明如下： ∵， ∴； 如图所示，过点C作于G，过点B作交延长线与F， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是“等对边四边形”； 3．在平面直角坐标系中，对于两个点P，Q和图形W，给出如下定义：若射线与图形W的一个交点为M，射线与图形W的一个交点为N，且满足四边形为平行四边形，则称点Q是点P关于图形W的“平心点”．如图1中，点Q是点P关于图中线段ST的“平心点”． 已知点：， (1)点中，是点C关于直线 “平心点”的有 ； (2)若点C关于线段 “平心点”J的横坐标为a，求a的取值范围； (3)已知点，点P是线段上的动点（点P不与端点C，K重合），若直线存在点P关于矩形的“平心点”，请直接写出k取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意描出相应的点，然后利用一次函数确定函数解析式，确定交点，再由平行四边形的判定和性质即可求解； （2）根据题意结合图象， 得出点的运动轨迹为点， 即可求解； （3）“平心点”为平行四边形对角线的交点，如图所示，将各点描出，然后连线，得四边形为矩形，根据题意，平移，使得平移后的线段落在矩形上，O点平移后的对应点为N，P点平移后的对应点为点M，平移线段，平移后的线段可能落在矩形左下角或右上角，然后分情况结合图象求解即可． 【详解】（1）解：根据题意作图如下： ， 直线所在直线为， 设直线所在直线为， 将点代入得∶， ∴， 其交直线于点， 直线所在直线为，其交直线于点， ∴两个交点之间的距离为， ∵所在直线平行于轴， ∴四边形为平行四边形， 符合题意； 同理点不符合题意；点符合题意； 故答案为∶； （2）解：根据题意结合图象， 连接， 则中点， 即， 连接， 则中点，即， ； （3）解：如图所示，将各点描出，然后连线，得四边形为矩形，平移，使得平移后的线段落在矩形上，O点平移后的对应点为N，P点平移后的对应点为点M，平移后的线段可能落在矩形左下角或右上角， 当落在左下角时，如图所示： 点P接近点K时，点M接近点A，点P接近点C时，点M接近点， 所在直线即为直线l：， 将点代入得：， 将点 代入得：， ∴； 当落在右上角时，如图所示： 点P接近点K时，点M接近点， 点P接近点C时，点M接近点， 所在直线即为直线l：， 将点代入得：， 将点 代入得：， ∴； 综上可得：． 【点睛】本题主要考查新定义， 平行四边形的判定和性质， 一次函数的性质， 坐标与图形， 理解题意结合图象求解是解题关键． 专题训练11平行四边形中的无刻度尺作图 1．如图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点均在格点上：只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求作图，所作图形的顶点均在格点上且两图形不全等，不要求写作法． (1)在图①中以线段为边作一个平行四边形，使得平行四边形的面积为9； (2)在图②中以线段为边作一个平行四边形，且有一条对角线长为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-全等图形，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识， （1）根据平行四边形的定义画出图形即可； （2）根据要求画出图形． 【详解】（1）解：如图①中，平行四边形即为所求； （2）解：如图②中，平行四边形即为所求． 2．如图．在中，E是边的中点，是对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作对角线的中点． (2)在图2中作边的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了无刻度直尺作图，三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． （1）连接，与的交点O即为所作的点； （2）连接交于点O，连接与交于点P，连接交于点H，连接交于点F，则点F即为所作． 【详解】（1）解：如图所示，点O即为所作的点； （2）解：点F即为所作边的中点． 3．如图，在中，是它的一条对角线．分别按下列要求作，使得点在上（保留作图痕迹，不写作法）．    (1)用圆规和无刻度的直尺，在图1、图2中完成作图（用两种不同的方法）； (2)仅用无刻度的直尺，在图3中完成作图． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图和无刻度直尺作图； （1）根据平行四边形的性质和判定，确定缺少的条件，再利用尺规作图即可； （2）利用平行四边形对角线交点以及中心对称性作图即可． 【详解】（1）如图所示，即为所求：      （2）如图所示，即为所求：    专题训练12平行四边形中的动点求t 1．如图，在中，对角线相交于点，，，．点从点出发沿方向以的速度匀速运动，到点时停止运动，连接并延长交于点．设运动时间为． (1)当为何值时，四边形是平行四边形？并说明理由； (2)当时，求四边形的面积． 【答案】(1)，理由见解析； (2)． 【分析】当运动的时间为时，，，因为四边形是平行四边形，所以，当时，四边形是平行四边形，可得关于的方程，解方程求出的值； 过点作于点，过点作于点，利用三角形的面积公式求出的长度，从而可求的面积，根据三角形中位线的性质可求出的长度，从而可求的面积，用的面积减去的面积即可得到四边形的面积． 【详解】（1）解：当时，四边形是平行四边形， 理由如下： 四边形是平行四边形， ，，， ， 在和中，， ， ． ， ． ， ，即时， 四边形是平行四边形， 解得：； （2）解：如图所示，过点作于点，过点作于点， ，，， 在中，由勾股定理，得， 由三角形的面积公式，得， ， ， ， ， ， ， ， 当时，， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质、动点问题、勾股定理、全等三角形的判定与性质．本题的综合性较强，解决本题的关键是根据平行四边形的判定定理确定边之间需要满足的条件，根据条件列方程． 2．已知，在四边形中，，，，． (1)如图1，求长． (2)如图2，点E在的延长线上，连接，若，且四边形的面积为9．求的长． (3)如图3，在（2）的条件下，动点P从点A出发沿以每秒0.5个单位长度的速度向终点D匀速运动，动点Q从点E出发以每秒3.5个单位长度的速度沿向终点B匀速运动．点P和点Q同时出发，当点Q到达终点停止运动时点P也随之停止运动，当运动时间t（秒）为何值时，以C、D、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】(1) (2) (3)或时，以C、D、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形 【分析】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，解本题的关键是熟练掌握平行四边形的性质与判定． （1）先证明四边形是平行四边形，再由平行四边形的性质可得结果； （2）过点D作，设，由勾股定理列出方程求解即可得出结论； （3）分为当点Q在线段上时及当点Q在线段上时两种情况进行讨论，再利用平行四边形的判定列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）如图2，过点D作，设， ∴， ∵的面积为9，， ∴， ∴， ∵中，， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴； （3）如图3，当点Q在线段上时， 由题意得：， ∵， ∴只要使，四边形是平行四边形， ∴ 解得：， 当点Q在线段上时， 由题意得：， ∵， ∴只要使，四边形是平行四边形， ∴， 解得：， 综上所述：或时，以C、D、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形． 3．如图，在平行四边形中，，，．点在边上由点向点运动，速度为每秒；点在边上由点向点A运动，速度为每秒．点，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，连接，设运动时间为秒． (1)当何值时，四边形为平行四边形？ (2)当为何值时，点在的平分线上？ (3)当为何值时，四边形的面积是四边形的面积的四分之三？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质． （1）根据平行四边形的性质得出，列出关于t的方程，求出t的值即可； （2）根据平行四边形的性质和角平分线定义得出，根据等腰三角形的判定得出，即可得出，求出t的值即可； （3）设平行四边形边是高为，根据四边形的面积是四边形的面积的四分之三，得出，求出t的值即可． 【详解】（1）解：因为四边形为平行四边形， 所以， 所以， 解得：． （2）解：连接， 因为四边形为平行四边形， 所以，， 所以， 因为点在的平分线上， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 解得：； （3）解：设平行四边形边是高为， 因为四边形的面积是四边形的面积的四分之三， 所以， 解得， 所以，当时，四边形的面积是四边形的面积的四分之三． 专题训练13平面直角坐标系中的平行四边形 1．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形， 的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后， 三个顶点的坐标分别为 ． (1)将 沿x轴正方向平移8个长度单位得 (点 A的对应点为， 点 B 的对应点为，点C的对应点为 画出 (2)作 关于原点中心对称的 (点A的对应点为 ，点B的对应点为 点 C的对应点为 )； (3)四边形的形状 （填“是”或“不是”） 平行四边形； (4)的面积= ． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)是 (4) 【分析】本题考查作图旋转变换，平移变换，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握平移变换，旋转变换的性质，正确作出图形，属于中考常考题型 （1）根据平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可． （2）根据中心对称的性质分别作出，，的对应点，，即可． （3）根据对应边相等可得出平行四边形 （4）利用割补法可求出面积． 【详解】（1）解：如图， ，即为所求． （2）如图，△，即为所求． （3）∵, ∴， ∴四边形的形状是平行四边形． 故答案：是 （4）的面积= 2．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A、B，C、D的坐标分别为，，，．    (1)以点D为旋转中心，将旋转得到，画出； (2)直接写出以B，，，C为顶点的四边形的面积； (3)在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线平分，写出点E的坐标． 【答案】(1)见详解 (2)40 (3)(答案不唯一) 【分析】本题主要考查了画旋转图形，平行四边形的判定以及性质，等腰三角形的判定以及性质等知识，结合网格解题是解题的关键． （1）将点A，B，C分别绕点D旋转得到对应点，即可得出． （2）连接，，证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质以及网格求出面积即可． （3）根据网格信息可得出，，即可得出是等腰三角形，根据三线合一的性质即可求出点E的坐标． 【详解】（1）解：如下图所示：    （2）连接，， ∵点B与，点C与分别关于点D成中心对称， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． （3）∵根据网格信息可得出，， ∴是等腰三角形， ∴也是线段的垂直平分线， ∵B，C的坐标分别为，， ∴点， 即．（答案不唯一） 3．在平面直角坐标系内，点A坐标，点B坐标，，且． (1)点C在坐标轴上，若为等腰三角形，写出点C的坐标 (2)若点P在y轴上，点D在直线上，以A、B、P、D为顶点的四边形为平行四边形，写出点D坐标． 【答案】(1)综上所述C点坐标为或或或或或 (2)点D坐标为或 【分析】（1）根据等腰三角形的定义分C点在x轴和y轴两种情况下，再根据C点的位置具体求解即可； （2）根据平行四边形性质，分为①当为平行四边形的边时，②当为平行四边形的对角线时两种情况下，画出图形进行求解即可． 【详解】（1）解：当C在x轴上时， ①C在B点右侧，， ， ②C在B点左侧，， ， 时， 时，如图，， 设，则， ，即， 解得：， ； 当C在y轴上时， ①C在A点上侧，， ， ②C在A点下侧，， ， ，时，， ， 为等边三角形， ； 综上所述C点坐标为或或或或或； （2）点P在y轴上，点D在直线上，当为平行四边形的边时如下图： 为平行四边形， ， ， 当为平行四边形的对角线时如下图：与y轴交于点N ， 为平行四边形， ，， ， ， ， ， ， 点D坐标为或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，平行四边形性质，等腰三角形性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，写出坐标系中点的坐标，分情况讨论是解答本题的关键． 专题训练14一次函数中的平行四边形 1．已知：如图，在平面直角坐标系中，，，点在轴的正半轴上，点为的中点． (1)求证：； (2)当与的距离等于时，求点的坐标； (3)如果于点，当四边形为平行四边形时，求直线的解析式． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由点与点的坐标求出与的长，进而得到点为线段的中点，而点为的中点，利用三角形中位线定理即可得证； （2）作于点，取的中点，确定出点的坐标，由平行线间的距离相等求出的长，在中，利用斜边上的中线等于斜边的一半求出的长，进而证得为等边三角形，于是，设，则有，利用勾股定理表示出，根据的长可求出的值，据此即可得到点的坐标； （3）当四边形为平行四边形时，，进而得到，再由点为的中点，可知是线段的垂直平分线，因而，再由，可证得为等腰三角形，于是求出的长，确定出点的坐标，设直线的解析式为，将点，代入，求出与的值，即可确定直线的解析式． 【详解】（1）证明：，， ，， 点为线段的中点， 点为的中点， 为的中位线， ； （2）解：如图，作于点，取的中点，连接， 为的中点， 点的坐标为，即， ，与的距离等于， ， 在中，，，点为的中点， ， 是等边三角形， ， ， ， 设，则， 根据勾股定理得： ， ， ， ， 点在轴的正半轴上， 点的坐标为； （3）解：如图，当四边形为平行四边形时，， ， ， 点为的中点， 是线段的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， 点在轴的正半轴上， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入，得：， 将代入，得：， 移项，得：， 系数化为，得：， 直线的解析式为． 【点睛】本题主要考查了已知两点坐标求两点距离，三角形中位线定理，计算线段中点，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，等边三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，含度角直角三角形的性质，勾股定理，解一元一次方程，平行四边形的性质，平行线的性质，线段垂直平分线的判定，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，垂线的性质，三角形的内角和定理，待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组等知识点，熟练掌握相关定理及性质是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，，，且、满足．    (1)点的坐标为______ ；点的坐标为______ ； (2)求直线的解析式； (3)若点为直线上一点，且是以为底的等腰直角三角形，求值； (4)若在第一象限有一个固定点，为坐标平面上一点，如果以，，，为顶点的四边形为平行四边形，写出满足条件的点的坐标为______（直接写出） 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】根据非负性得出，的值，即可求得点、的坐标； 直线的解析式为 ，把点、的坐标代入利用待定系数法确定解析式即可； 过点分别向轴 轴作垂线，根据全等三角形的判定和性质解答即可； 根据平行四边形的性质分情况解答即可． 【详解】（1）解：根据题意：，， ，， 故答案为：，； （2）解：设直线的解析式为 ， 则有， 解得， 直线的解析式为； （3） 解：过点分别向轴 轴作垂线，垂足分别为，如图，    是以为底的等腰直角三角形， ，， ， ， 在与中， ， ， ， ； （4） 解：当以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，如图：    当， ，，，， ； 当时， ，，，， ； 当时， ，， ，， 【点睛】此题主要考查一次函数的综合题，关键是根据等腰直角三角形性质，用待定系数法求正比例函数的解析式，全等三角形的性质和判定等知识点进行推理和计算． 3．如图，一次函数的图象交x轴于点A，，与正比例函数的图象交于点B，点B的横坐标为．    (1)求一次函数的解析式； (2)若点C在y轴上，且满足，求点C的坐标； (3)一次函数有一点D，点D的纵坐标为1，点M为坐标轴上一动点，在函数上确定一点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一个情况的过程． 【答案】(1) (2)点的坐标为， (3)点的坐标为，，过程见解析 【分析】（1）由待定系数法求直线解析式即可； （2）由题意可得，求点坐标即可； （3）先得出，分当点在轴上时，设，当点在轴上时，设，每种都需要进行分类讨论． 【详解】（1）解：∵点B在函数上，点B的横坐标为； ∴； ∵； ∴， 由题意，得， 解之，得； ∴一次函数的解析式为； （2）解：设点C的坐标为， ∵； ∴； 则； 点的坐标为，； （3）解：由题意，得：点； 当点在轴上时，设； ①点的对应点为点，点的对应点为点，纵坐标都减少1，则的纵坐标为2，点在函数上， ∴； ②点的对应点为点，点的对应点为点，纵坐标都减少3，则的纵坐标为－2，点在函数上， ∴； 当点在轴上时，设； ①点的对应点为点，点的对应点为点，横坐标都增加3，则的横坐标为2，点在函数上， ∴； ②点的对应点为点，点的对应点为点，横坐标都增加1，则的横坐标为－2，点在函数上， ∴． 综上所述，点的坐标为，． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键． 专题训练15反比例函数中的平行四边形 1．如图，平行四边形中，，，它的边在轴的负半轴上，对角线在轴的正半轴上．反比例函数的图像经过点．    (1)求反比例函数的表达式； (2)过点的直线与反比例函数在第三象限的图像相交于点，连接，直接写出面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查反比例与几何图形的关系，根据几何图形面积的计算方法求反比例函数的值， （1）如图所示，过点作轴于点，设，根据反比例函数图象的性质可得四边形是矩形，，根据平行四边形的性质可得，结合，可得求出，由此可得，即可求解； （2）设，点到的距离为，由三角形的面积公式得，再根据点位于第三象限的特点即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作轴于点，设，    ∵平行四边形中，边在轴的负半轴上，对角线在轴的正半轴上， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形平行四边形， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为：； （2）解：根据题意，设， ∵， ∴设点到的距离为，则， ∴， ∵点位于第三象限，即，且， ∴，则， ∴． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第一象限内交于和两点，直线与轴相交于点，连接． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)当时，请结合函数图象，直接写出关于的不等式的解集； (3)过点作平行于轴，交于点，在轴上是否存在点，使以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在请求出点坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1)反比例函数表达式为：，一次函数表达式为 (2) (3)点坐标为或． 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，平行四边形的性质． （1）利用可得反比例函数为，再求解，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可； （2）由一次函数的图象在反比例函数图象的上方，结合可得答案； （3）分四边形和为平行四边形，两种情况讨论，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数过， ∴， ∴反比例函数为：， 把代入可得：， ∴， ∴，解得：， ∴一次函数为； （2）解：由一次函数的图象在反比例函数图象的上方，结合可得 不等式的解集为：； （3）解：存在 ∵， ∴直线的解析式为：， ∵过点作平行于x轴，交于点D， ∴， ∴， 当四边形为平行四边形时， ∴， ∴点坐标为， 当四边形为平行四边形时， ∴， ∴点坐标为． 综上，点坐标为或． 3．如图，一次函数与反比例函数的图像交于A、B两点，且A点坐标为，又与坐标轴分别交于M、N两点，且M的坐标为． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)已知的面积为3，求点B的坐标； (3)平面内是否存在一点P，使得以点P、A、O、B为顶点的四边形是平行四边形若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，在请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在．，， 【分析】（1）先求出一次函数解析式，再把代入求出m，然后再求反比例函数解析式； （2）先求出，设，然后利用的面积为3列方程求解即可； （3）设，然后分3种情况利用平行四边形的对角线互相平分，结合中点坐标公式求解即可． 【详解】（1）把代入，得， ∴， 把代入，得， 解得， ∴把代入，得， ∴； （2）当时，， ∴， ∴， ∴， 设， ∵的面积为3， ∴， ∴， ∴； （3）设， 当为对角线时，由题意，得 ，， ∴， ∴， 当为对角线时，由题意，得 ，， ∴， ∴， 当为对角线时，由题意，得 ，， ∴， ∴， 综上可知，P点的坐标为，，． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，待定系数法求函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，以及反比例函数与几何综合等知识，数形结合是解答本题的关键． 专题训练16阅读理解 1．（1）阅读理解 如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点使，连接，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是 　　．这种方法叫做倍长中线法． （2）问题解决： 如图2，，，此时成立吗？请说明你的理由． （3）问题拓展： 如图3，已知：，，，，为的中线，反向延长交于点，求证：． 【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3）证明见解析． 【分析】（1）延长至，使，连接，由证明，得出，在中，由三角形的三边关系求出的取值范围，即可得出的取值范围； （2）延长至，使，连接，证明，可得到，，再证明，可得． （3）延长到，使得．首先证明四边形是平行四边形，再证明，推出，由，推出，推出，即可解决问题； 【详解】（1）解：延长至，使，连接，如图1所示： ， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，由三角形的三边关系得：， ，即， ； 故答案为：； （2）解：成立． 理由：延长至，使，连接，如图2所示： 在和中， ， ， ，， ， ， ， ． （3）证明：如图，延长到，使得． ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】 本题是三角形的综合题，考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，余角的性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 2．阅读理解：已知，对于实数，，满足，当且仅当时，等号成立，此时取得代数式的最小值．根据以上结论，解决以下问题： (1)若，当且仅当______时，有最小值，最小值为______． (2)①如图13—1，已知点P为双曲线上的任意一点，过点P作轴，轴，四边形OAPB的周长取得最小值时，求出点P的坐标及周长最小值； ②如图13—2，已知点Q是双曲线上一点，且轴，连接OP、OQ，当线段OP取得最小值时，在平面内是否存在一点C，使得以O、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1，2 (2)①，周长最小值为；②存在，或或 【分析】（1）根据题意即可完成解答； （2）①设，则可得周长，由题意即可求得周长的最小值及点P的坐标； ②由于，由题意可求得的最小值，从而求得点P的坐标；由轴且点Q在，可求得点Q的坐标，再分三种情况考虑，利用平行四边形的性质即可求得点C的坐标． 【详解】（1）解：由题意，当且仅当，即（负值舍去）时，，即有最小值，最小值为2； 故答案为：1，2； （2）解：①∵点P为双曲线上的任意一点，     ∴设， ∴四边形OAPB的周长， 当四边形OAPB的周长取得最小值时，即，         即的最小值为，此时，解得：（负值舍去）， ∴，周长最小值为； ②存在． ∵点P为双曲线上的任意一点，     ∴设， ， ， 当时，解得：（负值舍去）， 即当时，有最小值，从而有最小值， ； 轴，且点Q在， ∴点Q的纵坐标为，且 ，即， ； 当以、为平行四边形的邻边时，则，， ； 当以、为平行四边形的邻边时，则，， ； 当以、为平行四边形的邻边时，则， 只要把点Q沿方向平移，平移距离为长度，即可得到点C， 综上，点C坐标为或或． 【点睛】本题是材料阅读题，考查了反比例函数的图象与性质，坐标与图形、平行四边形的性质，勾股定理等知识，读懂材料提供的方法并能灵活运用是解题的关键． 3．阅读理解： 如图①，在平面直角坐标系中，若已知点A（xA，yA）和点C（xC，yC），点M为线段AC的中点，利用三角形全等的知识，有△AMP≌△CMQ，则有PM=MQ，PA=QC，即xM﹣xA=xC﹣xM，yA﹣yM=yM﹣yC，从而有，即中点M的坐标为（，）． 基本知识： （1）如图①，若A、C点的坐标分别A（﹣1，3）、C（3，﹣1），求AC中点M的坐标； 方法提炼： （2）如图②，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为（﹣1，5）、（﹣2，2）、（3，3），求点D的坐标； （3）如图③，点A是反比例函数y=（x＞0）上的动点，过点A作AB∥x轴，AC∥y轴，分别交函数y═（x＞0）的图象于点B、C，点D是直线y=2x上的动点，请探索在点A运动过程中，以A、B、C、D为顶点的四边形能否为平行四边形，若能，求出此时点A的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】（1）（1，1）；（2）（4，6）；（3）点A的坐标为（2，），（，4），（2，4） 【分析】（1）根据线段的中点坐标公式，可得答案； （2）根据平行四边形的对角线互相平分，可得M是AC的中点，M是BD的中点，根据中点坐标公式，可得答案． （3）根据平行四边形对角的顶点的横坐标的和相等，纵坐标的和相等，可得点D的坐标，根据点在函数图象上，可得a的值，根据点A的坐标是（a，），可得点A的坐标． 【详解】解：（1）将A，C点的坐标代入中点坐标公式，得 xM==1，yM==1， AC中点M的坐标（1，1）； （2）连接AC，BD交于点M∵四边形ABCD是平行四边形， ∴M是AC与BD的交点， 将A（﹣1，5），C（3，3）代入， 解得， 即点M的坐标为（1，4）， 设点D的坐标为（xD，yD）， 由中点坐标公式，得 ， 解得， 即点D的坐标为（4，6）； （3）设A（a，），则B（，）C（a，）， ①当AB为对角线时，有， 即， 解得， 将D（，）代入y=2x解得a=2， A（2，）， ②当AC为对角线时，有， 即 解得 将D（a，）代入y=2x解得a=， A（，4）； ③当AD为对角线时，有 即， 解得 将D（，）代入y=2x解得a=2， A（2，4）， 综上所述：点A的坐标为（2，），（，4），（2，4）． 【点睛】本题考查了反比例函数综合题，解（1）的关键是利用中点坐标公式；解（2）的关键是利用平行四边形的对角线互相平分，可得M是AC的中点，M是BD的中点，又利用了中点坐标公式；解（3）的关键是利用平行四边形对角的顶点的横坐标的和相等，纵坐标的和相等得出D点坐标，又利用了点的坐标满足函数解析式求得a的值，要分类讨论，以防遗漏． 专题训练17迁移探索 1．在中，，，点为边上的动点（点不与点点、重合），连接，过点作交直线于点． (1)观察发现： 如图①，当点是边的中点时， ， （填“，，”），试说明理由；    (2)探究迁移： 如图②，当点是边上任意点时，此时（1）中的结论还成立吗？数学小组对此进行了讨论，发现和第（1）问方法类似，请你说明理由．    (3)拓展应用： 在点运动过程中，直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】(1)； ； (2)成立，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识是解题的关键． （1）根据题意可得是等腰三角形，再证明即可得证结论； （2）过点作交于点，可得，再结合平行四边形的性质可得，然后得出结论即可； （3）由（2）知，，得出，再由勾股定理可得，然后得出结论即可． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， 点为线段的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：=，=； （2）成立，理由如下： 过点作交于点，   ，， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：由（2）知，， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ． 2．八年级的郭小嘉同学在对已学的相关数学知识进行复习的时候，对三角形中的某一条中线与三角形的三边之间是否存在联系产生了极大的兴趣，本着对数学的热爱和积极探索的精神，他充分利用已有的知识经验和数学思想，对某一条中线和三角形的三边关系展开了以下探究： 在中，是边的中线，尝试着探索这四条线段是否存在某种联系？ 要找到四条线段的关系，首先要把四条线段之间逐步建立某种数量联系，于是小嘉立刻想到利用勾股定理将其中的几条线段进行联系： 如图①，首先，过点A作边的垂线，垂足为E，则可以得到： ；① ；② 由以上两式，可以看到这四条线段在计算关系时已出现三条，于是聪明的小嘉想到，，而，所以果断将①式+②式，得到：……    (1)接下来，根据已有提示，请你帮忙整理出这四条线段的数量关系；得出结论后，小嘉为自己新的发现感到很兴奋，回家后立刻查阅资料，发现自己刚才发现的是一条很有名的定理：该定理准确的描述了任一三角形的一条中线两侧所对边的平方和与该中线及底边之间的具体关系，其被称作中线长定理（也叫阿波罗尼奥斯定理）．小嘉很高兴自己在课堂之外产生的收获，便将该定理也分享给了自己的好朋友贾许，贾许也酷爱数学，在自己推算并总结结论后发现该定理用在平行四边形上时可以得出平行四边形的两条对角线与其四条边之间的数量关系： (2)如图②：在中，对角线交于点O，试说明之间存在的数量关系； (3)数学兴趣小组针对以上结论，开展以下迁移应用：如图③，在平面直角坐标系中，点、点，问：x轴上是否存在一点P，使得有最小值，若存在求出点P坐标及最小值，若不存在，请说明理由； (4)在中，对角线交于点O，取的中点H，连接，已知，，，请直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)100 (4)6 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，坐标与图形： （1）先把原式变形为，据此去括号化简即可得到结论； （2）先由平行四边形的性质得到，再由（1）的结论得到，，两式相加即可得到答案； （3）连接，取中点C，连接，则，由（1）的结论可知，则当最小时，最小，由垂线段最短可知，当轴，最小，即此时点P的坐标为，，据此可得答案； （4）先由平行四边形的性质得到， 由（1）的结论可知，则；由（2）的结论可知，则，可得． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， 在中，由（1）的结论可得， 在中，由（1）的结论可得， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，连接，取中点C，连接， ∵点、点， ∴， 由（1）的结论可知， ∴， ∴当最小时，最小， 由垂线段最短可知，当轴，最小，即此时点P的坐标为，， ∴， ∴的最小值为100；    （4）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点H为的中点， ∴由（1）的结论可知， ∴， ∴； 由（2）的结论可知， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴．    3．【问题情景】利用三角形的面积相等来求解的方法是一种常见的等积法，此方法是我们解决几何问题的途径之一． 例如：张老师给小聪提出这样一个问题： 如图1，在中，，问的高与的比是多少？ 小聪的计算思路是： 根据题意得：． 从而得， 请运用上述材料中所积累的经验和方法解决下列问题： (1)【类比探究】 如图2，在中，点分别在上，且，并相交于点，连接，求证：平分． (2)【探究延伸】 如图3，已知直线，点是直线上两点，点是直线上两点，点是线段中点，且，两平行线间的距离为4．求证：． (3)【迁移应用】 如图4,为边上一点，，垂足分别为，，又已知分别为的中点，连接．求与的周长之和． 【答案】(1)见解析 (2)见详解析 (3) 【分析】(1)、根据平行四边形的性质得出和的面积相等，过点B作于G，于H，从而得出，然后证明和全等，从而得出，即角平分线； (2)、过点P作于G，交m于F，根据平行线的性质得出和全等，延长交于E，证明和全等，根据等积法得出，从而得出答案； (3)、延长，交于点G，过点A作于F，设，根据和的勾股定理得出x的值，根据等积法得出，， ，从而得出两个三角形的周长之和．同理：． 【详解】（1）如图2，   ∵四边形是平行四边形， ∴，=，   ∴， 过点B作于G，于H， ∴，， ∴，即：， ∵，   ∴， 又 ∴， ∴， ∴平分， （2）如图3，过点P作于G，交m于F， ∵， ∴， ∴， ∵点P是中点， ∴ 又 ∴， ∴， 延长交于E， ∴ ∴在和中 ∴， ∵， ∴（三线合一），   ∴=， ∵ ，， ∴，   即：； （3）如图4，延长，交于点， ∵， ∴，过点A作于F， 设，   ∴， 在中，， 根据勾股定理得，， 在中，， 根据勾股定理得，， ∴，   ∴（舍）或， ∴， 连接EG， ∵， ∴，  在中，点M是的中点， ∴， 同理：， ∵，   ∴， ∴ ， 同理：    ∴与的周长之和． 【点睛】本题主要考查的就是三角形全等的判定与性质以及三角形的等积法，综合性非常强，难度较大．在解决这个问题的关键就是作出辅助线，然后根据勾股定理和三角形全等得出各个线段之间的关系． 2 / 92 学科网（北京）股份有限公司 $$