专题06 二次函数中求面积、线段问题（讲练，2考点+6题型+方法指导+命题预测）-【上好课】2025年中考数学二轮复习讲练测（江苏专用）

专题06 二次函数中求面积、线段问题 试卷第1页，共3页 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标航 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一 二次函数中的三角形面积问题 ►题型01 利用铅垂高计算三角形面积 ►题型02 面积存在性问题 ►题型03 面积最值问题 ►题型04 面积比值问题 考点二 二次函数中的线段相关问题 ►题型01 线段和最小问题 ►题型02 周长最值问题 01考情透视·目标航 中考考点 新课标要求 命题预测 二次函数与几何压轴 二次函数与几何压轴； 二次函数的压轴题主要考向： 1）存在性问题（全等与相似、特殊三角形（直角、等腰、等边）、平行四边形（含特殊平行四边形）等）． 2）最值问题（线段、周长、面积） 常见有关二次函数的题型和应对策略： 1）线段最值（周长）问题——斜化直策略 2）三角形或多边形面积问题——铅垂高、水平宽策略 3）线段和最小值问题——将军饮马、阿氏圆模型 4）线段差——三角形三边关系或函数 5）相似三角形存在性问题——根据相等角分类讨论 6）平行四边形存在性问题——中点公式＋平移法 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一 二次函数中的三角形面积问题 ►题型01 利用铅垂高计算三角形面积 1．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．    (1)求抛物线对应的函数解析式，并直接写出顶点P的坐标； (2)求的面积． 注：抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是． 2．（2024·海南·中考真题）如图1，抛物线经过点、，交y轴于点，点P是抛物线上一动点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)当点P的坐标为时，求四边形的面积； (3)当时，求点P的坐标； (4)过点A、O、C的圆交抛物线于点E、F，如图2．连接，判断的形状，并说明理由． ►题型02 面积存在性问题 1．（2024·四川遂宁·中考真题）二次函数的图象与轴分别交于点，与轴交于点，为抛物线上的两点． (1)求二次函数的表达式； (2)当两点关于抛物线对称轴对称，是以点为直角顶点的直角三角形时，求点的坐标； (3)设的横坐标为，的横坐标为，试探究：的面积是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由． 2．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，．    (1)求抛物线的解析式． (2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由． ►题型03 面积最值问题 1．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，A、B为一次函数的图像与二次函数的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数的图像上的动点，且位于直线的下方，连接、． (1)求b、c的值； (2)求的面积的最大值． 2．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，中，，，，，反比例函数的图象与交于点，与交于点E．      (1)求m，k的值； (2)点P为反比例函数图象上一动点（点P在D，E之间运动，不与D，E重合），过点P作，交y轴于点M，过点P作轴，交于点N，连接，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标． ►题型04 面积比值问题 1．（2024·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点．    (1)求抛物线的表达式； (2)当点在直线下方的抛物线上时，过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为t，的长为，请写出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (3)连接，交于点，求的最大值． 2．（2024·山东济宁·中考真题）已知二次函数的图像经过，两点，其中a，b，c为常数，且． (1)求a，c的值； (2)若该二次函数的最小值是，且它的图像与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． ①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标； ②如图，在y轴左侧该二次函数的图像上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线交于点E，连接，，．是否存在点P，使？若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 2.等积变形原理： 情况一：公共边为定边 题目要求：在抛物线上找一点P，使得 方法简介： ①A.P在公共边BC同侧时，只需AP∥BC，过点A作l1//BC，交抛物线于P1. ②A.P在公共边BC异侧时，将l1上移2CD个单位，即CD=CE，记为l2//BC, 交抛物线于P2，P3 ③将l1和l2分别与抛物线联立. 情况二：公共边为动边 题目要求：在抛物线上找一点P，使得 方法简介： ①当点B.C在公共边AP同侧时，只需AP //BC即可，过点A作l//BC交抛物线于P1，联立l与抛物线. ②当点B.C在公共边AP异侧时，取BC中点D，CM=BN连接AD交抛物线于P2，联立AD与抛物线. 3.在抛物线上的第一象限找一点P，使 方法简介： 方法一：S=•水平宽•铅垂高 方法二：作l//BC，l与抛物线只有一个交点P，此时h最大，联立l与抛物线，=0 1．（2024·江苏扬州·二模）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点，顶点为D．O为坐标原点． (1)求二次函数的表达式； (2)求四边形的面积； (3)P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若，则P点的坐标为_______． 2．（2024·江苏盐城·三模）如图，抛物线与轴交于点A，与x轴交于点B、C，已知． (1)求抛物线的表达式，并求出点C的坐标． (2)点M是抛物线(第一象限内)上的一个动点，连接，当面积最大时，求M点的坐标． (3)若点M坐标固定为，Q是抛物线上除M点之外的一个动点，当与的面积相等求出点Q的坐标． 3．（2024·江苏宿迁·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与坐标轴分别相交于点A，B，三点，其对称轴为． (1)求该抛物线的解析式； (2)点F是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与y轴，直线交于点D，E． ①当时，求的长； ②若，，的面积分别为，，，且满足，求点F的坐标． 4．（2023·江苏宿迁·模拟预测）如图，二次函数（a是常数，且）的图象与x轴相交于点、（点A在点的左侧），与y轴相交于点C，且，连接． (1)填空：______ ，的坐标为______ ； (2)如图1，点为抛物线上一点，且在，C两点之间运动，连接与相交于点E，连接，，当的值最大时，求直线的表达式； (3)如图2，动点在抛物线的对称轴上，连接、、，若，请求出点的坐标． 5．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C．点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，连接 (1)点B、C的坐标分别为B（ ， ），C（__，_） (2)连接与交于点D，设和的面积分别为和，求的最大值； (3)连接，当时， ①求点P的坐标； ②点E是上的一个动点（点E不与P、B重合），连接，线段的垂直平分线交于点F，交直线于点G，则的取值范围是_________． 6．（2024·江苏·模拟预测）已知：y关于x的二次函数．    (1)若函数的图象过点，求a与b的关系； (2)如图，若函数的图象与x轴有两个公共点，并与动直线交于点P，连接，，，，其中交y轴于点D，交于点E．设的面积为，的面积为． ①当点P为抛物线顶点时，求的面积； ②探究直线l在运动过程中，是否存在最大值？若存在求出这个最大值；若不存在，说明理由． 考点二 二次函数中的线段相关问题 ►题型01 线段和最小问题 1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为点，点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线于点E，点F． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是x轴上的任意一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出点D的坐标； (3)当时，求点P的坐标； (4)在（3）的条件下，若点N是y轴上的一个动点，过点N作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接，则的最小值为______． 2．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求的函数值的取值范围； (3)将拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点，点为抛物线的对称轴上一动点，求的最小值． 3．（2023·宁夏·中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线．    (1)直接写出点的坐标； (2)在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标和的最小值； (3)第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点．依题意补全图形，当的值最大时，求点的坐标． 3．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，其顶点为D． (1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标； (2)在y轴上是否存在一点M，使得的周长最小．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点E在以点为圆心，1为半径的上，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接．求的取值范围． ►题型02 周长最值问题 1．（2023·湖南张家界·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为线段上的一动点．    (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，求周长的最小值； (3)如图2，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值． 2．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，点的横坐标为． (1)求直线和抛物线的解析式； (2)点是直线下方的抛物线上一动点（不与点重合），过点作轴的平行线，与直线交于点，连接，设点的横坐标为； ①若点在轴上方，当为何值时，是等腰三角形； ②若点在轴下方，设的周长为，求关于的函数关系式，当为何值时，的周长最大，最大值是多少？ 对于阿氏圆而言：当系数k＜1的时候，一般情况下，考虑向内构造. 当系数k＞1的时候，一般情况下，考虑向外构造. 【注意事项】针对求PA+kPB的最小值问题时，当轨迹为直线时，运用“胡不归模型”求解； 当轨迹为圆形时，运用“阿氏圆模型”求解. 1．（2024·江苏扬州·二模）如图，抛物线经过，两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线与轴交于点D． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点H是抛物线对称轴上一动点，分别连接，求的最小值． 2．（11-12九年级·江苏南通·假期作业）如图抛物线与x轴交于，两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使得的周长最小？若存在，求出M点的坐标：若不存在，请说明理由． 3．（2024·广东佛山·二模）如图，抛物线与直线相交于点，，直线AB与轴相交于点． (1)求抛物线与直线的表达式； (2)点是抛物线在直线下方部分的一个动点，过点作轴交于点，过点作轴交于点，求的最大值． 4．（2024·江苏淮安·三模）二次函数 的图像与x轴交于A，C两点，点，与y轴交于点． (1) ， ； (2)如图，P 是x轴上一动点，点在y轴上，连接PD，求 的最小值．并求出此时点 P的坐标． (3)在（2）成立的前提下，在抛物线 是否存在点Q，使得 存在，请直接写出点Q的坐标，不存在请说明理由． 5．（2024·江苏连云港·二模）如图，已知、、三点的坐标分别为、、，抛物线的图象经过、两点    (1)求该抛物线的函数表达式； (2)过点作线段的平行线，交抛物线于点，连接，试判断四边形的形状； (3)点为线段上一动点，过点作轴的平行线，交该抛物线于点，当线段的长最大时，求点的坐标． 6．（23-24九年级上·湖北黄石·期中）如图①，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，点P是直线下方抛物线上的点，于点D，轴于点F，交线段于点E， (1)求抛物线的解析式； (2)当的周长最大时，求P点的坐标； (3)如图（2），点M是在直线上方的抛物线上一动点，当时，求点M的坐标． $$专题06 二次函数中求面积、线段问题 试卷第1页，共3页 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标航 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一 二次函数中的三角形面积问题 ►题型01 利用铅垂高计算三角形面积 ►题型02 面积存在性问题 ►题型03 面积最值问题 ►题型04 面积比值问题 考点二 二次函数中的线段相关问题 ►题型01 线段和最小问题 ►题型02 周长最值问题 01考情透视·目标航 中考考点 新课标要求 命题预测 二次函数与几何压轴 二次函数与几何压轴； 二次函数的压轴题主要考向： 1）存在性问题（全等与相似、特殊三角形（直角、等腰、等边）、平行四边形（含特殊平行四边形）等）． 2）最值问题（线段、周长、面积） 常见有关二次函数的题型和应对策略： 1）线段最值（周长）问题——斜化直策略 2）三角形或多边形面积问题——铅垂高、水平宽策略 3）线段和最小值问题——将军饮马、阿氏圆模型 4）线段差——三角形三边关系或函数 5）相似三角形存在性问题——根据相等角分类讨论 6）平行四边形存在性问题——中点公式＋平移法 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一 二次函数中的三角形面积问题 ►题型01 利用铅垂高计算三角形面积 1．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．    (1)求抛物线对应的函数解析式，并直接写出顶点P的坐标； (2)求的面积． 注：抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是． 【答案】(1)抛物线对应的解析式， (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的表达式，再根据解析式求点P的坐标即可； （2）求出点和抛物线顶点，，利用即可得到答案． 【详解】（1）抛物线经过点，， ， 解这个方程组，得． 抛物线对应的解析式． 点是抛物线的顶点坐标， ，即：，， ． （2）如图，连接OP．   ，，，， ， ， ． ， ． 【点睛】此题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象和性质等知识，掌握数形结合的思想和割补法求三角形面积是解题的关键． 2．（2024·海南·中考真题）如图1，抛物线经过点、，交y轴于点，点P是抛物线上一动点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)当点P的坐标为时，求四边形的面积； (3)当时，求点P的坐标； (4)过点A、O、C的圆交抛物线于点E、F，如图2．连接，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)16 (3)或 (4)是等边三角形，理由见解析 【知识点】其他问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合)、90度的圆周角所对的弦是直径 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点P作于T，根据列式求解即可； （3）取，连接，易证明，则线段与抛物线的交点即为所求；求出直线的解析式为，联立，解得或（舍去），则；如图所示，取，连接，同理可得，则直线与抛物线的交点即为所求；同理可得；则符合题意的点P的坐标为或； （4）由90度的圆周角所对的弦是直径得到为过三点的圆的直径，如图所示，取中点R，连接，则，；设与抛物线交于，联立得，解得，则， 由勾股定理可得，则是等边三角形． 【详解】（1）解：将点代入， 得 解得 ∴抛物线解析式为； （2）解:如图所示，过点P作于T， ∵，，， ∴ ， ∴， ∴ ； （3）解：如图所示，取，连接， ∵、，， ∴， ∴， ∴线段与抛物线的交点即为所求； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立，解得或（舍去）， ∴； 如图所示，取，连接， 同理可得， ∴直线与抛物线的交点即为所求； 同理可知直线的解析式为， 联立，解得或（舍去）， ∴； 综上所述，符合题意的点P的坐标为或； （4）解：是等边三角形，理由如下： ∵三点共圆，且， ∴为过三点的圆的直径， 如图所示，取中点R，连接， ∵， ∴， ∴； 设与抛物线交于， 联立得， ∴， 解得， 在中，当时， 当时， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴是等边三角形． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，圆的相关知识，解题的关键在于正确作出辅助线并利用数形结合的思想求解． ►题型02 面积存在性问题 1．（2024·四川遂宁·中考真题）二次函数的图象与轴分别交于点，与轴交于点，为抛物线上的两点． (1)求二次函数的表达式； (2)当两点关于抛物线对称轴对称，是以点为直角顶点的直角三角形时，求点的坐标； (3)设的横坐标为，的横坐标为，试探究：的面积是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，最小值为 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的最值、用勾股定理解三角形、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求函数解析式，勾股定理，已知两点坐标表示两点距离，二次函数最值，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）可求，设，由，得，则 ，解得，（舍去），故； （3）分当点P、Q在x轴下方，且点Q在点P上方时，当点P、Q在x轴下方，且点P在点Q上方时，当点P、Q都在x轴上方或者一个在x轴上方，一个在x轴下方，得到这个面积是关于m的二次函数，进而求最值即可． 【详解】（1）解：把，代入得， ，解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：如图： 由得抛物线对称轴为直线， ∵两点关于抛物线对轴对称， ∴， 设， ∵， ∴， ∴ ， 整理得，， 解得，（舍去）， ∴， ∴； （3）存在，理由： 当点P、Q在x轴下方，且点Q在点P上方时， 设点，则点，设直线交轴于点， 设直线表达式为：， 代入， 得：， 解得：， ∴直线的表达式为：， 令，得 则， 则， 则 ， 即存在最小值为； 当点P、Q在x轴下方，且点P在点Q上方时， 同上可求直线表达式为：， 令，得 则， 则， 则 即存在最小值为； 当点P、Q都在x轴上方或者一个在x轴上方，一个在x轴下方同理可求， 即存在最小值为， 综上所述，的面积是否存在最小值，且为． 2．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，．    (1)求抛物线的解析式． (2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点P的坐标是，的面积最大值是 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质以及与几何综合： （1）将B，C两点坐标代入函数解析式，求出b，c的值即可； （2）过点P作轴于点E，设，且点P在第二象限，根据可得二次函数关系式，再利用二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）解：将，代入得， 解得： （2）解：对于，令则 解得，， ∴， ∴ ∵， ∴， 过点P作轴于点E，如图， 设，且点P在第二象限， ∴ ∴ ∵， ∴有最大值， ∴当时，有最大值，最大值为，此时点P的坐标为 ►题型03 面积最值问题 1．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，A、B为一次函数的图像与二次函数的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数的图像上的动点，且位于直线的下方，连接、． (1)求b、c的值； (2)求的面积的最大值． 【答案】(1) (2)最大值为8 【知识点】面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查二次函数的综合，一次函数的性质，用割补法得出△PAB的面积是关键． （1）先求出A，B的坐标，再用待定系数法求出b，c； （2）由（1）可得：，设，作交于E，则，则，得出面积，即可解答． 【详解】（1）解：当时，；当时，， 则，， 则， 解得：； （2）解：由（1）可得：，设，作交于E， 则，则， ∴， 当时，最大值为8． 2．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，中，，，，，反比例函数的图象与交于点，与交于点E．      (1)求m，k的值； (2)点P为反比例函数图象上一动点（点P在D，E之间运动，不与D，E重合），过点P作，交y轴于点M，过点P作轴，交于点N，连接，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标． 【答案】(1)， (2)最大值是，此时 【知识点】图形运动问题(实际问题与二次函数)、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了二次函数，反比例函数，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）先求出B的坐标，然后利用待定系数法求出直线的函数表达式，把D的坐标代入直线的函数表达式求出m，再把D的坐标代入反比例函数表达式求出k即可； （2）延长交y轴于点Q，交于点L．利用等腰三角形的判定与性质可得出，设点P的坐标为，，则可求出，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解： ，， ． 又， ． ， 点． 设直线的函数表达式为， 将，代入，得， 解得， ∴直线的函数表达式为． 将点代入，得． ． 将代入，得． （2）解：延长交y轴于点Q，交于点L．   ，， ． 轴， ，． ， ， ， ． 设点P的坐标为，，则，． ． ． 当时，有最大值，此时． ►题型04 面积比值问题 1．（2024·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点．    (1)求抛物线的表达式； (2)当点在直线下方的抛物线上时，过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为t，的长为，请写出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (3)连接，交于点，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合、线段周长问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出，再用待定系数法求出直线的解析式为：，可得出，，从而可得，再求出自变量取值范围即可； （3）分四种情形：当时，作，交于，可得出，从而，进而得出，进一步得出结果；当，和时，可得出没有最大值． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点， ， 解得， 该抛物线的解析式为：； （2）解：二次函数中，令，则， ， 设直线的解析式为：．将，代入得到： ，解得， 直线的解析式为：， 过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为t， ，， ， 点在直线下方的抛物线上， ； （3）解：如图1，    当时， 作，交于， ， ， 把代入得， ， ， ， 当时，， ， ， 如图2， 当时， 此时， ， 时，随着的增大而增大， 没有最大值， 没有最大值， 如图3， 当时， ， 当时，随着的增大而减小， 没有最大值， 没有最大值， 如图4，    当时， 由上可知， 没有最大值， 综上所述：当时，． 【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是分类讨论． 2．（2024·山东济宁·中考真题）已知二次函数的图像经过，两点，其中a，b，c为常数，且． (1)求a，c的值； (2)若该二次函数的最小值是，且它的图像与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． ①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标； ②如图，在y轴左侧该二次函数的图像上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线交于点E，连接，，．是否存在点P，使？若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①该二次函数的解析式为：；， ②存在，P点横坐标为：或或 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）先求得，则可得和关于对称轴对称，由此可得，进而可求得； （2）①根据抛物线顶点坐标公式得，由此可求得，进而可得抛物线的表达式为，进而可得，； ②分两种情况进行讨论：当点P在点A右侧时，当点P在点A左侧时，分别画出图形，求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：∵的图像经过， ∴， ∴和关于对称轴对称， ∴， ， ， ∴，． （2）解：①∵，， ∴， ∵， ∵解得， ∵，且， ∴， ∴， ∴该二次函数的解析式为：， 当时，， 解得，， ∴， ． ②设直线的表达式为：， 则， 解得， ∴直线的表达式为：， 当点P在点A右侧时，作于F，如图所示： 设，则，， 则， , ， ∵，，， ∴ ， ∵， ， 解得：，， ∴点P横坐标为或； 当点P在点A左侧时，作于F，如图所示： 设，则，， 则， , ， ∵，，， ∴ ， ∵， ， 解得：，（舍去）， ∴点P横坐标为， 综上所述，P点横坐标为：或或． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合，二次函数与几何综合，利用待定系数法求二次函数和一次函数的表达式．熟练掌握“三角形面积水平宽铅锤高”是解题的关键． 2.等积变形原理： 情况一：公共边为定边 题目要求：在抛物线上找一点P，使得 方法简介： ①A.P在公共边BC同侧时，只需AP∥BC，过点A作l1//BC，交抛物线于P1. ②A.P在公共边BC异侧时，将l1上移2CD个单位，即CD=CE，记为l2//BC, 交抛物线于P2，P3 ③将l1和l2分别与抛物线联立. 情况二：公共边为动边 题目要求：在抛物线上找一点P，使得 方法简介： ①当点B.C在公共边AP同侧时，只需AP //BC即可，过点A作l//BC交抛物线于P1，联立l与抛物线. ②当点B.C在公共边AP异侧时，取BC中点D，CM=BN连接AD交抛物线于P2，联立AD与抛物线. 3.在抛物线上的第一象限找一点P，使 方法简介： 方法一：S=•水平宽•铅垂高 方法二：作l//BC，l与抛物线只有一个交点P，此时h最大，联立l与抛物线，=0 1．（2024·江苏扬州·二模）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点，顶点为D．O为坐标原点． (1)求二次函数的表达式； (2)求四边形的面积； (3)P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若，则P点的坐标为_______． 【答案】(1) (2)30 (3) 【知识点】面积问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）设二次函数解析式为，将点A和B两点代入即可求得二次函数解析式； （2）过D作于N，作于M，根据第一问可得点，结合矩形、三角形的面积公式即可求得答案； （3）连接，过C作交于E，过E作于F，根据题意得为等腰直角三角形，得到，结合角度正切值求得，进一步得，判定是等腰直角三角形，即可求得点，利用待定系数法求得直线直线的解析式，联立即可求得点P． 【详解】（1）解：根据题意，设二次函数解析式为， ∵二次函数的图象与轴交于两点． ∴， 解得， ∴二次函数的表达式为． （2）解：过D作于N，作于M， 根据，则顶点的坐标为， ； （3）解：P是抛物线上的一点，且在第一象限， 当时，连接，过C作交于E，过E作于F，如图． ∵，则为等腰直角三角形，． 由勾股定理得：， ∵． ∴，即， ∴． 由，得， ∴． ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的坐标为， 则过B、E的直线的解析式为， 令，解得，或， 所以直线与抛物线的两个交点为， 即所求的坐标为 ． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，涉及待定系数法求函数解析式、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、解直角三角形和解方程组，解题的关键是熟悉二次函数的性质和解直角三角形． 2．（2024·江苏盐城·三模）如图，抛物线与轴交于点A，与x轴交于点B、C，已知． (1)求抛物线的表达式，并求出点C的坐标． (2)点M是抛物线(第一象限内)上的一个动点，连接，当面积最大时，求M点的坐标． (3)若点M坐标固定为，Q是抛物线上除M点之外的一个动点，当与的面积相等求出点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点Q的坐标为：或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、求一次函数解析式、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行线的性质、面积的计算等，用平行线的方法处理面积之间的关系是解题的关键． （1）用待定系数法求出函数表达式，即可求解； （2）由面积，即可求解； （3）过点M作直线交y轴于点R，得到直线的表达式为：，即可求解；过点T作直线，得到直线的表达式为：，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：， 令，则，解得：（舍去）或， 即； （2）解：过点M作轴交于点H， 由点A、B的坐标设直线的表达式为：，则，解得：， 故直线的表达式为：， 设点，则点， 则面积， ∵，故当时，面积最大， 此时点； （3）解：由（2）知，直线的表达式为：， 过点M作直线交y轴于点R， 设直线的表达式为：，则，解得：， 则直线的表达式为：，则点， 则， 联立和抛物线的表达式得：， 解得：（舍去）或3，即点， 则点A下方取点T，使，则点， 过点T作直线， 则直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：， 则点或， 综上，点Q的坐标为：或或． 3．（2024·江苏宿迁·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与坐标轴分别相交于点A，B，三点，其对称轴为． (1)求该抛物线的解析式； (2)点F是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与y轴，直线交于点D，E． ①当时，求的长； ②若，，的面积分别为，，，且满足，求点F的坐标． 【答案】(1) (2)① ②或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、求一次函数解析式、根据等角对等边证明边相等 【分析】（1）根据点坐标可以求出，根据对称轴直线可以求出； （2）①过作于，根据三角形内角和定理，可以得出，所以可以得出，设直线的表达式，从而得出和的坐标，再根据两点距离公式求解即可； ②根据等高三角形的面积比等于底边长之比以及三个三角形的面积公式，可以得出，，根据，，，共线，所以它们的长度也可以转化为横坐标差的关系，设的表达式，根据交点得出，的横坐标，从而可以求出直线的表达阿是，最后根据是直线和抛物线的交点求解即可． 【详解】（1）解：令，， ， 抛物线的对称轴直线为：， ， ； （2）解：令，则或， ，， 直线的表达式为：， 设直线的表达式为：， ， 联立直线和的表达式： ， ， ①过作于，如图： ， 又， ， 又， ， 为等腰三角形， ， 即， 解得：， ； ②到直线的距离为定值， ，，等高， ， ， ， ， 联立直线和抛物线： ， 整理得：， ， ， ， 解得：， ∴或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合题，熟练掌握等腰三角形的判定与性质、等高三角形的面积关系是本题解题的关键． 4．（2023·江苏宿迁·模拟预测）如图，二次函数（a是常数，且）的图象与x轴相交于点、（点A在点的左侧），与y轴相交于点C，且，连接． (1)填空：______ ，的坐标为______ ； (2)如图1，点为抛物线上一点，且在，C两点之间运动，连接与相交于点E，连接，，当的值最大时，求直线的表达式； (3)如图2，动点在抛物线的对称轴上，连接、、，若，请求出点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点坐标为或 【知识点】面积问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】（1）求出，由可得，则，代入可得的值，令可得出的坐标； （2）设，根据三角形的面积公式可得，则当最大时的值最大，可得为抛物线的顶点，然后得出点坐标，利用待定系数法即可得直线的表达式； （3）抛物线的对称轴为直线，勾股定理逆定理判断是直角三角形，且，记为对称轴与轴的交点，连接，判定，即与重合，求此时的点坐标；过，，三点作，由同弧所对的圆周角相等可知与直线交点即为，设，由题意知，圆心在直线上，设圆心坐标为，则，根据，可求值，根据，可求值，进而可得此时的点坐标． 【详解】（1）解：二次函数， ， ， ， ， ， 代入得：， ， 二次函数， 令得， 解得：或， 的坐标为， 故答案为：，； （2）解：设， ，， ， ， 当最大时的值最大， 二次函数， 为抛物线的顶点时最大， ， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为：； （3）解：，， 抛物线的对称轴为直线， ，，， ， 是直角三角形，且， 记为对称轴与轴的交点，如图，连接， ， ， ， ， ， 则①当与重合，即； ②过，，三点作，如图，由同弧所对的圆周角相等可知与直线交点即为，设， ，， 圆心在直线上，设圆心坐标为，则， ，即， 解得：， ，即， 解得：，， ， 综上，点坐标为或． 【点睛】 本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，同弧所对的圆周角相等，等边对等角，三角形外角的性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 5．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C．点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，连接 (1)点B、C的坐标分别为B（ ， ），C（__，_） (2)连接与交于点D，设和的面积分别为和，求的最大值； (3)连接，当时， ①求点P的坐标； ②点E是上的一个动点（点E不与P、B重合），连接，线段的垂直平分线交于点F，交直线于点G，则的取值范围是_________． 【答案】(1)8；0；0；4 (2)的最大值为 (3)①；② 【知识点】解直角三角形的相关计算、面积问题(二次函数综合)、相似三角形的判定与性质综合、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（1）分别令即可求解； （2）根据题意计算出直线的解析式，如图所示，过点作轴交于点，则点的横坐标为，过点作轴于点，交于点，过点作与点，设，且，可证，可得，即，再根据三角形的面积计算方法得，，由此结合二次函数最值的计算方法即可求解； （3）①接，，作点关于的对称点，则，连接，作轴于点，证明两个三角形全等可得，可得点三点共线，求出直线的解析式，联立二次函数解二元一次方程组即可； ②作图如下，过点作轴于点，于点，连接，过点作轴于点，连接，作于点，可证，可得，则有，分类讨论：当时，的值最小，即的值最小；当点与点重合时，当点与点重合时，，可得的值最大值，由此即可求解． 【详解】（1）解：已知二次函数 的图象与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点， ∴令时，，整理得，， ∴，， ∴，， 令时，， ∴， 故答案为：； （2）解：已知，， ∴设直线所在直线的解析式为， ∴，解得，， ∴直线所在直线的解析式为， 如图所示，过点作轴交于点，则点的横坐标为，过点作轴于点，交于点，过点作与点， ∴当时，， ∴，则， ∵点是第一象限内二次函数图象上的一个动点， ∴设，且， ∴，，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）解：①连接，，作点关于的对称点，则，连接，作轴于点， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，，即， ∵点关于的对称点为，且， ∴， ∴点三点共线， ∴； ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，，，，则，，， ∴， ∴， ∴点三点共线， ∵点，点， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∴， 解得，或（不符合题意，舍去） ∴； ②根据题意，作图如下，过点作轴于点，于点，连接，过点作轴于点，连接，作于点，    已知，，是的垂直平分线， ∴，，且， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 在四边形中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，的值最小，即的值最小， 在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，即的最小值为， 当点与点重合时，， 当点与点重合时，， ∵， ∴， 综上所示，的取值范围是：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次函数图象与几何图形的综合，掌握待定系数法求一次函数、二次函数解析式，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，相似的判定和性质，勾股定理，垂直平分线的性质，点到直线垂线段最短等知识的综合运用，图形结合分析，分类讨论思想是解题的关键． 6．（2024·江苏·模拟预测）已知：y关于x的二次函数．    (1)若函数的图象过点，求a与b的关系； (2)如图，若函数的图象与x轴有两个公共点，并与动直线交于点P，连接，，，，其中交y轴于点D，交于点E．设的面积为，的面积为． ①当点P为抛物线顶点时，求的面积； ②探究直线l在运动过程中，是否存在最大值？若存在求出这个最大值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①6 ，②存在； 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、面积问题(二次函数综合)、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了二次函数综合，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求函数解析式的方法和步骤，相似三角形的判定和性质，以及二次函数的图象和性质． （1）把代入即可解答； （2）①设直线l与交于点F，用待定系数法求出抛物线的解析式为，则，，再求出直线的解析式为，则，进而得出，最后根据的面积即可解答；②设直线交x轴于H，则，通过证明，得出，根据得出函数关系式，结合二次函数的性质，即可解答． 【详解】（1）解：∵函数的图象过点， ∴代入得：， 化简得：； （2）解：①如图1，设直线l与交于点F，    把代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴， ∵，点P为抛物线顶点， ∴， ∵， ∴直线的解析式为， 把代入得：， ∴， ∴， ∴的面积， ②存在最大值，理由如下： 如图2，设直线交x轴于H，    由①得，，，，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴当时，存在最大值，最大值为． 考点二 二次函数中的线段相关问题 ►题型01 线段和最小问题 1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为点，点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线于点E，点F． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是x轴上的任意一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出点D的坐标； (3)当时，求点P的坐标； (4)在（3）的条件下，若点N是y轴上的一个动点，过点N作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接，则的最小值为______． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的定义、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了求函数解析式、二次函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）先根据题意确定点A、C的坐标，然后运用待定系数法求解即可； （2）分三种情况分别画出图形，然后根据等腰三角形的定义以及坐标与图形即可解答； （3）先证明可得，设，则,可得，即，求得可得m的值，进而求得点P的坐标； （4）如图：将线段向右平移单位得到,即四边形是平行四边形，可得,即，作关于对称轴的点,则，由两点间的距离公式可得，再根据三角形的三边关系可得即可解答． 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点C， ∴当时，，即；当时，，即； ∵， ∴设抛物线的解析式为， 把代入可得：，解得：， ∴， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：∵，， ∴, ∴， 如图：当， ∴,即； 如图：当， ∴,即； 如图：当， ∴,即； 综上，点D的坐标为． （3）解：如图：∵轴， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴, ∴, ∵设，则, ∴， ∴，解得：（负值舍去）， 当时，， ∴． （4）解： ∵抛物线的解析式为：， ∴抛物线的对称轴为：直线， 如图：将线段向右平移单位得到, ∴四边形是平行四边形， ∴,即, 作关于对称轴的点,则 ∴, ∵， ∴的最小值为． 故答案为． 2．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求的函数值的取值范围； (3)将拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点，点为抛物线的对称轴上一动点，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)的最小值为： 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、解直角三角形的相关计算、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（1）直接利用待定系数法求解二次函数的解析式即可； （2）求解的对称轴为直线，而，再利用二次函数的性质可得答案； （3）求解，，可得，求解直线为，及，证明在直线上，如图，过作于，连接，过作于，可得，，证明，可得，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：∵的对称轴为直线，而， ∴函数最小值为：， 当时，， 当时，， ∴函数值的范围为：； （3）解：∵， 当时，， ∴， 当时， 解得：，， ∴， ∴， 设直线为， ∴， ∴， ∴直线为， ∵拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点，而顶点为， ∴， ∴在直线上， 如图，过作于，连接，过作于， ∵，， ∴，， ∵对称轴与轴平行， ∴， ∴， ∴， 由抛物线的对称性可得：，， ∴， 当三点共线时取等号， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为：． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，利用轴对称的性质求解线段和的最小值，锐角三角函数的应用，做出合适的辅助线是解本题的关键． 3．（2023·宁夏·中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线．    (1)直接写出点的坐标； (2)在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标和的最小值； (3)第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点．依题意补全图形，当的值最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点，的最小值为 (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、求抛物线与x轴的交点坐标、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据抛物线的对称性，进行求解即可； （2）根据抛物线的对称性，得到，得到当三点共线时，的值最小，为的长，求出直线的解析式，解析式与对称轴的交点即为点的坐标，两点间的距离公式求出的长，即为的最小值； （3）根据题意，补全图形，设，得到，，将的最大值转化为二次函数求最值，即可得解． 【详解】（1）解：∵点关于对称轴的对称点为点，对称轴为直线， ∴点为； （2）当时，， ∴， 连接，      ∵， ∴， ∵点关于对称轴的对称点为点， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，为的长， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， ∵点在抛物线的对称轴上， ∴； ∴点，的最小值为； （3）过点作轴，垂足为，连接交于点，如图所示，      ∵， 设抛物线的解析式为：， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则：， 由（2）知：直线：， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，此时． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用抛物线的对称性以及数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 3．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，其顶点为D． (1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标； (2)在y轴上是否存在一点M，使得的周长最小．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点E在以点为圆心，1为半径的上，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接．求的取值范围． 【答案】(1)抛物线的表达式为，顶点D的坐标为； (2)点M的坐标为； (3)的取值范围为． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）作点B关于原点的对称点，连接交轴于点M，此时的周长最小，利用待定系数法求得直线的解析式，据此求解即可； （3）以为边在的下方作等边三角形，得到点在以为圆心，1为半径的上，据此求解即可． 【详解】（1）解：由于抛物线经过点和点， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为， ∴顶点D的坐标为； （2）解：∵点，对称轴为直线， ∴点， ∵，， ∴长为定值， 作点B关于原点的对称点，则，连接交轴于点M， 则， ∴，此时的周长最小， 设直线的解析式为， 则， 解得，， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴点M的坐标为； （3）解：以为边在的下方作等边三角形，作轴于点，连接，， ∵等边三角形， ∴，，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴点在以为圆心，1为半径的上， ， 当点在线段上时，有最小值为； 当点在射线上时，有最大值为； ∴的取值范围为． 【点睛】本题是一道二次函数的综合题，主要考查了二次函数图象的性质，待定系数法确定函数的解析式，一次函数图象的性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． ►题型02 周长最值问题 1．（2023·湖南张家界·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为线段上的一动点．    (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，求周长的最小值； (3)如图2，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值． 【答案】(1) (2) (3)， 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据题意设抛物线的表达式为，将代入求解即可； （2）作点O关于直线的对称点E，连接，根据点坐特点及正方形的判定得出四边形为正方形，，连接AE，交于点D，由对称性，此时有最小值为AE的长，再由勾股定理求解即可； （3）由待定系数法确定直线的表达式为，直线的表达式为，设，然后结合图形及面积之间的关系求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，设抛物线的表达式为， 将代入上式得：， 所以抛物线的表达式为； （2）作点O关于直线的对称点E，连接， ∵，，， ∴， ∵O、E关于直线对称， ∴四边形为正方形， ∴， 连接，交于点D，由对称性， 此时有最小值为的长， ∵的周长为， ，的最小值为10， ∴的周长的最小值为； （3）由已知点，，， 设直线的表达式为， 将，代入中，，解得， ∴直线的表达式为， 同理可得：直线的表达式为， ∵， ∴设直线表达式为， 由（1）设，代入直线的表达式 得：， ∴直线的表达式为：， 由，得， ∴， ∵P，D都在第一象限， ∴ ， ∴当时，此时P点为. ． 【点睛】题目主要考查二次函数的综合应用，包括待定系数法确定函数解析式，周长最短问题及面积问题，理解题意，熟练掌握运用二次函数的综合性质是解题关键． 2．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，点的横坐标为． (1)求直线和抛物线的解析式； (2)点是直线下方的抛物线上一动点（不与点重合），过点作轴的平行线，与直线交于点，连接，设点的横坐标为； ①若点在轴上方，当为何值时，是等腰三角形； ②若点在轴下方，设的周长为，求关于的函数关系式，当为何值时，的周长最大，最大值是多少？ 【答案】(1)，； (2)①；②，当时，的周长最大，最大值是． 【知识点】特殊三角形问题(二次函数综合)、线段周长问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、求一次函数解析式 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线和直线解析式； （2）①当是等腰三角形时，判断出只有，设出点P的坐标用建立方程组求解即可； ②先表示出，然后建立三角形的周长和m的函数关系式，确定出最大值． 【详解】（1）解：直线经过点， ， ， 直线解析式为， 点在此直线上，点的横坐标为，则， 点的纵坐标为， ， 抛物线交于、两点， ， ， 抛物线解析式为． （2）解：∵点的横坐标为，则设， ∴， 过点作轴的平行线，与直线交于点，则点的纵坐标为， ∴，则， 点， ， ①当点在轴上方时， ，是钝角， ，， 是等腰三角形， ， ， ， ， ， ， 或舍， 当时，是等腰三角形； ②当点P在x轴下方时，， ， ，则，点， ，， ，， ∴的周长 ， ∵， 当时，， 当时，的周长最大，最大值是． 【点睛】此题为二次函数综合题，主要考查了待定系数法，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，三角形的周长，两点坐标距离公式等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 对于阿氏圆而言：当系数k＜1的时候，一般情况下，考虑向内构造. 当系数k＞1的时候，一般情况下，考虑向外构造. 【注意事项】针对求PA+kPB的最小值问题时，当轨迹为直线时，运用“胡不归模型”求解； 当轨迹为圆形时，运用“阿氏圆模型”求解. 1．（2024·江苏扬州·二模）如图，抛物线经过，两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线与轴交于点D． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点H是抛物线对称轴上一动点，分别连接，求的最小值． 【答案】(1)该抛物线的表达式为； (2)的最小值为 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查待定系数法求解析式和利用轴对称求最小值； （1）利用待定系数法求解抛物线表达式即可； （2）利用轴对称求最小值即可，的最小值为即，通过勾股定理求解即可． 【详解】（1）把，代入得： 解得： ∴该抛物线的表达式为； （2）由（1）得：抛物线的表达式为 ∴对称轴，顶点 ∴ 设直线解析式为， 将，代入得：，解得 ∴直线解析式为， ∴当时， ∴ ∵点A关于对称轴的对称点为点 ∴的最小值为即 ∴ ∴的最小值为 2．（11-12九年级·江苏南通·假期作业）如图抛物线与x轴交于，两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使得的周长最小？若存在，求出M点的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)该抛物线的解析式为 (2)M点的坐标为 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、线段周长问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象及性质、二次函数综合问题： （1）把，代入解方程组即可得到结论； （2）连接交对称轴于M，则此时，的周长最小，设直线的解析式为，解方程组求得直线的解析式为，当时，求得，于是得到结论． 正确的理解题意，利用待定系数法求函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：把，代入中得： ， 解得：， ∴该抛物线的解析式为： （2）存在， 连接交对称轴于M，则此时，的周长最小， 在中，令，则， ， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，， ∴M点的坐标为 3．（2024·广东佛山·二模）如图，抛物线与直线相交于点，，直线AB与轴相交于点． (1)求抛物线与直线的表达式； (2)点是抛物线在直线下方部分的一个动点，过点作轴交于点，过点作轴交于点，求的最大值． 【答案】(1)， (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、求一次函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式、二次函数综合—线段问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设点坐标为，则点坐标为，点坐标为，得到，，表示出，结合二次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：将点，分别代入， 得：， 解得：， 抛物线表达式为 将点，分别代入得：， 解得： 直线的表达式为； （2）解：设点坐标为， 轴， 点与点的横坐标相同，即点坐标为， ， 轴， 点与点的纵坐标相同， ， ， 即点坐标为， ， ，开口向下， 的最大值为． 4．（2024·江苏淮安·三模）二次函数 的图像与x轴交于A，C两点，点，与y轴交于点． (1) ， ； (2)如图，P 是x轴上一动点，点在y轴上，连接PD，求 的最小值．并求出此时点 P的坐标． (3)在（2）成立的前提下，在抛物线 是否存在点Q，使得 存在，请直接写出点Q的坐标，不存在请说明理由． 【答案】(1)， (2)； (3)满足条件的点的坐标为：，，， 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数综合题、待定系数法、面积问题、线段最值问题； （1）将、分别代入得到二元一次方程组，解方程求得和即可； （2）如图1中，作于.先说明,然后在中,有，由垂线段最短可知，当、、共线时，最小，最后求得最小值即可； （3）如图2中，由，过点作的平行线交抛物线于、，根据，再求出直线的解析式，然后联立解方程组即；利用平移可求出、的坐标． 【详解】（1）解：把，代入， 得到，， 解得， 故答案为，． （2）如图1中，作于． ∵，， ∴， 在中，． ∵， 根据垂线段最短可知，当、、共线时最小，最小值为， 在中， ∵,，则， ∵， ∴， ∴的最小值为． ∵是等腰直角三角形， ∴ ∴ （3）解：如图所示，连接， ∵， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴过点作的平行线交抛物线于，，则，， 设直线的解析式为 ∵，， ∴ 解得： ∴直线的解析式为， ∵ ∴直线的解析式为， 由， 解得或， ∴，， 根据对称性可知，直线关于直线的对称的直线与抛物线的交点、也满足条件， ∵ ∴将向右平移个单位得到的解析式为 由， 解得或， ∴，， 综上所述，满足条件的点的坐标为：，，，． 5．（2024·江苏连云港·二模）如图，已知、、三点的坐标分别为、、，抛物线的图象经过、两点    (1)求该抛物线的函数表达式； (2)过点作线段的平行线，交抛物线于点，连接，试判断四边形的形状； (3)点为线段上一动点，过点作轴的平行线，交该抛物线于点，当线段的长最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)四边形是菱形，理由见解析 (3) 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）用待定系数法即可求函数的解析式； （2）利用待定系数法求出的解析式，再求出直线的解析式，联立抛物线与直线解析式，可知点的坐标，即可得出结论； （3）设，则，表示出的长，然后根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：(1)将点，代入， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）四边形是菱形，理由如下： 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， ， 设直线的解析式为 ，解得， 直线的解析式为， 联立， 解得或， ， ， ， 四边形是平行四边形， 、、三点的坐标分别为，、，、，， ， 四边形是菱形； （3）设，则， ， 当时，线段的长最大，， 点的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数综合应用，待定系数法，平行四边形的判定，二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的判定及性质是解题的关键． 6．（23-24九年级上·湖北黄石·期中）如图①，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，点P是直线下方抛物线上的点，于点D，轴于点F，交线段于点E， (1)求抛物线的解析式； (2)当的周长最大时，求P点的坐标； (3)如图（2），点M是在直线上方的抛物线上一动点，当时，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出，由，得到，则，证明，得到，则，即可推出当最大时，的周长最大；求出直线解析式为，设，则，则，则当时，有最大值，即此时的周长最大，此时； （3）如图所示，设直线交y轴于D，证明，得到，则，同理可得直线解析式为，联立，解得或，则． 【详解】（1）解：把代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，轴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长， ∴当最大时，的周长最大， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 设，则， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，即此时的周长最大，此时； （3）解：如图所示，设直线交y轴于D， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理可得直线解析式为， 联立，解得或， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解直角三角形，待定系数法求函数解析式，一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定等等，数量掌握二次函数的相关知识是解题的关键． $$